第一次全国大联考【江苏卷】(考试版)

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第4题图
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【百度文库】2016年第一次全国大联考【江苏版】
数学试卷
考试时间：理150
分钟，文120分钟
第Ⅰ卷 必做题部分
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在
答题卡相应的位置．．．．．．．．
上．
1．已知,U R =集合{11
}A x x =-<<，2{20}B x x x =-<，则()_______.U A C B = 2. 已知复数21i
z i
-=
+,则z 的共轭复数的模为_______. 3. 分别在集合{1234}A =，，，和集合{5678}B =，，，中各取一个 数相乘，则乘积为偶数的概率为_______.
4. 运行如图所示的伪代码，其结果为_______.
5. 在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线
22
154
x y -=有相同渐近线，且一条准线方程为y =
的双曲线的标准方程为_______. 6. 已知存在实数a ，使得关于x a 恒成立，则a 的最大值为_______. 7. 已知()sin())44
f x a x x π
π
=+
-是偶函数，则实数a 的值为_______. 8. 已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3， 斜高长为4，则此正五棱锥体积为_______.
9. 已知函数293()6,3
x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，，则不等式)43()2(2
-<-x f x x f 的解集是_______.
10. 在ABC ∆中，3,4AB AC ==,N 是AB 的中点，边AC （含端点）上存在点M ，使得
BM CN ⊥，则cos A 的取值范围为_______.
11. 设不等式组204020
x y x y y ，，ì-+?ïïï
+-?íïï-?ïïî表示的平面区域为D ，若指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象
上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是
_______.
12. 已知函数2()2ln f x x x a x =++在区间(01)，
内无极值点，则a 的取值范围是_______. 13. 若函数1
()(2,()(3)2
x
f x
g x a x a =-=-+同时满足以下两个条件①,()0x R f x ∀∈<或
()0g x <；②(1,1),()()0x f x g x ∃∈-<.则实数a 的取值范围为_______.
14.若m b 为数列{2}n 中不超过3*()Am m N ∈的项数，2152=b b b +且310b =，则正整数A 的值为
_______.
二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

15. （本小题满分14分）已知角α终边逆时针旋转
6
π
与单位圆交于点 且2tan()5
αβ+=
. （1）求sin(26πα+的值，（2）求tan(23
π
β-的值.
16. （本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，平面四边形ABCD 中AD //,BC BAD ∠为二面
角B PA D --一个平面角.
（1）若四边形ABCD 是菱形，求证：BD ⊥平面PAC ； （2）若四边形ABCD 是梯形，且平面PAB
平面
PCD l =，问：直线l 能否与平面ABCD 平行？请
说明理由.
P
B
C
下载后可编辑可打印
A
P
B C
D
17. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点(2,0),(2,0)
D E
-连线斜率
之积为
1
2
-.
（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；
（2）过F的直线交椭圆C于,A B两点，过O的直线交椭圆C于,
M N两点，若直线AB
与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值.
18. （本小题满分16分）将一个半径为3分米，圆心角为((0,2))
ααπ
∈的扇形铁皮焊接成一个容
积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）.（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α
为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5
分米的球？请说明理由.
19. （本小题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a的前n项和为n S，且131
n n
S S
+
-=.
（1）求证：数列{}n a为等比数列；
（2）数列{}
n
a是否存在一项
k
a，使得
k
a恰好可以表示为该数列中连续*
(,2)
r r N r
∈≥项的
和？请说明理由；
（3）设*
1
(),
n
n
n
b n N
a
+
=∈试问是否存在正整数,(1)
p q p q
<<使
1
,,
p q
b b b成等差数列？若存在，
求出所有满足条件的数组(,)
p q；若不存在，说明理由．
20.（本小题满分16分）
（1）若ln
ax x
>恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：
0,,
a x R
∀>∃∈使得当
x x
>时，ln
ax x
>恒成立.
数学Ⅱ附加题部分【理科】
21.【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定
．．．其中两题
．．．．，并在相应的答题区域内作答
．．．．．．．．．．．．．若
多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．）
A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB
是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交
BA的延长线于点C.若DB DC
=，求证：CA AO
=.
B．【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵
1012
0206
A B
-⎡⎤⎡⎤
==
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
，，求矩阵1.
A B
-
C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线l过点
2
3,),(3,)
32
A B
ππ
，且直线l与曲线:sin(0)
C a a
ρθ
=>有且只有一个公共点，求实数a的值.
D．【选修4—
5：不等式选讲】（本小题满分10
分）求函数y=.
【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
22.在四棱锥P ABCD
-中，直线,,
AP AB AD两两相互垂直，
且//,
AD BC2
AP AB AD BC
===.
（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（2）求钝二面角B PC D
--的大小.
23. 设数列{}
n
a按三角形进行排列，如图，第一层一个数
1
a，第二层两个数
2
a和
3
a，第三层三
个数
45
,
a a和
6
a，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如
123245356
,,,
a a a a a a a a a
=+=+=+.
（1）若第四层四个数为0或1，
1
a为奇数，则第四层四个数共有多少种
不同取法？
（2）若第十一层十一个数为0或1，
1
a为5的倍数，则第十一层十一个
数共有多少种不同取法？
1
23
456
78910
a
a a
a a a
a a a a。