人教版八年级数学下册第16章二次根式重难点详解
二次根式重难点详解一、 五大重点一一攻克1． 二次根式的概念：重点注意被开方数是非负数。
例1判断下列式子哪些是二次根式．（1 （2 （3 （4； （5剖析：判断一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手，先看根指数是否为2，被开方数整体是否为非负数．解：（1）∵ 被开方数-13（2）∵ 根指数是3 ，（3）∵被开方数9〉0(4) ∵ x 可取正数、负数、0； ∴5x -可取正数、负数、0。
即当50x -≥是二次根式；当50x -<不是二次根式。
（5）∵20x ≥ ， ∴20x -≤，即当0x =0x ≠时，2．二次根式的两个重要性质的理解和运用（1）(a )2=a (a ≥0)；（2a == (0)(0)a a a a ≥-<；例2 化简（1）2（2剖析： (a )2=a (a ≥0)的运用主要看被开方数a 整体是否为非负数。
（1） 中21x +无论x 取何实数恒为正数，故2=21x +；a ==(0)(0);a a a a ≥-<要特别关注a 的正负性。
（2中由340a -≥得0,0a a ≤-≥，所以=42()a -=22a =2-3.最简二次根式的概念的运用例3 在二次根式15453040,,,，223中，最简二次根式有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 4剖析：判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．例3中满足以上两个特点，故都是最简二次根式；而==中被开方数分别含有能开得尽方的因数9和4，故=3，简二次根式。
故选B 。
4.运用二次根式乘除法法则计算或化简例4 化简276)24÷÷解:原式==242.33==⨯=例5⨯ 解:原式= 53442392a a b a b ab b b b-⨯⨯=-=29a =- 。
点拨: 运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果。
5. 二次根式加减法法则的运用例6解:原式=112332⎛⎛-=+- ⎝⎝点拨：运用二次根式加减法则计算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。
二、三大难点各个击破1．二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用。
例1=-求x 的取值范围？中a 的取值范围为0a≥0≥。
0;≥∴0-≥0,0x ≥∴-≥即0.x ≤又20,2x x +≥∴≥- ∴x 的取值范围是20x -≤≤。
例2 数a 、b 在数轴上的位置如图所示， 化简：222)()1()1(b a b a ---++ .由图可知：21,12a b -<<-<<； ∴10;10;0a b a b +<->-<∴222)()1()1(b a b a ---++=1111()2a b a b a b b a ++---=--+---=-2．逆用二次根式乘除法法则进行化简例3 计算或化简（1； （20;0x y ≥≥）解：（13==⨯= （2223()3(x y x y xy x y +=+0;0x y ≥≥）.3.灵活运用二次根式加减乘除混合运算化简求值例4 已知22x y ==求22x xy y -+的值.解:由题可知1.2x y xy +==∴22x xy y -+=2311()37.22x y xy +-=-=点拨:观察发现已知条件,2x y 中的与-2是一对相反数,而所求式子是这两个数的平方和与这两个数的乘积的差,故可由已知转变条件,运用完全平方式简化求值.栏目名：错题集解二次根式常见错误分类解析一、审题不清导致错误例1______ .错解：±4.16的平方根。
正解：164;=±2。
二、化简不彻底，结果不是最简二次根式例2.=诊断：化简二次根式的结果一定是最简二次根式，=。
3==⨯==三、分母有理化时，所乘有理化因式可能为0而导致错误例3化简()()---x y x yx y===.0,≠即x＞0，y＞0，所以x与y有可能相等。
故应分两种情况。
正解：（1）当x y=时，原式=0；（2）当x y≠时，()()x y x yx y--===-四、漏掉括号导致错误例4错解：原式＝21a a ++.诊断:当一个式子与一个多项式相乘时,多项式应注意添括号. 正解:=五中的隐含条件a ≥0例5化简错解：原式＝1x x＝1x x ⋅＝x30,0;0;0.x x x x x x -≥≤=≥≤=-即成立的条件是当时正解：由30,0;x x -≥≤得∴原式＝11(.x x x x x x=⋅-=例6当15a =时，求1a +错解：原式＝1a +1115a a a a +-==.诊断:由15a =,得15a =,则1a a -＜0,11a a a a ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭.正解:原式＝1a 11214109.55a a a a a +-=-=-=七、连用“＝”号出错例7 已知Rt ABC ∆中，两条直角边长分别为9,40,a b ==求斜边.c 错解：由勾股定理，222c a b =+＝2294041.+==诊断：诊断：运算法则变了，还连用“=”号出错。
正解：由勾股定理，222229401681;c a b =+=+=41.c ∴== 八、不管字母正负；滥用积（商）的算术平方根性质而出错 例8 已知2,1,a b ab +=-=错解：原式2====-.诊断:由1ab =＞0,知,a b 同号;又2,a b a +=-∴＜0,b ＜0. 正解:原式11 2.a bb a ab+=--=-= 九、运算顺序不清导致错误 例9 计算1诊断：忘记乘除是同一级运算，应按从左到右依次计算。
11b ba a a== 例10计算：52-错解：523-==诊断：，实数的加减乘除四则运算法则对于二次根式的运算仍然适用，应先算乘除，再算加减。
正解：1552533--=-= 十、乱用运算律导致错误例11.诊断：除法没有分配律，本题应分母有理化。
32===-十一、在去括号时出错例12==诊断：去括号法则对二次根式仍然适用，括号前面是负号，去括号时括号内的每一项都改变符号。
==十二、用公式时出错例13 计算：(2错解：(((222121830=+=+=诊断：运用完全平方公式丢项出错。
正解：(((2222121830=+⨯=+=+。
栏目名：期末练兵综合练习题一、选择题（每小题3分,共30分） 1．下列各式正确的是（ ）A 2;=±6;=-=. D. 5=-2.下列各式中属于最简二次根式的是（ ）AB ．C ．．3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A B D4. ②;;⑤;⑥3,其中最简二次根式是 ( )A.①③④⑥B.③④⑥C.③④⑤⑥D.②③⑥5. 化简的结果是（ ）A ．x-．x -．2x． 2x6.22512+的平方根是 ( )A.13B.13C.±13D.13± 7.若把1a a-的根号外的a 适当变形后移入根号内，得（ ） A ．a -- B ．a - C ．a - D ．a 8.使等式3355x x x x --=-- 成立的条件是 ( ) A. 5x ≠ B.x >5 C.x ≥3 D.x ≥3且x ≠5 9.若,x y 为任意实数,则下列各式的值一定为正数的是 ( )A.│x +5│B.212y + C.2()n x y - D.22x y +10.已知a -2ab +b=0 (a >0,b>0),则3534a ab ba ab b-++-等于 ( )A.13B.12;C.23D.34二、填空题:(每空2分,共26分) 1.64的算术平方根是_____.2. 719-的相反数的平方根是________.3. 12-的绝对值是__________，它的倒数__________.4. 用“<”号把2335,,,2235连接起来:_________________________. 5.当x ________时，23x -有意义，若xx-2有意义，则x _______. 6.当m > n 时，2)(m n -＝___________;=-2)23( .7. 如图，化简22a b = .8. 某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔，其面积是242cm ，它的长为cm ，则这个孔的宽为________cm ．9.当1≤x <3时3x -=________.10.若1x x+=则221x x +=_______. 三、解答题:（共64分)1.计算、化简: (每小题5分共25分)(1);(3) 021)⎛+-- ⎝;(4)()2007200622+⋅⋅(5) 2-a >0,b>0);2. 已知x,1的值.( 6分) 3. 解不等式和方程 (每小题4分共8分)（1）)1(6)3(2+≥-x x （2）2 3.x -=4. 自由下落物体的高度h 米与下落的时间t 的关系为212h gt =。
有一学生不慎把一个铁球从19.6米高的楼上自由下落,正好另一学生站在与下落的铁球同一直线的地面上,若在铁球下落的同时楼上的学生惊叫一声,问这时楼下的学生听到惊叫声后能躲开吗?(已知声速为340米/秒;9.8g =米/秒2.)(本题5分)5. (本题6分),,求此三角形的周长与面积.6、(本题8分)（1）先观察下列分母有理化：====从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值:...1)+++（2）你能由（1）题得到启发，发现x规律,试确定x的值在什么范围内.7.试在图(1)的空格中填上适当的数,使图中每一行、每一列、每条对角线上的三个数的和均为0；你能在图(2)的空格中填上适当的数，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数的积为１吗？试一试。
(本题6分)(2)(1)1-23-32。
初二数学二次根式教案
初二数学二次根式教案【篇一：新人教版八年级数学下册第16章二次根式教案】课题：16.1二次根式1 课型:新授一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：a?0(a?0)和(a)?a(a?0)二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质．难点：综合运用性质a?0(a?0)和(a)?a(a?0)。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）已知x?a，那么a是x的______;x是a的______, 记为_____,a一定是____数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为；正数a的算术平方根为4_______，0的算术平方根为_______；式子a?0(a?0)的意义是。
（二）合作交流（小组互助）(1)的平方根是；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式h?5t。
如果用含h的式子表示t，则t；(3)圆的面积为s，则圆的半径是；(4)正方形的面积为b?3，则边长为。
思考：，2222hs ，,?3等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. ?5a（a?0）叫做二次根式，a叫做_____________。
定义: 一般地我们把形如1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？，?，4a(a?0)，x2?1 32、当a为正数时a指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根。
所以，在二次根式a中，字母a必须满足 , 1a才有意义。
3、根据算术平方根意义计算： (1) (4)2 (2)(（3）(.5) （4）()2根据计算结果，你能得出结论：(a)2?________，其中a?0,4、由公式(a)?a(a?0)，我们可以得到公式a=(a)2 ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如()=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(). 22212) 32练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6 0.35(2)在实数范围内因式分解x2?74a2-11（三）展示提升（质疑点拨）例：当x是怎样的实数时，x?2在实数范围内有意义？解：由x?2?0，得x?2当x?2时，x?2在实数范围内有意义。
人教版八年级下册数学第十六章《二次根式》教案
二次根式检测题一、选择题1、在根式15、22b a -、3ab 、631、b a a221中，最简二次根式有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、能使2)5(--x 有意义的实数x 的值有( )A.0个B.1个C.2个D.无数个 3、若a+962+-a a =3成立则a 的范围是( )A 、a ≤0B 、a ≤3C 、a ≥-3D 、a ≥3 4、在下列各式的化简中，化简正确的有( )①3a ＝a a ②5x x -x ＝4x x ③6a2b a ＝ab 2b 3a ④24+61＝106 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、已知a ＜0，化简：aa a 22+的结果是 ( )A.1B.-1C.0D.2a 6、若33＝43k ，则k 是( )A.1B.21 C.3 D.347、设7的小数部分为b ，那么(4+b)b 的值是( )A.1B.是一个有理数C.3D.无法确定8、当x ＜2y 时，化简：xxy y x y x 322344+-得( )A.x(x-2y)yB.y x2y-x C.(x-2y)y D.(2y-x)y 9、若x ＜1且y ＝11)-(x 2-x +3，则y 3y ÷y 1×y 1的值是( )A.331B.43C.163D.643 10、225+·225-的积为( )A.1B.17C.17D. 21 二、填空题1、 试写出和为2的两个无理数 、 .2、化简：3121+＝________. 3、化简：(m-n)·m-n 2＝________.4、当a=25-1时，化简：a 2-2a+11的结果为________. 5、式子32-x 122-的最大值是________.6、计算：(a+2ab +b)÷(a +b )-(b -a )＝________.7、已知-2＜m ＜-1，化简：1214m 4m 2+++m -112m -m 2-+m ＝________.8、若菱形两对角线长分别为(25+32)和(25-32)，则菱形面积________.9、已知b ＜0，化简：2a -b a -a b +2++ba ab ＝________.10、 若238x x +＝-x 8+x 则x 的范围是 .三、计算题 1、6÷21+50 2、(23-6)(23+6)四、化简下列各式 1、xx 2+22x +x 18 2、)(abb b ab a a a b a --+⋅- 五、解答题1、已知x 、y 为实数，且y ＝2134124312+--+--x x x x ，求5x-3y 的值.2、已知x 、y 为正数，且x (x +y )＝3y (x +5y )，求yxy x y xy x -+++32的值.3、设x 、y 是实数，且x 2+y 2-2x+4y+5＝0，求2)3212(1y x +.4、已知10=m 、试用m 表示518598+的值.5、观察下列各式312311=+，413412=+，514513=+按照上述三个等式及其变化过程，①猜想561= 。
人教版数学八年级下册16章《二次根式》单元整体教学设计
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我将引导学生回顾本节课所学内容，总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
1.回顾总结：请学生回顾本节课所学的内容，总结二次根式的性质、化简方法和运算规则。
2.归纳提升：引导学生发现数学规律，提高数学思维能力。
3.反馈评价：教师对学生的学习情况进行反馈，给予鼓励和指导，激发学生的学习动力。
-学会化简二次根式，包括分解质因数、提取平方因子等方法，使二次根式达到最简形式。
2.学会解决实际问题中涉及二次根式的计算，如长度、面积和体积的计算等。
-能够将实际问题转化为数学问题，建立二次根式相关的数学模型。
-运用二次根式的运算方法解决实际问题，培养将数学知识应用于实际生活的能力。
3.了解二次根式在几何图形中的应用，如勾股定理等。
4.运算讲解：详细讲解二次根式的乘除法运算规则，通过例题使学生熟练掌握运算方法。
（三）学生小组讨论
在小组讨论环节，我将组织学生进行合作学习，共同探讨二次根式的性质、化简和运算规则。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组选一个组长，负责组织讨论。
2.讨论主题：每组针对二次根式的性质、化简方法和运算规则进行讨论，探讨解决实际问题的方法。
3.拓展应用：
-探究题：让学生自主探索二次根式在几何图形中的其他应用，如圆的面积、体积计算等，并撰写探究报告。
-研究性学习：小组合作，选择一个与二次根式相关的研究主题，如二次根式在建筑、工程中的应用，进行深入研究，并制作PPT进行课堂分享。
-数学阅读：推荐阅读相关数学历史资料，了解二次根式的历史背景和发展过程，拓宽学生的数学视野。
五、作业布置
为了巩固学生对二次根式的理解和应用，作业布置将包括基础巩固、能力提升和拓展应用三个层次，确保学生在课后能够自主复习、巩固所学知识，并提高解决问题的能力。
人教版八年级下册数学 第16章《二次根式》讲义 第1讲 二次根式认识、性质(有答案)
第1讲 二次根式认识、性质第一局部 知识梳理知识点一： 二次根式的概念形如〔〕的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式〔〕的非负性〔〕表示a 的算术平方根， 即0〔〕。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用： 〔1〕、如假设，那么a=0,b=0； 〔2〕、假设，那么a=0,b=0； 〔3〕、假设，那么a=0,b=0。
知识点三：二次根式的性质第二局部 考点精讲精练考点1、二次根式概念 例1、以下各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),6)1,7)2153x a a a -+---+ 其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2、以下各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？〔121 〔219-〔321x +〔439 〔56a - 〔6221x x ---例3)()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y +=--++中，二次根式有〔 〕A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、以下各式中，属于二次根式的有〔 〕例5、假设21x +的平方根是5±_____=．1、以下各式中，一定是二次根式的是〔 〕A B C D2______个 3、以下各式一定是二次根式的是〔 〕A B C D4、以下式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0〕、 1x y +、〔x≥0，y ≥0〕 ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及应用例1有意义，那么x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子有意义． 例4、在以下各式中，m 的取值范围不是全体实数的是〔 〕 A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、假设y=5-x +x -5+2021，那么x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是〔 〕 A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是3、假如代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P 〔m ，n 〕的位置在〔 〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，那么x 、y 应满足的条件是〔 〕 A ．0≥x 且0≥y B ．0>y xC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，那么x －y 的值为〔 〕A ．－1B ．1C ．2D ．37、假设x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
人教版八年级下册数学精品教学课件 第16章 二次根式 第1课时 二次根式的乘法
例5 计算： （1） 14 7 ；（2）3 5 2 10 ； （3）3x
1 xy ．
3
解：（1） 14 7= 14 7= 72 2=7 2.
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2.
D. 52 32 52 32 53 15
3. 计算：
( 1 ) 3 15= _3___5__ ；
( 2 ) 6 12 = __6__2___ ;
( 3 ) 32 2 __2_6__.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜” 或“=”）：
（1）5 4 ＞ 4 5；（2） 4 2 ＜ 2 7.
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) 4 9= 4 9 ；
(2) 16 25= 16 25；
(3) 25 36= 25 36.
思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所
发现的规律吗？
你能证明这
猜测： a b a b a≥0，b≥0. 个猜测吗？
证一证
求证： a b a b a≥0，b≥0.
(D)
A. 4 5 2 5 8 5
B. 5 3 4 2 20 5
C. 4 3 3 2 7 5
D. 5 3 4 2 20 6
3.计算： 6 15 10 _3_0__.
积的算术平方根的性质
一般地：
a
反过来：
b ab （a≥0，b≥0）
这个性质在有的地 方称之为“积的算
（a≥0，b≥0） 术平方根的性质”
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b )2 ( a )2 ( b )2 ab.
∴ a b 就是 ab 的算术平方根.
最新人教版八年级数学第十六章 二次根式讲义
第十六章二次根式16.1二次根式16.2二次根式的乘除16.3二次根式的加减【知识精要】二次根式及其性质一、一周知识概述1、二次根式一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式，其中为整式或分式，叫做被开方式．2、二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是≥0，即被开方式是非负数．3、二次根式的性质(3)4、积的算术平方根的性质(a≥0，b≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．5、商的算术平方根的性质(a≥0，b＞0)商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．6、最简二次根式如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式．二、重难点知识归纳1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负 (≥0).3、利用得到成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形式．如．4、注意逆用二次根式的性质，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不含能开得尽方的因数或因式．三、典型例题讲解例1、已知实数a、b在数轴上的位置如图．化简：．分析：待求式中的五个二次根式的被开方数都是完全平方式，且结构特征符合性质3的，但由题设中的a、b在数轴上的位置可知a、b有正有负，因此本题的关键是确定各个数的正负性．解：由数轴上点的位置可知a>b，0<a<1，b<－1，∴a>0，b<0，a－b>0，b－1<0，a－1<0总结：（1）由数轴上点的位置应确定两个要素：一是各数的正负性，二是比较各数的大小；（2）在运用性质计算时一定要明确底数的正负性．例2、化简下列二次根式：（1）～（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）～（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简．总结：（1）当被开方数中不含有分母，则用积的算术平方根性质进行化简；（2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根．例3、若x为实数，化简下列各式（1）（2）由于x为实数，要确定中的x＋1和中的x－2的正负号，必须将实数划分为几个区域来讨论．解：（1）==|x＋1|当x＋1≥0，即x≥－1时，|x＋1|=x＋1当x＋1<0，即x<－1时，|x＋1|=－(x＋1)=－x－1（2）=＋2=|x－2|＋2|1＋x| 令x－2=0，则x=2，令x＋1=0，则x=－1，x=2,x=－1称为零点值把x=2，x=－1这两点标在数轴上(如上图)这时数轴被分成三段：x≥2，－1≤x<2，x<－1,就按这三种情况去讨论脱绝对值符号．1）当x≥2时|x－2|＋2|1＋x|=(x－2)＋2(1＋x)=3x；2）当－1≤x<2时，|x－2|＋2|1＋x|=－(x－2)＋2(1＋x)=x＋4；3）当x<－1时|x－2|＋2|1＋x|=－(x－2)－2(1＋x)=－3x解这类题的大致步骤：①找出零点值(使绝对值等于零的x的值)；②在数轴上标出这些点，将整个数轴分成若干区间；③按区间范围逐个讨论如何脱绝对值符号；从而达到化简目的．例4、已知x、y为实数，且实数m适合关系式，试确定m的值．分析：∵x－199＋y与199－x－y互为相反数，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同时成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199，又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值．解：由二次根式有意义的条件知，∴x＋y=199将其代入已知等式得．又根据算术平方根为非负实数有②×2－①得x＋y－m＋2=0，结合③得m=x＋y＋2=199＋2=201．当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零．中考解析例1、（河南）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：解析：由数轴上实数a、b的位置可知，a－b<0，例2、（绵阳市）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3解析：是正整数，12－n是一个整数的平方数，当n增大时，12－n减小，所以当n=11时，12－n=1，所以n的最大值为11．答案：B例3、（荆门市）若，则x－y的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 解析：本题考查二次根式的意义， 由题意可知 x －1≥0且1－x ≥0, ∴，，∴x －y=2，故选C ． 答案：C一、选择题(共20分)：1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）AB2、下列根式中,最简二次根式是( )3、计算：3÷6的结果是 ( )A 、12B 、62C 、32 D 、 2 4、如果a 2＝－a ，那么a 一定是 （ ）A 、负数B 、正数C 、正数或零D 、负数或零 5、下列说法正确的是( )A 、若,则a ＜0 B 、若 ,则a ＞0C 、D 、5的平方根是6、若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,则m 为( ) A 、-3 或1 D 、-17、能使等式成立的x 值的取值范围是（ ）8X C.6X 3 D.X 2+1a 2=- a a 2= a 5a 4b 8=a 2b 4A 、x ≠2B 、x ≥0C 、x ＞2D 、x ≥2 8、已知xy ＞0,化简二次根式2x yx -的正确结果是( )9、已知二次根式2x 的值为3，那么x 的值是（ ） A 、3B 、9C 、-3D 、3或-310、若a =，b =，则a b 、两数的关系是（ ）A 、a b =B 、5ab =C 、a b 、互为相反数D 、a b 、互为倒数 二、填空题(共30分)：11、当a=-3时，二次根式1－a 的值等于 。
人教版数学八年级下册16.1第2课时《 二次根式的性质》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》是初中数学的重要内容，主要让学生了解和掌握二次根式的性质。
教材通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的性质，从而培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
本节课的内容为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，具备了一定的代数基础。
同时，学生已经学习了二次根式的概念和简单的运算。
但学生在理解和运用二次根式的性质方面还存在一定的困难，因此，教师在教学过程中要注重引导学生理解和运用二次根式的性质。
三. 教学目标1.理解二次根式的性质，并能熟练运用。
2.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的性质及其运用。
2.引导学生理解和运用二次根式的性质。
五. 教学方法1.情境导入：通过实际问题引入二次根式的性质，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：引导学生独立思考，探究二次根式的性质。
3.合作交流：分组讨论，让学生在讨论中理解和掌握二次根式的性质。
4.巩固练习：设计有针对性的练习，让学生在实践中运用二次根式的性质。
5.总结提升：引导学生总结二次根式的性质，并展望后续学习。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入新课。
2.准备PPT，展示二次根式的性质及相关例题。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过呈现一个实际问题，引导学生思考二次根式的性质。
例如：一个正方形的对角线长度为8，求正方形的边长。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的性质，引导学生理解和掌握。
例如：二次根式√a的性质有：（1）√a2=a（a≥0）；（2）√a⋅√b=√ab（a≥0,b≥0）；（3）√a√b =√ab（a≥0,b>0）。
人教版八年级数学下册教案 16-1 第1课时 二次根式的概念
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标【知识与技能】1.了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式;2.掌握二次根式有意义的条件,理解二次根式的非负性.【过程与方法】通过合作探究,了解二次根式的概念,掌握二次根式有意义的条件,理解二次根式的非负性.【情感、态度与价值观】通过探究活动,培养学生求实、创新、严谨的科学品质和集体协作的团队精神,提高学生学习数学的好奇心和主动性,激发学生学习的兴趣.教学重难点【教学重点】二次根式的概念及有意义的条件.【教学难点】利用二次根式的非负性解决具体问题.教学过程一、问题导入1.已知一个正数x,满足x2=a,x是a的,记为,a一定是数;2.4的算术平方根是,用式子表示为;3.0的算术平方根是;4.正数a的算术平方根为;5.-7算术平方根.归纳:和都有算术平方根;没有算术平方根.二、合作探究探究点1二次根式的概念典例1在下列各式中,一定是二次根式的是()A.√23 B.√−10C.√2 D.√a[答案] C下列式子:√2,1x ,√x2,-√5,√33,√a5,二次根式的个数是()A.1B.2C.3D.4 [答案] C探究点2二次根式有意义的条件典例2当a取怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?(1)√a2;(2)√a2+1;√a−1.[答案](1)因为a2≥0,所以无论a取何值,√a2都有意义.(2)因为a2+1≥1,所以无论a取何值,√a2+1都有意义.(3)当a-1>0,即a>1时,√a−1有意义.(1)已知√x2−4+√2x+y=0,则x-y=;(2)已知y=√3−x+√x−3-2,则y x=.[答案](1)6或-6(2)-8三、板书设计二次根式的概念二次根式{二次根式的形式:√a(a≥0)二次根式√a有意义的条件:a≥0二次根式√a(a≥0)的非负性:√a≥0教学反思本节课的难点是“二次根式的被开方数的非负性”,为了让学生熟练掌握,教师要注意精讲多练,练习题由浅入深,引导学生回顾算术平方根存在的条件,启发学生总结出二次根式有意义的条件,从而判断出字母或式子的取值范围.。
人教版数学八年级下册16.2第1课时《 二次根式的乘法》教案
人教版数学八年级下册16.2第1课时《二次根式的乘法》教案一. 教材分析人教版数学八年级下册16.2第1课时《二次根式的乘法》主要介绍了二次根式相乘的方法和性质。
本节课的内容是学生学习二次根式的重要部分，对于学生理解和掌握二次根式有重要意义。
教材通过具体的例子引导学生探究二次根式相乘的规律，让学生在实践中掌握二次根式的乘法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的定义、性质和简单的运算。
但学生对于二次根式相乘的规律可能还不够清晰，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
此外，学生可能对于二次根式相乘的结果中的根式次数和根式系数的变化还不够敏感，需要通过练习和教师的引导来提高。
三. 教学目标1.让学生理解二次根式相乘的规律和方法。
2.让学生能够运用二次根式相乘的方法解决实际问题。
3.培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次根式相乘的规律和方法。
2.教学难点：二次根式相乘结果中根式次数和根式系数的处理。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和练习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索；通过实例讲解，让学生理解和掌握二次根式相乘的方法；通过练习，让学生巩固知识和提高能力。
六. 教学准备教师准备PPT、教案、练习题等教学材料。
学生准备笔记本、笔等学习用品。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生思考二次根式相乘的方法。
例如：“如何将两个二次根式相乘？相乘的结果有什么规律？”2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示二次根式相乘的实例，引导学生观察和分析实例中的规律。
例如，展示两个二次根式相乘的结果，让学生观察根式次数和根式系数的变化。
3.操练（15分钟）教师让学生进行二次根式相乘的练习。
例如，让学生计算两个二次根式的乘积，并要求学生解释计算过程中的思路和方法。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些巩固性的题目，让学生独立完成。
教师在学生完成后进行讲解和解析，帮助学生巩固知识和提高能力。
人教版八年级数学下册 第16章 16.1 二次根式 教案
二次根式教学目标1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算．难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．教学过程设计一、复习1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：二、例题例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：分析：(1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义；(4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．x≥-2且x≠0．解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以例3分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a≥0和1-a＞0．解：因为1-a＞0，3-a≥0，所以a＜1，|a-2|＝2-a．(a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0．这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的．问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？分析：先把第二个式子化简，再把两个式子进行通分，然后进行计算．解注意：所以在化简过程中，例6：分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷．a+b＝2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)＝4(n+2)，三、课堂练习1．选择题：A．a≤2B．a≥2C．a≠2D．a＜2A．x+2 B．-x-2C．-x+2D．x-2A．2x B．2a C．-2x D．-2a2．填空题：4．计算：四、小结1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．五、作业1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？2．把下列各式化成最简二次根式：。