二年级奥数-第二学期-005三阶幻方(二)
二年级创新思维春季班讲义：
第五讲 三阶幻方（二）
姓名：
【例1】在下图的33的阵列中填入了1～9的自然数，构成了大家熟悉的三阶幻方。现在另有一个33的阵列，请选择九个不同的自然数填入九个方格中，使其中最大者为20，最小者大于5，且每一横行，每一竖行及每条对角线上三个数的和都相等。
4923578162013141618191217 图1 图2
【例2】在33的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。
56BCDEFG56 图3图4
【例3】 将1～9这九个数字分别填入图中所示的空格中，使得前两行所构成的两个三位数之和等于第三行的三个数，并且相邻（上下或左右）的两个数奇偶性不同。
【例4】写出一个三阶幻方，使其幻和为24。
【例5】从1～13这13个数中挑出12个数，填入图中的方格中，使每一横行，四数之和相等，每一竖列三个数之和相等。
练 习
1．下图是一个三阶幻方。求“？”是多少？
2．从1~13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一数列的3个数的和也相等。这时所选的12个数是哪12个数？，每一行的和是多少？每一列的和是多少？
3．填好第2题的图。
4．在下图中，每个方格填一个数，使得每行、每列、每条对角线上的4个数都是1、3、5、7。带“☆”号的两个方格中的数的和是多少？
5．将八个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和等于36。如果总和为37、38、39，你还能填吗？
6．在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使得每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并且其中有一个数是10。
三阶幻方只有2个数的题
三阶幻方只有2个数的题
对于三阶幻方，它是一个3x3的矩阵，其中包含了不重复的1至9的数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。根据题目要求，我们需要找出只有两个不同数字的三阶幻方。
首先，我们可以考虑两个相邻的数字，比如1和2。我们可以将1放在幻方的中间位置，然后将2放在幻方的某个角上。接下来，我们可以通过旋转和镜像的方式来构建其他的幻方。具体来说，我们可以将2放在幻方的四个角中的任意一个位置，然后根据旋转和镜像的操作，得到其他的幻方。
例如，我们可以将1放在幻方的中间位置，然后将2放在左上角的位置。这样，我们可以得到以下幻方：
1 5 9。
2 1 8。
3 4 7。
然后，我们可以通过旋转和镜像的操作得到其他的幻方：
9 5 1 7 4 3 1 8 2 3 6 9。
8 1 2 --> 8 1 2 --> 5 1 9 --> 2 5 8。
7 4 3 9 5 1 4 1 7 1 4 7。
这样，我们就得到了两个只有两个不同数字的三阶幻方。
需要注意的是，以上只是一种可能的解法，还有其他的组合方式可以得到只有两个不同数字的三阶幻方。以上所给的解法只是其中之一，还有其他的解法可以得到相同的结果。
综上所述，对于只有两个不同数字的三阶幻方，我们可以通过选取合适的数字放置位置，并通过旋转和镜像的操作得到多种解法。
幻方题目解题思路
幻方题目解题思路
幻方这玩意儿挺有趣的呢！咱来唠唠解题思路哈。
一、啥是幻方
首先得知道幻方是个正方形的格子阵，就像九宫格那种（当然也有其他规格的，像四阶幻方啥的）。每一行、每一列还有对角线上的数字加起来都得等于同一个数，这个数就叫幻和。
二、三阶幻方（九宫格）的基本思路
1. 确定幻和
- 对于三阶幻方（3×3的格子），因为1 + 2+3+4+5+6+7+8+9 = 45，这9个数要平均分配到三行（或者三列），所以幻和就是45÷3 = 15。
2. 找中心数
- 在三阶幻方里，中心数特别重要。因为它会在四条线上（一行、一列和两条对角线）参与求和。
- 假设中心数是x，那么它在四条线上相加的总和就是4x。其他八个数两两组合成四组，每组和都等于幻和 - x。
- 经过计算就会发现中心数是5（你可以自己试着推导一下哦，挺好玩的）。
3. 填角上的数
- 角上的数也很关键。一般先从和5能凑成15的数开始考虑，像1、9，2、8，3、7，4、6这几组。
- 先试着把1放在左上角（只是个例子，放哪儿都行开始），那它对角就得是9，这样才能保证对角线的和是15。然后再根据每行每列的和是15慢慢填其他的数。 1. 连续自然数幻方
- 对于四阶幻方，1到16这16个数的和是136。因为要四行（或四列），所以幻和是136÷4 = 34。
- 有一种方法叫“对称交换法”。先把1到16按顺序填到四阶方阵里，就像从左上角开始横着填。
- 然后把对角线上的数保留，其他的数关于中心对称交换位置。这样就得到了四阶幻方。
- 更高阶的幻方也有一些类似的方法，不过会更复杂一些。
2. 不是连续自然数的幻方
- 如果不是1、2、3……这样连续的数，那首先得算出这些数的总和，然后确定幻和（总和除以阶数）。
- 然后可以先找一个和这些数相近的连续自然数幻方，再通过调整数字的大小来得到想要的幻方。
(2021年编)小学数学三阶幻方
三阶幻方
同学们：
在33〔三行三列〕的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。如果在44〔四行四列〕的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。一般地，在几×几〔几行几列〕的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，〔注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始〕，每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
〔一〕思路指导与解答
例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
abcdefghi 图1 图2
分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。看图〔2〕：
〔12〕中，e是一个中间数，也是关键数。因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
〔2〕求幻和：
幻和()1234567893
45315
〔3〕选择突破口，显然是e，看图2。
因为：aeibehcegdef15 所以：()()()()aeibehcegdef
1515151560
也就是：()abcdefghie360
小学奥数题目-二年级-数字敏感度类-简单幻方
简单幻方
幻方
1.概念简析：
幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.
幻和：是指每行或每列或每条对角线上所有数字之和。
2.解题方法：
三阶幻方的性质
1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.
2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.
3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.
如右图所示，在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数相加都为21.
1. 1.
如右图所示，在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、以及对角线上的三个数相加都为18.问第三行的三个数字从左到右组成的数为_______.
2. 2.
在空格里填数，使横行、竖行、以及对角线上的三个数相加得30。问四个角数字之和为_______.
如图所示，在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、斜行的四个数相加都等于34.
1. 1.
在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行以及对角线上的四个数相加都等于34.问四个角数字之和为_______.
2. 2.
在下图的方格里填上适当的数，使每一横行、竖行、以及对角线上的三个数相加都为18.问四角上的数字之和为________.
请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。
1. 1.
八戒巡山，遇到一块大石头挡路，上面写着：在方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等，填写正确才能过去，聪明的小朋友你会填吗？问最后一行的三位数为_________.
2. 2.
请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。问四角上的数字之和为________.
请你在下图的方格里填上合适的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数相加的和都相等。
幻方
幻方
一般地说，在n×n的方格里，既不重复也不遗漏地填上n²个连续的自然数，每个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上n个自然数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方。这个相等的和叫幻和。
奇数阶幻方
奇数阶幻方的方法可以简单概括为方阵斜线对换法：
（1）三阶幻方（九宫幻方）：
具体可以概括为以下几步：
第一步：将1——9九个整数如图1那样排列成方阵；
第二步：如图2，画斜线；
第三部：如图3，将图2中得到的正方形外四角的数字1、3、7、9，分别向斜线对面数三格，把数字填入空格内，即1和9交换，3和7交换入幻方格内。便得到了图4的三阶幻方（九宫幻方），横排、数列，对角线上每三个数字的和都为15。
（2）五阶幻方：
五阶幻方具体可以概括为以下几步：
第一步：将1——25这二十五个整数如图5排列成方阵；
第二步：如图6，画斜线； 第三部：如图7，将图2中得到的正方形外四角的数字（1、2、6），（4、5、10）；（16、21、22），和（20、24、25）分别向斜线对面数五格，把数字填入空格内，即1 和25交换，2和20交换，6 和24交换，5和21交换，4和16交换，10和22交换填入幻方格内便得到了图8的五阶幻方，横排、数列，对角线上每三个数字的和都为65。
偶数阶幻方
偶数阶幻方的方法可以简单概括为方阵对角线数字互换和对面数字互换的方法：
比如四阶幻方
四阶幻方比较简单，只需要交换对角线上的数字就能使横排、竖列、对角线上的和分别都等于34。
具体步骤为：
第一步：将1——16十六个整数如图9排列成方阵；
第二步：如图10那样画出对角线和方框；
第三步：如图10—图11，将方阵中对角线上的数字1和16，4和13，6和12，以及7和10 对换，便得到了图12的四阶幻方，而六阶幻方就要复杂得多了，不仅仅需要交换对角线上的数字，还需要横排对面交换，竖列对面交换。
反幻方
将1～9九个自然数，填在3×3正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。这样的幻方称为“反幻方”。据美国当代科普作家加德纳研究发现，符合上述条件的反幻方，只有两个，即：
第三讲三阶幻方
第三讲三阶幻⽅
第三讲三阶幻⽅
⼀般地，将九个不同的数填在3×3（三⾏三列）的⽅格中，如果满⾜每个横⾏、每个竖列和每条对⾓线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻⽅。
⼀、三阶幻⽅的填法：
九个数斜排，上下对调，左右替换。1、试⽤6～14这九个连续⾃然数编排成⼀个三阶幻⽅。
2、⽤11、1
3、15、17、19、21、23、25、27编制成⼀个三阶幻⽅。
3、求任意⼀列、任意⼀⾏以及两条对⾓线上的三个数的和都等于267的三阶幻⽅。
4、将前9个⾃然数填⼊右图中，使得任⼀⾏、任⼀列以及
两条对⾓线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个⾃
然数在图中的位置也相邻。⼆、三阶幻⽅的应⽤
1、在右图九宫图中，请你在其他⽅格中填上适当的数，
使每⾏、每列、每条对⾓线上的三个的和都是27。2、右图中的A、B、C、D、E各等于什么数时，它
才能构成⼀个三阶幻⽅。
练习：1、将九个连续⾃然数填⼊右图的九个空格中，
使每⼀横⾏和每⼀竖列的三个数之和都等于60。2、将从1开始的九个连续奇数填⼊右图的九个
空格中，使每⼀横⾏和每⼀竖列及对⾓线上的
三个数之和都相等。3
数的和都相等，求X、Y 。4、下列各图中九个⽅格内各有⼀个数字，⽽且每⾏、
24，求X和Y5
三个数之和都相等。求X、Y。6、将九个连续⾃然数填⼊3×3
上的三个数之和都等于66。7、1、3、5、7、9、11、13、15、17填⼊3×3的⽅格内，使其构成⼀个三阶幻⽅。
8、⽤2、4、6、8、12、14、16、22、24、26九个偶数编制⼀个幻⽅。9
个数之和都等于27
三阶立体幻方
三阶立体幻方:
在长、宽、高格数均为3的立体表格里，填写数字1、2、3,, 27, 使得表格无论横、竖、纵，每一行数字的和都相等。
（我所用的是斜线分组法）
第一步：立体表格数独：
在3X 3X 3表格里，填写数字1、2、3,使得表格无论横、竖、纵，
每一行都有数字1、2、3。（不疏漏且不重复）
第1层：
1 3 2
3 2 1
2 1 3
第2层:
2 1 3
1 3 2
3 2 1
第3层:
3 2 1
2 1 3
1 3 2
第二步：斜线分组:
第1层:
3组：
% % 3、 ---------
1
2
8组： *
■L 2. %
1 1 ■
2 匕 豊 4组： 8组： 3组:
第2层:
5组：
■ =2 V
X 1 V
<&
■
1组：， %
1 '3
*
%
*
3 X 备 2 B
■%,
1 *
第3层：
2组： 6组： 7组
电
7组：，
%
* 电
* * 2、 \ 1 .
% * ■%
6组：.
% 2.
■% ■% 3.
X %
_ _ 2 .. 9组： 1组： 5组:
第1层表格中斜线从右至左所分的组数为 3, 8, 4, 3, 8;
第2层表格中斜线从右至左所分的组数为 5，1，9，5，1； 第3层表格中斜线从右至左所分的组数为 7, 6, 2,乙6。
至于第1层1、3、8,第2层9、5、1,第3层2、7、6这9个组数
是如何确定的，请看下面表格：
组数表格：
4 9 2
3 5 7
8 1 6
表格中有数字1, 2, 3,, 9。
无论是横着、还是竖着，每一行数字的和都相等。 （都等于15）
这张表格第1列数字4、3、8,正是第1层的组数4、3、8；
而第2列数字9、5、1,正是第2层的组数9、5、1；
第3列数字2、7、6,正是第3层的组数2、7、6。
注：作为组数表格，不是必须要用正正解。只要横着、竖着两个方向， （每一行）
三阶幻方中的规律及证明
三阶幻方中的一个规律及其证明
三阶幻方就是在一个3行3列的九宫格中，横行、竖列及对角线的3个数之和都相等，如图：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
三阶幻方中有一个规律：任何一个角上的数都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数之和的一半。例如，上图中，右上角的“6”等于第2行第1列的“3”与第3行第2列的“9”的和的一半。
证明过程如下：
假设三阶幻方里所有数之和为M，右上角的数为m，与右上角的数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数分别为a、b，其余6个数之和为N，于是，
M=N+m+a+b……①
因为三阶幻方里每个横行、竖列及对角线的3个数之和都相等，所以，
M=第1行的三个数之和+第3列的三个数之和+左下到右上的对角线上三个数之和
这样的话，右上角的数m在算式中出现了三次，而与右上角的数m不在同一横行、竖列及对角线上的两个数a、b一次也没有出现，其余各数都出现了一次，即
M=N+3×m……②
由①和②可得：N+m+a+b=N+3×m
化简后，m=（a+b）÷2，结论得证。
三阶幻方的规律及经典应用题！
三阶幻方的规律及经典应用题！
三阶幻方的规律：
幻和与中心数
幻和=3×中心数
证明：
通过中心数有4条线。将这4条线全部加起来，可以得到：
幻和×4=全体数的和+中心数×3
而我们知道三阶幻方中，全体数的和=3×幻和（三行或三列）
因此有：
幻和×4=幻和×3+中心数×3
化简得到：
幻和=3×中心数
过中心的线
过中心的线上的三个数，依次成等差数列。或者说，关于中心位置对称的两数，平均数是中心数。
证明：
过中心线的三个数之和为幻和。性质1已经说明，幻和=3×中心数。
因此中心数是这三个数的平均数。 从这之中去掉中心数不改变平均数。
因此中心数是关于中心位置对称的两数。
也就是一个数比中心数多多少，另一个数就比中心数少多少。即他们成等差数列
边角关系：
2倍角格的数=不相邻的2个边格数之和。
如：基本幻方中：2*8=9+7，2*4=1+7，2*6=3+9，2*2=1+3
证明：
过a有3条线。计算这三条线的和：
幻和×3=全体数的和+2×a-b-c
而全体数的和=幻和×3
因此
2×a-b-c=0
2×a=b+c。
扩展资料：
拆填方式
想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。
若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。
古代方式→
南宋数学家杨辉概括的构造方法为：
“九子斜排。上下对易，
左右相更。四维突出。”
中国古代九宫格的填法口诀是：
九宫之义，法以灵龟，
二四为肩，六八为足， 左七右三，戴九履一，
五居中央。
也有把这两者综合起来说的：
九子斜排，上下对易。
左右相更，四维挺出。
戴九履一，左七右三。
(小学奥数)幻方(二)
1. 會用羅伯法填奇數階幻方
2. 瞭解偶數階幻方相關知識點
3. 深入學習三階幻方
一、幻方起源
也叫縱橫圖，也就是把數字縱橫排列成正方形，因此縱橫圖又叫幻方．幻方起源於我國，古人還為它編撰了一些神話．傳說在大禹治水的年代，陝西的洛水經常大肆氾濫，無論怎樣祭祀河神都無濟於事，每年人們擺好祭品之後，河中都會爬出一只大烏龜，烏龜殼有九大塊，橫著數是3行，豎著數是3列，每塊烏龜殼上都有幾個點點，正好湊成1至9的數字，可是誰也弄不清這些小點點是什麼意思．一次，大烏龜又從河裏爬上來，一個看熱鬧的小孩驚叫起來：“瞧多有趣啊，這些點點不論橫著加、豎著加還是斜著加，結果都等於十五！”於是人們趕緊把十五份祭品獻給河神，說來也怪，河水果然從此不再氾濫了．這個神奇的圖案叫做“幻方”，由於它有3行3列，所以叫做“三階幻方”，這個相等的和叫做“幻和”．“洛書”就是幻和為15的三階幻方．如下圖：
987654321 我國北周時期的數學家甄鸞在《算數記遺》裏有一段注解：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央．”這段文字說明了九個數字的排列情況，可見幻方在我國歷史悠久．三階幻方又叫做九宮圖，九宮圖的幻方民間歌謠是這樣的：“四海三山八仙洞，九龍五子一枝連；二七六郎賞月半，周圍十五月團圓．”幻方的種類還很多，這節課我們將學習認識瞭解它們．
二、幻方定義
幻方是指橫行、豎列、對角線上數的和都相等的數的方陣，具有這一性質的33的數陣稱作三階幻方，44的數陣稱作四階幻方，55的稱作五階幻方……如圖為三階幻方、四階幻方的標準式樣， 知識點撥 教學目標
5-1-4-2.幻方（二） 987654321 13414151612978105113216 三、解決這幻方常用的方法
⑴適用於所有奇數階幻方的填法有羅伯法．口訣是：一居上行正中央，後數依次右上連．上出框時往下填，右出框時往左填．排重便在下格填，右上排重一個樣．