2020-2021学年广东省汕头市澄海区九年级上学期期末质量检测数学试题(含答案)
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
广东省汕头市澄海区2023-2024学年部编版九年级上学期1月期末 历史试题(含解析)
2023-2024学年度第一学期期末质量监测九年级历史科试卷本试卷共8页，33小题，满分100分，考试时间80分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔在“考生号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考生号和座位号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁、完整。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共30小题，每小题2分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．人类最早的文明产生于亚非地区的大河流域，古希腊著名历史学家希罗多德形象地把古埃及文明称为“尼罗河的赠礼”。
这主要是由于尼罗河流域A．商品经济比较活跃B．适合于农业耕作C．民主政治起源较早D．有利于建金字塔2．读下列两张图片，两部法律的共同之处是（）A．使用的文字相同B．均产生于欧洲中世纪C．都是成文的法典D．刻在完全相同材质上3．古希腊戏剧家阿里斯托芬在《骑士》一剧中，描述了一个将军试图劝说一个卖香肠的人去夺取民主派领袖克里昂的职位，这从侧面反映了雅典（）A．民主政治达到顶峰B．民主政治有其局限C．戏剧真实再现现实D．人人享有政治权利4．罗马帝国前期，盛行于叙利亚和亚历山大里亚的吹制玻璃技术传到了意大利，当地生产出上色和雕花的玻璃器皿（如下图）并畅销海内外。
这表明（）A．罗马注重继承希腊文化B．跨区交往促进文化交融C．贵族需求刺激工艺创新D．行省制度推动技术传播5．古希腊《伊索寓言》中的一些故事在两河流域苏美尔传说中都有原型。
古希腊最初的雕刻技术，特别是人像雕刻，在很多方面都模仿埃及。
广东省广州市番禺区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(含答案解析)
广东省广州市番禺区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．220x x -=B ．2210x x --=C ．2210x x -+= D ．2230x x -+= 2．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是,AB AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．2BC DE =B ．ADE ABC ∆∆ C ．AD AB AE BC = D ．4ABC ADE S S ∆∆=3．抛物线222y x x -=+与y 轴的交点坐标为（ ）A ．()0,2B ．()1,1C ．()2,0D ．()0,2- 4．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）A ．至少有1个球是黑球B ．至少有1个球是白球C ．至少有2个球是黑球D ．至少有2个球是白球6．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．D7．一元二次方程260x +-=的两实数根为12,x x ，则12x x +的值为（ ）A B ．- C ．D ．68．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒后得到的'''A B C （点B 的对应点是点'B ，点C 的对应点是点'C ），连接'CC ．若22CC B ︒∠''=，则B 的大小是（ ）A ．63︒B ．67︒C ．68︒D ．77︒9．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②a+c ＞b ；③2a+b ＞0．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 10．如图，已知弦AB 与弦CD 交于点P ，且P 为AB 的中点，延长,AC DB 交于点E ，若2,3AC BD ==，则CE BE +=（ ）A ．9B ．3+C ．10D ．二、填空题 11．一元二次方程2250x -=的解为__________．12．点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标为_____．13．把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____．14．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO 为_____．15．如果关于x 的方程220x x k -+=（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________．16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若4,30BC BAC ︒=∠=，则线段PM 的最大值是__________．三、解答题17．已知x=﹣1是方程x 2+mx ﹣5=0的一个根，求m 的值及方程的另一个根．18．配方法解方程：2346x x -=19．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E.（1）求证：BDE CAD ∆∆∽；（2）若13AB =，10BC =，求线段DE 的长.20．如图，已知△ABC 和点O ．（1）把△ABC 绕点O 顺时针旋转90︒得到△A 1B 1C 1，在网格中画出△A 1B 1C 1；（2）用直尺和圆规作△ABC 的边AB ，AC 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P （要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点P 是△ABC 的内心，外心，还是重心？ 21．如图，转盘A 的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A 、B 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．22．已知二次函数2y x 2x 3=-++．（1）在坐标系中作出函数图象，并求其图象的顶点坐标和图象与x 轴的交点坐标； （2）自变量x 在什么范围内，y 随x 的增大而减小？23．如图，Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，以AB 为直径作O ，点D 为O 上一点，且CD CB =，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E（1）判断直线CD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若2,2BE DE BE ==，求AC DC的值．24．抛物线239344y x x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段OA 上有一动点P (不与O A 、重合)，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，交抛物线于点M （1）求直线AB 的解析式；（2）点N 为线段AB 下方抛物线上一动点，点D 是线段AB 上一动点；①若四边形CMND 是平行四边形，证明：点M N 、横坐标之和为定值；②在点P N D 、、运动过程中，平行四边形CMND 的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D 的坐标，若不存在，说明理由25．如图，O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6,cm ACB ∠的平分线交O 于点D ． （1）求AD 的长；（2）试探究CA CB CD 、、之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接,OD P 为半圆ADB 上任意一点，过P 点作PE OD ⊥于点E ，设OPE ∆的内心为M ，当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长参考答案1．D【分析】一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 根 的判别式：2=4∆-b ac ，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无解，据此逐项法分析解题【详解】A. 220x x -=1,2,0a b c ==-=，22=4=(2)41040b ac ∆---⨯⨯=>∴方程有两个不相等的实数根，故A 错误；B. 2210x x --=1,2,1a b c ==-=-22=4=(2)41(1)80b ac ∆---⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根，故B 错误；C. 2210x x -+=1,2,1a b c ==-=22=4=(2)4110b ac ∆---⨯⨯=∴方程有两个相等的实数根，故C 错误；D.2230x x -+=1,2,3a b c ==-=22=4=(2)4138<0b ac ∆---⨯⨯=-∴方程无解故选：D【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．C【分析】根据三角形中位线的性质求解．【详解】解：由题意BC是△ABC的中位线，∴由中位线的性质可得：BC=2DE，BC∥DE，∴A正确，且∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴ΔADE∼ΔABC，且相似比=DE:BC=1:2，∴B正确，SΔABC=4SΔADE，且AD:AE=AB:AC，∴D正确，C错误，故选C ．【点睛】本题考查三角形中位线和三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形中位线的性质及三角形相似的判定与性质是解题关键．3．A【分析】x=．与y轴的交点坐标即令0【详解】x=得，令0222=0022=+-+=-，y x x0,2，∴抛物线222=+与y轴的交点坐标为()y x x-故选：A．【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．A根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．A【详解】试题分析：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．考点：随机事件．6．C【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：连接OA，OB．∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°．∵OA=OB=2，∴AB故选C．7．B【分析】直接根据根与系数的关系求解．【详解】解：∵一元二次方程x 2的两实数根为x 1，x 2，∴x 1+x 2故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 8．B【分析】利用旋转的性质得到'',90,AC A C BAC CAC BCA B C A '''=∠=∠=︒∠=∠，继而得到CAC '△为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解得45ACC AC C ''∠=∠=︒，再由角的和差求得23B C A ''∠=︒，再由旋转的性质可得23BCA ∠=︒，最后根据三角形内角和解题即可．【详解】 ABC 绕点A 顺时针旋转90︒后得到的'''A B C'',90,AC A C BAC CAC BCA B C A '''∴=∠=∠=︒∠=∠CAC '∴为等腰直角三角形45ACC AC C ''∴∠=∠=︒22CC B ︒∠''=452223B C A CC A CC B ︒'''∴∠=∠-∠''=︒-=︒23BCA B C A ''∴∠=∠=︒902367B ∴∠=︒-︒=︒故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质，涉及等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．B【详解】观察图象可知抛物线与x 轴有两个交点，△=b 2﹣4ac ＞0，即可得4ac ＜b 2，①正确； 当x=﹣1时，y ＜0，即a ﹣b+c ＜0，所以a+c ＜b ，②错误； 因对称轴12b x a =->，a ＜0，所以﹣b ＜2a ，即2a+b ＞0，③正确． 故答案选B ．考点：二次函数图象与系数的关系．10．C【分析】根据题意，由两角相等证明△ABE ∽△DCE ，△PBD ∽△PAC ，再由相似三角形性质，得到对应边成比例，设EC=x ，EB=y ，列出方程组，解出x ，y ，然后求得．【详解】∵∠A=∠D （同弧所对的圆周角相等）∠E=∠E∴△ABE ∽△DCE同理△PBD ∽△PAC ∴23AC PC AP BD BP PD=== ∵P 为AB 中点∴PA=PB, ∴393,,242PB PC PD PC AP PC ===CD=PC+PD=PC+91344PC PC = AB=AP+BP=33322PC PC PC += ∴13134312PC CD AB PC == 设EC=x ，EB=y,则32x EC y CD y EB x AB+===+，则可得： 22231312x x y y x y ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩解得：265245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴CE+BE=26241055+= 故选：C ．【点睛】此题考查相似三角形的综合运用，掌握相似三角形的判定方法和性质，根据对应边成比例设未知数，运用方程思想，求出相关线段的长度是解题的关键．11．125,5x x =-=【分析】先将常数项25移项到方程的右边，再利用直接开平方法解题即可．【详解】 2250x -=2=25x ∴5x ∴=±故答案为：125,5x x =-=．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．（﹣3，5）．【分析】根据关于原点的对称的点的横纵坐标均互为相反数可得所求点的坐标．【详解】解：点(3，−5)关于原点的对称点的坐标为(−3，5)，故答案为(−3，5).【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的知识；掌握关于原点对称的点的坐标的特点是解决本题的关键．13．1 4【分析】举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是14．故答案为：14．考点：列表法与树状图法．14．4【分析】要求圆锥的高，关键是求出圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图中的扇形的半径．已知圆锥的底面半径就可求得底面圆的周长，即扇形的弧长，已知扇形的面积和弧长就可求出扇形的半径，即圆锥的高．【详解】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3π＝6π，设母线长为L，则有12×6πL＝15π，解得：L＝5，∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，∴在直角△AOC中高AO4．故填：4.【点睛】此题考查了圆锥体的侧面展开图的计算，揭示了平面图形与立体图形之间的关系，难度一般．15．1k<【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（-2）2-4×1×k＞0，然后解不等式即可．【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（-2）2-4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．16．6【分析】如图，连接PC，由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8，PC=4，根据PM≤PC+CM，可得PM≤6，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接PC，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=4，∴AB=8，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8，∵P 是A'B' 的中点，∴A′P=PB′=PC，∴PC=12A′B′=4，∵CM=BM=2，∵PM≤PC+CM，即PM≤6，∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线），故答案是：6．【点睛】本题考查旋转变换、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．17．m=﹣4，另一根是5．【详解】试题分析：先根据方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程即可得到关于m的方程，求得m的值，然后代入原方程，最后再解方程即可.试题解析：由题意得，解得则原方程可化为，解得，所以另一个根为-5．考点：1.方程的根的定义；2.解一元二次方程18．113x =+，213x =-． 【分析】 先移项，再将二次项系数化为1，然后利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】解：2364x x -=，2423x x -=， 2242113x x -+=+， ()2713x -=，13x -=±，113x =+213x =-． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．19．（1）见解析；（2）6013DE =. 【分析】对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C ，△ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD ⊥BC ，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED ，至此问题不难证明； 对于（2），利用勾股定理求出AD ，利用相似比，即可求出DE.【详解】解：（1)证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠.又∵AD 为BC 边上的中线，∴AD BC ⊥.∵DE AB ⊥，∴90BED CDA ︒∠=∠=，∴BDE CAD ∆∆∽.(2)∵10BC =，∴5BD =.在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得12AD ==. 由（1）得BDE CAD ∆∆∽，∴BD DE CA AD=， 即51312DE =， ∴6013DE =. 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.20．（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）△A 1B 1C 1如图所示．（2）如图所示，点P 是△ABC 的外心．（1）分别得出△ABC 绕点O 顺时针旋转90︒后的对应点坐标，进而得到△A 1B 1C 1． （2）根据垂直平分线的作法求出P 点即可，进而利用外心的性质得出即可．21．（1）结果见解析；（2）13． 【详解】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，∴两个数字的积为奇数的概率为：41123= ． 试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．22．（1）作图见解析；顶点坐标为()1,4；图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-；（2）1x >．【分析】（1）顶点坐标为（1，4），与x 轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0）；函数图象见解析． （2）当x ＞1时，y 随x 的增大而减小．【详解】解：（1）二次函数解析式可化为()222314y x x x =-++=--+ 其图象为抛物线如图所示抛物线的顶点坐标为()1,4当0y =时，有2230x x -++=解得：121,3x x =-=所以，图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-（2）∵函数图象开口向下，又其对称轴1x =∴当1x >时，y 随x 的增大而减小【点睛】本题考查了二次函数的图象，找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是解题的关键一步，同时，描点时要用平滑曲线．23．（1）DC 是O 的切线；理由见解析；（2）AC DC = 【分析】（1）连接OC ，如图，证明OCB OCD ∆∆≌得到90ODC OBC ︒∠=∠=，然后根据切线的判定定理可判断CD 为⊙O 的切线；（2）根据已知条件得到DE=2BE=4，设CD CB x ==，在Rt CDE ∆中，根据勾股定理求出x ，设O 的半径为r ，在Rt OBE ∆中，根据勾股定理求出r ，再在在Rt ABC ∆中，根据勾股定理求出AC ，于是得到结论．【详解】解：（1）DC 是O 的切线，证明：连接OC ，在OCB 和OCD 中CB CD CO CO OB OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，OCB OCD ∴≌，90ODC OBC ︒∴∠=∠=，OD DC ∴⊥，∵OD 是圆的半径，DC ∴是O 的切线；（2）2,2BE DE BE ==，4DE ∴=．设CD CB x ==，在Rt CDE 中，222CE ED CD =+， ()22224x x ∴+=+，3,3x CD CB ∴===．设O 的半径为r ，则4EO ED OD r =-=-，在Rt OBE 中，222OE EB OB =+， ()22242r r ∴-=+，1.5r ∴=，23AB r ∴==．在Rt ABC中，AC ==3AC DC ∴== 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：在判定两个三角形全等时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了切线的判定以及勾股定理的应用．24．（1）334y x =-；（2）①证明见解析；②存在；点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；． 【分析】 （1）分别在抛物线解析式中令x=0，y=0，可以得到B 和A 的坐标，然后应用待定系数法可以得到直线AB 的解析式；（2）①分别设点M 、N 的横坐标为m 、n ，则由平行四边形的性质可以证得m+n=4,即m 、n 的和为定值；②作DE ⊥PM ，结合①可以求得平行四边形CMND 的周长是关于m 的二次函数，由二次函数的知识可以求得平行四边形CMND 的周长取最大值时m 的值，从而得到对应的D 点坐标．【详解】解：（1）令2393044x x --=，可 得()121,4,4,0x x A =-=， 令抛物线解析式中x=0可得()0,3B -，设直线AB 的解析式为：y kx b =+代入,A B 两点坐标，求得334y x =-； ()2①设点P 的横坐标为m ，则点M 坐标为239,344m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 点C 的坐标为3,34m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 23394,33444AP m MC m m m ⎛⎫∴=-=---- ⎪⎝⎭ 2334m m =-+ 设点N 的横坐标为n ，同理得2334DN n n =-+ 22333344m m n n ∴-+=-+ 整理得：()()()334n m n m n m -+=- m n ≠4m n ∴+=为定值②作DE PM ⊥，则442DE n m m m m =-=--=-易证DEC AOB ∆∆∽()455,42344ED CD DE m EC ∴===- 平行四边形CMND 的周长()()2235322324210442MC CD m m m m m ⎛⎫=+=-++⨯-=-++ ⎪⎝⎭ 302-< 13m =∴时，周长有最大值 此时点D 的坐标为111,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为111,34⎛⎫- ⎪⎝⎭当点M N 、位置对调，点C D 、位置相应对调时，依然满足条件 ∴点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或．【点睛】本题考查一次函数、二次函数与平行四边形的综合应用，熟练掌握一次函数解析式的求法、平行四边形的性质及二次函数的图象和性质是解题关键．25．（1）（2）CA CB +=，证明见解析；（3． 【分析】(1)根据直径所对的角是90°，判断△ABC 和△ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ACB 的平分线交O 于D ，判断△ADB 为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出值；(2)延长CA 到F ，使AF=CB ，可证△CDF 为等腰直角三角形,从而得到CA 、CB 、CD 之间的等量关系；(3)作辅助线，连接OM ，PM,正确构造图形，确定M 的运动轨迹是圆弧形，先求OD 的长度，再得到点M 经过路径的长．【详解】解：()1AB 是直径90ADB ︒∴∠= CD 是ACB ∠的平分线ACD BCD ∴∠=∠AD BD ∴=在Rt ABD ∆中，222AD BD AB +=1022AD BD AB ∴====()2CA CB +=，证明如下延长CA 到F ，使AF CB =，连接DF180,180CBD CAD FAD CAD ︒︒∠+∠=∠+∠=CBD FAD ∴∠=∠又,AD BD AF BC ==ADF BDC ∴∆∆≌，,90,CD FD CDF CDF ︒∴=∠=∆为等腰直角三角形CA CB CF ∴+=()3连接OM PM 、PE OD ⊥90PEO ︒∴∠=点M 为OPE ∆的内心135OMP ︒∴∠=OD OP DOM POM OM OM =∠=∠=，，OMD OMP ∴∆∆≌135OMD OMP ︒∴∠=∠=∴所以点M 在以OD 为弦，并且所对的圆周角为135︒的两段劣弧上（分OD 左右两种情况）； 设OMD 所在圆的圆心'O135OMD ︒∠='90OO D ︒∴∠='22O O ∴==弧OD的长为902180π∴点M经过路径长为2【点睛】本题综合考查了圆周角定理，全等三角形，等腰直角三角形，圆弧的长，勾股定理等知识，解答此题要抓住三个关键，(1)判断出ABC和△ABD是直角三角形，以便利用勾股定理；(2)判断出线段△CDF和△ABD是等腰直角三角形，然后将各种线段转化到等腰直角三角形中利用勾股定理解答，(3)通过作辅助线，正确构造图形，确定M的运动轨迹是圆弧形，再利用弧长公式解答．。
2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷(有答案)
2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2B．﹣2或1C．1D．不存在2．如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x 轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为（）A．3.6B．4.8C．3D．33．一次数学测试后，随机抽取九年级三班6名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关于这组数据的错误说法是（）A．极差是15B．众数是88C．中位数是86D．平均数是87 4．近年来，我国石油对外依存度快速攀升，2017年和2019年石油对外依存度分别为64.2%和70.8%，设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（）A．64.2%（1+x）2＝70.8%B．64.2%（1+2x）＝70.8%C．（1+64.2%）（1+x）2＝1+70.8%D．（1+64.2%）（1+2x）＝1+70.8%5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝60°，则∠ABO的大小为（）A．30°B．40°C．45°D．50°6．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE＝∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中，正确的结论是（）A．①②④B．①③⑤C．②③④D．①④⑤7．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，则cos∠BPC＝（）A．B．C．D．8．设max{m，n}表示m，n（m≠n）两个数中的最大值．例如max{﹣1，2}＝2，max{12，8}＝12，则max{2x，x2+2}的结果为（）A．2x﹣x2﹣2B．2x+x2+2C．2x D．x2+2二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．方程x2＝4的解为．10．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是．11．若，则的值为．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x0123y75713则代数式（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为．13．如图，某同学利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是cm2．14．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是．15．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．16．如图，小明为了测量楼房MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA 方向后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC＝1.6m，小明的眼睛B点离地面的高度BC为1.5m，则楼高MN＝m．17．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．18．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为．三．解答题（共10小题，满分96分）19．（1）计算：（π﹣2019）0+2sin60°﹣+|1﹣|（2）解方程：x2﹣2x﹣3＝020．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；（2）如果AC＝1，tan B＝，求∠CAD的正弦值．21．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O ″A″B；（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为．22．“共和国勋章”是中华人民共和国的最高荣誉勋章，在2019年获得“共和国勋章”的八位杰出人物中，有于敏、孙家栋、袁隆平、黄旭华四位院士，如图是四位院士（依次记为A、B、C、D）为让同学们了解四位院士的贡献，老师设计如下活动：取四张完全相同的卡片，分别写上A、B、C、D四个标号，然后背面朝上放置，搅匀后每个同学可以从中随机抽取一张，记下标号后放回，老师要求每位同学依据抽到的卡片上的标号查找相应院士的资料制作小报，求小明和小华查找同一位院士资料的概率．23．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”24．如图所示，已知：∠AOB＝120°，PT切⊙O于T，A，B，P三点共线，∠APT的平分线依次交AT，BT于C，D．（1）求证：△CDT为等边三角形．（2）若AC＝4，BD＝1，求PC的长．25．已知函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，y2＝nx+k﹣2n（m，n，k为常数且n≠0）．（1）若函数y1的图象经过点A（2，5），B（﹣1，3）两个点中的其中一个点，求该函数的表达式．（2）若函数y1，y2的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若m≤2，当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，求m+n的取值范围．26．如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若∠ABC＝30°，求tan∠BCO的值．27．如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F．（1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD；（3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径．28．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M 的坐标和周长的最小值．（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则，解得：m＝﹣2．2．解：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，∵GM⊥EF，∴EF＝2FM＝2＝2，当GM的值最小时，EF的值最小，根据垂线段最短可知，当直线过O点时，EF的值最大，∵A（6，0），B（0，8），∴AB＝10，∵sin∠OAB＝＝，∴OM＝4.8，∵CD＝6，∴OG＝3，∴GM＝1.8，∴FM＝2.4，∴EF＝4.8；故选：B．3．解：A、极差是15，故A正确；B、众数是88，故B正确；C、中位数是87，故C错误；D、平均数是87，故D正确．故选：C．4．解：设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，由题意，得64.2%（1+x）2＝70.8%．5．解：∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AO＝BO，∴∠ABO＝（180°﹣120°）÷2＝30°，故选：A．6．解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，∴AB＝AC＝BC＝，CD＝DE＝CE；∠B＝∠ACB＝∠DEC＝∠DCE＝45°；①∵∠ACB＝∠DCE＝45°，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE；即∠ECB＝∠DCA；故①正确；②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC 必为锐角；故②不完全正确；④∵，∴；由①知∠ECB＝∠DCA，∴△BEC∽△ADC；∴∠DAC＝∠B＝45°；∴∠DAC＝∠BCA＝45°，即AD∥BC，故④正确；③由④知：∠DAC＝45°，则∠EAD＝135°；∠BEC＝∠EAC+∠ECA＝90°+∠ECA；∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；⑤△A BC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC＝AC＝，AD＝1；故S＝（1+2）×1＝，故⑤正确；梯形ABCD因此本题正确的结论是①④⑤，故选D．7．解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：∵AB＝AC＝5，∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，∵∠BPC＝∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE．在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝＝＝3，∴cos∠BPC＝cos∠BAE＝＝．故选：C．8．解：∵x2+2﹣2x＝（x﹣1）2+1，（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2+2＞2x，∴max{2x，x2+2}的结果为：x2+2．故选：D．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）9．解：开方得，x＝±2，即x1＝2，x2＝﹣2．故答案为，x1＝2，x2＝﹣2．10．解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝6×＝3﹣3．故答案为：3﹣3．11．解：∵＝，∴b＝a，∴＝＝．故答案为：．12．解：观察表格可知：x＝0时，y＝7，x＝2时，y＝7，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，∵x＝3时，y＝13，∴x＝﹣1时，y＝13，∴4a+2b+c＝7，a﹣b+c＝13，∴（4a+2b+c）（a﹣b+c）的值为91，故答案为91．13．解：圆锥侧面积公式为：s侧面积＝πrR＝π×10×40＝400π．故答案为：400π．14．解：∵直角三角形中，两直角边分别是12和5，∴斜边为＝13，∴斜边上中线长为×13＝6.5．故答案为：6.5．15．解：如图，连接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案为：．16．解：∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠N＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA．∴，即，∴MN＝（m），答：楼房MN的高度为m，故答案为：．17．解：由折叠得：∠CBO＝∠DBO，∵矩形ABCO，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠BOA，∴∠DBO＝∠BOA，∴BE＝OE，在△ODE和△BAE中，，∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则有OE＝BE＝8﹣x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，即OE＝5，DE＝3，过D作DF⊥OA，∵S＝OD•DE＝OE•DF，△OED∴DF＝，OF＝＝，则D（，﹣）．故答案为：（，﹣）18．解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．∴△AEF∽△DBG，∴＝．又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，∴＝．∴EF＝6．即正方形铁皮的边长为6．故答案是：6．三．解答题（共10小题，满分96分）19．解：（1）原式＝1+2×﹣2+﹣1＝1+﹣2+﹣1＝0；（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x＝3或x＝﹣1．20．解：（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2∴∠DAB＝2∠CAD在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴∠DAB＝∠DBA∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°解得，∠CAD＝18°（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B＝＝，∴BC＝2由勾股定理得，AB＝＝＝∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴BE＝AE＝∵∠DAE＝∠DBE∴在Rt△ADE中tan∠B＝tan∠DAE＝＝∴DE＝∴由勾股定理得AD＝＝＝∴cos∠CAD＝＝＝∴sin∠CAD＝＝＝则∠CAD的正弦值为21．解：（1）如图，△O′A′B即为所求；（2）如图，△O″A″B即为所求；（3）如图，∵点M是OA的中点，∴M的对应点M′的坐标为（2，7）．故答案为：（2，7）．22．解：根据题意画树状图如下：共有16种等可能的结果数，其中小明和小华查找同一位院士资料的有4种结果，∴小明和小华查找同一位院士资料的概率为＝．23．解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，设ED＝x，则CD＝x，AD＝12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，x＝，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED＝x，S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，12×5＝13CP，CP＝，同理得：△CDG∽△CAB，∴＝，∴＝，x＝＜，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步）．24．（1）证明：∵∠AOB＝120°，∴∠ATB＝＝60°，∵PT切⊙O于T，∴∠BTP＝∠TAP，∵PC平分∠APT，∴∠APC＝∠CPT，∵∠TCD＝∠TAP+∠APC，∠CDT＝∠BTP+∠CPT，∴∠TCD＝∠CDT＝＝60°，∴△CDT为等边三角形；（2）解：设CT＝DT＝x，∵∠TCD＝∠CDT＝∠BDP，∠BPD＝∠CPT，∴△PCT∽△PDB，∴，∵∠DTP＝∠PAC，∠APC＝∠DPT，∴△ACP∽△TDP，∴，∴，即，∴x2＝4，∴x＝±2，∵x＞0，∴x＝2，∴，PC＝4．25．解：（1）对于函数y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，当x＝2时，y＝3，∴点A不在抛物线上，把B（﹣1，3）代入y1＝x2﹣（m+2）x+2m+3，得到3＝1+3m+5，解得m＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1．（2）①∵函数y1经过定点（2，3），对于函数y2＝nx+k﹣2n，当x＝2时，y2＝k，∴当k＝3时，两个函数过定点M（2，3）．②∵m≤2，∴抛物线的对称轴x＝≤2，∴抛物线的对称轴在定点M（2，3）的左侧，由题意当1+（m+2）+2m+3≤﹣n+3﹣2n时，满足当﹣1≤x≤2时，总有y1≤y2，∴3m+3n≤﹣3，∴m+n≤﹣1．26．（1）证明：连接OD．∵O为AB中点，D为BC中点，∴OD∥AC．∵DF为⊙O的切线，∴DF⊥OD．∴DF⊥AC．（2）过O作OE⊥BD，则BE＝ED．在Rt△BEO中，∠B＝30°，∴OE＝OB，BE＝OB．∵BD＝DC，BE＝ED，∴EC＝3BE＝OB．在Rt△OEC中，tan∠BCO＝．27．证明：（1）∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠CAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，∴∠CAD＝∠ABD，∴∠CAD+∠DAB＝90°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，且AO是半径，∴AC为⊙O的切线；（2）∵DE2＝EF•EA，∴，且∠DEF＝∠DEA，∴△DEF∽△AED，∴∠EDF＝∠DAE，∵∠EDF＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（3）如图，过点F作FH⊥AB，垂足为H，∵AE平分∠BAD，FH⊥AB，∠BDA＝90°，∴DF＝FH＝2，＝AB×FH＝×BF×AD，∵S△ABF∴2AB＝4BF，∴AB＝2BF，在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，∴（2BF）2＝（2+BF）2+16，∴BF＝，BF＝﹣2（不合题意舍去）∴AB＝，∴⊙O的半径为．28．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，∴BC＝＝3，同理AC＝，∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC＝+3；∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），∴AE＝BE＝1，对称轴为x＝2，由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，∴EB＝EM＝1，又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，∴M（2，﹣1）；（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），则FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣4m）2+m2，GC2＝2m2，当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝m2+（m2﹣4m）2，解得m＝0（舍去）或4；当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3；当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5或3（舍去），综上，m＝5或m＝4或或3．。
2020-2021学年广东省广州市增城区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）1．（3分）“翻开数学书，恰好翻到第16页”，这个事件是（）A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．确定事件2．（3分）下面是中国四个城市的地铁图标，其中是中心对称图形的是（）A．太原地铁B．广州地铁C．上海地铁D．香港地铁3．（3分）若△ABC的各边长扩大为原来的2倍，则这个三角形的面积扩大为原来的（）倍．A．2B．3C．4D．84．（3分）反比例函数y＝的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限5．（3分）如图，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点C，OC＝3，则弦AB＝（）A．4B．6C．8D．56．（3分）对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣3C．顶点坐标为（﹣3，0）D．当x＜﹣3 时，y随x的增大而减小7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＜﹣1D．k≤﹣18．（3分）一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则小英估计袋子中白球的个数约为（）A．50B．30C．12D．89．（3分）已知反比例函数y＝﹣的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示：x…04…y…0.37﹣10.37…则方程ax2+bx+1.37＝0的根是（）A．0或4B．或4﹣C．1或5D．无实根二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）已知x＝2的一元二次方程x2+x+m＝0的一个根，则m的取值是．13．（3分）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是．14．（3分）圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，那么它的侧面积是（结果保留π）．15．（3分）如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．16．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在CD，BC上移动，CF＝DE，AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是．三、解答题（本题共有9个小题，共72分）17．（4分）解方程：x2﹣4x＝0．18．（4分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出△OB'C′；（2）B点的对应点B'的坐标是；C点的对应点C′的坐标是．19．（6分）如图，P A，PB是⊙O的切线，点A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝70°．求∠P的度数．20．（6分）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是黄色的概率．21．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是点D．（1）利用尺规作△ABC的外接圆⊙O（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）作直径AE，连接BE，求证：△ABE∽△ADC．22．（10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，则平均每天可多销售2件．（1）若每件衬衫降价5元，求平均每天盈利是多少元？（2）若平均每天需盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？（3）设每件衬衫降价m元，平均每天盈利为W元，当m为何值时，平均每天盈利最多．23．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．（1）求这两个函数的表达式；（2）请结合图象直接写出不等式kx+b＜的解集；（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AO＝，求的长；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图的顶点为点D，与y 轴交于点C，与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求点P的坐标；（3）如图，若点G（2，m）是该抛物线上一点，E是直线AG下方抛物线上的一动点，点E到直线AG的距离为d，求d的最大值．2020-2021学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分.下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）1．【分析】根据随机事件的概念即可求解．【解答】解：“翻开数学书，恰好翻到第16页”确实有可能刚好翻到第16页，也有可能不是翻到第16页，故这个事件是随机事件．故选：A．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵相似三角形的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴若△ABC的各边长扩大为原来的2倍，则这个三角形的面积扩大为原来的4倍．故选：C．【点评】本题考查了相似图形，熟记相似多边形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．4．【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝6＞0，∴此函数的图象位于一、三象限．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．5．【分析】连接OA，如图，根据垂径定理得到AC＝BC，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长．【解答】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC，在Rt△AOC中，∵OA＝5，OC＝3，∴AC＝＝4，∴AB＝2AC＝8．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．6．【分析】根据抛物线的性质由a＝﹣2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大．【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故A、B、C正确，D不正确，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．7．【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，根据△的意义得到Δ＜0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，∴Δ＜0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0，解得k＜﹣1，∴k的取值范围是k＜﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．8．【分析】设袋中白球有x个，根据概率公式列出算式，求出x的值，即可得出答案．【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意，得：＝0.4，解得：x＝30，经检验：x＝30是分式方程的解，所以小英估计袋子中白球的个数约为30个，故选：B．【点评】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验频率应该相等是解决问题的关键．9．【分析】由于反比例函数y＝﹣的k＝﹣2＜0，可见函数位于二、四象限，由于x1＜x2＜0，可见A（x1，y1）、B（x2，y2）位于第二象限，于是根据二次函数的增减性判断出y1与y2的大小．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣的k＝﹣2＜0，可见函数位于二、四象限，∵x1＜x2＜0，可见A（x1，y1）、B（x2，y2）位于第二象限，由于在二四象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．10．【分析】利用抛物线经过点（0，0.37）得到c＝0.37，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线经过点（，﹣1），由于方程ax2+bx+1.37＝0变形为ax2+bx+0.37＝﹣1，则方程ax2+bx+1.37＝0的根理解为函数值为﹣1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.37＝0的根为x1＝，x2＝4﹣．【解答】解：由抛物线经过点（0，0.37）得到c＝0.37，因为抛物线经过点（0，0.37）、（4，0.37），所以抛物线的对称轴为直线x＝2，而抛物线经过点（，﹣1），所以抛物线经过点（4﹣，﹣1），所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+0.37，方程ax2+bx+1.37＝0变形为ax2+bx+0.37＝﹣1，所以方程ax2+bx+0.37＝﹣1的根理解为函数值为﹣1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.37＝0的根为x1＝，x2＝4﹣．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】根据关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【解答】解：点P（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣5，3）．故答案为：（﹣5，3）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于坐标原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．12．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝2代入已知方程列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2+x+m＝0的一个根，∴x＝2满足一元二次方程x2+x+m＝0，∴22+2+m＝0，即m+6＝0，解得，m＝﹣6；故答案是：﹣6．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．13．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：由题意知：共有卡片9张，数字是3的倍数的卡片有3，6，9共3张，所以抽到数字是3的倍数的卡片的概率是＝．故答案为：．【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．14．【分析】利用圆锥的侧面积公式计算即可．【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×3×4＝12π，故答案为：12π．【点评】本题考查圆锥的计算，扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式S＝•2πr•l．15．【分析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，B′的横坐标等于OA+OB，而纵坐标等于OA，进而得出B′的坐标．【解答】解：直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，∵旋转前后三角形全等，∠O′AO＝90°，∠B′O′A＝90°∴OA＝O′A，OB＝O′B′，O′B′∥x轴，∴点B′的纵坐标为OA长，即为3，横坐标为OA+OB＝OA+O′B′＝3+4＝7，故点B′的坐标是（7，3），故答案为：（7，3）．【点评】本题主要考查了对于图形翻转的理解，其中要考虑到点B和点B′位置的特殊性，以及点B′的坐标与OA和OB的关系．16．【分析】由“SAS”可证△ADE≌△DCF，可得AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，可证AE⊥DF，可得点P的路径是一段以AD为直径的弧，则当点P在QC上时，CP有最小值，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°．在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°．∴AE⊥DF，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，如图，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△QDC中，QC＝＝＝2，∴CP＝QC﹣QP＝2﹣2，故答案为2﹣2．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，确定点P的运动轨迹是本题的关键．三、解答题（本题共有9个小题，共72分）17．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵x（x﹣4）＝0，∴x＝0或x﹣4＝0，解得：x＝0或x＝4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用（1）中图形得出对应点坐标即可．【解答】解：（1）如图所示：△OB'C′，即为所求；（2）B点的对应点B'的坐标是（﹣6，2）；C点的对应点C′的坐标是（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣6，2），（﹣4，﹣2）．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．19．【分析】根据P A，PB分别是⊙O的切线得到P A⊥OA，PB⊥OB，在四边形AOBP中根据内角和定理，就可以求出∠P的度数．【解答】解：连接OB，∴∠AOB＝2∠ACB，∵∠ACB＝70°，∴∠AOB＝140°；∵P A，PB分别是⊙O的切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，即∠P AO＝∠PBO＝90°，∵四边形AOBP的内角和为360°，∴∠P＝360°﹣（90°+90°+140°）＝40°．【点评】本题主要考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径．20．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是黄色的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是黄色的有4种情况，∴两次摸出的球都是黄色的概率为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（1）由于三角形的外心是三边中垂线的交点，可作△ABC任意两边的垂直平分线，它们的交点即为外接圆的圆心O，确定了圆心即可画出⊙O．（2）由圆周角定理可得：∠C＝∠E，∠ABE＝∠ADC＝90°，由此可证得△ADC∽△ABE．【解答】解：（1）正确作出△ABC的外接圆⊙O；（2）证明：由作图可知AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，（直径所对的圆周角是直角）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，∵，∴∠E＝∠C，∴△ABE∽△ADC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，三角形外心的定义，要熟记此题的作图方法，灵活运用相似三角形的判定定理是本题的关键．22．【分析】（1）20+2×5为降价后的销售量，40﹣5为降价后每件的盈利，两者相乘，计算即可．（2）设每件衬衫应降价x元，由题意得x的一元二次方程，求解并根据尽快减少库存可得答案．（3）由题意得W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意得：（20+2×5）×（40﹣5）＝30×35＝1050（元），∴平均每天盈利是1050元．（2）设每件衬衫应降价x元，由题意得：（40﹣x）（2x+20）＝1200，∴﹣2x2+60x+800＝1200，∴x2﹣30x+20＝0，∴x1＝10，x2＝20，∵尽快减少库存，∴x＝20．∴每件衬衫应降价20元．（3）由题意得：W＝（40﹣m）（2m+20）＝﹣2m2+60m+800＝﹣2（m﹣15）2+1250，∴当m＝15时，W max＝1250．∴当m为15时，平均每天盈利最多．【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．【分析】（1）将点A（1，4）代入y＝可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；（2）根据图象得出不等式不等式kx+b＜的解集即可；（3）利用面积的和差关系可求解．【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝得：m＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，∴B（4，1），把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）根据图象得：当0＜x＜1或x＞4时，kx+b＜；∴不等式kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；（3）如图，设直线AB与x轴交于点C，∵直线AB与x轴交于点C，∴点C坐标为（5，0），∵△ABP的面积为6，∴×PC×4﹣PC×1＝6，∴PC＝4，∴点P的坐标为（1，0）或（9，0）．【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．24．【分析】（1）如图1，连接OD，由等腰三角形的性质可证∠B＝∠ODB＝∠CAD，由直角三角形的性质可求∠ADO＝90°，可得结论；（2）分别求出OD的长度和∠DOB的度数，再由弧长公式可求解；（3）通过证明△ACD∽△BDE，可得，设CD＝2x，DE＝3x，由平行线的性质可求x＝，由勾股定理可求AB的长，即可求解．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠ODB，∴∠ODB+∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°，又∵OD是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠DAB＝30°，∴OD＝AO，∴OD＝，∵OD＝OB，∠B＝30°，∴∠B＝∠ODB＝30°，∴∠DOB＝120°，∴劣弧BD的长＝＝π；（3）如图2，连接DE，∵BE是直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，∴△ACD∽△BDE，∴，∴设CD＝2x，DE＝3x，∵AC∥DE，∴，∴，∴x＝，∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，∴AB＝＝＝2，∵DE∥AC，∴，∴AE＝×2＝．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题（3）的关键．25．【分析】（1）由二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，求得其对称轴，从而可得b的值，再将（﹣1，0）代入即可求得c的值，则可得抛物线的解析式；（2）作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为（0，3），连接DF交x轴于顶点P，此时△PCD的周长最小，用待定系数法求得直线DF的解析式，令y＝0，可得点P的横坐标，则问题得解；（3）先求得点G的坐标，再用待定系数法求得直线AG的解析式；作AG的平行线MN，交x轴于点M，交y轴于点N，过点A作AH⊥MN于点H当直线MN与抛物线相切时，点E到直线AG的距离d＝EK最大，设直线MN的解析式为y＝﹣x+n，将其与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由交点个数与方程的判别式的关系可得Δ＝0，从而可得n的值，最后由三角函数求得AH的值，即为所求的d的最大值．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+c，将（﹣1，0）代入得：0＝1+2+c，∴c＝﹣3，∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，∴顶点D的坐标为（1，﹣4），点C的坐标为（0，﹣3）．作点C关于x轴的对称点F，则F的坐标为（0，3），连接DF交x轴于顶点P，此时△PCD的周长最小，如图：设直线DF的解析式为y＝kx+b（k≠0），将D（1，﹣4），F（0，3）分别代入得：，∴y＝﹣7x+3，当y＝0时，x＝，∴点P的坐标为（，0）；（3）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3，点G（2，m）是该抛物线上一点，∴m＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴点G（2，﹣3），设直线AG的解析式为：y＝px+q（p≠0），将A（﹣1，0），G（2，﹣3）分别代入得：，解得，∴直线AG的解析式为：y＝﹣x﹣1，作AG的平行线MN，交x轴于点M，交y轴于点N，过点A作AH⊥MN于点H，如图：当直线MN与抛物线相切时，点E到直线AG的距离d＝EK最大，∵AG∥MN，∴AH＝EK＝d．设直线MN的解析式为y＝﹣x+n，将其与抛物线解析式联立得：，∴x2﹣2x﹣3＝﹣x+n，整理得：x2﹣x﹣3﹣n＝0，当MN与抛物线相切时，Δ＝0，∴（﹣1）2﹣4（﹣3﹣n）＝0，解得：n＝﹣，∴直线MN的解析式为y＝﹣x﹣，∴点M的坐标为（﹣，0），点N坐标为（0，﹣），∴AM＝﹣1﹣（﹣）＝，∵OM＝ON＝，∴∠AMN＝45°，∴AH＝AM•sin45°＝×＝，∴d的最大值为．【点评】本题属于二次函数综合题，综合考查二楼待定系数法求函数的解析式、轴对称问题及最值问题等知识点，数形结合并灵活运用转化思想是解题的关键．。
2020-2021学年度第一学期九年级期末质量检测数学试卷 含答案
一、精心选一选（每小题4分，共40分）1、抛物线y=-2x2开口方向是（ ） A ．向上 B ．向下 C ．向左 D ．向右2、如果:1:2x y =，那么下列各式中不成立的是（ ） A.32x y y +=； B. 12y x y -=； C.21y x =； D.1213x y +=+ 3、已知锐角α满足tan(α-20°)=1,则锐角α的值为（ ） A. 50° B. 25° C. 45° D. 65° 4、下列命题正确的是( )A. 所有等腰三角形都相似B. 所有的矩形都相似C. 所有的菱形一定相似D. 有一对锐角相等的直角三角形一定相似 5、 一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ） A ． 1：2 B.3 ：2 C. 1： 3 D.3 ：16、若关于x 的方程kx2-6x+9=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. k ＜１B. k ≠0C. k ＜1且k ≠0D. k ＞17、两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为25cm2，则较大三角形的面积是 ）A ．75cm2B ． 65cm2C ． 50cm2D ．45cm28、若3cos 4A =，则下列结论正确的为 （ ） A ． 0°<∠A < 30° B. 30°<∠A < 45° C. 45°< ∠A < 60° D.60°< ∠A <90°9、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为( )A.815米 B ．1米 C.43米 D.85米 第9题图 第10题图10、如图，一学生要测量校园内一颗水杉树的高度，他站在距离水杉树10m 的B 处，测得树顶的仰角为∠CAD=30°，已知测角仪的架高AB=2 m ，那么这棵水杉树高是 ( ) A ．(3310＋2) m B ．(103＋2) m C.3310 m D ．7 m 二、耐心填一填（每小题5分，共25分） 11、 如果2X =3Y =4Z ≠0,则ZY X -2= 。
广东省汕头市澄海区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
2023-2024学年度第一学期期末质量监测高二级数学科试题（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B 铅笔涂写在答题卡上．2．答选择题时，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上．4．考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．第一部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑．1.已知集合{}{03},14A x x B x x =<<=≤≤，则A B = （）A.{13}x x ≤<B.{04}x x <≤ C.{04}x x << D.{13}x x <<2.在平面直角坐标系中，直线10x +=的倾斜角是（）A.0B.45C.90D.1353.已知复数i(1i)z =-（i 为虚数单位），则||z =（）A.12B.2C.D.24.已知正项等比数列{}n a 的前2项和为6，4212a a -=，则6a =（）A.128B.64C.32D.165.2()log 5f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()4,56.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽8m ．若水面下降2m ，则水面宽度为（）A .2mB.6mC.2mD.86m7.如图，在棱长为2的正方体1111-ABCD A B C D 中，点,E F 分别是棱BC ，1CC 的中点，若直线1AC 与平面AEF 交于点M ，则线段1D M 的长度为（）A.322B.2C.5D.4238.设椭圆C ：()22221,0x y a b a b +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上一点，若点2F 关于12PF F ∠的角平分线l 的对称点恰好是点P ，且211249F P F F a ⋅=- ，则C 的离心率为（）A.13B.23C.12D.37二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.π362f ⎛⎫=⎪⎝⎭B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 的图象可由曲线πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向右平移π4个单位长度得到10.已知双曲线C ：221812x y -=，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的实轴长为B.双曲线C 的焦距为C.双曲线C 的离心率为2D.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为11.已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（）A.平面ABC 的一个法向量是()1,1,3- B.AB 与AC是共线向量C.AB 与BC夹角的余弦值是6 D.点A 到直线BC 的距离是612.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，已知()4,2A -，()2,2B ，点P 满足||2||PA PB =，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（）A.圆C 的方程是()()224216x y -+-=B.过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为π3C.过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，该直线斜率为5±D.在直线2y =上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得2PD PE=三、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷相应横线上．13.在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =．14.已知直线l ₁：230ax y ++=与直线2l ：()2210x a y +-+=垂直，则a =_________．15.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点O 为正方形11ABB A 的中心，点P 是正方形11BCC B 的中心，则异面直线1D O 与BP 所成角的大小是_______16.已知直线l 与圆O ：²²4x y +=交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且AB =，则1122341034105x y x y +-++-的最大值为________．四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．温馨提示：考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分．17.在区运会的跳高比赛中，甲、乙两名运动员试跳过某个高度成功的概率依次为34，23，且每次试跳成功与否互不影响．（1）求甲试跳两次，至少有一次成功的概率；（2）求甲、乙各试跳一次，恰有一人试跳成功的概率．18.已知等差数列{}n a 前n 项和是n S ，已知243,72a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11415,b a b a ==，求{}n b 前n 项和n T ．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，点E 是PD 的中点．（1）求证：AE CD ⊥；（2）求直线AC 和平面PCD 所成角的大小．20.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin c A =．（1）求C ；（2）若c =求△ABC 的周长的最大值．21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点．（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 和平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值．22.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆E 过点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点．（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，过椭圆上的点P 作//AP OM ，且//BP ON ，求证：OMN 的面积为定值．2023-2024学年度第一学期期末质量监测高二级数学科试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B 铅笔涂写在答题卡上．2．答选择题时，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上．4．考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管．第一部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑．1.已知集合{}{03},14A x x B x x =<<=≤≤，则A B = （）A.{13}x x ≤<B.{04}x x <≤ C.{04}x x << D.{13}x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算即可得答案.【详解】因为{}|03A x x =<<，{}|14B x x =≤≤所以{}|13A B x x ⋂=≤<故选：A.2.在平面直角坐标系中，直线10x +=的倾斜角是（）A.0B.45C.90D.135【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义即可求解.【详解】直线10x +=即=1x -的倾斜角为90 ，故选：C.3.已知复数i(1i)z =-（i 为虚数单位），则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】C 【解析】【分析】计算出1i z =+，利用复数模长公式求出答案.【详解】2i(1i)i i 1i z =-=-=+，故||z ==故选：C4.已知正项等比数列{}n a 的前2项和为6，4212a a -=，则6a =（）A.128B.64C.32D.16【答案】B 【解析】【分析】设公比为()0q q >，即可得到1a 、q 的方程组，解得1a 、q ，即可得解.【详解】设公比为()0q q >，则126a a +=，4212a a -=，显然10a >，所以11311612a a q a q a q +=⎧⎨-=⎩，解得122q a =⎧⎨=⎩，所以66264a ==.故选：B5.2()log 5f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()4,5【答案】C 【解析】【分析】根据函数单调性及函数零点存在性定理求解.【详解】因为2()log 5f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且2(3)log 320,(4)2110f f =-<=-=>，所以函数零点所在区间为()3,4.故选：C6.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽8m ．若水面下降2m ，则水面宽度为（）A.82mB.6mC.2mD.86m【答案】A 【解析】【分析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程为22(0)x py p =->，根据条件求出p ，再解出4y =-时，x 的值，即可求出结果.【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为22(0)x py p =->，又由题知，抛物线经过点(4,2)--，所以164p =，得到4p =，所以抛物线方程为28x y =-，当水面下下降2m ，即4y =-，代入28x y =-，解得42x =±，所以此时水面宽度为82故选：A.7.如图，在棱长为2的正方体1111-ABCD A B C D 中，点,E F 分别是棱BC ，1CC 的中点，若直线1AC 与平面AEF 交于点M ，则线段1D M 的长度为（）A.2B.2C.D.3【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线可得242(,,333M ，进而根据空间中点点距离即可求解.【详解】如图，连接1AC ，因为直线1AC 与AF 都在平面11A ACC 内，所以直线1AC 与AF 的交点即1AC 与平面AEF 的交点M ，由于1//EF AA 且112EF AA =，故由三角形相似，可得23AM AF = ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(0,2,1),(0,0,2)A F D ，所以(2,2,1)AF =- ，从而442(,,)333AM =- ，所以M 的坐标为242(,,333M ，所以12D M =,故选:B8.设椭圆C ：()22221,0x y a b a b +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上一点，若点2F 关于12PF F ∠的角平分线l 的对称点恰好是点P ，且211249F P F F a ⋅=- ，则C 的离心率为（）A.13B.23C.12D.37【答案】A 【解析】【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得12PF c =，222PF a c =-.然后根据211249F P F F a ⋅=- ，可推得224cos 49c a θ=-.最后根据余弦定理，即可得到关于,a c 的齐次方程，即可得出离心率.【详解】设12PF F θ∠=，由已知可得，1122PF F F c ==，根据椭圆的定义有21222PF a PF a c =-=-.又211249F P F F a ⋅=- ，所以224cos 49c a θ=-.在12PF F △中，由余弦定理可得，22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅，即()2222282288cos 89a c c c c a θ-=-=+，整理可得227209c ac a +-=，等式两边同时除以2a 可得，27209e e +-=，解得13e =或73e =-（舍去），所以13e =.故选：A.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.π62f ⎛⎫=⎪⎝⎭B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x 的图象可由曲线πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向右平移π4个单位长度得到【答案】BD 【解析】【分析】根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以ππππ1sin 2sin 66662f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故B 正确；当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π2ππ2,633x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y x =在2ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，所以()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故C 错误；将πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向右平移π4个单位长度得到πππcos 2sin 2466y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确；故选：BD10.已知双曲线C ：221812x y -=，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的实轴长为B.双曲线C 的焦距为C.双曲线C 的离心率为2D.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为【答案】BCD【解析】【分析】首先求出a 、b 、c ，再根据双曲线的性质一一计算可得.【详解】双曲线22:1812x y C -=，则a =b =，所以c ==，双曲线C的实轴长为2a =，故A 错误；双曲线C的焦距为2c =，故B 正确；双曲线C的离心率2c e a ===，故C 正确；双曲线C的渐近线方程为2b y x x a =±=±，焦点为()±，所以双曲线C 的焦点到渐近线的距离d ==，故D 正确．故选：BCD ．11.已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（）A.平面ABC 的一个法向量是()1,1,3- B.AB 与AC是共线向量C.AB 与BC夹角的余弦值是6 D.点A到直线BC 的距离是6【答案】AD 【解析】【分析】由AB AC λ≠，可判断选项B ；由cos ,AB BC AB BC AB BC ⋅=⋅，可判断选项C ；设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =r ，由00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，求得n，即可判断A ，再利用空间向量法求出点A 到直线BC 的距离，即可判断D ．【详解】由题意知，()1,1,0AB = ，()1,2,1AC =- ，()2,1,1BC =-，因为AB AC λ≠ ，所以AB 与AC不是共线向量，即B错误；cos ,6AB BC AB BC AB BC ⋅==-⋅，所以AB 与BC夹角的余弦值为6-，即C 错误；设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则1y =-，3z =，所以()1,1,3n =-r，即A 正确．因为()1,1,0AB = ，()2,1,1BC =-，所以AB =uu u r ，1AB BC ⋅=-，BC = ，所以点A 到直线BC的距离666d =，故D 正确.故选：AD ．12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，已知()4,2A -，()2,2B ，点P 满足||2||PA PB =，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（）A.圆C 的方程是()()224216x y -+-=B.过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为π3C.过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，该直线斜率为5±D.在直线2y =上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得2PD PE=【答案】ABD 【解析】【分析】设(,)P x y ，运用两点的距离公式，化简可得P 的轨迹方程，可判断A ；设切点为M ，N ，利用正弦即可求出CAM ∠，由对称性可求得2MAN CAM ∠=∠，从而判断B ；根据题意设出直线l 方程，利用圆心到直线的距离为2，求得切线斜率，可判断C ；取(12,2)D ，(6,2)E ，即可判断D ．【详解】对于A ：在平面直角坐标系xOy 中，()4,2A -，()2,2B ，点P 满足||2||PA PB =，设(,)P x y2=，化简可得圆C 的方程为()()224216x y -+-=，故A 正确；对于B ：圆心(4,2)C ，半径为4，所以8AC =，过点A 向圆C 引切线，设切点为M ，N ，则41sin 82CAM ∠==，所以π6CAM ∠=，所以π23MAN CAM ∠=∠=，故B 正确；对于C ：过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，由图可知斜率不存在时不满足题意，可设直线l 的方程为2(4)y k x -=+，即240kx y k -++=，则圆心(4,2)C 到直线l 的距离为2，2=，解得15k =±，故C 错误；对于D ：由对称性可知当(12,2)D ，(6,2)E 时，||2||PD PE =，故D 正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷相应横线上．13.在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =．【答案】8【解析】【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则351712610a a a a a d +=+=+=，所以71101028a a =-=-=，故答案为8.14.已知直线l ₁：230ax y ++=与直线2l ：()2210x a y +-+=垂直，则a =_________．【答案】1【解析】【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.【详解】因为直线l ₁：230ax y ++=与直线2l ：()2210x a y +-+=垂直，所以()2220a a +-=，解得1a =.故答案为：115.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点O 为正方形11ABB A 的中心，点P 是正方形11BCC B 的中心，则异面直线1D O 与BP 所成角的大小是_______【答案】π6##30︒【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()10,0,2D ，()2,2,0B ，()2,1,1O ，()1,2,1P ，所以()12,1,1D O =- ，()1,0,1BP =-，设异面直线1D O 与BP 所成角为θ，则11cos 2D O BP D O BPθ⋅===⋅，因为π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以π6θ=，即异面直线1D O 与BP 所成角为π6.故答案为：π616.已知直线l 与圆O ：²²4x y +=交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且23AB =，则1122341034105x y x y +-++-的最大值为________．【答案】6【解析】【分析】1122341034105x y x y +-++-的几何意义为,A B 到直线34100x y +-=的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB 的中点M 到直线34100x y +-=的距离的2倍．由题意1OM =，所以AB 的中点M 的轨迹是以原点O 为圆心，1为半径的圆，利用圆的性质即可得解.【详解】因为1122341034105x y x y +-++-表示点,A B 到直线34100x y +-=的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB 的中点M 到直线34100x y +-=的距离的2倍，又O ：²²4x y +=的圆心为(0,0)，半径为2r =，3AB =，则22()4312AB OM r =-=-=，所以AB 的中点M 的轨迹是以原点O 为圆心，1为半径的圆，故点M 到直线34100x y +-=13916=+，所以1122341034105x y x y +-++-的最大值为6，故答案为：6.四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．温馨提示：考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分．17.在区运会的跳高比赛中，甲、乙两名运动员试跳过某个高度成功的概率依次为34，23，且每次试跳成功与否互不影响．（1）求甲试跳两次，至少有一次成功的概率；（2）求甲、乙各试跳一次，恰有一人试跳成功的概率．【答案】（1）1516（2）512【解析】【分析】（1）由题意知事件“甲试跳两次，至少有一次成功”的对立事件为“甲试跳两次，两次都没有成功”，由独立事件及对立事件的概率计算公式得答案；（2）事件“甲、乙各试跳一次，恰有一人试跳成功”包含事件“甲试跳成功、乙试跳失败”和事件“甲试跳失败、乙试跳成功”，由独立事件的概率可求得答案.【小问1详解】记“甲在第i 次试跳成功”为事件i A ，“甲试跳两次，至少有一次成功”为事件C .由独立事件的概率计算公式得：P （C ）=()12111151·11441616P A A -=-⨯=-=,【小问2详解】记“乙在第i 次试跳成功”为事件i B ，记“甲、乙各试跳一次，恰有一人试跳成功”为事件D ，所以()()()111131125434312P D P A B P A B =+=⨯+⨯=.18.已知等差数列{}n a 前n 项和是n S ，已知243,72a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11415,b a b a ==，求{}n b 前n 项和n T ．【答案】（1）12n n a +=（2）21nn T =-【解析】【分析】（1）根据条件，直接求出111,2a d ==，即可求出结果.（2）根据（1）中结果及条件，求出11b =，2q =，再利用等比数列的前n 项和公式即可求出结果.【小问1详解】数列{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ，又243,72a S ==，所以132a d +=①，143472a d ⨯+=②，由①②解得111,2a d ==，所以111(1)22n n a n +=+-⨯=.【小问2详解】设等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，由（1）知1151,8a a ==，又11415,b a b a ==，所以11b =，3418b b q ==，得到11b =，2q =，所以1(1)1221112n nn n b q T q --===---.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，点E 是PD 的中点．（1）求证：AE CD ⊥；（2）求直线AC 和平面PCD 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）根据条件，得出CD ⊥面PAD ，再利用线面垂直的性质，即可证明结果；（2）利用（1）中结果及条件，得出⊥AE 面PCD ，从而得出ACE ∠为直线AC 和平面PCD 所成的角，在Rt AEC △中，利用AC =AE =1sin 2ACE ∠=，即可求出结果.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，所以PA CD ⊥，又四边形ABCD 为正方形，所以AD CD ⊥，又PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂面PAD ，所以CD ⊥面PAD ，又AE ⊂面PAD ，所以AE CD ⊥.【小问2详解】因为2PA AB AD ===，点E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥，又AE CD ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂面PCD ，所以⊥AE 面PCD ，故ACE ∠为直线AC 和平面PCD 所成的角，在Rt PAD △中，2PA AD ==，所以PD =，又AE PD ⊥，点E 是PD 的中点，所以AE ==，在Rt AEC △中，AC =，AE =，所以1sin2AE ACE AC ∠===，又π0,2ACE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，得到π6ACE ∠=，所以直线AC 和平面PCD 所成角的大小为π6.20.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin c A =．（1）求C ；（2）若c =求△ABC 的周长的最大值．【答案】（1）π3C =（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解；（2）根据余弦定理和基本不等式可求解.【小问1详解】因为2sin c A ，根据正弦定理，可得sinsin a Ac C ==，因为sin 0A >，故sin 2C =，又因为π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =；【小问2详解】由余弦定理22π2cos 73a b ab +-=，可得()237a b ab +-=，由基本不等式，得()()2227324a b a b a b ++⎛⎫≥+-=⎪⎝⎭，当且仅当a b ==时，等号成立，a b +取最大值，此时周长为21.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =，AF t =，M 是线段EF 的中点．（1）求证：//AM 平面BDE ；（2）若1t =，求平面ADF 和平面BDF 夹角的大小；（3）若线段AC 上总存在一点P ，使得PF BE ⊥，求t 的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）π3（32【解析】【分析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接,EO AM ，根据条件得到四边形AOEM 为平行四边形，从而有//AM OE ，再利用线面平行的判定定理即可证明结果；（2）根据条件建立空间直角坐标系，分别求出平面ADF 和平面BDF 的法向量1(1,0,0)= n 和22)n = ，再利用面面角的向量法，即可求出结果；（3）设1)0(AP AC λλ=≤≤ ，根据条件得出()0,2,BE t = ，(22,)PF t λλ= ，再利用PF BE ⊥，得到22t λ=，即可求出结果.【小问1详解】如图，设AC 与BD 交于点O ，连接,EO AM ，因为ABCD 为正方形，所以O 是AC 中点，又四边形ACEF 为矩形，M 是线段EF 的中点，所以//AO ME 且AO ME =，故四边形AOEM 为平行四边形，所以//AM OE ，又OE ⊂面BDE ，AM ⊄面BDE ，所以//AM 平面BDE .【小问2详解】因为面ABCD ⊥面ACEF ，又EC AC ⊥，面ABCD 面ACEF AC =，EC ⊂面ACEF ，所以EC ⊥面ABCD ，又CD CB ⊥，故可建立如图所示的空间直角坐标系，因为2AB =，1AF t ==，则(0,0,0),2,0,0),2,2,0),2,2,1),(0,0,1),2,0)C D A F E B ，所以2,2,0)BD = ，(2,0,1)DE = ，2,0)DA = ，()0,0,1AF = ，设平面ADF 的一个法向量为1(,,)n x y z = ，由1100n DA n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到200z ==⎪⎩，取1x =，又0y z ==，所以1(1,0,0)= n ，设平面BDF 的一个法向量为()2,,n a b c = ，由2200n BD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到22020a b a c -=-+=⎪⎩，取1a =，则1,2b c ==22)n = ，设平面ADF 和平面BDF 的夹角为θ，则1212121cos cos ,21112n n n n n n θ⋅====⨯++⋅ ，又π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3θ=，即平面ADF 和平面BDF 夹角的大小为π3.【小问3详解】由（2）中空间直角坐标系，知(0,0,0),2,2,0),2,2,),(0,0,),(0,2,0)C A F t E t B ，则()0,2,BE t = ，(2,2,0)AC = ，设1)0(AP AC λλ=≤≤ ，则(,,0)AP =，得到,,0)P，所以,)PF t = ，由PF BE ⊥，得到PF BE ⊥ ，所以0PF BE ⋅= ，得到220t λ-+=，即22t λ=，又[]0,1λ∈，所以22t ≤，得到t.22.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，且椭圆E 过点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点．（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，过椭圆上的点P 作//AP OM ，且//BP ON ，求证：OMN 的面积为定值．【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意得到a 、b 、c 的方程组，解得即可；（2）设直线AP 的方程为()2OM y k x =+，联立直线与椭圆方程，即可求出P x ，P y ，从而得到BP k ，则14OM ON k k ⋅=-，再设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再根据14OM ON k k ⋅=-得到22241m k =+，最后根据1212OMN S m x x =⋅- 计算可得；【小问1详解】依题意2222221314c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由（1）可得()2,0A -，()2,0B ，设直线AP 的方程为()2OM y k x =+，代入2244x y +=得()222241161640OM OM OM k x k x k +++-=，它的两个根为2-和P x ，可得222841OM O P M k x k -=+，2441O OM P M k y k =+，从而2224411284241OM OM BP OM OM OM k k k k k k +==---+．因为//BP ON ，所以14OM ON k k ⋅=-，若直线MN 的斜率不存在，根据对称性，则P 在椭圆的上（下）顶点处，不妨取P 为上顶点，则12AP k =，由221244y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以2M ⎫⎪⎪⎭或2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以122122OMN S ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入2214x y +=，整理得()222418440k x kmx m +++-=，由0∆>，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，所以()22221112212122241444ONOM k x x k x x m y y m k k k x x x x m m +++-⋅====--，化简得22241m k =+，所以1211122OMN S m x x m =⋅-== .综上可得OMN 的面积等于1，为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.。
2020-2021学年广东省汕头市金园实验中学九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年广东省汕头市金园实验中学九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（）A．42°B．48°C．52°D．58°4．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣35．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M，N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度（）A．变大B．变小C．不变D．不能确定6．若一个二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n）、B（3，n）、C （2，y1）、D（﹣1，y2）和E（1，y3），则下列关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3 C．y1＜y3＜y2D．y3＞y1＞y27．如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°8．若x支球队参加篮球比赛，共比赛了36场，每2队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．x（x﹣1）＝36D．x（x+1）＝369．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则下列四个结论错误的是（）A．a﹣b+c＜0B．2a+b＝0C．4a﹣2b+c＝0D．am2+b（m+1）≥a10．如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B →C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是．12．（4分）一元二次方程x2＝x的根．13．（4分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为．14．（4分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两个不等的实根，则a2+2a+b的值为．15．（4分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AE的垂直平分线交⊙O于点C，CD⊥AB于D，BD＝1，AE＝4，则AD的长为．16．（4分）如图，边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为．17．（4分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）解方程：．19．（6分）已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．（1）求证：无论m取何值时，抛物线都与x轴有两个交点．（2）m为何值时，抛物线都与x轴有两个交点间的距离等于3？20．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB＝3，求点B的坐标．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）21．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．22．（7分）如图，在⊙O中，点C、D在优弧上，将弧沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．（1）证明：AC＝EC；（2）连接AD，若CE＝5，AD＝8，求⊙O的半径．23．（7分）如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，直道AB的长是多少？你一定知道是100米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明白了．设AB＝x米．（1）请用含x的代数式表示BC．（2）设矩形ABCD的面积为S．①求出S关于x的函数表达式．②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．（1）求证：四边形BFGH是正方形；（2）求证：ED平分∠CEI；（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3，则△BEI的周长为．25．（10分）如图，抛物线L：y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x＝1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x＝﹣3上，△PBQ能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：根据中心对称的定义可得：A、C、D都不符合中心对称的定义．故选：B．2．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝2B．（x﹣2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6解：∵x2﹣4x+2＝0，∴x2﹣4x+4＝2，∴（x﹣2）2＝2，故选：B．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（）A．42°B．48°C．52°D．58°解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝48°，∴∠B′＝90°﹣∠ACA′＝42°．故选：A．4．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x﹣8）2+1D．y＝2（x﹣8）2﹣3解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝2（x ﹣4+4）2﹣1，即y＝2x2﹣1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y＝2x2﹣1+2，即y＝2x2+1；故选：A．5．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M，N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度（）A．变大B．变小C．不变D．不能确定解：∵PAOB是扇形OMN的内接矩形，∴AB＝OP＝半径，当P点在上移动时，半径一定，所以AB长度不变，故选：C．6．若一个二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过五个点A（﹣1，n）、B（3，n）、C （2，y1）、D（﹣1，y2）和E（1，y3），则下列关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3 C．y1＜y3＜y2D．y3＞y1＞y2解：∵A（﹣1，n）、B（3，n），∴对称轴为直线x＝1；∵a＞0，∴x＝1时，y3是最小值；∵C（2，y1）关于对称轴的对称点为（0，y1），且﹣1＜0＜1，∴y2＞y1＞y3 ．故选：B．7．如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB∵∠AOB＝80°∴∠E＝∠AOB＝40°∴∠ACB＝180°﹣∠E＝140°．故选：B．8．若x支球队参加篮球比赛，共比赛了36场，每2队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝36B．x（x+1）＝36C．x（x﹣1）＝36D．x（x+1）＝36解：由题意可得，＝36，故选：A．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则下列四个结论错误的是（）A．a﹣b+c＜0B．2a+b＝0C．4a﹣2b+c＝0D．am2+b（m+1）≥a解：由抛物线可得当x＝﹣1时，y＜0，故a﹣b+c＜0，故结论A正确；抛物线可得对称轴为x＝﹣＝﹣1，故2a﹣b＝0，故结论B错误．由抛物线经过原点，对称轴为直线x＝﹣1可知，当x＝﹣2时，y＝0，故4a﹣2b+c＝0，故结论C正确；当x＝﹣1时，该函数取得最小值，则am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+b（m+1）≥a，故结论D正确；故选：B．10．如图，等边△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B →C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（s），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP＝xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cos A＝，即＝，解得，y＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CD⊥AB，则AD＝1.5cm，CD＝cm，点P在AB上时，AP＝xcm，PD＝|1.5﹣x|cm，∴y＝PC2＝（）2+（1.5﹣x）2＝x2﹣3x+9（0≤x≤3）该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC＝（6﹣x）cm（3＜x≤6）；则y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选：C．二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．12．（4分）一元二次方程x2＝x的根x1＝0，x2＝1．解：由原方程得x2﹣x＝0，整理得x（x﹣1）＝0，则x＝0或x﹣1＝0，解得x1＝0，x2＝1．故答案是：x1＝0，x2＝1．13．（4分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为k≤4．解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点；故k的取值范围是k≤4，故答案为：k≤4．14．（4分）设a、b是方程x2+x﹣2018＝0的两个不等的实根，则a2+2a+b的值为2017．解：∵a，b是方程x2+x﹣2018＝0的两个不等的实根，∴a2+a＝2018，a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2018﹣1＝2017．故答案为：2017．15．（4分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦AE的垂直平分线交⊙O于点C，CD⊥AB于D，BD＝1，AE＝4，则AD的长为4．解：弦AE的垂直平分线交AE于点F，∴AF＝AE＝2，∠AFO＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ODC＝∠AFO＝90°，∵OA＝OC，∠AOF＝∠COD，∴△AOF≌△COD（AAS），∴CD＝AF＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝r﹣1，由勾股定理得：OC2＝OD2+CD2，r2＝（r﹣1）2+22，r＝，∴AD＝AB﹣1＝2×﹣1＝4，故答案为：4．16．（4分）如图，边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为﹣1．解：连接AC′，∵边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，∴AD′＝D′C′＝AD＝AB＝1，∠ABC＝∠D′＝90°，∠D′C′A＝45°，∠D′AC′＝45°，∠D′AB＝45°，∴A、B、C′三点共线，在Rt△AD′C′中，由勾股定理得：AC′＝＝＝，∴BC′＝AC′﹣AB＝﹣1，∵在Rt△EBC′中，∠EBC′＝90°，∠EC′B′＝45°，∴∠BEC′＝∠EC′B＝45°，∴EB＝BC′＝﹣1，∴阴影部分的面积S＝△AD′C′的面积﹣△EBC′的面积＝﹣＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，故答案为：﹣1．17．（4分）如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝﹣1．解：∵y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y＝﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）∵C2由C1旋转得到，∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m＝﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）解方程：．解：∵（x﹣3）2＝2x﹣6，∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣7）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣7＝0，解得x1＝3，x2＝7．19．（6分）已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．（1）求证：无论m取何值时，抛物线都与x轴有两个交点．（2）m为何值时，抛物线都与x轴有两个交点间的距离等于3？解：（1）证明：∵△＝（m﹣3）2﹣4（﹣m）＝（m﹣1）2+8＞0，∴抛物线与x轴总有两个交点；（2）根据题意得＝3，解得m1＝0，m2＝2，即m为0或2时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3．20．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB＝3，求点B的坐标．解：（1）把（0，0），（2，0）代入y＝x2+bx+c得，解得，…（1分）∴解析式为y＝x2﹣2x…（1分）（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴顶点为（1，﹣1）…（1分）对称轴为：直线x＝1 …（1分）（3）设点B的坐标为（c，d），则×2|d|＝3，解得d＝3或d＝﹣3，∵顶点纵坐标为﹣1，﹣3＜﹣1 （或x2﹣2x＝﹣3中，x无解）∴d＝3 …（1分）∴x2﹣2x＝3解得x1＝3，x2＝﹣1∴点B的坐标为（3，3）或（﹣1，3）…（1分）四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）21．（7分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形，对称中心的坐标为（﹣，﹣）．22．（7分）如图，在⊙O中，点C、D在优弧上，将弧沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．（1）证明：AC＝EC；（2）连接AD，若CE＝5，AD＝8，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：由折叠的性质得：，BC垂直平分DE，∴∠CBD＝∠CBE，∴，∴，∴AC＝EC；（2）解：连接OC交AD于H，连接OA，如图所示：设⊙O的半径为r，由（1）得：，AC＝CE＝5，∴OC⊥AD，∴AH＝AD＝4，∠AHC＝∠AHO＝90°，∴CH＝＝＝3，∴OH＝OC﹣CH＝r﹣3，在Rt△AOH中，由勾股定理得：42+（r﹣3）2＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．23．（7分）如图，是400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，直道AB的长是多少？你一定知道是100米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就明白了．设AB＝x米．（1）请用含x的代数式表示BC．（2）设矩形ABCD的面积为S．①求出S关于x的函数表达式．②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？解：（1）由题意可得：π•BC＝，∴BC＝；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴S＝×x＝﹣（x﹣100）2+；②当x＝100时，S最大，∴当AB＝100米时，S最大．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．（1）求证：四边形BFGH是正方形；（2）求证：ED平分∠CEI；（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3，则△BEI的周长为6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠DCE＝∠ABC＝∠ABF＝90°，∵GF⊥CF，GH⊥AB，∴∠F＝∠GHB＝∠FBH＝90°，∴四边形FBHG是矩形，∵ED＝EG，∠DEG＝90°，∵∠DEC+∠FEG＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEG＝∠EDC，∵∠F＝∠DCE＝90°，∴△DCE≌△EFG（AAS），∴FG＝EC，EF＝CD，∵CB＝CD，∴EF＝BC，∴BF＝EC，∴BF＝GF，∴四边形FBHG是正方形．（2）证明：延长BC到J，使得CJ＝AI．∵DA＝DC，∠A＝∠DCJ＝90°，AI＝CJ，∴△DAI≌△DCJ（SAS），∴DI＝DJ，∠ADI＝∠CDJ，∴∠IDJ＝∠ADC＝90°，∵∠IDE＝45°，∴∠EDI＝∠EDJ＝45°，∵DE＝DE，∴△IDE≌△JDE（SAS），∴∠DEI＝∠DEJ，∴DE平分∠IEC．（3）解：∵△IDE≌△JDE，∴IE＝EJ，∵EJ＝EC+CJ，AI＝CJ，∴IE＝EC+AI，∴△BIE的周长＝BI+BE+IE＝BI+AI+BE+EC＝2AB＝6．故答案为6．25．（10分）如图，抛物线L：y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x＝1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x＝﹣3上，△PBQ能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）∵抛物线的对称轴x＝1，B（3，0），∴A（﹣1，0）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点C（0，3）∴当x＝0时，c＝3．又∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）∴，∴∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）对于直线BC：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，将抛物线L向下平移h个单位长度，∴当h＝2时，抛物线顶点落在BC上；当h＝4时，抛物线顶点落在OB上，∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），则2≤h≤4；（3）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示：∵B（3，0），∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠BPQ＝90°，BP＝PQ，则∠PMQ＝∠BNP＝90°，∠MPQ＝∠NBP，在△PQM和△BPN中，，∴△PQM≌△BPN（AAS），∴PM＝BN，∵PM＝BN＝﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN＝3﹣m，且PM+PN＝6，∴﹣m2+2m+3+3﹣m＝6，解得：m＝1或m＝0，∴P（1，4）或P（0，3）．②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，同理可得△PQM≌△BPN，∴PM＝BN，∴PM＝6﹣（3﹣m）＝3+m，BN＝m2﹣2m﹣3，则3+m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝或．∴P（，）或（，）．综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（，）和（，）．。
2020-2021学年上学期广东省深圳市南山区期末考试九年级数学试卷 (Word版 含解析)
广东省深圳市南山区2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上）。
1．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（）A．B．C．D．2．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中红球的个数大约是（）A．20个B．16个C．15个D．12个4．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（）A．10B．20C．40D．806．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．8．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分.把答案填在答题卡上）.11．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．12．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为米．13．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．14．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为．三、解答题：（16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分，共计55分）16．解下列方程：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．（2）2x2﹣4x﹣1＝0．17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排．（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．21．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝，请直接写出DE的长．22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①填空：DQ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC 边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（）A．B．C．D．【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．【解答】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．故选：A．2．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形【分析】根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选：C．3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中红球的个数大约是（）A．20个B．16个C．15个D．12个【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：设红球有x个，根据题意得，3：（3+x）＝1：5，解得x＝12，经检验：x＝12是原分式方程的解，所以估计盒子中红球的个数大约有12个，故选：D．4．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．【解答】解：∵在方程x2+2x﹣1＝0中，△＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（）A．10B．20C．40D．80【分析】根据位似变换的性质得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，∴△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积是10，∴△A′B′C′的面积是40，故选：C．6．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．【解答】解：反比例函数y＝﹣，k＝12＜0，A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；C、函数图象经过点（﹣6，2），故本选项说法不正确；D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确；故选：C．7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．【解答】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；故选：D．8．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．1【分析】由点A是反比例函数y＝的图象上，可得S△AOD＝3，根据等底同高的三角形面积相等可得S△AOB＝S＝2，进而求出S△BOD＝1，再根据点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出S△BOD＝1，进而求出k △ACB的值．【解答】解：延长AB交y轴于点D，连接OA、OB，∵点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB∥x轴，∴S△AOD＝|k|＝×6＝3，S△AOB＝S△ACB＝2，∴S△BOD＝S△AOD﹣S△AOB＝3﹣2＝1，又∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△BOD＝|k|＝1，∴k＝2，k＝﹣2（舍去），故选：B．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，∴BC＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×AE，∴AE＝＝．在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝，∴的值为，故选：C．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】依据△AEF∽△CBF，即可得出CF＝2AF；依据△BAE∽△ADC，即可得到AD＝CD；过D作DM ∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF＝DC；依据∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出S四边形CDEF＝S△ABF．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故①正确；设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，∵BE⊥AC，∠BAD＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，而∠BAE＝∠ADC＝90°，∴△BAE∽△ADC，∴，即b＝a，∴AD＝CD，故②正确；如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故④正确；如图，连接CE，由△AEF∽△CBF，可得，设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，∴△ACE的面积为3s，∵E是AD的中点，∴△CDE的面积为3s，∴四边形CDEF的面积为5s，∴S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确．故选：D．二．填空题（共5小题）11．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为12．【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．【解答】解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．12．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为9.4米．【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例计算．【解答】解：设这棵大树高为x，根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．可得树高比影长为＝1.25，则有＝＝0.8，解可得：x＝9.4米．13．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为1000．【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m ﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，∴m2+m＝1001，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．故答案为：1000．14．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠F AE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出＝＝2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF ＝•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠F AE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为y ＝．【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x ﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，即可求得反比例函数的解析式．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20，∴反比例函数的解析式为y＝故答案为y＝．三．解答题16．解下列方程：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．（2）2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）先移项得到2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0，所以x1＝2，x2＝6；（2）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排．（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．【分析】（1）画树状图即可得出答案；（2）共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如图：（2）由（1）得：共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有2个，∴正好由丙将接力棒交给丁的概率为＝．18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．【分析】（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；（2）连接AC交BD于H，先由菱形的性质可得AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，求出BH、EH的长，由勾股定理求出AH的长，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵AE＝DE，∴CE＝DE；（2）解：如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∵CE＝DE＝AE＝1，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴菱形的边长为．19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．【分析】（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣×20）个，根据月均销量不低于130个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；（2）根据总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（3）根据总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣36＜0，即可得出这种书包的销售利润不能达到3700元．【解答】解：（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣×20）个，依题意，得：280﹣×20≥130，解得：x≤55．答：每个背包售价应不高于55元．（2）依题意，得：（x﹣30）（280﹣×20）＝3120，整理，得：x2﹣98x+2352＝0，解得：x1＝42，x2＝56（不合题意，舍去）．答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．（3）依题意，得：（x﹣30）（280﹣×20）＝3700，整理，得：x2﹣98x+2410＝0．∵△＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0，∴该方程无解，∴这种书包的销售利润不能达到3700元．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k；（2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案；（3）先求出EF＝2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于点H，∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），∴﹣1×3+b＝0，解得，b＝3，对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3，∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，∵CH∥OA，∴△AOB∽△CHB，∴＝＝，即＝＝，解得，CH＝2，BH＝6，∴OH＝OB+BH＝9，∴点C的坐标为（2，9），∴k＝2×9＝18；（2）∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为3，∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，∴△ABD的面积＝×6×3＝9；（3）EF＝BD＝×6＝2，设E（m，3m+3），当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m+2）（3m+3）＝18，解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m﹣2）（3m+3）＝18，解得，m3＝（舍去），m4＝，综上所述，m的值为1或．21．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为BE+DF＝EF．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝，请直接写出DE的长．【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，据此知AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．证△AFE≌△AFG得EF＝FG，从而得出答案；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，知∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，证△AEF≌△AHF得EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．据此知BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，由AB＝AC＝4知∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，从而得E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED得DE＝DE′，根据DE2＝BD2+EC2可得答案．【解答】解：（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为：BE+DF＝EF．（2）成立．证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAF＝α，∴∠BAE+∠F AD＝α，∴∠DAH+∠F AD＝α，∴∠F AH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE＝，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2＝，解得．22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①填空：DQ＝AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为1；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC 边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．【分析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．（2）结论：＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．（3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．故答案是：＝；②解：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案为：1．（2）解：结论：＝k．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴＝＝＝k．（3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．由＝，可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，FG＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴k＝1或﹣1（舍弃），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴＝＝，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，∴PC＝＝．。
陕西省榆林市府谷县2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷
试卷类型:A府谷县2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学注意事项:1.本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)㊂全卷共4页,总分120分,考试时间为120分钟㊂2.答题前,考生需准确填写自己的姓名㊁准考证号,并认真核对条形码上的准考证号㊁姓名及考场号;3.所有答案必须在答题卡上指定区域作答;选择题部分必须使用2B 铅笔填涂;非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,字体工整㊁笔迹清楚;4.请按照题号在各题目对应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸㊁试卷上答题无效;5.保持卡面清洁,不得折叠㊁污染㊁破损等㊂第一部分(选择题㊀共30分)一㊁选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)1.已知tan α=3,则锐角øα=A.90ʎ㊀㊀㊀㊀㊀㊀B.30ʎ㊀㊀㊀㊀㊀㊀C.45ʎ㊀㊀㊀㊀㊀㊀D.60ʎ2.新型冠状病毒感染肺炎疫情发生后,医用酒精作为必不可少的消毒用品,发挥着巨大的作用,如图是医用酒精瓶的示意图,它的主视图是(第2题图)㊀㊀(第3题图)3.如图,夜晚路灯下有一排同样高的旗杆,离路灯越近,旗杆的影子A.越长 B.越短C.一样长D.随时间变化而变化4.关于x 的一元二次方程(x -1)(x -3)=-x -2,下面说法正确的是A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无法确定是否有实数根D.没有实数根5.将抛物线y =3x 2+4沿y 轴向上平移2个单位长度,所得的抛物线为A.y =3x 2+6B.y =3x 2+2C.y =3(x -2)2+4D.y =3(x +2)2+46.如果әABC ʐәDEF ,әABC 的三边长为3㊁4㊁6,әDEF 最小边的长为6,那么әDEF 的周长是A.26B.13C.28D.527.如图,在RtәABC 中,若øC =90ʎ,AC =5,sin B =513,那么tan A 等于A.513B.512C.135D.125(第7题图)㊀㊀㊀(第8题图)㊀㊀㊀(第9题图)8.如图,以点O 为位似中心,画一个四边形AᶄBᶄCᶄDᶄ,使它与四边形ABCD 位似,且四边形AᶄBᶄCᶄDᶄ与四边形ABCD 的相似比为32,则下列说法错误∙∙的是A.四边形ABCD ʐ四边形AᶄBᶄCᶄDᶄB.点C ,O ,Cᶄ三点在同一直线上C.OB =35OBᶄD.AB AᶄBᶄ=239.如图,直线l 与双曲线交于A ㊁C 两点,将直线l 绕原点O 顺时针旋转α度角(0ʎ<αɤ45ʎ),与双曲线交于B ㊁D 两点,则四边形ABCD 的形状一定是(第10题图)A.任意四边形B.平行四边形C.矩形D.菱形10.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ʂ0)的图象如图所示,则下列结论:①abc >0;②a +b +c >0;③当x <0时,y 随x 的增大而增大;④a -b +c <0,其中正确的个数有A.4个 B.3个C.2个 D.1个第二部分(非选择题㊀共90分)二㊁填空题(共4小题,每小题3分,计12分)11.已知方程5x 2+kx -6=0的一个根是2,则k 的值为㊀㊀㊀㊀㊀㊀.12.在一个不透明的口袋中,红色,黑色,白色的小球共有50个,这些小球除颜色外其它完全相同,小明每次摸球前先将口袋里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回口袋,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红色球,黑色球的频率分别稳定在0.36和0.22,则可估计口袋中白色球的个数可能为㊀㊀㊀㊀㊀㊀个.13.如图,函数y =kx(x <0)的图象经过RtәABO 的斜边OB 的中点D ,与直角边AB 相交于C ,连接AD.若S әABO =2,则k 的值为㊀㊀㊀㊀㊀㊀.(第13题图)㊀㊀㊀(第14题图)14.如图,点P 为矩形ABCD 边AD 上一点,点E ㊁F 分别为PB ㊁PC 的中点,若矩形ABCD 的面积为6,那么әPEF 的面积为㊀㊀㊀㊀㊀㊀.三、解答题(共11小题,计78分.解答应写出过程)15.(5分)解方程:12x 2+x -1=0.(第16题图)16.(5分)请你画出图中几何体的三视图.17.(5分)已知二次函数y =x 2+ax -2(a ʂ0)图象的对称轴为x =12,请你求出它与x 轴的两个交点之间的距离.(第18题图)18.(5分)如图,O 为әABC 边AC 的中点,AD ʊBC 交BO 的延长线于点D ,连接DC ,DB 平分øADC ,求证:四边形ABCD 为菱形.19.(7分)据医学研究,使用某种抗生素可治疗心肌炎,某一患者按规定剂量服用这种抗生素,已知刚服用该抗生素后,血液中的含药量y (微克/毫升)与服用的时间x (小时)成正比例,药物浓(第19题图)度达到最高后,血液中的含药量y (微克/毫升)与服用的时间x (小时)成反比例,根据图中所提供的信息,回答下列问题:(1)根据图象求出药物浓度达到最高值之后,y 与x 之间的函数表达式;(2)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y.(第20题图)20.(7分)学习了相似三角形的知识后,爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度,并作出了示意图:如图,路灯(点P )距地面若干米,身高1.6米的小明站在距路灯的底部(O 点)20米的A 点时,身影的长度AM 为5米.已知OP ʅOM ,AB ʅOM ,点O ㊁A ㊁M 在同一直线上.(1)请帮助小明求出路灯距地面的高度OP ;(2)若另一名身高为1.5米的小龙站在直线OA 上的C 点时,测得他与小明的距离AC 为7米,CD ʅOA ,点N 在直线OA 上,求小龙的身影的长度CN.21.(7分)网络购物已成为新的消费方式,催生了快递行业的高速发展,某快递公司今年6月份与8月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件,假定每月投递的快递件数的增长率相同.求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率.22.(7分)为了更好地适应现代医学发展的需要,提高医护人员专业水平,2020年11月,某医院共4名医生和若干名护士参加培训.为了了解培训成果,该医院准备从参加培训的四名医生(男㊁女医生各两名)中随机选择2名进行考核,若每名医生被选中的机会均等,请用列表法或画树状图法求出选中的两名医生中至少有一名女医生的概率.(第23题图)23.(8分)如图,一次函数y =23x +2的图象与反比例函数y =kx(k ʂ0)的图象相交于A ,B 两点,且与两坐标轴分别相交于C ,D 两点,过点A 作AE ʅx 轴,垂足为点E ,OD 是әACE 的中位线.(1)求反比例函数的表达式;(2)若点M 是反比例函数图象上的一点,且点M 的横坐标为-2,求四边形CMEA 的面积.(第24题图)24.(10分)如图,某楼房AB 顶部有一根天线BE ,为了测量天线的高度,在地面上取同一条直线上的三点C ,D ,A ,在点C 处测得天线顶端E 的仰角为50ʎ,从点C 走到点D ,测得CD =10米,从点D 测得天线底端B 的仰角为37ʎ,已知A ,B ,E 在同一条垂直于地面的直线上,AB =15米.(1)求A 与C 之间的距离;(2)求天线BE 的高度.(参考数据:sin37ʎʈ0.60,cos37ʎʈ0.80,tan37ʎʈ0.75,sin50ʎʈ0.77,cos50ʎʈ0.64,tan50ʎʈ1.19)25.(12分)如图,抛物线y =ax 2+bx -2经过点A (4,0)㊁B (1,0),交y 轴于点 C.(第25题图)(1)求抛物线的函数表达式;(2)Q 为x 轴上方的抛物线上的一个动点(不与点A ㊁B 重合),QM ʅx 轴于点M ,是否存在点Q ,使得以点A ㊁Q ㊁M 三点为顶点的三角形与әAOC 相似?若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.试卷类型:A2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学参考答案及评分标准一㊁选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)1.D㊀㊀2.A㊀㊀3.B㊀㊀4.D㊀㊀5.A㊀㊀6.A㊀㊀7.D㊀㊀8.C㊀㊀9.B㊀㊀10.C 二㊁填空题(共4小题,每小题3分,计12分)11.-7㊀㊀12.21㊀㊀13.-1㊀㊀14.34三㊁解答题(共11小题,计78分.解答应写出过程)15.解:根据题意,a =12,b =1,c =-1,ʑΔ=b 2-4ac =1-4ˑ12ˑ(-1)=49>0,(1分)ʑx =-b ʃb 2-4ac 2a =-1ʃ492ˑ12,(3分)ʑx 1=14,x 2=-13.(5分)16.解:如图所示:(画对主视图得1分,画对左视图和俯视图各得2分,共5分)17.解:二次函数的对称轴为x =-a 2=12,解得a =-1,(1分) 则抛物线的表达式为y =x 2-x -2,(3分) 令x 2-x -2=0,解得x =2或-1,故两个交点之间的距离为2-(-1)=3.(5分)18.证明:ȵO 为әABC 边AC 的中点,ʑOA =OC ,ȵAD ʊBC ,ʑøOAD =øOCB ,øADB =øCBD ,ʑәOAD ɸәOCB (AAS),ʑOD =OB ,ʑ四边形ABCD 是平行四边形,(2分)ȵDB 平分øADC ,ʑøADB =øCDB ,ʑøCBD =øCDB ,ʑBC =DC ,(4分) ʑ四边形ABCD 是菱形.(5分)19.解:(1)设y 与x 之间的函数表达式为y =kx ,把x =4时,y =6代入上式得:6=k4,(3分)解得:k =24,则y =24x (x >4).(5分)(2)当x =10时,y =2410=2.4(微克).答:该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量为2.4微克.(7分)20.解:(1)ȵøPOM =øBAM =90ʎ,øPMO =øBMA ,ʑәMAB ʐәMOP ,ʑAB OP =MA MO ,(2分)ʑ1.6OP =525,ʑOP =8(米).答:路灯距地面的高度为8米.(4分)(2)ȵøPON =øDCN =90ʎ,øPNO =øDNC ,ʑәNCD ʐәNOP ,ʑCD OP =NC NO ,(6分)ʑ1.58=NCCN +20-7,ʑCN =3(米).答:小龙的身影的长度CN 为3米.(7分)21.解:设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x ,依题意,得:10(1+x )2=12.1,(3分) 解得:x 1=0.1=10%,x 2=-2.1(不合题意,舍去).(5分) 答:该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10%.(7分)22.解:画树状图如图:(4分)共有12个等可能的结果,选中的两名医生中至少有一名女医生的结果有10个,(5分)ʑ选中的两名医生中至少有一名女医生的概率为1012=56.(7分)23.解:(1)ȵ一次函数y =23x +2的图象与两坐标轴分别相交于C ,D 两点,ʑ点C 的坐标为:(-3,0),点D 的坐标为:(0,2),ʑOD =2,ȵOD 是әACE 的中位线,ʑAE =4,OE =CO =3,(2分)ʑ点A 的坐标为:(3,4).(4分)将A (3,4)代入y =kx中,得k =12.ʑ反比例函数的表达式为:y =12x.(5分)(2)ȵM 的横坐标为-2,ʑy =12-2=-6,ʑM 的纵坐标为-6.(6分) 由(1)知OE =CO =3,ʑCE =6.ʑS 四边形CMEA =S әACE +S әCME =12ˑ6ˑ4+12ˑ6ˑ6=30.(8分)24.解:(1)由题意得,在RtәABD 中,øADB =37ʎ,AB =15米,ʑtanøADB =AB AD =15AD .(2分) ʑAD =15tan37ʎʈ150.75=20(米).(4分)ȵCD =10米,ʑAC =AD +CD =20+10=30(米).即A 与C 之间的距离是30米.(6分) (2)ȵ在RtәACE 中,øACE =50ʎ,AC =30米,ʑAE =30㊃tan50ʎʈ30ˑ1.19=35.7(米),(8分) ȵAB =15米,ʑBE =AE -AB =35.7-15=20.7(米).即天线BE 的高度为20.7米.(10分) 25.解:(1)将点A ㊁B 的坐标代入抛物线的表达式y =ax 2+bx -2中,得:a +b -2=016a +4b -2=0,{(2分)解得a =-12b =52,ìîíïïïï故抛物线的表达式为:y =-12x 2+52x -2.(4分)(2)存在,理由:由抛物线的表达式知,点C (0,-2),则tanøOAC =OC OA =12.(6分) 设点Q (x ,-12x 2+52x -2),则AM =4-x ,QM =-12x 2+52x -2,(7分)以点A ㊁Q ㊁M 三点为顶点的三角形与әAOC 相似,则øMQA =øOAC 或øMQA =øOCA ,ʑtanøMQA =AM QM =12或tanøMQA =AMQM=2,(8分) ʑQM =2AM 或AM =2QM.(9分)当QM =2AM 时,-12x 2+52x -2=2(4-x ),整理得,x 2-9x +20=0,解得x =4(舍去)或5(舍去).当AM =2QM 时,2(-12x 2+52x -2)=4-x ,整理得,x 2-6x +8=0,解得x =2或4(舍去).综上所述,满足条件的点Q 的坐标为:(2,1).(12分)。
广东省汕头市龙湖区2020-2021学年七年级上学期期末考试数学试题(含答案解析)
2020~2021学年度第一学期期末教学质量监测试卷七 年 级 数 学请将答案写在答题卷相应的位置上总分120分 时间90分钟一．选择题(每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置)1．中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．如果支出150元记作－150元，那么+80元表示( ▲ ) A ．收入80元 B ．支出80元 C ．收入20元D ．支出20元2．下列方程中，是一元一次方程的是( ▲ ) A ．x ＋2y ＝1 B ．1x－3＝2 C ．x ＝0 D ．x 2－4x ＝3 3．下列各式中运算正确的是( ▲ ) A ．4m ﹣m ＝3B ．2a 3﹣3a 3＝a 3C ．a 2b ﹣ab 2＝0D ．xy ﹣2xy ＝﹣xy4．修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是( ▲ )A ．线段可以比较大小B ．线段有两个端点C ．两点之间，线段最短D ．过两点有且只有一条直线5．把右图折成正方体的盒子，折好后与“试”相对的字是( ▲ ) A ．祝 B ．你 C ．顺 D ．利6．一小袋味精的质量标准为“50±0.25克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是( ▲ ) A ．50.35克B ．49.80克C ．49.72克D ．50.40克第5题图祝你 考 试 顺 利7．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是( A ．a +b ＝0 B ．b ＜a C ．ab ＞0D ．|b |＜|a |8．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α与∠β互余的是( ▲ )9．下列说法中正确．．的个数为( ▲ ) (1)正数与负数互为相反数； (2)单项式的系数是3，次数是2；(3)如果mx ＝my ，那么x ＝y ； (4)过两点有且只有一条直线；(5)一个数和它的相反数可能相等； (6)射线比直线小一半． A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个10．观察下面由正整数组成的数阵：照此规律，按从上到下、从左到右的顺序，第51行的第1个数是( ▲ ) A ．2500B ．2501C ．2601D ． 2602二、填空题(每题4分，共28分，将答案直接填写在答题卡相应的横线上)11．中国在第二十三届冬奥会闭幕式上奉献了《2022相约北京》的文艺表演，会后表演视频在网络上推出，即刻转发量就超过810 000，这个数用科学记数法表示为 ▲ 12．比较大小：1-3 ▲ 41-(填上“>,<”或“=”)． 13．用四舍五入法按要求取近似值：0.06039≈ ▲ (精确到千分位)．237xy 第7题图14．若2x 3y m 与﹣3x n y 2是同类项，则m +n ＝ ▲ ．15．若53=x 是关于x 的方程50x m -=的解，则m 的值为 ▲ ． 16．已知α∠与β∠互余，且4624'α=∠，则β∠为 ▲ °．17．在数轴上，点O 为原点，点A 、B 分别表示数a ，3，现将点A 向右平移2个单位长度得到点C ，若CO ＝2BO ，则a 的值为 ▲ ．三、解答题(一)(每题6分，共18分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤)18．如图，已知平面上三点A ，B ，C ，请按要求完成：(1)画射线AC ，直线BC ；(2)连接AB ，并用圆规．．在线段AB 的延长线上截取 BD ＝BC ，连接CD (保留画图痕迹)．19．计算：262(2)5-353⎛⎫-÷+--⨯ ⎪⎝⎭20．解方程：3(4x －1)=5(3x +2)－8四、解答题(二)(每题8分，共24分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤)21．已知线段AB=4，延长AB 到点C ，使BC=2AB ，(1)求AC 的长；(2)若点D 是线段AC 的中点，求BD 的长．22．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14 m ，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35 m 的竹篱笆，小林打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5 m ；小陈也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2 m ． (1)你认为谁的设计符合实际？通过计算说明理由．(2)在(1)的条件下，按照设计鸡场面积是 ▲ m 2．(直接在横线填上答案)第18题图第21题图23．先化简，再求值：6(2a2b﹣ab2)﹣3(﹣ab2+4a2b)，其中a，b的值满足|a-2|+(b+3)2＝0五、解答题(三)(每题10分，共20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤)24．为发展校园足球运动，我区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．(1)求每套队服和每个足球的价格是多少？(2)若我区四校联合购买100套队服和a个足球，则：到甲商场购买装备的费用为▲元(用含a的式子表示)；到乙商场购买装备的费用为▲元(用含a的式子表示)．(3)在(2)的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？25．探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．(1)一个角的平分线▲这个角的“巧分线”(填“是”或“不是”)；(2)如图2，若∠MPN＝α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝▲；(用含α的代数式表示)；深入研究：如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请求出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．2020~2021学年度第一学期期末教学质量监测七年级数学参考答案一．选择题1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 二．填空题11. 58.110⨯ 12. < 13. 0.060 14. 5 15. 3 16.43.6 17. 84-或 (写对一个得2分) 三．解答题(一) 18．解：如图所示。