高等数学专科期末考试卷
遵章守纪考试诚信承诺书
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承诺人签字：
数理部《高等数学》(专科)课程期末考试卷
2016——2017学年第二学期 闭卷
考试时间： 100分钟 任课教师: （统一命题的课程可不填写）
年级、专业、班级 学号 姓名
题号 一 二 三 四 总得分
得分
评卷人签字
复核人签字
得分 一、填空题（每小题3分，共15分）
1.设21,1()1,1xxfxxax，)(xf在1x处连续，则a 。
2.已知()3fx，则0(2)()limxfxxfxx 。
3.211x是()fx的一个原函数，则()fxdx 。
4.已知曲线lnyx，求曲线点(,1)e的切线方程 。
5.函数()lnfxxx在[1,]e上满足拉格朗日中值定理的点 。
得分 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.函数22141yxx的定义域是（ ）。
A.(2,2) B.[2,2] C.[2,1)(1,2] D.[2,1)(1,1)(1,2]
2.设函数(,)zfxy有一阶、二阶偏导数，则当（ ）时，22zzxyyx。
A.函数(,)zfxy连续 B.函数(,)zfxy可微
C.,zzxy连续 D.,xyyxzz连续
3.若函数()fx在点0x处满足00()0,()0fxfx，则点0x是曲线()yfx的（ ）。
A.拐点 B.极大值点 C.极小值点 D.单调性不能确定
4.由曲线2yx，直线2,2,0xxy围成的屏幕图形的面积为（ ）。
A.220xdx B.222xdx C.40ydy D.402ydy
5.以下方程中（ ）是一阶线性微分方程。
A.xyye B.xyy C.0yxyy D.lnyyx
得分 三、计算题（每小题6分，共54分）
1.11lim()ln1xxxx 2.22lim()xxxx
3.ln(2)yx，求y。 4.已知1xyxeyexy，求dydx。
5.4xdxx 6.10xxedx 7.xzxyy，求dz。 8.求dyxyxdx的通解。 9.计算二重积分Dxydxdy，:D是由2,1xy与yx所围成的区域。 得分 四、解答题（第1小题7分，第2小题9分，共16分） 1.证明方程323100xx在区间(3,4)内至少有一个根。
2.求函数2(3)(2)yxx的极值。
《高等数学(二)》期末考试试卷B(含答案)
y)
2
x
2y2
xy
（单位：万元）
若根据市场预测，共需要这两种机床 8 台，问应如何安排生产，才能使总成本最 小？（7 分）
解： x 5, y 3
n 1
i 1
A． limsn 0 n
C. limsn 可能不存在 n
B. limsn 存在 n
D. sn为单调数列
8、幂级数
n 1
(x
2)n n2
的收敛区间为（
B
）
A.（1,3） B. 1,3
C. 1,3
D. 1,3
二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 1、球心在点（1，2,3），半径为 4 的球面方程为 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 16 .
2、方程 x2 y2 z2 2 x 2 z 2 0表示的图形是圆心在（-1,0，-1），半径为 2
的球面.
.
3、二元函数 z 16 x2 y2 的定义域是 (x, y) : x2 y2 16 .
4、 F (x, y) x 5y ，则 F(1,3) =
14
2x y
三、计算题（每小题 5 分，共 35 分） 1、求函数的一阶偏导数
dx cos y.y ex (2xy2 2x2 y.y) 0
y ex 2xy2 2x2 y cos y
5、求函数 f (x, y) x3 y3 9xy 27 的极值
解： fx 3x2 9y f y 3y2 9x 令 fx 0, fy 0 得：（1） x 3, y 3 （2） x 0, y 0 （ 1 ） 当 x 3 ,y 3fx x 6 x, fx y 9 , f y y 6y 故 A 18, B 9,C 18 ，
4.下列命题（ A ）正确
《高等数学》期末考试A卷(附答案)
《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设 是正整数， 为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。
【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。
【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137． 函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3． 当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（ ）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对 【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （ ）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。
高等数学期末试卷及答案
ΩΣΣ1ΣΣΣΣ高等数学期末试卷一、填空题1. 函数z =xy 在点(0,2)处的最大方向导数为 。
2. 设f(x)={−2 ,−1<x ≤02+x 2,0<x ≤1，则其以2为周期的Fourier 级数在x =−4处收敛于 。
3. 已知(a ⃑×b ⃑⃑)∙c ⃑=1，则(a ⃑×b ⃑⃑)∙(a ⃑+3b ⃑⃑+2c ⃑)= 。
4. 设L: x 2+y 2=1，则曲线积分∮(x+2y)2−1πLds = 。
5. 设Σ是由曲线{2z =x 2y =0，绕z 轴旋转一周所生成的曲面，则其在点M(1,1,1)处的切平面方程为 。
二、选择题 1. 设直线L:x−12=y −1=z−34，则下面平面中与直线L 垂直的是（ ） A.2x −y +4z =1 B.2x −y +2z =1 C.−x +2y +z =3D.2y +z =32. 设函数z =f(x,y)的全微分为dz =xdx +ydy ，则点(0,0) （ ）A.不是z =f(x,y) 的极值点B.是z =f(x,y)的极小值点C.是z =f(x,y) 的极大值点D.不是z =f(x,y)的连续点3. 设函数f (u )连续，且满足f (0)=0，f ′(0)=1，Ω:x 2+y 2+z 2≤t 2(t >0)，则lim t→0+1πt 4∭f(√x 2+y 2+z 2)dV =（ ） A.0B.12C.1D.434. 设曲面Σ的方程为x 2+y 2+z 2=z ，Σ1为Σ在第一卦限的部分，则下列不正确的是（ ）A.∬xdS =0B.∬x 2dS =∬y 2dSC.∬z 2dS =4∬z 2dSD.∬x 2dS =05. 下列级数中收敛的有（ ）个。
①∑1−cos 1n ∞n=1；②∑(1n −1n +1)cosnπ∞n=1；③∑(1+1n )−n ∞n=1；④∑2nn 33n ∞n=1。
A.1B.2C.3D.4三、计算二重积分∫dy 10∫e −x 2dx 1y 。
湖南科技大学《高等数学》2023-2024学年第一学期期末试卷
湖南科技大学2023——2024学年第一学期《高等数学》期末考试试卷班级：姓名：学号：一、填空题(每小题3分，共15分分数：)1.=)(x f 21111x --的间断点是=x 2.若)0(,)(2n x n y e x y 则+==3.函数43)(3--=x x x f 的极大值点为4.dx e x ⎰+11=5.=-⎰dx x 2024二、填空题(每小题3分，共15分)1.当1→x 时，函数11211)(---=x e x x x f 的极限为（）)(A ∞)(B 不存在)(C 2)(D 02.设)(x f 是以3为周期的奇函数，且1)1(-=-f ，则)7(f =（）)(A 1)(B 1-)(C 2)(D 2-3.设||)(x x x f =，则)0(f '是（）)(A 0)(B 1)(C 1-)(D 不存在4.方程0133=+-x x 在区间(0,1)内（）)(A 无实根)(B 有唯一实根)(C 有两个实根)(D 有三个实根5.设)(x f 在[a -，a ]上连续（a ＞0），⎰=-dx x f a a )(（）)(A ⎰a 21.求极限(C )不存在 (D )⎰0a [f (x )+f (-x )]dx三、计算题(每小题8分，共40分0f (x )dx (B )0)x x x ln 1arctan 2lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→π。
2.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0,0 ,sin )(x x x x x f ，求)(x f '。
3.()dx x 210arcsin ⎰yxt 1s 2s 1o 4．在区间]1,0[上给定函数2x y =，问t 为何值时，图中的阴影部分1S 与2S 的面积之和最小？何时最大？5．试确定正的常数a ,b 使等式1sin 1lim 2200=+-⎰→dt t a t bx x x x 成立。
四、综合应用题(每小题10分，满分20分)1.在曲线)0(2≥=x x y 上某点A 处作一切线，使此切线与曲线以及x 轴所围成图形的面积为121，试求由上述所围平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1一、填空题(每空3 分，共15 分）1。
设,则.2。
曲面在点处的切平面方程是.3.交换累次积分的次序：.4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成，则：使得格林公式：成立的充分条件是：。
其中L是D的取正向曲线；5.级数的收敛域是。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.当，时,函数的极限是A。
等于0； B. 等于；C。
等于; D. 不存在.2.函数在点处具有偏导数,是函数在该点可微分的A.充分必要条件；B。
充分但非必要条件；C。
必要但非充分条件； D. 既非充分又非必要条件。
3.设,则A。
; B。
；C.；D。
4.若级数在处收敛，则此级数在处A。
绝对收敛; B。
条件收敛；C.发散；D.收敛性不确定。
5。
微分方程的特解应设为A.;B.；C.;D.。
三。
（8分）设一平面通过点，而且通过直线,求该平面方程.解：平行该平面该平面的法向量所求的平面方程为：即：四.（8分)设，其中具有二阶连续偏导数,试求和.解：令，五.（8分）计算对弧长的曲线积分其中是圆周与直线在第一象限所围区域的边界.解：其中：：：：而故：六、（8分)计算对面积的曲面积分，其中为平面在第一卦限中的部分.解：：,七。
（8分）将函数,展开成的幂级数.解:，而,,,八。
（8分)求微分方程：的通解。
解:，原方程为：通解为：九。
幂级数:1。
试写出的和函数；（4分）2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分)解:1、于是2、令：由1知：且满足：通解：由，得:；故:十.设函数在上连续,且满足条件其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与平面(参数)所围成的空间区域。
1、将三重积分写成累次积分的形式；（3分) 2、试求函数的表达式。
（7分）解:1、旋转曲面方程为：由，得：故在面的投影区域为：：2、由1得：记：则:两边乘以：，再在上积分得：解得：故:第二学期期末高数（下)考试试卷及答案2三、填空题(每空3 分，共15 分)1.曲线，绕轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程是。
高等数学期末试卷及答案
高等数学期末考试一、填空题1. 若)(x f 为可导的奇函数且,5)(0='x f 则______________)(0=−'x f .2. 曲线1ln e (0)⎛⎫=+> ⎪⎝⎭y x x x 的渐近线方程为 .3. 设lnsec ,y x =则y 的三阶导数为 .4. 若函数)(x f 可导且满足20()()ln 22x tf x f dt =+⎰，则()f x = . 5. 函数()(0,1)x f x a a a =>≠的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式为 . 二、选择题1．下列命题错误的是（ ）.（A ）若函数)(x f 在点0x 处不连续，则)(x f 在点0x 处必不可导 （B ）若函数)(x f 在点0x 处连续，则)(x f 在点0x 处必可导 （C ）若函数)(x f 在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必连续 （D ）若函数)(x f 在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必可微 2．下列等式中成立的是（ ）.（A ）()()d f x dx f x =⎰ （B ）()()df x dx f x dx dx =⎰（C ）()()df x dx f x C dx =+⎰（D ）()()d f x dx f x dx =⎰ 3．下列函数在[1,1]−上满足罗尔定理条件的是（ ）.（A ）()x f x e =（B ） ()||f x x =（C ）2()1f x x =−（D ）1sin0()0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩4．函数arctan y x x =的图形是（ ）（A ）(,)−∞+∞处处是凸的 （B ）(,)−∞+∞处处是凹的（C ）(,0)−∞为凸的，(0,)+∞为凹的 （D ）(,0)−∞为凹的，(0,)+∞为凸的. 5．函数212x x x y C e C e xe −=++满足一个微分方程是（ ） （A ）23x y y y xe '''−−= （B ）23x y y y e '''−−= （C ）23x y y y xe '''+−= （D ）23x y y y e '''+−= 三、计算下列各题1．2260(1)limln(1)x t x e dtx →−+⎰．2．求不定积分⎰3．1212dx −⎰．4．求曲线22x y a=和322a y a x =+所围平面图形的面积（0a >）．5．设)(x y y =由方程053=−+x y e xy所确定，试求2002,x x dyd y dxdx ==．6．求微分方程,0)ln (ln =−+dx x y xdy x 满足条件1x ey==的解．四、设函数32ln(1)0arcsin () 6 010sin 4ax ax x x x f x x e x ax x x x ⎧⎪+<⎪−⎪⎪==⎨⎪+−−⎪>⎪⎪⎩，问a 为何值时，0x =是()f x 的可去间断点．五、当2021π<<<x x 时，证明不等式2211tan tan x x x x >．六、把星形线222333x y a +=所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积．七、求数列中最大的项1e答案解析：在0x >区域内无间断点.()1limlim ln e 1,1ln 111e lim (())lim ln e 1lim ,1e →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫=+=⎪ ⎭⎝⎛⎫+⎪ ⎤⎡⋅⎫⎛⎝⎭-=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x x x x x f x x x x f x x x x x1e=+y x 是斜渐近线，3.22sec tan x x 4.2ln 2xe答案解析：将方程两边求导得到()2(),(0)ln 2f x f x f 且¢==故方程的解为20()e ln 2e ,x f x c c c ，==×=故2()ln 2exf x =5.2112(ln )(ln )1)(0(ln )1ln (1)!!2!x n n n n xa a a a x x x x a a n n θθ++<<++++=++ （或2112(ln )(ln ))(0(ln )1ln (1)!!2!n n n nxa a a x a x x x a x a n n ξξ++<<++++=++ ）二选择题1．B 2．D 3．C4．B答案解析：2arctan 1x y x x '=++，222222221210(1)(1)1x x y x x x +-''>=+=+++，故曲线处处是上凹的，应选（B ）.5．D三、解答如下1.2260(1)limln(1)x t x e dtx →-+⎰原式=226(1)limx t x e dt x →-⎰445500(1)22lim lim 66x x x e xx x x x →→-==13= 高等数学答案解析一、填空题1.5，2．y =x +2.求不定积分原式212=⎰21arcsin 2x C =+3．1212dx-+⎰1202=⎰原式1220120(1)12arcsin )220x x =--=-=-+⎰⎰⎰12(2)12266x ππ=-⨯⨯+=-4．求曲线22x y a =和322a y a x=+所围平面图形的面积（0a >）.求交点为(,,)22a a a a -，则3222(2a x dS dx a x a=-+，由对称性32222012()()223aa x S dx a a x a π=-=-+⎰5．设)(x y y =由方程053=-+x y e xy所确定，试求220==x x dx y d dxdy方程两边同时对x 求导得053)(2=-'+'+y y y x y e xy 235y xe ye y xyxy+-='222(())(3)(()6)(5)(3)xy xy xy xy xy xy xy y e ye y xy xe y e xe y xy yy ye y xe y ''''-+++-+++-''=+或222()263xy xy xy e y xy e y yy y xe y '''+++''=--又当10-==y x 时，2='y ,193y ''=6．求微分方程,0)ln (ln =-+dx x y xdy x 满足条件1x ey ==的解解将方程标准化为,1ln 1xy x x y =+'于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x e y dx x x dx x x dx ln ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-C dx e x e x x ln ln ln ln 1.ln 21ln 12⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x 由初始条件,1==e x y 得,21=C 故所求特解为.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 四.设函数32ln(1)0arcsin () 6 010sin4ax ax x x x f x x e x ax x x x ⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩，a 为何值时，0x =是()f x 的可去间断点？解：3322000002ln(1)33lim ()lim lim lim lim 611arcsin arcsin 1()2x x x x x ax ax ax ax f x a x x x x x →-→-→-→-→-+=====---⋅-22220000021122lim ()lim lim lim lim 42111sin 4422ax ax ax ax x x x x x e x ax e x ax ae x a a e f x a xx x x→+→+→+→+→++--+--+-+====+若0x =是()f x 的可去间断点，则00lim ()lim ()(0)x x f x f x f →-→+=≠2 6426a a ∴-=+≠，即：2a =-五．当2021π<<<x x 时,证明不等式1212tan tan x x x x >证明：令xxx f tan )(=,2 ,0(π∈x .因为0tan tan sec )(222>->-='xx x x x x x x f ,所以在)2 ,0(π内f (x )为单调增加的因此当2021π<<<x x 时有2211tan tan x x x x <,即1212tan tan x x x x >.六．解：由对称性,所求旋转体的体积为⎰=adxy V 022πdxx a a⎰-=033232)(2π30234323234210532)33(2a dx x x a x a a aππ=-+-=⎰.七．求数列中最大的项.解：令1 (0)xy x x =>，则1ln ln y x x=两边对x 求导，得：22111ln y x y x x '=-+，12 (1ln )xy xx '∴=-令0y '=，得x e =为唯一驻点，且当0x e <<时，0y '>；当e x <<+∞时，0y '< x e ∴=为函数的最大值点又< ，∴是该数列中最大项。
高等数学(工科类)期末试卷含答案
学年第 学期《高等数学（工科类）》课程期末考试试题（A 卷） 适用班级：专科 考试类别：闭卷笔试 命题教师： 审题教师：_ _ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬（答题时间100分钟，满分100分）一、 判断题（对的打“∨”，错的打“×”，每小题2分，共30分）。
1．x y 3sin =不是基本初等函数。
（ ）2．若)(x f 在o x 无定义，则)(x f y =在o x 处不连续。
（ ）3．无穷大的倒数为无穷小。
（ ）4．只有基本初等函数在定义区间内连续。
（ ）5．若)0()0(+=-o o x f x f ，则)(x f 在o x 处连续。
（ ）6．无穷小的和必为无穷小 。
（ ）7．连续函数的导数存在。
（ ）8．x y sin =的二阶导数x y sin -=''。
（ ）9．函数的微分是可导函数在一点处改变量的线性主部。
（ ）10．函数)(x f y =在点o x 处连续，则)(x f 在点o x 处可导。
（ ）11．若)(x f 在][b a ,上可导，且)()(a f b f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(=ξf 。
（ ）12．若)(o x f '=0，则o x x =为函数)(x f 的极值点。
（ ）13．函数xy 1=在定义域内既无最大值又无最小值。
（ ）14．极值点必为拐点。
（ ）15．函数)(x f 的不定积分是其全体原函数。
（ ）二、 选择题(每小题3分，共15分)。
1．下列说法中不正确的是 。
A ． )(lim x f x +∞→及)(lim x f x -∞→均存在但不相等，则)(lim x f x ∞→不存在；B ．若)(x f 在点o x 有定义，则)(lim x f o x x →存在； C ．若)(lim x f x ∞→不存在； ，则)0()0(+=-o o x f xf ； D ．当0>x 时，2ln )(x x f =与x xg ln 2)(=是相同函数。