高中数学3.2.1几类不同增长的函数模型精品课件新人教A版必修m)
有时
x 2，有时 x2
。 2x x2
但是,当自变量 x 要越来越大时，可以看到， y 2 x的图象就像与 x轴垂直一样，2 x的值快速增长， x 2 2 比起x 来，几乎有些微不足道，如图 3.2-6和表37所示。
x
y2
x
0 1 0
10 1024 100
20
30
40
50
60
70
80
1.E+06 1.E+09 1.E+12 1.E+15 1.E+18 1.E+21 1.E+24 400 900 1600 2500 3600 4900 6400
x
探究
你能用同样的方法，讨论一下函数：
y a x （ 0 a 1 ） 、 y x n （n 0）、
y loga x （ 0 a 1 ） 在区间（0,） 上的衰
减情况吗？
练习P119 在同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并 比较它们的增长情况：
（ 1 ） y 0.1e x 100, x [0,] ； （2） y 20ln x 100, x [0,] ； （3） y 20x, x [1,10] 。
3 8 9
3.4 10.556 11.56
y x2
图3.2-4 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 y
y=2^x y=x^2 以2为底 的对数学 函数
xLeabharlann 1234
5
6
7
8
9 10 11
2 y x 下面我们在更大的范围内，观察 y 2 和 的增长情况 x
x
y2
） 一般地，对于指数函数 y a （a 1 和幂函 n （0,） 数 y x （n 0） ，通过探索可以发现，在区间 上，无论 比 a大多少，尽管在 x 的一定变化范围内， n x n x x x ，由于 a 的增长快于 的增长，因此总存在一 a 会小于 x n x 个 0 ，当 x x0时，就会有 a 。 x
y x2
探究
2 y x 你能借助图象，对 和 y log2 x
的增长情况进行比较吗？
请在图象上分别标出使不等式
log2 x 2 x x 2 log2 x x 2
2 x
x (0,2) (4,)
成立的自变量 x 的取值范围
x ( 2,4)
结论
x
• 3.2.1 几类不同增长的函数模型二
），指 我们知道，对数函数 y loga x （a 1 n x y x （n 0） 数函数 y a （a 1 ）与幂函数 （0,） 在区间 上都是增函数。从上述两个例子可以 看到，这三类函数的增长是有差异的。那么，这种 差异的具体情况到底怎样呢？
x 2 y 2 , y x , y log2 x 下面，我们不妨先以
函数为例进行探究。
表3-5
x
y2
x
0.2 1.149 0.04
0.6 1.516 0.36
1 2 1
1.4 2.639 1.96
1.8 3.482 3.24
2.2 4.595 4.84
2.6 6.063 6.76
x
综 上 所 述 ， 在 区 间（0,）上 ， 尽 管 函 数 n x y loga x （a 1 ） y x （n 和 1 ） y a （ a 1 ） 、 都是增函 数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上 。随着 的增大， y a x （a 1 ） 的增长速度越来越快，会 超过并远远大于 y x n （n 1 ） 的增长速度， ） 而 y loga x （a 1 的增长速度则会越来越慢。 因此，总会存在一个 x0 ， 当 x x0 时，就有 n x loga x x a 。
x
0 1 0
2 4 4
4 16 16
6 64 36
8 256 64
10 1024 100
12 4096 144
14 16384 196
16 65536 256
y x2
2 y 2 从图可以看到， 和 y x 的图象有两个交点， 2 x x 这表明 与 2 在自变量不同的区间有不同的大小关系， x
n
） 同样地，对于对数函数 y loga x （a 1 和幂函 loga x 数 y x n （n 0） , 在区间（0,） 上，随着 x 的增大， 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与 轴平行一样， n log x x x ， 尽管在 的一定变化范围内， a 可能会大于 n log x 但由于 的增长，因此总存在一 a 的增长慢于 x n x x x log x x 个 0 ，当 。 a 0时，就会有
2014年高中数学(入门答疑+思维启+状元随笔)3.2.1几类不同增长的函数模型同步课堂讲义课件 新人教A版必修1
指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝ logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速 度的比较 1．在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ax(a>1)，y＝ 增函数 ，但 logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是___________ 增长速度 不同，且不在同一个“档次”上． ____________ 2．在区间(0，＋∞)上随着 x 的增大，y＝ax(a>1) 越来越快 ，会超过并远远大于 y＝ 增长速度_____________ xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度 越来越慢 ． 则会_____________ n< a x log x < x a 3．存在一个 x0，使得当 x>x0 时，有____________.
2．某企业生产一种机器的固定成本 (即固定投入) 为 0.5 万元， 但每生产 100 台时， 又需可变成本 (即 另增加投入)0.25 万元，市场对此商品的年需求量 为 500 台，销售收入(单位：万元)函数为： 1 2 R(x)＝5x－ x (0≤x≤5)，其中 x 是产品生产的数 2 量(单位：百台) (1)把利润表示为产量的函数． (2)年产量为多少时，企业所获得的利润最大？
(1)由题意知： g(x)＝ f(x)－ f(x－ 1) 1 1 ＝ · x(x＋ 1)(35－2x)－ (x－ 1)x[35－2(x－1)] 150 150 1 ＝ x[(x＋ 1)(35－2x)－ (x－1)(37－ 2x)] 150 1 1 ＝ x(72－ 6x)＝ x(12－x)． 150 25 1 ∴g(x)＝ x(12－ x)(x∈ N 且 x≤12)． 25
x 1 2 (2)g(x)＝ (12－x)＝－ (x － 12x＋36－36) 25 25 1 1 36 2 2 ＝－ [(x－ 6) －36]＝－ (x－ 6) ＋ ， 25 25 25 36 ∴当 x＝ 6 时，g(x)有最大值 . 25 36 即第六个月需求量最大，为 万件． 25
3-2-1 几类不同增长的函数模型
所以有关系式 y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7. 结论为：由此法计算 4 月份的产量为 1.3 万双，比实际产 量少 700 双，而且由二次函数性质可知，产量自 4 月份开始 将每月下降(图象开口向下，对称轴为 x＝3.5)，不合实际．
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
假如你是厂长，就月份 x，产量为 y 给出四种函数模型：y＝ ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝ax ＋b，y＝abx＋c，你将利用哪 一种模型去估算以后几个月的产量？ [分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确
1 2
定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．
5 26 32 10 4.322
10 101
15 226
20 401
25 626
30 901
1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 20 5.322 30 5.907 40 6.322 50 6.644 60 6.907
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
(3)设模拟函数为 y＝a x＋b 时， 将 A，B 两点的坐标代入函数式，得
a＋b＝1， 2a＋b＝1.2. a＝0.2 2＋1， 解得 b＝0.8－0.2 2.
所以有关系式为 y＝0.48 x＋0.52. 结论为：当把 x＝3 和 4 代入关系式，分别得到 y＝1.35 和 y＝1.48，与实际产量差距较大．
第三章
3.2
3.2.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
【红对勾】高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教版必修1
x n 0 0
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在 区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于 xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，
函数增长模型差异的应用
【例2】
某学校为了实现60万元的生源利润目
标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利 润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单 位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但 奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现 有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪 个模型符合该校的要求？
1.585 2
2.322 2.585 2.807
3.170 3.322
试问： (1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋 势？ (2)各函数增长速度的快慢有什么不同？
解：(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大 (2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其 中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝ x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7的增长速度不变； 增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
课堂篇02
合作探究
函数模型的增长差异
【例1】
研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝
x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【解析】
【解】
画出草图进行比较．
分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象
几类不同增长的函数模型 课件 高一上学期数学人教A 版(2019)必修第一册
A(1, 0)，B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
解得k lg 2, b lg 2
f ( x ) (lg 2) x lg 2
练习
(课本P139页练习第4题)
4.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是（ ）
大超过y=kx(k>0)的增长速度.
指数函数不像一次函数按同一速度增
长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
探究2 选取适当的对数函数与
一次函数，探索它们在区间(0
，+∞)上的增长差异，你能描述
一下对数函数的增长特点吗？
不妨以函数y=lgx和= x为例.
列出上述两个函数自变量与函数值的对应值表，并
大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直
至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百
分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
:探究不同函数增长的差异
引例2.假如你有一笔资金用于投资，现有三种方
案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只
兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，
兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大
利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75
亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载
畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳
1
函数y=lgx与y= 10 x在 6
高中数学新人教A版必修1第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例
由题意:v2-v1=1,
2
1
1
− log3 1 = 1.
2
100 2
100
1
log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q 1.
2
1
1
即 log3
∴
故鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的 9 倍.
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
回到实际,检验问题结果.
【做一做1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所
示,那么图象所对应的函数模型是(
)
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
答案:A
【做一做 2】 已知大气压强 p(单位:百帕)与海拔高度 h(单位:
反比例函数模型
f(x) = (k 为常数,k≠0)
一次函数模型
f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=a·bx+c(a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1)
对数函数模型
f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,
M(单位:亿元)和 N(单位:亿元),它们与投资额 t(单位:亿元)的关系有
经验公式:M=
1
3
1
6
,N= . 今该公司将用3 亿元投资这两个项目,若
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
3.2.1几类不同增长的函数模型课件人教新课标1
0.8
0.4
3 40 0 30 10
1.6
0.8
4 40 0 40 10
3.2
1.6
5 40 0 50 10
6.4
3.2
6 40 0 60 10
12.8
6.4
7 40 0 70 10
25.6
12.8
8 40 0 80 10
51.2
25.6
9 40 0 90 10
102.451.2…… … … ……
…
种投资方案；投资8~10天，应选择第二种投
资方案；投资11天（含11天）以上，应选择
第三种投资方案。
解决实际问题的步骤：
实际问题
读
抽
懂
象
问
概
题
括
数学问题
演推 算理
实际问题的解 还 原 说 明
数学问题的解
例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备 制定一个激励门的嘉奖方案：在销售利润到达10万 元时，按销售利润进行嘉奖，且资金y(单位：万元) 随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但资 金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。 现有三个嘉奖模型：y=0.25x，y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？
O
R
圆的周长随着圆的半径的增大而增大：
L=2*π*R (一次函数) 圆的面积随着圆的半径的增大而增大：
S=π*R2 (二次函数)
回顾： 某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两 个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次后，得 到的细胞个数y与x的函数关系是 y = 2x 。
第一次 第二次 第三次 第四次
第x次 2x个
3-2-1 几类不同增长的函数模型
第 9页
第三章
3.2 3.2.1
高考调研
思考题 1 求是：
新课标A版 ·数学 ·必修1
小明在教练指导下进行跑步训练，训练的计划要
(1)起跑后匀加速， 10 秒后达到每秒 5 米的速度， 然后匀速跑 2 分钟； (2)开始匀减速，到 5 分钟时减到每秒 4 米的速度，再保持匀 速跑 4 分钟． 请按上面的要求，解决下面问题． (1)画出小明跑步的速度与时间的图像； (2)写出小明跑步训练时，速度关于时间的函数．
Hale Waihona Puke 第14页第三章3.2 3.2.1
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
思考题 2
有甲、乙两种商品，经营销售这两种产品所能获
得的利润依次是 P 和 Q(万元)，它们与投入资金 x(万元)的关系有 x 3 经验方程式：P＝ ，Q＝ x.今有 3 万元资金投入经营甲、乙两 5 5 种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应 为多少？能获得的最大利润是多少？
高考调研
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解析
设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求，则第一
1 次过滤后杂质剩余量为2%(1－3)， 1 1 第二次过滤后杂质剩余量为2%(1－ )(1－ ) 3 3 12 ＝2%(1－3) ， 第x次过滤后杂质剩余量为
第19页
第三章
3.2 3.2.1
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
化简得 y＝1.6x＋800，(其中 250≤x≤400)， ∵此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的 k＝1.6>0， ∴y 是一个单调增函数，再由 250≤x≤400 知当 x＝400 时， y 取得最大值，此时 y＝1.6×400＋800＝1 440(元)． 所以买进 400 份赢利最大，获利 1 440 元．
新人教A版必修一不同函数增长的差异课件(22张)
求.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上是增加的,且当x=1 000
时,y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要
求.
探究一
探究二
探究三
再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否超过利润x的25%,即当
∴
故
= 4.
2(3-)2 + = 6.
答案:③ f(x)=(x-1)(x-4)2+4
1
2
3
4
5
6
1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是 (
)
A.y=100x
B.y=log100x
C.y=x100
D.y=100x
解析:由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数
y=100x的增长速度最快.
而b=log23>1,因此选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
函数不同增长特点在实际问题中的应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激
励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进
行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,
但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖
x∈[10,1 000]时,利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图像
(图略),由图像可知f(x)在[10,1 000]上是减少的,因此f(x)<f(10)≈0.316 7<0,即log7x+1<0.25x.所以当x∈[10,1 000]时,y<0.25x.
2022年高中数学3-2-1几类不同增长的函数模型习题含解析新人教A版必修
几类不同增长的函数模型班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________寒假作业【基础过关】1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过年可能增长到原来的倍，则函数的图象大致为A. B. C. D.2．当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的是( )A.y=100xB.y=log100xC.y=x100D.y=100x3．某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来的价格相比,变化情况是 ( )A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减4．已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,则当2<x<4时,有( )A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y2>y3>y15．假设某商品靠广告销售的收入与广告费之间满足关系，那么广告效应D，当 时，取得最大广告效应，此时收入 .6．四个变量，，，随变量变化的数据如下表：05101520253051305051130200531304505594.4781785.2337335305580105130155 52.31071.42951.14071.0461 1.0151 1.005关于呈指数型函数变化的变量是 .7．试比较函数y=x200,y=e x,y=lg x的增长差异.8．有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内,年增长20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长10%,现有两种砍伐方案:甲方案:栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.乙方案:栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.请计算后回答:十年后哪一个方案可以得到较多的木材?(不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算)【能力提升】已知桶1与桶2通过水管相连如图所示,开始时桶1中有a L水,t min后剩余的水符合指数衰减函数y1=a·e-nt,那么桶2中的水就是y2=a-a·e-nt,假定5 min后,桶1中的水与桶2中的水相等,那么再过多长时间桶1中的水只有 L?答案【基础过关】1．D【解析】由已知可推断函数模型为指数函数.2．D【解析】由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.3．B【解析】设该商品原价为a,则四年后的价格为a(1+20%)2(1-20%)2=0.921 6a,所以(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即四年后的价格比原来的价格减少了7.84%.4．B【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.5． 【解析】，∴，即时，D最大.此时.6．【解析】由于指数函数的增长呈“爆炸式”，结合表中数据可知，关于x呈指数型函数变化的变量是.7．增长最慢的是y=lg x,由图象(图略)可知随着x的增大,它几乎平行于x轴.当x较小时,y=x200要比y=e x增长得快;当x较大(如x>1 000)时,y=e x要比y=x200增长得快. 8．设最初栽植量为a,甲方案在10年后木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.1×1.2)5≈4a.乙方案在10年后木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.∴y1-y2=4a-4.98a<0,则y1<y2.因此,十年后乙方案可以得到较多的木材.【能力提升】由题意,得a·e-5n=a-a·e-5n,即e-5n= ①.设再过t min桶1中的水只有 L,则a·e-n(t+5)=a,即e-n(t+5)= ②.将①式两边平方得e-10n= ③,比较②,③得-n(t+5)=-10n,∴t=5.即再过5 min桶1中的水只有 L.。