高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列前n项和课件新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修5
1.等比数列{an}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )
(A)179
(B)211 (C)248 (D)275
解析:由16=81×q4,q>0得q=,
所以S5==211.
故选B.
2.在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )
(A) (B)- (C)± (D)±3
解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,
故a4>0,a8>0,
因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.
3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )
(A) (B)- (C) (D)-
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,
即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,
所以a1=.故选C.
4.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )
(A)2 (B) (C)4 (D)
解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,
所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,
即a4=4a3,
所以q==4,故选C.
5.等比数列{an}的前n项和Sn=3n-a,则实数a的值为(
B )
(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在
解析:法一 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.
又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.
因为{an}是等比数列,
所以=3,得a=1.故选B.
法二 由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.
6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )
高中数学第二章第一课时等比数列的前n项和学案含解析新人教A版必修596
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1 第一课时 等比数列的前n项和
等比数列的前n项和公式
[提出问题]
已知等比数列{an}，公比为q，Sn是其前n项的和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.
问题1：若q＝1，则Sn与a1有何关系？
提示：Sn＝na1.
问题2：若q≠1，你能用a1，q直接表示Sn吗？如何表示？
提示：能．∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
两边同乘以q，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②
①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴当q≠1时，Sn＝a1－qn1－q.
[导入新知]
等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式 Sn＝
na1q＝，a1－qn1－qq Sn＝ na1q＝，a1－anq1－qq
[化解疑难]
1．在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．
2．当q≠1时，若已知a1及q，则用公式Sn＝a1－qn1－q较好；若已知an，则用公式Sn＝a1－anq1－q较好．
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2 等比数列的前n项和公式的基本运算
[例1] 在等比数列{an}中：
(1)若a1＝1，a5＝16，且q＞0，求S7；
(2)若a3＝32，S3＝92，求a1和公比q.
[解] (1)∵{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16，
∴a5＝a1q4.
∴16＝q4.
∴q＝2(负舍)．
∴S7＝a1－q71－q＝1－271－2＝127.
(2)①当q≠1时，S3＝a1－q31－q＝92，
又a3＝a1·q2＝32，
∴a1(1＋q＋q2)＝92，
即32q2(1＋q＋q2)＝92，
解得q＝－12(q＝1舍去)，
∴a1＝6.
②当q＝1时，S3＝3a1，
等比数列的前n项和数列总结
等比数列的前n项和
一、等比数列的前n项和公式
1．乘法运算公式法
∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1
＝a1(1＋q＋q2＋…＋qn－1)
＝a1·1－q1＋q＋q2＋…＋qn－11－q＝a11－qn1－q，
∴Sn＝a11－qn1－q.
2．方程法
∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1
＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)
＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)
＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，
∴(1－q)Sn＝a1－a1qn.
∴Sn＝a11－qn1－q.
3．等比性质法
∵{an}是等比数列，∴a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q.
∴a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1＝q，
即Sn－a1Sn－an＝q于是Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q.
二、等比数列前n项和公式的理解
(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．
(2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－qn1－q，它可以变形为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
等比数列前n项和性质
（1）在等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数列，即：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列．
（2）当n为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S偶S奇＝q.
（3）若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝－Aqn＋A⇔数列{an}为等比数列．
高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列前n项和的求解练习(含解析)新
word 1 / 5 第1课时 等比数列前n项和的求解
A级 基础巩固
一、选择题
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为()
A．63 B．64 C．127 D．128
解析：设数列{an}的公比为q(q＞0)，则有a5＝a1q4＝16，
所以q＝2，数列的前7项和为S7＝a1（1－q7）1－q＝1－271－2＝127.
答案：C
2．设在等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a3的值为()
A.154B.152C.74D.72
解析：根据等比数列的公式，得S4a3＝a1（1－q4）（1－q）·a1q2＝（1－q4）（1－q）q2＝1－24（1－2）×22＝154.
答案：A
3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()
A．190 B．191 C．192 D．193
解析：设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝12，n＝7，由a11－1271－12＝381，解得a1＝192.
答案：C
4．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于()
A．－6(1－3－10) B.19(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
解析：因为3an＋1＋an＝0，a2＝－43≠0，
所以an≠0，所以an＋1an＝－13， word
2 / 5 所以数列{an}是以－13为公比的等比数列．
因为a2＝－43，所以a1＝4，
所以S10＝41－－13101－－13＝3(1－3－10)．
答案：C
5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足S2mSm＝9，a2mam＝5m＋1m－1，则数列{an}的公比为()
A．－2 B．2 C．－3 D．3
人教a版必修5学案：2.5等比数列的前n项和(1)(含答案)
2.5 等比数列的前n项和(一)
自主学习
知识梳理
1．等比数列前n项和公式：
(1)公式：Sn＝ ＝ q≠1 q＝1.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．等比数列前n项和的一个常用性质：
在等比数列中，若等比数列{an}的公比为q，当q＝－1，且m为偶数时，Sm＝S2m＝S3m＝0，此时Sm、S2m－Sm、S3m－S2m不成等比数列；当q≠－1或m为奇数时，Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等比数列．
3．推导等比数列前n项和的方法叫__________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．
自主探究
阅读教材后，完成下面等比数列前n项和公式的推导过程．
方法一：设等比数列a1，a2，a3，„，an，„，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an.
由等比数列的通项公式可将Sn写成
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋„＋a1qn－1.①
①式两边同乘以q得
qSn＝________________________________.②
①－②，得(1－q)Sn＝____________，由此得q≠1时，
Sn＝__________，因为an＝________，所以上式可化为Sn＝________.当q＝1时，Sn＝__________.
方法二：由等比数列的定义知a2a1＝a3a2＝„＝anan－1＝q.
当q≠1时，
a2＋a3＋„＋ana1＋a2＋„＋an－1＝q，即Sn－a1Sn－an＝q.
故Sn＝____________.
当q＝1时，Sn＝____________.
方法三：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋„＋a1qn－1
＝a1＋q(a1＋a1q＋„＋a1qn－2)
＝a1＋qSn－1＝a1＋q(Sn－an)
当q≠1时，Sn＝____________＝____________.
第二章 2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
1 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
学习目标
1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．
知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时，设A＝a1q－1，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．
知识点二 等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 2 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，S偶S奇＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1
＝a1＋a2n＋1q1－－q＝a1＋a2n＋21＋q(q≠－1)．
1．等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.( )
2．若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.( )
3．若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.( )
4．等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列．( )
5．对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数．( )
题型一 等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式． 3
反思感悟 已知Sn，通过an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2求通项an,应特别注意n≥2时,an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
内蒙古赤峰二中高一数学新人教B版必修5教案2.5《等比数列的前n项和》(1)
2.5等比数列的前n项和（1）
教学目标
1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路．
2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题.
教学重点
1. 等比数列的前n项和公式；
2. 等比数列的前n项和公式推导.
教学难点
灵活应用公式解决有关问题.
教学方法
启发引导式教学法
教学过程
(I)复习回顾
(1) 定义：
(2) 等比数列通项公式：
(3) 等差数列前n项和的推导思想：
(4) 在等比数列na中，公比为q，则1kkaqa
II）探索与研究：你能计算出国际象棋盘中的麦粒数吗？
一．等比数列求和公式
1．公式推导
已知等比数列na，公比为q，求前n项和nnaaaS21。
分析：先用qna,,1表示各项，每项的结构有何特点和联系？如何化简与求和？
2．公式与公式说明
1(1)(1)1nnaqSqq
（1）公式推导方法：错位相减法
特点：在等式两端同时乘以公比q后两式相减。
（2）1q时，)1(1qnaSn
（3）另一种表示形式
qqaaSnn11
总结： )1()1(1)1(11qnaqqqaSnn 或
)1()1(111qnaqqqaaSnn
注意：每一种形式都要区别公比1q和1q两种情况。
二．例题讲解
例1．课本63页例1
第2课时-等比数列前n项和的性质及应用
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
一、学习目标
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
二、导学指导
导学
导学检测及课堂展示
知识点一
一、等比数列前n项和公式的灵活应用
问题1 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
提示 若等比数列{an}的项数有2n项，则
其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有S偶S奇＝q.
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．
知识梳理
若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
①在其前2n项中，S偶S奇＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…
－a2n＋a2n＋1＝a1＋a2n＋1q1－－q＝a1＋a2n＋21＋q(q≠－1)；
S奇＝a1＋qS偶．
例1 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________.
(2)若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为________．
跟踪训练1 (1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________．
最新人教版高中数学必修五 等比数列前n项和公式的推导与应用优质教案
2.5 等比数列的前n
2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用
从容说课
师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的
等比数列前n项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得qaaaaaaaannnn1223211...
再由分式性质，得qaSaSnnn1,整理得)1(11qqqaaSnn
教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间
教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导
2.等比数列前n项和公式的应用
教学难点 等比数列前n项和公式的推导
教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等
三维目标
一、知识与技能
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；
2.探索并掌握等比数列前n项和公式；
3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想
二、过程与方法
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学； 2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动
三、情感态度与价值观
1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；
2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；
3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？
生
知道一些，踊跃发言
师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求
4.3.2 等比数列的前n项和(1)(人教A版高中数学选择性必修第二册)(解析版)
课时同步练
4.3.2 等比数列的前n项和 （1）
一、单选题
1．等比数列的公比为2,且前四项之和等于1,则其前八项之和等于 （ ）
A．15 B．21 C．19 D．17
【答案】D
【详细解析】由已知得12341aaaa,
则12345678aaaaaaaa
412341234aaaaaaaaq
41217.
故选D.
2．若a,4,3a为等差数列的连续三项,则0129aaaa的值为 （ ）
A．2047 B．1062 C．1023 D．531
【答案】C
【详细解析】∵ a,4,3a为等差数列的连续三项
∴a+3a=4a=2×4,
解得a=2,
故0129aaaa=20+21+22+…+29=1012102312．
故选C．
3．已知等比数列｛an｝的公比q=12,且a1+a3+a5+…+a99=60,则a1+a2+a3+a4+…+a100等于 （ ）
A．100 B．90 C．60 D．40
【答案】B
【详细解析】∵1359960aaaa,
∴2461001359911()603022aaaaaaaa,
∴1234100306090aaaaa.
故选B.
4．等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1＋a2＋a3＋a4＝1,a5＋a6＋a7＋a8＝2,Sn＝15,则项数n为 （ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【详细解析】56781234aaaaaaaa＝q4＝2,
由a1＋a2＋a3＋a4＝1,
得a1(1＋q＋q2＋q3)＝1,
即a1·411qq＝1,∴a1＝q－1,
又Sn＝15,即111naqq＝15,