信息安全数学基础知识点
第六章 素性检验
6.1 拟素数
引例：根据Fermat 小定理，我们知道：如果n 是一个素数，则对任意整数b,(b,n)=1,有
)
(mod 11
n b
n ≡-
由此，我们得到：如果一个整数b,(b,n)=1,使得 )(mod 11
n b
n ≡/-，
n 是一个合数。
定义1：设n 是一个奇合数，如果整数b,(b,n)=1使得同余式 )(mod 11
n b
n ≡-成立，则n 叫做对于基b 的拟素数。
引理：设d,n 都是正整数，如果d 能整除n 则12-d
能整除12-n
定理1：存在无穷多个对于基2的拟素数。
定理2：设n 是一个奇合数，则
(i)n 是对于基b,((b,n)=1),的拟素数当且仅当b 模n 的指数整除n-1。
(ii)如果n 是对于基1b ((1b ,n)=1),和基2b ，((2b ,n)=1),的拟素数，则n 是对于基21b b 的拟素数。
(iii)如果n 是对于基b,((b,n)=1),的拟素数，则n 是对于基1
-b 的拟素
数。
(iv)如果有一个整数b ，((b,n)=1),使得同余式)(mod 11
n b
n ≡-不成立，
则模n 的简化剩余系中至少有一半的数使得该同余式不成立。
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Fermat 素性检验
给定奇整数3≥n 和安全参数t 。
1.随即选取整数b ,22-≤≤n b ； 2.计算()n b
r n mod 1
-=;
3.如果1≠r ，则n 是合数；
4.上述过程重复
t 次；
定义2：合数n 称为Carmichael 数，如果对所有的正整数b ，(b,n)=1, 都有同余式()n b
n mod 11
≡-成立
定理3：设n 是一个奇合数。
(i)如果n 被一个大于1平方数整除，则n 不是Carmichael 数。
(ii)如果k p p n 1=是一个无平方数，则n 是Carmichael 数的充要条件是 11--n p i ，k i ≤≤1
定理4：每个Carmichael 数是至少三个不同素数的乘积 注：1.存在无穷多个Carmichael 数
2.当n 充分大时，区间[]n ,2内的Carmichael 数的个数大于等于7
2
n
6.2 Euler 拟素数
引例：设n 是奇素数，根据定理，我们有同余式 )(mod 2
1
n n b b
n ⎪⎭
⎫
⎝⎛≡- 对任意整数b 成立
因此，如果存在整数b ，(b,n)=1,使得
)(mod 2
1
n n
b b
n ⎪⎭
⎫
⎝⎛≡/- 则n 不是一个素数。
定义1:设n 是一个正奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件： )(mod 2
1
n n b b
n ⎪⎭
⎫
⎝⎛≡- 则n 叫做对于基b 的Euler 拟素数。
定理1：如果n 是对于基b 的Euler 拟素数，则n 是对于基b 的拟素 数。
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Solovay-Stassen 素性检验 给定奇整数3≥n 和安全参数t . 1.随即选取整数b ，22-≤≤n b ；
2.计算);(mod 2
1
n b
r n -=
3.如果1≠r 以及1-≠n r ，则n 是合数；
4.计算Jacobi 符号
;⎪⎭
⎫
⎝⎛=n
b s 5.如果s r ≠，则你是合数； 6.上述过程重复
t 次。
6.3 强拟素数
引例：设n 是正奇整数，并且有t n n
21=-，则我们有如下因数分解式：)1)(1()1)(1(12
1
2
2
1
-+++=----t
t t
t
n b b b
b
b
n n
因此，如果有同余式
)(mod 11
n b
n ≡-
则如下同余式至少有一个成立：
)
(mod 1)
(mod 1)(mod 1)(mod 11
2
2n b
n b
n b n b t
t t
t
n -≡-≡-≡≡-
定义1：设n 是一个奇合数，且有表达式t n n
21=-，其中t 为奇数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件：
)(mod 1n b t
≡
或者存在一个整数，s r <≤0使得
)(mod 12n b
t
r
-≡
则n 叫做对于基b 的强拟素数。
定理1：存在无穷多个对于基2的强拟素数。
定理2:如果n 是对于基b 的强拟素数，n 是对于基b 的Euler 拟素数。
定理3：设n 是一个奇合数，则n 是对于基b ，11-≤≤n b ，的强拟素数的可能性至多为25%。
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// Miller-Rabin 素性检验
给定奇整数3≥n 和安全参数k 。
写t n s
21=-，其中t 为奇整数。
1.随机选取整数22,-≤≤n b b 。
2.计算)(mod 0n b r t
≡；
3.(i )如果10=r 或10-=n r ，则通过检验，可能为素数。
回到1，继续选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ;
(ii )否则，有10≠r 以及10-≠n r ，我们计算)(mod 2
01n r r ≡； 4.(i )如果11-=n r ，则通过检验，可能为素数。
回到1，继续选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ；
(ii )否则，有11-≠n r ，我们计算)(mod 2
12n r r ≡； 如此继续下去，
S+2.(i )如果11-=-n r s ，则通过检验，可能为素数。
回到1，继续选取另一个随机整数22,-≤≤n b b ; (ii )否则，有11-≠-n r s ，n 为合数。
信息安全数学基础第一阶段知识总结
信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章整数得可除性一整除得概念与欧几里得除法1 整除得概念定义1 设a、b就是两个整数，其中b≠0如果存在一个整数q 使得等式a=bｑ成立，就称b整除a或者ａ被ｂ整除，记作b|a ,并把b 叫作a得因数,把a叫作b得倍数、这时，q也就是a得因数,我们常常将ｑ写成a/b或否则,就称b不能整除a或者a不能被b整除,记作a b、2整除得基本性质(1)当b遍历整数a得所有因数时,－b也遍历整数a得所有因数、（2)当ｂ遍历整数a得所有因数时,a/b也遍历整数a得所有因数、（3)设b，c都就是非零整数，(i）若b|a,则|b|｜|ａ|、(ｉｉ)若ｂ｜a,则ｂｃ|aｃ、(iii)若b|a,则1〈|b｜≤|ａ|、3整除得相关定理（1)设a,ｂ≠0,c≠０就是三个整数、若c｜b,b|a,则ｃ|a、(２)设a，b，c≠０就是三个整数,若ｃ|ａ,ｃ|b,则ｃ｜a±b(3）设a，b,c就是三个整数、若c｜a，ｃ|b则对任意整数s，t,有c|ｓa+tb、(４）若整数a１, …,aｎ都就是整数c≠0得倍数，则对任意n个整数s１,…,ｓｎ，整数就是c得倍数（5）设a，b都就是非零整数、若a|b,ｂ|a,则a=±b(6)设a,ｂ，c就是三个整数,且b≠0,c ≠0,如果(a , c）=1,则(ab , ｃ)＝（ｂ，c）(7) 设ａ，b , c就是三个整数,且ｃ≠0，如果c｜ａb，（a , ｃ）＝1, 则c｜b、（8）设ｐ就是素数，若ｐ|ab ,则p |a或p|b（9）设a1，…,a n就是n个整数，p就是素数,若ｐ｜a1…a n，则p一定整除某一个ａk二整数得表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等得相互转化、三最大公因数与最小公倍数（一)最大公因数1．最大公因数得概念定义:设就是个整数,若使得 ,则称为得一个因数。
公因数中最大得一个称为得最大公因数。
记作、若，则称互素。
若,则称两两互素。
信息安全数学基础第1章 整数的可除性
欧几里德算法
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《信息安全数学基础》 第1章
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《信息安全数学基础》 第1章
欧几里德算法
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《信息安全数学基础》 第1章
欧几里德算法-举例
【例1.2.6】 利用欧几里德算法求（172, 46）.
172=46×3+34 46=34+12
(172, 46)=(46,34) (46,34)=(34,12)
《信息安全数学基础》 第1章
1.2.1带余除法
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《信息安全数学基础》 第1章
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《信息安全数学基础》 第1章
带余除法一般形式
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《信息安全数学基础》 第1章
带余除法-举例
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《信息安全数学基础》 第1章
1.2 .2 最大公因数
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《信息安全数学基础》 第1章
最大公因数-举例
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《信息安全数学基础》 第1章
(172, 46)=(46,34)
《信息安全数学基础》 第1章
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《信息安全数学基础》 第1章
裴蜀等式-特例
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《信息安全数学基础》 第1章
裴蜀等式-举例
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《信息安全数学基础》 第1章
void Euclid(unsigned int num1,unsigned int num2) {
int a[32],b[32]; int inv_a,inv_b,tmp; int i=0,j=0; a[0]=num1; b[0]=num2; while(a[i]%b[j]!=0) {
•
《信息安全数学基础》 第1章
标准分解式
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《信息安全数学基础》 第1章
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《信息安全数学基础》 第1章
第2章 信息安全数学基础(数论)计算机系统与网络安全技术课件
素数定义及素数个数定理
1.定义：
一个大于1的整数p，只能被1或者是它本身整除,而不能 被其他整数整除，则称整数为素数(prime number)，否 则就叫做合数(composite)。 eg 素数（2，3，5，7，11，13等）
合数（4，6，8，9，12等）
2020/10/3
素数补充定理
Euclid算法实例：求 gcd(132, 108).
132110824, 10842412, 24212,
gcd(1,1302)8 gcd(1,0284) gcd(42,12) 12.
2020/10/3
最大公约数的欧几里得算法（续）
欧几里得算法（例1）
求：gcd（1180，482）
1 1 8 0＝ 2 4 8 2＋ 2 1 6 4 8 2＝ 2 2 1 6＋ 5 0 2 1 6＝ 4 5 0＋ 1 6 5 0＝ 3 1 6＋ 2 1 6＝ 8 2＋ 0
≈3.9 * 1097.
2020/10/3
整数的唯一分解定理
1.整数的唯一分解理定理（算术基本定理）:
设n∈Z, 有分解式, n = ±p1e1p2e2...pmem,其中p1, p2,…, pm∈Z+是互不相同的素数, e1,e2,…,em∈Z+, 并且数对(p1, e1), (p2, e2),…,(pm, em)由n唯一确定（即 如果不考虑顺序，n的分解是唯一的）.
b r1q2 r2, 0 r2 r1,
gcd(r1,r2 )
r1 r2q3 r3, 0 r3 r2,
gcd(r2,r3)
..........
rn2 rn1qn rn, 0 rn rn1,
rn1 rnqn1,
信息安全数学基础欧几里德算法c语言代码
信息安全数学基础之欧几里德算法一、引言信息安全是当今社会互联网时代不可或缺的重要组成部分，信息安全的基础是数学理论，而欧几里德算法作为一种基本的数学算法，被广泛应用在信息安全领域中。
本文将通过对欧几里德算法的介绍和C语言代码实现，为读者提供深入了解和学习欧几里德算法的基础知识。
二、欧几里德算法原理欧几里德算法，又称辗转相除法，是求两个整数的最大公约数的一种方法。
其原理是通过重复利用两个整数的除法求余运算，将两个整数逐步缩小直至其最大公约数被求出。
具体步骤如下：1. 设两个整数为a和b，其中a>b；2. 用b去除a，得到余数r；3. 将b赋值给a，将r赋值给b；4. 重复2、3步骤，直到r等于0，此时b即为a和b的最大公约数。
三、C语言实现欧几里德算法下面给出了C语言实现欧几里德算法的代码：```#include <stdio.h>// 欧几里德算法int euclid_algorithm(int a, int b) {int r; // 余数while (b > 0) {r = a b;a = b;b = r;}return a;}int main() {int num1, num2, gcd; // 输入的两个整数和它们的最大公约数printf("请输入两个整数：");scanf("d d", num1, num2);gcd = euclid_algorithm(num1, num2);printf("d和d的最大公约数为：d\n", num1, num2, gcd); return 0;}```四、欧几里德算法应用举例以输入两个整数为24和36的情况为例，当运行上述C语言代码时，得到的输出结果为：```请输入两个整数：24 3624和36的最大公约数为：12```这表明欧几里德算法成功地求出了24和36的最大公约数，验证了欧几里德算法的有效性和正确性。
信息安全数学基础
信息安全数学基础导言信息安全是在当前信息时代中广泛关注的一个重要领域。
它涉及到保护数据的机密性、完整性和可用性，以及防止未经授权的访问、修改或破坏数据的行为。
在信息安全领域，数学起着至关重要的作用。
数学提供了许多基础概念和技术，用于保护信息和数据。
本文将介绍信息安全的一些数学基础知识。
1. 整数论整数论是信息安全中不可或缺的一部分，其主要研究整数及其性质。
在信息安全中，整数论常用于加密算法和密钥生成。
其中，最常见的整数论问题是素数的应用。
素数是只能被1和自身整除的整数。
在信息安全中，素数被广泛应用于加密算法，如RSA算法。
RSA算法的基本原理是利用两个大素数的乘积作为公钥的模数，并求解其积的欧拉函数值。
因此，整数论中研究素数的性质和生成方法对于实现安全的RSA加密算法非常重要。
除了素数，整数论还涉及到很多其他概念和技术，如模运算、同余和剩余类等。
这些概念和技术在信息安全中的密码算法和密钥生成中起着至关重要的作用。
2. 离散数学离散数学是信息安全中的另一个重要基础。
离散数学研究的是离散结构，如集合、图论、布尔代数等。
在信息安全中，离散数学的概念和技术被广泛应用于密码学和网络安全。
密码学是关于信息加密和解密的科学，其中离散数学起着关键作用。
密码学使用离散数学的技术来设计和分析密码算法。
例如，离散数学的图论技术可以用于构建网络拓扑图，以评估网络的安全性。
布尔代数被广泛应用于逻辑门电路的设计和分析，用于实现对信息的逻辑操作和处理。
离散数学的另一个重要应用是在密码学中的离散对数问题。
离散对数问题是指已知一个数的底数和模数，求解指数的问题。
这个问题在公钥密码学中扮演着重要角色，如Diffie-Hellman密钥交换协议和椭圆曲线密码算法。
3. 概率论与统计学概率论和统计学是信息安全中的另一对重要基础。
它们被用于分析密码算法的安全性、测量信息系统的可靠性，并为风险评估和安全决策提供支持。
在密码学中，概率论和统计学的概念被广泛应用于对密码算法的攻击和破解。
信息安全数学基础第一章
1.1 群的定义-群的定义
注4：由于群里结合律是满足的，把元素 的n次连乘 ：由于群里结合律是满足的，把元素a的 次连乘 记为a 交换群也可记为na），称为a的 次幂 ），称为 记为 n （交换群也可记为 ），称为 的n次幂 或称乘方）。 （或称乘方）。 注5：若(G, )只满足结合律，则称 为半群；如果 只满足结合律， 为半群； ： 只满足结合律 则称G为半群 (G, ) 满足结合律且有单位元，则称 为有单位元的 满足结合律且有单位元，则称G为有单位元的 半群。 半群。
SL(n, R ) ≤ GL(n, R )
18
1.2
群的性质群的性质-子群
定理1 一个群G和它的一个子群 和它的一个子群H有 定理1 一个群 和它的一个子群 有： 1）G的单位元和 的单位元是同一的； 的单位元和H的单位元是同一的 ） 的单位元和 的单位元是同一的； 2）如果 ∈H，a−1是a在G中的逆元，则a−1∈H． 中的逆元， ）如果a∈ ， 在 中的逆元 ．
an = 1 ⇔ | a | n
的阶， 2）记 | a | 为元素 a 的阶，则 |a| i | a |= (| a |, i )
16
1.2
群的性质-群的分类 群的性质-群的分类
从元素个数来分：有限群与 从元素个数来分：有限群与无限群 的剩余类加法群、乘法群， 次对称群等为有 模 n 的剩余类加法群、乘法群， n 次对称群等为有 限群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无 限群；一般线性群，特殊线性群，整数加群等为无 限群。 限群。 从代数运算的交换性来分：交换群与 从代数运算的交换性来分：交换群与非交换群 的剩余类加法群、乘法群，整数加群等为交 模 n 的剩余类加法群、乘法群，整数加群等为交 n 换群； 次对称群， 换群； 次对称群，一般线性群和特殊线性群等 非交换群。 为非交换群。
信息安全原理与技术ch02-数学基础
25
离散对数
• 模运算用于指数计算可以表示为ax mod n， 我们称为模指数运算
• 模指数运算的逆问题就是找出一个数的离 散对数，即求解x，使得
ax ≡b mod n
• 定义2.17（离散对数）对于一个整数b和素 数n的一个本原根a，可以找到唯一的指数x， 使得b ≡ ax mod n，其中0≤ x ≤n-1，指数x 称为b的以a为基数的模n的离散对数
• for i= k downto 0 do {
• xd；
•
d(d d) mod n；
•
if (d=1 & x 1 & x n-1) then return
TRUE；
•
if bi=1 then d(d a) mod n }
•
if d1 then return TRUE；
• else return FALSE.
……
rj-1 = rjqj+1 最后一个不为0的余数rj就是a和b的最大公因子
2019/8/29
Ch2-数学基础
4
例2.1 求gcd (1970，1066)
• 用欧几里德算法的计算过程如下： • 1970＝1×1066+904 • 1066＝1×904+162 • 904＝5×162+94 • 162=1×94+68 • 94＝1×68+26 • 68＝2×26+16 • 26＝1×16+10 • 16＝1×10+6 • 10＝1×6+4 • 6=1×4+2 • 4＝2×2+0 • 因此gcd (1970，1066) = 2
信息安全原理与技术
郭亚军 宋建华 李莉 清华大学出版社
信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案信息安全是当今社会中一个重要的领域，它涉及到人们的隐私和数据的保护。
在信息安全的学习过程中，数学是一个不可或缺的基础。
本文将为您提供一些信息安全数学基础习题的答案，帮助您更好地理解和应用相关的数学概念。
一、离散对数问题离散对数问题是信息安全领域中的一个重要数学概念。
以下是一些常见的离散对数问题及其答案：1. 如果p是一个素数，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程a^x ≡ b (mod p)的x值。
答案：x ≡ log_a(b) (mod p-1)2. 如果p是一个素数，g是一个p的原根，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程g^x ≡ a (mod p)的x值。
答案：x ≡ log_g(a) (mod p)二、RSA算法RSA算法是一种非常常见的公钥加密算法。
以下是一些与RSA算法相关的习题及其答案：1. 如果p=17，q=11，e=7，计算n和d的值，其中n是模数，d是私钥。
答案：n = p * q = 17 * 11 = 187，d ≡ e^(-1) (mod (p-1)*(q-1)) = 7^(-1) (mod 160) = 232. 如果n=187，e=7，加密明文m=88，计算密文c的值。
答案：c ≡ m^e (mod n) = 88^7 (mod 187) = 11三、椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学问题的加密算法。
以下是一些与椭圆曲线密码学相关的习题及其答案：1. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算公钥Q的值。
答案：Q = d * G2. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算共享密钥K的值。
答案：K = d * Q = d * (d * G)结语本文为您提供了一些信息安全数学基础习题的答案，涉及了离散对数问题、RSA算法和椭圆曲线密码学等内容。
信息安全数学基础-知识点总结
地分解成有限个素数的乘积。 如果我们把相同的素因子写在一起，则每个正整数n的素分解都
可以写成
，其中q1,q2,…,qt是彼此不同的素数，而ni≥1，1≤i≤t，我们称
此式为正整数n的标准分解式。
定义1.3.6：设整数n≥2，若a1|m, a2|m，… ，an|m，则称正整数m为正整数a1, a2, ..., an的公倍 数。正公倍数中最小者叫做最小公倍数。用记号[a1,a2,...,an]或者lcm(a1,a2,...,an)表示。
定理1.1.1：若整数a，b，c满足条件a|b且b|c，则a|c。
定理1.1.2：设整数a，b，c满足条件c|a且c|b，则m, nZ，都有c|(ma+nb)。
定义1.1.2：一个大于1的正整数，若只能被1和其本身整除，而不能被其他正整数整除，则称 其为素数（或质数），通常记为p或p1, p2, p3, …。
定理1.3.5：设a与b是两个不全为0的整数，那么d是a与b的最大公因数当且仅当下面两个条件 成立：(i) d|a且d|b；(ii) 若c是一个整数，且c|a，c|b，则c|d。
定义1.3.4：设a1，a2，…，an是不全为0的整数，那么这些整数的最大公因数是这些整数的公因 数集中的最大整数，记为(a1，a2，…，an)。
定理1.3.11：如果n是一个合数，则n有一个不超过 的素因子。（反证法）
1）爱拉斯托散（Eratosthenes）方法
若n有素分解式
且p1<p2<…<ps，则根据定理1.3.11我们得到 ：
据此，我们可以使用下面的“筛选法”筛选出不超过n的一切素数。这种“筛选法”是由古希 腊数学家爱拉斯托散发明的，故被称为爱拉斯托散方法。
①. 自反性：若a是一个整数，则a≡a (mod m)。
信息安全数学基础第一阶段知识总结
信息安全数学基础第一阶段知识总结第一章 整数的可除性一 整除的概念和欧几里得除法 整除的概念定义 设♋、♌是两个整数，其中♌≠ 如果存在一个整数 ❑ 使得等式 ♋♌❑ 成立，就称♌整除♋或者♋被♌整除，记作♌♋ ，并把♌叫作♋的因数，把♋叫作♌的倍数 这时，❑也是♋的因数，我们常常将❑写成♋／♌或 否则，就称♌不能整除♋或者♋不能被♌整除，记作♋ ♌整除的基本性质☎✆当♌遍历整数♋的所有因数时， ♌也遍历整数♋的所有因数☎✆当♌遍历整数♋的所有因数时，♋♌也遍历整数♋的所有因数☎✆设♌，♍都是非零整数，☎♓✆若♌♋，则 ♌♋ ☎♓♓✆若♌♋，则♌♍♋♍☎♓♓♓✆若♌♋，则 ♌≤ ♋ 整除的相关定理☎✆ 设♋，♌≠ ，♍≠ 是三个整数 若♍♌，♌♋，ab则♍♋☎✆ 设♋，♌，♍≠ 是三个整数，若♍♋，♍♌，则♍♋±♌☎✆ 设♋，♌，♍是三个整数 若♍♋，♍♌则对任意整数♦，♦，有♍♦♋♦♌☎✆ 若整数♋ ⑤♋⏹都是整数♍≠ 的倍数，则对任意⏹个整数♦，⑤，♦⏹，整数是♍的倍数☎✆ 设♋，♌都是非零整数 若♋♌，♌♋，则♋±♌ ☎✆ 设♋ ♌ ♍是三个整数，且♌≠ ，♍ ≠ ，如果☎♋ ♍✆则 ☎♋♌ ♍✆☎♌ ♍✆☎✆ 设♋ ♌ ♍是三个整数，且♍≠ ，如果♍｜♋♌ ☎♋ ♍✆ 则♍ ♌☎✆ 设☐ 是素数，若☐ ♋♌ 则☐ ♋或☐♌☎✆ 设♋ ⑤♋⏹是⏹个整数，☐是素数，若☐ ♋ ⑤♋⏹ 则☐一定整除某一个♋ 二 整数的表示主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化 三 最大公因数和最小公倍数 ☎一✆最大公因数 ．最大公因数的概念nn a s a s ++ 11定义：设是个整数，若使得 ，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作若 则称 互素．若 则称两两互素．思考： ．由两两互素，能否导出．由 能否导出两两互素？．最大公因数的存在性☎✆若 不全为零，则最大公因数存在并且☎✆若全为零，则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．．求两个正整数的最大公因数．定理 ：设任意三个不全为零的整数，且 则辗转相除法由带余除法 得☎✆⑤⑤因为每进行一次带余除法，余数至少减少 ，且是有限整数，故经过有限次带余除法后，总可以得到一个余数是零的情况，即由☎✆知，定理 ：任意两个正整数 则是☎✆中最后一个不等于零的余数．定理 ：任意两个正整数的任意公因数都是的因数． ．性质定理 ：任意两个正整数，则存在整数，使得成立定理 ：设是不全为零的整数．☎♓✆若则☎♓♓✆若则☎♓♓♓✆若是任意整数，则从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论：♊♋ 且♌♍．求两个以上正整数的最大公因数设则有下面的定理：定理 ：若 是个正整数，则只需证♊是的一个公因数．♋ 是的公因数中最大一个例 求解：．求两个正整数的最大公因数的线性组合（重点掌握）方法一 运用辗转相除法求最大公因数的逆过程；方法二 补充的方法方法三 运用列表法求解☎二✆ 最小公倍数．最小公倍数的定义定义： 是 个整数，如果对于整数，有那么叫做的一个公倍数．在 的一切公倍数中最小一个正整数，叫做最小公倍数．记作 ．．最小公倍数的性质．定理 ：设是任给的两个正整数，则☎♓✆的所有公倍数都是的倍数．☎♓♓✆定理 ：设正整数是的一个公倍数，则．求两个以上整数的最小公倍数定理 ：设是个正整数 若则只需证：♊是 的一个公倍数，即♋设是的任一公倍数 则例 求解：又四 素数 算术基本定理．素数、合数的概念定义：一个大于 的整数，如果它的正因数只有 和它的本身，我们就称它为素数，否则就称为合数．．性质定理 ：设是大于 的整数，则至少有一个素因数，并且当是合数时，若是它大于 的最小正因数，则p ，都有定理 设⏹是一个正整数，如果对所有地素数n☐ ⏹则⏹一定是素数求素数的基本方法：爱拉托斯散筛法。