天津市和平区九年级上数学期末试卷(含答案)
和平区学年度第一学期九年级数学学科期末质量调查试卷
一、选择题：
1.在平面直角坐标系中，点25A （，）与点E 关于原点对称，则点E 的坐标是
A 、52--（，）
B 、25--（，）
C 、25-（，）
D 、25-（，）
2.抛物线2y ax bx c =++与x 轴的公共点是10-（，），30（，），则这条抛物线的对称轴是直线
A 、1x =
B 、1x =-
C 、0x =
D 、2x =
3.已知1x =是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，则m n +的值为 A 、1-
B 、0
C 、1
D 、1或1-
4.把抛物线2y x =向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为 A 、()2
31y x =++
B 、()2
31
y x =+-
C 、()2
13y x =-+
D 、()2
13y x =++
5.下列命题中，是真命题的为
A 、锐角三角形都相似
B 、直角三角形都相似
C 、等腰三角形都相似
D 、等边三角形都相似
6.布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时
得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是 A 、16 B 、29 C 、13 D 、2
3
7.圆锥的地面半径为10cm .它的展开图扇形半径为30cm ，则这个扇形圆心角的度数是 A 、60
B 、90
C 、120
D 、150
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA
在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形'''OA B C 与矩形OABC 关于点O 位
似，且矩形'''OA B C 的面积等于矩形OABC 面积的1
4
，那么点'B 的坐
标是 A 、32（，） B 、128（，）或128--（，） C 、23（，）或23--（，） D 、32（，）或32--（，）
9.如图，点121212A A B B C C 、、、、、分别为ABC △的边BC 、CA 、
AB 的三等分点，若ABC △的周长为l ，则六边形121212A A B B C C 的周长为 A 、13l B 、23l C 、2l D 、53
l
10.已知抛物线()20y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =-，该
抛物线与x 轴的一个交点为1,0x （），且101x <<，有下列结论： ①0abc >;②930a b c -+>;③b a <;④30a c +>
其中正确结论的个数是
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 二、填空题： 11.下列事件：
其中 是必然事件； 是不可能事件； 是随机事件
12.某公司10月份的利润为160万元，要使12月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是 13.如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点。
若两圆的半径分别为3cm 和5cm ，则AB 的长为 cm
14.如图，DEF ∆是由ABC ∆绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是 15.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，
第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开的概率是
16.若抛物线()210y ax x a =++≠的顶点始终在x 轴的上方，则a 的取值范围
17.如图，ABC ∆内接于O ，90B ∠=，AB BC =，D 是O 上与点B 关于
圆心O 成中心对称的点，P 是BC 边上一点，连结,,AD DC AP .已知
8AB =，2CP =，Q 是线段AP 上一动点，
连接BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP BR =，则
BQ
QR
的值为
18.如图，已知,A B 两点的坐标分别为()()2,0,0,2，C 的圆心坐标
()1,0-，半径为1.若D 是C e 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，
则ABE ∆面积的最小值是
三、解答题：
19.⑴在图1中画出ABC ∆绕点O 逆时针旋转
90 后的111A B C ∆；
⑵在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图2，DEF ∆是格点三角形，请你再给出的44⨯正方形网格中，画出一个与DEF ∆相似的格点三角形111D E F ∆（画出三角形与DEF ∆除顶点和边可以重合外，其余部分不能重合）
20.一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅
均，蒙上眼睛从口袋中取取出一只球，取出红球的概率是1
4。
（1）取出白球的概率是多少？
（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？ 21.已知一元二次方程2(3)(2)0x x p ---=。
22.如图，在Rt ADC △中，∠°90ADC =，以CD 为直径的O 交AC 于点E ，点G 是AD 的中点。
求证GE 是O 的切线。
23.如图，AB 是O 的直径，过点O 作弦BC 的平行线，交过点A 的
切线AP 于点P ，连接AC 。
（1）求证A B C P O A △∽△（2）若
7
2,2
OB OP ==，求BC 的长
24.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？并求出一天的最大利润。
25. 已知，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=o ，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC
边上一点，连接BO 交AD 于点F ，
OE OB ⊥交BC 边于点E .
⑴ 如图1，求证ABF COE ∆∆∽；
⑵ 如图2，点O 是AC 边的中点，
1,2A B A C ==.①求证BF OE =；②求
OE 的长.
26.抛物线23y ax bx =++经过(3,0),(1,0)A B --两点. ⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 如图1，设抛物线23y ax bx =++的顶点为M ，直线29y x =-+与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点
D .现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移后抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，
求它的顶点横坐标的取值范围；
⑶ 如图2，将抛物线23y ax bx =++平移，平移后抛物线与x 轴交于点E F 、，与y 轴交于点N ，当
(-10)(50)E F ，、，时，在抛物线上是否存在点G ，使G F N ∆中FN 边上的高为求出点G 的
坐标；若不存在，请说明理由.。
2020-2021学年天津市和平区九年级上学期数学期末试卷及答案
2020-2021学年天津市和平区九年级上学期数学期末试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，逐个进行判断即可．【详解】解：A. 不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误，不符合题意；B. 是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；C. 不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误，不符合题意；D. 不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是本题的解题关键．2. 下列命题中，是真命题的是（）A. 直角三角形都相似B. 等腰三角形都相似C. 矩形都相似D. 正方形都相似【答案】D【解析】【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可判断．【详解】A. 直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故A 错误；B. 等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故B 错误；C. 矩形的各个角都相等，但边不一定成比例，所以不一定相似，故C 错误；D. 正方形各角相等，各边对应成比例，相似，故D 正确；故选：D .【点睛】本题主要考查了相似形的定义，即对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时成立，缺一不可．3. 二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为（ ） x… ﹣1 0 1 2 … y… 0 3 4 3 …A. （﹣1，0）B. （0，3）C. （1，4）D. （2，3） 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的对称性解答即可．【详解】解：∵x＝0、x ＝2时的函数值都是3，∴函数图象的对称轴为直线x ＝＝1， 022+∴顶点坐标为（1，4）．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．4. 如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则这个油桶的底0.5m WY =XY WY ⊥面半径是（ ）A. B. C. D.0.25m 0.5m 0.75m 1m【答案】B【解析】【分析】设圆心为O ，连接OX ，OW ，由切线的性质可得，，可知四边OW WY ⊥OX XY ⊥形为正方形，则可知．OXYW OX WY =【详解】如图：设圆心为O ，连接OX ，OW ，由题意可知、为圆的切线，XY YW ，，且，∴OW WY ⊥OX XY ⊥XY YW ⊥OW OX =四边形为正方形∴OXYW∴0.5OX WY m ==即油桶的底面圆的半径为0.5m 故选：B ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的判定和性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题关键．5. 一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号为1，2，3，5，从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 581251214【答案】A 【解析】【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 105=168故选：A 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．6. 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E 是边AC 上一点，AE ＝5，ED⊥AB，垂足为点D ，则AD 的长是（ ）A. 16B.C. 6D. 4254【答案】D【解析】 【分析】由题意可得∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，从而可判定△ADE∽△ACB，由相似三角形的性质得出比例式，再将相关线段的长代入计算即可得出答案．【详解】解：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AD∶AC＝AE∶AB，∵AB＝10，AC ＝8，AE ＝5，∴AD∶8＝5∶10，∴AD＝4．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．7. 在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）O ABCDNPMQ NPMR NHMQA. 四边形B. 四边形C. 四边形D. 四边形NHMR【答案】A【解析】【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．ABCD NPMQ【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．故选：A【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形．8. 如图，在▱OABC中，∠A＝60°，将▱OABC绕点O逆时针旋转得到▱OA′B'C′，且∠A'OC ＝90°，设旋转角为α（0°＜α＜90°），则α的大小为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】A【解析】【分析】设A′O 与AB 相交于点D ，由平行四边形的性质再结合已知条件可求出∠ODA＝90°，因为∠A＝60°，所以可求出∠A′OA 的度数，即旋转角为α的度数．【详解】解：设A′O 与AB 相交于点D ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB∥OC，∴∠ODA＝∠A′OC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠A′OA＝90°﹣60°＝30°，∴旋转角为α＝30°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．9. 设函数y ＝a （x﹣h）2+k （a ，h ，k 是实数，a≠0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（ ）A. 若h ＝4，则a ＜0B. 若h ＝5，则a ＞0C. 若h ＝6，则a ＜0D. 若h ＝7，则a ＞0【答案】C【解析】【分析】当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8；代入函数式整理得a （9﹣2h）＝1，将h 的值分别代入即可得出结果． 【详解】解：当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8；代入函数式得：， 221(1)8(8)a h k a h k ⎧=-+⎨=-+⎩∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a （9﹣2h）＝1，若h ＝4，则a ＝1，故A 错误；若h ＝5，则a ＝﹣1，故B 错误；若h ＝6，则a ＝﹣，故C 正确； 13若h ＝7，则a ＝﹣，故D 错误； 15故选：C ． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是把坐标代入求出a,h 的关系，进而求解．10. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2.5m ，水面宽度增加（ ）A. 1 mB. 2 mC. 3 mD. 6 m【答案】B【解析】 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），设顶点式y=ax 2+2，把A 点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5，∴抛物线解析式为y=﹣0.5x 2+2，当水面下降2.5米，把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x 2+2，解得：x=±3，2×3﹣4=2，所以水面下降2.5m ，水面宽度增加2米，故选B ．11. 如图，已知BC 是⊙O 的直径，半径OA⊥BC，点D 在劣弧AC 上（不与点A ，点C 重合），BD 与OA 交于点E ．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）A. 3α+β＝180°B. 2α+β＝180°C. 3α﹣β＝90°D.2α﹣β＝90°【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．【详解】解：∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．12. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点B（x2，y2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）；③若y2＞y1，则x2＞4；④若0≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a．其中，正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】 【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出﹣4a＝a+b+c ，b ＝﹣2a，c ＝﹣3a，则可对①进行判断；抛物线解析式为y ＝ax 2﹣2ax﹣3a，配成交点式得y ＝a （x﹣3）（x+1），可对②进行判断；根据二次函数对称性和二次函数的性质可对③进行判断；计算x ＝4时，y ＝5a ，则根据二次函数的性质可对④进行判断．【详解】解：①∵二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4a）， ∴x＝﹣＝1，且﹣4a＝a+b+c ， 2b a∴b＝﹣2a，c ＝﹣3a，∵抛物线开口向上，则a ＞0，∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a ＞0，故结论①正确；②∵b＝﹣2a，c ＝﹣3a，∴y＝ax 2﹣2ax﹣3a＝a （x﹣3）（x+1），∴抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点（﹣1，0），（3，0），故结论②正确；③∵点A （4，y 1）关于直线x ＝1的对称点为（﹣2，y 1），∴当y 2＞y 1，则x 2＞4或x 2＜﹣2，故结论③错误；④当x ＝4时，y 1＝16a+4b+c ＝16a﹣8a﹣3c＝5a ，∴当0≤x 2≤4，则﹣4a≤y 2≤5a，故结论④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质的相关知识并能灵活运用所学知识求解是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是___．【答案】． 13【解析】 【详解】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为． 261313考点：列表法与树状图法．14. 已知正六边形的半径是3，则这个正六边形的边长是______．【答案】3【解析】【分析】先根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出∠BOC 的度数，判断出△BOC 为等边三角形即可求出答案．【详解】解：如图所示，连接OB 、OC ，∵此六边形是正六边形，∴∠BOC==60°， 3606∵OB=OC=3， ∴△BOC 是等边三角形，∴OB=OC=BC=3，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，等边三角形的判定和性质，根据题意画出图形，作出辅助线，由正六边形的性质判断出△BOC 的形状是解答此题的关键．15. 如图，在△ABC 中，点D ，E 在AC 边上，且AE ＝ED ＝DC ．点F ，M 在AB 边上，且，延长FD 交BC 的延长线于点N ，则的值＝_____． ////EF DM BC EF BN【答案】 14【解析】【分析】首先证明，再利用全等三角形的性质证明EF ＝CN 即可解决问题．13EF BC ＝∶∶【详解】解：，////EF DM BC AE DE CD ，＝＝∴， 13EF AE BC AC ==在与中，EFD △CND △，EDF CDN FED NCD ED DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， EFD CND AAS ∴ ≌（），EF CN ∴＝，13CN BC ∴∶＝∶，1CN BN ∴＝∶∶4， ∴14EF BN =故答案为． 14【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，关键在于熟练掌握两个知识点的基本性质和定理，该类型题属常考题．16. 已知圆锥的底面半径为40cm ， 母线长为90cm ， 则它的侧面展开图的圆心角为_______．【答案】160︒【解析】【分析】圆锥的底面半径为40cm ，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm，母线长为90cm 即侧面展开图的扇形的半径长是90cm ．根据弧长公式即可计算．【详解】根据弧长的公式l=得到： 180n r π80π=， •90180n π解得n=160度．侧面展开图的圆心角为160度．故答案为160°．17. 对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y ＝x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是_____．【答案】c ＜﹣2【解析】【分析】由函数的不动点概念得出x 1、x 2是方程x 2+2x+c ＝x 的两个实数根，由x 1＜1＜x 2知△＞0且x ＝1时y ＜0，据此得，解之可得． 140110c c ->⎧⎨++<⎩【详解】解：由题意知二次函数y ＝x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1、x 2是方程x 2+2x+c ＝x 的两个不相等实数根，且x 1＜1＜x 2，整理，得：x 2+x+c ＝0，由x 2+x+c ＝0有两个不相等的实数根，且x 1＜1＜x 2，知△＞0，令y ＝x 2+x+c ，画出该二次函数的草图如下：则， 140110c c ->⎧⎨++<⎩解得c ＜﹣2，故答案为：c ＜﹣2．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c 的不等式．18. 已知正方形的边长为6，是边的中点．ABCD O BC（Ⅰ）如图①，连接，则的长为______．AO AO （Ⅱ）如图②，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋E 2OE =DE DE D 转90°得．则线段长的最小值为______．DF OF【答案】 ①. ； ②. ；2-【解析】【分析】（Ⅰ）根据勾股定理可求的长；AO （Ⅱ）连接DO ，将△DOE 绕点D 逆时针旋转90°得△DGF，过点G 作DC 的垂线，垂足为M ，过点O 作BC 的垂线，交直线GM 于点N ，连接OG ，求出OG 长，再根据三角形三边关系可求OF 最小值．【详解】（Ⅰ）∵正方形的边长为6，是边的中点，ABCD O BC ∴OB=OC=3，=故答案为：；（Ⅱ）连接DO ，将△DOE 绕点D 逆时针旋转90°得△DGF，过点G 作DC 的垂线，垂足为M ，过点O 作BC 的垂线，交直线GM 于点N ，连接OG ，由旋转可知，GF=OE=2，DO=DG ，∠OEG=90°，∴∠GDM+∠ODC=90°，∵∠DOC+∠ODC=90°，∴∠DOC=∠GDM，∵∠C=∠GMD，∴△DOC≌△GDM，∴DM=OC=3，GM=DC=6,由辅助线作法可知，四边形CMNO 是矩形，∵CM=OC=3，∴矩形CMNO 是正方形，ON=MN=3，，=∵OF≥OG-GF，∴OF 的最小值为OG-GF =；2-故答案为：．2-【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质和最小值问题，解题关键是构造手拉手全等模型，转化确定线段的取值范围．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 已知2是方程的一个根，求常数的值及该方程的另一根．20x c -=c 【答案】，方程另一个根为-24c =【解析】【分析】将x=2代入原方程，可求出c 的值，进而可通过解方程求出另一根．【详解】解：是方程的一个根，2x = 20x c -=，220c ∴-=解得，4c =∴方程为．，240x -=24x =∴，，12x =22x =-该方程的另一个根是－2.∴【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解题关键．20. 已知，中，，是上的点，． O AB BC=D O OC BD ⊥（1）如图①，求证；AB CD =（2）如图②，连接，，，，若，求，的大小．AB BC CD DA 70A ∠=︒BCD ∠ADB ∠【答案】（1）见解析；（2）；110BCD ∠=︒35ADB ∠=︒【解析】【分析】（1）利用垂径定理证明，再根据即可证明； BC CD = AB BC= AB CD =（2）先利用圆的内接四边形的性质求出的大小，再根据垂径定理和同弧所对的圆周BCD ∠角相等即可求出和的大小．BCD ∠ADB ∠【详解】解：（1）中，，O OC BD ⊥． BCCD ∴=， AB BC= ．C ABD ∴=（2）四边形是圆内接四边形，ADCB ．180A BCD ∴∠+∠=︒．180********BCD A ∴︒∠=-∠=-=︒︒︒中，，O OC BD ⊥． BCCD ∴=． 1801801103522BCD CDB CBD ︒︒︒︒-∠-∴∠=∠===， AB BC = ．35ADB CDB ︒∴∠=∠=【点睛】本题主要考查垂径定理和圆的内接四边形的性质，以及圆周角和弧长的关系，属于简单题型．21. 已知⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2．（1）如图①，点P 是上一点，求∠APC 的大小； BC（2）如图②，过点C 作⊙O 的切线MC ，过点B 作BD⊥MC 于点D ，BD 与⊙O 交于点E ，求∠DCE 的大小及CD 的长．【答案】（1）30°；（2）∠DCE＝30°，CD【解析】【分析】（1）连接OC ，由AB 为⊙O 的直径，AB ＝2AC ，得到△AOC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC＝60°，于是得到结论；（2）连接OE ，OC ，根据切线的性质得到MC⊥OC，得到△EOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠EOB＝60°，求得∠COE＝180°﹣∠EOB﹣∠AOC＝60°，推出△OCE 是等边三角形，于是得到CE ＝OC ＝2，∠EOC＝60°，根据勾股定理于是得到结论．【详解】解：（1）连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝2AC ，∴OA＝OC ＝AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC＝60°， ∴∠APC＝AOC ＝30°； 12（2）连接OE ，OC ，∵MC 是⊙O 的切线，∴MC⊥OC，∵BD⊥MC，∴∠MCO＝∠CDB＝90°，∴BD∥OC，∴∠B＝∠AOC＝60°，∵OB＝OE ，∴△EOB 是等边三角形，∴∠EOB＝60°，∴∠COE＝180°﹣∠EOB﹣∠AOC＝60°，∵OC＝OE ，∴△OCE 是等边三角形，∴CE＝OC ＝2，∠EOC＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠ECO＝30°，在Rt△COE 中，CE ＝2，∴DE＝CE ＝1，12【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22. 一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，求两条直角边的长．7cm 26cm 【答案】，3cm 4cm 【解析】【分析】首先设一条直角边为xcm ，然后根据三角形的面积列出方程，从而求出x 的值，得出答案．【详解】解：设一条直角边为xcm ，则另一条直角边的长为，(7)cm x -根据题意得： ， 1(7)62x x -=整理得: ，27120x x -+=解得：，123,4x x ==当时，．3x =74x -=当时，．4x =73x -=答：这两条直角边的长分别为3cm 和4cm ．【点睛】本题考查一元二次方程在几何图形中运用，掌握根据面积列一元二次方程，及其解方程的方法．23. 如图，已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．设ABCD 36cm CD 矩形的一边的长为，旋转形成的圆柱的侧面积为．AB cm(0)x x >2cm S（1）用含的式子表示：x矩形的另一边的长为______；旋转形成的圆柱的底面圆的周长为______．BC cm cm （2）求关于的函数解析式及自变量的取值范围；S x x （3）求当取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；x （4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于，则矩形的长是______，宽是______218cm πcm ．cm 【答案】（1），；（2）；（3）；(18)x -2(18)x π-2=236(018)S x x x ππ-+<<9x =（4），(9+(9-【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，圆的周长公式求解即可．（2）根据圆柱的侧面积公式求解即可．（3）利用二次函数的性质求解即可．（4）构建方程求解即可．【详解】解：（1）BC=（36-2x ）=（18-x ）cm ，12旋转形成的圆柱的底面圆的周长为2π（18-x ）cm ．故答案为：，；(18)x -2(18)x π-（2）22(18)236(018)S x x x x x πππ=-⋅=-+<<（3）222362(9)162S x x x ππππ=-+=--+∵-2π＜0，∴当时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大：9x =（4）由题意：-2πx 2+36πx=18π，∴x 2-18x+9=0，解得或（舍弃），∴矩形的长是（）cm ，宽是（）cm ．故答案为：，．(9+(9-【点睛】本题考查圆柱的计算，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24. 在△ABC 中，∠ACB＝90°，CA ＝CB ＝2，点P 是边AB 的中点，连接CP ． （1）如图①，∠B 的大小＝ （度），AB 的长＝ ，CP 的长＝ ；（2）延长BC 至点O ，使OC ＝2BC ，将△ABC 绕点O 逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△A'B'C'，点A ，B ，C ，P 的对应点分别为A'，B'，C'，P'．①图②，当α＝30°时，求点C′到直线OB 的距离及点C'到直线AB 的距离；②当C′P'与△ABC 的一条边平行时，求点P'到直线AC 的距离（直接写出结果即可）．【答案】（1）45，；（2）①点C′到直线OB 的距离为2，点C′到直线AB 的距离为或或5【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质求解即可．（2）①过点C′作C′D⊥OB，垂足为点D ，过点C′作C′E⊥AB，交BA 的延长线于点E ，连接AC′，解直角三角形求出C′D，C′E 即可．②分三种情形：如图③﹣1中，当P′C′∥AC 时，延长P′C′交OB 于H ．如图③﹣2中，如图当P′C′∥AB 时，过点P′作P′H⊥OB 交BO 的延长线于H ，交A′C′于T ．如图③﹣3中，当P′C′∥BC 时，延长B′A′交BO 于H ，分别画出图形求解即可．【详解】解：（1）在△ABC 中，∠ACB＝90°，CA ＝CB ＝2，∴∠B＝∠A＝45°，∵sinB＝， CA AB∴AB＝，∵点P 是边AB 的中点，∴CP＝， 12AB故答案为45，．（2）①过点C′作C′D⊥OB，垂足为点D ，过点C′作C′E⊥AB，交BA 的延长线于点E ，连接AC′，∵将△ABC 绕点O 逆时针旋转a 得到△A′B′C′， ∴OC′＝OC ＝2BC ＝2×2＝4，在R△OC′D 中，∠O＝30°， ∴C′D＝OC′＝×4＝2，1212∴点C′到直线OB 的距离为2，OD ＝ 2D 22-∵C′D⊥OB，∠ACB＝90°，∴∠C′DB＝∠ACB＝90°，∴AC∥C′D，∵C′D＝2，AC ＝2，C′D＝AC ，∴四边形C′DCA 是平行四边形，∴C′A＝DC ∴∠EAC'＝∠B＝45°，∠EC′A＝90°﹣∠EAC′＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAC′＝∠EC′A∴C′E＝AE ，在Rt△AC′E 中，∵C′E 2+AE 2＝C′A 2， ∴C′E 2＝， 22C A '）＝．∴点C′到直线AB 的距离为；②如图③﹣1中，当P′C′∥AC 时，延长P′C′交OB 于H ．∵P′H∥AC，∴∠OHC′＝∠ACO＝90°，∵∠OC′H＝∠B′C′P′＝45°，∴OH＝OC′•cos45°＝，．∴点P'到直线AC的距离为．如图③﹣2中，如图当P′C′∥AB时，过点P′作P′H⊥OB交BO的延长线于H，交A′C′于T．由题意四边形OHTC′是矩形，OH＝C′T＝1，∴CH＝OC+OH＝1+4＝5，∴点P'到直线AC的距离为5．如图③﹣3中，当P′C′∥BC时，延长B′A′交BO于H，可得OH＝OB′•cos45°＝，∴CH＝+4，∴点P'到直线AC 的距离为．综上所述，点P'到直线AC 的距离为或或5．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．25. 如图，点A ，B ，C 都在抛物线y ＝ax 2﹣2amx+am 2+2m﹣5（其中﹣＜a ＜0）上，AB∥x 14轴，∠ABC＝135°，且AB ＝4．（1）当m ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）求点C 到直线AB 的距离（用含a 的式子表示）；（3）若点C 到直线AB 的距离为1，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y 的最大值为2，求m 的值．【答案】（1）（1，﹣3）；（2）点C 到直线AB 的距离为﹣；（3）m 的值为或10+241a a 72【解析】【分析】（1）由配方法可求顶点坐标；（2）设点C 到直线AB 的距离为d ，求出点C 坐标，代入解析式可求解；（3）先求出a 值，分三种情况考虑：①当m ＞2m﹣2，即m ＜2时，x ＝2m﹣2时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，x＝m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，x＝2m﹣5时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值．综上即可得出结论．【详解】解：（1）当m＝1时，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax+a﹣3，∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3，∴顶点坐标为（1，﹣3）；（2）如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，∵∠ABC＝135°，∴∠CBD＝45°，∵CD⊥AD，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，∴顶点坐标为（m，2m﹣5），∵AB＝4，∴点B的横坐标为m+2，∵点B在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴y＝a（m+2﹣m）2+2m﹣5＝4a+2m﹣5，∴点B（m+2，4a+2m﹣5），设点C到直线AB的距离为d，∴BD＝CD＝d，∴点C（m+2+d，4a+2m﹣5﹣d），∵点C在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣d＝a（m+2+d﹣m）2+2m﹣5，整理得：ad 2+4ad+d ＝0，∵d≠0， ∴d＝﹣， 41a a+∴点C 到直线AB 的距离为﹣； 41a a +（3）∵点C 到直线AB 的距离为1， ∴﹣＝1， 41a a+∴a＝﹣， 15∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5． 15分三种情况考虑：①当m ＞2m﹣2，即m ＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2， 15整理，得：m 2﹣14m+39＝0，解得：m 1（舍去），m 2＝（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，解得：m ＝； 72③当m ＜2m﹣5，即m ＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2， 15整理，得：m 2﹣20m+60＝0，解得：m 3（舍去），m 4＝．综上所述：m 的值为或． 72【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形，解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用参数求出点C 的坐标；（3）分m ＜2、2≤m≤5及m ＞5三种情况考虑．。
天津市和平区九年级上册期末数学模拟试卷(有答案)【精编】.doc
天津市和平区九年级（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列关于的方程：①a2+b+c=0；②3（﹣9）2﹣（+1）2=1；③+3=；④（a2+a+1）2﹣a=0；⑤=﹣1，其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，任取两个数，恰好互为相反数的概率为（）A．B．C．D．3．下列关于的方程有实数根的是（）A．2﹣+1=0 B．2++1=0 C．（﹣1）（+2）=0 D．（﹣1）2+1=04．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm25．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为，列出方程正确的是（）A．580（1+）2=1185 B．1185（1+）2=580 C．580（1﹣）2=1185 D．1185（1﹣）2=5806．数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则第3个小组被抽到的概率是（）A．B．C．D．7．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2 D．150πcm28．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等9．同一坐标系中，一次函数y=a+1与二次函数y=2+a的图象可能是（）A．B．C．D．10．已知抛物线y=2﹣，它与轴的两个交点间的距离为（）A．0 B．1 C．2 D．411．已知二次函数y=2﹣7﹣7的图象与轴没有交点，则的取值范围为（）A．＞﹣B．≥﹣且≠0 C．＜﹣D．＞﹣且≠012．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、、M、N．设△BPQ，△DM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3=20，则S2的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=﹣（+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是．14．中心角为45°的正多边形的边数是．15．如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点P旋转后所得的图形，则旋转中心P的坐标是．16．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率．17．如图，光P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，已知AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，那么AB与CD间的距离是．18．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM=时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．三、解答题（本大题共7小题，共56分）19．如图，一次函数y1=﹣+2的图象与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣1，3）、B（n，﹣1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）当y1＞y2时，直接写出的取值范围．20．（1）22+8﹣1=0（公式法）（2）2+4﹣5=0（配方法）21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．22．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．23．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格（元/件）满足一个以为自变量的一次函数．（1）求y与满足的函数关系式（不要求写出的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？24．已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是．（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且EH：HO=2：5，则BE的长是多少？25．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，D是斜边AB的中点．点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s．当点Q停止运动时，点P也停止运动．连接PQ、PD、QD．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）当t为何值时，△PQC是等腰直角三角形？（2）设△PQD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使△PQD的面积是Rt△ABC的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使QD⊥PD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．天津市和平区九年级（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列关于的方程：①a2+b+c=0；②3（﹣9）2﹣（+1）2=1；③+3=；④（a2+a+1）2﹣a=0；⑤=﹣1，其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．【解答】解：①当a=0时，a2+b+c=0是一元一次方程；②3（﹣9）2﹣（+1）2=1是一元二次方程；③+3=是分式方程；④（a2+a+1）2﹣a=0是一元二次方程；⑤=﹣1是无理方程，故选：B．2．在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，任取两个数，恰好互为相反数的概率为（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据题意画出树状图，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：由题意画树状图得：，一共有30种可能，符合题意的有4种，故恰好互为相反数的概率为：．故选：A．3．下列关于的方程有实数根的是（）A．2﹣+1=0 B．2++1=0 C．（﹣1）（+2）=0 D．（﹣1）2+1=0【考点】根的判别式．【分析】分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；C、﹣1=0或+2=0，则1=1，2=﹣2，所以C选项正确；D、（﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．故选：C．4．如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A．2cm2 B．4cm2 C．8cm2 D．16cm2【考点】相似多边形的性质．【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．【解答】解：长为8cm、宽为4cm的矩形的面积是32cm2，留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，相似比是4：8=1：2，因而面积的比是1：4，因而留下矩形的面积是32×=8cm2．故选：C．5．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为，列出方程正确的是（）A．580（1+）2=1185 B．1185（1+）2=580 C．580（1﹣）2=1185 D．1185（1﹣）2=580【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．【解答】解：设平均每次降价的百分率为，由题意得出方程为：1185（1﹣）2=580．故选：D．6．数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则第3个小组被抽到的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案．【解答】解：第3个小组被抽到的概率是，故选：A．7．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2 D．150πcm2【考点】扇形面积的计算．【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．【解答】解：∵AB=25，BD=15，∴AD=10，=2×（﹣）∴S贴纸=2×175π=350πcm2，故选B．8．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【考点】圆的认识．【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．故选B．9．同一坐标系中，一次函数y=a+1与二次函数y=2+a的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，1），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选C．10．已知抛物线y=2﹣，它与轴的两个交点间的距离为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】抛物线与轴的交点．【分析】根据解方程2﹣=0抛物线与轴的两交点坐标，然后利用两点间的距离公式求出两交点间的距离．【解答】解：当y=0时，2﹣=0，解得1=0，2=2，则抛物线与轴的两交点坐标为（0，0），（2，0），所以抛物线与轴的两个交点间的距离为2．故选C．11．已知二次函数y=2﹣7﹣7的图象与轴没有交点，则的取值范围为（）A．＞﹣B．≥﹣且≠0 C．＜﹣D．＞﹣且≠0【考点】抛物线与轴的交点．【分析】y=2﹣7﹣7的图象与轴无交点，当图象在轴上方时，，当图象在轴下方时，，由此能够求出的取值范围．【解答】解：∵y=2﹣7﹣7的图象与轴无交点，∴当图象在轴上方时，，∴，解为空集．当图象在轴下方时，，∴，∴＜﹣．∴的取值范围是{|＜﹣}，故选C．12．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、、M、N．设△BPQ，△DM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3=20，则S2的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由条件可证明△BPQ∽△DM∽△CNH，且能求得其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合条件可求得S2．【解答】解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP=∠DM=∠CHN，∴BE∥DF∥CG∴∠BPQ=∠DM=∠CNH，∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，∴==，==，∴△BPQ∽△DM∽△CNH，∴=，∴=，=，∴S2=4S1，S3=9S1，∵S1+S3=20，∴S1=2，∴S2=8．故选B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=﹣（+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（﹣5，﹣2）．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．【分析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．【解答】解：∵将抛物线y=﹣（+3）2+1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的解析式为：y=﹣（+3+2）2+1﹣3．即：y=﹣（+5）2﹣2，则平移后的抛物线的顶点坐标为：（﹣5，﹣2）．故答案为：（﹣5，﹣2）．14．中心角为45°的正多边形的边数是8．【考点】正多边形和圆．【分析】根据n边形的中心角的度数是即可求解．【解答】解：正多边形的边数是：=8．故答案是：8．15．如图，在平面直角坐标系中，三角形②是由三角形①绕点P旋转后所得的图形，则旋转中心P的坐标是（0，1）．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质确定出点P的位置，再写出坐标即可．【解答】解：旋转中心P的位置如图所示，∴点P的坐标为（0，1）．故答案为：（0，1）．16．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名同学的植树总棵数为19的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如图：∵共有16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果，∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为，故答案为：．17．如图，光P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，已知AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是2.7m，那么AB与CD间的距离是 1.8m．【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】根据AB∥CD，易得，△PAB∽△PCD，根据相似三角形对应高之比等于对应边之比，列出方程求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，假设CD到AB距离为，则，又∵AB=2，CD=6，∴∴=1.8．故答案为：1.8m18．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM=或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据题意不难确定Rt△AED的两直角边AD=2AE．再根据相似的性质及变化，可考虑Rt△MCN的两直角边MC、NC间的关系满足是或2倍．求得CM的长．【解答】解：设CM的长为．在Rt△MNC中∵MN=1，∴NC=，①当Rt△AED∽Rt△CMN时，则，即，解得=或=（不合题意，舍去），②当Rt△AED∽Rt△CNM时，则，即，解得=或（不合题意，舍去），综上所述，当CM=或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．故答案为：或．三、解答题（本大题共7小题，共56分）19．如图，一次函数y1=﹣+2的图象与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣1，3）、B（n，﹣1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）当y1＞y2时，直接写出的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把A点坐标代入可求出m的值，从而得到反比例函数解析式；（2）利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，3）代入可得m=﹣1×3=﹣3，所以反比例函数解析式为y=﹣；（2）把B（n，﹣1）代入y=﹣得﹣n=﹣3，解得n=3，则B（3，﹣1），所以当＜﹣1或0＜＜3，y1＞y2．20．（1）22+8﹣1=0（公式法）（2）2+4﹣5=0（配方法）【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）公式法求解可得；（2）配方法求解可得．【解答】解：（1）∵a=2，b=8，c=﹣1，∴△=64﹣4×2×（﹣1）=72＞0，则==；（2）∵2+4﹣5=0，∴2+4+4=9，∴（+2）2=9，∴+2=±3，∴1=﹣5，2=1；21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．【分析】（1）MN 是⊙O 切线，只要证明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC 以及BC ，根据S 阴=S 扇形OAC ﹣S △OAC 计算即可．【解答】解：（1）MN 是⊙O 切线．理由：连接OC ．∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵∠BOC=∠A +∠OCA=2∠A ，∠BCM=2∠A ，∴∠BCM=∠BOC ，∵∠B=90°，∴∠BOC +∠BCO=90°，∴∠BCM +∠BCO=90°，∴OC ⊥MN ，∴MN 是⊙O 切线．（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，∴∠AOC=120°，在RT △BCO 中，OC=OA=4，∠BCO=30°，∴BO=OC=2，BC=2∴S 阴=S 扇形OAC ﹣S △OAC =﹣=﹣4．22．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长测量一路灯D 的高度．如图，当李明走到点A 处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE 正好相等；接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m）．【考点】相似三角形的应用；中心投影．【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【解答】解：设CD长为米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，∴MA∥CD∥BN，∴EC=CD=，∴△ABN∽△ACD，∴=，即=，解得：=6.125≈6.1．经检验，=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米23．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格（元/件）满足一个以为自变量的一次函数．（1）求y与满足的函数关系式（不要求写出的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【分析】（1）设y与满足的函数关系式为：y=+b．，由题意可列出和b的二元一次方程组，解出和b的值即可；（2）根据题意：每天获得的利润为：P=（﹣3+108）（﹣20），转换为P=﹣3（﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．【解答】解：（1）设y与满足的函数关系式为：y=+b．由题意可得：解得答：y与的函数关系式为：y=﹣3+108．（2）每天获得的利润为：P=（﹣3+108）（﹣20）=﹣32+168﹣2160=﹣3（﹣28）2+192．∵a=﹣3＜0，∴当=28时，利润最大，答：当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．24．已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是相等且垂直．（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且EH：HO=2：5，则BE的长是多少？【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据题意及图示即可得出OE、OF的数量关系：相等，位置关系：垂直；（2）根据题意及图示可证明△OEB≌△OFC，故成立；（3）根据题意及图示，还有所给比例关系即可得出答案．【解答】解：（1）数量关系：相等，位置关系：垂直故答案为相等且垂直．（2）成立，理由如下：∵△MPN是直角三角形，∴∠MPN=90°．连接OB，∴∠OBE=∠C=45°，∵△ABC，△MPN是直角三角形，PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠ABC=∠MPN=∠BEP=∠BFP=90°，∴四边形EBFP是矩形，∴BE=PF∵PF=CF，∴BE=CF，∵OB=OC=AC，∴在△OEB和△OFC中，∴△OEB≌△OFC（SAS），故成立，（3）如图，找BC的中点G，连接OG，∵O是AC中点，∴OG∥AB，OG=AB，∵AB=6，∴OG=3，∵OG∥AB，∴△BHE∽△GOH，∵EH：HO=2：5，∴BE：OG=2：5，而OG=AB=3，∴BE=．25．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，D是斜边AB的中点．点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s．当点Q停止运动时，点P也停止运动．连接PQ、PD、QD．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．（1）当t为何值时，△PQC是等腰直角三角形？（2）设△PQD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使△PQD的面积是Rt△ABC的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使QD⊥PD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可知CQ=CP，解得结果；（2）过Q作QF⊥AB，交AB于，过点P作PE⊥AB，易得Rt△AQF∽Rt△ABC，由相似三角形的性质可得==，可得QF，BE，同理可得PE，BE，利用三角形的面积公式可得y与t之间的函数关系式，由△PQD的面积是Rt△ABC的面积的，可解得t；（3）由勾股定理可得QD2，PD2，PQ2，因为PD⊥QD，利用勾股定理可得PQ2=QD2+PD2，解得t．【解答】解：（1）∵△PQC是等腰直角三角形，∴CQ=CP，∴8﹣2t=6﹣tt=2 （秒）；（2）过Q作QF⊥AB，交AB于，过点P作PE⊥AB，∵∠A=∠A，∠AFQ=∠ACB=90°，∴Rt△AQF∽Rt△ABC，∴==，∵BC=6，AC=8，AB=10，AQ=2t，∴QF=，AF=t同理可得：PE=，BE=，∴y=﹣×（8﹣2t）﹣=﹣t2+5t；∵△PQD的面积是Rt△ABC的面积的，∴﹣t2+5t=6，解得：t1=3，t2=2，答：当t=3秒或t=2秒时，△PQD的面积是Rt△ABC的面积的；（3）∵，同理可得：，PQ2=（8﹣2t）2+（6﹣t）2，当PD⊥QD时，PQ2=QD2+PD2，此时，t=（秒），答：当t=时，PD⊥QD．21。
【区级联考】天津市和平区九年级上学期期末考试数学试题(原卷版)
天津市和平区九年级上学期期末考试数学试题一、选择题：1. 下列标志中，可以看作是中心对称图形的是A. B. C. D.2.掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是（）A. 1B.C.D. 03.如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )A. B. C. D.4.将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A. y=﹣5（x+1）2﹣1B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1C. y=﹣5（x+1）2+3D. y=﹣5（x﹣1）2+35.反比例函数的图象经过点，，当时，的取值范围是（）A. B. C. D.6.如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A. (2，1)B. (2，0)C. (3，3)D. (3，1)7.在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是A. B. C. D.8. （3分）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABCC. D.9.如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接、、，若，则的大小为（）A. B. C. D.10.若点都是反比例函数的图象上的点，并且，则下列各式中正确的是（（）A. B. C. D.11.当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为（）A. ﹣2B. 4C. 4或3D. ﹣2或312.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0；②﹣1≤a≤；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13.如图，点、、是上的三点，，则的大小为__________度．14.已知是的反比例函数，当时，，则当时，的值是__________．15.如图，直线，直线分别交、、于点、、，直线分别交、、于点、、，与相交于点，且，，，则的值为______．16.一个透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率是____.17.如图，点是外一点，切于点，交于、两点，连接，则与的位置关系是__________；__________（填“>”、“<”或“=”号）18.在中，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到（1）如图①，当时，旋转角__________度；（2）如图②，取的中点，的中点，连接，已知，当__________度时，的长度最大，最大值为__________.三、解答题19.已知关于的一元二次方程的一个根是1，求的值及该方程的另一根.20.已知四边形内接于，，连接、（1）如图1，若，求的大小；（2）如图2，若点在对角线上，且，，求的大小.21.如图，是的直径，是上一点，，（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长.22.注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答。
天津市和平区学年度第一学期九年级数学期末试卷
天津市和平区学年度第一学期九年级数学期末试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
试卷满分120分。
考试时间100分钟。
第I 卷（选择题 共30分）一. 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ︒+︒30cos 60sin 的值是（ ）A.43 B. 23 C. 3 D. 1 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，若AE=2，CD=8，则⊙O 的半径为（ ） A.4 B.5 C. 8 D. 103. 已知一次函数的图象过（1,1-）、（5,1-）两点，则它的函数解析式为（ ） A. 23+-=x y B. 32-=x y C. 23--=x y D. 32+-=x y4. 如图，在⊙O 中，已知圆心角︒=∠100AOB ，则圆周角ACB ∠的度数等于（ ） A. ︒100 B. ︒120 C. ︒130 D. ︒1505. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，3tan ,1==A b ，则c 的长为（ ） A. 2 B. 5 C. 22 D. 106. 如图，四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 和⊙O 分别相切于点L 、M 、N 、P 。
若四边形ABCD 的周长为20，则CD AB +等于（ ）A. 5B. 8C. 10D. 127. 二次函数322-+-=x x y 图象的顶点坐标是（ ）A. )2,1(-B. )4,1(-C. )2,1(-D. )6,1(--8. 如图，半径分别为21r r 、的⊙O 1、⊙O 2相外切，AB 为两圆的外公切线，O 1O 2为连心线，若︒=∠6021O AO ，61=r ，则2r 等于（ ）A. 3B. 2C. 1.5D. 19. 如图，在xy 2=（0>x ）的图象上有三点A 、B 、C ，过这三点分别向x 轴引垂线，垂足分别为C B A '''、、，连结OA 、OB 、OC ，记C CO B BO A AO '∆'∆'∆、、的面积为S 1、S 2、S 3，则有（ ）A. 321S S S >>B. 321S S S <<C. 213S S S <<D. 321S S S ==10. 如图，在正方形ABCD 内，以D 点为圆心，AD 长为半径的弧与以BC 为直径的半圆交于点P ，延长CP 、AP 交AB 、BC 于点M 、N 。
2023-2024学年天津市和平区九年级上册期末数学质量检测卷(含答案)
2023-2024学年天津市和平区九年级上册期末数学质量检测卷一、选一选：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只要一项是符合标题要求的．1．下列四个图形中，是对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x ＝－2的是（）A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =-3．如图，将△AOB 绕点O 逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′，若∠AOB ＝10°，则∠AOB ′的度数是（）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°4．对于二次函数y ＝2（x ＋1）（x －3），下列说确的是（）A ．图象的开口向下B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小C ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线x ＝－15．将抛物线222y x x =-+先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A ．（－2，3）B ．（－1，4）C ．（3，4）D ．（4，3）6．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”，将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．237．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（）A ．B ．4C ．D ．8．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似，在象限内将线段AB 减少为原来的12后得到线段CD ，则点B 的对应点D 的坐标为（）A ．（3，3）B ．（1，4）C ．（3，1）D ．（4，1）9．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点M ，交⊙O 于点D ．则图中类似三角形共有（）A ．2对B ．4对C ．6对D ．8对10．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD AB ∥，若⊙O 的半径为52，CD ＝4，则弦AC 的长为（）A ．25B ．32C ．4D ．2311．（3分）一个不透明的袋子装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相反，任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是（）A ．16B ．29C ．13D ．2312．如图是抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③()24b a c n =-；④一元二次方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为______．14．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝50°，则∠BAC ＝______．15．若圆锥的底面半径为2cm ，母线长为3cm ，则它的侧面积为______．16．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延伸线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝______．三、解答题：本大题共4小题，共36分，解答应写出文字阐明、演算步骤或推理过程．17、（8分）已知关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是1，求该方程的另一个根．18．（10分）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且DE ＝CE ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延伸线交于点F ．（1）求证：CD BF ∥；（2）若⊙O 的半径为6，∠A ＝35°，求 DBC 的长．19．（8分）留意：为了使同窗们地解答本题，我们提供了一种解题思绪，你可以按照这个思绪按上面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题，此时不必填空，只需按解答题的普通要求进行解答．参加商品买卖会的每两家公司之间都签订了一份合同，一切公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品买卖会？设共有x家公司参加商品买卖会．（Ⅰ）用含x的代数式表示：每家公司与其他______家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以一切公司共签订了______份合同；（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．20．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为3 3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）点P与水面的距离是______m；（2）求这条抛物线的解析式；（3）水面上升1m，水面宽是多少？参考答案与试题解析一、选一选：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只要一项是符合标题要求的．1．C2．【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．【解答】解：()22y x =+的对称轴为x ＝－2，A 正确；222y x =-的对称轴为x ＝0，B 错误；222y x =--的对称轴为x ＝0，C 错误；()222y x =-的对称轴为x ＝2，D 错误．故选：A ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．3．【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．【解答】解：∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ′OB ′，∴∠A ′OA ＝45°，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝10°，∴∠AOB ′＝∠A ′OA －∠A ′OB ′＝45°－10°＝35°，故选：C ．【点评】此题次要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A ′OA ＝45°，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝10°是解题关键．4．【分析】先把二次函数化为顶点式的方式，再根据二次函数的性质进行解答．【解答】解：二次函数y ＝2（x ＋1）（x －3）可化为()2218y x =--的方式，A 、∵此二次函数中a ＝2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；B 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误；C 、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x ＝1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确；D 、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x ＝1，故本选项错误．故选：C ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数化为顶点式的方式是解答此题的关键．5．【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．【解答】解：∵()222211y x x x =-+=-+，∴先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为()243y x =-+，∴顶点坐标为（4，3），故选：D ．【点评】本题次要考查函数图象的平移，求得平移后抛物线的解析式是解题的关键．6．A7．【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【解答】解：连接OA ，作OM ⊥AB ，得到∠AOM ＝30°，∵圆内接正六边形ABCDEF 的周长为24，∴AB ＝4，则AM ＝2，因此cos30OM OA =⋅︒=A ．【点评】此题次要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．8．【分析】利用位似图形的性质，两图形的位似比，进而得出D 点坐标．【解答】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似，在象限内将线段AB 减少为原来的12后得到线段CD ，∴点D 的横坐标和纵坐标都变为B 点的一半，∴点D 的坐标为：（4，1）．故选：D ．【点评】此题次要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似，类似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k ．9．【分析】类似三角形的判定成绩，只需两个对应角相等，两个三角形就是类似三角形．【解答】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，BD ＝CD ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠DBC ＝∠DCB ，又∵∠BDA ＝∠MDB ，∠CDA ＝∠MDC ，∴△ABD ∽△BDM ；△ADC ∽△CDM ；∵∠CAD ＝∠CBD ，∠AMC ＝∠BMD ，∴△AMC ∽△BMD ，∵∠BAD ＝∠MCD ，∠AMB ＝∠CMD ，∴△ABM ∽△CDM ，∵∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠DAC ，∴△ABM ∽△ADC ，∵∠ACB ＝∠ADB ，∠BAD ＝∠CAD ，∴△ACM ∽△ADB ，∴共有六对类似三角形，故选：C ．【点评】此题次要考查了类似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形类似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形类似；（3）三边对应成比例的两个三角形类似．10．【分析】首先连接AO 并延伸，交CD 于点E ，连接OC ，由直线AB 与⊙O 相切于点A ，根据切线的性质，可得AE ⊥AB ，又由CD AB ∥，可得AE ⊥CD ，然后由垂径定理与勾股定理，求得OE 的长，继而求得AC 的长．【解答】解：连接AO 并延伸，交CD 于点E ，连接OC ，∵直线AB 与⊙O 相切于点A ，∴EA ⊥AB ，∵CD AB ∥，∠CEA ＝90°，∴AE ⊥CD ，∴114222CE CD ==⨯=，∵在Rt △OCE 中，32OE ==，∴AE ＝OA ＋OE ＝4，∴在Rt △ACE 中，AC ==A ．【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及平行线的性质．此题难度适中，正确的添加辅助线是解题的关键．11．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得一切等可能的结果与两次摸出的球所标数字之和为6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球所标数字之和为6的有：（1，5），（3，3），（5，1），∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率是：3193=．故选：C ．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．留意树状图法与列表法可以不反复不遗漏的列出一切可能的结果，列表法合适于两步完成的；树状图法合适两步或两步以上完成的；解题时要留意此题是放回实验．12．【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（－2，0）和（－1，0）之间，则当x ＝－1时，y ＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，即b ＝－2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b n a-=，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，则抛物线与直线y ＝n －1有2个公共点，于是可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（－2，0）和（－1，0）之间．∴当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，即b ＝－2a ，∴3a ＋b ＝3a －2a ＝a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），∴244ac b n a-=，∴()2444b ac an a c n =-=-，所以③正确；∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n －1有2个公共点，∴一元二次方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2y ax bx c =++（a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的地位：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点地位：抛物线与y 轴交于（0，c ）：抛物线与x 轴交点个数由△决定：240b ac ∆=->时，抛物线与x 轴有2个交点；240b ac ∆=-=时，抛物线与x 轴有1个交点；240b ac ∆=-<时，抛物线与x 轴没有交点．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．2【分析】△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，可得∠DEA ＝∠DEA ′＝90°，AE ＝A ′E ，所以，△ACB ∽△AED ，A ′为CE 的中点，所以，可运用类似三角形的性质求得．【解答】解：∵△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，∴∠DEA ＝∠DEA ′＝90°，AE ＝A ′E ，∴△ACB ∽△AED ，又A ′为CE 的中点，∴ED AE BC AC =，即163ED =，∴ED ＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换和类似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角形类似，各边之比就是类似比．14．25°【分析】连接OB ，根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理得到∠AOB ＝180°－∠P ＝130°，再根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得∠BAC 的度数．【解答】解：连接OB ，∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∴∠AOB ＝360°－∠P －∠PAO －∠PBO ＝130°，∵OA ＝OB ，∴∠BAC ＝25°．【点评】此题综合运用了切线的性质定理、四边形的内角和定理、等边对等角以及三角形的内角和定理的运用，次要考查先生的推理和计算能力，留意：圆的切线垂直于过切点的半径．15．6∏16．40°【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF＝∠A＋∠E＝85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD＝180°－∠A＝125°，然后再根据三角形外角性质求∠F．【解答】解：∵∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠EBF＝∠A＋∠E＝85°，∵∠A＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°－55°＝125°，∵∠BCD＝∠F＋∠CBF，∴∠F＝125°－85°＝40°．故答案为40°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了三角形外角性质．三、解答题：本大题共4小题，共36分，解答应写出文字阐明、演算步骤或推理过程．17．【分析】将x＝1代入原方程可求出k值，设方程的另一个根为1x，根据两根之和等于b a-即可得出关于1x的一元方程，解之即可得出结论．【解答】解：将x＝1代入原方程，得：1＋k＋3＋k＝0，解得：k＝－2．设方程的另一个根为1x，根据题意得：1＋1x＝－（－2＋3），∴1x＝－2，∴该方程的另一个根为－2．18．【分析】（1）根据垂径定理、切线的性质定理证明；（2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE＝CE，∴AB⊥CD，∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∴CD BF∥；（2）解：连接OD、OC，∵∠A＝35°，∴∠BOD＝2∠A＝70°，∴∠COD＝2∠BOD＝140°，∴DBC的长1406141803ππ⨯==．19．（x －1）()112x x -【分析】（Ⅰ）用x 表示出每家公司与其他公司签订的合同数，则用x 表示出一切公司共签订的合同数；（Ⅱ）利用一切公司共签订的合同数列方程得到()11452x x -=，然后解方程、检验、作答．【解答】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x －1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以一切公司共签订了()112x x -份合同；（Ⅱ）根据题意列方程得：()11452x x -=，解得110x =，29x =-（舍去），检验：x ＝－9不合题意舍去，所以x ＝10．答：共有10家公司参加商品买卖会．故答案为：（x －1）；()112x x -．【点评】本题考查了一元二次方程的运用：列方程处理实践成绩的普通步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．20．【分析】（1）根据点P 的横纵坐标的实践意义即可得；（2）利用待定系数法求解可得；（3）在所求函数解析式中求出y ＝1时x 的值即可得．【解答】解：（1）由点P 的坐标为33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭知点P 与水面的距离为32m ，故答案为：32；（2）设抛物线的解析式为2y ax bx =+，将点A （4，0）、P 33,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得：16403932a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为2122y x x =-＋；（3）当y ＝1时，21212x x =-＋，即2420x x -+=，解得：2x =±，则水面的宽为()22m +-=．。
天津市和平区九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是（）A. 1B. 67C. 12D. 03.如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB=12，则下列结论中正确的是（）A. AEAC=12B. DEBC=12C. △ADE的周长△ABC的周长=13D. △ADE的面积△ABC的面积=134.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A. y=−5(x+1)2−1B. y=−5(x−1)2−1C. y=−5(x+1)2+3D. y=−5(x−1)2+35.已知反比例函数y=kx的图象经过点A（2，-3），B（x，y），当1＜x＜3时，y的取值范围是（）A. −32<y<−23B. −6<y<−2C. 2<y<6D. −32<y<−96.如图，在平面直角坐标系中，有点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为（）A. (2,1)B. (2,0)C. (3,3)D. (3,1)7.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A. x<1B. x>1C. x<−1D. x>−18.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A. ∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC. APAB=ABACD. ABBP=ACCB9.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（）A. 64∘B. 120∘C. 122∘D. 128∘10.若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y=−a2−1x的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）A. y1<y3<y2B. y2<y3<y1C. y3<y2<y1D. y1<y2<y311.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为4，则a的值为（）A. −2B. 4C. 4或3D. −2或312.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0；②-1≤a≤−23；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的大小为______度．14.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时y=6，求当x=4时y=______．15.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则DEEF的值为______．16.一个透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率是______．17.如图，点P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T，PB交⊙O于A，B两点，连接OT，则PT与OT的位置关系是______，PA+PB______2PT（填“＞”、“＜”或“=”号）18.在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A1B1C）．（Ⅰ）如图①，当AB∥CB1时，旋转角θ=______（度）；（Ⅱ）如图②，取AC的中点E，A1B1的中点P，连接EP，已知AC=a，当θ=______（度）时，EP的长度最大，最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.已知关于x的方程x2+ax-2=0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．20.已知四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，连接AC，BD．（I）如图①，若∠CBD＝36°，求∠BAD的大小；（Ⅱ）如图②，若点E在对角线AC上，且EC＝BC，∠EBD＝24°，求∠ABE的大小．21.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．22.注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．（1）用含x的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为______；②2009年种的水稻平均每公顷的产量为______；（2）根据题意，列出相应方程______；（3）解这个方程，得______；（4）检验：______；（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为______%．23.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（Ⅱ）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？24.已知，四边形ABCD是边长为32的正方形，点E在边AB上，矩形AEFG的边AE=72，∠GAF=30°．（1）如图①，求AF的长；（2）如图②，将矩形AEFG绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到矩形AMNH，点C恰好在AN上．①求α的大小；②求DN的长；（3）若将矩形AEFG绕点A顺时针旋转30°，得到矩形ARTZ，此时，点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？（直接写出答案即可）．25.已知，抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m（m是常数）．（Ⅰ）当m=1时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标；（Ⅱ）抛物线与x轴相交于不同的两点A，B．①求m的取值范围；②无论m取何值，该抛物线都经过非坐标轴上的定点P，当14＜m≤8时，求△PAB面积的最大值，并求出相对应的m的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确；故选：D．根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．2.【答案】C【解析】解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是，故选：C．根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案．本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．3.【答案】C【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵=，∵=，故A、B选项均错误；∵△ADE∽△ABC，∴==，=（）2=，故C选项正确，D选项错误．故选：C．由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例可得，然后由=，即可判断A、B的正误，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可判断C、D的正误．此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的对应边之比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方．4.【答案】A【解析】解：将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1．故选：A．直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．5.【答案】B【解析】解：把（-2，3）代入y=，得k=-2×3=6，所以反比例函数解析式为y=-．当x=1时，y=-=-6；当x=3时，y=-=-2；所以当2＜x＜3时，函数值y的取值范围为-6＜y＜-2．故选：B．先把（2，-3）代入y=中求出k得到反比例函数解析式为y=-，再分别计算出自变量为2和3对应的反比例函数值，然后根据反比例函数的性质求解．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．6.【答案】A【解析】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴=，又∵OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选：A．根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．7.【答案】A【解析】解：∵a=-1＜0，∴二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1，∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．故选：A．抛物线y=-x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-，在对称轴左边，y随x的增大而增大．8.【答案】D【解析】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．9.【答案】C【解析】解：在⊙O中，∵∠CBD=32°，∵∠CAD=32°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC=64°，∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，∴∠BEC=180°-58°=122°．故选：C．根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．10.【答案】B【解析】解：∵-a2-1＜0，∴反比例函数图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y随x的增大而增大，∵x1＜0＜x2＜x3，∴y2＜y3＜y1．故选：B．首先确定反比例函数的系数与0的大小关系，然后根据题意画出图形，再根据其增减性解答即可．本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的函数值的大小，同学们要灵活掌握．11.【答案】D【解析】解：当y=4时，有x2-2x+1=4，解得：x1=-1，x2=4．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值4，∴a=3或a+1=-1，∴a=3或a=-2，故选：D．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=4时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=4时x的值是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），∴-=1，∴b=-2a，∴4a+2b=0，结论①错误；②∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），∴a-b+c=3a+c=0，∴a=-．又∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴-1≤a≤-，结论②正确；③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），∴n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，又∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．故选：C．①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a可得出a=-，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出-1≤a≤-，结论②正确；③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．综上，此题得解．本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．13.【答案】150【解析】解：∵=，∴∠AOC=2∠B=150°，故答案为150．根据根据圆周角定理即可解决问题．本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14.【答案】3【解析】解：设函数解析式为：y=，把x=2，y=6代入，得k=12，∴y=．把x=4代入y=中：y=，解得：y=3．故答案为：3．首先设出函数解析式，再利用待定系数法把x=2，y=6代入解析式求得k的值，得到函数解析式后，再根据解析式和x的值，求得y的值．此题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，此为近几年中考的热点问题，同学们要熟练掌握．15.【答案】35【解析】解：∵AH=2，HB=1，∴AB=AH+BH=3，∵l1∥l2∥l3，∴=；故答案为：．求出AB=3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．16.【答案】49【解析】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种情况，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率是：．故答案为：．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球恰好颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.【答案】PT⊥OT＞【解析】解：∵点P是⊙O外一点，PT切⊙O于点T，∴OT⊥PT．∵PT2=PA•PB，又∵（PB-PA）2＞0，∴（PB+PA）2＞4PA•PB，∴PT2＜（）2，∴PA+PB＞2PT．故答案为PT⊥OT，＞．利用切线的性质，切割线定理，完全平方公式即可解决问题．本题考查了切线的性质，切割线定理，完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18.【答案】30 120 3a2【解析】解：（Ⅰ）∵AB∥CB1，∠ABC=30°，∴∠BCB1=∠ABC=30°，∴旋转角为∠BCB1=30°；（Ⅱ）∵P为A1B1的中点，∴CP=A1P，∵∠ABC=30°，∴∠B1=∠B=30°，∴∠A1=90°-∠B1=90°-30°=60°，∴△A1CP是等边三角形，∴∠A1CP=60°，根据三角形的三边关系，CE+CP＞EP，∴当点E、C、P三点共线时EP最大，最大为EP=CE+CP，此时，旋转角为180°-∠A1CP=180°-60°=120°，∵AC=a，点E为AC的中点，∴EP=a+a=．故答案为：30；120，．（Ⅰ）根据两直线平行，内错角相等可得∠BCB1=∠ABC，然后根据对应边BC 和B1C的夹角为旋转角解答；（Ⅱ）连接CP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CP=A1P，然后求出△A1CP是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠A1CP=60°，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得CE+CP＞EP，从而判断出当点E、C、P三点共线时EP最大，然后根据平角等于180°进行计算即可得解．本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，熟练掌握旋转的性质，并判断出点E、C、P三点共线时EP最大是解题的关键．19.【答案】解：把x=1代入x2+ax-2=0，得12+a-2=0，解得a=1．根据根与系数的关系得到方程的另一根为：−21=-2．综上所述，a的值为1，该方程的另一根是-2．【解析】把x=1代入已知方程得到关于a的新方程，通过解新方程来求a的值；利用根与系数的关系来求方程的另一根．本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．20.【答案】解：（Ⅰ）∵BC=CD，∴BC=CD，∴∠DBC=∠BAC=∠CAD，∵∠CBD=36°，∴∠BAC=∠CAD=36°，∴∠BAD=36°+36°=72°．（Ⅱ）∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，∴∠DBE+∠CBD=∠BAE+∠ABE，∵∠CBD=∠BAC，∴∠ABE=∠DBE=24°．【解析】（I）由BC=CD，推出=，可得∠DBC=∠BAC=∠CAD，由此即可解决问题．（Ⅱ）想办法证明∠ABE=∠EBD即可解决问题．本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，又∵∠ACD=∠B，∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠ACD=∠B，∴△ACB∽△ADC，∴AC2=AD•AB=1×4=4，∴AC=2．【解析】（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO，证出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出结论；（2）证明△ACB∽△ADC，得出AC2=AD•AB，即可得出结果．本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．22.【答案】8000（1+x）8000（1+x）28000（1+x）2=9680 x1=0.1，x2=-2.1 x1=0.1，x2=-2.1都是原方程的根，但x2=-2.1不符合题意，所以只取x=0.1 10【解析】解：（1）①8000（1+x）；②8000（1+x）（1+x）=8000（1+x）2；（2）8000（1+x）2=9680；（4分）（3）x1=0.1，x2=-2.1；（4）x1=0.1，x2=-2.1都是原方程的根，但x2=-2.1不符合题意，所以只取x=0.1；（5）10．（8分）解此类题时，先将所求问题设为x，根据增长后的产值=增长前的产值（1+增长率），即可用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．解此类题时，先将所求问题设为x，然后用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．23.【答案】解：（Ⅰ）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x-3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x-3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=-15，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-15（x-3）2+5（0＜x＜8）．（Ⅱ）当y=1.8时，有-15（x-3）2+5=1.8，解得：x1=-1，x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．【解析】（Ⅰ）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；（Ⅱ）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论．本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值．24.【答案】解：（1）∵四边形AEFG是矩形，∴∠AEF=90°，AE=FG，∵AE=72，∴GF=72，∵∠GAF=30°，∴AF=2FG=7．（2）①如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=45°∴α=∠DAC-∠HAN=45°-30°=15°．②如图2中，作NK⊥DC交DC的延长线于K．∵AC=2AB=6，AN=7，∴CN=1，在Rt△CNK中，∵∠NCK=∠DCA=45°，∴CK=NK=22，∴DN=DC+CK=32+22=722，在Rt△DNK中，DN=KN2+DK2=(722)2+(22)2=5．（3）如图③中，设MN交直线AB于点J，作JQ⊥AN于Q．由题意可知：AN=7，∠JAN=∠N=30°，∴JA=JN，∵JQ⊥AN，∴AQ=QN=72，∴AJ=AQcos30∘=733，∵AB=32，∴AJ＜AB，∴点B在△ANM外．【解析】（1）在Rt△AFG中，解直角三角形求出AF即可；（2）①根据α=∠DAC-∠HAN计算即可；②如图2中，作NK⊥DC 交DC的延长线于K．在Rt△DKN中，求出KN，DK，再利用勾股定理即可解决问题；（3）如图③中，设MN交直线AB于点J，作JQ⊥AN于Q．求出AJ的长与AB 比较即可判断；本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：（Ⅰ）把m=1，y=0代入抛物线可得x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2，故该抛物线与x轴的公共点的坐标为（-1，0）或（2，0）；（Ⅱ）①当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；当m≠0时，∵抛物线y=mx2+（1-2m）x+1-3m与x轴相交于不同的两点A、B，∴△=（1-2m）2-4×m×（1-3m）=（1-4m）2＞0，∴1-4m≠0，∴m≠14，∴m的取值范围为m≠0且m≠14；②|AB|=|x A-x B|=b2−4ac|a|=(1−2m)2−4m(1−3m)|m|=1−4m+4m2−4m+12m2m2=(1−4m)2m2=|1−4mm|=|1m-4|，∵14＜m≤8，∴18≤1m＜4，∴-318≤1m-4＜0，∴0＜|1m-4|≤318，∴|AB|最大时，|1m|=318，解得：m=8，或m=863（舍去），∴当m=8时，|AB|有最大值318，此时△ABP的面积最大，没有最小值，则面积最大为：12|AB|y P=12×318×4=314．【解析】（Ⅰ）把m=1，y=0代入抛物线，解方程求出x的值，进一步得到该抛物线与x 轴的公共点的坐标；（Ⅱ）①根据题意得出△=（1-2m）2-4×m×（1-3m）=（1-4m）2＞0，得出1-4m≠0，解不等式即可；②由|AB|=|x A-x B|得出|AB|=|-4|，由已知条件得出≤＜4，得出0＜|-4|≤，因此|AB|最大时，||=，解方程得出m=8，或m=（舍去），即可得出结果．本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识，本题难度较大．。
天津市和平区九年级上期末数学试卷(有答案)-精品
2017-2018学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）23．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对5．（3分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为（）A．（2，），（），（）B．（8，6）（6，2）（2，4）C．（8，6）（6，2）（2，4）或（﹣8，﹣6）（﹣6，﹣2）（﹣2，﹣4）D．（8，﹣6）（6，﹣2）（2，﹣4）或（﹣8，6）（﹣6，2）（﹣2，4）6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，已知，则=（）A．B．C．D．7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④9．（3分）已知反比例函数y=的图象经过点A（2，2）、B（x，y），当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（）A．﹣4＜y＜﹣B．﹣＜y＜﹣4 C．＜y＜4 D．﹣1＜y＜﹣10．（3分）已知点A（4，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（）A．y1＞y3＞y2B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y211．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：A．0＜x＜4 B．﹣4＜x＜4 C．x＜﹣4或x＞4 D．x＞412．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）等边三角形绕它的中心至少旋转度，才能和原图形重合．14．（3分）面积等于6cm2的正六边形的周长是．15．（3分）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=．16．（3分）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，=．则S△AOB17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB=24，则AB的长=．18．（3分）将线段OB绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段OD，连接CD．（1）如图，连接BD，则∠BDC的大小=（度）；（2）将线段OB放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为（﹣6，0），以OB为斜边作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且点E在第三象限，若∠CED=90°，则α的大小=（度），点D的坐标为．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是1，求该方程的另一个根．20．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD=4，CA=6，①求CB的长；②求DF的长．22．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．（Ⅰ）用含x的代数式表示：每家公司与其他家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了份合同；（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．23．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．（1）点P与水面的距离是m；（2）求这条抛物线的解析式；（3）水面上升1m，水面宽是多少？24．（10分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD=t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2．（1）写出抛物线y=x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y=x2于D，E两点，点F为y 轴负半轴上一点，且∠CFD=∠CFE，求证：OC=OF．2017-2018学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，∴朝上一面的数字是偶数的概率为：=．故选：C．2．（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2【解答】解：y=（x+2）2的对称轴为x=﹣2，A正确；y=2x2﹣2的对称轴为x=0，B错误；y=﹣2x2﹣2的对称轴为x=0，C错误；y=2（x﹣2）2的对称轴为x=2，D错误．故选：A．3．（3分）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．【解答】解：根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故A选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故B选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故C选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故D选项错误．故选：B．4．（3分）如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【解答】解：（1）∵∠E=∠E，∠FCE=∠D，∴△CEF∽△ADF．（2）∵∠E是公共角，∠B=∠FCE，∴△ABE∽△CEF，（3）∴△ABE∽△ADF．故有3对．故选：B．5．（3分）如图，在平面直角坐标系中有△ABC，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，则它的对应顶点的坐标为（）A．（2，），（），（）B．（8，6）（6，2）（2，4）C．（8，6）（6，2）（2，4）或（﹣8，﹣6）（﹣6，﹣2）（﹣2，﹣4）D．（8，﹣6）（6，﹣2）（2，﹣4）或（﹣8，6）（﹣6，2）（﹣2，4）【解答】解：由坐标系可知，点A、点B、点C的坐标分别为（4，3），（3，1），（1，2），∵以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，则它的对应顶点的坐标为（4×2，3×2），（3×2，1×2），（1×2，2×2）或（﹣4×2，﹣3×2），（﹣3×2，﹣1×2），（﹣1×2，﹣2×2），即（8，6），（6，2），（2，4）或（﹣8，﹣6），（﹣6，﹣2），（﹣2，﹣4），故选：C．6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，已知，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADP∽△ABQ，△APE∽△AQC，∴=，=，∴==．故选：A．7．（3分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图如下：一共有8种情况，有两只雄鸟的情况有3种，所以，P（恰有两只雄鸟）=．故选：B．8．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：∵反比例函数的图象位于一三象限，∴m＞0故①错误；当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；将A（﹣1，h），B（2，k）代入y=得到h=﹣m，2k=m，∵m＞0∴h＜k故③正确；将P（x，y）代入y=得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入y=得到m=xy，故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上故④正确，故选：C．9．（3分）已知反比例函数y=的图象经过点A（2，2）、B（x，y），当﹣3＜x＜﹣1时，y的取值范围是（）A．﹣4＜y＜﹣B．﹣＜y＜﹣4 C．＜y＜4 D．﹣1＜y＜﹣【解答】解：∵反比例函数关系式为y=（k≠0）图象经过点A（2，2），∴k=2×2=4，∴y=，当x=﹣3时，y=﹣，当x=﹣1时，y=﹣4，∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣4＜y＜﹣．故选：A．10．（3分）已知点A（4，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系（）A．y1＞y3＞y2B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【解答】解：∵y=（x﹣2）2﹣1，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=2，A（4，y1）关于直线x=2的对称点是（0，y1），∵﹣2＜0＜，∴y3＞y1＞y2，故选：D．11．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：A．0＜x＜4 B．﹣4＜x＜4 C．x＜﹣4或x＞4 D．x＞4【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故选：A．12．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）等边三角形绕它的中心至少旋转120度，才能和原图形重合．【解答】解：由于等边三角形三角完全相同，旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，因为一圈360度，除以3，就得到120度．故答案为：120°．14．（3分）面积等于6cm2的正六边形的周长是12cm．【解答】解：如图，设正六边形外接圆的半径为a，∵正六边形的面积为6cm2，=×6=cm2，∴S△AOF即a•a•sin∠OFA=a2•=．∴a=2cm，∴正六边形的周长是12cm，故答案为：12cm．15．（3分）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=40°．【解答】解：∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣55°=125°，∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．故答案为40°．16．（3分）如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，=2．则S△AOB==2，【解答】解：根据题意得：S△AOB故答案为：217．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，AD•DB=24，则AB的长=10．【解答】解：如图连接OE、OF．则由题意可知四边形ECFO是正方形，边长为2．∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F∴可以假设设AD=AF=a，BD=BE=b，则AC=a+2，BC=b+2，AB=a+b，∵AC2+BC2=AB2，∴（a+2）2+（b+2）2=（a+b）2，∴4a+4b+8=2ab，∴4（a+b）=48﹣8∴a+b=10，∴AB=10．故答案为1018．（3分）将线段OB绕点O逆时针旋转60°得到线段OC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段OD，连接CD．（1）如图，连接BD，则∠BDC的大小=30（度）；（2）将线段OB放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为（﹣6，0），以OB为斜边作Rt△OBE，使∠OBE=∠OCD，且点E在第三象限，若∠CED=90°，则α的大小=90（度），点D的坐标为（3，﹣3）．【解答】解：（1）∵线段OC，OD由OB旋转而成，∴OB=OC=OD．∴点B、C、D在以O为圆心，AB为半径的圆上．∴∠BDC=∠BOC=30°．（2）如图2，过点O作OM⊥CD于点M，连接EM，过点D作BF⊥BO的延长线于点F．∵∠OMD=90°，∴∠OMC=90°．在△OEB与△OMC中，，∴△OEB≌△OMC（AAS）．∴OE=OM，∠BOE=∠COM．∴∠EOM=∠EOC+∠COM=∠EOC+∠BOE=∠BOC=60°．∴△OEM是等边三角形．∴EM=OM=OE．∵OC=OD，OM⊥CD，∴CM=DM．又∵∠DEC=90°，∴EM=CM=DM．∴OM=CM=DM．∴点O、C、D、E在以M为圆心，MC为半径的圆上．∴α=∠COD=90°，∴∠FOD=30°，∴OF=3，DF=3，∴点D的坐标为（3，﹣3）．故答案为：（1）30；（2）90，（3，﹣3）．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是1，求该方程的另一个根．【解答】解：将x=1代入原方程，得：1+k+3+k=0，解得：k=﹣2．设方程的另一个根为x1，根据题意得：1+x1=﹣（﹣2+3），∴x1=﹣2，∴该方程的另一个根为﹣2．20．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE=CE，∴AB⊥CD，∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∴CD∥BF；（2）解：连接OD、OC，∵∠A=35°，∴∠BOD=2∠A=70°，∴∠COD=2∠BOD=140°，∴的长==．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知CD=4，CA=6，①求CB的长；②求DF的长．【解答】（1）证明：连结AD，如图，∵E是的中点，∴==，∴∠EAB=∠EAD，∵∠ACB=2∠EAB，∴∠ACB=∠DAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∴AC是⊙O的切线；（2）①在Rt△ACB中，∵cosC===，AC=6，∴BC=9．②作FH⊥AB于H，∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，∵FH∥AC，∴∠HFB=∠C，在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cos∠C==，∴=，解得x=3，即BF的长为3，∴DF=222．（10分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按解答题的一般要求进行解答．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会．（Ⅰ）用含x的代数式表示：每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了x（x﹣1）份合同；（Ⅱ）列出方程并完成本题解答．【解答】解：（Ⅰ）每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了x（x﹣1）份合同；（Ⅱ）根据题意列方程得：x（x﹣1）=45，解得x1=10，x2=﹣9（舍去），检验：x=﹣9不合题意舍去，所以x=10．答：共有10家公司参加商品交易会．故答案为：（x﹣1）；x（x﹣1）．23．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．（1）点P与水面的距离是m；（2）求这条抛物线的解析式；（3）水面上升1m，水面宽是多少？【解答】解：（1）由点P的坐标为（3，）知点P与水面的距离为m，故答案为：；（2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx，将点A（4，0）、P（3，）代入，得：，解得：，所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x；（3）当y=1时，﹣x2+2x=1，即x2﹣4x+2=0，解得：x=2，则水面的宽为2+﹣（2﹣）=2（m）．24．（10分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD=t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，∴C△DBE由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，=CD+4，∴C△DBE由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2；③当6＜t＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴t=14，综上所述：当t=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．25．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2．（1）写出抛物线y=x2的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）已知点A（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，将抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动，设抛物线顶点M的横坐标为m，当m为何值时，线段PB最短？（3）如图，点C为y轴正半轴上一点，过点C任作直线交抛物线y=x2于D，E两点，点F为y 轴负半轴上一点，且∠CFD=∠CFE，求证：OC=OF．【解答】解：（1）由题可得，抛物线y=x2的开口方向向上，对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0）；（2）∵点A（2，4），∴OA解析式为y=2x，∵抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，∴可设顶点坐标为（m，2m），∴抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m，∵抛物线与直线x=2交于点P，∴P（2，m2﹣2m+4），又∵直线x=2与x轴相交于点B，∴B（2，0），∴PB=m2﹣2m+4=（m﹣1）2+3，∴当m=1时，PB最短；（3）设直线DE为y=kx+b，则C（0，b），OC=b，直线DE与抛物线y=x2联立，得x2﹣kx﹣b=0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=k，x1x2=﹣b，∴y1+y2=kx1+b+kx2+b=k2+2b，y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=b2，如图，分别过D，E作DQ⊥y轴于Q，EP⊥y轴于P，则∠DQC=∠EPC=90°，而∠DCQ=∠ECP，∴△DCQ∽△ECP，∴=，∵∠CFD=∠CFE，∠DQF=∠EPF，∴△DQF∽△EPF，∴=，∴=，设F（0，f），则OF=﹣f，，整理可得，k2（b+f）=0，∵k≠0，∴b+f=0，∴b=﹣f，即OC=OF．。
天津市和平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)
．．．．一个不透明的袋子里装有个红球和个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ）A ．B 4．用配方法解方程A ．B 5．关于二次函数6140︒2x +276924x ⎛⎫+=⎪⎝⎭1y =-A ．C ．或7．如图，设计一长，若使彩条所占面积是彩旗的A ．C ．．．．()1,2-()1,2--()12，30cm 2:1()()30202x x --()()302204x x --．的切线，、为切点，A ．B ．11．如图，在的内切圆（圆心为点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，A ．点、、、四点共线A B 4167ABC V DE DF B G 1GH B P O EA ．1B ．217．如图，在正方形连接，交于点，连接ABCD BF AE G三、解答题18．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，内接于圆，且顶点、均在格点上，点是圆与格线的交点，为边上的一个格点，过点作于点．(1)线段的长度为______；(2)请用无刻度直尺在网格中作出外接圆的圆心；（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)请用无刻度直尺在网格中作出过点的圆的切线．（保留作图痕迹，不要求写作法）19．（1）用适当方程解一元二次方程：；（2）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求k 值及方程的解．20．如图，是的直径，，延长交于点，弦于点，且．1ABC V B C A D AC D DE AB ⊥E DB ABC V O C CF 2650x x ++=x 230x x k -+=1x 2x ()()12116x x --=-AB O e CA AB ⊥CO O e D DE AB ⊥F CDE BAD ∠=∠(1)求和度数大小；(2)若，求和21．如图，在中，，交于点，(1)求证：是的切线；(2)若，，求22．如图，在矩形中，交于点．(1)求证：(2)若，23．如图，在中，（不与点、重合）ADE ∠CAD ∠23AD =CD ABC V E BC F FG FG O e 1BG =423CF =ABCD CD F ADG ∽△△6AB =4AD =ABC V B C的平行线交于点，连接．(1)线段______；线段______；（请用含的代数式表示）(2)当为何值时；(3)在点的运动过程中，是否存在某一时刻的值，使得的面积有最大值？若存在，请求出的值，并计算最大面积；若不存在，请说明理由．24．将等腰直角三角形放置在平面直角坐标系中，点，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针旋转，旋转角为点，旋转后的对应点为，．(1)如图1，当轴时，则旋转角______；可以看作是绕点______顺时针旋转______°后得到的；直线与所夹角为______；(2)如图2，当旋转角时，点，，恰好共线，求的各边长；(3)将（2）中的旋转，当旋转角为何值时的面积最大？最大值是多少？（直接写出结果）．25．如图，二次函数图象交坐标轴于点，．点为线段上一动点．AB N AP AN =PN =t t APN ABP △∽△P t APN V t AOB V ()0,0O ()0,2A ()2,0B C D OA OB OC OD =CD COD △O ()0360αα︒<<︒C D C 'D ¢C D x ''⊥α=︒BOD 'V AOC '△AC 'BD '︒15α=︒A C 'D ¢COD △COD △αABD '△()20y ax ax c a =-+≠()3,0A ()0,2B -P OA∵∴，∴，∵点为中点，∴，AMC BAD ADC ∠=∠+∠30ADC ∠=︒30ADC ABC ∠=∠=︒A »CD»»AD AC =、∵二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交点在负半轴上，∴，，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，此选项不符合题意；、∵二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴上，∴与矛盾，，∴此选项不符合题意；、∵，∴图象不经过原点，此选项不符合题意；故选：．9．D【分析】本题根据切线的性质、圆周角定理和垂径定理，熟练掌握相关知识，灵活运用性质定理，即可解题．根据切线的性质可知，再结合圆周角定理得出，即可判断A 项．根据垂径定理以及圆周角定理即可判断B 项，根据等腰三角形性质得出，再根据圆周角定理推出，即可判断C 项，根据C 项的推导过程可判断D 项．【详解】解：A 、，，，是的切线，、为切点，，，，所以选项A 正确，不符合题意．B 、，，，，，所以选项B 正确，不符合题意．C 、连接，如图所示：B y y a<00b <y bx a =+C y y 0a >a<00b <D 0a ≠A 90OAP OBP ∠=∠=︒2AOB D ∠=∠OBA OAB ∠=∠DBC DAC OAB ∠=∠=∠»»AB AB = 2AOB D ∴∠=∠PA PB O e A B 90OAP OBP ∴∠=∠=︒360180P AOB OAP OBP ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒2180P D ∴∠+∠=︒BD AC ⊥ »»BCDC ∴=BAC DAC ∴∠=∠»»BCBC ∴=2COB BAC BAC DAC DAB ∴∠=∠=∠+∠=∠BC，则，为的直径，，90ABP OBP OBA ∠=∠-∠=︒- OB OA = OBA OAB ∠=∠AC O e 90ABC ∴∠=︒由题知，，则，，，，所以D 错误，不符合题意．90ODA OEA ∠=∠=︒A ∠2DOE DFE ∠=∠ 2180A DFE ∴∠+∠=︒70A ∠=︒ 55DFE ∴∠=︒∴，∵是等边三角形，∴，∴12BD CD BC ==ABC V 60A ∠=︒2120BOC A ∠=∠=由图知，从袋子中随机取出2个球的结果总共有则两个都取到绿球的概率为．故答案为：．2163=13∴的最小值为故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角所对的弦是直径，一点DG 12DH AB -=252-∵，，∴，是圆的直径，90ACB ∠=︒90HBC ∠=︒AB CH由网格特点可知：，，易证，∴四边形是平行四边形，∴，∵是直径，∴，∴，由网格特点可知：四边形是平行四边形，∴，∴，即是圆的切线，∴即为所求．19．（1）；（2），或【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系：（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用根与系数的关系得到，再由得到，则，解得，则原方程为，解方程212CB B B =1FB BC ∥122FB B BB C V V ≌1FB BC 1CF BB ∥AB 12AA BA ⊥1AA CF ⊥1AACH 1AA CH ∥CH CF ⊥CF CF 1215x x =-=-，4k =-4x ==1x -12123x x x x k +==，()()12116x x --=-()121216x x x x -++=-316k -+=-4k =-2340x x --=，，为的直径，，，即，，，，，，，，为的半径，是的切线；（2）如图，是的切线，则，又，四边形是矩形，，OF OC = OFC OCF α∴∠=∠=DC O e 90DFC ∴∠=︒90DFO OFC DFC ∴∠+=∠=︒90αβ+=︒AB AC = B ACB α∴∠=∠=FG AB ⊥ 9090GFB B αβ∴∠=︒-∠=︒-=90DFB DFC ∠=∠=︒ 9090DFG GFB βα∴∠=︒-∠=︒-=90GFO GFD DFO αβ∴∠=∠+∠=+=︒OF O e FG ∴O e AB O e OE AB ⊥,OF FG FG AB ⊥⊥∴GEOF OE OF =∵∴∴又∵，∴可以看作是设直线与交于点2,,OA OB OC OD ''===AOC BOD ¢¢Ð=ÐAOC BOD ''△≌△90AOB ∠=︒BOD 'V AOC △AC 'BD '故答案为：，，，（2）解：如图所示，设∵，则∵旋转角，点，∴∴设直线的解析式为45O 90C 45OC D ''∠=︒AC ∠15α=︒A 180OAC AOC ∠=︒-∠-23tan 303OF OA =⋅︒=AF y =∵，作∴半径为的与相切于点∴当在的垂直平分线上且在第三象限时，如图所示，此时的面积最大值为【点睛】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，解直角三角形，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关2,22AO BO AB ===OG ⊥2O e AB D ¢AB ABD '△122AB ⨯。
2020-2021学年天津市和平区九年级上学期期末考试数学试卷及答案解析
第 1 页 共 27 页
2020-2021学年天津市和平区九年级上学期期末考试数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若
从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是13，则黑球的个数为（ ） A ．3 B ．12 C ．18 D ．27
3．如图，⊙O 中，AD 、BC 是圆O 的弦，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°，CE ⊥AD ，则∠DCE 的
度数是（ ）
A ．25°
B ．65°
C ．45°
D ．55°
4．《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百
一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A 、C 处各开一道门，从点A 往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B 处，若从点C 往正西方向走810步到达点D 处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ）
A ．360步
B ．270步
C ．180步
D ．90步。
2022年天津市和平区九年级上学期期末数学试卷(含答案)
2022年天津市和平区九上期末数学试卷1.下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为( )A．B．C．D．2.一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1，1，2，4，5，5．若随机投掷一次小正方体，则朝上一面数字是5的概率为( )A．16B．15C．14D．133.如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50∘，则∠CDB大小为( )A．25∘B．30∘C．40∘D．50∘4.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE=1.2m．测得AB=1.6m．BC= 18.4m．则建筑物的高CD=( )A．13.8m B．15m C．18.4m D．20m5.抛物线y=x2−6x+9与x轴的公共点的坐标是( )A．(3,0)B．(3,3),0)D．(0,3)C．(3,0)，(136.下列说法：①各有一个角是60∘的两个等腰三角形相似；②各有一个角是80∘的两个等腰三角形相似；③各有一个角是100∘的两个等腰三角形相似；④一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边的比相等的两个等腰三角形相似．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OAʹBʹCʹ与矩形OABC关于点O位似，且矩形OAʹBʹCʹ的面积等于矩形OABC面积的1，点B的对应点为点Bʹ，那么点Bʹ的坐标是( )4A．(3,2)B．(12,8)或(12,−8)C．(2,3)或(−2,−3)D．(3,2)或(−3,−2)8.如图，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转35∘，得到正方形AEFG，DB的延长线交EF于点H，则∠DHE的大小为( )A．90∘B．95∘C．100∘D．105∘等于( )9.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AODOA ．2√53B ． 23C ． 12D ． 1310. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形 OABC 构成，长方形的长 OA 是 12 m ，宽 OC 是 4 m ，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 y =−16x 2+bx +c 表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8 m ，那么两排灯的水平距离最小是 ( )A ． 2 mB ． 4 mC ． 4√2 mD ． 4√3 m11. 已知抛物线 y =x 2+2mx +m −7 与 x 轴的两个交点在 (1,0) 两旁，则关于 x 的方程 14x 2+(m +1)x +m 2+5=0 的根的情况是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有实数根D ．无实数根12. 二次函数 y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且 a ≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如表所示，下列结论，其中正确的个数为 ( )x−1013y−1353① ac <0；②当 x >1 时，y 的值随 x 值的增大而减小； ③当 −1<x <3 时，ax 2+(b −1)x +c >0； ④对于任意实数 m ，4m (am +b )−6b <9a 总成立． A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个13. 已知正六边形的半径是 4，则这个正六边形的周长为 ．14. 现有两个不透明的袋子，其中一个装有标号分别为 1，2 的两个小球，另一个装有标号分别为 2，3，4 的三个小球，小球除标号外其它均相同，从两个袋子中各随机摸出 1 个小球，两球标号恰好相同的概率是 ．15.已知，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且AC=CD．连接BC，BD．如图，若∠CBD=20∘，则∠A的大小为（度）．16.用一个圆心角为120∘，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．17.已知抛物线y=x2−(t+1)x+c（t，c是常数）与x轴的公共点的坐标为(m,0)，(n,0)，且0<m<n<1，则m与t的大小关系是m t．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．（1）∠ACB的大小为（度）．（2）在如图所示的网格中，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABC逆时针旋转，得△ABʹCʹ（点Bʹ为点B的对应点，点Cʹ为C的对应点）．请用无刻度的直尺，画出△ABʹCʹ，并简要说明点Bʹ，点Cʹ的位置是如何找到的（不要求证明）．19.已知关于x的一元二次方程x2+ax−5=0的一个根是1，求a的值及该方程的另一根．20.已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．(1) 如图①，求∠BOD及∠A的大小；(2) 如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．21.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．(1) 求证：OM=AN；(2) 若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．22.一个长方体的长与宽的比为5:2，高为5cm，表面积为40cm2，求这个长方体的长与宽．23.某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．(1) 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：原价每件降价1元每件降价2元⋯每件降价x元每件售价(元)353433⋯每天销量(件)505254⋯(2) （由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）．24.已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90∘，∠ABO=30∘，OB=4．将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60∘．得到Rt△ODC．点A，B的对应点分别为点D，C．连接BC．(1) 如图1，OD的长=，∠BOC的大小=（度），∠OBC的大小=（度）．(2) 动点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，动点M沿O→C→B路径匀速运动，动点N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时，运动停止．已知点M的运动速度为 1.5个单位/秒，点N的运动速度为1个单位/秒，设运动时间为t秒（t>0），△OMN的面积为S．①如图2，当点M在边OC上运动，点N在边OB上运动时，过点N作NE⊥OC，垂足为点E，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②求当t为何值时，S取得最大值，并求出S的最大值（直接写出结果即可）．25.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)与x轴交于点A(1,0)，顶点为B．(1) a=1时，c=3时，求抛物线的顶点B的坐标；(2) 求抛物线y1=ax2+bx+c与x轴的另一个公共点的坐标（用含a，c的式子表示）；,b+8)，求(3) 若直线y2=2x+m经过点B且与抛物线y1=ax2+bx+c交于另一点C(ca 当x≥1时，y1的取值范围．答案1. 【答案】B2. 【答案】D【解析】因为共有6个面，分别标有数字1，1，2，4，5，5，所以朝上一面数字是5的概率为26=13．3. 【答案】A【解析】根据垂径定理可得：弧AC的度数=弧BC的度数=50∘，则∠CDB=50∘÷2=25∘．故选A．4. 【答案】B【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴BECD =ABAC，∵BE=1.2，AB=1.6，BC=18.4，∴AC=20，∴1.2CD =1.620，∴CD=15．5. 【答案】A【解析】∵抛物线y=x2−6x+9=(x−3)2，∴当y=0时，x=3，即抛物线y=x2−6x+9与x轴的公共点的坐标是(3,0)．6. 【答案】B【解析】①含一个角为60∘的等腰直角三角形为等边三角形，而任意两等边三角形相似．故①正确．②由于80∘是锐角，可以作等腰三角形的顶角或底角，故不一定相似，故②错误．③根据三角形的内角和定理：等于100∘的角只能是顶角，即△ABC和△DEF的顶角∠A=D=100∘，∵AB=AC，DE=DF，∴∠B=∠C=12(180∘−∠A)=40∘，∠E=∠F=12(180∘−∠D)=40∘，∴∠B=∠E，∵∠A =∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，故③正确．④两组对应边成比例且夹角相等两三角形才相似，等腰三角形不能保证．故④错误．7. 【答案】D【解析】 ∵ 矩形 OAʹBʹCʹ 与矩形 OABC 关于点 O 位似， 且矩形 OAʹBʹCʹ 的面积等于矩形 OABC 面积的 14，∴ 矩形 OAʹBʹCʹ 与矩形 OABC 的位似比为：1:2． ∵ 点 B 的坐标为：(6,4)，∴ 点 Bʹ 的坐标是：(3,2) 或 (−3,−2)．8. 【答案】C【解析】 ∵ 将正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 35∘，得到正方形 AEFG ， ∴∠BAE =35∘，∠E =90∘，∠ABD =45∘， ∴∠ABH =135∘，∴∠DHE =360∘−∠E −∠BAE −∠ABH =360∘−135∘−35∘−90∘=100∘．9. 【答案】C【解析】因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 AB =AD ，∠BAD =90∘， 所以 ∠DAO +∠EAO =90∘， 因为 E 为 AB 的中点， 所以 AE =12AB =12AD ，因为 AF ⊥DE ，所以 ∠AOE =∠DOA =90∘， 所以 ∠DAO +∠ADO =90∘， 所以 ∠EAO =∠ADO ， 所以 △AOE ∽△DOA ， 所以 AO DO=AE AD=12．10. 【答案】D【解析】由题意得 C (0,4)，B (12,4)， 且 B ，C 都经过抛物线 y =−16x 2+bx +c ， ∴{4=c,4=−16×122+b ×12+c, 解得 {b =2,c =4,∴ 抛物线解析为 y =−16x 2+2x +4，当灯离地面高 8 m 时，两排灯的水平距离最小， ∴y =8 时， 8=−16x 2+2x +4，解得：x 1=6+2√3，x 2=6−2√3， x 1−x 2=4√3，∴ 两排灯的水平距离最小是 4√3 m ．11. 【答案】D【解析】 ∵ 抛物线 y =x 2+2mx +m −7 与 x 轴的两个交点在 (1,0) 两旁， ∴ 当 x =1 时，y =1+2m +m −7<0，得 m <2， ∵ 方程 14x 2+(m +1)x +m 2+5=0，∴Δ=(m +1)2−4×14×(m 2+5)=2m −4<0， 即方程 14x 2+(m +1)x +m 2+5=0 无实数根．12. 【答案】B【解析】①由图表中数据可得出：x =1 时，y =5，∴ 二次函数 y =ax 2+bx +c 开口向下，a <0；又 x =0 时，y =3， ∴c =3>0，∴ac <0，故①正确；② ∵ 二次函数 y =ax 2+bx +c 开口向下，且对称轴为 x =1.5， ∴ 当 x ≥1.5 时，y 的值随 x 值的增大而减小，故②错误； ③ ∵x =−1 时，ax 2+bx +c =−1， ∴x =−1 时，ax 2+(b −1)x +c =0，∵x =3 时，ax 2+(b −1)x +c =0，且函数有最大值， ∴ 当 −1<x <3 时，ax 2+(b −1)x +c >0，故③正确．④将 x =−1，y =−1，x =0，y =3，x =1，y =5 代入 y =ax 2+bx +c ， 得 {a −b +c =−1,c =3,a +b +c =5, 解得：{a =−1,b =3,c =3,∴y =−x 2+3x +3=−(x −32)2+214，可知当 x =32 时，y 取得最大值，即当 x =m 时，am 2+bm +c ≤94a +32b +c ，变形可得4m(am+b)−6b≤9a，故④错误．13. 【答案】24【解析】正六边形的半径为2cm，则边长是4，因而周长是4×6=24．14. 【答案】16【解析】画树状图得：∴一共有6种等可能的结果，两球标号恰好相同的有1种情况，∴两球标号恰好相同的概率是16．15. 【答案】70【解析】∵AC=CD，∴AC⏜=CD⏜，∴∠ABC=∠CBD=20∘，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠A=90∘−20∘=70∘．16. 【答案】43【解析】设圆锥底面的半径为r，扇形的弧长为：120π×4180=83π，∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，∴根据题意得2πr=83π，解得：r=43．17. 【答案】>【解析】∵y=x2−(t+1)x+c，∴其对称轴为x=t+12，∵与x轴交于(m,0)，(n,0)两点，∴m+n2=t+12，整理可得n=t+1−m，又0<m<n<1，∴n<1，∴t+1−m<1，即t<m．18. 【答案】90；延长AC到格点Bʹ，作直线AQʹ，直线BʹQ交于点Cʹ，如图所示：【解析】（1）∵AC=3√2，BC=4√2，AB=5√2，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ABC=90∘．（2）如图，延长AC到格点Bʹ，使得ABʹ=AB=5√2，取格点E，F，G，H，连接EG，FH交于点Q，取格点Eʹ，Fʹ，Gʹ，Hʹ，连接EʹGʹ，FʹHʹ交于点Qʹ，作直线AQʹ，直线BʹQ交于点Cʹ，△ABʹCʹ即为所求．19. 【答案】当x=1时，1+a−5=0，得：a=4，则x2+4x−5=0，(x+5)(x−1)=0，则x−1=0或x+5=0，∴x1=1，x2=−5，∴方程的另一个根为−5，a为4．20. 【答案】(1) 如图①，连接OC，∵点C，D是半圆O的三等分点，∴∠AOC=∠COD=∠BOD，∵AB为直径，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=13×180∘=60∘，∵OC=OA，∴△AOC为等边三角形，∴∠A=60∘；即∠BOD及∠A的大小为60∘，60∘；(2) 如图②，连接OC．∵CF⊥AB，∴CF=HF，在Rt△OCF中，∵∠COF=60∘，∴OF=12OC=1，∴CF=√3OF=√3，∴CH=2CF=2√3．21. 【答案】(1) 如图连接OA，则OA⊥AP，∵MN⊥AP，∴MN∥OA，∵OM∥AP，∴四边形ANMO是矩形，OM=AN．(2) 连接OB，则OB⊥BP，∴∠OBM=∠MNP=90∘，∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP，∴OB=MN，∠OMB=∠NPM，∴△OBM≌△MNP，∴OM=MP，设OM=x，则NP=9−x，在Rt△MNP中，有x2=32+(9−x)2，∴x=5，即OM=5．22. 【答案】设长为5x(cm)，宽为2x(cm)，则2(5x⋅2x+5x×5+2x×5)=40.10x2+35x−20=0.∴2x2+7x−4=0.∴(x+4)(2x−1)=0.∵x>0.∴2x−1=0.∴x=12.∴5x=52，2x=1．答：长方体的长为52厘米，宽为1厘米．23. 【答案】(1)原价每件降价1元每件降价2元⋯每件降价x元每件售价(元)353433⋯35−x每天销量(件)505254⋯50+2x{0<35−x<35,50+2x>50⇒0<x<35．(2) y=(35−x)(50+2x)=1750+70x−50x−2x2=−2x2+20x+1750=−2(x2−10x+25)+1750+50 =−2(x−5)2+1800.∵a<0，∴当x=5，y max=1800元，答：降价5元，销售额最大为1800元．24. 【答案】(1) 2；60；60(2) ①当M在OC上运动，N在OB上运动时，由（Ⅰ）知，△OBC是等边三角形，所以OB=OC=BC=4，由运动知，1.5t≤4，所以t≤83，即：0<t≤83,由运动知，ON=t，OM=1.5t，过点N作NE⊥OC且交OC于点E，则NE=ON⋅sin60∘=√32t，所以S△OMN=12⋅OM⋅NE=12×1.5t×√32t，所以S=3√38t2(0<t≤83)．②当t为83秒时，S取得最大值，最大值为8√33．【解析】(1) 由旋转性质可知：OB=OC，∠BOC=60∘，所以△OBC是等边三角形，所以∠OBC=60∘．(2) ②当0<t≤83时，由①知，S=3√38t2(0<t≤83)，此时，当t=83时，S最大=8√33；当83<t≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H．则BM=8−1.5t，MH=BM⋅sin60∘=√32(8−1.5t)，所以S=12×ON×MH=−3√38t2+2√3t=−3√38(t−83)2+8√33，而−3√38<0，所以S由8√33逐渐减小，减小到2√3，当4<t≤245时，M，N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．MN=12−2.5t，OG=AB=2√3，所以S=12⋅MN⋅OG=12√3−5√32t，而−5√32<0，S由2√3逐渐减小，减小到接近于0，由此可知，当t为83秒时，S取得最大值，最大值为8√33．25. 【答案】(1) ∵抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)与x轴交于点A(1,0)，∴a+b+c=0．把a=1，c=3代入上式，得1+b+3=0，解得b=−4．∴y1=x2−4x+3=(x−2)2−1．∴抛物线的顶点B的坐标是(2,−1)．(2) 由（Ⅰ）知，a+b+c=0，则b=−a−c．则抛物线y1=ax2+bx+c=ax2+(−a−c)x+c．方程ax2+(−a−c)x+c=0的两个根是x1=1，x2=ca．∵a≠c，∴抛物线y1=ax2+bx+c与x轴的另一个公共点的坐标是(ca,0)．(3) ∵C(ca,b+8)在抛物线上，由（Ⅰ）知(ca,0)也在抛物线上，∴b+8=0，即b=−8，∵a+c=−b，∴c=8−a. ⋯⋯①由y1=ax2−8x+c得到顶点B的坐标是(4a ,c−16a)．把C点代入直线解析式y2=2x+m得：0=2ca+m．m=−2ca．把B(4a ,c−16a)代入y2=2x−2ca，得c−16a =2×4a−2ca. ⋯⋯②联立①，②并求解得：a=2，c=6或a=4，c=4．∵a≠c．∴a=2，c=6．∴抛物线表达式为：y1=2x2−8x+6，A，B，C点的坐标分别为(1,0)，(2,−2)，(3,0)．当x≥1时，y1的最小值是−2，无最大值．∴y1的取值范围为：y1≥−2．。