巧构造,妙解题
巧构造，妙解题
等腰三角形的性质定理和判定定理分别为：等边对等角，等角对等边。
在求解或证明边长与角度的问题时，如果能够巧妙地构造出等腰三角形，就可以利用等腰三角形的性质定理和判定定理简便地解决问题。
下面介绍几种构造等腰三角形的方法，供大家学习时参考。
一、“角平分线+平行线”构造等腰三角形
例1、如图，在△ABC 中，已知∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点F ，过F 作DE//BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD +CE=10，则线段DE 的长为_______
F E D
C B
A
分析：由DE//BC ，BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACB ，先判断△BDF 和△CEF 是等腰三角形，从而将DE 转化为DF +FE= BD +CE
解：∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF=∠FBC ，又∵DE//BC ，则∠DFB=∠FBC ，∴∠DBF=∠DFB ，∴DB=DF ，同理EF=EC ，∴DE=DF +FE= BD +CE=10
二、“角平分线+垂行线”构造等腰三角形
例2、如图所示，在△ABC 中，BM 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BM 于点D ，求证：∠BAD=∠DAC +∠C
M E D C B
A
分析：由BM 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BM ，我们只要延长AD 与BC 交于点E ，△ABE 就是等腰三角形。
证明：延长交BC 于点E ，∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠EBD ，∵AD ⊥BM ，
∴∠ADB=∠EDB=90°，在△ABD 和△EBD 中，ABD EBD ADB EDB BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△ABD ≌△EBD ，
∴∠BAD==∠BED=∠DAC +∠C ，即∠BAD=∠DAC +∠C
三、用“垂直平分线” 构造等腰三角形
例3、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点M ，BD=8，求AC 的长
M
D
C B
A
分析：由MD 垂直平分AB ，联想到连接AD ，构造出一个等腰三角形，则AD=BD ，∠B=∠BAD=15°，再结合直角三角形的性质可得
解：连接AD ，∵MD 垂直平分AB ，∴ND=AD=8，∴∠B=∠BAD=15°，∴∠ADC=∠B +∠BAD=30°，在Rt △ACD 中，∠ADC =30°，∴142
AC AD =
= 四、用“三角形中2倍角的关系” 构造等腰三角形
例4、如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B=2∠C ，求证：AB BD CD += 分析：由已知AD ⊥BC ，∠B=2∠C ，如果我们在CD 上截取DE=DB ，连接AE ，就可以构造出两个等腰三角形△ABE 和△AEC E
D C
B A
证明：在上截取DE=DB ，连接AE ，∵AD ⊥BC ，DE=DB ，∴AE=AB ，∴∠B=∠AEB ，又∵∠AEB=∠C +∠CAE=2∠C ，∴∠CAE=∠C ，∴AE=EC ，AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=。
高考数学复习点拨巧构造妙解题
指数函数的单调性是指数函数的重要性质， 灵活应用此性质可以解决一些与之相关的问 题，使一些看似复杂的问题， 通过构造指数函数轻松获解． 那么在具体问题中应如何构造函 数呢？下面结合几例加以剖析．
一、确定代数式的符号
例 1 已知 x， y R ，3x 3y 3 x 3 y ，判断 x y 的符号．
c 1．
a
a
x
x
因为 f ( x) b
c 在 R 上是单调递减函数，
a
a
用心 爱心 专心
bc
所以若 m 1，则 f (1)
1，即 b c a ，显然不能构成三角形；
aa
若 m 1，则 f (m) f (1) ，
m
m
b 又 f (m)
c
1， f (1)
b
c
，
a
a
a
因此 b c a ，故能构成三角形；
5a
a 的取值范围．
x
x
解：据方程有负实根，并注意到 y 3 是单调递减的，从而得到
3
1，
4
4
于是问题就变为解不等式
评析： 本题构造函数 y
3a 2
3
1 ，可知 a 5 ．
5a
4
x
3
是关键，利用函数与方程的关系使问题得以顺利解决．
4
三、判断几何图形形状
例３ 已知 a，b，c， m 都是正数，且 am bm cm ，
m
c
1，
a
用心 爱心 专心
求当 m 取何值时，长分别为 a， b，c 的三条线段能构成三角形？
解：由于 am bm cm ，且 a，b，c， m 都是正数，
巧用构造法妙解最值题
正解：去括号，得８髫一４—３０ｘ一６＝２４．
防错诀窍：去括号、不漏乘；正不变、负改变．
三、移项
常常是把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程
右边．注意移项要变号，其理论依据是等式性质１． 例３ ８ｘ一４—３０ｘ一６＝２４．
错解：移项，得８ｘ＝３０ｘ＝２４＋４—６． 错因分析：（１）一３０ｘ仍在方程左边，没有移项，不应变号； （２）一６由等号左边移项到等号右边应变为６． 正解：移项，得８ｘ～３０ｘ＝２４＋４＋６． 防错诀窍：移项易、符号变． 四、合并同类项 根据法则将同类项合并，要防止发生符号错误和分组错误． 例４ ８ｘ一３０ｘ＝２４＋４＋６．
于是Ｐ到ＢＢ’的距离最大，即将直线向上平移到与抛物线有唯
一交点Ｐ处．设与直线ＢＢ’平行的直线Ｚ的解析式为Ｙ＝一算＋
ｍ，与Ｙ＝一ｚ２＋（√３—１）ｚ＋√３联立，消元后令ａ＝０可得所求．
点评：涉及底边为定值，且三角形第三个顶点在函数图象上
运动的面积类最值问题，常可借助一元二次方程根的判别式加
以解决．
三、利用函数构造反比例函数的性质
最多有４４名同学．
点评：在解决有关“不足、至少、至多、不超过”等的最值问
题时，尝试将如上关键词准确转化为不等量关系，并用不等式
加以刻画往往能收到较好的解决效果．
２．构造方程
例４（芜湖卷）如图２，在平面 直角坐标系中放置一直角三角板，其
顶点为Ａ（一１，Ｏ），曰（０，√３），０（０， ０），将此三角板绕原点Ｄ顺时针旋转 ９００，得到ＡＡ’Ｂ’０．
错解：合并同类项，得２２ｘ＝３４． 错因分析：系数相加时忘记符号的判断． 正解：合并同类项，得一２２ｘ＝３４． 防错诀窍：合并时、准确算；一判号，二定值． 五、系数化为１ 根据等式性质２在方程两边同时除以未知数的系数或乘以 它的倒数进行计算．易发生两种类型错误，一是符号错误，二是
巧构造妙解题
巧构造妙解题
高琴
1. 直接构造
例1. 求函数的值域。
分析：由于可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。
解：令，则表示单位圆
表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（，）所得直线
的斜率。
显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为
1，即
所以
故
例2. 已知三条不同的直线，，
共点，求的值。
分析：由条件知为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。
解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程，即
（*）
由条件知，均为关于的一元三次方程（*）的根。
由韦达定理知
2. 由条件入手构造
例3. 已知实数x，y，z满足，求证：
分析：由已知得，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。
解：构造一元二次方程
其中x，y为方程的两实根
所以
即
故△＝0，即
3. 由结论入手构造
例4. 求证：若，，则
分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。
所以左边
故原式得证。
例5. 已知实数x，y满足，求证：
分析：要证原式成立，即证
即证
由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和，而单位圆的面积为，所以
故结论成立。
巧妙构造函数 破解三类题型
中孝生皋捏化解题篇创新题！溯源高二数学2021年5月巧妙构造函数破解三类题型■河北师范大学附属实验中学闫文娟函数是支撑数学学科知识体系的重要内容，反映了客观世界两个集合间的对应关系&而导数是研究函数性质的有力工具，是高考的热点话题。
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数解题的思路恰好是这两种思想的良好体现。
下面浅谈巧妙构造函数，合理运用导数，破解三类题型，旨在抛砖引玉$一、由“导^寻“源™妙解函数不等式在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数、导数、不等式交汇的重要题型，这类题型涉及抽象函数，很多学生解题时，突破不了由于抽象而造成的解题障碍，不能从容应对不等式的求解问题。
实际上，根据所给不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法$!!62020年河南信阳高中期末】已知函数f(')在R上存在导函数对于任意的实数都有f(!'"=A2'，当'V0时&f一)f{'"+f('">0,若e"f(2"+1"% f("+1),则实数"的取值范围是("$A. B.[-2#.[0,+7) D.(—7,0,解析：令g('"=e'f('"则当'V0时& g f('"=e'「f('"+?('),>0,g(')在(—7,0)上单调递增又g(—'"=e'f(—'"=e'f('"= g(c",故 g('"为偶函数，g(')在(0,+7"上单调递减$从而e"f(2"+1"%f("+1"等价于e2"+1f(2"+1"%e"+1f("+1",g(2"+1"% g(,"+1" $因此，I2"+1I'二I"+1I，即(2"+1)2'二2("+1"2,3"2+2"'0,解得一3'"'0,选B$点睛：联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法。
巧用构造法解答数学难题
巧用构造法解答数学难题马沁芳(福建省龙岩初级中学ꎬ福建龙岩３６４０００)摘㊀要:解题教学是初中数学教学中的重要环节ꎬ主要检测学生综合运用所学知识处理问题的能力.在初中数学教学中存在一些较难的问题ꎬ对学生的解题水平要求较高.从本质来看ꎬ解题过程即为条件向结论转化的过程ꎬ只不过面对难度较大的数学问题时ꎬ学生无法轻松找到转化方法.教师可指导学生结合条件和结论的特殊性ꎬ建构已知条件与所求结论之间的逻辑关系ꎬ从而顺利解答数学难题.关键词:初中数学ꎻ构造法ꎻ转化ꎻ数学难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０２－００６５－０３收稿日期:２０２３－１０－１５作者简介:马沁芳(１９７９.２－)ꎬ女ꎬ福建省龙岩人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀构造法指的是当采用常规方法㊁按照定向思维无法处理某些数学问题时ꎬ可基于已知条件与所求结论的特殊性ꎬ从新角度出发ꎬ运用新观点去观察㊁分析与理解问题ꎬ把握已知条件和所求结论之间的内在联系ꎬ运用问题的数据㊁外形㊁坐标等特征ꎬ构造新数学对象ꎬ由此达到解题的目的.在初中数学解题训练中ꎬ针对一些难题ꎬ学生运用常规方法和定向思维很难解决ꎬ教师可指引学生巧用构造法ꎬ结合题设条件和结论构造新对象ꎬ最终解答数学难题[１].１巧妙构造方程ꎬ解答数学难题方程是学生从小学时期就开始学习的一类数学知识ꎬ步入初中阶段以后ꎬ学生需学习更多有关方程的内容.除一元一次方程以外ꎬ还涉及一元二次方程㊁方程组㊁分式方程等知识ꎬ属于初中数学教学的一项重要内容ꎬ在解题中有着广泛应用.在初中数学解题训练中ꎬ有的题目难度较大ꎬ教师可指引学生结合题干中提供的条件和数量关系构造新方程ꎬ获得全新的解题思路ꎬ让学生结合方程知识转化问题ꎬ难题就迎刃而解[２].例１㊀已知ｘꎬｙꎬｚ是三个互不相等的实数ꎬ且ｘ>ｙ>ｚꎬ满足ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ꎬｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ那么ｘ＋ｙ的范围是什么?分析㊀题目中给出的方程关系较为特殊ꎬ是三元一次方程与三元二次方程形式ꎬ学生采用常规方法很难进行解题.此时ꎬ教师可指导学生运用构造方程的方法ꎬ将已知条件与所求结论联系到一起ꎬ利用方程知识求得结果.解㊀根据ｘ＋ｙ＋ｚ＝１可得ｘ＋ｙ＝１－ｚꎬ两边同时平方ꎬ得ｘ２＋２ｘｙ＋ｙ２＝１－２ｚ＋ｚ２.又因为ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝１ꎬ所以ｘｙ＝ｚ２－ｚ.由一元二次方程的根与系数的关系可以看出ꎬｘꎬｙ是方程ｍ２＋(ｚ－１)ｍ＋(ｚ２－ｚ)＝０两个不相等的实数根ꎬ再结合Δ>０可以得到－１３<ｚ<１ꎬ即为－１３<１－(ｘ＋ｙ)<１ꎬ则ｘ＋ｙ的范围是４３>ｘ＋ｙ>０.例２㊀已知实数ｘꎬｙꎬｚ满足ｘ＋ｙ＝３ꎬｚ２＝ｘｙ＋ｙ－４ꎬ求ｘ＋３ｙ＋２ｚ的值.分析㊀这是一道比较特殊的代数式求值类问题.教师可要求学生先对题目中的条件展开变形ꎬ把５６原式转变成两个式子的求解问题ꎬ再观察两个已知式子的形式ꎬ通过变形以后构造新方程ꎬ然后让学生结合方程的相关知识求解.解析㊀根据题意可得(ｘ＋１)＋ｙ＝４ꎬ(ｘ＋１)ｙ＝ｚ２＋４ꎬ通过观察易发现ꎬｘ＋１ꎬｙ是一元二次方程ｔ２－４ｔ＋ｚ２＋４＝０的两个实数根ꎬ然后结合一元二次方程根的判别式确定方程根的情况即可解决问题ꎬ求解过程从略.２巧构造不等式ꎬ解答数学难题不等式是用 >ꎬ<ꎬȡꎬɤꎬʂ 等符号表示大小关系的式子ꎬ学生在小学阶段也有所接触.在初中数学学习中ꎬ学生学习的不等式知识难度更大ꎬ深度也有所提升ꎬ涉及一元一次不等式㊁一元一次不等式组等内容ꎬ不少问题中都会用到不等式相关知识.在初中数学解题教学中ꎬ当遇到部分难题时ꎬ教师需提示学生注意题目中 最大 最小 不低于 不高于 等关键词ꎬ引导其尝试构造不等式模型ꎬ然后利用不等式知识解答难题[３].例３㊀已知某工厂存储有甲㊁乙两种原料ꎬ质量分别为３６０ｋｇ和２９０ｋｇꎬ现在准备利用这两种原料生产Ａ㊁Ｂ两种商品共计５０件ꎬ其中生产一件Ａ商品需要甲㊁乙两种原料分别为９ｋｇ㊁３ｋｇꎬ利润是７００元ꎬ生产一件Ｂ商品需要甲㊁乙两种原料分别为４ｋｇ㊁１０ｋｇꎬ利润是１２００元.(１)根据条件和要求生产Ａ㊁Ｂ两种商品一共有多少种方案?(２)设生产Ａ㊁Ｂ两种商品获得的总利润是ｙ(元)ꎬ生产Ａ商品ｘ件ꎬ请写出ｙ与ｘ之间的函数关系式ꎬ且利用函数的性质说明哪种生产方案能够获得最大利润?最大利润为多少?分析㊀先把题目中的文字语言转变成规范的数学语言ꎬ根据已知条件利用构造法建立一个不等式组ꎬ再结合不等式知识处理函数问题ꎬ然后根据实际生产情况确定方案.解㊀(１)设生产Ａ商品ｘ件ꎬ则Ｂ商品的数量为(５０－ｘ)件ꎬ根据题意可得不等式组９ｘ＋４(５０－ｘ)ɤ３６０ꎬ３ｘ＋１０(５０－ｘ)ɤ２９０.{解之得３０ɤｘɤ３２ꎬ由于ｘ的值只能是正数ꎬ故ｘ只能取３０ꎬ３１ꎬ３２ꎬ也就是Ａ商品的件数ꎬ那么根据(５０－ｘ)可以求得Ｂ商品的件数分别是２０ꎬ１９ꎬ１８ꎬ则一共有３种生产方案ꎬ即Ａ商品３０件ꎬＢ商品２０件ꎻＡ商品３１件ꎬＢ商品１９件ꎻＡ商品３２件ꎬＢ商品１８件.(２)根据题意可得ｙ＝７００ｘ＋１２００(５０－ｘ)＝－５００ｘ＋６００００ꎬ根据一次函数的性质可知ꎬ该函数中ｙ随ｘ的增大而减小ꎬ所以当ｘ＝３０时有最大利润ꎬ即生产Ａ商品３０件㊁Ｂ商品２０件获得的利润最大ꎬ此时ｙ＝－５００ˑ３０＋６００００＝４５０００ꎬ最大利润为４５０００元.ｙ与ｘ之间的函数关系式ｙ＝－５００ｘ＋６００００ꎬ由此可知ꎬ(１)中的方案１获得的利润最大ꎬ最大利润是４５０００元.３巧妙构造函数ꎬ解答数学难题函数在初高中数学课程体系中占据着重要地位ꎬ学好函数知识能够为数学学习带来诸多便利.原因在于不少题目都能够借助构造函数的方法解决ꎬ即使无法直接求解ꎬ也能够打开解题思路[４].例４㊀如图１所示ꎬ一位篮球员进行投篮练习ꎬ篮球沿着抛物线ｙ＝－１５ｘ２＋７２运行ꎬ然后顺利命中篮筐ꎬ其中篮筐的高度是３.０５ｍ.图１㊀篮球的运行路线图(１)篮球在空中运行的最大高度是多少?(２)假如该篮球运动员在跳投时ꎬ篮球出手距离地面的高度是２.２５ｍꎬ那么他距离篮筐中心的水平距离是多少?分析㊀对于问题(１)ꎬ应该把整个函数图象构造出来ꎬ求出篮球在空中运行过程中距地面的最高点ꎻ对于问题(２)ꎬ要构造平面直角坐标系ꎬ结合二次函数知识与图象的性质等求解问题ꎬ从而求出运动员与篮筐中心之间的水平距离.６６解㊀(１)根据已知条件可知ꎬ篮球沿着抛物线ｙ＝－１５ｘ２＋７２运行ꎬ该抛物线的顶点坐标是(０ꎬ３.５)ꎬ如图１所示大致画出篮球的运行路线ꎬ即为该抛物线的一部分ꎬ验证后可知最高点在函数的定义域内ꎬ由此可知篮球运行的最大高度是３.５ｍ. (２)建立如图１所示的平面直角坐标系ꎬ审题后可以发现求出该运动员位置的横坐标就是问题的答案ꎬ篮筐处的高度是ｙ＝３.０５ｍꎬ由此可知ｘ＝１.５ｍꎻ再根据该篮球运动员的出手高度ｙ＝２.２５ｍꎬ此时ｘ＝－２.５(ｘɤ０)ꎬ则运动员距篮筐中心的水平距离是４ｍ.例５㊀已知分式ｘ－３ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ无论ｘ取何值ꎬ该分式都有意义ꎬ那么ｍ的取值范围是什么?分析㊀因为本题中的分式恒有意义ꎬ这说明分母ｘ２－６ｘ＋ｍ的值永远不会是０.可据此构建一个二次函数ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ把分式问题转变为一个二次函数取值问题进行研究ꎬ结合二次函数的性质来解题ꎬ找出ｙʂ０的情况ꎬ以此确定ｍ的取值范围.解㊀令ｙ＝ｘ２－６ｘ＋ｍꎬ根据题意可知ꎬｙ的值永远都不等于０ꎬ由于该抛物线的开口方向是向上的ꎬ所以该二次函数的图像不会与ｘ轴相交ꎬ则Δ＝３６－４ｍ<０ꎬ解之得ｍ<９ꎬ即为ｍ的取值范围是ｍ<９.４巧妙构造图形ꎬ解答数学难题初中数学课程主要分为代数与几何两大方面的内容.用构造法解答数学难题时ꎬ不仅可以根据题意构造代数方面的式子ꎬ还能够构造出相应的几何图形ꎬ利用数形结合思想解题.在初中解题教学中ꎬ将 数 和 形 结合起来ꎬ不少难题就易于解答.例６㊀如图２所示ꎬ在四边形ＡＢＣＤ中ꎬ对角线ＡＣꎬＢＤ相交于点Ｏꎬ而且ＡＣ与ＢＤ的长度相等ꎬ点ＥꎬＦ分别为对角线ＡＢ与ＣＤ的中点ꎬＥＦ分别同ＢＤꎬＡＣ相交于点ＧꎬＨ.求证:ＯＧ＝ＯＨ.分析㊀在几何图形中出现多个中点ꎬ大多数情况下都要利用中位线的性质进行解题ꎬ所以本题可以先取ＢＣ的中点Ｍꎬ连接ＭＥꎬＭＦꎬ因为ＥꎬＦꎬＭ分别是ＡＢꎬＣＤꎬＢＣ的中点ꎬ由此可构造中位线ＥＭꎬ图２㊀例６题图ＭＦꎬ然后结合三角形中位线定理解题.先证明әＥＭＦ是等腰三角形ꎬ根据 等边对等角 ꎬ即可证明øＭＥＦ＝øＭＦＥꎬ利用平行线的性质证明øＯＧＨ＝øＯＨＧꎬ最后根据 等角对等边 即可解决问题.解㊀如图２所示ꎬ取ＢＣ的中点Ｍꎬ连接ＭＥꎬＭＦ.因为ＭꎬＦ分别是ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ则ＭＦʊＢＤꎬＭＦ＝ＢＤ.同理可得ＭＥʊＡＣꎬＭＥ＝ＡＣ.因为ＡＣ＝ＢＤꎬ所以ＭＥ＝ＭＦꎬøＭＥＦ＝øＭＦＥ.又因为ＭＦʊＢＤꎬ所以øＭＦＥ＝øＯＧＨ.同理可得øＭＥＦ＝øＯＨＧꎬ所以øＯＧＨ＝øＯＨＧꎬ所以ＯＧ＝ＯＨ.５结束语在初中数学解题教学中ꎬ有的题目难度比较大ꎬ采用常规方法和思路很难解答.面对这些难题ꎬ教师可引导学生巧妙运用构造法ꎬ重新处理题目中给出的条件和结论.把问题与熟悉的理论知识联系起来ꎬ通过构造方程㊁不等式㊁函数㊁几何图形等数学模型把问题实质清楚地反映出来ꎬ架构起结论和条件之间的桥梁ꎬ让学生从中寻求解题问题的切入点ꎬ确定合适的解题方案ꎬ继而准确解答数学难题.参考文献:[１]连继莹.例说初中数学的解题方法:以 构造法 为例[Ｊ].中学课程辅导(教师教育)ꎬ２０２１(９):１１４.[２]吴月红.巧用构造法解初中数学题[Ｊ].语数外学习(初中版)ꎬ２０２０(８):２８－２９.[３]张梅.构造法在初中数学解题中的有效运用[Ｊ].数学大世界(中旬)ꎬ２０２０(４):８０－８１. [４]张文贺.初中数学解题技巧的有效运用[Ｊ].数学大世界(下旬)ꎬ２０２０(１):７７.[责任编辑:李㊀璟]７６。
巧妙构造图形解决数学问题
巧妙构造图形解决数学问题【摘要】在数学问题解决过程中，巧妙构造图形常常起着关键作用。
通过利用几何图形的特性，我们可以更轻松地解决复杂的数学难题。
形状的对称性可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。
通过观察图形的变换以及规律，我们能够更快地找出解题思路。
构造图形并用它们证明数学定理，不仅使证明过程更加清晰，也深化了我们对定理的理解。
通过图形解释抽象的数学概念，我们能够更直观地理解和应用这些概念。
巧妙构造图形可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，是解决数学难题的有力工具。
在解决数学问题时，我们应该尝试从图形构造的角度入手，以提升解题效率和深化对数学问题的理解。
【关键词】巧妙构造图形解决数学问题、几何图形、对称性、图形变换、证明数学定理、抽象数学概念、直观理解、解决数学难题、工具、图形构造、数学问题、图形构造的角度。
1. 引言1.1 巧妙构造图形解决数学问题在数学领域，巧妙构造图形成为了一种常见的解决问题的方法。
通过利用几何图形的特性，我们可以更加直观地理解和解决数学难题。
图形在数学中扮演着重要的角色，它们能够帮助我们简化计算过程，找出规律，构造证明数学定理，解释抽象概念。
利用几何图形的特性解决数学难题是一种常见的方法。
在解决几何问题时，通过构造辅助图形，我们可以得到更多的信息，从而找到解题的突破口。
图形的直观性使得复杂的数学问题变得易于理解和解决。
利用形状的对称性也可以简化计算过程。
对称性是图形的重要特征，通过观察和利用图形的对称性，我们可以推导出一些结论，从而更快地解决数学问题。
利用图形的变换找出规律也是一种常见的方法。
通过对图形进行平移、旋转、反射等操作，我们可以发现一些隐藏的规律，从而推断出数学定理或结论。
巧妙构造图形可以帮助我们更直观地理解数学问题，图形构造是解决数学难题的有力工具。
在解决数学问题时，不妨尝试从图形构造的角度入手，这可能会为我们带来意想不到的启发和发现。
2. 正文2.1 利用几何图形的特性解决数学难题利用几何图形的特性解决数学难题是数学中常用的一种方法。
巧构造、妙解证
巧构造、妙解证江西省万安县万安二中 肖华英 （邮编343800）构造是几何解题中常用的技巧，它是根据题设条件或结论将原图形构造为特殊的几何图形，以沟通题设条件与结论之间的联系，从而达到快速解题的目的，下面分别举例说明：一．构造圆形例1．如图1，在四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，∠BCD=140°．求∠BAD 的度数．分析：观察已知条件，由AB=AC=AD ，联想圆的定义可知B 、C 、D 三点是在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．因此作出辅助圆，问题就容易解决了．简解：以A 为圆心，AB 为半径作圆，并在优弧上任取一点E ，连接EB 、ED ．∵四边形EBCD 为⊙A 内接四边形，∠BCD=140° ∴∠E=40°，∴∠BAD=2∠E=80°．二．构造三角形例2．某片绿地的形状如图2所示，其中∠A=60°，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，AB=200m ，CD=100m ，求AD 、BC 的长（精确到1m ，732.13 ）分析：本题已出现特殊角，若能把它放在直角三角形中，问题就容易解决了，为此可延长AD 、BC 交于E ，这样就能把原图形构造成一个直角三角形． 简解：延长AD 交BC 的延长线于点E ，则在Rt △ABE 中，易知BE=2003m ，AE=400m在Rt △CDE 中，CE=200m ，DE=1003m 则AD=400－1003≈227m BC=2003－200≈146m故：AD ≈227m BC ≈146m三．构造平行四边形例3．如图3在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 垂直相交于O ，MN 是梯形的中位线，∠DBC=30°，求证：AC=MN 分析：本题利用“三角形全等”和“等角对 等边”等常用方法来证AC 与MN 相等是很困难的，根据30°角和梯形中 位线的性质，需要添加辅助线，构成 平行四边形．简证：过D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于E ，则四边形ACED 为平行四A D EB C 图2 A DN E C M B O 图3 图1边形，且∠BDE=90°∴CE=AD ， AC=DE在Rt △BDE 中，∠DBE=30°∴DE=21（BC+CE ）=21（BC+AD ） ∴AC=21（BC+AD ） 又∵MN=21（BC+AD ） ∴AC=MN 四．构造菱形例4．凸五边形ABCDE 中，有∠A=∠B=120°（如图4）．EA=AB=BC=2，CD=DE=4，求凸五边形ABCDE 的面积． 分析：此图形是不规则图形，直接求面积很困难，因此可通过添加辅助线把所求面积转化成规则图形（基本图 形）的面积和（差）来计算，根据已知条件可知∠A=∠B=120°可延 长CB 、EA 交于F 点，将原图形构造成 菱形CDEF 和等边△ABF ，所求面积就显而易见了．简解：延长EA 、CB 交于F 点．∵∠EAB=∠CBA=120°∴△FAB 为等边三角形． 由EA=AB=BC=2 CD=DE=4易证四边形CDEF 为菱形．连接CA 、CE ，则CA ⊥EF ，在Rt △CAE 中，易求CA=32∴S 五边形ABCDE =S 菱形CDEF —S △FAB =4×37322132=⨯⨯- 五．构造正方形例5．如图5所示：A 、B 为两个村庄，AB 、BC 、CD 为公路，BD 为田地，AD 为河宽，且CD 与AD 互相垂直，现要从点E 处开始铺设通往村庄A 、村庄B 的一条电缆，有如下两种铺设方案：方案一：E →D →A →B ；方案二：E →C →B →A ，经测量，AB=34千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°，已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米．（1）求河宽AD 和公路CD 的长（结果可保留根号）（2）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明理由。
学会使用构造法，巧解初中几何题
学会使用构造法，巧解初中几何题
辅助线在几何的解题中应用非常广泛，在解题时，正确的添加辅助线，可以挖掘题目中隐藏的条件，让我们在解题的过程中，有一种“柳暗花明”的感觉，不知同学们是否有过这种体会？
今天我分享一种辅助线的作法——构造法，那么什么是构造法呢？我想就是根据题目中的已知条件，构造成我们熟悉的图形，如含30º角的直角三角形、等腰三角形、等边三角形等。
再利用这些特殊图形的相关结论、性质对问题进行求解。
下面结合例题进行详细讲解
例1.构造等腰三角形
如图，AB//CD，∠1=∠2，E是BC的中点。
求证：AD=AB+CD。
证明:延长DE与AB的延长线交于点F
∵AB//CD，∠1=∠2
∴∠2=∠F=∠1，∠EBF=∠DCE
又∵E是BC的中点
∴CE=BE
∴△DCE≌△FBE(AAS)
∴D C=BF
∵∠1=∠2
∴AD=AF=AB＋BF
∴AD=AB＋CD
[思路小结]
根据题意，要求不在同一条直线上的线段和相等，我们必须将线段转化到同一条直线上，再证明相等就容易多了。
本题就是利用构造法，通过作辅助线构造一个等腰三角形，利用等腰三角形两个底角相等，那么底角所对应的边也相等的性质，将三个线段转化到一条线段，再求解。
例2.构造30º的直角三角形
[思路小结]
通过作辅助线延长CD至E，使DE=DC，连接BE；构造直角三角形，证明△BDE≌△ADC，BE=AC，∠E=∠ACD=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BE=2BC，最后得AC=2BC.
例3.构造等边三角形。
巧妙构造,让数学解题更精彩
应考方略数学有数GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG 巧妙构造，让数学解题更精彩■江苏省太仓市明德高级中学王佩其数学解题，贵在巧思，巧思方可得妙解.而巧思中最为推 崇的解法是构造法，这种方法体现了数学思维的创新性，是 数学解题的最高境界.通过对题目的条件与结论进行对比分 析，找到一座沟通它们之间的桥梁，这座桥梁可以是一个函 数，一个方程，一个图形等，借助这座桥梁，可以让原问题 圆满解决，这就是所谓的构造法.本文举例说明，供同学们 参考._、巧构几何体，速解立几题在立体几何中，我们通常把正方体、长方体、正四面体 等这些形状优美，性质优美且特殊的几何体称作完美几何体. 在立体几何中，这些几何体有着十分重要的地位，起着不可 替代的作用，有些几何问题，往往可以通过对比与联想，构 造出完美几何体，借助于完美几何体的优美性质，让原问题 快速解决，同时也让我们感受到数学的奇异美.例1.已知一个棱长是a的正四面体的四个顶点均在同一 个球面上，则这个球的表面积是（)A. 37T02B-T na2C.^rTTa}D.各•jra2解析j正四面体有六条相等的棱，而正方体的六个面都是 全等的正方形，因此它们的对角线都相等，于是可以采用补 形的方法，将正四面体“还原”成正方体（如图1),那么正 方体的外接球就是与正四面体的外接球.因为四面体的棱长为a,所以正方体的棱长是A f a,于是正方体对角线f就是这个球的直径，故球半径= S:477"/?2=~^-7ra2.所以本题选 D.正方体是立方体中最完美的图形，它与它的内切球 与外接球之间的关系，能帮助我们快速找到解题“突破口 对于正四面体，将其“放入”正方体中，可以快速求出它的 外接球的半径.例2.已知乙/10B是平面a内的一个直角，0是直角顶 点，又0C是平面a的斜线，且乙4O C=Z S O C=60°,则直线 0C与平面a所成的角的大小是______._如图2所示，作正四棱锥且它的每一个侧面都是正三角形.于是a4, O B,0C满足已知条件，这相当于把题设所给的线面关系“搬到”了正四棱锥中，于是原问题等价于求侧棱C0与正四棱锥的底面a4A B所成的角.设底面中心为£,则乙C0£：即为所求的角.经图2计算可知，〇£=C£，故乙C O£=45。
高中数学 巧构造 妙解题解题思路大全
巧构造 妙解题1. 直接构造例1. 求函数f x x x ()sin cos =-+32的值域。
分析：由于f x x x()sin cos =-+32可以看作定点（2，3）与动点（-cosx ，sinx ）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。
解：令μθ=-=cos sin x x ，，则μθ221+=表示单位圆f x k ()=--=32θμ表示连接定点P （2，3）与单位圆上任一点（μ，θ）所得直线θμ---=k k ()320的斜率。
显然该直线与圆相切时，k 取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即||32112-+=k k所以k =±2233 故22332233-≤≤+f x ()例 2. 已知三条不同的直线x y a sin sin 3αα+=，x y a sin sin 3ββ+=，x y a sin sin 3γγ+=共点，求sin sin sin αβγ++的值。
分析：由条件知sin sin sin αβγ，，为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。
解：设（m ，n ）是三条直线的交点，则可构造方程m n a sin sin 3θθ+=，即 4303m n m)a sin (sin θθ-++=（*）由条件知，sin sin sin αβγ，，均为关于sin θ的一元三次方程（*）的根。
由韦达定理知sin sin sin αβγ++=02. 由条件入手构造例3. 已知实数x ，y ，z 满足x y z xy =-=-692，，求证：x y =分析：由已知得x y xy z +==+692，，以x ，y 为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。
解：构造一元二次方程p p z 22690-++=其中x ，y 为方程的两实根所以∆=-+≥364902()z即z 299+≤z z 200≤=，故△＝0，即x y =3. 由结论入手构造例4. 求证：若n ≥3，n N ∈，则13141511123333++++< n 分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。