2019_2020学年新教材高中数学第七章复数7.2.2复数的乘除运算课件新人教A版必修第二册202002270173
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人教A版(新教材)高中数学第二册课件：复数的三角表示式 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
4.复数三角形式的除法
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的__商___，商的辐角等于
被除数的辐角减去除数的辐角所得的__差___.
r1（cos r2（cos
θ1＋isin θ2＋isin
θθ12） ）＝__rr_12_[c_o_s_(_θ_1－__θ_2_)_＋__is_i_n_(θ_1_－__θ_2_)]___.
2.将复数 i 对应的向量O→N绕原点按逆时针方向旋转π3，得到向量O→M，则O→M对应的复
数是( )
A. 23＋12i
B.－ 23＋12i
C.－ 23－12i
D. 23－12i
解析
i＝cos
π2＋isin
π2，将O→N绕原点按逆时针方向旋转π3得到O→M＝cos
56π＋isin
5π 6
＝－ 23＋12i. 答案 B
教材拓展补遗 [微判断] 1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.( √ ) 2.复数0的辐角是任意的.( √ ) 3.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.(的辐角主值为( )
π
π
A.6
B.3
π
π
C.4
D.2
解析 因为复数 1＋i 对应的点在第一象限，所以 arg(1＋i)＝π4. 答案 C
题型一 复数的代数形式化为三角形式
【例1】 将下列复数代数式化成三角形式： (1) 3＋i；(2)1－i.
解 (1)r＝ （ 3）2＋12＝2，所以 cos θ＝ 23，对应的点在第一象限，所以 arg( 3＋i)
＝π6，所以
3＋i＝2cos
π6＋isin
π 6.
(2)r＝ 12＋（－1）2＝ 2，所以 cos θ＝ 22，对应的点在第四象限，所以 arg(1－i)
新人教A版高中数学第二册(必修2)课件：7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.两个虚数的和或差可能是实数.( √ )
2.在进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部
相加得虚部.( √ ) 3.复数与复数相加、减后结果只能是实数.( × ) 4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.( × )
反思 感悟
复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终 点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与 终点所对应的复数发生改变.
跟踪训练 2 (1)已知复平面内的向量O→A，A→B对应的复数分别是－2＋i, 3＋2i，则|O→B|＝___1_0__.
B.第二象限 D.第四象限
解析 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i， 其对应的点为(9,1)，在第一象限.
二、复数加、减法的几何意义
例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A， C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)A→O对应的复数；
解析 z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x ＋4y)i＝13－2i. ∴5x＋x－43y＝y＝－132， ， 解得xy＝ ＝－ 2，1. ∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 复数加法与减法的运算法则
7-1-2复数的几何意义(课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
b
OZ : a bi
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
我们知道在实数内：a 表示点 A 到原点的距离，同理，我们来思考一下：
z 表示什么？
y
Z : a bi
b
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
任务四：类比实数，猜想 z 表示的涵义
z 也表示的是点 Z 到原点的距离，也就是有向线段（向量） OZ 的长度（我们也称作向量的模）
复数集 C 中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
有序实数对 ( a, b) 一一对应点 Z (a, b)
复平面中的点 Z (a, b) 是复数 z 的
几何表示
除原点外，
虚轴上的点
都表示纯虚
数.
虚轴
y
b
O
复平面
Z : a bi
实轴
x
实轴上的点都表示实数.
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
点 Z (a, b) 一一对应 向量 OZ
向量 OZ 是复数 z 的另一种
y
b
OZ : a bi
几何表示
a
之后我们也将利用复数与向量之间一一对应
的关系，从几何的角度阐述复数的加法与乘
法。至此，复数理论才比较完整和系统地建
立起来了。
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
z a bi(a,b R) 的模，记作 z 或者 a bi ，且 z
a2＋b2
4.共轭复数
两个复数的实部 相同
，虚部互为
互为相反数
叫做互为共轭复数.复数 z 的共轭复数记做
高一下学期数学人教版必修第二册第七章复数章末复习课件
反思 感悟
处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的情势时，要通过变形化为a＋ bi的情势，以便确定其实部和虚部. (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易 产生增根.
跟踪训练 1 (1)若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)， z 是 z 的共轭复数，则
D.－1－i或－2＋i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)， 由 z( z ＋1)＝1＋i，得 a2＋b2＋a＋bi＝1＋i， 所以b＝1，a2＋a＋1＝1， 所以a＝0或a＝－1. 故z＝i或z＝－1＋i.
1－i (2)已知 z＝－ 2 ，则 z100＋z50＋1 的值为
A.i √B.－i
C.1＋i
例 2 (1)已知复数 z1＝12＋ 23i，z2＝－12＋ 23i，则 z＝zz12在复平面内对应 的点位于
√ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析 因为 z1＝12＋ 23i，z2＝－12＋ 23i，
所以
z＝－1212＋＋2323i i＝－1＋1＋
33i i＝－1＋1＋
3i－1－ 3i－1－
lgm2－2m－2＝0，
解 由m2＋3m＋2≠0，
得 m＝3. ∴当m＝3时，z是纯虚数.
(2)z是实数；
解 由mm22－ ＋23mm－ ＋22>＝00，， 得 m＝－1 或 m＝－2. ∴当m＝－1或m＝－2时，z是实数.
(3)z在复平面内对应的点位于第二象限.
解 由lmg2＋m23－m2＋m2－>02，<0， 得－1<m<1－ 3或 1＋ 3<m<3. ∴当－1<m<1－ 3或 1＋ 3<m<3 时，复数 z 在复平面内对应的点位于 第二象限.
人教A版高中数学必修第二册教学课件第七章 复数 章小结
实数 虚数
有理数 无理数
整数 分数
自然数 负整数
一、复数的概念
追问1 数系扩充的规则是什么？你能说说数学史上数系扩充的历 程吗？
数系扩充规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运 算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一 致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满 足分配律．
理性思维在数系扩充过程中发挥了强大作用．
小结： 请用思维导图梳理《第七章 复数》的基础知识和解决问 题的基本方法．
作业：教科书复习参考题2 复习巩固第1，2，3，4，5题．
五、目标检测
五、目标检测
再见
一、复数的概念
追问2 复数是怎么规定的？实数、虚数、纯虚数、复数之间有什 么区别和联系？
实数(b 0)
复数 z=a+bi虚数(b
0)非 纯纯 虚虚 数数 (a(a0，0b，b0)0)
虚数集 复
纯虚数集
数 集
实数集
一、复数的概念
追问3 复数相等是怎么规定的？什么是共轭复数？
a bi=c di
a b
一、复数的概念
追问2 复数是怎么规定的？实数、虚数、纯虚数、复数之间有什 么区别和联系？
我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数（complex number）， 其中i叫做虚数单位（imaginary unit）．
z= a + b i(a，b∈R)
实部
虚部
(real part) (imaginary part)
++iissiinn12））=
r1 r2
[cos(1
2）+isin (1
2）].
1
r1
7.3.2复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义人教版高中数学新教材必修第二册课件(共22张PPT)
邢
启
强
6
学习新知
复数乘法法则
两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，
积的辐角等于各复数辐角的和.
即 r1(cos1 i sin1 )r2 (cos2 i sin2 )
r1r2[co（s 1 +2） i sin(1 2 )]
探究：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？
讲
课
人
：
Z2 Z1
再把它的模 变为原来的r2倍，
O
x
得到的向量OZ对应的复数就是积z1z2 .
你能解释i2=-1和（-1）2=1
讲 的几何意义吗？
课
人
：
邢
启
强
8
典型例题
例1
已知z1
3 2
(cos
6
i
sin
6
), z2
2(cos
3
i
sin
3
),
求z1z2 ,请把结果化为代数形式，并作出几何解释.
解：z1z2
2 36
36
=2(cos
=2i.
2
i
sin
2
)
=2(0
i
)
讲
课
人
：
邢
启
强
16
巩固练习
讲
课
人
：
邢
启
强
17
巩固练习
讲
课
人
：
邢
启
强
18
典型例题
讲
课
人
：
邢
启
强
19
巩固练习
讲
课
人
：
邢
人教版高中数学新教材必修第二册7.2.1《复数代数形式的加减运算及其几何意义》教学课件
o
Z1(a，b)
x
的__距__离__._____________
如. ：|z+(1+2i)|表示：点Z(对应复数z)到
_点_(_-_1__，_-_2__)的__距__离__.___
[解析] (1)A→O＝－O→A， ∴A→O所表示的复数为－3－2i. ∵B→C＝A→O，∴B→C所表示的复数为－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C. ∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i) ＝5－2i. (3)对角线O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C，它所 对应的复数 z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， |O→B|＝ 12＋62＝ 37.
即:两个复数相加就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加.
很明显，两个复数的和仍然是一个复数
容易验证：对于任意 Z1，Z2 ，Z3∈C，有 Z1+ Z2=Z2+ Z1 ，（交换律）
(Z1+ Z2)+Z3= Z1 +(Z2+ Z3 ) . （结合律）
学习新知
复数的加法满足交换律、结合律的证明
设z1＝a1＋b1i, z2＝a2＋b2i, z3＝a3＋b3i. ai、bi∈R (i＝1、2、3)
(1)∵z1＋z2＝(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)＝(a1＋a2) ＋(b1＋b2)i，
z2＋z1＝(a2＋b2i)＋(a1＋b1i) ＝(a2＋a1)＋(b2＋b1)i，
又a1＋a2＝a2＋a1，b1＋b2＝b2＋b1， ∴z1＋z2＝z2＋z1.
学习新知
(2)∵(z1＋z2)＋z3 ＝[(a1＋b1i)＋(a2＋b2i)]＋(a3＋b3i) ＝[(a1＋a2)＋(b1＋b2)i]＋(a3＋b3i) ＝ [(a1 ＋ a2) ＋ a3] ＋ [(b1 ＋ b2) ＋ b3]i ， 而z1＋(z2＋z3) ＝(a1＋b1i)＋[(a2＋b2i)＋(a3＋b3i)] ＝(a1＋b1i)＋[(a2＋a3)＋(b2＋b3)i] ＝ [a1 ＋ (a2 ＋ a3)] ＋ [b1 ＋ (b2 ＋ b3)]i ， 又(a1＋a2)＋a3＝a1＋(a2＋a3)， (b1＋b2)＋b3＝b1＋(b2＋b3)， ∴(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【高中数学】复数的概念 说课课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
通过追问引出本节课要 研究的重点问题及研究
思路和方法；培养学生
运用类比方法解决问题
师生活动：学生通过看视频思考，应当引入新数且这个数的平方等于-1， 教师给出历史上数学家解决方案“i是数学家欧拉最早引入，它取自
。 介绍虚数的引入历史，
imaginary(想象的，假想的）一词词头，并规定i²=-1
并指出虚数单位的概念
通过梳理数集的发展史，帮助 学生了解每一次数系扩充的必 要性。对复数引入的必要性， 作以铺垫。
1.数集经历了那几次扩充？ 2.每一次扩充分别解决了那些问题？ 3.数系扩充后在运算上遵循了什么规则？
实数
有理数 无理数
整数
自然数
运算需求
分数
负整数 测量需求
运算需求
对于梳理数系扩充的一般“规 则”，比较抽象的问题，选择 了表格和举例的形式帮助学生 突破，为数系的进一步扩充提 供方法基础，突破本节课难点 内容。培养学生逻辑推理的核 心素养。
板书设计
教学重点
复数的有关概念的理 解
教学难点
从实数系扩充到复数 系的过程与方法
教 法 学 法
教材分析 学情分析 教学目标
教法学法
教学过程
板书设计
教法： 引导探究法
通过运用数学史材料激发 学生的求知欲，设置问题 串，引领学生追溯历史， 提炼数系扩充的原则，帮 助学生合乎情理的建立新 的认知结构。
以上是我对数系的扩充的第一课时的构思与设计，请各位专家批评指正． 谢谢！
1.能够通过方程的解，感受引入复数 的必要性，体会实际需求与数学内部 的矛盾在数系扩充过程中的作用，能 够概述复数的相关概念
2.能够梳理出数系扩充的一般“ 规则”，从实数系扩充到复数系 的过程，感受数系扩充过程中人 类理性思维的作用，提升数学抽 象、逻辑推理素养；
数系的扩充和复数的概念(课件)-人教A版(2019)必修第二册
无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力 的大小），人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉 斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。
15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci2, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的 数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可 名状”的数。 法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列 的极限。
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循 环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。
实数
实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代 肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识到必须建立严格的实 数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯 （1859年 开始）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872 ） 作出了杰出的贡献。
整数集
有理数集
“数”是万物的本 源，支配整个自然界和 人类社会．世间一切事 物都可归结为数或数的 比例，这是世界所以美 好和谐的源泉．
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？
1 1
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
实数集
实数
பைடு நூலகம்有理数 无理数
7.1复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
09人教A版 必修二
2021高中人教A版数学必修第二册课件：第七章-7.2 复数的四则运算
训练题
三 解复数方程
例5［2020·江苏省海头高级中学高二检测］已知复数z＝1+2i（i为虚数单位）. （1）若z·z0＝2z+z0，求复数z0的共轭复数； （2）若z是关于x的方程x2-mx+5＝0的一个虚根，求实数m的值.
训练题
1.已知关于x的方程x2+（1-2i）x+（3m-i）＝0有实数根，求实数m的值.
1.复数的减法法则 （a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i. 2.两个复数相减，类似于两个多项式相减.
3.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部 部分分别相加（减）
4.复数减法的几何意义
两个复数z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）在复平 面内对应的向量分别是OZ1 ，OZ2 ，那么这两个复数的差z1-z2 对应的向量是OZ1 -OZ2 ，即向量 Z2Z1 .
训练题2［2019·福建厦门高三模拟］已知|z|＝3，且z+3i是纯
虚数，则z＝
.
2.答案： 3i 解析：设z＝x+yi（x，y∈R），∵ x2+y2＝
32，且z+3i＝x+yi+3i＝x+（y+3）i是纯虚数，∴
x 0，
y
3.
∴ z＝3i.
【技巧点拨】 进行复数加、减运算时： （1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）把i看作一个字母，类比多项式加、减运算中的合并同类项. （3）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形. 【注意】 （1）复数z＝a+bi（a，b∈R）对应的点为（a，b）. （2）当已知|z|求解复数z时，一般用待定系数法求解，需设z＝a+bi （a，b∈R）.