2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含答案解析)
2020年湖北省武汉市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足，则复数A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B.C. D.3.设等比数列的前n项和为，，，则A. 2B. 0C.D.4.若某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A. 2B. 4C.D.5.在某项测量中，测量结果X服从正态分布，若X在内取值的概率为，则X在内取值的概率为A. B. C. D.6.已知函数图象关于直线对称，则函数在区间上零点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 47.已知向量，是互相垂直的单位向量，向量满足，，则A. 2B.C. 3D. 78.已知等差数列满足：，则的最大值为A. 2B. 3C. 4D. 59.已知直线与y轴交于P点，与曲线C：交于Q，M成为线段PQ上一点，过M作直线交C于点N，则面积取到最大值时，t的值为A. B. C. 1 D.10.已知函数的图象与x轴有唯一的公共点，则实数a的取值范围为A. B.C. ，或D. ，或11.已知A，B分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点F作直线PQ交双曲线于P，Q两点点P，Q异于A，，则直线AP，BQ的斜率之比：A. B. C. D.12.在四棱锥中，，，，，则四棱锥的体积为A. B. C. D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数在点处的切线方程为______．14.一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．附：，，精确到15.柜子里有三双不同的鞋，随机取出两只，取出的鞋不成对的概率为______．16.已知M，N为直线上两点，O为坐标原点，若，则的周长最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，．若，求c；若的面积为，求tan B．18.如图，在三棱柱中，侧面是边长为4的菱形，且，面面ABC，，．求证：面；求二面角的余弦值．19.已知，为椭圆：的左右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8．求椭圆的标准方程；已知是直线l：上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点，，则是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．20.一种新的验血技术可以提高血液检测效率．现某专业检测机构提取了份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止．若，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；若，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为，求的概率分布；求．21.已知函数．讨论在极值点个数；证明：不等式在恒成立．附：，．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为参数，为常数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求曲线C的直角坐标方程；设直线l与曲线C的交点为P，Q两点，曲线C和x轴交点为A，若面积为，求的值．23.已知正数a，b，c满足求证：；．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．【解答】解：由，得，，故选：B．2.答案：C解析：解：集合，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：设公比为q，，等比数列的前n项和为，，，则，解得，，故选：A．根据等比数列的通项公式和求和公式即可求出．本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据三视图还原成的几何体是如图所示的四棱柱，其中底面是长为2，宽为1的矩形，棱柱的高为2，四棱柱的体积．故选：B．先通过三视图对几何体进行还原，可得一个直四棱柱，然后利用棱柱体积的计算公式求解即可．本题考查三视图的还原及棱柱体积的计算，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．根据X服从正态分布，得到曲线的对称轴是直线，利用X在内取值的概率为，即可求得结论．【解答】解：服从正态分布曲线的对称轴是直线，在内取值的概率为，在内取值的概率为，在内取值的概率为故选：A．6.答案：C解析：解：因为函数图象关于直线对称，，，由知，时，．故，令得，．因为，所以，1，2时，满足条件．故零点有三个．故选：C．根据余弦型函数的对称性知，在时取得最值，由此求出值，再令，解出x，即可判断在上零点个数．本题考查三角函数据图求式的基本思路，注意把握好正、余弦函数图象的对称性与函数的最值点、零点之间的关系．属于中档题．7.答案：B解析：解：因为向量，是互相垂直的单位向量，不妨设，，则由，，得，即．；；故选：B．将向量，放入坐标系，利用条件求出坐标进而求得结论．本题主要考查平面向量的应用，利用向量长度与坐标之间的关系进行运算，利用条件将向量，转化为坐标形式是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：设等差数列的公差为d，由于满足：，设，，，所以，即，，所以，其中，所以最大值为5．故选：D．设，，，求公差，求首项，再利用辅助角公式求最值．本题考查三角换元求取值范围，属于中档题．9.答案：C解析：解：直线与y轴交于，由与联立，可得，过M作直线交C于点N，可得，，，则面积，设，可得，可得，可得时，，S递增；时，，S递减，则面积S在，即处取得极大值，且为最大值．故选：C．求得P，Q的坐标，由直线，联立直线方程和曲线方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式，结合换元法和导数的运用：求单调性和极值、最值，即可得到所求值．本题考查抛物线的方程和运用，考查三角形的面积的最值求法，注意运用导数，求得单调性和极值、最值，考查化简运算能力，属于中档题．10.答案：B解析：解：由于且，由题意可知的图象与x轴有唯一的公共点，，若，则，函数单调递增，且满足题意；当时，由可得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，由题意可得，故，综上可得，或．故选：B．由于且，由题意可知的图象与x轴有唯一的公共点，结合导数分析函数的性质，进而可求．本题主要考查了利用导数求解函数的零点个数，体现了导数与函数性质的综合应用．11.答案：B解析：解：由已知得双曲线：，，．故F，，．设直线PQ：，且，由消去x整理得，，两式相比得，：，将代入得：上式．故：．故选：B．先根据双曲线方程求出a，b，c的值，再直接设直线方程为，代入双曲线方程，消去x，化简得到关于y的一元二次方程，得韦达定理，然后将：借助于P，Q的坐标表示出来，再将韦达定理看成方程，将m用，表示出来代入前面的比值，化简即可．本题考查双曲线的性质，以及学生的化简运算能力，属于中档题．12.答案：D解析：解：在四棱锥中，，，，，连结AC，BD，交于点E，过P作平面ABCD，交AC于点O，连结BO，DO，则，，，，，四棱锥的体积为：．故选：D．连结AC，BD，交于点E，过P作平面ABCD，交AC于点O，连结BO，DO，则，，，，四棱锥的体积为：，由此能求出结果．本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.答案：解析：解：，，所以切线为：，即：．故答案为：．先求出函数的导数，然后求出切点处的导数值，最后利用点斜式求出直线方程．本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，同时考查学生的运算能力．属于基础题．14.答案：解析：解：设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，依题意，可得整理，得，，，，解得：，应在用药小时后及小时前再向病人的血液补充药．故答案为：．先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解．本题结合实际考查了指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系和换底公式等等，考查了分析和解决问题的能力．15.答案：解析：解：取法总数有种，取出的鞋成对的种数有3种，取出的鞋不成对的概率．故答案为：利用古典概型概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件的概率计算公式的灵活运用．16.答案：解析：解：已知M，N为直线上两点，O为坐标原点，若，则：原点到直线的距离．所以当为等边三角形时：设，所以，解得，故，所以．故答案为：．直接利用点到直线的距离公式的应用和三角形的周长公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，三角形的周长公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.答案：解：，，，，，，，；若C为锐角，过点A作于点H，如图所示：设BC边上的高为h，则，，设，，，，又，，，解得，，若C为钝角，过A作的延长线于H，如图所示：设，，则，，由知：，，而，无解，因此C为钝角不符合题意，综上所述，．解析：由利用二倍角公式得，再利用余弦定理即可求出c的值；对角C分锐角和钝角两种情况讨论，分别求出tan B的值，经验证C为钝角不符合题意，所以．本题主要考查了三角函数的二倍角公式，以及余弦定理，是中档题．18.答案：解：证明：在菱形中，过点作于H，平面平面ABC，平面平面，，，，平面．解：在菱形中，连结，设，平面，，则面，，过点M作于点N，连结AN，则平面AMN，，为二面角的平面角，设大小为，在中，，且，，则，，二面角的余弦值为．解析：在菱形中，过点作于H，则，再由，能证明平面．连结，设，则，面，，过点M作于点N，连结AN，则平面AMN，，从而为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由题意可得三角形中，三角形的周长为，解得，而，所以，所以椭圆的方程为：；由题意设，，，设直线AB的斜率为0时可得，，，则直线PA与x轴的交点M的横坐标，同理可得，所以，当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为：，联立直线AB与椭圆的方程，整理可得，，，设直线PA的方程为：，令，可得，所以，同理可得，所以；综上所述为定值．解析：由椭圆的定义可得的周长为4a，由题意可得a的值，及c的值，再有a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的标准方程；分直线AB的斜率为0和不为0两种情况讨论，求出A，B的坐标，设P的坐标，求出直线PA的方程，令，求出M的坐标，进而求出的表达式，同理求出的表达式，进而求出为定值．本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题．20.答案：解：时，不论第一次检测的混合血液是阴性还是阳性，从第2次检测开始，都是对含有1阳性，2阴性的3份血液进行逐一检测，若恰好经过3次检测而确定阳性血液，则第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，故恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率为．时，，，，当时，，，的分布列为：2 3 4P．解析：不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率；根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算，3，4，，的概率，得出分布列和数学期望．本题考查了离散型随机变量的概率计算，属于中档题．21.答案：解：，设，在时，则，知在递减，存在，使得，在时，，在时，，为的极大值点；在时，，有，在上恒成立，在上递减，此时无极值；在时，，在上恒成立，在上递增，存在唯一的，使得，且在时，，在时，，为的极小值点．综上，函数在上有两个极值点；证明：由知，，若时，，而，在上恒成立，在上递减，；若，，在上恒成立，在上递增，存在唯一的，使得，且当时，，在时，，，下面证明：在上恒成立，记，，则，在上递增，于是，从而可知；综合可知，不等式在恒成立．解析：求导，分，以及，判断函数的单调性，进而得出极值点情况；分，，结合零点存在性定理以及放缩思想得证．本题考查利用导数研究函数的极值点个数以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查运算求解能力，综合性较强，难度大．22.答案：解：直线l的参数方程为参数，为常数，转换为直角坐标方程为．曲线C的极坐标方程为整理得，根据，转，换为直角坐标方程为．由于与x轴的交点坐标为，所以得到，记，所以，整理得．所以，解得，即，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：因为正数a，b，c满足，所以，由于，故．分析法：要证原式，只要证：，即证，只要证：，即证：，因为，将两式相乘即得要证的式子：，以上每步都成立，所以不等式成立．解析：由已知得，用均值不等式即可；用分析法把左式分离变量，再由变形配凑成3元均值不等式的形式即可证明．本题考查多项式的化简变形技巧，均值不等式的应用．属于中档题．。
2020年湖北省高三(5月)调研模拟考试理科数学试卷答案
150
140
130
125
115
100
P
0.49
0.28
0.04
0.14
0.04
0.01
数学期望为：
= 1t0 × 0 9 1 0 × 0 2⺁ 1 0 × 0 0 12t × 0 1 11t × 0 0 100 × 0 01 =
1 1（元）；
（ⅱ）设乙厂生产的 5 件该零件规格的正品零件中有 n 件“优等”品，则有 5 n 件“一
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2020 年湖北省高三（5 月）调研模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A B C C A B D D A C B C
二、填空题
13.− 21
2
14. = − 2 1
15．72.5
16. 3 1
三、解答题
17. 解：（1）
的外接圆半径 R = 1，有 = 2R sin = ，
……………6 分
（2）解：由（1）相关关系及数据，在图中，以 D 为原点，分别以 DC，DF，过点 D 且垂直
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面 DBC 的直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系（如图所示），有：
D 0，0，0 ，A ，0， ，C ，0，0 ，B − ， ，0 ，
在面 ABC 中，设其一个法向量 = 1， 1， 1 ， = − ，0， ， = − 9， ，0 ，
=0 ⇒
1
=0
91
有 = ， ，1
2020年湖北省高三(5月)调研模拟考试数学(理)试题及答案
2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷 2020．5一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i i-+12的共轭复数是 A ．i 2321- B ．i 2321+ C ．i 2321-- D ．i 2321+-2．已知集合{}0322<--=x x x A ，非空集合{}a x a x B +<<-=12，A B ⊆，则实数a 的取值范围为 A ．]2,(-∞ B ．]2,21( C ．)2,(-∞ D ．)2,21( 3．已知直线l 过圆062622=+--+y x y x 的圆心且与直线01=++y x 垂直，则l 的方程是 A ．02=-+y x B ．03=-+y x C ．02=--y x D ．03=--y x4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度）．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为A ．0.5尺B ． 1尺C ．1.5尺D ． 2尺5．函数xx xx x f cos 122ln2sin )(++-⋅=ππ在)2,2(ππ-的图像大致为6．如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5 ，则空白框中应填入A ．k<nB ．k ≤nC ．k-1≤nD ．k+1 < n7．△ABC 中，点D 为BC 的中点，3=，M 为AD 与CE 的交点，若),(R y x y x ∈+=，则y x -=A ．1-B ．21 C ．43D ．1 9．甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为 A ．2512 B ．2513 C ．2518 D ．25199．已知R c b a ∈,,．满足0ln 2ln 2ln 3<-==ca b ca b ．则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >> 10．在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一-点且AM=31AD ．N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为 A ．510 B ．55 C ．1010 D ．105 11．已知)0(sin )()(>--=-a x e e a x f xxπ存在唯一零点，则实数a 的取值范围 A ．),2(+∞πB ．),2[+∞πC ．),21(+∞D ．),21[+∞ 12．已知函数)0)(3sin()(>-=ωπωx x f 在],0[π有且仅有4个零点，有下述三个结论：①ω的取值范围为)313,310[；②)(x f 在)265,0(π单调递增； ③若21211)(2)(2x x x f x f ≠==，，则21x x +的最小值为134π 以上说法正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．二项式9)21(xx -的展开式中，常数项为 . 14．已知数列{}n a 的前项和为*N n S n ∈，满足11211==++S S S n n ，，则数列{}n a 的通项公式为 . 15．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50， 100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[ 80，90），[90，100] ，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为 .16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左焦点)0,(1c F -关于直线03=+y x 的对称点P 在双曲线上．则双曲线C 的离心率为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A=3π，422=+c b ，△ABC 的外接圆半径为R=1． （1）求△ABC 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.18．（本小题满分12分）已知如图1直角△ABC 中，AC ⊥BC ，AC=6，BC=36，点D 为AB 的中点，BC=3BF ，将△ACD 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2． （1）求证：AC ⊥DF ；（2）求二面角C —AB —D 的余弦值．19．（本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点分别为21F F 、，5221=F F ，Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且21PF PF ⊥，1PQF ∆的内切圆⊙M 半径为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线AB ：m x y +=2和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值..20．（本小题满分12分）甲、乙两厂均生产某种零件．根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布)(2σμ，N ，在出厂检测处，直接将质量在)33(σμσμ+-，之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为xg ，则“质量误差”g x x 0-.按标准．其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是)3.0,0[，)6.0,3.0[、]0.1,6.0[（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：（i ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望E （X ）；（ii ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.附：若随机变量),(~2σμN Z ．则9974.0)33(=+<<-σμσμZ P ；9743.09974.010≈，4096.08.04=，32768.08.05=21．（本小题满分12分）已知R a ax x x f ∈-+=,1cos 2)(22π． （1）若0)(≥x f 恒成立．求a 的最大值0a ； （2）若2)12ln()(222πππ+-+=x x g ，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：2)()(≤-x f x g（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中xOy ，曲线E 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=22sin 3sin 2cos sin 32ααααy x （α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F 的极坐标方程为t 2)4cos(=-πθρ（t为参数）（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围．23．[选修4 -5：不等式选讲]（10分）已知函数01)(121)(>+--=x f x x x f ，的解集为M ． （1）求M ；（2）若)0,2(-∈∈b M a ，，且b a <-2，证明：b b a a ++->-+224．。
2020届湖北省武汉市高考数学模拟试卷(5月份)(含解析)
2020届湖北省武汉市高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=lnx}，B={x∈N|x≤3}，则()A. B⊆AB. A∪B={x|x>0}C. A⊆BD. A∩B={1,2，3}2.双曲线的一个焦点为(−10,0)，离心率e=53，则此双曲线的标准方程为()A. x26−y24=1 B. x236−y264=1 C. x210−y220=1 D. x264−y236=13.在复平面内，复数z的对应点为(1,−1)，则z2=()A. √2B. −√2C. 2iD. −2i4.10.同学们研究制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则同学们()A. 不能作出这样的三角形B. 能作出一个锐角三角形C. 能作出一个直角三角形D. 能作出一个钝角三角形5.哈六中消防演练期间，安排6位学生志愿者到4个安全出口提供服务，要求甲、乙两个安全出口各安排一个同学，剩下两个安全出口各安排两个同学，其中的小李同学和小王同学不在一起，不同的安排方案共有()A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种6.已知函数y=f(x)，y=g(x)的图象如图所示，则函数y=g[|f(x)|]的大致图象是()A. B.C. D.7. 已知数列{a n −n}的前n 项和为S n ，且∑[n i=1a i+1+(−1)i a i ]=n 2，S 2018=1，则a 1=( )A. 32B. 12C. 52D. 28. 三棱锥又称四面体，则在四面体A −BCD 中，可以当作棱锥底面的三角形有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，0E ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )A. 310 B. 15 C. 25 D. 1210. 设点P 为抛物线y 2=16x 的焦点，直线l 是离心率为√2的双曲线的一条渐近线，则点P 到直线l 的距离为( )A. √2128B. 12C. 2√2D. 2411. 设x ，y 满足{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2，则z =x +y 的最小值为( )A. −8B. −7C. −6D. −512. 已知函数f(x)={2x+2+a,x ≤0f(x −1)+1,x >0，若对任意的a ∈(−3,+∞)，关于x 的方程f(x)=kx 都有3个不同的根，则k 等于( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在等差数列{a n }中，a 15=33，a 25=66，则a 35= ______ ． 14. 若向量相互垂直，则点(2,3)到点(x,y)的距离的最小值为 ．15. 函数f(x)满足：对任意的x ，均有f(x +3π2)=−1f(x)，当x ∈[−π,π]时，f(x)=xsinx ，则f(−8.5π)= ______ ． 16. 已知直线l ，m 和平面，下列命题中正确的命题的个数为 ．①若l//，，则l//m；②若l//m，，则l//；③若，则；④若，，则．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx．(1)求f(x)的最大值和最小正周期T；)=3，且a=1，求△ABC面(2)在△ABC中，内角A、B、C的所对的边分别为a、b、c，已知f(A2积的最大值．18.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，已知PA=AD=2AB=4，Q是线段PD上一点，PC⊥AQ．(1)求证AQ⊥面PCD；(2)求PC与平面ABQ所成角的正弦值大小．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点与双曲线x 22−y22=1的焦点重合，过椭圆C 的右顶点B 任作一条直线l ，交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， (1)试求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，M ，N 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的两点．若∠MPQ =∠NPQ ，求证：直线MN 的斜率k MN 为定值．20. 某校在2015年11月份的高三期中考试后，随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80,90)，第二组[90,100)，…，第六组[130,140]，得到如图所示的频率分布直方图． (I)求a 的值；(II)这50名学生中成绩在120分以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分(含130分)以上的人数记为X ，求X 的分布列和期望．21.已知函数f(x)=xlnx(e为无理数，e=2.718)(I)求函数f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(Ⅱ)若k为正整数，且f(k)>(k−1)x−k对任意x>l恒成立，求k的最大值．22.解析几何之父笛卡尔是近代法国哲学家、物理学家、数学家，笛卡尔与瑞典公主克里斯汀有着一段关于“心形曲线”的凄美爱情故事…如图所示的“心形曲线”的极坐标方程是ρ=a(1−sinθ)，当a=1，记该“心形曲线”为C1．(1)圆ρ=sinθ与C1相交于异于的A，B两点，求|AB|；(2)设P，Q是“心形曲线”C1上的两点，O为极点，求△POQ面积的最大值．a n，n∈N∗23.已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n，S n=a n2+12(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n；(2)设数列{b n}满足：b1=1，b n−b n−1=2a n(n≥2)，求数列{1b n≤λ(n+8)对任意的n(n≥2,n∈N∗)恒成立，求λ的取值范围．(3)在(2)的条件下，若T n−12【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|y=lnx}={x|x>0}，B={x∈N|x≤3}={0,1，2，3}，∴A∩B={1,2，3}．故选：D．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：本题以双曲线的简单性质为载体，考查双曲线的标准方程，是中档题．先确定双曲线为焦点在x轴上的双曲线，利用待定系数法，根据双曲线的一个焦点是(−10,0)，离心率e=53，即可求得．解：由题意，可设双曲线方程为x2a2−y2b2=1．由题设可知，c=10，ca =53，∴a=6，∵b2=c2−a2∴b2=64．故双曲线方程为：x236−y264=1．故选：B．3.答案：D解析：解：复数z的对应点为(1,−1)，∴z=1−i．则z2=(1−i)2=−2i．故选：D．复数z 的对应点为(1,−1)，可得z =1−i.再利用复数的运算法则即可得出． 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：5.答案：B解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将6人分成1、1、2、2的四组，其中的小李同学和小王同学不在同一组， 将6人分成1、1、2、2的四组，有C 61C 51C 42C 22A 22A 22=45种分组方法，其中小李和小王在同一组的分法有C 42C 21C 11A 22=6种，则小李同学和小王同学不在同一组的分法有45−9=39种；②，将2个1人的组全排列，安排在甲、乙两个安全出口，有A 22=2种安排方法， 将2个2人的组全排列，安排在剩下的两个安全出口，有A 22=2种安排方法， 则有39×2×2=156种不同的安排方法， 故选：B ．根据题意，分2步进行分析：①，将6人分成1、1、2、2的四组，其中的小李同学和小王同学不在同一组，②，将2个1人的组全排列，安排在甲、乙两个安全出口，将2个2人的组全排列，安排在剩下的两个安全出口，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于基础题．6.答案：D解析：解：由已知中函数y =g(x)的图象可得： 当x =±1时，y =0，由函数y =f(x)的图象可得：|f(x)|=−1无解，但|f(x)|=1有三个解，故函数y =g[|f(x)|]有三个零点，可排除C ；由已知中函数y =g(x)的图象可得： 当x =0时，y =−1，由函数y =f(x)的图象可得：|f(x)|=0有两个解−2和0，故函数y =g[|f(x)|]图象与y =−1有两个交点(−2,−1)和(0,−1)，可排除A ，B ； 故选：D结合已知中函数y =f(x)，y =g(x)的图象，分析函数y =g[|f(x)|]的零点个数及与直线y =−1的交点坐标，进而可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知函数图象分析复合函数的图象形状及关键点坐标是解答的关键．7.答案：A解析：解：依题意，a n+1+(−1)n a n =n 2−(2n −1)2=2n −1．当n 为奇数时，{a n+1−a n =2n −1a n+2+a n+1=2n +1⇒a n +a n+2=2；当n 为偶数时，{a n+1+a n =2n −1a n+2−a n+1=2n +1⇒a n +a n+2=4n ．∵S 2018=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2018−(1+2+3+⋯+2018)=1，即a 1+a 2+⋯+a 2018=2018(1+2018)2+1=1009×2019+1，又a 1+a 2+⋯+a 2018=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 2017)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 2018)=(a 1+2×504)+[1+a 1+252×(16+2016×4)]=1+2a 1+1008×2021=1009×2019+1，解得：a 1=32． 故选：A ．依题意，a n+1+(−1)n a n =n 2−(2n −1)2=2n −1，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于a 1的方程，解方程即可得到答案． 本题考查数列递推关系式的运用，属于一道有难度的题．8.答案：D解析：在四面体A −BCD 中，任何一个面(三角形)都可以当作棱锥底面，即可得出． 本题考查了对三棱锥底面的理解，属于基础题．解：在四面体A −BCD 中，任何一个面(三角形)都可以当作棱锥底面． 因此在四面体A −BCD 中，可以当作棱锥底面的三角形有4个． 故选：D ．9.答案：A解析：解：由已知中扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份 可得每个小扇形的面积为π16则图中共有面积为π16的扇形4个，面积为π8的扇形3个，面积为3π16的扇形2个，面积为π4的扇形1个，共10个故图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率P =310 故选A ．根据已知中扇形的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份，我们计算出图中所有的扇形的个数，及面积恰为π8的扇形的个数，代入古典概型概率计算公式即可得到答案．本题考查的知识点是古典概型，其中计算出满足条件的基本事件个数及基本事件的总个数是解答本题的关键．10.答案：C解析：解：点P 为抛物线y 2=16x 的焦点，则点P(4,0)， ∵直线l 是离心率为√2的双曲线的一条渐近线， ∴e 2=c 2a 2=b 2a 2+1=2， 解得b a =1，∴双曲线的一条渐近线方程为y =x ， ∴点P 到直线l 的距离为d =√12+12=2√2，故选：C根据抛物线的定义可求出焦点坐标，再根据双曲线的定义求出准线方程，再根据点到直线的距离公式即可求出本题考查抛物线和双曲线的简单性质以及点到直线的距离，属于基础题．11.答案：B解析：解：由约束条件{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2得如图所示的三角形区域，令x +y =z ，y =−x +z ，显然当平行直线过点B 时，z 取得最小值；由{x −y =−1x =2y +2，可得B(−3,−4)， 此时z =−7． 故选：B ．先画出约束条件{2x +y ≤4x −y ≥−1x ≤2y +2的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数x +y 的最小值． 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．12.答案：C解析：本题主要考查方程根的个数的应用，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．本题综合性较强，难度较大，如果正面求解，一般无法寻找突破口．根据a 取值的任意性，利用特殊值法，结合数形结合即可得到结论．解：∵对任意的a ∈(−3,+∞)，关于x 的方程f(x)=kx 都有3个不同的根， ∴不妨设a =0，则x ≤0时，f(x)=2x+2，若0<x ≤1，则−1<x −1≤0，则f(x)=f(x −1)+1=2x+1+1，若1<x ≤2，则0<x −1≤1，则f(x)=f(x −1)+1=2x +2，若2<x ≤3，则1<x −1≤2，则f(x)=f(x −1)+1=2+3，x−1+4，若3<x≤4，则2<x−1≤3，则f(x)=f(x−1)+1=2x−2…作出f(x)的图象如图：当k=1时，f(x)与y=x只有一个交点，不满足条件，当k=2时，f(x)与y=2x有四个交点，不满足条件，当k=3时，f(x)与y=3x有三个交点，满足条件，当k=4时，f(x)与y=4x只有两个交点，不满足条件，故k=3，故选C．13.答案：99解析：解：由等差数列的性质可知，a15，a25，a35成等差数列∴2a25=a15+a35∵a15=33，a25=66，∴a35=2×66−33=99．故答案为：99由等差数列的性质可知，a15，a25，a35成等差数列，结合已知可求本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题14.答案：解析：试题分析：由已知得：，所以点(2,3)到点(x,y)的距离的最小值即为点到直线的距离：．考点：1、向量的数量积及向量的垂直关系；2、点到直线的距离．15.答案：π2解析：解：∵f(x+3π2)=−1f(x)，∴f(−8.5π)=−1f(−7π)=f(−11π2)=−1f(−4π)=f(−52π)=−1f(−π)=f(π2)，或∵f(x+3π2)=−1f(x)，∴f(x+3π)=f(x)，函数f(x)的周期是3π，∴f(−8.5π)=f(π2)，当x∈[−π,π]时，f(x)=xsinx，则f(−8.5π)=f(π2)=π2，故答案为：π2．根据f(x+3π2)=−1f(x)，求出f(−8.5π)=f(π2)，代入函数表达式，求出即可．本题考查了函数的周期性，考查求函数值问题，是一道基础题．16.答案：1解析：①若l//，，则l//m或者l，m异面，故错误；②若l//m，，则l//或者l在α内，故错误；③若，则或者l与α倾斜着相交，故错误；④由线面垂直的性质定理可知正确。
2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(5月份) (含答案解析)
2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数5的共轭复数是()2−iA. 2+iB. −2+iC. −2−iD. 2−i2.已知集合A={x|x2+4x+3≤0}，B={x|x2−ax≤0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A. [−3,3]B. [0,+∞)C. (−∞,−3]D. R3.已知直线l过圆x2+(y−3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是()A. x+y−2=0B. x−y+2=0C. x+y−3=0D. x−y+3=04.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺5.函数f(x)=sin2x+sinx在[−π,π]，的图象大致是()A. B.C. D.6. 若执行如图的程序框图，输出S 的值为−2，则判断框中应填入的条件是( )A. k <2B. k <3C. k <4D. k <57. 在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ .若点D 为AC 中点，则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −a ⃗ +12b ⃗ B. a ⃗ +12b ⃗ C. a ⃗ −12b ⃗ D. −a ⃗ −12b ⃗ 8. 甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率( )A. 45B. 35C. 25D. 15 9. 设a =log 54−log 52，b =ln 23+ln 3，c =1012lg5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. b <a <c10. 在棱长为a 的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为( )A. √63a B. √66a C. √22a D. 12a11. 已知函数f(x)=ae x−1−e x ln(x +1)−1存在零点x 0，且x 0>1，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1+eln2)B. (−eln2,+∞)C. (−∞,−eln2)D. (1+eln2,+∞) 12. 已知函数y =3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则ω的取值范围是( )A. (−∞,−92)∪[6,+∞)B. (−∞,−92)∪[32,+∞) C. (−∞,−2]∪[6,+∞)D. (−∞,−2]∪[32,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (2√x −√x4)6的展开式的常数项是______ (用数字作答) 14. 已知数列{a n }的前项n 和为S n ，且满足S n =2n+2−3，则a n =____________．15. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)后得到频率分布直方图(如图)，则分数在［70，80)内的人数是_______．16. 设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，点F 关于直线l 的对称点为P ，若点P 在双曲线C 的左支上，则双曲线C 的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边BC 上，已知2acosC =2b +c ．(1)求A ：(2)若AM 是角A 的平分线，AM =2√3，且CM =2MB ，求三角形ABC 的面积．18. 如图，已知边长为2的正三角形ABE 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且∠DAB =60°，点F 是BC 的中点．(1)求证：BD ⊥EF ；(2)求二面角E −DF −B 的余弦值．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为，F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2，延长线交椭圆于点A ，△ABF 的周长为8，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l ⊥AB 且与椭圆C 相交于两点P ，Q ，求|PQ|的最大值．20.甲、乙两陶瓷厂生产某种规格的矩形瓷砖(600mm×600mm)，根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量x(kg)都服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量在(μ−3σ,μ+3σ)之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．(1)从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；(2)若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a(mm)，b(mm)，则“尺寸误差”为|a−600|+|b−600|，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0,0.2]、(0.2,0.5]、(0.5,1.0](正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm的瓷砖)，每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元．现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：(甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．①记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ(元)，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；②由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974；0.997410≈0.9743，0.84=0.4096，0.85=0.32768．21.已知函数f(x)=xlnx−a(x−1)，其中a∈R，求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．23. 已知函数f(x)=|2x −1|+|2x +1|，记不等式f(x)<4的解集为M ．(1)求M ；(2)设a,b ∈M ，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵52−i =5(2+i)(2−i)(2+i)=5(2+i)5=2+i，∴复数52−i的共轭复数是2−i．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.答案：C解析：本题考查的是一元二次不等式的解法和集合的基本关系，属于容易题．先化简集合A，对于集合B，分两类讨论，当a≥0时，与题意不符，当a<0时，由A⊆B，根据区间端点值的关系列式求出a的范围．解：A={x|x2+4x+3≤0}={x|−3≤x≤−1}，若a≥0，B={x|x2−ax≤0}={x|0≤x≤a}，与A⊆B不符，故a<0，此时B={x|a≤x≤0}，由A⊆B，知a≤−3，∴实数a的取值范围是(−∞,−3]．故选C．3.答案：D解析：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．由题意可得所求直线l 经过点(0,3)，斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．解：由题意可得所求直线l经过点(0,3)，斜率为1，故l的方程是y−3=x−0，即x−y+3=0，故选D．。
2020年5月武汉市高考理科数学模拟试卷含答案解析
2020年5月武汉市高考理科数学模拟试卷本试卷共5页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足，12z i i i +=++，则复数z =（ ）. A. 2i +B. 12i +C. 3i +D. 32i -【答案】B【解析】【分析】 首先根据题意得到(1)(2)z i i i =++-，再化简即可得到答案.【详解】2(1)(2)2312z i i i i i i i =++-=++-=+.故选：B 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，属于简单题.2.已知集合103x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2B x x =<，则A B =I （ ）. A . {}21x x -<< B. {}32x x -<< C. {}21x x -<≤ D. {}21x x -≤≤【答案】C【解析】【分析】 首先分别解不等式103x x -≤+和2x <，再求交集即可. 【详解】因为(1)(3)01031303x x x x x x -+≤⎧-≤⇒⇒-<≤⎨+≠+⎩， 所以{}31A x x =-<≤. 因为222x x <⇒-<<，所以{}22B x x =-<<. {}21A B x x ⋂=-<≤.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题. 3.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12342,20a a a a =++=，则5S =（ ）A. 2B. 0C. 2-D. 4-【答案】A【解析】【分析】利用等比数列基本量，求出q ，再求5S【详解】12342,20a a a a =++=Q 2311120q q q a a a ∴++=,2320q q q ∴++=;0q ∴=或1q =-；等比数列公比不能为0，1q =-552[1(1)]21+1S --== 故选：A【点睛】本题考查等比数列前n 项和n S .等解决等比数列基本量计算问题利用方程的思想.等比数列中有五个量1n n a n q a S ，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量1a 和q .4.若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（ ）.A. 2B. 4C. 42D. 43【答案】B【解析】【分析】 该三视图还原之后是一个斜四棱柱，为了方便理解，可以将其分开成两个三棱柱再拼凑成一个长方体，最后由长方体体积公式计算即可.【详解】该三视图还原之后是一个斜四棱柱，为了方便理解，可以将其分开成两个三棱柱再拼凑成一个长方体，所以体积为1224V =⨯⨯=.故选：B【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题.5.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0,)+∞内取值的概率为（ ） A. 0.9B. 0.1C. 0.5D. 0.4 【答案】A【解析】【分析】根据ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>，得到曲线的对称轴是直线1x =，根据所给的ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，根据正态曲线的对称性，即可求出在(0,)+∞内取值的概率． 【详解】因为ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>， 所以曲线的对称轴是直线1x =，又ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，根据正态曲线的性质，则在(0,)+∞内取值的概率为0.80.10.9+=．故选：A ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性；一般地，X 是服从正态分布，正态分布一般记为()2,N μσ，μ为正态分布的均值（均值就是对称轴），σ是正态分布是标准差；本题属于基础题．6.已知函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称，则函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】根据对称轴可得()5318k k Z πϕπ⨯+=∈，从而求出6π=ϕ，进而可得()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()cos 306f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解方程即可. 【详解】函数()()ππcos 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线5π18x =对称， 所以()5318k k Z πϕπ⨯+=∈，解得()56k k Z πϕπ=-∈， 又因为ππ22ϕ-<<，所以6π=ϕ， 所以()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令()cos 306f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 则()362x k k Z πππ+=+∈， 解得39k x ππ=+， 因为[]0,πx ∈， 所以9x π=，49π，79π. 即函数()f x 在区间[]0,π上零点的个数为3.故选：C【点睛】本题考查了余弦函数的性质以及求函数的零点个数，解题的关键是掌握余弦函数的对称轴，属于基础题.7.已知向量,a b r r 是互相垂直的单位向量，向量c r 满足1c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r 则||a c +=r r （ ）A. 2B. 5C. 3D. 7【答案】B【解析】【分析】 由向量,a b r r 是互相垂直的单位向量，分别以,a b r r 所在直线建立直角坐标系，再根据向量c r 满足1c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r ，求得向量c r 的坐标，再利用求模公式求解.【详解】因为向量,a b r r 是互相垂直的单位向量，建立如图所示直角坐标系：则()()()1,0,0,1,,a b c x y ===r r r ，因为向量c r 满足1c a ⋅=r r ，1c b ⋅=r r ，所以101,011x y x y ⨯+⨯=⨯+⨯=，1,1x y ==，所以()1,1c =r ，所以()2,1a c +=r r ，所以2||215a c +=+r r.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8.已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】【分析】设等差数列{}n a的公差为d，根据22158a a+=，利用平方关系，设15,a aθθ==，则()125sina aθθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，因为22158a a+=，由22cos sin1αα+=，设15,a aθθ==，则()211511cos422a a d a a aθθ=+=+-=+，所以()125sin,tan7a aθθθϕϕ==+=+，当2,2k k Zπθϕπ+=+∈时，12a a+的最大值为5.故选：D【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.已知直线1:2PQ y x=-与y轴交于P点，与曲线2:(0)C y x y=≥交于,Q M成为线段PQ上一点，过M作直线x t=交C于点N，则MNP△面积取到最大值时，t的值为（）A.116B.14C. 1D.54【答案】C【解析】【分析】先求得P，Q的坐标，由直线x t=，联立直线方程和曲线方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式，结合换元法和导数的运用求函数的单调性和最值，即可得到所求值．【详解】 直线1:2PQ y x =-与y 轴交于1(0,)2P -， 由12y x =-与2(0)y x y =…联立，可得3(1Q 31)2+， 过M 作直线x t =交C 于点N ，可得1(,)2M t t -，(N t t ，301t 剟， 则MNP △面积11()22S t t t =+， 设3(01)2u t u =+剟，可得34211()22S u u u =-+， 可得2311(34)(41)(1)22S u u u u u u '=-+=-+-， 可得01u <<时，0S '>，S 单调递增；3112u <<+时，0S '<，S 单调递减， 则面积S 在1u =即1t =处取得极大值，且为函数的最大值．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线的位置关系，考查三角形的面积的最值求法，考查利用导数研究函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知函数11()()x f x eax a R e -=--∈的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A. {|0}a a ≤B. {|0a a ≤或1}a e =C. {|0a a ≤或}a e =D. {|0a a ≤或1}a =【答案】B【解析】【分析】由题意得出函数()f x 的图象与x 轴有唯一的公共点为原点，利用导数讨论函数()f x 的单调性，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得11(0)0f e e-=-=，则函数()f x 的图象与x 轴有唯一的公共点为原点 1()x f x e a '-=-当0,()0a f x '≤>，则函数()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 的图象与x 轴有唯一的公共点当0a >时，()0ln 1f x x a '>⇒>+；()0ln 1f x x a '<⇒<+()f x ∴在(,ln 1)a -∞+上单调递减，在(ln 1,)a ++∞上单调递增由题意可得ln 10a +=，解得1a e= 综上，实数a 的取值范围为{|0a a ≤或1}a e=故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，属于中档题. 11.已知,A B 分别为双曲线22:13y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于,P Q 两点（点,P Q 异于,A B ），则直线,AP BQ 的斜率之比:AP BQ k k =（ ） A. 13-B. 3-C. 23-D. 32- 【答案】B【解析】【分析】先根据双曲线方程求出a ，b ，c 的值，再直接设直线方程为2x my =-，代入双曲线方程，消去x ，化简得到关于y 的一元二次方程，得韦达定理，然后将:AP BQ k k 借助于P ，Q 的坐标表示出来，再将韦达定理看成方程，将m 用1y ，2y 表示出来代入前面的比值，化简即可．【详解】解：由已知得双曲线:1a Γ=，b =2c =．故(2,0)F -，(1,0)A -，(1,0)B ．设直线:2PQ x my =-，且1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．由22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 整理得22(31)1290m y my --+=， ∴121222129,3131m y y y y m m +==--， 两式相比得121234y y m y y +=⨯①， 121212112211221(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=⨯==+--②， 将①代入②得：上式12121121223()33(3)4333()4y y y y y y y y y y +--===--+-． 故:3AP BQ k k =-．故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的性质，以及学生的化简运算能力，属于中档题．12.在四棱锥P ABCD -中，2,2PA PB PC PD AB AD BC CD ========，则四棱锥P ABCD -的体积为（ ）A.D. 3 【答案】D【解析】【分析】连接BD 、AC 交于点O ，连接PO ，由题意结合平面几何知识可得BD AC ⊥，BO DO =，BD PO ⊥，PO AO =，设PO AO m ==，CO n =，由勾股定理可得223m n -=，由余弦定理可得()()24714m n m m n ++-=+，化简可得2mn =，进而可得2m =，1n =，再利用P ABCD B PAC D PAC V V V ---=+即可得解.【详解】连接BD 、AC 交于点O ，连接PO ，如图：由2PA =，7PB PC PD ===7AB AD ==2BC CD ==，可得BD AC ⊥，BO DO =，BD PO ⊥，BPD ABD ≅△△，PO AO =， 所以BD ⊥平面PAC ， 设PO AO m ==，CO n =，由勾股定理得22274DO m n =-=-，即223m n -=，在POA V 中，22241cos 24AP AO PO PAO AP AO m m+-∠===⋅，在PCA V 中，()()222247cos 24m n AP AC PC PAC AP AC m n ++-+-∠==⋅+， 由PAO PAC ∠=∠可得()()24714m n m m n ++-=+，又223m n -=，所以()()()22214m n m n m m n +--=+，化简得2mn =， 将2n m=代入223m n -=可得2243m m -=，解得24m =或21m =-（舍去），所以2m =，1n =，3AC =，3BO DO ==APO △为等边三角形，所以1333sin 32APC S AP AC PAC =⋅⋅∠==△, 所以1133P ABCD B PAC D PAC APC APC V V V S BO S DO ---=+=⋅+⋅△△ 1333233==.故选：D.【点睛】本题考查了立体图形的几何特征、空间位置关系与余弦定理的综合应用，考查了立体图形体积的求解和方程思想，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数ln ()1xf x x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为__________. 【答案】210x y --= 【解析】 【分析】求导得到()21ln '()1x x x f x x +-=+，计算()1'12f =，()10f =，得到切线方程.【详解】ln ()1xf x x =+，则()21ln '()1x x x f x x +-=+，故()1'12f =，()10f =故切线方程为：()112y x =-，即210x y --= 故答案为：210x y --=【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.14.一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有疗效；而低于500mg 病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20％的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：lg 20.3010≈，lg30.4771≈，精确到0.1h ） 【答案】2.3 【解析】 【分析】先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得出指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系、换底公式和对数的运算性质以及条件进行求解.【详解】设应在病人注射这种药经过x 小时后再向病人的血液补充这种药， 则血液中的含药量y 与注射后的时间x 的关系式为：()002500120xy =-，依题意，可得()0025001201500x-≤，整理可得4355x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 所以445543log log 55x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即453log 5x ≥， 由485106lg36lg 61lg 2lg3110log log 2.38510lg813lg 21lg 10-+-====≈--， 所以 2.3x ≥.故在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效. 故答案为：2.3【点睛】本题主要考查了建立拟合的函数模型求解实际问题，关键是能够通过已知关系建立起恰当的函数模型，通过函数模型构造不等式，属于基础题.15.柜子里有三双不同的鞋，随机取出两只，取出的鞋不成对的概率为_____________ 【答案】45【解析】 【分析】本题首先可根据题意得出一共有六只鞋，先任取一只，然后根据剩下的鞋中不能与第一只鞋配对的鞋有多少即可得出结果．【详解】柜子里有三双不同的鞋就是一共有六只鞋，先任取一只，然后剩余五只鞋中有四个与第一只是不成对的，故取出的鞋不成对的概率为45． 【点睛】本题考查的是概率的相关计算，在计算概率类的题目时，一定要能够明确题目给出的所有可能以及满足题意的可能性有多少种，考查推理能力，是简单题．16.已知,M N 为直线34100x y +-=上两点，O 为坐标原点，若3MON π∠=，则MON △的周长最小值为_____.【答案】【解析】 【分析】设 ,OM x ON y ==，利用三角形面积公式建立方程4xy =，根据基本不等式求解163xy ≥，在周长l x y =+中利用基本不等式即可求解. 【详解】设 ,OM x ON y ==，则222222cos60MN x y xy x y xy ︒=+-=+-，所以周长l x y =+， 设点O 到直线34100x y +-=的距离为d ， 则2d ==，由MON △的面积公式可得11sin 60222S xy ︒==⨯xy =当且仅当x y =时，等号成立， 解得163xy ≥所以l x y =+≥≥x y =时，等号成立. 因为等号能够同时取到，所以周长的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式的应用，基本不等式，考查了推理与运算能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足4,2a C B ==. （1）若2b =，求c ；（2）若ABC V 的面积为tan B .【答案】（1）c =（2）tan B = 【解析】【分析】（1）由2C B =利用二倍角公式得2cos c b B =g，再利用余弦定理即可求出c 的值； （2）对角C 分锐角和钝角两种情况讨论，分别求出tan B 的值，经验证C 为钝角不符合题意，所以3tan 3B =． 【详解】解：（1）2C B =Qsin sin 22sin cos C B B B ∴==2cos c b B ∴=⋅222cos 22c a c b B b ac+-==()2222ac b a c b ∴=+- ()2242164c c ∴=+-∴222(164)c =- ∴212c = ∴23c =.（2）（i ）若C 为锐角，过A 作AH BC ⊥于H ， 设BC 边上的高为h ，1423,32ABC S h h =⋅⋅==V ， 设,4BH x HC x ==-，tan ,tan ,24h h B C C B x x ===-，22tan tan tan 21tan B C B B ==- 2241hh x x h x ⋅=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，23412x x ⎛⎫-∴-=⋅ ⎪⎝⎭，则3x = 3tan B =.（ii）若C为钝角，过A作AH BC⊥的延长线于H，设,3CH x AH h===，tan,tan()tan4h hB C Cx xπ=-==-+，∴由tan tan2C B=知22414hh xx hx⋅+-=⎛⎫- ⎪+⎝⎭223104(4)xx x∴+-=++，而0x>x\无解，因此C为钝角不符合题意.综上所述，3tan3B=.【点睛】本题主要考查了三角函数的二倍角公式，以及余弦定理，属于中档题．18.如图，在三棱柱111ABC A B C-中，侧面11ACC A是边长为4的菱形，且13A ACπ∠=，面11ACC A⊥面1,,4ABC A A BC BC⊥=.（1）求证：BC⊥面11ACC A；（2）求二面角1A AB C--的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）77【解析】 【分析】（1）在菱形11ACC A 中，过1A 点作1A H AC ⊥于H ，则1A H BC ⊥，再由1A A BC ⊥，能证明BC ⊥平面11AC CA ．（2）连结1AC ，设11AC A C M =I ，则BC AM ⊥，AM ⊥面1A BC ，1AM A B ⊥，过点M 作1MN A B ⊥于点N ，连结AN ，则1A B ⊥平面AMN ，1A B AN ⊥，从而MNA ∠为二面角1A A B C --的平面角，由此能求出二面角1A A B C --的余弦值．【详解】解：（1）在菱形11ACC A 中，过1A 点作1A H AC ⊥于H ， 因为平面11AC CA ⊥平面ABC ， 面11AC CA ⋂面ABC AC =，所以1A H ⊥平面ABC ，BC ⊂面ABC ， 从而1A H BC ⊥，而1A A BC ⊥，111A A A H A =I ，1AA ⊂平面11AC CA ，1A H ⊂平面11AC CA 所以BC ⊥平面11AC CA（2）在菱形11AC CA 中，连接1AC ，11AC AC ⊥∴，设11AC AC M ⋂=， 因BC ⊥平面11AC CA ，AM ⊂平面11AC CA ，所以BC AM ⊥，因为1AC BC C =I ，BC ⊂面1A BC ，1AC ⊂面1A BC ， 所以AM ⊥面1A BC ，1A B ⊂面1A BC ，1AM A B ∴⊥过点M 作1MN A B ⊥于点N ，连接AN ，则1A B ⊥平面AMN ，1A B AN ∴⊥所以MNA ∠为二面角1A A B C --的平面角，设大小为θ， 在Rt ACB V 中，M 到1A B 距离是C 到1A B 距离的12， 在1A CB V 中，14BC CA ==，且12A CB π∠=，所以2MN =，则23tan 62AM MN θ===，故cos 7θ= 所以二面角1A A B C --的余弦值为77.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.已知()11,0F -，()21,0F 为椭圆()2222:10x ya b a bΓ+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F AB V 的周长为8. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知()()000,0P x y y ≠是直线:4l x =上一动点，若PA ，PB 与x 轴分别交于点(),0M M x ，(),0N N x ，则1111M N x x +--是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由. 【答案】（1）22143x y +=（2）是定值；定值为23【解析】 【分析】（1）由条件得出1c =，48a =即可（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()04,P y ，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，然后算出101014,0x y y M y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，202014,0x y y N y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，然后算出112=113M N x x +--即可 【详解】（1）依题意1c =，由椭圆的定义可得1F AB V 的周长为48a =，即2a =，所以b ==故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()04,P y ，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690t y ty ++-=，显然>0∆，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+， 直线()1001:44y y PA y y x x --=⋅--，令0y =得101014x y y x y y -=-， 即101014,0x y y M y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，同理202014,0x y y N y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭， ()()01110101011010101011334311M y x y y ty x y y y ty y x y y y y y y y y ------=-===----，同理：()200231N y ty x y y --=-，于是：()120010*******111121133M N y y y y y y y x x ty y y ty y y ⎡⎤+⎛⎫--+=+=-⎢⎥ ⎪----⎝⎭⎣⎦2000026112234229333334t t t y y ty ty t -⎡⎤⎢⎥⎛⎫+=⋅-=-=⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎢⎥+⎣⎦所以112113M N x x +=--为定值.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.20.一种新的验血技术可以提高血液检测效率.现某专业检测机构提取了(6)n n …份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中(3)n -份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这(3)n -份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止.（1）若6n =，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若8n …，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ.【答案】（1）23（2）①详见解析②23142n n n-+【解析】 【分析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率； （2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算2ξ=，3，4，⋯，3n -的概率，得出分布列和数学期望．【详解】解：（1）在6n =时，恰好在第三次时检测出呈阳性血液，说明其中三份血液中的其中一份呈阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次为阴性第二次为阳性.32111521213211163132223C C C C C P C C C C C ⎛⎫=⋅+⋅= ⎪⎝⎭（2）①在8n ≥时，313111113131332(2)n n n n n n n C C C C P C C C C n ξ-----==⋅+⋅=211111311112121141311113113232343(3)n n n n n n n C C C C C C C C C P C C C C C C C C n ξ-----⎛⎫==⋅++⋅= ⎪⎝⎭ 321141321351(4)n n n n n C C C P C C C n ξ----==⋅=⋅同理，当44k n ≤≤-时，3211413213(3)(2)1()k n n k n n n k C C C P k C C C nξ--------⋅==⋅= 341141341312(3)2n n n n n n C C C P k C C C nξ-----=-=⋅⋅= ξ∴的分布列为：②2311122345(4)(3)E n n n n n n n n ξ=⋅+⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+-⋅ 23142n n n-+= 【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率计算，离散型随机变量及其分布列与期望的计算，属于中档题． 21.已知函数()ln cos f x x x =+.（1）讨论()f x 在(0,)π极值点个数；（2）证明：不等式()0f x >在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立. 附：52ln 0.9624,ln 0.739363ππ⎛⎫⎛⎫≈≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）有两个极值点（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5,26x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦以及5,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，判断函数的单调性，进而得出极值点情况；（2）分526x ππ<…，56πx π<<，结合零点存在性定理以及放缩思想得证． 【详解】解：（1）由()ln cos f x x x =+，求导数1sin ()x x f x x'-=，设()1sin g x x x =-①在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则(0)1,1022g g ππ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭()(sin cos )0g x x x x '=-+<，知()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减， ∴存在10,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10g x = 在()10,x x ∈时，1sin ()0x x f x x '-=>，在1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin ()0x x f x x'-=< 1x ∴为()f x 的极大值点. ②在5,26x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1sin 12x ≤≤有55sin min sin ,sin 12266x x ππππ⎧⎫≥>⎨⎬⎩⎭1sin ()0x x f x x '-=<在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减()f x ∴此时无极值. ③在5,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5100,()062f f πππ''-⋅⎛⎫<=> ⎪⎝⎭21()cos 0f x x x ''⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立.()f x '∴在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 因此存在唯一25,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x '= 在25,6x π⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x '<，在()2,x π时，()0f x '>2x ∴为()f x 极小值点.综合讨论()f x 在(0,)π有两个极值点.（2）令()cos ln f x x x =+，则11sin ()sin x xf x x x x '-=-+= ①若526x ππ<≤时，1sin 12x ≤<，而55sin min sin ,sin 12266x x ππππ⎧⎫>>⎨⎬⎩⎭所以1sin ()0x x f x x '-=<，()f x 在5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦递减，所以555()cos ln 0.962406662f x f πππ⎛⎫>=+=-+> ⎪⎝⎭②若56πx π<<，1sin ()x x f x x '-=，5115620566f πππ'-⋅⎛⎫=< ⎪⎝⎭，10()02f ππ'-⋅=> 当5,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 0f x x x ''⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，则()f x '在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增， 所以存在唯一05,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得00sin 1x x =， 当05,6x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<递减；当()0,x x π∈时，()0,()f x f x '>递增， 故()min 0000()cos ln ln f x f x x x x ==+=-下面证明：221ln 1x x +>在56πx π<<上恒成立 记222121()ln ,()ln m x x m x x x x x '⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，251ln ln 0.96,0.146x xπ>>< 则()0m x '>，所以()m x 在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增， 于是22551()ln 0.920.14 1.0616656m x m πππ⎛⎫>=+=+=> ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而可知0ln 0x ->， 综合①②可知cos ln 0x x +>在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点个数以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查运算求解能力，综合性较强，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生从第22、23题中任选一题做答.并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 参数，α为常数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin12θρ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 的交点为P ，Q 两点，曲线C 和x 轴交点为A ，若APQ V 面积为，求tan α的值.【答案】（1）244y x =+（2）tan 3α=±【解析】【分析】（1）由2sin 12θρ⋅=得1cos 12θρ-⋅=2x =+即可 （2）将直线的参数方程化为()2y k x =-，tan k α=，然后联立直线与曲线C 的方程消元可得24120y y k--=，然后算出12y y -，然后由APQ V 的面积即可得出答案. 【详解】（1）由2sin 12θρ⋅=得1cos 12θρ-⋅=，所以cos 2ρρθ-=2x =+，所以244y x =+.（2）由2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，消去参数t 得到tan 2y k x α==-， 所以()2y k x =-，tan k α=，244y x =+与x 轴交点为()1,0A -，由()2442y x y k x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，得24120y y k --=，记1t k=，则24120y ty --=，12y y -==，APQ V 面积1211322S AM y y =⋅⋅-=⋅⋅==，所以t =3k =±，所以tan 3α=±. 【点睛】涉及曲线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.23.已知正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.求证：（1）14ab <； （2）31112a b c a b c ++≥---. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据正数加法的性质，结合基本不等式进行证明即可；（2）运用分析法，结合已知等式的变形、三个正数的均值不等式进行证明即可.【详解】（1）因为a ，b ，c 为正数，且1a b c ++=，所以1a b +<，2124a b a b ab +⎛⎫+≥≤< ⎪⎝⎭，故14ab <. （2）分析法：要证：31112a b c a b c ++≥---， 只需要证：111331112a b c ⎛⎫-+++≥ ⎪---⎝⎭， 即要证：11191112a b c ++≥---， 即要证：()()()1111119111a b c a b c ⎛⎫⎡⎤-+-+-++≥⎪⎣⎦---⎝⎭，①而()()()111a b c -+-+-≥111111a b c ++≥--- 将②③两式相乘，即得待证的①式.以上每步均可逆，所以原不等式得证.【点睛】本题考查了已知等式证明不等式问题，考查了基本不等式的应用，考查了用分析法证明不等式，正确的代数式和等式的变形是证明的关键.。
2020届武汉5月质检理数试卷答案
由
sin
2
2
1
得
1
cos 2
1，
所以 cos 2 ，即 x2 y2 x 2 ，
所以 y2 4x 4
……5 分
（2）
y2
4x
4
与
x
轴交点为
A(1,0)
，由
y2 4x 4
y
k(x
2)
，得
y2
4 k
y
12
0
，
记t
1 ，则 y2 4ty 12 0 ， k
y1 y2
(4t)2 4 12 4 t 2 3
,
π)
时，
f
(
5π 6
)
0,
f
(π)
1- π·0 2
0
f
( x)
(cos
x
1 x2
)
0,
在
(
5π 6
,
π)
上恒成立.
∴ f (x)在(56π , π)上递增，
理科数学参考答案第 4 页（共 6 页）
因此存在唯一
x2
(
5π 6
, π) ，使得
f
(x2 )
0
在
(
5π 6
, x2 )
时，
f
( x)
0 ，在 (x2 , )
阳性，并且对含阳性血液的一组进行检测时，前两次检测出血液为阴性，或第一次
为阴性第二次为阳性.
P
C53 C63
(
C22C11 C32C11
C21C11 C31C21
)
2
2 3
……4 分
（2）①在 n 8 时， P(
2)
2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(有答案解析)
2020年湖北省高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数的共轭复数是A. B. C. D.2.已知集合，非空集合，，则实数a的取值范围为A. B. C. D.3.已知直线l过圆的圆心且与直线垂直，则l的方程是A. B. C. D.4.我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为A. 尺B. 1尺C. 尺D. 2尺5.函数在的图象大致为A. B.C. D.6.如图的程序框图中，若输入a，n的值分别为2，3，且输出T的值为5，则空白框中应填入A. B. C. D.7.中，点D为BC的中点，，M为AD与CE的交点，若，则A. B. C. D. 18.甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A、B、C三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为A. B. C. D.9.已知a，b，，满足，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.10.在棱长为1的正四面体ABCD中，M为AD上的一点且，N为AC中点，则点A到平面BMN的距离为A. B. C. D.11.已知存在唯一零点，则实数a的取值范围A. B. C. D.12.已知函数在有且仅有4个零点，有下述三个结论：的取值范围为；在单调递增；若，，则的最小值为以上说法正确的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.展开式中的常数项是______用数字作答14.已知数列的前项和为，满足，，则数列的通项公式为______．15.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在内，按得分分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为______．16.双曲线C：的左焦点为F，若F关于直线的对称点A是双曲线C上的点，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，，的外接圆半径为．求面积；角A的平分线AD交BC于D点，求AD长．18.已知如图1直角中，，，，点D为AB的中点，，将沿CD折起，使面面BCD，如图2．求证：；求二面角的余弦值．19.如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，，Q是y轴的正半轴上一点，交椭圆于P，且，的内切圆半径为1．求椭圆C的标准方程；若直线AB：和圆M相切，且与椭圆C交于A、B两点，求的值20.甲、乙两厂均生产某种零件．根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量单位：均服从正态分布，在出厂检测处，直接将质量在之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品．出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为xg，则“质量误差”按标准．其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是，、正品零件中没有“质量误差”大于的零件，每件价格分别为75元、65元、50元．现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如表用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率：质量误差甲厂频数103030510510乙厂频数25302551050记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为元，求X的分布列及数学期望；由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率．附：若随机变量则；，，21.已知，．若恒成立．求a的最大值；若，取中的，当时，证明：．22.在直角坐标系中xOy，曲线E的参数方程为为参数，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F的极坐标方程为为参数．求曲线E的普通方程和曲线F的直角坐标方程；若曲线E与曲线F有公共点，求t的取值范围．23.已知函数，的解集为M．求M；若，，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，复数的共轭复数是．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简得答案，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：B解析：解：，，当时，解得，实数a的取值范围为故选：B．解出集合A，由可列出关系式，解出a的范围即可．本题主要考查集合的包含关系和一元二次不等式的解法，属于基础题．3.答案：C解析：解：由圆，得其圆心坐标为，又所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率为．所求直线方程为，即．故选：C．由圆的方程求得圆心坐标，再由已知求得所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．4.答案：C解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为尺，，，解得，．夏至的晷长为尺．故选：C．利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，能求出夏至的晷长．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：，则函数为偶函数，可排除B，D；又，可排除C．故选：A．由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．6.答案：B解析：解：模拟程序的运行过程知，输入，，，满足条件，；，满足条件，；，满足条件，；，满足条件，；时，不满足条件，终止循环，输出；所以空白框中应填入．故选：B．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出时空白框中应填入的条件．本题考查了程序框图的运行问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7.答案：D解析：解：如下图：取BE的中点F，则，结合，，是底边上的中位线，．，，，故．故选：D．如图：根据已知可以取BE中点F，可推出，且，由此得到，则利用平行四边形法则，结合数乘运算，容易将用线性表示，则x，y可求．本题考查平面1向量基本定理及应用，将涉及到的向量结合平行四边形法则、数乘运算，用基底表示出来是解题的关键，考查了学生运用化归思想解题的能力．属于中档题．8.答案：D解析：解：甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A、B、C三个工厂工作，每个工厂至少一人，基本事件总数，甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为．故选：D．先求出基本事件总数，甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙两人不在同一工厂工作的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：A解析：解：已知a，b，，令，则：，所以．由于，且，故，解得，同理，且，故，解得．由于，，所以，故，整理得，所以．故选：A．直接利用对数的运算的应用和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：对数的运算的应用，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：C解析：解：由题意，，，由余弦定理可得：，，在直角三角形BNC中，求得，，则．．又，求得正四面体的高，则B到平面AMN的距离也为．，即．设A到平面BMN的距离为h，则，即．即点A到平面BMN的距离为．故选：C．由题意，，，分别求出BM、BN、MN的长度，再求三角形BMN的面积，求出三棱锥的体积，利用等体积法求A到平面BMN的距离．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查三角形的解法，训练了利用等体积法求点到面的距离，考查计算能力，是中档题．11.答案：B解析：解：由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0．，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可．当时，有，令，，则，，，，在上单调递增，，，解得．故选：B．先由题设条件得到，再研究的奇偶性，把问题转化为当时，函数无零点．利用放缩法与单调性求出a的取值范围．本题考查导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，是高考的常考点和难点，属于难题．12.答案：C解析：解：函数在有且仅有4个零点，此时，，，求得，故正确；由，，得，则，可得在单调递增，故正确；由，得，又，可知，关于过最大值点的对称轴对称，由，得，．，．当时，，当时，．的最小值为，而无最大值，则取不到最小值，故错误．以上说法正确的个数为2．故选：C．由题意利用正弦函数的零点，正弦函数的周期性，可得，由此求得的范围判断；由x的范围得到相位的范围，再由正弦函数的单调性判断；由已知求出的值判断．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．13.答案：解析：解：展开式中的通项公式：．令，解得．常数项．故答案为：．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：解析：解：数列的前项和为，满足，；，所以：，；可得：因为，；；；数列是首项为1，公比为的等比数列；；故答案为：．先根据递推关系式求出进而得到数列是首项为1，公比为的等比数列；即可求得结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，以及由前n项和求通项，属于基础题目．15.答案：解析：解：由频率分布直方图，得：的频率为，的频率为，估计这100名同学的得分的中位数为：．故答案为：．由频率分布直方图，求出的频率为，的频率为，由此能估计这100名同学的得分的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.答案：解析：【分析】本题考查了双曲线的性质，点关于直线的对称问题，属于中档题．求出A点坐标，代入双曲线方程化简得出a，b，c的关系，得出离心率．【解答】解：设关于直线的对称点为，则解得代入双曲线C的方程可得：，即，故，又，解得．故答案为：．17.答案：解：由正弦定理可得，，，，由余弦定理可得，，，；不妨设，，，，，，由且，，，由，．解析：由已知结合正弦定理可求A，然后结合余弦定理可求bc，再由三角形的面积公式即可求解；由已知可求b，c，a，结合角平分线性质可求DC，DB，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的综合应用，属于中档试题．18.答案：解：证明：在三棱锥中，取CD中点E，连结AE，在中，，，，，，点D为AB的中点，，，，，，，，为直角三角形，，将没CD折起，使面面BCD，如图，由点E为CD中点，在等边中，，而面，面BCD，又面BCD，，，，面ACD，面ACD，．解：以D为原点，分别以DC，DF，过点D且垂直面DBC的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，0，，0，，0，，，0，，，0，，，设面ABC的法向量y，，则，取，得，设平面ABD的法向量b，，则，取，得，，二面角的余弦值为．解析：取CD中点E，连结AE，推导出，面BCD，，，从而面ACD，由此能证明．以D为原点，分别以DC，DF，过点D且垂直面DBC的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：设的内切圆且，，PQ于E，F，G，，，，由，且，有，，，由，可得，，解得，故，即，，故所求的椭圆的方程为；设，设，，由，解得，，即，则的斜率为，即有直线的方程为，由M到直线的距离为1，有，解得或舍去，即，故圆M的方程为，设，，由可得，则，，，，而与相切，由，解得或，故或．解析：设的内切圆且，，PQ于E，F，G，，，，运用三角形的内切圆的性质和切线的性质以及勾股定理，解得x，结合椭圆的定义，可得a，b，进而得到椭圆方程；设，设，，列方程求得P的坐标，求得直线的方程，由点到直线的距离公式计算可得M的坐标，求得圆M的方程，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件，解方程可得m，可得所求．本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于难题．20.答案：解：由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在之内的概率为，这10件零件的质量均在之内即没有废品的概率为，故这10件零件中至少有1件是废品的概率为．用频率估计概率，得甲厂生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为，，，则X的可能取值为150，140，130，125，115，100元，，，，，，．的分布列为：X 150 140 130 125 115 100P数学期望元．设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有n件“优等”品，则有件“一级”品，，解得，取4或5，故所求的概率为．解析：先由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在之内的概率为，再求出10件零件的质量均在之内的概率，最后根据对立事件的概率，即可得解；用频率估计概率，结合表格中的数据，得甲厂生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为，，，而X的可能取值为150，140，130，125，115，100元，然后利用相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有n件“优等”品，则有件“一级”品，根据销售金额列出关于n的不等式，解得，所以n取4或5，然后利用独立重复事件的概率求解即可．本题考查正态分布、对立事件的概率、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．21.答案：解：显然是偶函数，，且时，不恒成立，故题意可为：，，若恒成立，求a的最大值，，，若，则恒成立，在递增，又，有恒成立，此时a的最大值；若，则存在最小的正数，使得成立，此时，当时，，在递减，又，有，，故在递减，又，有，，故，不恒成立，即a无最大值，综合可知，满足题意a的最大值；由知，，要证明，即证明，，，，由，恒成立，有，即证明，，，，，当时，的最大值为，当时，的最小值是，故式恒成立，即证得恒成立．解析：问题转化为，，若恒成立，求a的最大值，求出的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的最大值即可；问题转化为证明，得到，，，分别令，，求出函数的最值，从而证明结论成立．本题考查了不等式的证明，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.答案：解：曲线E的参数方程为为参数，所以，代入，得到．曲线F的极坐标方程为为参数，整理得，转换为直角坐标方程为．由于曲线E：经过点．所以点在直线上，所以．由于曲线E和曲线F相切时，，，．故t的范围是．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：，则，由，可得当时，；当时，恒成立；当时，，综上可得，；证明：由可得，，，，且有，由，可得，即，可得，即为，可得，又，，故，即．解析：由绝对值的意义，运用零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；分别求得，，，，且有，由，可得，再由不等式的性质和两边平方法，化简变形，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式的证明，注意运用综合法和不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020届湖北省高三下学期5月高考模拟调研考试理科数学试题(原卷版)
2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii +=-（ ） A. 1322i -+B. 1322i -- C.1322i - D.1322i + 2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）. A. (],2-∞B. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦C. (),2-∞D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭3.已知直线l 过圆226260x y x y +--+=圆心且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.A. 20x y +-=B. 30x y +-=C. 20x y --=D. 30x y --=4.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器.晷长即为所测量影子的长度）.夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ）A. 0.5尺B. 1尺C. 1.5尺D. 2尺5.函数()2sin 2ln21cos xx x f x xππ-⋅+=+在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的图像大致为（ ）. A. B.C. D.6.如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5，则空白框中应填入（ ）.A. k n <B. k n ≤C. 1k n -≤D. 1k n +<7.ABC V 中，点D 为BC 的中点，3AB AE →→=，M 为AD 与CE 的交点，若(),CM x AB y AC x y R →→→=+∈，则x y -=（ ）. A. 1-B.12C.34D. 18.甲、乙、丙、丁、戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为（ ）. A.1225B.1325C.1825D.19259.已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A. c a b >>B. a c b >>C. c b a >>D. b a c >>10.在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一点且13AM AD =.N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为（ ）.A.B.C.D.11.已知()()()sin 0xxf x a e ex a π-=-->存在唯一零点，则实数a的取值范围（ ）.A. ,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. ,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有4个零点，有下述三个结论： ①ω的取值范围为1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭；②()f x 在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③若()()12221f x f x ==，12x x ≠，则12x x +的最小值为413π 以上说法正确个数为（ ）. A. 0B. 1C. 2D. 3二.填空题：13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.14.已知数列{}n a 的前项和为n S ，n *∈N 满足121n n S S ++=，11S =，则数列{}n a 的通项公式为______. 15.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[]50,100内，按得分分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为______.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点()1,0F c -关于直线30x y +=的对称点P 在双曲线上.则双曲线C 的离心率为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.在ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，224b c +=，ABC V 的外接圆半径为1R =.（1）求ABC V 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.18.已知如图1直角三角形ACB 中，AC BC ⊥，6AC =，63BC =，点D 为AB 的中点，3BC BF =，将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2.（1）求证：AC DF ⊥；（2）求二面角C AB D --的余弦值.19.如图，已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，1225F F =Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且12PF PF ⊥，1PQF △的内切圆M e 半径为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:2AB y x m =+和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值.20.甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布()2,N μσ，在出厂检测处，直接将质量在()3,3μσμσ-+之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为x g ，则“质量误差”0x x g -.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是[)0,0.3，[)0.3,0.6、[]0.6,1.0（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）： 质量误差 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 []0.6,0.7甲厂频数 103030510510乙厂频数 2530 255105（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望()E X ； （ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率. 附：若随机变量()2,Z N μσ~.则()330.9974P Z μσμσ-<<+=；100.99740.9743≈，40.80.4096=，50.80.32768=.21.已知()222cos 1f x x ax π=+-，a ∈R .（1）若()0f x ≥恒成立.求a的最大值0a ；（2）若()()222ln 212g x x πππ=+-+，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：()()2g x f x -≤.（二）选考题：22.在直角坐标系中xOy ，曲线E 的参数方程为2cos 2sin 22x y αααα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭t 为参数）.（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围. 23.已知函数()112f x x x =--，()10f x +>的解集为M . （1）求M ；（2）若a M ∈，()2,0b ∈-，且2a b -<>2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷本试卷共5页，23题（含选考题）.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21ii +=-（ ） A. 1322i -+B. 1322i -- C.1322i - D.1322i + 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据复数的除法运算法则，可得()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+--+. 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的四则运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.A. (],2-∞B. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦C. (),2-∞D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，由集合的包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】()(){}{}31013A x x x x x =-+<=-<<，Q 集合B 为非空集合且B A ⊆，121321a aa a +>-⎧⎪∴+≤⎨⎪-≥-⎩，解得：122a <≤，即实数a 的取值范围为1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：B .【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.3.已知直线l 过圆226260x y x y +--+=的圆心且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）.A. 20x y +-=B. 30x y +-=C. 20x y --=D. 30x y --=【答案】C 【解析】 【分析】由圆的一般方程可确定圆心坐标，由两直线垂直可得直线斜率，利用直线点斜式可求得结果. 【详解】由圆的方程知其圆心为：()3,1，l Q 与直线10x y ++=垂直，l ∴的斜率1k =， l ∴的方程为13y x -=-，即20x y --=.故选：C .【点睛】本题考查直线方程的求解问题，涉及到由圆的一般方程确定圆心、直线的垂直关系的应用等知识；关键是明确两直线垂直则斜率乘积为1-.4.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器.晷长即为所测量影子的长度）.夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为（ ） A. 0.5尺 B. 1尺C. 1.5尺D. 2尺【答案】C 【解析】 【分析】根据日影子长成等差数列可利用夏至日影子长对应的1a 和公差d 表示出已知的两个日影子长之和，解方程组可求得结果.【详解】将十二个节气对应的日影子长看作等差数列{}n a 的前十二项，按顺序夏至日影子长对应1a ，处暑日影子长对应5a ，霜降日影子长对应9a ， 则1595316.5a a a a ++==，解得：5 5.5a =；设等差数列{}n a 的公差为d ，则114 5.5126684a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1 1.51a d =⎧⎨=⎩，即夏至的日影子长为1.5尺. 故选：C .【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等差数列通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题. 5.函数()2sin 2ln21cos xx x f x xππ-⋅+=+在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的图像大致为（ ）. A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】通过()()f x f x -=知函数为偶函数，排除,B D ；利用04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭排除C ，进而得到结果.【详解】当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()()22sin 2ln sin 2ln 221cos 1cos x xx x x x f x f x x x ππππ+--⋅⋅-+-===+-+， ()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除,B D ；当4x π=时，2sinln 132ln 320421cos 14f πππππ⋅⎛⎫==< ⎪⎝⎭++，可排除C ，则A 正确.故选：A .【点睛】本题考查函数图象的识别，属于常考题型；解决此类问题的常用方法是采用排除法的方式，排除的依据为奇偶性、特殊位置符号、单调性等.6.如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5，则空白框中应填入（ ）.A. k n <B. k n ≤C. 1k n -≤D. 1k n +<【答案】B 【解析】 【分析】按照程序框图运行程序，直到5T =时输出结果，可根据k 的取值确定所填条件.【详解】按照程序框图运行程序，输入2a =，3n =，0k =，0T =，满足所填条件，循环；()3002121T =+⨯-=-，1k =，满足所填条件，循环；()2112121T =-+⨯-=，2k =，满足所填条件，循环； ()1212123T =+⨯-=-，3k =，满足所填条件，循环； ()0332125T =-+⨯-=，4k =，不满足所填条件，输出5T =；由3k =满足条件、4k =不满足条件且3n =可知所填条件应：k n ≤.故选：B .【点睛】本题考查根据程序框图循环结构输出结果补充条件的问题，关键是准确确定输出时的k 的取值. 7.ABC V 中，点D 为BC 的中点，3AB AE →→=，M 为AD 与CE 的交点，若(),CM x AB y AC x y R →→→=+∈，则x y -=（ ）. A. 1- B.12C.34D. 1【答案】D 【解析】 【分析】作//DF BE 交CE 于点F ，根据三角形中位线性质和平行线分线段成比例可求得M 为EF 中点，得到34CM CE →→=，利用向量的线性运算可用,AB AC →→表示出CE →，代入可求得,x y ，进而得到结果.【详解】作//DF BE 交CE 于点F ，D Q 为BC 中点，//DF BE ，F ∴为CE 中点，//DF BE ∴且12DF BE =，3AB AE →→=Q ，23BE AB ∴=，13DF AB AE ∴==，又//DF BE ，EM FM ∴=， 即M 为EF 中点，34CM CE →→∴=.又13CE AE AC AB AC →→→→→=-=-，1344CM AB AC →→→∴=-，即14x =，34y =-，13144x y ∴-=+=. 故选：D .【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查了利用基底表示向量的知识；解题关键是能够确定CM 与CE 之间的比例关系.8.甲、乙、丙、丁、戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为（ ）. A.1225B.1325C.1825D.1925【答案】D 【解析】 【分析】利用排列组合中的部分平均分组分配的解决办法可求得分配方案总数和甲乙在同一工厂的分配方案总数，利用古典概型概率公式和对立事件概率公式可求得结果.【详解】五人分配到三个工厂工作，每个工厂至少一人共有：221135354322150C C C C A A +⋅=种分配方案； 其中甲乙在同一工厂工作的分配方案共有：12211133233236C C A C C C +=种；∴甲、乙两人不在同一工厂工作的概率36619111502525p =-=-=. 故选：D .【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到对立事件概率的求解和排列组合中的部分平均分组问题；解题关键是能够熟练应用排列组合的知识计算得到基本事件总数和符合条件的基本事件个数.9.已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A. c a b >>B. a c b >>C. c b a >>D. b a c >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数值域可确定1c >，(),0,1a b ∈；构造函数()()201ln xf x x x =<<，利用导数可知()f x 在()0,1上单调递减，利用232ln ln ln a b ba b b=<可知b a <，由此可得结果.【详解】30b >Q ，20a >，20c >，ln 0b ∴<，ln 0a <，ln 0c >，01b ∴<<，01a <<，1c >；320bb>>Q ，ln 0b <，232ln ln ln a b ba b b∴=<， 令()()201ln xf x x x=<<，则()()()22122ln 2ln 2ln 2ln ln ln x x xx x x x f x x x ⎛⎫⋅-⋅- ⎪⎝⎭'==， 当01x <<时，ln 0x <，10x-<，()0f x '∴<，()f x ∴在()0,1上单调递减， 22ln ln a ba b<Q ，即()()f a f b <，b a ∴<，c a b ∴>>. 故选：A .【点睛】本题考查根据函数单调性比较大小类的问题，解题关键是能够通过构造函数，利用导数求得函数的单调性，进而根据单调性确定自变量的大小关系.10.在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一点且13AM AD =.N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为（ ）.A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】取BC 中点E ，连接AE 交BN 于点O ，连接DO ，由正四面体结构特征可知DO ⊥平面ABC ，则以N 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用点到面的距离的空间向量求法可求得结果. 【详解】取BC 中点E ，连接AE 交BN 于点O ，连接DO ，Q 四面体ABCD 为正四面体，,N E 分别为,AC BC 中点，O ∴为等边三角形ABC 的中心，且DO ⊥平面ABC ，则以N 为坐标原点可作如图所示空间直角坐标系，其中//DO z 轴，Q 正四面体ABCD 棱长为1，221313343AO AE ∴==-=，16133DO ∴=-= 则10,,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，36D ⎝⎭，3B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0N ， 13AM AD =Q ，即13AM AD →→=，3163M ∴-⎝⎭， 3NB →⎫∴=⎪⎪⎝⎭，3163NM →=-⎝⎭，设平面BMN 的法向量(),,n x y z →=，则3231601839n NB x n NM x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u u r r ，令3z =，则0x =，6y =()6,3n →∴=，又10,,02AN →⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴点A 到平面BMN 的距离61021069AN nd n→→→⋅===+故选：C .【点睛】本题考查点到面的距离的求解，求解点到面的距离的常用方法有两种：（1）利用空间向量法求解；（2）利用体积桥的方式来求解；属于常考题型. 11.已知()()()sin 0xxf x a e ex a π-=-->存在唯一零点，则实数a 的取值范围（ ）.A. ,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. ,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性可确定唯一零点0x =，将问题转化为()f x 在0x >时无零点问题的求解；利用放缩法，令()()x x h x a e e x π-=--，利用导数可求得2a π≥时()0h x >，由此知满足题意；当02a π≤<，利用零点存在定理可确定()f x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点，由此可确定存在()00,x x ∈时，()0f x <，结合x →+∞时，()f x →+∞，可确定02a π≤<不合题意，由此得到结论.【详解】()f x Q 定义域为R 且()()()sin xx f x a ee xf x π--=-+=-，()f x ∴为定义在R 上的奇函数，()f x ∴的唯一零点为0x =，则只需0x >时，()f x 无零点即可得到结论；当0x >时，令()sin g x x x ππ=-，则()()cos cos 10g x x x πππππ'=-=-≤，()g x ∴在()0,∞+上单调递减，()()00g x g ∴<=，即sin x x ππ<，∴()()sin x x x x a e e x a e e x ππ---->--，令()()xxh x a e ex π-=--，则()()xx h x a ee π-'=+-，()()x x h x a e e -''=-，0a >Q ，则()0h x ''>，()()02h x h a π''∴>=-，当2a π≥时，()()00h x h ''>≥，()()00h x h ∴>=，()()sin 0xxa e ex h x π-∴-->>，满足当0x >时，()f x 无零点； 当02a π≤<时，()()cos xxf x a e ex ππ-'=+-，()020f a π'∴=-<，111122221cos 022f a e e a e e ππ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x '∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在最小零点0x ，使得()00f x '=，又()f x '为连续函数，则当()00,x x ∈时，()0f x '<；()()00f x f ∴<=，又x →+∞时，()f x →+∞，()f x ∴在()0,∞+上必存在零点，不合题意；综上所述：实数a 的取值范围为,2π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B .【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，涉及到函数奇偶性、零点存在定理的应用；关键是能够根据函数奇偶性确定零点位置，进而将问题转化为函数在0x >时无零点问题的求解；难点在于通过放缩和零点存在定理确定符合题意的区间.12.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有4个零点，有下述三个结论：①ω的取值范围为1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭；②()f x 在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③若()()12221f x f x ==，12x x ≠，则12x x +的最小值为413π 以上说法正确的个数为（ ）. A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用()f x 在[]0,π上的零点个数可构造不等式求得ω范围，知①正确；当50,26x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可确定332x πππω-<-<，知②正确；由()()1212f x f x ==可求得()12121523x x k k πω⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，根据ω的范围可知③错误.【详解】当[]0,x π∈时，333x πππωωπ-≤-≤-，()f x Q 在[]0,π上有且仅有4个零点，343ππωππ∴≤-<，解得：101333ω≤<，对于①，1013,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，①正确； 对于②，当50,26x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，533263x ππωππω-<-<-， 1013,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭Q ，512,263392ωππππ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎣⎭，332x πππω∴-<-<，()f x ∴在50,26π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，②正确；对于③，由()()12221f x f x ==知：()()1212f x f x ==， 令()12f x =，则236x k ππωπ-=+或()5236x k k Z ππωπ-=+∈， 22k x ππωω∴=+或726k x ππωω=+()k Z ∈令1122k x ππωω=+，22276k x ππωω=+，12,k k Z ∈， ()()12121212222751522633k k k k x x k k πππππππωωωωωωω+⎛⎫∴+=+++=+=++ ⎪⎝⎭()12352133k k π⎛⎫>⨯++ ⎪⎝⎭， 当121k k +=-时，()12min5233k k ππ⎛⎫++=⎪⎝⎭，1213x x π∴+>，③错误.故选：C .【点睛】本题考查正弦函数的性质相关命题的辨析，涉及到根据正弦型函数区间内的零点个数求解参数范围、单调性的求解、根据函数值求解自变量等知识；关键是能够熟练应用整体对应的方式来进行求解，属于较难题.二.填空题：13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出.【详解】因为993r r 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.已知数列{}n a 的前项和为n S ，n *∈N 满足121n n S S ++=，11S =，则数列{}n a 的通项公式为______. 【答案】()12n n a -=-【解析】 【分析】利用n a 与n S 的关系可求得12n na a +=-，验证1n =时也满足此式，由此可确定数列{}n a 为等比数列，根据等比数列通项公式可求得结果.【详解】当2n ≥时，121n n S S -+=，1122n n n n S S S S +-∴+=+，12n n a a +∴=-，即12n na a +=-， 又11a =，121222331S S a a a +=+=+=，22a ∴=-，满足12n na a +=-， ∴当n *∈N 时，12n na a +=-，∴数列{}n a 是以1为首项，2-为公比的等比数列， ()12n n a -∴=-.故答案为：()12n n a -=- .【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，解题关键是能够通过n a 与n S 的关系确定数列为等比数列. 15.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[]50,100内，按得分分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为______.【答案】72.5 【解析】 【分析】利用频率分布直方图估计中位数的方法可直接构造方程求得结果.【详解】设所求中位数为x ，则()0.01100.03100.04700.5x ⨯+⨯+⨯-=，解得：72.5x =. 故答案为：72.5.【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计中位数的问题，属于基础题.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点()1,0F c -30x y +=的对称点P 在双曲线上.则双曲线C 的离心率为______. 31 【解析】 【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得P 点坐标，代入双曲线方程可构造关于,a c 的齐次方程，进而求得离心率.【详解】设(),P x y ，则033022y x c x c y ⎧-=⎪⎪+-+=，解得：123x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即132P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， P Q 在双曲线上，22223144c c a b∴-=，即()222223144c c a c a ∴-=-， 解得：222423c e a==-2423e =+31e ∴=.1.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够利用点关于直线对称点的求解方法求得双曲线上点的坐标，进而构造出关于,a c 的齐次方程求得结果.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.在ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，224b c +=，ABC V 的外接圆半径为1R =.（1）求ABC V 面积；（2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，求AD 长.【答案】（12）2AD = 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得a ，利用余弦定理求得bc ，代入三角形面积公式可得结果；（2）设0b c ≥>，求得,b c ；利用角平分线定理可求得,CD DB ；根据cos cos ADB ADC ∠=-∠，利用余弦定理构造方程可求得结果.【详解】（1）ABC QV 的外接圆半径1R =，2sin a R A ∴== 由余弦定理得：2222cos 43a b c bc A bc =+-=-=，解得：1bc =，ABC ∴V 的面积1sin 2S bc A ==. （2）角A 的平分线AD 交BC 于D 点，且224b c +=，1bc =，不妨设0b c ≥>，有b c +=b c -=2b =，c =，又a =AC DC AB DB =且DC DB +=DC =DB =， 在ABD △中，222cos 2AD BD AB ADB AD BD+-∠=⋅；在ADC V 中，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅；ADB ADC π∠+∠=Q ，cos cos ADB ADC ∴∠=-∠，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅，解得：212AD =，22AD ∴=. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用等知识；关键是熟练掌握正余弦定理的形式，考查学生的运算和求解能力.18.已知如图1直角三角形ACB 中，AC BC ⊥，6AC =，63BC =，点D 为AB 的中点，3BC BF =，将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，如图2.（1）求证：AC DF ⊥；（2）求二面角C AB D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）65【解析】 【分析】（1）取CD 的中点E ，连AE ，利用勾股定理、面面垂直和线面垂直性质可分别证得CD DF ⊥、DF AE ⊥，利用线面垂直判定定理可知DF ⊥面ACD ，由线面垂直性质得到结论； （2）以D 为原点可建立起空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）在图2中，取CD 的中点E ，连AE .在直角ABC V 中，AC BC ⊥，6AC =，3BC =90ACB ∴∠=o ，60CAB ∠=o ，又点D 为AB 的中点，3BC BF =，有6CD =，23BF=，43CF =， 由2222cos3012DF CD CF CD CF =+-⨯⨯=o 得：23DF =，222CF CD DF ∴=+，CD DF ∴⊥.将ACD V 沿CD 折起，使面ACD ⊥面BCD ，由点E 为CD 的中点，在等边ACD V 中，AE CD ⊥，面ACD I 面BCD CD =，AE ∴⊥面BCD ，又DF ⊂面BCD ，DF AE ∴⊥，又DF CD ⊥，CD AE E =I ，,CD AE ⊂平面ACD ，DF ⊥∴面ACD ， 又AC ⊂面ACD ，AC DF ∴⊥.（2）以D 为原点，分别以DC ，DF ，过点D 且垂直于平面DBC 的直线为x ，y ，z 轴建立如下图所示空间直角坐标系：则()0,0,0D ，(3,0,33A ，()6,0,0C ，()3,33,0B -， 在面ABC 中，设其一个法向量()111,,m x y z →=， 又(3,0,33CA →=-，()9,33,0CB →=-，则1111330009330x z CA m CB m x ⎧⎧-+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u u u r ru u u r r ，令11z =，则13x =13y =，)3,3,1m →∴=，在面ABD 中，设其一个法向量()222,,n x y z →=， 又(3,0,33DA →=，()3,33,0DB →=-，则22223330003330x z DA n DB n x ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u u u r ru u u r r ，令21y =，则23x =，21z =-，)3,1,1n →∴=-，()()()()22222233311165cos ,13331311m nm n m n→→→→→→⨯+⨯+⨯-⋅∴<>===⋅++⨯++-，Q 二面角C AB D --为锐二面角，∴二面角C AB D --的余弦值为65.【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理等知识的应用，属于常考题型.19.如图，已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，1225F F =，Q 是y 轴的正半轴上一点，2QF 交椭圆于P ，且12PF PF ⊥，1PQF △的内切圆M e 半径为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:2AB y x m =+和圆M 相切，且与椭圆C 交于A 、B 两点，求AB 的值.【答案】（1）22194x y +=（2）32AB =3AB =【解析】 【分析】（1）利用内切圆的性质可知21PF x =-，11PF x =+，利用勾股定理构造方程可求得x ，结合椭圆定义和,,a b c 关系可求得,a b ，由此得到椭圆方程；（2）利用M e 与直线1PF 相切可求得(5M ，将直线方程代入椭圆方程，可利用弦长公式求得AB ；利用直线AB 与M e 相切可求得m ，代入AB 中即可得到结果.【详解】（1）设1PQF △的内切圆M e 切1PF 、1QF 、PQ 于点E 、F 、G ，11EF FF x ==，()0,0QF QG y x y ==>>，由12PF PF ⊥，且1PE PG ==，有21GF FF x ==，则21PF x =-，11PF x =+， 由2221212PF PF F F +=得：()()(()2221150x x x -++=>，解得：3x =，故12226a PF PF x =+==，即3a =，222b a c -=，故所求的椭圆标准方程为：22194x y +=.（2）由（1）知：121tan 2PF F ∠=，∴直线1PF 方程为(152y x =+， 设点()0,M t ，其到直线1PF 的距离为12515t -+=，解得：5t =或0t =（舍），即(5M ，故圆M 的方程为(2251x y +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22249360y x mx y =+⎧⎨+-=⎩得：2240369360x mx m ++-=， 则12910m x x +=-，21293640m x x -=，()()222121336440936404010x x m m m ∴-=-⨯⨯-=-， 22123514010AB k x x m ∴=+-=-， 而2y x m =+与(2251x y +-=515m -=，解得：0m =或5m =故32AB =3AB =.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆相切的位置关系的应用、弦长问题的求解等；考查学生的运算和求解能力，属于中档题.20.甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g ）均服从正态分布()2,N μσ，在出厂检测处，直接将质量在()3,3μσμσ-+之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为x g ，则“质量误差”0x x g -.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是[)0,0.3，[)0.3,0.6、[]0.6,1.0（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g 的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X （元），求X 的分布列及数学期望()E X ； （ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率. 附：若随机变量()2,Z N μσ~.则()330.9974P Z μσμσ-<<+=；100.99740.9743≈，40.80.4096=，50.80.32768=.【答案】（1）0.0257（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）0.73728 【解析】 【分析】（1）求得没有废品的概率之后，利用对立事件概率公式可求得结果；（2）（ⅰ）首先确定“优等”、“一级”、“合格”的概率，接着确定ξ所有可能的取值，求解出每个取值对应的概率后可得分布列，由数学期望计算公式计算可得期望；（ⅱ）利用()7565536n n +-≥构造不等式可确定n 可能的取值，利用二项分布概率公式可求得结果. 【详解】（1）由正态分布可知，抽取一件零件的质量在()3,3μσμσ-+之内的概率为0.9974， 则这10件质量全都在()3,3μσμσ-+之内（即没有废品）的概率为100.99740.9743≈； 则这10件零件中至少有1件是废品的概率为10.97430.0257-=.（2）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂 生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7,0.2,0.1； 则ξ的可能取值为150,140,130,125,115,110元，有：()1500.70.70.49P X ==⨯=；()1400.70.220.28P X ==⨯⨯=； ()1300.20.20.04P X ==⨯=；()1250.70.120.14P X ==⨯⨯=； ()1150.20.120.04P X ==⨯⨯=；()1000.10.10.01P X ==⨯=，得到X 的分布列如下：则数学期望为：()1500.491400.281300.041250.141150.041000.01E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯141=（元）.（ⅱ）设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有n 件“优等”品，则有5n -件“一级”品， 由已知有()75655360n n +-≥，解得： 3.5n ≥，则n 取4或5.故所求的概率为：44550.80.20.80.40960.327680.73728P C =⨯⨯+=+=.【点睛】本题考查概率分布中离散型随机变量分布列与数学期望的求解、二项分布概率问题的求解、正态分布的相关知识，是对概率分布部分知识的综合考查，属于中档题. 21.已知()222cos 1f x x ax π=+-，a ∈R .（1）若()0f x ≥恒成立.求a 的最大值0a ； （2）若()()222ln 212g x x πππ=+-+，取（1）中的0a ，当0a a =时，证明：()()2g x f x -≤.【答案】（1）02πa =（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性可知()f x 为偶函数，根据0a =时，()0f x ≥恒成立可将问题转化为0a >时，[)0,x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，求0a ；利用导数，分别在02a π<≤和2a π>两种情况下得到函数单调性，进而确定a 的范围，从而得到最大值；（2）将所证不等式转化为证明当21122x π>-，()2222cos 212x x x πππ-+≤++，根据余弦函数和二次函数单调性可分别求得不等号左右两侧函数的最大值和最小值，由此可证得不等式成立，从而得到结论. 【详解】（1）()()222cos 1f x x ax f x π-=+-=Q ，()f x ∴为偶函数，当0a =时，()0f x ≥恒成立，故题意可为：0a >，[)0,x ∈+∞，若()0f x ≥恒成立，求a 的最大值0a .()24sin f x x a ax π'=-，()2222244cos cos f x a ax a ax a ππ⎛⎫''=-=-- ⎪⎝⎭，①若02a π<≤，则()0f x ''≥恒成立，()f x '在[)0,+∞单调递增， 又()00f '=，有()0f x '≥，[)0,x ∈+∞，故()f x 在[)0,+∞单调递增， 又()00f =，有()0f x ≥恒成立，此时a 的最大值02a π=.②若2a π>，则存在最小的正数0x ，使()00f x ''=成立，此时2024cos ax aπ=，当[)00,x x ∈时，()0f x ''≤，()f x '在[)00,x 单调递减，又()00f '=，有()0f x '≤，[)00,x x ∈，故()f x 在[)00,x 单调递减， 又()00f =，有()0f x ≤，[)00,x x ∈，故()0f x ≥，[)0,x ∈+∞不恒成立， 即a 无最大值.综合①②可知，满足题意a 的最大值02a π=.（2）由（1）知，()222cos21f x x x ππ=+-，证明：()()2g x f x -≤，即证：()()22222ln 212cos 2122x x x πππππ+-+-+-≤，21122x π>-， ()22222ln 212cos 212x x x πππππ⇔+-≤+-+，21122x π>-， 由ln 1t t ≤-，0t >恒成立，有()2222ln 212x x ππππ+-≤-，即证：2222222cos 212x x x πππππ-≤+-+，21122x π>-， ()2222cos 212xx x πππ⇔-+≤++，21122x π>-，（*） 当21122x π>-时，()()222h x x x π=-+的最大值为2122h π⎛⎫= ⎪⎝⎭，当21122x π>-时，()2cos 212x x πϕπ=++的最小值为22π， 故（*）式恒成立，即证得()()2g x f x -≤恒成立.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题的求解、不等式的证明；本题证明不等式的关键是能够将所证不等式进行转化，转化为不等号左右两侧均为可求最值的函数的形式，进而利用最大值和最小值之间大小关系的比较证得结论，属于难题.（二）选考题：22.在直角坐标系中xOy ，曲线E的参数方程为2cos 2sin 22x y αααα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线F的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭t 为参数）.（1）求曲线E 的普通方程和曲线F 的直角坐标方程； （2）若曲线E 与曲线F 有公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）21y x =+；2x y t +=（2）37,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
湖北省2020年高三(5月)调研模拟考试数学(理科)试卷(含答案)
2020年湖北省高三（5月）调研模拟考试理科数学试卷2020．5本试卷共5页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数ii -+12的共轭复数是 A ．i 2321- B ．i 2321+ C ．i 2321-- D ．i 2321+- 2．已知集合{}0322<--=x x x A ，非空集合{}a x a x B +<<-=12，A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．]2,(-∞B ．]2,21(C ．)2,(-∞D ．)2,21(3．已知直线l 过圆062622=+--+y x y x 的圆心且与直线01=++y x 垂直，则l 的方程是A ．02=-+y xB ．03=-+y xC ．02=--y xD ．03=--y x4．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度）．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为A ．0.5尺B ． 1尺C ．1.5尺D ． 2尺5．函数x x x x x f cos 122ln2sin )(++-⋅=ππ在)2,2(ππ-的图像大致为6．如图的程序框图中，若输人a ，n 的值分别为2，3，且输出T 的值为5 ，则空白框中应填入A ．k<nB ．k ≤nC ．k-1≤nD ．k+1 < n7．△ABC 中，点D 为BC 的中点，3=，M 为AD 与CE 的交点，若),(R y x y x ∈+=，则y x -=A ．1-B ．21C ．43 D ．1 9．甲、乙、丙、丁戊五人等可能分配到A 、B 、C 三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为A ．2512B ．2513C ．2518D ．2519 9．已知R c b a ∈,,．满足0ln 2ln 2ln 3<-==ca b ca b ．则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >>10．在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 为AD 上的一-点且AM=31AD ．N 为AC 中点，则点A 到平面BMN 的距离为 A ．510 B ．55 C ．1010 D ．105 11．已知)0(sin )()(>--=-a x e e a x f x x π存在唯一零点，则实数a 的取值范围A ．),2(+∞πB ．),2[+∞πC ．),21(+∞D ．),21[+∞ 12．已知函数)0)(3sin()(>-=ωπωx x f 在],0[π有且仅有4个零点，有下述三个结论： ①ω的取值范围为)313,310[； ②)(x f 在)265,0(π单调递增； ③若21211)(2)(2x x x f x f ≠==，，则21x x +的最小值为134π 以上说法正确的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式9)21(xx -的展开式中，常数项为 . 14．已知数列{}n a 的前项和为*N n S n ∈，满足11211==++S S S n n ，，则数列{}n a 的通项公式为 . 15．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50， 100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[ 80，90），[90，100] ，得到如图所示的频率分布直方图，则估计这100名同学的得分的中位数为 .16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左焦点)0,(1c F -关于直线03=+y x 的对称点P 在双曲线上．则双曲线C 的离心率为 .。
2020年湖北省武汉市高考(理科)数学(5月份)模拟试卷 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）. 1．已知复数z 满足z+i 2+i=1+i ，则复数z ＝（ ） A ．2+iB ．1+2iC ．3+iD ．3﹣2i2．已知集合A ={x|x−1x+3≤0}，B ＝{x ||x |＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜1} B ．{x |﹣3＜x ＜2} C ．{x |﹣2＜x ≤1} D ．{x |﹣2≤x ≤1}3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a 2+2a 3+a 4＝0，则S 5＝（ ） A ．2B ．0C ．﹣2D ．﹣44．若某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．4√2D ．435．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，2）内取值的概率为0.8，则X 在[0，+∞）内取值的概率为（ ） A ．0.9B ．0.8C ．0.3D ．0.16．已知函数f(x)=cos(3x +φ)(−π2＜φ＜π2)图象关于直线x =5π18对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量a →，b →是互相垂直的单位向量，向量c →满足c →⋅a →=1，c →⋅b →=1，则|a →+c →|=（ ） A ．2B ．√5C ．3D ．78．已知等差数列{a n }满足：a 12+a 52＝8，则a 1+a 2的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．已知直线PQ ：y =x −12与y 轴交于P 点，与曲线C ：y 2＝x （y ≥0）交于Q ，M 成为线段PQ上一点，过M作直线x＝t交C于点N，则△MNP面积取到最大值时，t的值为（）A．116B．14C．1D．5410．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣ax−1e（a∈R）的图象与x轴有唯一的公共点，则实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0，或a=1e}C．{a|a≤0，或a＝e}D．{a|a≤0，或a＝1}11．已知A，B分别为双曲线Γ：x2−y23=1实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ交双曲线于P，Q两点（点P，Q异于A，B），则直线AP，BQ的斜率之比k AP：k BQ＝（）A．−13B．﹣3C．−23D．−3212．在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝2，PB＝PC＝PD=√7，AB＝AD=√7，BC＝CD＝2，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）A．2√3B．√3C．√5D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数y=lnxx+1在点P（1，0）处的切线方程为．14．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg2≈0.3010，1g3≈0.4771，精确到0.1h）15．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为．16．已知M，N为直线3x+4y﹣10＝0上两点，O为坐标原点，若∠MON=π3，则△MON的周长最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＝4，C＝2B．（1）若b＝2，求c；（2）若△ABC的面积为2√3，求tan B．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是边长为4的菱形，且∠A1AC=π3，面ACC1A1⊥面ABC，A1A⊥BC，BC＝4．（1）求证：BC⊥面ACC1A1；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．19．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，△F1AB的周长为8．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知P（x0，y0）（y0≠0）是直线l：x＝4上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点M（x M，0），N（x N，0），则1x M−1+1x N−1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．20．一种新的验血技术可以提高血液检测效率．现某专业检测机构提取了n（n≥6）份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中（n﹣3）份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这（n﹣3）份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止．（1）若n＝6，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率；（2）若n≥8，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ，①求ξ的概率分布；②求Eξ．21．已知函数f（x）＝lnx+cos x．（1）讨论f（x）在（0，π）极值点个数；（2）证明：不等式f（x）＞0在(π2，π)恒成立．附：ln(5π6)≈0.9624，ln(2π3)≈0.7393．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+tcosαy=tsinα（t参数，α为常数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ2=1．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C的交点为P，Q两点，曲线C和x轴交点为A，若△APQ面积为6√6，求tanα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a，b，c满足a+b+c＝1．求证：（1）ab＜1 4；（2）a1−a +b1−b+c1−c≥32．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足z+i2+i=1+i，则复数z＝（）A．2+i B．1+2i C．3+i D．3﹣2i 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z+i2+i=1+i，得z+i＝（1+i）（2+i）＝1+3i，∴z＝1+2i，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．已知集合A={x|x−1x+3≤0}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣3＜x＜2}C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|﹣2≤x≤1}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A={x|x−1x+3≤0}={x|﹣3＜x≤1}，B＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．设等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a2+2a3+a4＝0，则S5＝（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式即可求出．解：设公比为q，q≠0，等比数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a2+2a3+a4＝0，则2q+4q2+2q3＝0，解得q＝﹣1，∴S5=2(1−(−1)5)1+1=2，故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题． 4．若某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．4√2D ．43【分析】先通过三视图对几何体进行还原，可得一个直四棱柱，然后利用棱柱体积的计算公式求解即可．解：根据三视图还原成的几何体是如图所示的四棱柱，其中底面是长为2，宽为1的矩形，棱柱的高为2，四棱柱的体积V ＝1×2×2＝4． 故选：B ．【点评】本题考查三视图的还原及棱柱体积的计算，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．5．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，2）内取值的概率为0.8，则X 在[0，+∞）内取值的概率为（ ） A ．0.9B ．0.8C ．0.3D ．0.1【分析】根据X 服从正态分布N （1，σ2），得到曲线的对称轴是直线x ＝1，利用X 在（0，2）内取值的概率为0.8，即可求得结论． 解：∵X 服从正态分布N （1，σ2） ∴曲线的对称轴是直线x ＝1，∵X在（0，2）内取值的概率为0.8，∴X在（0，1）内取值的概率为0.4，∴X在[0，+∞）内取值的概率为0.5+0.4＝0.9故选：A．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．6．已知函数f(x)=cos(3x+φ)(−π2＜φ＜π2)图象关于直线x=5π18对称，则函数f（x）在区间[0，π]上零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据余弦型函数的对称性知，f（x）在x=5π18时取得最值，由此求出φ值，再令f（x）＝0，解出x，即可判断在[0，π]上零点个数．解：因为函数f(x)=cos(3x+φ)(−π2＜φ＜π2)图象关于直线x=5π18对称，∴cos(3×5π18+φ)=±1，∴5π6+φ=kπ，k∈Z，由−π2＜φ＜π2知，k＝1时，φ=π6．故f(x)=cos(3x+π6)，令f（x）＝0得3x+π6=π2+kπ，k∈Z，∴x=π9+kπ3，k∈Z．因为x∈[0，π]，所以k＝0，1，2时，φ=π9，4π9，7π9满足条件．故零点有三个．故选：C．【点评】本题考查三角函数据图求式的基本思路，注意把握好正、余弦函数图象的对称性与函数的最值点、零点之间的关系．属于中档题．7．已知向量a→，b→是互相垂直的单位向量，向量c→满足c→⋅a→=1，c→⋅b→=1，则|a→+c→|=（）A．2B．√5C．3D．7【分析】将向量a→，b→放入坐标系，利用条件求出坐标进而求得结论．解：因为向量a→，b→是互相垂直的单位向量，不妨设a→=（1.0），b→=（0，1），c→=（x，y）则由c→⋅a→=1，c→⋅b→=1，得x＝y＝1，即c→=（1，1）．∴a→+c→=（2，1）；∴|a →+c →|=√22+12=√5； 故选：B ．【点评】本题主要考查平面向量的应用，利用向量长度与坐标之间的关系进行运算，利用条件将向量a →，b →转化为坐标形式是解决本题的关键．8．已知等差数列{a n }满足：a 12+a 52＝8，则a 1+a 2的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】设a 1＝2√2cos α，a 5＝2√2sin α，（0≤α＜2π），求公差，求首项，再利用辅助角公式求最值．解：设等差数列{a n }的公差为d ，由于满足：a 12+a 52＝8， 设a 1＝2√2cos α，a 5＝2√2sin α，（0≤α＜2π）， 所以a 5﹣a 1＝2√2（sin α﹣cos α）， 即4d ＝2√2（sin α﹣cos α），d =√22（sin α﹣cos α），所以a 1+a 2＝2a 1+d ＝4√2cos α+√22（sin α﹣cos α）=7√22cos α+√22sin α=√22（7cos α+sin α）=√22√50（√50cos α1√50sin α）＝5sin （θ+α）≤5，（其中tan θ＝7）， 所以a 1+a 2最大值为5． 故选：D ．【点评】本题考查三角换元求取值范围，属于中档题．9．已知直线PQ ：y =x −12与y 轴交于P 点，与曲线C ：y 2＝x （y ≥0）交于Q ，M 成为线段PQ 上一点，过M 作直线x ＝t 交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为（ ） A ．116B ．14C ．1D ．54【分析】求得P ，Q 的坐标，由直线x ＝t ，联立直线方程和曲线方程可得M ，N 的坐标，运用三角形的面积公式，结合换元法和导数的运用：求单调性和极值、最值，即可得到所求值．解：直线PQ ：y =x −12与y 轴交于P （0，−12），由y ＝x −12与y 2＝x （y ≥0）联立，可得Q （1+√32，√32+12），过M作直线x＝t交C于点N，可得M（t，t−12），N（t，√t），0≤t≤1+√32，则△MNP面积S=12（√t−t+12）t，设u=√t（0≤u≤1+32），可得S=12（u3﹣u4+12u2），可得S′=12（3u2﹣4u3+u）=−12u（4u+1）（u﹣1），可得0＜u＜1时，S′＞0，S递增；1＜u＜1+√32时，S′＜0，S递减，则面积S在u＝1，即t＝1处取得极大值，且为最大值．故选：C．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查三角形的面积的最值求法，注意运用导数，求得单调性和极值、最值，考查化简运算能力，属于中档题．10．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣ax−1e（a∈R）的图象与x轴有唯一的公共点，则实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0，或a=1e}C．{a|a≤0，或a＝e}D．{a|a≤0，或a＝1}【分析】由于f（0）＝0且x∈R，由题意可知f（x）的图象与x轴有唯一的公共点（0，0），结合导数分析函数的性质，进而可求．解：由于f（0）＝0且x∈R，由题意可知f（x）的图象与x轴有唯一的公共点（0，0），f′（x）＝e x﹣1﹣a，若a≤0，则f′（x）＝e x﹣1﹣a＞0，函数f（x）单调递增，且f（0）＝0满足题意；当a＞0时，由f′（x）＝e x﹣1﹣a＝0可得x＝1+lna，当x＜1+lna时，f′（x）＝e x﹣1﹣a＜0，函数单调递减，当x＞1+lna时，f′（x）＝e x ﹣1﹣a＞0，函数单调递增，由题意可得1+lna＝0，故a=1 e，综上可得，a=1e或a≤0．故选：B．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的零点个数，体现了导数与函数性质的综合应用．11．已知A ，B 分别为双曲线Γ：x 2−y 23=1实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ），则直线AP ，BQ 的斜率之比k AP ：k BQ ＝（ ） A ．−13B ．﹣3C ．−23D ．−32【分析】先根据双曲线方程求出a ，b ，c 的值，再直接设直线方程为x ＝my ﹣2，代入双曲线方程，消去x ，化简得到关于y 的一元二次方程，得韦达定理，然后将k AP ：k BQ 借助于P ，Q 的坐标表示出来，再将韦达定理看成方程，将m 用y 1，y 2表示出来代入前面的比值，化简即可．解：由已知得双曲线Γ：a ＝1，b =√3，c ＝2． 故F （﹣2，0），A （﹣1，0），B （1，0）．设直线PQ ：x ＝my ﹣2，且P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）． 由{x =my −2x 2−y 23=1消去x 整理得（3m 2﹣1）y 2﹣12my +9＝0， ∴y 1+y 2=12m 3m 2−1，y 1y 2=93m 2−1， 两式相比得m =34×y 1+y2y 1y 2①， ∴k AP ：k BQ =y 1x 1+1×x 2−1y 2=y 1(my 2−3)y 2(my 1−1)=my 1y 2−3y1my 1y 2−y 2②， 将①代入②得：上式=34(y 1+y 2)−3y 134(y 1+y 2)−y 2=3(y 2−3y 1)3y 1−y 2=−3．故k AP ：k BQ ＝﹣3． 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的性质，以及学生的化简运算能力，属于中档题．12．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ＝2，PB ＝PC ＝PD =√7，AB ＝AD =√7，BC ＝CD ＝2，则四棱锥P ﹣ABCD 的体积为（ ） A ．2√3B ．√3C ．√5D ．3【分析】连结AC ，BD ，交于点E ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，连结BO ，DO ，则BO ＝DO ＝2，PO =√7−4=√3，AO =√4−3=1，DE ＝BE =√3，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为：V ＝V D ﹣PAC +V B ﹣PAC ，由此能求出结果．解：在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ＝2，PB ＝PC ＝PD =√7，AB ＝AD =√7，BC ＝CD ＝2， 连结AC ，BD ，交于点E ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，连结BO，DO，则BO＝DO＝2，PO=√7−4=√3，AO=√4−3=1，S△PAC=12×AC×PO=32×√3=3√32，DE＝BE=√22−12=√3，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为：V＝V D﹣PAC+V B﹣PAC=13×DE×S△PAC+13×BE×S△PAC=13×√3×3√32+13×√3×3√32＝3．故选：D．【点评】本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数y=lnxx+1在点P（1，0）处的切线方程为x﹣2y﹣1＝0．【分析】先求出函数的导数，然后求出切点处的导数值，最后利用点斜式求出直线方程．解：∵y′=1+1x−lnx(x+1)2，∴y′|x=1=12，所以切线为：y=12(x−1)，即：x﹣2y﹣1＝0．故答案为：x﹣2y﹣1＝0．【点评】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，同时考查学生的运算能力．属于基础题．14．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过 2.3 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：lg 2≈0.3010，1g 3≈0.4771，精确到0.1h ）【分析】先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解． 解：设应在病人注射这种药x 小时后再向病人的血液补充这种药， 依题意，可得500≤2500×（1﹣20%）x ≤1500 整理，得 0.2≤0.8x ≤0.6， ∴log 0.80.6≤x ≤log 0.80.2， ∵log 0.80.6=lg0.6lg0.8=lg6−1lg8−1=lg2+lg3−13lg2−1≈2.3， log 0.80.2=lg0.2lg0.8=lg2−13lg2−1≈7.2， 解得：2.3≤x ≤7.2，应在用药2.3小时后及7.2小时前再向病人的血液补充药． 故答案为：2.3．【点评】本题结合实际考查了指数函数的单调性、指数函数和对数函数的关系和换底公式等等，考查了分析和解决问题的能力．15．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为 45．【分析】利用古典概型概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解． 解：∵取法总数有C 62＝15种，取出的鞋成对的种数有3种， ∴取出的鞋不成对的概率p ＝1−315=45． 故答案为：45【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件的概率计算公式的灵活运用．16．已知M ，N 为直线3x +4y ﹣10＝0上两点，O 为坐标原点，若∠MON =π3，则△MON 的周长最小值为 4√3 ．【分析】直接利用点到直线的距离公式的应用和三角形的周长公式的应用求出结果． 解：已知M ，N 为直线3x +4y ﹣10＝0上两点，O 为坐标原点，若∠MON =π3，则：原点（0，0）到直线3x+4y﹣10＝0的距离d=|0+0−10|√3+4=2．所以当△MON为等边三角形时：设OM＝2x，所以（2x）2＝22+x2，解得x2=43，故x=2√33，所以l△MON=6x=6×2√33=4√3．故答案为：4√3．【点评】本题考查的知识要点：直线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，三角形的周长公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＝4，C＝2B．（1）若b＝2，求c；（2）若△ABC的面积为2√3，求tan B．【分析】（1）由C＝2B利用二倍角公式得c＝2b•cos B，再利用余弦定理即可求出c的值；（2）对角C分锐角和钝角两种情况讨论，分别求出tan B的值，经验证C为钝角不符合题意，所以tan B=√33．解：（1）∵C＝2B，∴sin C＝sin2B＝2sin B cos B，∴c＝2b•cos B，∴cos B=c2b =a2+c2−b22ac，∴ac2＝b（a2+c2﹣b2），∴4c2＝2（16+c2﹣4），∴c2＝12，∴c＝2√3；（2）（i）若C为锐角，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：设BC 边上的高为h ，则S △ABC =12×4×h =2√3，∴h =√3， 设BH ＝x ，HC ＝4﹣x ， ∴tan B =ℎx，tan C =ℎ4−x，又∵C ＝2B ， ∴tan C ＝tan2B =2tanB 1−tan 2B =ℎ4−x =2⋅ℎx1−(ℎx)2， ∴1﹣（√3x ）2＝2×4−x x ，解得x ＝3，∴tan B =√33，（ii ）若C 为钝角，过A 作AH ⊥BC 的延长线于H ，如图所示：设CH ＝x ，AH ＝h =√3， 则tan B =ℎ4+x ，tan （π﹣C ）=ℎx=−tan C ， ∴由tan C ＝tan2B 知：−ℎx =2⋅ℎ4+x 1−(ℎ4+x )2， ∴1+2x 4+x −3(4+x)2=0，而x ＞0，∴x 无解，因此C 为钝角不符合题意，综上所述，tan B =√33．【点评】本题主要考查了三角函数的二倍角公式，以及余弦定理，是中档题．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是边长为4的菱形，且∠A1AC=π3，面ACC1A1⊥面ABC，A1A⊥BC，BC＝4．（1）求证：BC⊥面ACC1A1；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．【分析】（1）在菱形ACC1A1中，过A1点作A1H⊥AC于H，则A1H⊥BC，再由A1A ⊥BC，能证明BC⊥平面A1C1CA．（2）连结AC1，设AC1∩A1C＝M，则BC⊥AM，AM⊥面A1BC，AM⊥A1B，过点M 作MN⊥A1B于点N，连结AN，则A1B⊥平面AMN，A1B⊥AN，从而∠MNA为二面角A﹣A1B﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．解：（1）证明：在菱形ACC1A1中，过A1点作A1H⊥AC于H，∵平面A1C1CA⊥平面ABC，平面A1C1CA∩平面ABC＝AC，∴A1H⊥BC，∵A1A⊥BC，A1A∩A1H＝A1，∴BC⊥平面A1C1CA．（2）解：在菱形A1C1CA中，连结AC1，设AC1∩A1C＝M，BC⊥平面A1C1CA，∴BC⊥AM，则AM⊥面A1BC，∴AM⊥A1B，过点M作MN⊥A1B于点N，连结AN，则A1B⊥平面AMN，∴A1B⊥AN，∴∠MNA为二面角A﹣A1B﹣C的平面角，设大小为θ，在Rt△A1CB中，BC＝CA1＝4，且∠A1CB=π2，∴MN=√2，则tanθ=AMMN=2√32=√6，∴cosθ=17=√77，∴二面角A﹣A1B﹣C的余弦值为√77．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）为椭圆Γ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，△F 1AB 的周长为8． （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知P （x 0，y 0）（y 0≠0）是直线l ：x ＝4上一动点，若PA ，PB 与x 轴分别交于点M （x M ，0），N （x N ，0），则1x M −1+1x N −1是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由．【分析】（1）由椭圆的定义可得△F 1AB 的周长为4a ，由题意可得a 的值，及c 的值，再有a ，b ，c 之间的关系求出b 的值，进而求出椭圆的标准方程；（2）分直线AB 的斜率为0和不为0两种情况讨论，求出A ，B 的坐标，设P 的坐标，求出直线PA 的方程，令y ＝0，求出M 的坐标，进而求出1x M −1的表达式，同理求出1x N −1的表达式，进而求出1x M −1+1x N −1为定值．解：（1）由题意可得三角形AF 1B 中，三角形的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB |＝4a ＝8，解得a ＝2，而c ＝1，所以b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3， 所以椭圆Γ的方程为：x 24+y 23=1；（2）由题意设P （4，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的斜率为0时可得，A （﹣2，0），B （2，0），则直线PA 与x 轴的交点M 的横坐标x M ＝﹣2， 同理可得x N ＝2， 所以1x M −1+1x N −1=1−2−1+12−1=23，当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为：x ＝my +1，联立直线AB 与椭圆的方程{x =my +13x 2+4y 2−12=0，整理可得（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 设直线PA 的方程为：y =y 0−y14−x 1（x ﹣4）+y 0，令y ＝0，可得x M ﹣1=−y 0(4−x 1)y 0−y 1+3=−4y 0+y 0(my 1+1)+3y 0−3y 1y 0−y 1=y 1(my 0−3)y 0−y 1， 所以1x M −1=y 0−y 1y 1(my 0−3)，同理可得1x N −1=y 0−y 2y 2(my 0−3)， 所以1x M −1+1x N −1=y 0−y 1y 1(my 0−3)+y 0−y 2y 2(my 0−3)=(y 0−y 1)y 2+(y 0−y 2)y 1y 1y 2(my 0−3)=y 0(y 1+y 2)−2y 1y 2y 1y 2(my 0−3)=y 0⋅−6m 4+3m 2−2⋅−94+3m 2−94+3m 2⋅(my 0−3)=−6(my 0−3)−9(my 0−3)=23；综上所述1x M −1+1x N −1为定值23．【点评】本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆的综合，属于中档题．20．一种新的验血技术可以提高血液检测效率．现某专业检测机构提取了n （n ≥6）份血液样本，其中只有1份呈阳性，并设计了如下混合检测方案：先随机对其中（n ﹣3）份血液样本分别取样，然后再混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则对另外3份血液逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止；若检测结果呈阳性，测对这（n ﹣3）份血液再逐一检测，直到确定呈阳性的血液为止．（1）若n ＝6，求恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率； （2）若n ≥8，宜采用以上方案检测而确定呈阳性的血液所需次数为ξ， ①求ξ的概率分布； ②求E ξ．【分析】（1）不论第一次检测结果如何，都要对含有2阴1阳得血液样本进行逐一检测，故第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，根据组合数公式和古典概型的概率公式计算概率；（2）根据组合数公式和古典概型的概率公式依次计算ξ＝2，3，4，…，n ﹣3的概率，得出分布列和数学期望．解：（1）n ＝6时，不论第一次检测的混合血液是阴性还是阳性，从第2次检测开始，都是对含有1阳性，2阴性的3份血液进行逐一检测，若恰好经过3次检测而确定阳性血液，则第2次和第3次检测的都是阴性或者第2次检测的是阴性，第3次检测的是阳性，故恰好经过3次检测而确定呈阳性的血液的事件概率为P =C 22C 32+C 21C 11C 31⋅C 21=23． （2）①n ≥8时，P （ξ＝2）=C n−1n−3C n n−3⋅C 11C 31+C n−13C n 3⋅C 11C n−31=2n， P （ξ＝3）=C n−12⋅C 11C n 3•（C 21⋅C 11C 31⋅C 21+C 21⋅C 11C 31⋅C 21）+C n−13C n 3⋅C n−41C 11C n−31C n−41=3n，P （ξ＝4）=C n−13C n3•C n−42C 11C n−32⋅C n−51=1n，当4≤k ≤n ﹣4时，P （ξ＝k ）=C n−13C n3⋅C n−4k−2C 11C n−3k−2C n−3−(k−2)1=1n ，P （ξ＝k ﹣3）=C n−13C n3⋅C n−4n−4C 11C n−3n−4C 11•2=2n，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 … n ﹣4 n ﹣3 P 2n3n1n…1n2n②E ξ＝2•2n+3•3n+4•1n+⋯+（n ﹣4）⋅1n +（n ﹣3）•2n =n 2−3n+142n．【点评】本题考查了离散型随机变量的概率计算，属于中档题． 21．已知函数f （x ）＝lnx +cos x ．（1）讨论f （x ）在（0，π）极值点个数； （2）证明：不等式f （x ）＞0在(π2，π)恒成立．附：ln(5π6)≈0.9624，ln(2π3)≈0.7393． 【分析】（1）求导，分x ∈(0，π2)，x ∈[π2，5π6]以及x ∈(5π6，π)，判断函数的单调性，进而得出极值点情况；（2）分π2＜x ≤5π6，5π6＜x ＜π，结合零点存在性定理以及放缩思想得证．解：（1）f′(x)=1−xsinxx，设g （x ）＝1﹣x sin x ， ①在x ∈(0，π2)时，则g(0)=1，g(π2)=1−π2＜0，g ′（x ）＝﹣（sin x +x cos x ）＜0知g （x ）在(0，π2)递减，∴存在x 1∈(0，π2)，使得g （x 1）＝0，在x ∈（0，x 1）时，f ′（x ）＞0，在x ∈(x 1，π2)时，f ′（x ）＜0， ∴x 1为f （x ）的极大值点； ②在x ∈[π2，5π6]时，12≤sinx ≤1，有xsinx ≥min{π2sin π2，5π6sin 5π6}＞1，f ′（x ）＜0在(π2，5π6)上恒成立，f （x ）在(π2，5π6)上递减， ∴此时f （x ）无极值； ③在x ∈(5π6，π)时，f′(5π6)＜0，f′(π)=12＞0，f″(x)=−(cosx +1x2)＞0在(5π6，π)上恒成立， ∴f ′（x ）在(5π6，π)上递增， ∴存在唯一的x 2∈(5π6，π)，使得f ′（x 2）＝0，且在x ∈(5π6，x 2)时，f ′（x ）＜0，在x ∈（x 2，π）时，f ′（x ）＞0， ∴x 2为f （x ）的极小值点．综上，函数f （x ）在（0，π）上有两个极值点； （2）证明：由（1）知，f′(x)=1−xsinxx， ①若π2＜x ≤5π6时，12≤sinx ＜1，而xsinx ≥min{π2sin π2，5π6sin 5π6}＞1，∴f ′（x ）＜0在(π2，5π6)上恒成立，f （x ）在(π2，5π6)上递减，∴f(x)＞f(5π6)=cos 5π6+ln 5π6=−√32+0.9624＞0；②若5π6＜x ＜π，f′(5π6)＜0，f′(π)=12＞0，f″(x)=−(cosx +1x2)＞0在(5π6，π)上恒成立， ∴f ′（x ）在(5π6，π)上递增，∴存在唯一的x 0∈(5π6，π)，使得x 0sin x 0＝1，且当x ∈(5π6，x 0)时，f ′（x ）＜0，在x ∈（x 0，π）时，f ′（x ）＞0，∴f(x)min =f(x 0)=cosx 0+lnx 0=lnx 0−√1−1x 02， 下面证明：ln 2x +1x2＞1在x ∈(5π6，π)上恒成立， 记m(x)=ln 2x +1x 2，m′(x)=2x (lnx −1x 2)，lnx ＞ln 5π6＞0.96，1x 2＜0.14，则m ′（x ）＞0， ∴m （x ）在x ∈(5π6，π)上递增， 于是m(x)＞m(5π6)=ln 25π6+1(5π6)2=0.92+0.14=1.06＞1，从而可知lnx 0−√1−1x 02＞0； 综合①②可知，不等式f （x ）＞0在(π2，π)恒成立．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值点个数以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查运算求解能力，综合性较强，难度大． 一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =tsinα（t 参数，α为常数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ2=1．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 的交点为P ，Q 两点，曲线C 和x 轴交点为A ，若△APQ 面积为6√6，求tan α的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换求出结果． 解：（1）直线l 的参数方程为{x =2+tcosαy =tsinα（t 参数，α为常数），转换为直角坐标方程为y ＝k （x ﹣2）．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ2=1．整理得ρ⋅1−cosθ2=1，根据x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2+y 2转，换为直角坐标方程为y 2＝4x +4．（2）由于y 2＝4x +4与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），所以{y 2=4x +4y =k(x −2)得到y 2−4ky −12=0，记t =1k，所以y 2﹣4ty ﹣12＝0，整理得|y 1−y 2|=√(4t)2+4×12=4√t 2+3． 所以S △APQ =12×|AM|×|y 1−y 2|=6√t 2+3=6√6，解得t =±√3，即k =±√33，所以tanα=±√33．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝1．求证： （1）ab ＜14； （2）a1−a+b 1−b+c 1−c≥32．【分析】（1）由已知得a +b ＜1，用均值不等式即可； （2）用分析法把a 1−a+b 1−b+c 1−c≥32左式分离变量，再由a +b +c ＝1变形配凑成3元均值不等式的形式即可证明．【解答】证明：（1）因为正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝1，所以a +b ＜1， 由于ab ≤（a+b 2）2＜14，故ab ＜14．（2）分析法：要证原式，只要证：a−1+11−a+b−1+11−b+c−1+11−c≥32，即证﹣3+11−a +11−b+11−c ≥32， 只要证：11−a+11−b+11−c≥92，即证：[（1﹣a ）+（1﹣b ）+（1﹣c ）]（11−a+11−b+11−c）≥9，因为（1﹣a ）+（1﹣b ）+（1﹣c ）≥3√(1−a)(1−b)(1−c)3，①11−a+11−b+11−c≥3√11−a ⋅11−b ⋅11−c3②将①②两式相乘即得要证的式子：[（1﹣a ）+（1﹣b ）+（1﹣c ）]（11−a+11−b+11−c）≥9，以上每步都成立，所以不等式a1−a+b1−b+c1−c≥32成立．【点评】本题考查多项式的化简变形技巧，均值不等式的应用．属于中档题．。