二次函数单调性
二次函数的求导与导数应用
二次函数的求导与导数应用二次函数是指函数的形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b 和c为常数且a ≠ 0。
在数学中，二次函数是一种重要的函数类型，它在经济学、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的求导方法以及导数在实际问题中的应用。
一、二次函数的求导方法二次函数的导数求解较为简单，我们可以根据导数的定义以及基本求导法则来进行求解。
假设二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b 和c为常数。
首先，根据求导法则可知，常数函数的导数为0，即d(c)/dx = 0。
因此，常数项c对函数f(x)的导数没有影响。
其次，根据乘法法则可知，对任意常数k，导数满足d(kf(x))/dx = k * d(f(x))/dx。
因此，在求解二次函数的导数时，我们可以将常数项提取出来。
即f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b，其中2a为二次项的系数。
综上所述，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b，其中a为二次项的系数。
二、导数在实际问题中的应用导数在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍导数在二次函数相关问题中的具体应用。
1. 极值点的判定对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，可以通过求导并令导数为0的方法来判定函数的极值点。
具体地，当f'(x) = 2ax + b = 0时，可以求解得到x = -b / (2a)。
将该值代入函数f(x)中可以得到相应的y值，即为函数的极值点。
2. 函数的单调性二次函数的单调性可以通过导数的正负来判断。
当导数f'(x) > 0时，表示函数递增；当导数f'(x) < 0时，表示函数递减。
利用导数的正负可以确定二次函数在不同区间上的单调性。
3. 曲线的凹凸性曲线的凹凸性可以通过导数的变号来判断。
二次函数知识点
一、二次函数的定义1.一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的性质1．二次函数2y ax =0a ≠（）的性质：（1） 抛物线2y ax =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0x =（y 轴）. （2） 函数2y ax =的图像与a 的符号关系.① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点；2. 2y ax c =+的性质：3. 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）的相关性质若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）(0a ≠)，则： （1） 开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下， （2） 对称轴：2bx a =-（或x h =），（3） 顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ）（4） 最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）；0a <时有最大值244ac b a-（或k ）（如图2）；（5）单调性：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性）① 如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a<- ，y 随x 的增大而增大；② 如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2bx a<-，y 随x 的增大而减小；（6）与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=）成立的x 值. 3. 二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.三、二次函数的图像与系数关系1. a 决定抛物线的开口方向：当0a >时⇔抛物线开口向上；当0a <时⇔抛物线开口向下a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小； a 越小，抛物线开口越大.注：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数，则形状相同、开口相反.2. b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：2b x a=-） 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当,a b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当,a b 异号时，对称轴在y 轴的右侧.3. c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置.（抛物线与y 轴的交点为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴； 当0c <时，交点在y 轴的负半轴.二、二次函数的三种表达方式（1）一般式：()20y ax bx c a =++≠ （2）顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠（3）双根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠2.如何设点：⑴ 一次函数y ax b =+（0a ≠）图像上的任意点可设为()11x ax b +，.其中10x =时，该点为直线与y 轴交点.⑵ 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图像上的任意一点可设为()2111x ax bx c ++，.10x =时，该点为抛物线与y 轴交点，当12bx a=-时，该点为抛物线顶点． ⑶ 点()11x y ，关于()00x x ，的对称点为()010122x x y y --，． 4.如何设解析式：① 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式； ② 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式； ③ 已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.④ 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.一、二次函数与一次函数的联系一次函数()0y kx n k =+≠的图像l 与二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.二、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系：1.直线与抛物线的交点:（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点(h ,2ah bh c ++). （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212,b c x x x x a a +=-⋅=12AB x x =-2.二次函数常用解题方法⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：3.二次函数与一元二次方程之根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x 轴的交点问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．设()()20f x ax bc c a =++≠的二实根为1x ，2x ，()12x x <，24b ac ∆=-，且()αβαβ<，是预先给定的两个实数．⑴ 当两根都在区间()αβ，内，方程系数所满足的充要条件： ∵12x x αβ<<<，对应的二次函数()f x 的图象有下列两种情形：当0a >时的充要条件是：0∆>，2ba αβ<-<，()0f α>，()0f β>． 当0a <时的充要条件是：0∆>，2baαβ<-<，()0f α<，()0f β<．两种情形合并后的充要条件是：()()0200b a f f αβαααβ⎫∆><-<⎪⎬⎪>>⎭，， ……①⑵ 当两根中有且仅有一根在区间(),αβ内，方程系数所满足的充要条件； ∵1x αβ<<或2x αβ<<，对应的函数()f x 的图象有下列四种情形：从四种情形得充要条件是： ()()0f f αβ⋅< ……②⑶ 当两根都不在区间[]αβ，内方程系数所满足的充要条件： 当两根分别在区间[]αβ，的两旁时； ∵12x x αβ<<<对应的函数()f x 的图象有下列两种情形：当0a >时的充要条件是：f α当0a <时充要条件是：()0f α>，()0f β>． 两种情形合并后的充要条件是：()0f αα<，()0f αβ< ……③当两根分别在区间[,]αβ之外的同侧时：∵12x x αβ<<<或12x x αβ<<<，对应函数()f x 的图象有下列四种情形：当12x x α<<时的充要条件是：0∆>，2baα-<，()0f αα> ……④当12x x β<<时的充要条件是：0∆>，2baβ->，()0f αβ> ……⑤4区间根定理如果在区间()a b ，上有()()0f a f b ⋅<，则至少存在一个()x a b ∈，，使得()0f x =． 此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．二次函数与三角形在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：1.如图，过三角形的某个顶点作与x 轴或y 轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．1122ABC ACD ADB C B ACE CEB A B S S S AD y y S S CE x x ∆∆∆∆∆=+=⋅-=+=⋅-其中D ,E 两点坐标可以通过BC 或AB 的直线方程以及A 或C 点坐标得到． 2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．ABC DEBF DAC AEB CBF S S S S S ∆∆∆∆=---. 所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得． 3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．()()()()()()111222ABC ADEB CFEB ADFC A B A B B C B c C A C A S S S S x x y y x x y y x x y y ∆=-++=-++-++-+4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与0x y ±=平行，则可以快速求解．12ABC S h BC ∆=⋅．二次函数图象的平移 1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-。
一次函数,二次函数的单调性,奇偶性,周期性.定点,对称性表格
竭诚为您提供优质文档/双击可除一次函数,二次函数的单调性,奇偶性,周期性.定点,对称性表格篇一：第二章函数3-函数的性质：单调性奇偶性周期性对称性（3）函数的性质：单调性奇偶性周期性对称性1.单调性（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：a.定义法（取值――作差――变形――定号）、b.导数法（在区间内为增函数，则如已知函数）)；内，若总有，则为增函数；反之，若在区间，请注意两者的区别所在。
在区间上是增函数，则的取值范围是____(答：②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为。
如（1）若函数在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数的取值范围是______(答：）)；（2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围_____（答：）；（3）若函数的值域为R，则实数的取值范围是______(答：且）)；③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减。
如函数的单调递增区间是________(答：（1,2）)。
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：-1-）；二是在多个单调区间之间不能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。
（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）。
如已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。
（答：2.奇偶性⑴偶函数：f(x)f(x)）设（a,b）为偶函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于y轴对称，例如：yx21在[1,1)上不是偶函数.②满足f(x)f(x)，或f(x)f(x)0，若f(x)0时，⑵奇函数：f(x)f(x)设（a,b）为奇函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：yx3在[1,1)上不是奇函数.②满足f(x)f(x)，或f(x)f(x)0，若f(x)0时，f(x)1.f(x)f(x)1.f(x)d,d（3）设f(x)，g(x)的定义域分别是12，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．3．函数的周期性。
高三数学复习(理)：第4讲 二次函数与幂函数
第4讲 二次函数与幂函数[学生用书P23]1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x ＝－b2a 对称常用结论一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0且Δ<0”；(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．2．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x 12是幂函数．()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(3)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．()(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数单调性规律掌握不到位；(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错； (4)对幂函数的概念理解不到位．1．如图，若a <0，b >0，则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________．(填序号)解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a <0，b >0，所以二次函数图象的对称轴为x ＝－b2a >0，故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－12m ≤3，即m ≤－16. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－163．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞4．当x ∈(0，1)时，函数y ＝x m 的图象在直线y ＝x 的上方，则m 的取值范围是________．答案：(－∞，1)[学生用书P24]幂函数的图象及性质(自主练透)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1解析：选D.幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m <1；当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据图象可得2－1<2n ，所以－1<n <0，综上所述，选D.3．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D.因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b <a <c .4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 方法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8， 即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R .都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为____________．解析：由f (0)＝3，得c ＝3， 又f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 所以b2＝1，所以b ＝2， 所以f (x )＝x 2－2x ＋3. 答案：f (x )＝x 2－2x ＋32．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________________．解析：设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)，方程a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2－49a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.答案：f(x)＝－4x2－12x＋40二次函数的图象与性质(多维探究)角度一通过图象识别二次函数如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是()A．②④B．①④C．②③D．①③【解析】因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．故选B.【答案】 B确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向．二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置．三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．角度二 二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减知⎩⎨⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 【答案】 [－3，0]【迁移探究】 (变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，求a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a＝－1，解得a ＝－3.对于二次函数的单调性，关键是确定其图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．角度三 二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．角度四 一元二次不等式恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为____________．【解析】 (1)作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0.(2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．所以g (x )min ＝g (－1)＝1.所以k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)．【答案】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)(－∞，1)由不等式恒成立求参数取值范围一般有两个解题思路：一是分离参数，二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值，若不分离参数，则一般需要对参数进行分类讨论求解；若分离参数，则a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .1．已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D.A 项，因为a <0，－b 2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错．B 项，因为a <0，－b 2a >0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错．C 项，因为a >0，－b 2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b 2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.2．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( )A ．a ＝0B ．a <0C ．0<a ≤13D ．a ≥1解析：选D.当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x ＋3图象的对称轴为x ＝1a ，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1a≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a≤1，解得a ≥1.故选D. 3．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．解析：2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16， 因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12[学生用书P26]思想方法系列4 分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值．【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2；(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时， f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0，1]内，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，1上单调递增． 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a ＝－1a ； ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧，所以f (x )在[0，1]上单调递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2；(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1且a ≠0，－2，a ＝0，－1a ，a ≥1.二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b 2a 为其最值点的横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况的最值，建立方程求解参数．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.[学生用书P281(单独成册)][A 级 基础练]1．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1 D.－2解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增，则当x ＝0时，f (x )的最小值为f (0)＝a ＝－2.2．设函数f (x )＝x 23，若f (a )>f (b )，则( )A ．a 2>b 2B ．a 2<b 2C ．a <bD ．a >b解析：选A.函数f (x )＝x 23＝(x 2)13，令t ＝x 2，易知y ＝t 13，在第一象限为单调递增函数．又f (a )>f (b )，所以a 2>b 2.故选A.3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：选C.若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b 2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故可排除B.故选C.4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解析：选A.由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b 2a ＝2，所以4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，所以f (x )先减后增，于是a >0，故选A.5．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．[0，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 解析：选D.二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)可得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.6．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上递减，则实数m＝________．解析：根据幂函数的定义和性质，得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m＝－1时，f(x)＝x0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，所以m＝2.答案：27．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x＝3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，所以3＝9a，即a＝13.所以y＝13(x－3)2＝13x2－2x＋3.答案：y＝13x2－2x＋38．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝2＋x＋2－x2＝2，又函数f(x)在[0，2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.答案：[0，4]9．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴x＝－32∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或a ＝－1.10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．[B 级 综合练]11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a 2＜0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－a 2＞1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．故选B.12．已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与x 的值无关解析：选C.由题知二次函数f (x )的图象开口向下，图象的对称轴为x ＝14，因为x 1＋x 2＝0，所以直线x ＝x 1，x ＝x 2关于直线x ＝0对称，由x 1<x 2，结合二次函数的图象可知f (x 1)<f (x 2)．13．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．答案：(0，2)14．已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋3(m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值及f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝－3f 2（x ）＋2ax ＋1－a 在[0，2]上的最大值为3，求实数a的值．解：(1)幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋3(m ∈R )在(0，＋∞)上单调递增，故⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2＝1，m 2－4m ＋3>0，解得m ＝0，故f (x )＝x 3. (2)由f (x )＝x 3，得g (x )＝－3f （x ）2＋2ax ＋1－a ＝－x 2＋2ax ＋1－a ， 函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x ＝a .因为在[0，2]上的最大值为3，所以①当a ≥2时，g (x )在[0，2]上单调递增，故g (x )max ＝g (2)＝3a －3＝3，解得a ＝2.②当a ≤0时，g (x )在[0，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (0)＝1－a ＝3，解得a ＝－2.③当0<a <2时，g (x )在[0，a ]上单调递增，在[a ，2]上单调递减，故g (x )max ＝g (a )＝a 2＋1－a ＝3，解得a ＝－1(舍去)或a ＝2(舍去)．综上所述，a ＝±2.[C 级 提升练]15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0.所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0]．。
二次函数的单调性分析
二次函数的单调性分析二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c （其中a≠0）的函数，它是一个关于x的二次多项式函数。
在这篇文章中，我们将重点讨论二次函数的单调性分析。
一、二次函数的基本性质1. a的正负决定开口方向当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2. 顶点坐标在二次函数的图像中，顶点是其中最高或最低点的坐标。
顶点的横坐标可以通过公式 x = -b/(2a) 计算得出，纵坐标可以通过将横坐标代入函数中计算得出。
3. 对称轴二次函数的图像存在对称轴，对称轴是通过顶点的垂直直线。
对称轴的方程可以通过公式 x = -b/(2a) 得到。
二、二次函数的单调性判断方法要判断二次函数的单调性，我们需要考虑两种情况：当二次函数开口向上和开口向下。
1. 当二次函数开口向上时（a>0）由于二次函数是一个抛物线形状的图像，开口向上的二次函数在对称轴的左侧是递减的，在对称轴的右侧是递增的。
因此，该二次函数在对称轴的左侧是单调递减的，在对称轴的右侧是单调递增的。
2. 当二次函数开口向下时（a<0）对于开口向下的二次函数，情况与开口向上时相反。
在对称轴的左侧是递增的，在对称轴的右侧是递减的。
因此，该二次函数在对称轴的左侧是单调递增的，在对称轴的右侧是单调递减的。
三、实例分析为了更好地理解二次函数的单调性分析，我们来看两个具体的例子。
示例1：考虑函数 y = 2x^2 + 3x - 1 。
首先，我们可以看出a的值为2，因此二次函数开口向上。
根据公式 x = -b/(2a) ，我们可以计算出对称轴的横坐标为 x = -3/4 。
对称轴左侧的一点 A：取 x = -4，计算 y = 2(-4)^2 + 3(-4) - 1 = 17对称轴右侧的一点 B：取 x = -2，计算 y = 2(-2)^2 + 3(-2) - 1 = 1根据计算结果，我们可以得知：对于 x < -3/4 ，函数 y = 2x^2 + 3x - 1 单调递减；对于 x > -3/4 ，函数 y = 2x^2 + 3x - 1 单调递增。
导数与函数的单调性(含参-导函数为二次函数型)
一、导数与函数的单调性
一、导数与函数的单调性
二、经典例题ຫໍສະໝຸດ 答案解析二、经典例题
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二、经典例题
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二、经典例题
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二、经典例题
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二、经典例题
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二、经典例题
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三、课后练习
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三、课后练习
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三、课后练习
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知识总结
导数二次型常见题型以及需要注意的事项： 题型一：求参数范围方法：①分离参数 ②根据二次函数根的分布求解
注意事项：①关注参数临界值。②审题注意“恒成立”“存在”的差异 题型二：讨论参数范围求解函数性质（单调性、最值性、极值性）
注意事项：①步骤得分 ②逻辑条理
课后总结
1、本节课的主讲内容是： 2、学生的学习状态（收获与不足） 3、针对学生的不足之处，老师的一个合理化建议是什么
高中数学二次函数知识点总结
二次函数知识点和常见题型一.二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbx ax y ++=2（2）顶点式nm x a y ++=2)(（3）两根式))((21x x x x a y --=1若()2f x x bx c =++，且()10f =，()30f =，求()1f -的值．变式1：若二次函数()2f x ax bx c =++的图像的顶点坐标为()2,1-，与y 轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11a b c ==-=-B．3,12,11ab c ===C．3,6,11a b c ==-=D．3,12,11a b c ==-=变式2：若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数()2f x ax bx c=++的图像与x 轴有两个不同的交点()1,0A x 、()2,0B x 且2212269x x +=，试问该二次函数的图像由()()231fx x =--的图像向上平移几个单位得到？二．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)有如下性质：（1）顶点坐标24(,)24b ac b a a --；对称轴2b x a=-；（2）若a>0，且△=b 2-4ac≤0，那么f (x)≥0，2bx a=-时，2min4()4ac b f x a-=；（3）若a>0，且f (x)≥0，那么△≤0；（4）若a>0，且存在x 0∈(-∞，+∞)，使得f (x 0)≤0，那么△≥0;若a<0，有与性质2、3、4类似的性质2将函数()2361f x x x =--+配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数()2f x ax bx c=++，如果()()12fx fx =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．2b a -B．ba-C．cD．244ac b a -变式2：函数()2fx xp x q=++对任意的x 均有()()11fxfx+=-，那么()0f 、()1f-、()1f的大小关系是（）A．()()()110f f f<-<B．()()()011fff<-<C．()()()101f ff<<-D．()()()101f f f -<<y变式3：已知函数()2fx a x b x c=++的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c 有关的正确命题_________．三．二次函数的单调性：当0>a ，x ∈(－∞，－b 2a ]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增当0<a ，x∈(－∞，－b2a ]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减3.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x的单调区间；(2)求()fx ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()242fx x a x =++在区间(),6-∞内单调递减，则a 的取值范围是()A．3a ≥B．3a≤C．3a<-D．3a≤-变式2：已知函数()()215fx x a x =--+在区间(12,1)上为增函数，那么()2f 的取值范围是_________．变式3：已知函数()2f x x k x=-+在[2,4]上是单调函数，求实数k 的取值范围．四．二次函数在给定区间的最值设()()02>++=a c bx axx f，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：ab n m 2-<<n abm <-<2即[]n m ab,2∈-n m ab<<-2()()()()n f x f m f x f ==min max ()()(){}()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,maxminmax ()()()()m f x f n f x f ==min max 对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min（2）若[]nmab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,maxmax =，()()(){}n f m f x f ,minmin=另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．4.已知函数()22f x x x =-，()()22[2,4]g x x x x =-∈：(1)求()f x ，()g x 的单调区间；(2)求()f x ，()g x 的最小值．变式1：已知函数()223fx xx =-+在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是A．[)1,+∞B．[]0,2C．[]1,2D．(),2-∞变式2：若函数234y x=-+的最大值为M，最小值为m，则M +m 的值等于________．变式3：已知函数()224422fx x a x a a =-+-+在区间[0,2]上的最小值为3，求a 的值．变式4：求二次函数2()26f x x x =-+在下列定义域上的值域：(1)定义域为{}03x Z x ∈≤≤；(2)定义域为[]2,1-．变式5：函数()2()2622f x x x x =-+-<<的值域是A．3220,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．()20,4-C．920,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D．920,2⎛⎫- ⎪⎝⎭变式6：函数y=cos2x+sinx 的值域是__________．变式7：已知二次函数f (x)=a x 2+bx（a、b 为常数，且a ≠0），满足条件f (1+x)=f (1－x)，且方程f (x)=x 有等根．(1)求f (x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m <n），使f (x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n 的值，如果不存在，说明理由．五.奇偶性：b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()()1f x x x =+．画出函数()f x 的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数()()()22111fx m x mx =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．变式3：设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．(I)讨论)(x f 的奇偶性；(II)求)(x f 的最小值．六．图像变换：已知2243,30()33,0165,16x x x f x x x x x x ⎧++-≤<⎪=-+≤<⎨⎪-+-≤≤⎩．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223y x x =-++的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2R x b ax xx f ∈+-=．给下列命题：①)(x f 必是偶函数；②当)2()0(f f =时，)(x f 的图像必关于直线x=1对称；③若02≤-b a ，则)(x f 在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(x f 有最大值||2b a-．其中正确的序号是___③变式3：设函数,||)(c bx x x x f ++=给出下列4个命题：①当c=0时，)(x f y =是奇函数；②当b=0，c>0时，方程0)(=x f 只有一个实根；③)(x f y =的图象关于点（0，c）对称；④方程0)(=x f 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为————．七.恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
高中数学知识点：基本初等函数的单调性
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1．正比例函数(0)y kx k =≠
当k>0时，函数y kx =在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx =在定义域R 是减函数.
2．一次函数(0)y kx b k =+≠
当k>0时，函数y kx b =+在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx b =+在定义域R 是减函数.
3．反比例函数(0)k y k x =≠
当0k >时，函数k y x =的单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调增区间；
当0k <时，函数k y x
=的单调递增区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调减区间.
4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠
若a>0，在区间(]2b a -∞-
，，函数是减函数；在区间[)2b a -∞，+，函数是增函数；
若a<0，在区间(]2b a -∞-
，，函数是增函数；在区间[)2b a -∞，+，函数是减函数．。