高中数学人教B版选修2-1练习：3-1-1空间向量的线性运算b
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04课后课时精练
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若|a|>|b|，则a>b
C．若a＝b，则|a|＝|b|
D．若a≠b，则a与b的方向不同
解析：根据向量相等的定义，若两向量相等，那么这两个向量的
大小和方向均相同，但反过来，大小相等的两个向量，若方向不同，
也是不相等的．另外，向量不能比较大小．
答案：C
2．[2014·辽阳高二检测]已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，
则AB→＋BC→＋CD→为( )
A. AD→ B. BD→
C. AC→ D. 0
解析：AB→＋BC→＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.
答案：A
2
3．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，
则PA→＋PB→＋PC→＋PD→＋PE→＋PF→等于( )
A. PO→ B. 3PO→
C. 6PO→ D. 0
解析：PA→＋PB→＋PC→＋PD→＋PE→＋PF→＝6PO→＋(OA→＋OB→＋OC→＋OD
→
＋OE→＋OF→)＝6PO→.
答案：C
4．如图直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA→＝a，CB→＝b，CC1→＝c，
则A1B→等于( )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
解析：A1B→＝A1C1→＋C1C→＋CB→＝AC→－CC1→＋CB→＝
－CA→－CC1→＋CB→＝－a＋b－c.
3
答案：D
5．[2014·长春高二检测]已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，
设G是CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)等于( )
A.AG→ B.CG→
C.BC→ D.12BC→
解析：如右图所示．∵G是CD中点，
∴12(BD→＋BC→)＝BG→，
∴AB→＋12(BD→＋BC→)＝AG→.
答案：A
6．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO→＋OB→＝DO→＋OC→，
则四边形ABCD是( )
A．空间四边形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．矩形
解析：∵AO→＋OB→＝AB→，DO→＋OC→＝DC→，
∴AB→＝DC→.
4
∴线段AB、DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
答案：B
二、填空题
7．如图所示，在三棱柱ABC—A′B′C′中，AC→与A′C′→是
________向量，AB→与B′A′→是________向量．(用相等、相反填空)
解析：根据相等向量、相反向量的定义知，
AC→与A′C′→是相等向量．
AB→与B′A′→是相反向量．
答案：相等 相反
8．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|
＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.
解析：由a，c同向，a，b反向及|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，画图可
知：|a＋b＋c|＝|a|＋|c|－|b|＝3＋1－2＝2.
答案：2
9. 已知空间四边形ABCD中，AB→＝a－2c，CD→＝5a＋6b－8c，
对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF→＝________.
5
解析：取BC中点M(如图所示)，连接EM、FM，
∵E，F是中点，∴EM綊12AB，MF綊12CD，
∴EM→＝12AB→＝12a－c，MF→＝12CD→＝52a＋3b－4c，
从而EF→＝EM→＋MF→＝12a－c＋52a＋3b－4c＝3a＋3b－5c.
答案：3a＋3b－5c
三、解答题
10.
在空间中平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，设AA1→＝a，AB
→
＝b，AC→＝c，E是BC1的中点，试用a，b，c表示向量AE→.
解：AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12BC1→
＝AB→＋12(BB1→＋BC→)
6
＝AB→＋12AA1→＋12(AC→－AB→)
＝12AA1→＋12AB→＋12AC→
＝12a＋12b＋12c.
即向量AE→＝12a＋12b＋12c.
11．如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面
A1C1的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)AB→＋BC→＋CC1→；
(2)AA1→＋12AB→＋12AD→.
解：(1)AB→＋BC→＋CC1→＝AC1→，如图所示．
7
(2)AA1→＋12AB→＋12AD→
＝AA1→＋12(AB→＋AD→)
＝AA1→＋12(A1B1→＋A1D1→)
＝AA1→＋12A1C1→
＝AA1→＋A1E→＝AE→，如上图所示．
12．[2014·济南高二检测]在平行
六面体ABCD－EFGH中，AG→＝xAC→＋yAF→＋zAH→，求x＋y＋z
的值．
解：∵xAC→＋yAF→＋zAH→＝x(AB→＋AD→)＋y(AB→＋AE→)＋z(AD→＋AE→)
＝(x＋y)AB→＋(x＋z)AD→＋(y＋z)AE→＝AG→＝AB→＋AD→＋AE→.
∴ x＋y＝1，y＋z＝1，x＋z＝1，∴x＋y＋z＝32.
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-1-2空间向量的基本定理
3.1.2空间向量的基本定理一、选择题1．设a ，b 是不共线的两个向量，λ，μ∈R 且λa ＋μb ＝0，则( ) A ．a ＝b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0D ．μ＝0，a ＝0[答案] B[解析] 由共面向量定理知，选B.2．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量[答案] A[解析] 2a －b 由a 与b 线性表出，所以三向量共面． 3．若a 与b 不共线，且m ＝a ＋b ，n ＝a －b ，p ＝2a ，则( ) A ．m 、n 、p 共线 B ．m 与p 共线 C ．n 与p 共线D ．m 、n 、p 共面[答案] D[解析] p ＝2a ＝m ＋n ，即p 可由m 、n 线性表示，所以m 、n 、p 共面．4．已知A 、B 、C 三点共线，O 为空间任意一点，如果OC →＝x ×OA →＋16OB →，则x 的值为( )A.16B.56 C ．－56D ．－16[答案] B[解析] 由直线向量参数方程知x ＋16＝1，∴x ＝56.5．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12c ＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c[答案] A[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD →＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝－12a ＋12b ＋c .∴应选A.6．对空间任一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是( ) A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13→C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC →D ．以上皆错 [答案] B[解析] 由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，得(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴PA →＋PB →＋PC →＝0即PA →＝－PB →－PC →， ∴P ，A ，B ，C 共面．故选B. 7．给出下列两个命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线； ②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB → ，OC →不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面．其中正确的命题是( ) A ．仅① B ．仅② C ．①②D ．都不正确[答案] B[解析] 可判定①不正确，②正确．故选B.8．如果a 、b 、c 共面，b 、c 、d 也共面，则下列说法正确的是( ) A ．若b 与c 不共线，则a 、b 、c 、d 共面 B ．若b 与c 共线，则a 、b 、c 、d 共面 C ．当且仅当c ＝0时，a 、b 、c 、d 共面 D ．若b 与c 不共线，则a 、b 、c 、d 不共面 [答案] A[解析] 当a ，b ，c 共面，b ，c ，d 共面时，若b 与c 不共线，则b 与c 可作为平面的基向量，此时a ，b ，c ，d 共面．9．若a ＝e 1＋e 2＋3e 3，b ＝e 1＋e 2－2e 3，c ＝e 1－3e 2＋2e 3，d ＝4e 1＋6e 2＋8e 3，d ＝αa ＋βb＋γc ，则α，β，γ的值分别为( )A.185，910，－12 B ．－185，910，－12C.185，－910，－12D ．－185，－910，12[答案] A[解析] 由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝4α＋β－3γ＝63α－2β＋2γ＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝185β＝910γ＝－12.故选A.10．已知A 、B 、C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，则在下列各条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A.OM →＝12OA →＋12OB →＋12OC →B.OM →＝13OA →－13OB →＋OC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.OM →＝2OA →－OB →－OC → [答案] B[解析] 由共面定理x ＋y ＋z ＝1可知B 正确． 二、填空题11．给出下列几个命题：①a ＝“从上海往正北平移9 km ”，b ＝“从北京往正北平移3 km ”，那么a ＝3b ； ②(a ＋b )＋λc ＋λ(a ＋d )＝b ＋(1＋λ)a ＋λ(c ＋d )；③有直线l ，且l ∥a ，在l 上有点B ，若AB →＋CA →＝2a ，则C ∈l . 其中正确的命题是________． [答案] ①②③[解析] ①正确．因为向量相等与始点无关；②正确，因为向量运算满足分配律和结合律；③正确，因为AB →＋CA →＝CA →＋AB →＝CB →＝2a ，所以CB →与l 平行，又B 在l 上，所以C ∈l .12．在以下三个命题中，真命题的序号为________．①三个非零向量a 、b 、c 不能构成空间的一个基底，则a 、b 、c 共面；②若两个非零向量a 、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a 、b 共线； ③若a 、b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ、μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．[答案] ①②[解析] c 与a 、b 共面，不能构成基底．13．已知O 是空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________.[答案] －1[解析] OA →＝－2xOB →－3yOC →－4zOD →，由A ，B ，C ，D 四点共面，则有－2x －3y －4z ＝1， ∴2x ＋3y ＋4z ＝－1.14．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，则x ＋y ＋z 等于________．[答案] 76[解析] 如右图，AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →，又已知AC 1＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，∴x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C → ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝13z ＝－1⇒x ＝1，y ＝12，z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.三、解答题15．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB→＋13OC →.(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面．(2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解析] 如图所示，(1)由已知得OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)． ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →、MB →、MC →共面．(2)由(1)知向量MA →、MB →、MC →共面，三个向量的基线又过同一点M ，∴四点M 、A 、B 、C 共面． ∴点M 在平面ABC 内．16．已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．[解析] ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝12CD →－CB →) ＝12(32CG →－32CF →) ＝34(CG →－CF →) ＝34FG →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在EH →上， ∴四边形EFGH 是梯形．17．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 四点共面．[证明] 令λ(e 1＋e 2)＋μAC →＋υ (3e 1－3e 2)＝0， 则(λ＋2μ＋3υ) e 1＋(λ＋8μ－3υ)e 2＝0. ∵e 1、e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3υ＝0，λ＋8μ－3υ＝0.易知⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－5，μ＝1，υ＝1.是其中一组解，则－5AB →＋AC →＋AD →＝0.∴A 、B 、C 、D 共面．另证：观察易得AC →＋AD →＝(2e 1＋8e 2)＋(3e 1－3e 2)＝5e 1＋5e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →＝15AC →＋15AD →.由共面向量知，AB →，AC →，AD →共面．又它们有公共点A ，∴A 、B 、C 、D 四点共面．18．在四面体ABCD 中，P 在面ABC 内，Q 在面BCD 内，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，AQ →＝sAB →＋tAC →＋uAD →，若x y ＝s t，试判断线段AQ 与DP 的位置关系．[解析] 由x y ＝s t ，则s x ＝ty.不妨假设s x ＝t y＝λ，则AQ →＝λAP →＋uAD →，所以A 、P 、D 、Q 四点共面．又AQ 与DP 不平行， 所以线段AQ 与线段DP 相交．。
2019届高二数学人教B版选修2-1练习：3-1-1空间向量的线性运算a
03课堂效果落实1.两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵两个非零向量模相等得不到两个向量相等，而两个向量相等则其模相等且方向相同．答案：B2．如右图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有( )A ．0个B ．3个C ．6个D ．9个解析：与AA ′→相等的向量有BB ′→、CC ′→、DD ′→. 答案：B3．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于( )A. DB →B. AC →C. AB →D. BA →解析：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →. 答案：D4．[2014·丹东高二检测]已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的是________．①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AB →＋AA ′→＝DC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 解析：由向量加法的三角形法则或多边形法则可知①②③正确． 答案：①②③5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式： (1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →；(2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →. 解：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0. (2)∵B 1C 1→＝BC →＝－CB →，AA 1→＝－D 1D →， ∴原式＝AA 1→－CB →－AA 1→＋CB →＝0.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量的线性运算讲义 新人教B版选修2-1
【解析】
原式＝
1 2
a＋b－
3 2
c＋
10 3
a－
5 2
b＋
10 3
c－3a＋6b－3c＝
12＋130－3
a＋
1－52＋6b＋－32＋130－3c＝56a＋92b－76c.
【答案】 56a＋92b－76c
4．若把空间内平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置于同 一点，则这些向量的终点构成的图形是________．
1．下列命题中，假命题是( ) A．向量A→B与B→A的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．单位向量都相等 【解析】 单位向量是模为1的向量，它的方向没有限制．但两个向量相等 必须同时满足模相等，且方向相同，故D错误． 【答案】 D
2.如图3-1-8所示，空间四边形OABC中，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，点M在OA 上，且O→M＝2M→A，N为BC中点，则M→N等于( )
＝－O→A＋12(O→D＋A→B) ＝－O→A＋12O→D＋12(O→B－O→A) ＝－32O→A＋12O→D＋12O→B， ∴x＝12，y＝－32.
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
高二数学选修2-1(B版)_《空间向量的线性运算》参考教案2
3.1.1空间向量的线性运算一、教学目标：1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
二、重点难点：1.平面向量向空间向量的过渡；2.空间向量的线性运算及其性质。
三、教学过程（一）创设情景1.在空间，我们把既有 又有 的量，叫做空间向量，记为a 。
2.空间向量加法和数乘运算满足如下运算律：（1）a b b a +=+（2）()()c b a c b a ++=++ （3）()()R b a b a ∈+=+λλλλ3.共线向量： 。
4.在平行六面体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，设,,,1c AA b AD a AB ===则B D 1= 。
5.已知空间四边形ABCD ，M,N,分别是BC 和CD 的中点，则BC BD AB 2121++等于 。
（二）建构数学1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)空间的一个平移就是一个向量。
(2)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量A B C A 1 B 1 C 1 (3)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图b a AB OA OB +=+=b a OB OA BA -=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：(1)加法交换律：a b b a +=+(1)加法结合律：)()(c b a c b a ++=++(1)数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(3.平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
【B版】人教课标版高中数学选修2-1《空间向量的线性运算》教案1-新版
3.1.1空间向量的线性运算一、教学目标：1.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2.了解空间向量的概念；3.掌握空间向量的线性运算及其性质。
二、教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质。
三、教学过程：（一）问题情境由于实际问题的需要,在必修4中，我们学习了平面向量，研究了平面向量的概念、运算及其性质，进而解决了平面上有关点，线的位置关系及度量问题。
但向量未必都在同一平面内，如下问题；已知物体受三个大小都为1000N 的力F 1 ，F 2，F 3，且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？是否为F 1→+F 2→+F 3→？此问题中，三个向量不在同一平面内，问题不好直接用平面向量来解决，为此需要将向量由平面向空间推广！（二）数学理论1.平面向量与空间向量的有关概念(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。
平面上的向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量；向量a 的相反向量记作－a ． 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；记作：a ∥b ，0∥a ．由向量的实际背景，平面向量的有关概念都可以移植到空间中。
(2)空间向量的有关概念：在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量。
空间向量一般用有向线段表示。
同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
在空间中：长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；记作：a ∥b ，0∥a ．2.平面向量与空间向量的线性运算我们现在研究的是自由向量，大小相等方向相同的向量是相等向量，而与它们的起点无关。
高二数学选修2-1(B版)-《空间向量的线性运算》教学课件2
学习目标 自主学案 互动讲练 知识总结
学习目标 自主学案 互动讲练 知识总结
(2)在△BCD 中，G→M＝13D→M＝13·12(a＋b－2c)
＝16a＋16b－13c.
(3)在△ADG 中，注意到三角形重心的性质，得
A→G＝A→D＋D→G＝c＋23
→
DM
＝c＋23(12D→B＋12D→C)
＝c＋13(A→B－A→D＋A→C－A→D)
＝c＋13(a＋b－2c)＝13(a＋b＋c)．
学习目标 自主学案 互动讲练 知识总结
【名师点评】 (1)有限多个空间向量 a1，a2，
a3，…，an 相加，可以从某点 O 出发，逐一引向
→ 量O→A1＝a1，A→1A2＝a2，…，An－1An ＝an.如图，
学习目标 自主学案 互动讲练 知识总结
λ的范围
方向关系
模的关系
λ>0
方向相同
λa的模是a
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 的模的|λ|
λ<0
方向相反
倍
学习目标 自主学案 互动讲练 优化训练
(3)空间 向量的数乘运算律 设 λ、μ 是实数，则有①分配律：λ(a＋b)＝ ___λ_a_＋__λ_b_____. ②结合律：λ(μ a)＝(λμ)a.
3.1.1空间中向量的线性运算
学习目标 自主学案 互动讲练 知识总结
1.学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示 方法和字母表示方法． 2.掌握空间向量的线性运算，数量积． 3.能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问 题．
学习目标
自主学案 互动讲练 知识总结
2.自主学案
1．平面上有_大__小___和_方__向___的量叫作向量，方向 相同且模_相__等__的向量称为相等向量． 2．向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足 __交__换___律和_结__合___律．
高中数学选修2-1第三章教案3.1.1空间向量的线性运算
3.1.1空间向量的线性运算教学目标：1．知识与技能：（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示；（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；（3）能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
2．过程与方法：运用类比的方法，经历平面向量及其运算向空间向量推广的过程；3．情感态度与价值观：培养学生严谨的学习态度；使学生深刻认识数学和现实世界的联系，领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。
教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：应用向量解决立体几何中的问题教学过程一、复习检测：平面向量的概念，加法、减法和数乘运算二、引入新课1．空间向量的概念：在空间，我们同样把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）空间的一个平移就是一个向量。
（2）相等的向量：向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量（3）零向量：起点与终点重合的向量（或长度为零的向量）叫做零向量；（4）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
记作（5）基线：有向线段的方向表示向量的方向，有向线段所在的直线叫做向量的基线；（6）共线向量（或平行向量）：基线平行或重合的向量叫做共线向量或平行向量，如。
规定：零向量与任意向量共线。
2．空间向量的运算（1）类比平面向量运算，定义空间向量的加法、减法与数乘向量运算（2）运算律：①加法交换律：②加法结合律：③数乘分配律：（3）对空间向量的加法、减法的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则和三角形法则在空间仍然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．表示相加的有向线段依次首尾相接，构成的折线从首到尾的向量就是这些相加向量的和，称之为“封口向量”。
4.有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变。
3、例题讲解：例1、已知平行六面体ABCD －化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： ⑴；（2）；；（3）解：⑴=；（2）；⑶设M 是线段的中点，则///111()()222AB AD DD BC AC CC CB AC CB AC CM AM ++-=++=+=+=. 注：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.方法归纳：运用“封口向量”或转化为平面向量的运算来进行。
高中数学人教B版选修2-1练习课件3-1-2空间向量的基本定理精选ppt课件
(3)A→N ＝12(AC→′＋AD→′) ＝12[(A→B ＋A→D ＋AA→′)＋(A→D ＋AA→′)] ＝12(A→B ＋2A→D ＋2A→ A′)＝12a＋b＋c. (4)A→Q ＝A→C ＋C→Q ＝A→C ＋45C→ A′ ＝A→C ＋45(C→A ＋AA→′)＝15A→C ＋45AA→′ ＝15(A→B ＋A→D )＋45AA→′＝15a＋15b＋45c.
而此题推得O→P＝2O→A＋B→A＋M→A， ∴P 与 A、B、M 不共面．
解法二：(1)原式可变形为O→B＝3O→P－O→A－O→M. ∵3＋(－1)＋(－1)＝1，∴B与P、A、M共面，即P与A、 B、M共面． (2)O→P＝4O→A－O→B－O→M，∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1， ∴P与A、B、M不共面．
＝(1－t)O→A＋tO→B.
令x＝1－t，y＝t，则O→P＝xO→A＋yO→B，
且x＋y＝1.
3. 空间的两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?
提示：不能推出a＝λb，因空间中任意两向量都共面，a，b
共面未必有a∥b，则不一定有a＝λb.
4.
若对任意一点O和不共线的三点A、B、C，并且
[解析] (1)由P与A，B，C三点共面，
∴15＋23＋λ＝1，解得λ＝125.
(2)①要证明三个向量共面，只需证明存在实数x，y，使
→ MA
＝xM→B＋yM→C；②结合①可解．
①∵O→A＋O→B＋O→C＝3O→M，∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M
－
→ OC
)＝
→ BM
＋
→ CM
，即
这类问题的—般解决方法是 (1)选择几个空间封闭多边形 (2)空间封闭多边形选择原则 ①尽量含有多个基向量； ②这些多边形要有公共有向线段． (3)由多边形建立相应的向量等式 (4)解向量方程组化简即可．
高二数学选修2-1(B版)-考点点拨：空间向量的线性运算
3.1.1空间向量的线性运算一、学科内综合思维点拨【例1】 已知两个非零向量e 1、e 2不共线，如果=e 1+e 2，AC =2e 1+8e 2，AD =3e 1-3e 2.求证：A 、B 、C 、D 共面.思维入门指导：要证A 、B 、C 、D 四点共面，只要能证明三向量、、共面，于是只要证明存在三个非零实数λ、μ、υ使λ+μ+υ=0即可.证明:设λ(e 1+e 2)+μ(2e 1+8e 2)+υ(3e 1-3e 2)=0.则(λ+2μ+3υ)e 1+(λ+8μ-3υ)e 2=0.∵e 1、e 2不共线，∴⎩⎨⎧=-+=++.038,032υμλυμλ上述方程组有无数多组解,而λ=-5,μ=1,υ=1就是其中的一组,于是可知-5AB +AC +AD =0. 故、AC 、AD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共面.点拨：寻找到三个非零实数λ=-5,μ=1,υ=1使三向量符合共面向量基本定理的方法是待定系数法.二、应用思维点拨【例2】 某人骑车以每小时α公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2α时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和风向.思维入门指导：速度是矢量即为向量.因而本题先转化为向量的数学模型，然后进行求解，求风速和风向实质是求一向量.解:设a 表示此人以每小时α公里的速度向东行驶的向量.在无风时,此人感到风速为-a ,设实际风速为v ,那么此人感到的风速向量为v-a .如图9-5-2.设OA =-a ,OB =-2a .由于PO +OA =PA ,从而PA =v-a .这就是感受到的由正北方向吹来的风.其次，由于PO +OB =PB ，从而v-2=PB .于是，当此人的速度是原来的2倍时感受到由东北方向吹来的风就是.由题意,得∠PB O =45°, PA ⊥B O ，BA=A O ，从而△PB O 为等腰直角三角形.故P O =PB=2α.即|v|=2α.答：实际吹来的风是风速为2α的西北风.点拨：向量与物理中的矢量是同样的概念，因而物理中的有关矢量的求解计算在数学上可化归到平面向量或空间向量进行计算求解.知识的交叉点正是高考考查的重点，也能体现以能力立意的高考方向.三、创新思维点拨【例3】 如图9-5-3(1)，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1）用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； （2）用向量法证明BD ∥平面EFGH.思维入门指导:(1)要证E 、F 、G 、H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x,y,使EG =x EF +y EH 即可;(2)要证BD ∥平面EFGH,只需证向量BD 与EH 共线即可.证明:(1)如图9-5-3(2),连结BG,则=EB +=EB +21(+)=EB +BF +=EF +.由共面向量定理推论知，E 、F 、G 、H 四点共面.(2)∵=-=21-21=21(-)=21,∴EH ∥BD.又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH.点拨：利用向量证明平行、共面是创新之处，比较以前纯几何的证明，显而易见用向量证明比较简单明快.这也正是几何问题研究代数化的特点.【例4】 如图9-5-4，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为D 1C 1的中点，试求A 1C 1与DE 所成角.思维入门指导：在正方体AC 1中，要求A 1C 1与DE 所成角,只需求11C A 与DE所成角即可.要求11C A 与DE 所成角，则可利用向量的数量积，只要求出11C A ·DE 及|11C A |和|DE |即可.解:设正方体棱长为m,AB =a,AD =b,1AA =c.则|a |=|b |=|c |=m ，a ·b =b ·c =c ·a =0. 又∵11C A =11B A +11C B =AB +AD =a +b ,DE =1DD +D 1=1DD +2111C D =c +21a , ∴11C A ·DE =(a+b)(c+21a)=a ·c +b ·c +21a 2+21a ·b =21a 2=21m 2.又∵|11C A |=2m,|DE |=25m,∴cos<11C A ,DE >=11=m m m 252212•=1010.∴<11C A ,DE >=arccos 1010.即A 1C 1与DE 所成角为arccos 1010.点拨：A 1C 1与DE 为一对异面直线.在以前的解法中求异面直线所成角要先找（作），后求.而应用向量可以不作或不找直接求.简化了解题过程，降低了解题的难度.解题过程中先把11C A 及用同一组基底表示出来,再去求有关的量是空间向量运算常用的手段.四、高考思维点拨【例5】 （2000，全国，12分）如图9-5-5，已知平行六面体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD.(1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当1CC CD的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD?请给出证明.思维入门指导：根据两向量的数量积公式a·b =|a |·|b |cos<a,b >知，两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,即a ⊥b ⇔a ·b =0, 所以要证明两直线垂直,只要证明两直线对应的向量数量积为零即可.(1)证明:设CD =a ,CB =b ,1CC =c .由题可知|a |=|b |.设CD 、CB 、1CC 中两两所成夹角为θ,于是BD =CD -CB =a -b ,1CC ·BD =c ·(a -b )=c ·a -c ·b =|c |·|a |cos θ-|c |·|b |cos θ=0,∴C 1C ⊥BD.(2)解:若使A 1C ⊥平面C 1BD,只须证A 1C ⊥BD,A 1C ⊥DC 1,由于:1CA ·C 1=(CA +1AA )·(CD -1CC )=(a +b +c )·(a -c )=|a |2+a ·b -b ·c -|c |2=|a |2+|b |·|a |·cos θ-|b |·|c |cos θ-|c |2=0,得当|a |=|c |时A 1C ⊥DC 1.同理可证当|a |=|c |时,A 1C ⊥BD.∴1CC CD=1时,A 1C ⊥平面C 1BD.点拨：对于向量数量积的运算一些结论仍是成立的.（a -b ）·（a +b ）=a 2-b 2；(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2.五、经典类型题思维点拨【例6】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点，且互相平分.（此点称为四面体的重心）思维入门指导：如图9-5-6所示四面体ABCD 中，E 、F 、G 、H 、P 、Q 分别为各棱中点.要证明EF 、GH 、PQ 相交于一点O ，且O 为它们的中点.可以先证明两条直线EF 、GH 相交于一点O ，然后证明P 、O 、Q 三点共线，即OP 、OQ 共线.从而说明PQ 直线也过O 点.证明：∵E 、G 分别为AB 、AC 的中点，∴EG ∥21BC.同理HF ∥21BC.∴EG ∥HF.从而四边形EGFH 为平行四边形，故其对角线EF 、GH 相交于一点O ，且O 为它们的中点，连接O P 、O Q.∵OP =OG +GP ,OQ =OH +,而O 为GH 的中点， ∴+=0,GP ∥21CD ，QH ∥21CD. ∴GP =21CD ,=21CD .∴+OQ =+++HQ =0+21-21=0. ∴OP =-OQ .∴PQ 经过O 点，且O 为PQ 的中点.点拨:本例也可以用共线定理的推论来证明,事实上,设EF 的中点为O .连接O P 、O Q,则=-EF ,而=21AC =-FP ,EF =-2FO ,则=-+2FO ,∴FO =21(+)，从而看出O 、P 、Q 三点共线且O 为PQ 的中点，同理可得GH 边经过O 点且O 为GH 的中点，从而原命题得证.六、探究性学习点拨【例7】 如图9-5-7所示，对于空间某一点O ，空间四个点A 、B 、C 、D （无三点共线）分别对应着向量a =OA ，b =OB ,c =OC ,d =OD .求证：A 、B 、C 、D 四点共面的充要条件是存在四个非零实数α、β、γ、δ，使αa +βb +γc +δd =0，且α+β+γ+δ=0.思维入门指导：分清充分性和必要性，应用共面向量定理.证明：(必要性)假设A 、B 、C 、D 共面，因为A 、B 、C 三点不共线，故，AC 两向量不共线，因而存在实数x 、y ，使AD =x AB +y AC ,即d-a=x(b -a )+y(c -a ),∴(x+y-1)a -xb -yc +d =0.令α=x+y -1, β=-x,γ=-y,δ=1.则αa+βb+γc+δd=0,且α+β+γ+δ=0.（充分性）如果条件成立，则δ=-(α+β+γ),代入得αa +βb +γc +δd =αa+βb+γc -(α+β+γ)d=0.即α(a -d)+ β(b -d)+γ(c -d)=0.又∵a-d=OA -OD =DA ,b-d=DB ,c-d=DC ,∴αDA +βDB +γDC =0.∵α、β、γ为非零实数,不妨设γ≠0. 则=-γαDA -γβDB . ∴DC 与、共面，即A 、B 、C 、D 共面.点拨：在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量平行，并且向量可以平移，因而不能完全按照它们所在直线的平行性、共面关系来确定向量关系.。
高中数学 3.1.1 空间向量的线性运算课件 新人教B版选修21
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教 学 教 法 分 析
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课 堂 互 动 探 究
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RB ·数学 选修2-1
易 错 易 误 辨 析
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课 时 作 业
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易 错 易 误 辨 析
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课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
RB ·数学 选修2-1
教
学
易
教 法
3．1 空间向量及其运算
错 易
分
误
析
辨
析
教
3．1.1 空间向量的线性运算
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
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教 学 方 案 设 计
教
学
易
教
空间向量的线性运算
法
错 易
分 析
【问题导思】
误 辨
析
教 学
1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？
当
方 案