第九章-偏微分方程差分方法
精品文档 。 170欢迎下载 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson（泊松）方程
Gyxyxfyuxuu),(),,()(2222 （9.1） G是x,y平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f(x,y)≡0时，方
程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件
第一边值条件 ),(yxu （9.2）
第二边值条件 ),(yxnu （9.3） 第三边值条件 ),()(yxkunu （9.4） 这里，n表示Γ上单位外法向，α(x,y),β(x,y),γ(x,y)和k(x,y)都是已知的函数，k(x,y)≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u(x,y)称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u(x,y)在区域G的一些离散节点（xi，yi）上的近似值ui,j≈(xi，yi）。差分方法的基本思想是，对求解区域G做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G={0x=ih1, i=0,1,…,N1, h1=a/N1
y=jh2, j=0,1,…,N2, h2=b/N2
将G剖分为网格区域，见图9-1。h1，h2分别称为x方向和y方向的剖分步长，网格
交点（xi，yi）称为剖分节点（区域内节点集合记为Gh={（xi，yi）; （xi，yi）∈G}）,网格线与边界Γ的交点称为边界点，边界点集合记为Γh。 精品文档 。 171欢迎下载 现在将微分方程（9.1）在每一个内节点（xi，yi）上进行离散。在节点（xi，yi）处，方程（9.1）为
hiiiiiiiiGyxyxfyxyuyxxu),(),,()],(),([222
2 （9.5）
需进一步离散（9.5）中的二阶偏导数。为简化记号，简记节点（xi，yi）=(i,j)，节点函数值u（xi，yi）=u(i,j)。利用一元函数的Taylor展开公式，推得二阶偏导数的差商表达式
)(0)]1,(),(2)1,([1),()(0)],1(),(2),1([1),(222222212122hjiujiujiuhjiyuhjiujiujiuhjixu
代入（9.5）式中，得到方程（9.1）在节点(i,j)处的离散形式 hjiGjihhfjiujiujiuhjiujiujiuh),(),(0)]1,(),(2)1,([1)],1(),(2),1([12221,2221
其中),(,iijiyxff。舍去高阶小项)(02221hh，就导出了u(i,j)的近似值ui,j所满足的差分方程
hjijijijijijijiGjifuuuhuuuh),(,]2[1]2[1,1,,1,22,1,,12
1
（9.6）
在节点(i,j)处方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的误差为)(2221hhO，它关于剖分步长是二阶的。这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差，它的大小将影响近似解的精度。 在差分方程（9.6）中，每一个节点(i,j)处的方程仅涉及五个节点未知量ui,j，ui+1,j，ui-1,j，ui,j+1，ui,j-1，因此通常称（9.6）式为五点差分格式，当h1= h2=h时，
它简化为 精品文档 。 172欢迎下载 hjijijijijijiGjifuuuuuh),(,]4[1,,1,1,,1,12
差分方程（9.6）中，方程个数等于内节点总数，但未知量除内节点值ui,j ,(i,j)∈Gh外，还包括边界点值。例如，点(1,j)处方程就含有边界点未知量u0,j。因此，还要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。 对于第一边值条件式（9.2），可直接取ui,j=α（xi，yi）， (i,j)∈Γh （9.7） 对于第三（k=0时为第二）边值条件式（9.4）， 以左边界点(1,j)为例，见图9-2, 利用一阶差商公式
)(),1(),0(),0(11hOhjujujnu
则得到边界点(0,j)处的差分方程 jjjjjrukhuu,0,0,01
,1,0
（9.8）
联立差分方程（9.6）与（9.7）或（9.8）就形成了求解Poisson方程边值问题的差分方程组，它实质上是一个关于未知量{ui,j}的线性代数方程组，可采用第2，3章介绍的方法进行求解。这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解，简称差分解。 考虑更一般形式的二阶椭圆型方程
GyxyxfEuyuDxuCyuByxuAx),(),,(])()([ （9.9）
其中A(x,y)≥Amin>0, B(x,y) ≥Bmin >0, E(x,y) ≥0。引进半节点,12121hxxii ,22121hyyii
利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有
)(2),1(),1(),()(]),1(),(),(),1([1)()],21)((),21)([(1),)((211211,211,211211hOhjiujiujixuhOhjiujiuAhjiujiuAhhOjixuAjixuAhjixuAxjiji
精品文档
。 173欢迎下载 对yuyuBy),(类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程
hjijijijijijijijijijiGjijifuauauauaua),(),,(][,,1,1,1,1,,1,1,1,1 （9.10）
其中
jijijijijijijijijijijijijijijijijijiEBBhAAhaDhBhaDhBhaChAhaChAha,21,21,22,21,2121,,221,221,,221,221,,1,2121,1,1,2121,1)()()2()2()2()2(
（9.11）
显然，当系数函数A(x,y)=B(x,y)=1, C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0时，椭圆型方程（9.9）就成为Poisson方程（9.1），而差分方程（9.10）就成为差分方程（9.6）。容易看
出，差分方程（9.10）的截断误差为)(2221hhO阶。
9.1.2 一般区域的边界条件处理 前面已假设G为矩形区域，现在考虑G为一般区域情形，这里主要涉及边界条件的处理。 考虑Poisson方程第一边值问题
),(),,(),(),,(yxyxuGyxyxfu
（9.12）
其中G可为平面上一般区域，例如为曲边区域。仍然用两组平行直线：x=x0+ih1,y=y0+jh2,i,j=0,±1,…,对区域G进行矩形网格剖分，见图9-3。
如果一个内节点（i,j）的四个相邻节点（i+1,j），（i-1,j），（i,j+1）和（i,j-1）
属于GG，则称其为正则内点，见图9-3中打“。”号者；如果一个节点（i,j）
属于G且不为正则内点，则称其为非正则内点，见图9-3中打“.”号者。记正则内点集合为hG，非正则内点集合为h。显然，当G为矩形区域时，精品文档 。 174欢迎下载 hhhhGG,成立。
在正则内点（i,j）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式 hjijijijijijijiGjifuuuhuuuh),(,]2[1]2[1,1,,1,22,1,,12
1
（9.13）
在方程（9.13）中，当（i,j）点临近边界时，将出现非正则内点上的未知量，因此必须补充非正则内点处的方程。 若非正则内点恰好是边界点，如图9-4中 D点，则利用边界条件可取uD=α(D) 对于不是边界点的非正则内点，如图9-4中B点，一般可采用如下两种处理方法。 a.直接转移法.取与点B距离最近的边界点（如图9-4中E点）上的u的值作为u(B)的近似值uB，即uB=u(E)=α(E)
直接转移法的优点是简单易行，但精度较低，只为一阶近似。 b.线性插值法.取B点的两个相邻点（如图9-4中边界点A和正则内点C作为插值节点对u(B)进行线性插值
)()()()(21hOCuxxxxAuxxxxBuACABACBC
则得到点B处的方程 ABCBxxuhAhhu,)(111 线性插值法精度较高，为二阶近似。 对每一个非正则内点进行上述处理，将所得到的方程与（9.13）式联立，就组成了方程个数与未知量个数相一致的线性代数方程组。求解此方程组就可得到一般
偏微分方程的数值方法
偏微分方程的数值方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究的重要分支，广泛应用于物理学、工程学等领域中。
由于一些复杂的PDEs难以找到解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
本文将介绍偏微分方程的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是解偏微分方程最常用的数值方法之一。
它将偏微分方程中的导数用差商来近似，将空间离散成若干个小区间和时间离散成若干个小时间步长。
通过求解离散化后的代数方程，可以得到原偏微分方程的数值解。
以二维的泊松方程为例，偏微分方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = f(x, y)其中，u(x, y)为未知函数，f(x, y)为已知函数。
我们可以将空间离散成Nx × Ny个小区间，时间离散成Nt个小时间步长。
利用中心差分法可以近似表示导数，我们可以得到离散化的代数方程组。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种重要的数值解PDEs的方法。
它将求解区域离散化成一系列的单元，再通过插值函数将每个单元上的未知函数近似表达。
然后，利用加权残差方法，将PDEs转化成代数方程组。
在有限元法中，采用形函数来近似未知函数。
将偏微分方程转化为弱形式，通过选取适当的形函数和权函数，可以得到离散化后的代数方程组。
有限元法适用于求解各种各样的偏微分方程，包括静态和动态、线性和非线性、自由边界和固定边界等问题。
三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于特殊函数（如正交多项式）的数值方法，用于解PDEs。
谱方法在求解偏微分方程时，利用高阶连续函数拟合初始条件和边界条件，通过调整特殊函数的系数来近似求解解析解。
谱方法具有高精度和快速收敛的特点，适用于各种偏微分方程求解。
第九章_热传导方程的差分解法_郑大昉
类似地,其偏微分用差分近似为: 类似地 其偏微分用差分近似为 近似为
∂ui, j,k ui, j,k+1 − ui, j,k = ∂t τ 2 ∂ ui, j,k ui+1, j,k − 2ui, j,k + ui−1, j,k = 2 ∂x h2 ∂2ui, j,k ui, j+1,k − 2ui, j,k + ui, j−1,k = 2 ∂y h2
∂ui,k ∂x ∂ui,k − ∂x + h
(9-18)
二阶中心差商可近似为 二阶中心差商可近似为: 可近似为
∂2ui,k ∂x
即:
2
=
−
(9-19)
ui+1,k − 2ui,k + ui−1,k ∂2u = 2 2 ∂x i,k h
(9-20)
时间的一阶差商近似为 近似为: 另, 对时间的一阶差商近似为
(9-27)
u(x, y,0) = ϕ(x, y)
(9-28)
其边界条件留待后面给出 边界条件留待后面给出. 留待后面给出
差分方法 仍设空间步长 h 仍设空间步长: 空间步长 时间步长: 时间步长 空间为: 网格. 空间为 N× M 网格
τ
则:
Nh = l,
M =s h
t = kτ , k = 0,1 2,... , x = ih, i = 0,1 N ,..., y = jh, j = 0,1,..., M
∆t
∂u ∆Q = −K(x, y, z, t)∆t∆S ∂n
(9-1)
t1
t2 t1
和
Q =∫ 1
∂u dt ∫∫ K(x, y, z, t) dS ∂n (S)
微分方程罗兆富等编第九章非线性偏微分方程Adomian分解法全篇
学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始
都可得到解
u
un
并且这样得到的解都是等价的并且都
收敛于精确解. n0
然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点：
具(1体)能而使言计之算, 量我达们最考小虑;算子形式的非线性微分方程 (2)具有L使xu解 L级yu数具Ru有加F (速u)收 敛g 的附加条件. (9.2.01)
y
),
Lx
4 x4
.
(9.2.04)
(9.2.01)
14
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un
0
Lx1g
Lx1
Ly
un
Lx1
R
un
Lx1
An
n0
n0
n0
n0
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
也就是
u0 0 Lx1g,
uun
0LxL1Lx1ygun1Lx1LLyx1uR(uLnx11R)uLxL1xA1nF1(,un)
t xt2dt 0
0
u(x,t) un (x,t)
n0
uu32.((..xx.,,.tt.)).......LL.ntt.11.0.AA.u12.n..(.x.,..t00.t)t00tddtxtt0013
xt
3
x
Lt 1
(
n0
An
)
xt ■
18
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例2. 求解非齐次偏微分方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
偏微分方程的数值求解方法
偏微分方程的数值求解方法偏微分方程是描述自然现象的重要工具，例如描述热传导、电磁波传播、流体运动等。
然而大多数情况下，这些方程很难通过解析方式求解，因此需要数值求解方法。
本文将介绍偏微分方程的数值求解方法及其应用。
一、有限差分法有限差分法是一种常见的偏微分方程数值求解方法。
它将原本连续的区域离散化，将偏微分方程转化为差分方程。
例如对于一维热传导方程：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$其中 $u(x, t)$ 是温度，$\alpha$ 是热扩散系数。
我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，时间分成 $M$ 个步骤。
则有：$$u_i^{m+1} = u_i^m + \frac{\alpha\Delta t}{\Deltax^2}(u_{i+1}^m - 2u_i^m + u_{i-1}^m)$$其中 $u_i^m$ 表示在位置 $i\Delta x$，时间 $m\Delta t$ 时的温度值。
这是一个显式求解方程，可以直接按照时间步骤迭代计算。
不过由于它的误差可能会增长，因此需要小心选择时间步长和空间步长，以保证误差不会过大。
二、有限元法有限元法是一种更加通用的偏微分方程数值求解方法。
它将连续区域离散化成一些小段，称为单元。
然后针对每个单元，将其上的偏微分方程转化为局部插值函数的方程求解。
例如对于一维波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$我们可以选择将空间分成 $N$ 个网格，用有限元方法将每个网格分成若干个单元。
则对于每个单元 $i$，我们可以得到一个局部插值函数 $u^i(x, t)$ 来近似解该单元上的偏微分方程。
这里不再赘述该函数的形式。
另外，我们还需要满足界面上的连续性和斜率匹配条件，以保证整体解是连续的。
偏微分方程数值解
2.1 直接差分法
(1) 取 N+1 个节点将 I =[a, b] 分成 N 个小区间:
a x0 x1 L xi L xN b
I i : xi 1 x xi , i 1, 2, L , N
hi xi xi 1 , h max hi .
i
于是，得到 I 的一个网格剖分.
(2) 对 I = [a, b] 进行对偶剖分 取 xi 1 , xi 的中点
x
1 i 2
1 xi 1 xi , 2
i 1, 2,
,N
称为半整数点，则
a x0 x1 x3
2 2
x
1 N 2
xN b
构成 I 的一个对偶剖分. (3) 将方程 (2.1) 在内点 xi 处离散化.
d2 du hi 1 hi dx 2 ( p dx ) 12 i
d 3u 2 p O ( h ) dx3 i
于是得逼近方程 (2.1)~(2.2) 的差分方程：
ui 1 ui ui ui 1 2 p 1 Lhui pi 1 i h h h h i i 1 i 1 i 2 2 i i 1, 2, ui 1 ui qiui fi , hi hi 1 u0 , uN
1 i 2
) W (x
1 i 2
)
x
i
x
1 2
i
1 2
qudx
x
f dx
i
1 2
du W ( x) , dx p ( x)
沿 [ xi 1 , xi ] 积分，得
高数-微分方程与差分方程
2
故 y x 1.
2
2
第一节 微分方程的一般概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动的物体在 t 时刻的 下落距离，则有
ds g dt
ds gdt
d 2s g 2 dt
s( t ) g s g
s ( 0) 0 s(0) 0
C1 0 C 2 0
ds gt C1 dt
ds ( gt C1 )dt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C )dt
1
1 2 s gt C1t C2 . 2
1 2 s gt 2
3
第一节 微分方程的一般概念
ln
1 y
1 dy lnln y ， dy y ln y
( ln y )
故 x ( lnln y C )e
(C lnln y ) y Cy y lnln y.
21
（三）一阶线性微分方程
例4. 设某种商品的供给量QS与需求量QD是只依赖 于价格P的线性函数：QS a bP ， QD c dP ， 且 a, b, c, d 都是已知的正常数．当 QS = QD 时，得 ac 均衡价格 P . 当 QS > QD 时，价格将下降，
N e kt lnC
解：
dN kdt N
dN N kdt
N (t ) Ce kt .
ln N kt C
若 N (t0 ) N0 ， 则有
N 0 Ce kt0 ， C N 0e kt0
N e kt C eC e kt
N e e
偏微分方程及其求解实例ppt课件
(hn1-2.*h(k,n)+h(k,n-1))./dr.^2);
end plot(r(3:n)./ra,p(k,3:n).*theta.*2./rb)
h hi1 hi1 r i 2r
2h hi1 2hi hi1
r 2
r 2
i
P
1 rb 4
1
r
h r
2h r 2
偏微分方程的求解实例2:
2u A x2
2u B
xy
C
2u y 2
D u x
E u y
Fu
f
x,
y,u,
u x
,
u y
(1) 导热方程:
u 2u
t x2 (2) 拉普拉斯方程: 如稳态静电场和稳态温度分布模型
2u 2u 0
x2 y2
(3) 波动方程: 一维弦振动模型
2u 2 2u
t 2
x2
偏微分方程的边界条件
function PDE1Dd_CrankNicolson % 使用Crank-Nicolson有限差分方法求解一维动态传
热模型
c1 = 100; c2 = 0; a = 10; b = 8; alpha = 2; n = 6; m = 8; U = CrankNicolson(@ic,c1,c2,a,b,alpha,n,m)
h t 3 9c
9c
h3 h33
4h r 4
3
h5 4h4
6h3 4h2 r 4
h1
h t
n
V
r i 2r
2h hi1 2hi hi1
r 2
r 2
i
3h r 3
hi2
2hi1 2hi1 2r 3
偏微分方程的基本方法
偏微分方程的基本方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述多变量函数的微分方程，其中函数的一个或多个变量是多维的。
在数学、物理学、工程学等领域中，偏微分方程被广泛应用于描述自然现象和物理规律。
解决偏微分方程的问题是这些领域中的重要课题之一。
本文将介绍偏微分方程的基本方法，包括分类、求解技巧和常见的数值方法。
### 一、偏微分方程的分类根据方程中未知函数的阶数和自变量的个数，偏微分方程可以分为几种基本类型：1. **椭圆型偏微分方程**：椭圆型偏微分方程的代表是拉普拉斯方程，通常用于描述稳态问题。
椭圆型方程的特点是解的光滑性好，边界条件唯一确定解。
2. **抛物型偏微分方程**：抛物型偏微分方程的代表是热传导方程和波动方程，通常用于描述随时间演化的问题。
抛物型方程的解需要给定初始条件和边界条件。
3. **双曲型偏微分方程**：双曲型偏微分方程的代表是波动方程，通常用于描述波动传播的问题。
双曲型方程的解需要给定初始条件和边界条件，解的行为受到波速的影响。
### 二、偏微分方程的求解方法解偏微分方程的方法主要包括解析解和数值解两种。
1. **解析解**：对于一些简单的偏微分方程，可以通过变量分离、特征线法、变换等方法求得解析解。
解析解的优点是精确性高，能够给出问题的精确解析解。
2. **数值解**：对于大多数复杂的偏微分方程，往往无法得到解析解，需要借助数值方法进行求解。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
数值解的优点是适用范围广，可以处理各种复杂情况。
### 三、偏微分方程的常见数值方法1. **有限差分法**：有限差分法是一种常见的数值方法，将偏微分方程中的导数用差分近似代替，将偏微分方程转化为代数方程组。
通过迭代求解代数方程组，可以得到偏微分方程的数值解。
2. **有限元法**：有限元法是一种广泛应用的数值方法，将求解区域划分为有限个单元，通过建立单元之间的关系，将偏微分方程转化为代数方程组。
偏微分方程的数值解法
偏微分方程的数值解法偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学和物理学中的重要概念，广泛应用于工程、科学和其他领域。
在很多情况下，准确解析解并不容易获得，因此需要利用数值方法求解偏微分方程。
本文将介绍几种常用的数值解法。
1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最常见和经典的数值解法之一。
基本思想是将偏微分方程在求解域上进行离散化，然后用差分近似代替微分运算。
通过求解差分方程组得到数值解。
有限差分法适用于边界条件简单且求解域规则的问题。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法是适用于不规则边界条件和求解域的数值解法。
将求解域划分为多个小区域，并在每个小区域内选择适当的形状函数。
通过将整个域看作这些小区域的组合来逼近原始方程，从而得到一个线性代数方程组。
有限元法具有较高的灵活性和适用性。
3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法是一种较新的数值解法，特别适用于物理量守恒问题。
它通过将求解域划分为多个控制体积，并在每个体积内计算守恒量的通量，来建立离散的方程。
通过求解这个方程组得到数值解。
有限体积法在处理守恒律方程和非结构化网格上有很大优势。
4. 局部网格法（Local Grid Method）局部网格法是一种多尺度分析方法，适用于具有高频振荡解的偏微分方程。
它将计算域划分为全局细网格和局部粗网格。
在全局细网格上进行计算，并在局部粗网格上进行局部评估。
通过对不同尺度的解进行耦合，得到更精确的数值解。
5. 谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于傅里叶级数展开的高精度数值解法。
通过选择适当的基函数来近似求解函数，将偏微分方程转化为代数方程。
谱方法在处理平滑解和周期性边界条件的问题上表现出色，但对于非平滑解和不连续解的情况可能会遇到困难。
6. 迭代法（Iterative Method）迭代法是一种通过多次迭代来逐步逼近精确解的求解方法。
有限差分法解偏微分方程
有限差分法解偏微分方程综述绪论有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。