人教版七年级下数学第五章 相交线与平行线 知识点+考点+典型例题
第五章相交线与平行线【知识要点】1.两直线相交2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角（1）定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。
（2）对顶角的性质：对顶角相等。
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b 是平行线，可记作“a∥b”7．平行公理及推论（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
注：（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
9．平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）10．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；补充：（5）平行的定义；（在同一平面内）（6）在同一平面内．．．．．．，垂直于同一直线的两直线平行。
11.平移的定义及特征定义：将一个图形向某个方向平行移动，叫做图形的平移。
特征：①平移前后的两个图形形状、大小完全一样；②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。
【典型例题】考点一：对相关概念的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等例1：判断下列说法的正误。
（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）邻补角互补；（4）互补的角是邻补角；（5）同位角相等；（6）内错角相等；（7） 同旁内角互补；（8） 直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离； （9） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （10） 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （11） 两直线不相交就平行；（12） 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
练习：下列说法正确的是（ ）A 、相等的角是对顶角B 、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离C 、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。
D 、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 考点二：相关推理（识记）（1）∵a ∥c ，b ∥c （已知） ∴______ ∥______（ ） （2）∵∠1=∠2，∠2=∠3（已知） ∴______ =______（ ） （3）∵∠1+∠2=180°，∠2=30°（已知） ∴∠1=______（ ） （4）∵∠1+∠2=90°，∠2=22°（已知） ∴∠1=______（ ） （5）如图（1），∵∠AOC=55°（已知） ∴∠BOD=______（ ） （6）如图（1），∵∠AOC=55°（已知） ∴∠BOC=______（ ） （7）如图（1），∵∠AOC=21∠AOD ，∠AOC+∠AOD=180°（已知） ∴∠BOC=______（ ）（1） （2） （3） （4） （8）如图（2），∵a ⊥b （已知） ∴∠1=______（ ） （9）如图（2），∵∠1=______（已知） ∴a ⊥b （ ）（10）如图（3），∵点C 为线段AB 的中点 ∴AC=______（ ） (11) 如图（3），∵ AC=BC ∴点C 为线段AB 的中点（ ） （12）如图（4），∵a ∥b （已知） ∴∠1=∠2（ ） （13）如图（4），∵a ∥b （已知） ∴∠1=∠3（ ） （14）如图（4），∵a ∥b （已知） ∴∠1+∠4= （ ） （15）如图（4），∵∠1=∠2（已知） ∴a ∥b （ ） （16）如图（4），∵∠1=∠3（已知） ∴a ∥b （ ） （17）如图（4），∵∠1+∠4= （已知） ∴a ∥b （ ） 考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算例题1：如图5－1，直线AB 、CD 相交于点O ，对顶角有_________对，它们分别是_________，∠AODab 11 2 34ab...ACB的邻补角是_________。
例题2：如图5－2，直线l 1，l 2和l 3相交构成8个角，已知∠1=∠5，那么，∠5是_________的对顶角，与∠5相等的角有∠1、_________，与∠5互补的角有_________。
例题3：如图5－3，直线AB 、CD 相交于点O ，射线OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE=30°，则∠AOE 为_________。
图5－1 图5－2 图5－3 考点四：同位角、内错角、同旁内角的识别例题1：如图2-44，∠1和∠4是AB 、 DC 被 BE 所截得的 同位 角，∠3和∠5是 AB 、 BC 被 AC 所截得的 同旁内 角，∠2和∠5是 AB 、 DC 被AC 所截得的 内错 角，AC 、BC 被AB 所截得的同旁内角是 ∠4和∠5 . 例题2：如图2-45，AB 、DC 被BD 所截得的内错角是 ∠1和∠5 ，AB 、CD 被AC 所截是的内错角是 ∠8和∠4 ，AD 、BC 被BD 所截得的内错角是 ∠6和∠2 ，AD 、BC 被AC 所截得的内错角是 ∠7和∠3 。
例题3：如图1－26所示．AE ∥BD ，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C ．考点五：平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练）例题1：如图9,已知DF ∥AC,∠C=∠D,要证∠AMB=∠2,请完善证明过程,•并在括号内填上相应依据: ∵DF ∥AC(已知),∴∠D=∠1( ) ∵∠C=∠D(已知),∴∠1=∠C( •)2D FMEN∴DB ∥EC( ) ∴∠AMB=∠2( )例题2：如图，直线AB 、CD 被直线EF 所截，∠AEF +∠CFE =180°，∠1=∠2，则图中的∠H 与∠G 相等吗？说明你的理由.考点六：特殊平行线相关结论例题1：已知，如图：AB//CD,试探究下列各图形中的关系BPD D B ∠∠∠,,.考点七：探究、操作题例题：（2007年·福州中考）（阅读理解题）直线AC∥BD，连结AB ，直线AC,BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA,PB ，构成∠PAC，∠APB，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角．） （1）当动点P 落在第①部分时，求证：∠APB =∠PAC +∠PBD；（2）当动点P 落在第②部分时，∠APB =∠PAC +∠PBD 是否成立（直接回答成立或不成立）？AB CDP(1)ABC DP (2)ABCDP (3)ABCP(4)A1BC DEFGH（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．练习：1.（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？考点八：图形的平移（作图、计算平移后面积等）在下图中画出原图形向右移动6个单位，再向下移动2个单位后得到的图形，并求出该图形的面积。
【配套练习】1、如图，要把角钢（1）弯成120°的钢架（2），则在角钢（1）上截去的缺口是_60°____度。
第1题 第2题 第3题 第4题2．（2009年崇左）如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（115° ） 3．（2009年新疆）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（ 20° ）4. (2009年金华市)如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o ，那么∠2的度数是（ 58° ）5. (2009年营口市)如图，将直尺与三角尺叠放在一起，在图中标记的所有角中，与∠2互余的角是∠1和∠3 ．第5题 第6题6．光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜 AB 和CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4。
若已知∠1=55°，∠3=75°，那么∠2等于（ 65° ）7.如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，求∠1+∠2的度数。
8.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ D ）A 、115°B 、120°C 、145°D 、135 9、（2011•天水）如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a 、b 中的直线b 上，如果∠1=40°，则∠2的度数是（D ）A 、30°B 、45°C 、40°D 、50°1 A EDCBF21 1 23123 45 6123456a ABCD第8题 第9题 第10题 第11题10、（2011•泰安）如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ A ）A 、25°B 、30°C 、20°D 、35° 11、（2011•江汉区）如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC=46°，∠CEF=154°，则∠BCE 等于（ C ） A 、23° B 、16° C 、20° D 、26° 12、（2011•恩施州）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ B ）A 、43°B 、47°C 、30°D 、60° 第12题 第13题13、如图，已知l1∥l2，MN 分别和直线l1、l2交于点A 、B ，ME 分别和直线l1、l2交于点C 、D ，点P 在MN 上（P 点与A 、B 、M 三点不重合）．（1）如果点P 在A 、B 两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系请说明理由； （2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系（只须写出结论）．15、实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.(1)如图,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠2= °，∠3= °.(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °.(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜a 上的光线m ,经过平面镜a 、b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行.你能说明理由吗?16.潜望镜中的两个镜子MN 和PQ 是互相平行的，如图所示，光线AB 经镜面反射后，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明，进入的光线AB 与射出的光线CD 平行吗？为什么？17.如图（6），DE ⊥AB ，EF ∥AC ，∠A=35°，求∠DEF 的度数。
相交线与平行线(常考考点专题)(基础篇)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识讲练(人教版)
专题5.19 相交线与平行线（常考考点专题)（基础篇）（专项练习）一、单选题【考点一】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼对顶角✮✮邻补角1．如图所示，∠1和∠2一定相等的是（）A．B．C．D．2．下列四个图中，1∠互为邻补角的是（）∠与2A．B．C．D．【考点二】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼垂直✮✮垂线段3．如图，直线AB，CD相交于点O，EO∠CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A．26°B．36°C．44°D．54°4．如图，90∠=︒，点B到线段AC的距离指的是下列哪条线段的长度（）AA ．AB B ．BC C ．BD D ．AD【考点三】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼同位角✮✮内错角✮✮同旁内角 5．图中1∠与2∠是同位角的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，下列判断正确的是（ ）A ．3∠与6∠是同旁内角B ．2∠与4∠是同位角C ．1∠与6∠是对顶角D ．5∠与3∠是内错角【考点四】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼点与直线距离✮✮平行线之间距离7．如图，P 为直线l 外一点，A ，B ，C 在l 上，且PB ∠l ，下列说法中，正确的个数是（ ）∠P A ，PB ，PC 三条线段中，PB 最短；∠线段PB 叫做点P 到直线l 的距离；∠线段AB 的长是点A 到PB 的距离；∠线段AC 的长是点A 到PC 的距离．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，12l l ∥，AB CD ∥，2CE l ⊥，2FG l ⊥．则下列结论正确的是（ ）．A ．A 与B 之间的距离就是线段ABB ．AB 与CD 之间的距离就是线段AC 的长度C ．1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度D ．1l 与2l 之间的距离就是线段CD 的长度【考点五】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼垂线画法✮✮平行线画法9．下列选项中，过点P 画AB 的垂线CD ，三角尺放法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知三角形ABC ，过AC 的中点D 作AB 的平行线，根据语句作图正确的是（ ）A．B．C．D．【考点六】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼平移11．下列平移作图不正确的是（）A．B．C．D．12．将如图图案剪成若干小块，再分别平移后能够得到∠，∠，∠中的（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点七】相交线与平行线➽➼➵公理➻➼垂线段公理✮✮平行线公理13．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD l 于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是（）A ．两点确定一条直线B ．两点之间，直线最短C ．两点之间，线段最短D ．垂线段最短14．下列说法中，正确的是（ ）∠两点之间的所有连线中，线段最短；∠过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；∠平行于同一直线的两条直线互相平行；∠直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠【考点八】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定15．如图，下面哪个条件不能判断EF DC 的是（ ）A ．12∠=∠B ．4C ∠=∠ C ．13180∠+∠=︒D ．3180C ∠+∠=︒16．如图，下列结论不成立的是（ ）A ．如果∠1＝∠3，那么AB CD ∥B ．如果∠2＝∠4，那么AC BD ∥C ．如果∠1+∠2+∠C ＝180°，那么AB CD ∥D ．如果∠4＝∠5，那么AC BD ∥17．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（ ） A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥B ．若a b ⊥，b //c ，则a //cC ．若a //b ，b //c ，则a c ⊥D ．若a //b ，b //c ，则a //c18．如图，将木条a ，b 与c 钉在一起，170=︒∠，250∠=︒，要使木条a 与b 平行，木条a 需顺时针旋转的最小度数是（ ）A ．10︒B ．20︒C ．50︒D ．70︒【考点九】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质19．将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若155∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒20．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC DE ∥．则BAE ∠的度数为( )A ．85︒B ．75︒C ．65︒D ．55︒【考点十】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼探究角的关系 21．如图，将一直角三角板与两边平行的纸条，如图所示放置，下列结论（1）12∠=∠；（2）34∠∠=；（3）2+4=90∠∠︒；（4）5290∠-∠=︒，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ，延长DE 至点F ，连接BE ，若∠A ＝∠C ，∠1＝∠3，∠AEF ＝2∠2，则下列结论正确的是（ ）∠∠1＝∠2 ∠AB CD ∠∠AED ＝∠A ∠CD ∠DEA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点十一】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼求角的大小 23．如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a b ，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）A ．50°B ．100°C ．120°D ．130°24．如图，AB CD ∥，AE 平分CAB ∠交CD 于点E ．若50C ∠=︒，则AEC ∠的大小为（ ）A ．55︒B ．65︒C ．70︒D ．80︒【考点十二】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼求角的大小 25．如图，AB CD ，则123∠+∠+∠等于（ ）A ．90︒B ．180︒C ．210︒D ．270︒26．如图，已知4490AB CD BAE E ∠=︒∠=︒∥，，，点P 在CD 上，那么EPD ∠的度数是（ ）．A ．44°B ．46°C ．54°D ．不能确定．【考点十三】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼证明 27．如图，给出下列条件．∠3=4∠∠；∠12∠=∠；∠4180BCD ∠+∠=︒，且4D ∠=∠；∠35180∠+∠=︒其中，能推出AD BC ∥的条作为（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠28．如图，若∠1=∠2，DE BC ∥，则∠FG DC ∥；∠∠AED =∠ACB ；∠CD 平分∠ACB ；∠∠1+∠B = 90°；∠∠BFG =∠BDC ，其中正确的结论是（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠【考点十四】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼应用29．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）A ．第一次向左拐 30︒，第二次向右拐 30︒B ．第一次向左拐 45︒，第二次向右拐 135︒C ．第一次向左拐 60︒，第二次向右拐 120︒D ．第一次向左拐 53︒，第二次向左拐 127︒30．如图，小刀的刀片上下是平行的，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一个小半圆，则12∠+∠的度数为（ ）A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．不能确定【考点十五】定理、命题与证明➽➼➵命题的真假✮✮逆命题31．下列选项中，可以用来证明命题“若a >b ，则|a |>|b |”是假命题的反例是（ ）A ．a =1，b =0B ．a =-1，b =2C ．a =-2，b =1D ．a =1，b =-332．下列命题都是真命题，其中逆命题也正确的是（ ）A ．若a b =，则22a b =B ．若a b >，则22a b >C ．若a b <，则22a b <D ．若a b =±，则22a b =【考点十六】定理、命题与证明➽➼➵命题与证明✮✮互逆定理33．下列说法正确的是（）A．命题是定理，定理是命题B．命题不一定是定理，定理不一定是命题C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理D．定理可能是真命题，也可能是假命题34．下列定理中，没有逆定理的是（）A．两直线平行，同位角相等B．全等三角形的对应边相等C．全等三角形的对应角相等D．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上【考点十七】平移➽➼➵性质35．如图，将周长为8的∠ABC沿BC方向平移1个单位得到∠DEF，则四边形ABFD 的周长为（）A．6B．8C．10D．1236．如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．90°D．130°【考点十八】平移➽➼➵应用37．如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台阶上铺上一块红地毯，则这块红地毯至少需要（）A．23平方米B．90平方米C．130平方米D．120平方米38．如图所示，在长为50米，宽为40米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为1米，其他部分均种植花草，则道路的面积是（）A．50平方米B．40平方米C．90平方米D．89平方米二、填空题【考点一】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼对顶角✮✮邻补角39．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝_______．40．如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为____________，那么这两个角互为邻补角．图中∠1的邻补角有___________．【考点二】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼垂直✮✮垂线段41．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ∠AB 于点O ，∠EOD =50°，则∠BOC 的度数为_____．42．如图，ABC 中，CD AB ⊥，M 是AD 上的点，连接CM ，其中AC =10cm ，CM =8cm ，CD =6cm ，CB =8cm ，则点C 到边AB 所在直线的距离是__________cm ．【考点三】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼同位角✮✮内错角✮✮同旁内角43．如图，∠2的同旁内角是_____．44．如图：与FDB ∠成内错角的是______；与DFB ∠成同旁内角的是______．【考点四】相交线与平行线➽➼➵定义➻➼点与直线距离✮✮平行线之间距离45．如图，AD BC ∥，6BC =，且三角形ABC 的面积为12，则点C 到AD 的距离为________．46．已知A ，B ，C 三地位置如图所示，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，则A 到BC 距离是______．若A 地在C 地的正东方向，则B 地在C 地的______方向．【考点五】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼垂线画法✮✮平行线画法47．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∠CD ，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤：∠沿三角尺的边作出直线CD ；∠用直尺紧靠三角尺的另一条边；∠作直线AB ，并用三角尺的一条边贴住直线AB ；∠沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：_____．48．如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB 上的平面镜CD ，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD 与地面AB 所成的角∠CDA 的度数是_____．【考点六】相交线与平行线➽➼➵作图➻➼平移49．作图题：将如图的三角形ABC先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形DEF．观察线段AB与DE的关系是_____．50．在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形变换称为平移,如图,将网格中的三条线段沿网格线的方向(水平或垂直)平移后组成一个首尾依次相接的三角形,则至少需要移动____格.【考点七】相交线与平行线➽➼➵公理➻➼垂线段公理✮✮平行线公理51．如图，点B，C在直线l上，且BC＝6cm，△ABC的面积为18cm2．若P是直线l 上任意一点，连接AP，则线段AP的最小长度为_____cm．52．a、b、c是直线，且a∠b，b∠c，则________ ．【考点八】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定53．如图，点E在AC的延长线上，若要使AB CD，则需添加条件_______（写出一种即可）54．如图所示，请你写出一个条件使得12l l ∥，你写的条件是______．55．如图，∠1=30°，AB ∠AC ，要使AD BC ∥，需再添加的一个条件是____________．（要求：添加这个条件后，其它条件也必不可少，才能推出结论）56．如图，请你添加一个条件______，可以得到DE AC ∥．【考点九】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质57．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，DF ∥AB ，DF 交AC 于点F ，图中∠1与∠2的关系是_________．58．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，若50AEG ∠=︒，则EFG ∠=______°．【考点十】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼探究角的关系59．如图，已知AB DE ∥，且∠C =110°，则∠1与∠2的数量关系为__________________ .60．如图，已知AB ∠CD ，请直接写出下面图形中∠APC 和∠P AB 、∠PCD 之间的数量关系式_____．【考点十一】相交线与平行线➽➼➵平行线的性质➻➼求角的大小61．如图，39AB CD AED ∠=︒∥，，C ∠和D ∠互余，则B ∠的度数为___________．62．将一个含有45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个45°角的顶点落在直线a 上，含90°角的顶点落在直线b 上.若a//b ，∠2=∠15°，则∠3的度数为___________°【考点十二】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼求角的大小 63．如图，已知1100∠=︒，2100∠=︒，370∠=︒，则4∠=______．64．如图，直线 l 1∠l 2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____．【考点十三】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼证明65．如图，已知GF ∠AB ，∠1=∠2，∠B =∠AGH ，则以下结论：∠GH BC ；∠∠D ＝∠F ；∠HE 平分∠AHG ；∠HE ∠AB ．其中正确的有_____（只填序号）66．将一副三角板按如图放置，则下列结论：∠如果∠2=30°．则AC ∥DE ；∠∠2+∠CAD =180°；∠如果BC ∥AD ，则有∠2=60°；∠如果∠CAD =150°，必有∠4=∠C ；其中正确的结论有____________．【考点十四】相交线与平行线➽➼➵平行线的判定与性质➻➼应用67．如图，为某校放置在水平操场上的篮球架的横截面图形，初始状态时，篮球架的横梁EF 平行于AB ，主柱AD 垂直于地面，EF 与上拉杆CF 形成的角度为F ∠，且150F ∠=︒，这一篮球架可以通过调整CF 和后拉杆BC 的位置来调整篮筐的高度．在调整EF 的高度时，为使EF 和AB 平行，需要改变EFC ∠和C ∠的度数，调整EF 使其上升到GH 的位置，此时，GH 与AB 平行，35CDB ∠=︒，并且点H ，D ，B 在同一直线上，则H ∠为______度．68．下图（1）是某学校办公楼楼梯拐角处，从图片抽象出图（2）的几何图形，已知AB GH IJ CD ∥∥∥，AE BF ∥，EC FD ∥，DC EC ⊥，65B ∠=︒，则∠AEC 的度数为______．【考点十五】定理、命题与证明➽➼➵命题的真假✮✮逆命题69．命题“若a b =，那么a b =”的逆命题是：_____；该逆命题是一个 _____命题（填真或假）．70．甲：“我没有偷”；乙：“丙是小偷”；丙：“丁是小偷”；丁：“我没有偷”．若四个人里面只有一个人说了真话，则小偷是_____．【考点十六】定理、命题与证明➽➼➵命题与证明✮✮互逆定理71．如图所示，90AOB COD ︒∠=∠=，那么AOC ∠=________，依据是__________．72．如图所示，已知AB FE =，AD FC =，BC ED =．下列结论：∠A F ∠=∠；∠//AB EF ；∠//AD FC ．其中正确的结论是________．（填序号）【考点十七】平移➽➼➵性质73．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m ，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 _____m ．74．用等腰直角三角板画45AOB ∠=，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为______．【考点十八】平移➽➼➵应用 75．如图，有一块长为a 米，宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草地的面积为122米，则=a ______．76．如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价160元，主楼梯道宽2.5m ，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元．三、解答题77．如图：已知AO BC ⊥，DO OE ⊥，B ，O ，C 在同一条直线上.(1) AOE ∠的余角是_________，∠BOE 的补角是_________.(2) 如果35AOD ∠=︒，求∠BOE 的度数.(3) 找出图中所有相等的角（除直角外），并对其中一对相等的角说明理由.78．如图，点G 在CD 上，已知180BAG AGD ∠+∠=︒，EA 平分BAG ∠，FG 平分AGC ∠．请说明AE GF ∥的理由．解：因为180BAG AGD ∠+∠=︒(已知)，180AGC AGD ∠+∠=︒(______)，所以BAG AGC ∠=∠(______)． 因为EA 平分BAG ∠， 所以112BAG ∠=∠(______)． 因为FG 平分AGC ∠， 所以122∠=______， 得12∠=∠(等量代换)， 所以______(______)．79．把下面的证明过程补充完整： 已知：如图，12180∠+∠=︒，C D ∠=∠． 求证：A F ∠=∠．证明：∠12180∠+∠=︒（已知）， ∠BD ∥_________（ ）， ∠C ABD ∠=∠（ ）， ∠C D ∠=∠（ ）， ∠D ∠=∠_________（ ）， ∠AC DF ∥（ ）， ∠A F ∠=∠（ ）．80．在如图所示的网格图(每个小网格都是边长为1个单位长度的小正方形)中，P，A ∠的边OB，OC上的两点．分别是BOC(1) 将线段OP向右平移，使点O与点A重合，画出线段OP平移后的线段'AP，连接PP'，并写出相等的线段；∠相等的角；(2) 在（1）的条件下，直接写出与BOC(3) 请在射线OC上找出一点D，使点P与点D的距离最短，并写出依据．参考答案1．D【分析】根据对顶角，邻补角的定义逐一判断即可．解：选项A中∠1和∠2为邻补角，不一定相等．选项B中∠1和∠2为两个不同的角，不一定相等．选项C中∠1和∠2为两个不同的角，不一定相等．选项D中∠1和∠2为对顶角，一定相等．故选D．【点拨】本题考查的是对顶角，邻补角的定义，熟练掌握对顶角，邻补角的定义是解决问题的关键．2．D【分析】根据邻补角的定义作出判断即可．解：根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是．故选：D．【点拨】本题考查了邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．3．B【分析】根据垂直的定义可得90COE ∠=︒，根据平角的定义即可求解． 解： EO ∠CD ，90COE ∴∠=︒，12180COE ∠+∠+∠=︒， 2180905436∴∠=︒-︒-︒=︒． 故选：B ．【点拨】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键． 4．A【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．根据定义直接可得答案．解：∠90,A ∠=︒∠BA AC ⊥，点B 到线段AC 的距离指线段AB 的长， 故选：A ．【点拨】本题主要考查了点到直线的距离的概念．点到直线的距离是是垂线段的长度，而不是垂线段．5．B【分析】根据同位角的定义作答．解：第1个图和第4个图中的1∠与2∠是同位角，有2个， 故选：B ．【点拨】本题考查了同位角的识别，两条直线被第三条直线所截，在截线的同侧，在两条被截直线的同旁的两个角是同位角．如果两个角是同位角，那么它们一定有一条边在同一条直线上．6．A【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和对顶角的概念解答即可． 解：A 、3∠与6∠是同旁内角，故本选项符合题意； B 、2∠与4∠不是同位角，故本选项不合题意； C 、1∠与6∠不是对顶角，故本选项不合题意； D 、5∠与3∠不是内错角，故本选项不合题意；故选：A．【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角．7．B【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．逐一判断．解：∠线段BP是点P到直线l的垂线段，根据垂线段最短可知，P A，PB，PC三条线段中，PB最短；故原说法正确；∠线段BP是点P到直线l的垂线段，故线段BP的长度叫做点P到直线l的距离，故原说法错误；∠线段AB是点A到直线PB的垂线段，故线段AB的长度叫做点P到直线l的距离，故故原说法正确；∠由题意及图形无法判断线段AC的长是点A到PC的距离，故原说法错误；综上所述，正确的说法有∠∠；故选：B．【点拨】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．垂线的两条性质：∠从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．∠从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．8．C【分析】根据两点间的距离和平行线间的距离的性质逐项判断即可．解：A、A与B之间的距离就是线段AB的长度，不符合题意，故本项错误；B、AB与CD之间的距离就是线段HI的长度，不符合题意，故本项错误；C 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度，符合题意，故本项正确；D 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 或GF 的长度，不符合题意，故本项错误． 故答案为：C ．【点拨】本题考查了两点间的距离和平行线间的距离的性质，解决本题的关键是掌握以上基本的性质．9．C【分析】根据P 点在CD 上，CD ∠AB 进行判断．解：过点P 画AB 的垂线CD ，则P 点在CD 上，CD ∠AB ，所以三角尺放法正确的为故选：C ．【点拨】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（过一点画已知直线的垂线）是解决问题的关键．10．B【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 解：过AC 的中点D 作AB 的平行线， 正确的图形是选项B ， 故选：B ．【点拨】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．C【分析】根据平移的概念作选择即可．解：A、B、D符合平移变换，C是轴对称变换．故选：C．【点拨】本题考查了平移的概念，掌握好平移的概念是本题的关键．12．C【分析】根据图形进行剪切拼接可得图形．解：根据左边图形可剪成若干小块，再进行拼接平移后能够得到∠，∠，不能拼成∠，故选C．【点拨】此题主要考查了图形的平移，通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．13．D【分析】根据垂线段最短解答即可．⊥于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学解：过点C作CD l道理是：垂线段最短．故选D．【点拨】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段性质是解答本题的关键．从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．14．B【分析】根据线段的性质公理判断∠；根据垂线的性质判断∠；根据平行公理的推论判断∠；根据点到直线的距离的定义判断∠．解：∠两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；∠在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法错误；∠平行于同一直线的两条直线互相平行，说法正确；∠直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误．故选：B．【点拨】本题考查了线段的性质公理，垂线的性质，平行公理的推论，点到直线的距离的定义，是基础知识，需熟练掌握．15．C【分析】由平行线的判定定理求解判断即可．∠=∠，根据内错角相等，两直线平行可判定EF DC，故A不符合题意；解：A．由12B ．由4C ∠=∠，根据同位角相等，两直线平行可判定EF DC ，故B 不符合题意； C ．由13180∠+∠=︒，根据同旁内角互补，两直线平行可判定ED BC ∥，不能判定EF DC ，故C 符合题意；D ．由3180C ∠+∠=︒，根据同旁内角互补，两直线平行可判定EF DC ，故D 不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟练掌握“内错角相等，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．16．D【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．解：A ．如果∠1＝∠3，那么能得到AB CD ∥，故本选项结论成立，不符合题意． B ．如果∠2＝∠4，那么能得到AC BD ∥，故本选项结论成立，不符合题意． C ．如果∠1+∠2+∠C ＝180°，能得到AB CD ∥，故本选项结论成立，不符合题意． D ．如果∠4＝∠5，那么不能得到AC BD ∥，故本选项结论不成立，符合题意． 故选：D ．【点拨】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 17．D【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理的推论判断求解即可． 解：若a ∠b ，b ∠c ，则a ∠c ，故A 错误，不符合题意； 若a ∠b ，b ∠c ，则a ∠c ，故B 错误，不符合题意； 若a ∠b ，b ∠c ，则a ∠c ，故C 错误，不符合题意； 若a ∠b ，b ∠c ，则a ∠c ，故D 正确，符合题意； 故选：D ．【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．18．B【分析】要使木条a 与b 平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a 至少旋转的度数． 解：∠当木条a 与b 平行， ∠∠1=∠2， ∠∠1需变为50°，∠木条a 至少旋转：70º-50º=20º， 故选：B ．【点拨】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：∠两直线平行同位角相等；∠两直线平行内错角相等；∠两直线平行同旁内角互补；∠夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角．19．A【分析】根据题意得到,90ACB AB CD ∠=︒∥，推出1,2ACE BCD ∠=∠∠=∠，进而得到1290∠+∠=︒，即可求出2∠的度数．解：由题意得,90ACB AB CD ∠=︒∥， ∠1,2ACE BCD ∠=∠∠=∠， ∠18090ACE BCD ACB ∠+∠=︒-∠=︒ ∠1290∠+∠=︒ ∠155∠=︒ ∠235∠=︒， 故选：A ．【点拨】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．20．B【分析】先根据平行线的性质定理得120CAE ∠=︒，然后由已知得45BAC ∠=︒，再由BAE CAE BAC ∠=∠-∠即可得解．解：AC DE ∥，180E CAE ∴∠+∠=︒，由已知可知：60,45E BAC ∠=︒∠=︒， 180********CAE E ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 1204575BAE CAE BAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；故选：B．【点拨】此题考查了平行线的性质定理与直角三角板的知识，熟练掌握平行线的性质定理是解答此题的关键．21．D【分析】根据平行线的性质即可判断（1）（2），根据平角的定义即可判断（3），根据等量代换即可判断（4）．解：∠AB CD，∠123445180==+=︒∠∠，∠∠，∠∠，故（1）（2）正确∠90∠=︒，CAD∠2418090+=︒-=︒∠∠∠，故（3）正确，CAD∠521809090∠∠，故（4）正确；-=︒-︒=︒∠正确的有4个，故选D．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．22．C【分析】分别根据平行线的性质以及平行线的判定方法逐一判断即可．解：∠中，∠AE BC，∠∠3＝∠2，∠∠1＝∠3，∠∠1＝∠2，∠∠正确∠中，∠AE BC，∠∠A+∠B＝180°，∠∠A＝∠C，∠∠C+∠B＝180°，∠AB CD；∠∠正确∠中，∠AE BC，∠∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，∠∠1＝∠3，∠∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，∠∠AEF＝2∠2，∠∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，∠∠AEF+∠AED＝180°，∠∠AED＝∠A．∠∠正确∠无条件证明，所以不正确．∠结论正确的有∠∠∠共3个．故选：C．【点拨】此题考查了平行线的判定与性质以及多边形的内角和外角，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．23．D∠∠，再【分析】如图所示，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，可得3=1根据邻角互补即可得到答案．解：如图所示：a b，∠1=50°，∴∠=∠=︒，3150∠+∠=︒，23180∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，2180318050130故选：D．【点拨】本题考查求角度问题，涉及到平行线的性质及邻补角定义，熟练掌握相关定义是解决问题的关键．24．B【分析】根据平行线的性质得出130CAB ∠=︒，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可求解．解：∠AB CD ∥，∠180BAC C ∠+∠=︒，∠50C ∠=︒，∠130BAC ∠=︒， ∠AE 平分CAB ∠，∠1652BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒， ∠AB CD ∥，∠65AEC BAE ∠=∠=︒．故选B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．25．B【分析】过点E 作直线EF AB ∥，根据平行线的判定和性质，以及平角的定义即可得解． 解：过点E 作直线EF AB ∥，交BC 于点F ，则：3AEF ∠=∠，∠AB CD ，∠EF CD ，∠1DEF ∠=∠，∠12322180AEF DEF DEA ∠+∠+∠=∠++=+=︒∠∠∠∠；故选：B ．【点拨】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判断和性质是解题的关键．遇到拐点问题，通常过拐点作平行线来进行解题．26．B【分析】过点E 作HF //AB ，可证AB //HF //CD ，由平行线的性质可求∠BAE =∠AEH ，∠EPD =∠HEP ，由∠E =90°，由∠HEP =90°−∠AEH 可求解．解：如图，过点E 作HF //AB ，∠AB //CD ，HF //AB ，∠AB //HF //CD ，∠∠BAE =∠AEH ，∠HEP =∠EPD ，∠∠BAE =44°，∠E =90° ∠∠AEH =44°, ∠HEP =90°−∠AEH =90°−44°=46°,∠∠EPD =∠HEP =46°.故选：B.【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造平行线是本题的关键．27．C【分析】根据平行线的判定定理依次判断即可．解：∠∠34∠=∠，∠AD BC ∥，正确，符合题意；∠∠12∠=∠，∠AB CD ∥，（内错角相等，两直线平行），选项不符合题意；∠∠4180BCD ∠+∠=︒，4D ∠=∠，∠180D BCD ∠+∠=︒，∠AD BC ∥，正确，符合题意；∠∠3518045180∠+∠=︒∠+∠=︒，，∠3=4∠∠，由同位角相等，两直线平行可得AD BC ∥，正确，符合题意；故能推出AD BC ∥的条件为∠∠∠．故选C ．【点拨】题目主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．28．B【分析】根据平行线的性质和判定定理逐项分析判断∠∠∠，结合题意和图形判断∠∠，即可进行解答．∥，解：∠∠DE BC∠∠1=∠DCB，∠∠1=∠2，∠∠DCB=∠2，∥，∠FG DC故∠正确；∥，∠∠DE BC∠∠AED=∠ACB，故∠正确；∥，∠由∠可知：FG DC∠∠BFG=∠BDC，故∠正确，而CD不一定平分∠ACB，∠1+∠B不一定等于90°，故∠，∠错误；【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证．29．D【分析】根据题意画出图形，由图可知，第一次向左拐，要使最后行驶方向与原来相反，则第二次也要向左拐，再根据平行线的性质即可解答．解：如图，第一次向左拐，要使最后行驶方向与原来相反，则第二次也要向左拐，∠∠1+∠3=180°，∠2=∠3，∠∠1+∠2=180°，故选：D。
七年级(下)相交线与平行线知识点及典型例题
相交线与平行线知识点整理及测试题一、相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表:（一）（二）图形 （三）顶点（四）边的关系 （五）大小关系 对顶角>4/ 1 与/ 2有公共顶点/1的两边与 /2的两边互 为反向延长线对顶角相等即/ 1 = / 2 邻补角 / 3 与/4有公共顶点/ 3与/ 4有 一条边公共， 另一边互为反 向延长线。
/3+ /4=180° 、I ,、、八 1注意点:[1]顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果/a 与是对顶角，那么一定有/a =ZP ；反之如果/a = /B,那么/a 与不一定是对顶角⑶如果/a 与/B 互为邻补角，则一定有/a +/B =180°；反之如果/a + /^ =180°则/a 与/B 不一定是邻补角。
[4]两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
练习:3. 如图1-2，若/ AOBW / B0C 是一对邻补角,0D 平分/ AOB 0E 在/ B0C 内部，1并且/ B0E 丄 / C0E / D0E 72°。
2求/ C0E 的度数。
1.如图所示,/ 1和/ 2是对顶角的图形有（）A.1个B.2个C.3 个D.4 个 2 .如图1-1，直线AB CD EF 都经过点0,图中有几对对顶角？（图 1-2）做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
D符号语言记作：如图所示：AB 丄CD ，垂足为0⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
3、垂线的画法：⑴过直线上一点画已知直线的垂线； ⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；② 过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
人教版初中七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典习题(含答案解析)(2)
一、选择题1．如图，//AB CD ，EC 分别交,AB CD 于点,F C ，链接DF ，点G 是线段CD 上的点，连接FG ，若13∠=∠，24∠∠=，则结论① C D ∠=∠，②FG CD ⊥，③EC FD ⊥，正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③B解析：B【分析】 由平行线的性质和垂直的定义，逐个判断得结论．【详解】∵∠1=∠3，∠2=∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠1+∠4=90°，∴∠EFD=∠1+∠2=90°，∴EC ⊥FD ，故③正确；∵AB ∥CD ，∴∠1=∠C ，∴∠FGD=∠4+∠C=∠4+∠1=90°，∴FG ⊥CD ，故②正确；∵∠1不一定等于∠2，∴∠C≠∠D ，故①不正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质及垂直的定义，由相等的角和平角的定义得到互余的角是解决本题的关键．2．下列命题中是真命题的有（ ）①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行；④图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；A．1个B．2个C．3个D．4个B解析：B【分析】根据补角和邻补角的定义可判断①，根据平行公理可判断②，根据平行线的性质和判定可判断③，根据平移的性质可判断④，进而可得答案．【详解】解：两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，故命题①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故命题②是假命题；两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行，故命题③是真命题；图形B由图形A平移得到，则图形B与图形A中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等，故命题④是真命题．综上，真命题有2个．故选：B．【点睛】本题考查了真假命题、平行线的判定和性质以及平移的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．3．下列说法正确的是（）A．命题一定是正确的B．定理都是真命题C．不正确的判断就不是命题D．基本事实不一定是真命题B解析：B【分析】根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得．【详解】A、命题有真命题和假命题，此项说法错误；B、定理都是经过推论、论证的真命题，此项说法正确；C、不正确的判断是假命题，此项说法错误；D、基本事实是真命题，此项说法错误；故选：B．【点睛】本题考查了命题、真命题与假命题，熟练掌握理解各概念是解题关键．4．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．①④C解析：C【分析】 根据同位角的定义逐一判断即得答案．【详解】图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2是同位角，图③中的∠1与∠2不是同位角，图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．故选：C ．【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．5．如图，A 是直线l 外一点，过点A 作AB l ⊥于点B ，在直线l 上取一点C ，连接AC ，使2AC AB =，P 在线段BC 上，连接AP ．若3AB =，则线段AP 的长不可能是（ ）A ．4B ．5C ．2D ．5.5C解析：C【分析】 根据题意计算出AC 的长度，由垂线段最短得出AP 的范围，选出AP 的长度不可能的选项即可．【详解】3AB =，26AC AB cm ∴==，结合垂线段最短，得：36AP ≤≤．故选：C ．【点睛】本题主要考查直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，熟记概念并求出对应线段的范围是解题关键．6．下面命题中是真命题的有（）①相等的角是对顶角②直角三角形两锐角互余③三角形内角和等于180°④两直线平行内错角相等A．1个B．2个C．3个D．4个C解析：C【分析】利用平行线的性质、三角形的内角和、直角三角形的性质、对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，故不符合题意；②直角三角形两锐角互余，故符合题意；③三角形内角和等于180°，故符合题意；④两直线平行内错角相等，故符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的性质及三角形的内角和等知识，难度不大．7．如图，直线a∥b，则∠A的度数是（）A．28°B．31°C．39°D．42°C解析：C【解析】试题分析：根据平行线的性质可得∠1=70°，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠A=70°-31°=39°.故选C.考点：平行线的性质8．如图是郝老师的某次行车路线，总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度120︒，第三次转过的角度135︒，则第二次拐弯的角度是（）A ．75︒B ．120︒C ．135︒D ．无法确定A解析：A【解析】 分析：根据两直线平行，内错角相等，得到∠BFD 的度数，进而得出∠CFD 的度数，再由三角形外角的性质即可得到结论．详解：如图，延长ED 交BC 于F ．∵DE ∥AB ，∴∠DFB =∠ABF =120°，∴∠CFD =60°．∵∠CDE =∠C +∠CFD ，∴∠C =∠CDE -∠CFD =135°－60°=75°．故选A ．点睛：本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质．解题的关键是理解题意，灵活应用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型．9．如图，一副直角三角板图示放置，点C 在DF 的延长线上，点A 在边EF 上，//AB CD ，90ACB EDF ∠=∠=︒，则CAF ∠=（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒B解析：B【分析】 根据平行线的性质可知，BAF=EFD=45∠∠ ，由BAC=30∠ 即可得出答案。
初中数学第五章 相交线与平行线知识点-+典型题附解析
初中数学第五章 相交线与平行线知识点-+典型题附解析一、选择题1．如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a//b ，若∠1=55°，则∠2等于（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．125°2．如图，直角三角形ABC 的直角边AB =6，BC =8，将直角三角形ABC 沿边BC 的方向平移到三角形DEF 的位置，DE 交AC 于点G ，BE =2，三角形CEG 的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC 平移的距离是4；②EG =4.5；③AD ∥CF ；④四边形ADFC 的面积为6．其中正确的结论是A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 3．如图，在ABC 中，//EF BC ，ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，则B 的度数为（ ）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°4．如图，已知AB ∥CD, EF ∥CD ，则下列结论中一定正确的是( )A ．∠BCD= ∠DCE;B ．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360︒;C ．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD;D ．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180︒.5．下列说法中正确的是（ ）A．两条射线组成的图形叫做角B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类C．射线就是直线D．两点之间的所有连线中，线段最短6．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( )A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠47．下列语句是命题的是 ( )（1）两点之间，线段最短；（2）如果两个角的和是180度，那么这两个角互补；（3）请画出两条互相平行的直线；（4）一个锐角与一个钝角互补吗?A．（1）（2）B．（3）（4）C．（2）（3）D．（1）（4）8．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容，则回答正确的是（）已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C，求证：AB∥CD证明：延长BE交__※__于点F，则∠BEC＝__⊙__+∠C又∵∠BEC＝∠B+∠C，∴∠B＝▲∴AB∥CD（__□__相等，两直线平行）A．⊙代表∠FEC B．□代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB 9．下列各命题中，属于假命题的是（）A．若0a b-＞，则a b＞B．若0a b-=，则0ab≥C．若0a b-＜，则a b＜D．若0a b-≠，则0ab≠10．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB∥CE，且∠ADC＝∠B：④AB∥CE，且∠BCD＝∠BAD．其中能推出BC∥AD的条件为（）A．①②B．②④C．②③D．②③④二、填空题11．如图，//AB CD，GF与AB相交于点H，与CD 于F，FE平分HFD∠，若50EHF ∠=︒，则HFE ∠的度数为______．12．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点,B D 重合，若固定三角形AOB ，将三角形ACD 绕点A 顺时针旋转一周，共有 _________次 出现三角形ACD 的一边与三角形AOB 的某一边平行．13．设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，（1）若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________；（2）若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________；（3）若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．14．如图，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，28HG cm =，5MG cm =，4MC cm =，则阴影部分的面积是___15．如图，直线a ∥b ∥c ，直角∠BAC 的顶点A 在直线b 上，两边分别与直线a ，c 相交于点B ，C ，则∠1＋∠2的度数是___________．16．如果一张长方形的纸条，如图所示折叠，那么∠α等于____．17．如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为_____．18．如图，AD ∥BC ，∠D=100°，CA 平分∠BCD ，则∠DAC=________度．19．如图，CB ∥OA ，∠B ＝∠A ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOC ＝∠AOC ，OE 平分∠BOF ，若平行移动AC ，当∠OCA 的度数为_____时，可以使∠OEB ＝∠OCA ．20．如图，直线////a b c ，直角三角板的直角顶点落在直线b 上，若135∠=︒，则2∠等于_______．三、解答题21．（感知）如图①，AB ∥CD ，点E 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、BE ，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC ；（探究）当点E 在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°； （应用）点E 、F 、G 在直线AB 与CD 之间，连结AE 、EF 、FG 和CG ，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.22．已知：直线l 分别交AB 、CD 与E 、F 两点，且AB ∥CD ．（1） 说明：∠1=∠2；（2） 如图2，点M 、N 在AB 、CD 之间，且在直线l 左侧，若∠EMN +∠FNM =260°， ①求：∠AEM +∠CFN 的度数；②如图3，若EP 平分∠AEM ，FP 平分∠CFN ，求∠P 的度数；（3） 如图4，∠2=80°，点G 在射线EB 上，点H 在AB 上方的直线l 上，点Q 是平面内一点，连接QG 、QH ，若∠AGQ =18°，∠FHQ =24°，直接写出∠GQH 的度数．23．问题情境：如图1，AB CD ，130PAB ∠=，120PCD ∠=．求 APC ∠ 度数． 小明的思路是：如图2，过 P 作 PE AB ，通过平行线性质，可得5060110APC ∠=+=．问题迁移：（1）如图3，AD BC ，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在 A 、 B 两点之间运动时，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．CPD ∠ 、 α∠ 、 β∠ 之间有何数量关系?请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点 P 在 A 、 B 两点外侧运动时（点 P 与点 A 、 B 、 O 三点不重合），请你直接写出 CPD ∠ 、 α∠ 、 β∠ 间的数量关系．24．问题情境：如图1，AB CD ∥，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是：如图2，过P 作PE AB ，通过平行线性质，可得APC ∠=______． 问题迁移：如图3，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．（1）当点P 在A 、B 两点之间运动时，CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系？请说明理由．（2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你直接写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系．25．将一副三角板中的两个直角顶点C 叠放在一起（如图①），其中30A ∠=︒，60B ∠=︒，45D E ∠=∠=︒.（1）猜想BCD ∠与ACE ∠的数量关系，并说明理由；（2）若3BCD ACE ∠=∠，求BCD ∠的度数；（3）若按住三角板ABC 不动，绕顶点C 转动三角DCE ，试探究BCD ∠等于多少度时//CE AB ，并简要说明理由.26．如图1，已知直线PQ ∥MN ，点A 在直线PQ 上，点C 、D 在直线MN 上，连接AC 、AD ，∠PAC ＝50°，∠ADC ＝30°，AE 平分∠PAD ，CE 平分∠ACD ，AE 与CE 相交于E ． （1）求∠AEC 的度数；（2）若将图1中的线段AD 沿MN 向右平移到A 1D 1如图2所示位置，此时A 1E 平分∠AA 1D 1，CE 平分∠ACD 1，A 1E 与CE 相交于E ，∠PAC ＝50°，∠A 1D 1C ＝30°，求∠A 1EC 的度数．（3）若将图1中的线段AD 沿MN 向左平移到A 1D 1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A 1EC 的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】试题分析：根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.考点：平行线的性质2．B解析：B【解析】分析：(1)对应线段的长度即是平移的距离；(2)根据EC 的长和△CEG 的面积求EG ；(3)平移前后，对应点的连线平行且相等；(4)根据平行四边形的面积公式求.详解：(1)因为点B ，E 是对应点，且BE ＝2，所以△ABC 平行的距离是2，则①错误； ②根据题意得，13.5×2＝(8－2)EG ，解得EG ＝4.5，则②正确；③因为A ，D 是对应点，C ，F 是对应点，所以AD ∥CF ，则③正确；④平行四边形ADFC 的面积为AB ·CF ＝AB ·BE ＝6×2＝12，则④错误.故选B .点睛：本题考查了平移的性质，平移的性质有：①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②平移得到的图形与原图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等.3．D解析：D【分析】由角平分线的定义求出∠BEF=140°，再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”求出∠B 的度数即可.【详解】∵ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，∴70DEB ∠=︒∴270140BEF ︒=∠=⨯︒∵//EF BC∴180B BEF ∠+∠=︒∴180********B BEF ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选D【点睛】此题主要考查了平行线的性质和角平分的性质，此题难度不大，注意掌握相关性质的运用4．D解析：D【解析】分析：根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.详解：延长DC 到H∵AB ∥CD ，EF ∥CD∴∠ABC+∠BCH=180°∠ABC=∠BCD∠CE+∠DCE=180°∠ECH=∠FEC∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°.故选D.点睛：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.5．D解析：D【解析】根据真假命题的概念，可知：A 、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误；B 、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，选项错误．C 、射线是直线的一部分，选项错误；D 、两点之间的所有连线中，线段最短，选项正确；故选：D ．6．C解析：C【解析】根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD ∥BC ，由∠1=∠4，得到AB∥CD.故选C.7．A解析：A【分析】根据命题的定义对四句话进行判断．【详解】解：（1）两点之间，线段最短，它是命题；（2）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，它是命题；（3）请画出两条互相平行的直线，它不是命题；（4）一个锐角与一个钝角互补吗？，它不是命题．所以，是命题的为（1）（2），故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成如果…那么…形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8．C解析：C【分析】延长BE交CD于点F，利用三角形外角的性质可得出∠BEC＝∠EFC+∠C，结合∠BEC＝∠B+∠C可得出∠B＝∠EFC，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AB∥CD，找出各符号代表的含义，再对照四个选项即可得出结论．【详解】证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C．又∵∠BEC＝∠B+∠C，∴∠B＝∠EFC，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．∴※代表CD，⊙代表∠EFC，▲代表∠EFC，□代表内错角．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质，利用各角之间的关系，找出∠B＝∠EFC 是解题的关键．9．D解析：D【分析】根据不等式的性质对各选项进行逐一判断即可．【详解】A、正确，符合不等式的性质；B、正确，符合不等式的性质．C、正确，符合不等式的性质；D、错误，例如a=2，b=0；故选D．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．10．D解析：D【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【详解】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC∥AD，符合题意；③∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；④∵AB∥CE，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；故能推出BC∥AD的条件为②③④．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．二、填空题11．65°【分析】由AB//CD可得∠HFD=130︒，再由FE平分∠HFD可求出∠HFE．【详解】∵∴∠EHF+∠HFD=180°∵∴∠HFD=130°∵平分，∴∠HFE=∠HFD=解析：65°【分析】由AB//CD 可得∠HFD=130︒，再由FE 平分∠HFD 可求出∠HFE ．【详解】∵//AB CD∴∠EHF+∠HFD=180°∵50EHF ∠=︒∴∠HFD=130°∵FE 平分HFD ∠，∴∠HFE=12∠HFD=1130652⨯︒=︒ 故答案为：65°．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质以及角平分线的定义是解题的关键．12．【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．【详解】解：分8种情况讨论：（1）如图1，AD 边与OB 边平行时，∠BAD＝45°；（2）如图2，解析：8【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．【详解】解：分8种情况讨论：（1）如图1，AD 边与OB 边平行时，∠BAD ＝45°；（2）如图2，当AC 边与OB 平行时，∠BAD ＝90°+45°＝135°；（3）如图3，DC 边与AB 边平行时，∠BAD ＝60°+90°＝150°，（4）如图4，DC 边与OB 边平行时，∠BAD ＝135°+30°＝165°，（5）如图5，DC 边与OB 边平行时，∠BAD ＝45°﹣30°＝15°；（6）如图6，DC 边与AO 边平行时，∠BAD ＝15°+90°＝105°（7）如图7，DC 边与AB 边平行时，∠BAD ＝30°，（8）如图8，DC边与AO边平行时，∠BAD＝30°+45°＝75°；综上所述：∠BAD的所有可能的值为：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键．13．平行平行垂直【解析】根据平行公理的推论，可由，得出a∥c；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由，得到a∥c；根据，，得到a⊥c.故答案为平行，平行，垂直.点睛：由平解析：平行 平行 垂直【解析】根据平行公理的推论，可由//,//a b b c ，得出a ∥c ；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由,a b b c ⊥⊥，得到a∥c；根据//a b ，b c ⊥，得到a⊥c.故答案为平行，平行，垂直.点睛：由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（1）,因为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（2），再根据平行线的性质可求解（3）． 14．130cm2．【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD ，那么GH=CD ，BC=FG ，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD ，再根据梯形的面积计解析：130cm 2．【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH ≌梯形ABCD ，那么GH=CD ，BC=FG ，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD ，再根据梯形的面积计算公式计算即可．【详解】解：∵直角梯形EFGH 是由直角梯形ABCD 平移得到的，∴梯形EFGH ≌梯形ABCD ，∴GH=CD ，BC=FG ，∵梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，∴S 梯形ABCD -S 梯形EFMD =S 梯形EFGH -S 梯形EFMD ，∴S 阴影=S 梯形MGHD =12（DM+GH ）•GM=12（28-4+28）×5=130（cm 2）． 故答案是130cm 2．【点睛】本题考查了图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等．15．270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC 是直角即可得出结果．【详解】解：如图所示，∵a∥b，∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，∵解析：270°【分析】根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．【详解】解：如图所示，∵a∥b，∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，∵b∥c∴∠2+∠4=180°，则∠4=180°-∠2，∵∠BAC是直角，∴∠3+∠4=180°-∠1+180°-∠2，∴90°=360°-（∠1+∠2），∴∠1+∠2=270°．故答案为：270°【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．16．70°．【分析】依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCE=140°，由折叠可得：，∴∠解析：70°．【分析】依据平行线的性质，可得∠BAE=∠DCE=140°，依据折叠即可得到∠α=70°．【详解】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCE=140°，由折叠可得：12DCF DCE ∠=∠，∴∠α=70°．故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．17．48°【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，∵AB∥CD，∠B＝75°解析：48°【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，∵AB∥CD，∠B＝75°，∴∠EFC＝∠B＝75°，又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故答案为：48°．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．18．40°【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．【详解】∵AD∥BC，∴∠BCD=180°-∠D=80°，又∵CA平分∠BCD，∴解析：40°【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义进行做题．【详解】∵AD∥BC，∴∠BCD=180°-∠D=80°，又∵CA平分∠BCD，∴∠ACB=12∠BCD=40°，∴∠DAC=∠ACB=40°．【点睛】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．19．60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答. 【详解】解：设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，即a+x=80解析：60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.【详解】解：设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，即a+x=80°，又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.当∠OEB=∠OCA，a=80°-x,40°+x=a,解得∠OCA=60°.【点睛】本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键.20．【分析】如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.【详解】如图所示，∵，，∴，∴∠4=90°−∠3=55°，∵，∴∠2解析：55︒【分析】如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.【详解】如图所示，∵//a b ，135∠=︒，∴335∠=︒，∴∠4=90°−∠3=55°，∵////a b c ，∴∠2=∠4=55°.故答案为：55°.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.三、解答题21．【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.【分析】感知：如图①，过点E作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题；探究：如图2中，作EG∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；应用：作FH∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；【详解】解：理由如下，【感知】过E点作EF//AB∵AB//CD∴EF//CD∵AB//CD∴∠BAE=∠AEF∵EF//CD∴∠CEF=∠DCE∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.【探究】过E点作AB//EG.∵AB//CD∴EG//CD∵AB//CD∴∠BAE+∠AEG=180°∵EG//CD∴∠CEG+∠DCE=180°∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°【应用】过点F作FH∥AB.∵AB ∥CD ，∴FH ∥CD ，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°故答案为396°.【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．22．（1）理由见解析；（2）①80°，②40°；（3）38°、74°、86°、122°．【分析】（1）根据平行线的性质及对顶角的性质即可得证；（2）①过拐点作AB 的平行线，根据平行线的性质推理即可得到答案；②过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质及角平分线的定义求得角的度数； （3）分情况讨论，画出图形，根据三角形的内角和与外角的性质分别求出答案即可．【详解】（1）//AB CD1EFD ∴∠=∠，2EFD ∠=∠12∠∠∴=； （2）①分别过点M ，N 作直线GH ，IJ 与AB 平行，则//////AB CD GH IJ ，如图：AEM EMH ∴∠=∠，CFN FNJ ∠=∠，180HMN MNJ ∠+∠=︒，()80AEM CFN EMH FNJ EMN MNF HMN MNJ ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒；②过点P 作AB 的平行线，根据平行线的性质可得：3AEP ∠=∠，4CFP ∠=∠， ∵EP 平分∠AEM ，FP 平分∠CFN ， ∴11344022AEP CFP AEM CFM ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， 即40P ∠=︒；（3）分四种情况进行讨论：由已知条件可得80BEH ∠=︒，①如图：118082EPG BEH AGQ ∠=︒-∠-∠=︒182HPQ EPG ∴∠=∠=︒11118074GQ H EHQ HPQ ∴∠=︒-∠-∠=︒ ②如图：104 BPH FHP BEH∠=∠+∠=︒，22122BQ H BPH AGQ∴∠=∠+∠=︒；③如图：56BPH BEH FHP∠=∠-∠=︒，3338BQ H BPH AGQ∴∠=∠-∠=︒；④如图：104BPH BEH FHP ∠=∠+∠=︒ ，4486GQ H BPH AGQ ∴∠=∠-∠=︒；综上所述，∠GQH 的度数为38°、74°、86°、122°．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等内容，解题的关键是掌握辅助线的作法以及分类讨论的思想．23．（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=∠α−∠β【分析】（1）过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，根据题意得出AD ∥PE ∥BC ，从而利用平行线性质可知α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，据此进一步证明即可；（2）根据题意分当点P 在A 、M 两点之间时以及当点P 在B 、O 两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.【详解】（1）∠CPD=αβ∠+∠，理由如下：如图3，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，∴∠CPD=∠DPE +∠CPE=αβ∠+∠；（2）①当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=βα∠-∠，理由如下：如图4，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴α∠=∠EPD ，β∠=∠CPE ，∴∠CPD=∠CPE −∠EPD=βα∠-∠；②当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=αβ∠-∠，理由如下：如图5，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，∴∠CPD=∠DPE −∠CPE=αβ∠-∠，综上所述，当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=∠α−∠β.【点睛】本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.24．110︒；（1）CPD αβ∠=∠+∠；理由见解析；（2）当点P 在B 、O 两点之间时，CPD αβ∠=∠-∠；当点P 在射线AM 上时，CPD βα∠=∠-∠．【分析】问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到 PE ∥AB ∥CD ，通过平行线性质来求∠APC ．（1）过点P 作PQ AD ，得到PQ AD BC 理由平行线的性质得到ADP DPQ ∠=∠，BCP CPQ ∠=∠，即可得到CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠（2）分情况讨论当点P 在B 、O 两点之间，以及点P 在射线AM 上时，两种情况，然后构造平行线，利用两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案．【详解】解：问题情境：∵AB ∥CD ，PE AB∴PE ∥AB ∥CD ， ∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；（1）CPD αβ∠=∠+∠过点P 作PQ AD .又因为AD BC ∥,所以PQ AD BC则ADP DPQ ∠=∠，BCP CPQ ∠=∠所以CPD DPQ CPQ ADP BCP αβ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠（2）情况1:如图所示，当点P 在B 、O 两点之间时过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β情况2：如图所示，当点P 在射线AM 上时，过P 作PE ∥AD ，交ON 于E ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥BC ∥PE ，∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α【点睛】本题主要借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理．25．（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由详见解析；（2）135°；（3）BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD ，即可得到∠BCD+∠ACE 的度数；（2）设∠ACE=α，则∠BCD=3α，依据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠BCD 的度数； （3）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当∠BCD 等于150°或30°时，CE//4B.【详解】解：（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由如下：90BCD ACB ACD ACD ∠=∠+∠=︒+∠，∴90BCD ACE ACD ACE ∠+∠=︒+∠+∠9090180=︒+︒=︒；（2）如图①，设ACE α∠=，则3BCD α∠=，由（1）可得180BCD ACE ∠+∠=︒，∴3180αα+=︒，∴45α=，∴3135BCD α∠==︒；（3）分两种情况：①如图1所示，当//AB CE 时，180120BCE B ∠=︒-∠=︒， 又90DCE ∠=︒，∴36012090150BCD ∠=︒-︒-︒=︒；②如图2所示，当//AB CE 时，60BCE B ∠=∠=︒， 又90DCE ∠=︒，∴906030BCD ∠=︒-︒=︒.综上所述，BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键.26．（1）∠AEC ＝130°；（2）∠A 1EC ＝130°；（3）∠A 1EC ＝40°．【解析】【分析】(1)由直线PQ ∥MN ，∠ADC=∠QAD=30°，可得∠PAD=150°，再求∠PAE=75°，可得∠CAE=25°；由∠PAC=∠ACN，求得∠ECA=25°，故∠AEC=180°﹣25°﹣25°；(2)先求出∠QA1D1=30°，∠PA1D1=150°，再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°，再求出∠CAQ=130°，∠ACN=50°，根据平分线定义得∠ACE=25°，再利用四边形内角和性质可求∠CEA1；(3)根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°，∠ACE=∠ECN=∠1=25°，再由∠CEA1=∠1+∠2即可求得答案.【详解】(1)如图1所示：∵直线PQ∥MN，∠ADC＝30°，∴∠ADC＝∠QAD＝30°，∴∠PAD＝150°，∵∠PAC＝50°，AE平分∠PAD，∴∠PAE＝75°，∴∠CAE＝25°，可得∠PAC＝∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECA＝25°，∴∠AEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；(2)如图2所示：∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∴∠PA1D1＝150°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠PA1E＝∠EA1D1＝75°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠CAQ＝130°，∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝25°，∴∠CEA1＝360°﹣25°﹣130°﹣75°＝130°；(3)如图3所示：过点E作FE∥PQ，∵∠A1D1C＝30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∴∠QA1D1＝30°，∵A1E平分∠AA1D1，∴∠QA1E＝∠2＝15°，∵∠PAC＝50°，PQ∥MN，∴∠ACN＝50°，∵CE平分∠ACD1，∴∠ACE＝∠ECN＝∠1＝25°，∴∠CEA1＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°．【点睛】本题考查了平行线性质，角平分线定义，熟练运用平行线性质和角平分线定义推出角的度数是解题的关键.。
人教版初中七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典题(含答案解析)(1)
一、选择题1．下列语句是命题的是（ ）A ．平分一条线段B ．直角都相等C ．在直线AB 上取一点D ．你喜欢数学吗？B解析：B【分析】根据命题的定义分别进行判断．【详解】A.平分一条线段，为描述性语言，不是命题；B.直角都相等，是命题；C.在直线AB 上取一点，为描述性语言，不是命题；D.你喜欢数学吗？是疑问句，不是命题．故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．2．如图，如果AB ∥EF ，EF ∥CD ，下列各式正确的是（ ）A ．∠1+∠2−∠3=90°B ．∠1−∠2+∠3=90°C ．∠1+∠2+∠3=90°D ．∠2+∠3−∠1=180°D 解析：D【分析】根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE ，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】∵EF ∥CD∴∠3=∠COE∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE∵AB ∥EF∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补． 3．如图，直线12l l ，130∠=︒，则23∠+∠=（ ）A ．150°B ．180°C ．210°D ．240°C解析：C【分析】 根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.【详解】解：作直线l 平行于直线l 1和l 212////l l l1430;35180︒︒∴∠=∠=∠+∠=245∠=∠+∠2+3=4+5+3=30180210︒︒︒∴∠∠∠∠∠+=故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.4．如图，将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF 若5BC cm =，则EC 的长为（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm A解析：A【分析】 由平移性质可得：BC=EF ，CF=3,cm 可得EC=EF-CF ．【详解】因为将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF所以EF=5BC cm ，CF=3,cm所以EC=5-3=2(cm)故选：A【点睛】考核知识点：平移性质．抓住平移性质：对应边相等，是解题关键．5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．①④C解析：C【分析】 根据同位角的定义逐一判断即得答案．【详解】图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2是同位角，图③中的∠1与∠2不是同位角，图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．故选：C ．【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．6．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB ∥CE ，且∠ADC ＝∠B ：④AB ∥CE ，且∠BCD ＝∠BAD ．其中能推出BC ∥AD 的条件为（ ）A ．①②B ．②④C ．②③D ．②③④D解析：D【分析】 根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【详解】解：①∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC ∥AD ，符合题意；③∵AB ∥CD ，∴∠B+∠BCD ＝180°，∵∠ADC ＝∠B ，∴∠ADC+∠BCD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意； ④∵AB ∥CE ，∴∠B+∠BCD ＝180°，∵∠BCD ＝∠BAD ，∴∠B+∠BAD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意； 故能推出BC ∥AD 的条件为②③④．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．7．已知//AB CD ，∠EAF=13∠EAB ，∠ECF=13∠ECD ，若∠E=66°，则∠F 为（ ）A ．23°B ．33°C ．44°D ．46°C解析：C【分析】 如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得66EAB EC C D AE ∠+∠=∠=︒，同样的方法可得F FAB FCD ∠=∠+∠，再根据角的倍分可得,2323FAB EAB FCD ECD ∠=∠∠=∠，由此即可得出答案． 【详解】如图，过点E 作//EG AB ，则////EG AB CD ，,EAB CE C A D G G E E ∴∠=∠∠∠=，66AEG EAB ECD CE A C G E ∴∠+=∠+=∠=∠∠︒，同理可得：F FAB FCD ∠=∠+∠，11,33EAF EAB ECF ECD ∠=∠∠=∠， ,2323FAB EAB FCD ECD ∴∠=∠∠=∠， ()266443333222F FAB FCD EAB ECD EAB ECD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 8．如图，在Rt ABC △中，90,BAC ︒∠=3,AB cm =4AC cm =，把ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到DEF ，连接AE ，AD ，有以下结论：①//AC DF ；②//AD BE ；③ 2.5CF cm =；④DE AC ⊥.其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小可对①②③进行判断；根据∠BAC=90°及平移的性质可对④进行判断，综上即可得答案.【详解】∵△ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到△DEF ，∴AB//DE ，AC//DF ，AD//CF ，CF=AD=2.5cm ，故①②③正确.∵∠BAC=90°，∴AB ⊥AC ，∵AB//DE DE AC ∴⊥，故④正确.综上所述：之前的结论有：①②③④，共4个，故选D.【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．9．如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点E ，且,40BE AF BED ⊥∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒B【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】解：∵,40BE AF BED ⊥∠=︒，∴50FED ∠=︒，∵AB CD ∕∕，∴50A FED ∠=∠=︒．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED ∠的度数是解题关键． 10．如图，A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ．则下列说法正确的是（ ）A ．AC=BPB ．△ABC 的周长等于△BCP 的周长 C ．△ABC 的面积等于△ABP 的面积D ．△ABC 的面积等于△PBC 的面积D解析：D【分析】 根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．【详解】解：∵A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ， 根据平行线之间的距离相等可得：△ABC 与△PBC 是同底等高的三角形，故△ABC 的面积等于△PBC 的面积．故选D ．【点睛】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．二、填空题11．已知A ∠与B （A ∠，B 都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且227A B ∠-∠=︒，则A ∠的度数为_________．或【分析】分两种情况：①如图1作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B=∠BEF ∠A=∠AEF 根据∠A+∠B=求出∠A=；②如图2作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B+∠BEF=∠A 解析：39︒或99︒．【分析】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B=∠BEF ，∠A=∠AEF ，根据∠A+∠B=90︒，227A B ∠-∠=︒，求出∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B+∠BEF=180︒，∠A+∠AEF=180︒，根据∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，227A B ∠-∠=︒，计算得出答案．【详解】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，∴∠B=∠BEF ，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A=∠AEF ，∴∠A+∠B=∠AEF+∠BEF=90︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，∴∠B+∠BEF=180︒，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A+∠AEF=180︒，∴∠A+∠AEB+∠B=360︒，∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，∴∠A+∠B=270︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=99︒；故答案为：39︒或99︒．．【点睛】此题考查平行线的性质，平行公理的推论，根据题意作出图形，引出恰当的辅助线解决问题是解题的关键．12．在平面内，若OA ⊥OC ，且∠AOC ∶∠AOB ＝2∶3，则∠BOC 的度数为_______________；45°或135°【分析】根据垂直关系可得∠AOC=90°再由∠AOC ：∠AOB=2：3可得∠AOB 然后再分两种情况进行计算即可【详解】解：如图∠AOC 的位置有两种：一种是∠AOC 在∠AOB 内一种是在解析：45°或135°根据垂直关系可得∠AOC=90°，再由∠AOC ：∠AOB=2：3，可得∠AOB ，然后再分两种情况进行计算即可．【详解】解：如图，∠AOC 的位置有两种：一种是∠AOC 在∠AOB 内，一种是在∠AOB 外．∵OA ⊥OC ，∴∠AOC=90°，①当∠AOC 在∠AOB 内，如图1，∵∠AOC ：∠AOB=2：3，∴∠BOC=12∠AOC=45°， ②当∠AOC 在∠AOB 外，如图2，∵∠AOC ：∠AOB=2：3，∴∠AOB=32∠AOC=135°， ∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=135°．故答案为：45°或135°．【点睛】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．13．如图，//AB EF ，设90C ∠=︒，那么x ，y ，z 的关系式______．【分析】过作过作根据平行线的性质可知然后根据平行线的性质即可求解；【详解】如图过作过作∴∴∵∴∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质两直线平行同位角相等两直线平行内错角相等正确理解平行线的解析：90x y z +-=︒过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ，根据平行线的性质可知//////AB CN DM EF ，然后根据平行线的性质即可求解；【详解】如图，过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ，∴//////AB CN DM EF ，∴1x =∠，23∠∠=，4z ∠=，∵90BCD ∠=︒，∴1290∠+∠=︒，∴390x +∠=︒，∴3490x z +∠+∠=︒+，∴90x y z +=︒+，∴90x y z +-=︒．故答案为：90x y z +-=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；14．如图，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，28HG cm =，5MG cm =，4MC cm =，则阴影部分的面积是___ 130cm2【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH ≌梯形ABCD 那么GH=CDBC=FG 观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD 再根据梯形的面积计算公式计算即可【解析：130cm 2．【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH ≌梯形ABCD ，那么GH=CD ，BC=FG ，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD ，再根据梯形的面积计算公式计算即可．【详解】解：∵直角梯形EFGH 是由直角梯形ABCD 平移得到的，∴梯形EFGH ≌梯形ABCD ，∴GH=CD ，BC=FG ，∵梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，∴S 梯形ABCD -S 梯形EFMD =S 梯形EFGH -S 梯形EFMD ，∴S 阴影=S 梯形MGHD =12（DM+GH ）•GM=12（28-4+28）×5=130（cm 2）． 故答案是130cm 2．【点睛】本题考查了图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等． 15．如图，1∠与2∠是对顶角，110α∠=+︒，250∠=︒，则α=______．40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2即可求出α的度数【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角∠2=50°∴∠1=∠2∵∠2=50°∴α+10°=50°∴α=40°故答案为：40°【点睛】本题考 解析：40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，110α∠=+︒，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵110α∠=+︒，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质以及角度的计算．16．如图，已知AB ，CD ，EF 互相平行，且∠ABE ＝70°，∠ECD ＝150°，则∠BEC ＝________°.40【解析】根据平行线的性质先求出∠BEF 和∠CEF 的度数再求出它们的差就可以了解：∵AB ∥EF ∴∠BEF=∠ABE=70°；又∵EF ∥CD ∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°解析：40【解析】根据平行线的性质，先求出∠BEF 和∠CEF 的度数，再求出它们的差就可以了． 解：∵AB ∥EF ，∴∠BEF=∠ABE=70°；又∵EF∥CD，∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°；故应填40．“点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题．17．运动会上裁判员测量跳远成绩时，先在距离踏板最近的跳远落地点上插上作为标记的小旗，再以小旗的位置为赤字的零点，将尺子拉直，并与踏板边缘所在直线垂直，把尺子上垂足点表示的数作为跳远成绩．这实质上是数学知识____________在生活中的应用．垂线段最短【分析】根据题干跳远落点视为一个点直尺垂直踏板边缘可理解为作垂线然后用数学语言描述出来即可【详解】根据题意可知答案为：垂线段最短【点睛】本题考查点到直线距离在生活中的实际应用注意在书写答案解析：垂线段最短【分析】根据题干，跳远落点视为一个点，直尺垂直踏板边缘可理解为作垂线，然后用数学语言描述出来即可．【详解】根据题意，可知答案为：垂线段最短【点睛】本题考查点到直线距离在生活中的实际应用，注意在书写答案时，尽量用“数学化”的语言来描述．18．如图所示，AB∥CD，EC⊥CD．若∠BEC＝30°，则∠ABE的度数为_____．120°【分析】先根据平行线的性质得到∠GEC=90°再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可【详解】过点E作EG∥AB则EG∥CD由平行线的性质可得∠GEC=90°所以∠GEB=90°﹣30°解析：120°．【分析】先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．【详解】过点E作EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEC=90°，所以∠GEB=90°﹣30°=60°，因为EG∥AB，所以∠ABE=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和垂直的概念等，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．19．如图，a∥b，∠1＝80°，∠2＝45°，∠3＝_____．55°【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论【详解】解：∵a∥b∴∠1+∠3+∠4=180°∵∠2=∠4∠2＝45°∴∠4=∠2＝45°∵∠1＝80°∴∠3=180°-45°-80°=5解析：55°【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论．【详解】解：∵a∥b，∴∠1+∠3+∠4=180°，∵∠2=∠4，∠2＝45°，∴∠4=∠2＝45°∵∠1＝80°，∴∠3=180°-45°-80°=55°，故答案为：55°．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 20．观察下列图形：已知a b ，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：112n P P ∠+∠+∠++∠=…_________度．（n ﹣1）×180【分析】分别过P1P2P3作直线AB 的平行线P1EP2FP3G 由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°∠5+∠6=180°∠7+∠8=180°∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠ 解析：（n ﹣1）×180【分析】分别过P 1、P 2、P 3作直线AB 的平行线P 1E ，P 2F ，P 3G ，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，∠1+∠P 1+∠2=2×180，∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．【详解】解：如图，分别过P 1、P 2、P 3作直线AB 的平行线P 1E ，P 2F ，P 3G ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥P 1E ∥P 2F ∥P 3G ．由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180° ∴（1）∠1+∠2=180°，（2）∠1+∠P 1+∠2=2×180，（3）∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，（4）∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，∴∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．故答案为：（n+1）×180．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．三、解答题21．在ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，且与BC 平行．仅用圆规完成下列画图．（保留画图痕迹，不写作法）（1）如图①，在直线l 上画出一点P ，使得APC ACB ∠=∠；（2）如图②，在直线l 上画出所有的点Q ，使得12AQC ACB ∠=∠．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)以C 为圆心,以CA 为半径画弧,交点即为所求;(2)以A 为圆心,以AC 为半径画弧,交点即为所求.【详解】（1）如图所示，点P 即为所求，理由如下:CP CA =，//l BC ，则APC CAP ACB ∠=∠=∠．（2）如图所示，点12Q Q 、即为所求，理由如下：1AC AQ =，//l BC ，则11112AQ C ACQ BCQ ACB ∠=∠=∠=∠； 12CQ CQ =，则1221CQ Q CQ Q ∠=∠．【点睛】本题考查了基本作图,熟记等腰三角形的性质,平行线的性质是解题的关键.22．如图，已知在每个小正方形的网格图形中，ABC的顶点都在格点上，,,A B C为格点．（1）先将ABC先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，请在图中画出平移后DEF，（点A，B，C所对应的顶点分别是D，E，F）（2）求出DEF的面积；（3）连结AD，BE，直接说出AD与BE的关系（不需要理由）．解析：（1）见解析；（2）8；（3）AD=BE且AD∥BE【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点D、E、F，再依次连接即可；（2）根据三角形的面积公式计算；（3）根据平移的性质回答．【详解】解：（1）如图，△DEF即为所作；（2）S△DEF=1442⨯⨯=8；（3）如图，由平移可知：AD=BE且AD∥BE．【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．23．如图，已知：AD BC ⊥于D,EG BC ⊥于G,AD 平分BAC ∠．求证：1E ∠∠=．下面是部分推理过程，请你填空或填写理由．证明：∵AD BC EG BC ⊥⊥，（已知），∴ADC EGC 90∠∠==︒（垂直的定义）,∴AD //EG （ ）∴21∠=∠（ ），3∠= （ ）．又∵AD 平分BAC ∠(已知)，∴23∠∠=（ ），∴1E ∠∠=（ ）解析：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E ；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等量代换．【分析】根据垂直的定义、平行线的判定与性质、角平分线的定义以及等量代换进行解答即可．【详解】证明：∵AD BC EG BC ⊥⊥，（已知），∴ADC EGC 90∠∠==︒（垂直的定义）,∴AD //EG （同位角相等，两直线平行）∴21∠=∠（两直线平行，内错角相等），3∠=∠E （两直线平行，同位角相等）．又∵AD 平分BAC ∠(已知)，∴23∠∠=（角平分线的定义），∴1E ∠∠=（等量代换）．【点睛】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定与性质和角平分线的定义等知识点，灵活应用平行线的判定与性质成为解答本题的关键．24．如图，DE 平分∠ADF ，DF ∥BC ，点E ，F 在线段AC 上，点A ，D ，B 在一直线上，连接BF ．（1）若∠ADF ＝70°，∠ABF ＝25°，求∠CBF 的度数；（2）若BF 平分∠ABC 时，求证：BF ∥DE ．解析：（1）∠CBF ＝45°；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件即可求出∠CBF 的度数；（2）根据平行线的性质可得∠ABC ＝∠ADF ，再根据BF 平分∠ABC ，DE 平分∠ADF ，可得∠ADE ＝∠ABF ，再根据同位角相等，两直线平行即可证明BF ∥DE ．【详解】解：（1）∵DF ∥BC ，∴∠ABC ＝∠ADF ＝70°，∵∠ABF ＝25°，∴∠CBF ＝70°﹣25°＝45°；（2）证明：∵DF ∥BC ，∴∠ABC ＝∠ADF ，∵BF 平分∠ABC ，DE 平分∠ADF ，∴∠ADE 12=∠ADF ，∠ABF 12=∠ABC ， ∴∠ADE ＝∠ABF ，∴BF ∥DE ．【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 25．如图，已知12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠．解析：证明见解析【分析】根据平行线的判定与性质即可得证．【详解】解：∵12∠=∠，∴//BD CE ，∴C ABD ∠=∠，∵C D∠=∠，∴D ABD∠=∠，∴//AC DF，∴A F∠=∠．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质定理是解题的关键．26．如图，已知，AB//CD，EF交AB，CD于G、H，GM、HN分别平分∠AGF，∠EHD．试说明GM//HN．解析：证明见解析．【分析】首先根据平行线的性质可得∠BGF=∠DHE，再根据角平分线的性质可证明∠1=∠2，然后根据内错角相等，两直线平行可得HN∥GM．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠AGF=∠DHE，∵GM、HN分别平分∠AGF，∠EHD，∴∠1=12∠AGF，∠2=12∠DHE，∴∠1=∠2，∴GM∥HN．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理．27．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．例如：如果ab<0，那么a+b<0．反例：设a=4，b=-3，ab=4⨯（-3）=-12<0，而a+b=4+（-3）=1>0，所以这个命题是假命题．（1）如果a+b>0，那么ab>0．（2）如果a是无理数，b也是无理数，那么a+b也是无理数．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果a+b＞0，那么ab＞0；所举的反例就是，a、b一个为正数，一个为负数，且正数的绝对值大于负数．（2）可利用平方差公式找这样的无理数，比如1±2，两数相加就是有理数．【详解】解：（1）取a=2，b=-1，则a+b=1＞0，但ab=-2＜0．所以此命题是假命题．（2）取a=1+2，b=1-2，a 、b 均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．【点睛】本题主要锻炼了学生的逆向思维．在证明几何题的过程中，有时需从反例上先去判断，然后再证明．28．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ，FO ⊥CD 于点O ，若∠BOD ∶∠EOB=2∶3，求∠AOF 的度数．解析：45︒．【分析】设2BOD x ∠=，从而可得3EOB x ∠=，先根据角平分线的定义3EOC EOB x ∠=∠=，再根据平角的定义可得求出x 的值，然后根据垂直的定义可得90DOF ∠=︒，最后根据平角的定义即可得．【详解】设2BOD x ∠=，则3EOB x ∠=，∵OE 平分BOC ∠，∴3EOC EOB x ∠=∠=，180BOD EOB EOC ∠+∠+∠=︒，233180x x x ∴++=︒，解得22.5x =︒，45BOD ∴∠=︒，FO CD ⊥，90DOF ∴∠=︒，又180BOD DOF AOF ∠+∠+∠=︒，4590180AOF ∴︒+︒+∠=︒，解得45AOF ∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、垂直的定义等知识点，熟练掌握并理解各定义是解题关键．。
人教版数学七年级下册：第五章 相交线与平行线——专题练习(附答案)
小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2 铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝度．小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( ) A．52° B．54° C．64° D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的度数是( )A．20° B．25° C．30° D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．类型2 借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( )A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3 折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是．类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC＝∠ODE.则∠DEB的度数是度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是．小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF ∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝．∵DF∥CA，∴∠A＝．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD( )，∴∠C＝．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝ (垂直的定义)．②所以 (同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝ (两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°( )，⑤所以∠1＝∠3( )．⑥所以AB∥DG( )．⑦所以∠GDC＝∠B( )．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD ∥BC.4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF 与AB的位置关系吗？请说明理由．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．参考答案：小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．【解答】∠BED＝∠B＋∠D.理由：过点E作EF∥AB，则EF∥CD.∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF.∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D.变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D.(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.拓展平行线间有多个拐点2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.理由：过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD.∴∠BEM＝∠B，∠MEF＝∠EFN，∠NFG＝∠FGH，∠HGD＝∠D.∴∠BEF＋∠FGD＝∠BEM＋∠MEF＋∠FGH＋∠HGD＝∠B＋∠EFN＋∠NFG＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)在图2中，有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2 铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？【解答】∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由：过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°. ∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.拓展平行线间有多个拐点3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝180度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝360度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝180(n－1)度．解：每增加一个角，度数增加180°.小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( C ) A．52° B．54° C．64° D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的度数是( D )A．20° B．25° C．30°D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝130°．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．∴∠BAC＋∠AGD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BAC＝80°，∴∠AGD＝100°.类型2 借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( D )A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( B )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3 折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是65°．类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC＝∠ODE.则∠DEB的度数是76度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是90°．小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF ∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝∠BFD(两直线平行，内错角相等)．∵DF∥CA，∴∠A＝∠BFD(两直线平行，同位角相等)．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD(对顶角相等)，∴∠C＝∠D．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝90°(垂直的定义)．②所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°(已知)，⑤所以∠1＝∠3(同角的补角相等)．⑥所以AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．⑦所以∠GDC＝∠B(两直线平行，同位角相等)．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.证明：∵DF∥AB(已知)，∴∠D＝∠BHM(两直线平行，同位角相等)．又∵∠B＝75°，∠D＝105°(已知)，∴∠B＋∠BHM＝75°＋105°＝180°.∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠AME＝∠AGC(两直线平行，同位角相等)．3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD ∥BC.证明：∵AE平分∠BAD(已知)，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵AB∥CD(已知)，∴∠1＝∠CFE(两直线平行，同位角相等)．又∵∠1＝∠2(已证)，∠CFE＝∠E(已知)，∴∠2＝∠E(等量代换)．∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF 与AB的位置关系吗？请说明理由．解：DF∥AB.理由：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵∠E＝∠1(已知)，∴∠E＝∠2(等量代换)．∴AE∥BC(内错角相等，两直线平行)．∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠3＋∠ABC＝180°(已知)，∴∠A＝∠3(等量代换)．∴DF∥AB(同位角相等，两直线平行)．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD(已知)，∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2(角平分线的性质)．∴∠BAC＋∠ACD＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)．∵∠1＋∠2＝90°(已知)，∴∠BAC＋∠ACD＝180°.∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠D＝180°－∠B(等式的性质)．∵AB⊥BD(已知)，∴∠B＝90°(垂直的定义)．∴∠D＝90°，即CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠2＝∠GED，∠DEF＝∠EFG＝55°(两直线平行，内错角相等)．由折叠，知∠GEF＝∠DEF＝55°.∴∠GED＝110°.∴∠2＝110°.∴∠1＝180°－∠2＝70°(两直线平行，同旁内角互补)．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．解：(1)证明：∵BC∥GE，∴∠E＝∠1＝50°.∵∠AFG＝∠1＝50°，∴∠E＝∠AFG＝50°.∴AF∥DE.(2)过点A作AP∥GE，∵BC∥GE，∴AP∥GE∥BC.∴∠FAP＝∠AFG＝50°，∠PAQ＝∠Q＝15°.∴∠FAQ＝∠FAP＋∠PAQ＝65°.∵AQ平分∠FAC，∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°.∴∠CAP＝80°.∴∠ACQ＝180°－∠CAP＝100°.。
人教版七年级下数学第五章 相交线与平行线 知识点 考点 典型例题
2
∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°（已知）
∴∠BOC=______（）
b
例1：判断下列说法的正误。
（1）对顶角相等；
（2）相等的角是对顶角；
（3）邻补角互补；
（4）互补的角是邻补角；
（5）同位角相等；
（6）内错角相等；
（7）同旁内角互补；
（8）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
（9）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（10）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（11）两直线不相交就平行；
（12）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
练习：下列说法正确的是（）
A、相等的角是对顶角B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离
C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。
D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行
考点二：相关推理（识记）
（1）∵a∥c，b∥c（已知）∴______∥______（）
4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。
5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。
6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，平行”用符号“∥”表示，如直线a，b
是平行线，可记作“a∥b”
7．平行公理及推论
（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
注：
（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。
（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。
人教版七年级数学下册知识点及典型试题汇总——适用于期末总复习
人教版七年级数学下册知识点汇总第五章相交线与平行线相交线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线定义：___________________________________________判定1 :同位角相等，两直线平行平行线及其判定平行线及其判定平行线的判定判定2 :内错角相等，两直线平行判定3 :同旁内角互补，两直线平行判定4 :平行于同一条直线的两直线平行性质1:两直线平行，同位角相等性质2:两直线平行，内错角相等平行线的性质性质3：两直线平行，同旁内角互补性质4:平行于同一条直线的两直线平行命题、定理平移、知识网络结构二、知识要点1、在同一平面内,2、在同一平面内, 两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。
不相交的两条直线叫平行线。
如果两条直线只有-可编辑修改-一个公共点，称这两条直线相交；如相交线与平行线的两个角叫同位角。
图3中，共有对同位角:果两条直线没有公共点，称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
邻补角的性质：邻补角互补。
如图1所示，与互为邻补角，_____ 与___ 互为邻补角。
____ + _ = 180 ° ；______ +____ = 180 ° ；_____ +____ = 180 ° ；____ +____ = 180 °。
4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
如图1所示，与互为对顶角。
= ；=5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90。
时，称这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
如图2所示，当=90。
时，丄o b垂线的性质: 性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
人教七年级数学平行线与相交线总复习知识点归纳和例题精讲
平行线与相交线期末考试总复习考点1：余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（）A．两个互补的角中必有一个是钝角B．一个角的补角一定比这个角大C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D．相等的角一定互余4．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C处的方向为（）A．南偏西32○B．东偏南32○C．南偏西58○D．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=8．如图l－2－2，AB⊥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．0个B．l个C．2个D．3个9．如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是______10．已知∠A和∠B互余，∠A与∠C互补，∠B与∠C的和等于周角的13，求∠A+∠B+∠C的度数．11．如图如图1-2-3，已知∠AOC与∠B都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD的度数；（2）求∠AOB和∠DOC的度数；（3）∠A OB与∠DOC有何大小关系；（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？考点2：同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质一、考点讲解：1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行．2．“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．3．平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.二、经典考题剖析：【考题2－1】如图1―2―4，直线a ∥b，则∠A CB＝________解：78○点拨：过点C作CD平行于a，因为a∥b，所以CD∥b．则∠A C D＝2 8○，∠DCB=5 0○．所以∠ACB＝78○．【考题2－2】（2004、开福，6分）如图1―2―5，AB∥CD，直线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分∠B EF，交CD于点G，∠1=5 0○求∠2的度数．解：65○点拨：由AB∥CD，得∠BEF＝180○－∠1=130○，∠BEG=∠2．又因为EG平分∠BEF，所以∠2=∠BEG=12∠BEF=65°（根据平行线的性质）三、针对性训练：1．如图1－2－6，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．l个B．2个C．3个D．4个2．下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（2）在同一平面内不平行的两条直线必相交；（3）两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；（4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行。
七年级初一数学第五章 相交线与平行线知识点-+典型题附解析
七年级初一数学第五章 相交线与平行线知识点-+典型题附解析一、选择题1．下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是（ ）A ．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离B ．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠C ．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程D ．直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短2．在同一坐标平面内，图象不可能．．．由函数221y x =+的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ）A ．22(1)1y x =+-B ．223y x =+C ．221y x =--D ．2112y x =- 3．如图，直线l 1，l 2，l 3交于一点，直线l 4∥l 1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ）A ．26°B ．36°C ．46°D ．56° 4．如图，在ABC 中，//EF BC ，ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，则B 的度数为（ ）A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°5．如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥AB 交直线a 于点C ，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A ．115°B ．65°C ．35°D ．25°6．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF ；②DB=DC ；③AD ⊥BC ；④AC=3BF ，其中正确的结论共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．如图所示，直线c 截直线a ，b ，给出下列以下条件：①48∠=∠；②17∠=∠；③26∠=∠；④47180∠+∠=︒．其中能够说明a ∥b 的条件有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD∥AB，点E 在BC 的延长线上.若∠A=30°，则∠DCE 的大小为（ ）A ．30°B ．52.5°C ．75°D ．85°9．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD 的是( )A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠1=∠4D ．∠3=∠4 10．如图，若∠1=70°，∠2=110°，∠3=70°，则有（ ）．A ．a ∥bB ．c ∥dC ．a ⊥dD ．任两条都无法判定是否平行 二、填空题11．已知直线AB ∥CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按顺时针方向每秒1°旋转至QD 停止，此时射线PB 也停止旋转．（1）若射线PB 、QC 同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____； （2）若射线QC 先转45秒，射线PB 才开始转动，当射线PB 旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．12．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE ＜180°且点E 在直线AC 的上方时，他发现若∠ACE ＝_____，则三角板BCE 有一条边与斜边AD 平行．13．如图，有两个正方形夹在AB 与CD 中，且AB//CD,若∠FEC=10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)14．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角________对．15．规律探究：同一平面内有直线1a 、2a 、3a ，⋯，100a ，若12//a a ，23a a ⊥，34//a a ，45a a ⊥，⋯，按此规律，1a 与100a 的位置关系是______．16．如图，图①是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF 折叠成图②，则图②中的∠CFG 的度数是_____________．17．如图，已知EF ∥GH ，A 、D 为GH 上的两点，M 、B 为EF 上的两点，延长AM 于点C ，AB平分∠DAC，直线DB平分∠FBC，若∠ACB=100°，则∠DBA的度数为________．18．如图，直线a∥b，且∠1＝28°，∠2＝50°，则∠ABC＝_______．19．把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．20．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为_____．三、解答题21．（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC；（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.22．已知AB∥CD，点C在点D的右侧，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE相交于点E．（1）如图1，当点B在点A的左侧时，①若∠ABC=50º，∠ADC=70º，求∠BED的度数；②请直接写出∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，试猜想∠BED与∠ABC，∠ADC的数量关系，并说明理由．23．(1)如图1，已知任意ABC ∆，过点C 作//DE AB ，求证：180A B ACB ∠+∠+∠=︒；(2)如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F ；(3)如图3，//,119,AB CD CDE GF ∠=︒交DEB ∠的角平分线EF 于点,150F AGF ∠=︒，求F ∠的度数．24．如图，已知//,60AM BN A ︒∠=，点P 是射线AM 上一动点(与点A 不重合)，BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，分别交射线AM 于点.C D 、()1CBD ∠=()2若点P 运动到某处时，恰有ACB ABD =∠∠，此时AB 与BD 有何位置关系?请说明理由．()3在点P 运动的过程中，APB ∠与ADB ∠之间的关系是否发生变化?若不变，请写出它们的关系并说明理由；若变化，请写出变化规律．25．AB ∥CD ，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点．（1）如图1，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明；（2）如图2，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明；（3）如图3，点E 在射线BA 上，过点E 作EF ∥PC ，作∠PEG ＝∠PEF ，点G 在直线CD 上，作∠BEG 的平分线EH 交PC 于点H ，若∠APC ＝30°，∠PAB ＝140°，求∠PEH 的度数．26．如图，已知直线//AB CD ，,M N 分别是直线,AB CD 上的点.（1）在图1中，判断,BME MEN ∠∠和DNE ∠之间的数量关系，并证明你的结论； （2）在图2中，请你直接写出,BME MEN ∠∠和DNE ∠之间的数量关系（不需要证明）；（3）在图3中，MB 平分EMF ∠，NE 平分DNF ∠，且2180F E ∠+∠=，求FME ∠的度数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．据此逐个分析即可.【详解】解：A ．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离，运用“垂线段最短”这一性质； B ．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠，运用“垂线段最短”这一性质；C ．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程，运用“两点之间，线段最短”这一性质；D ．直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短，运用“垂线段最短”这一性质； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂线段最短，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．2．D解析：D【解析】分析：根据图形平移的性质可得，平移后的图形与原图形大小、形状、开口相同，再根据抛物线的形状由二次项的系数a 决定的进行分析即可．解：由于抛物线的形状由二次项的系数a 决定，所以两个函数表达式中的a 要相同或互为相反数才可以通过平移变换、轴对称变换得到，A 、B 选项的二次项系数为2；C 选项的二次项系数为－2；D 选项的二次项系数为12，故D 不能由原函数平移而得到． 故选D ． 3．B解析：B【解析】试题分析：如图，首先根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），可求∠4=56°，然后借助平角的定义求得∠3=180°-∠2-∠4=36°.故选B考点：平行线的性质4．D解析：D【分析】由角平分线的定义求出∠BEF=140°，再根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”求出∠B 的度数即可.【详解】∵ED 平分BEF ∠，且70∠︒=DEF ，∴70DEB ∠=︒∴270140BEF ︒=∠=⨯︒∵//EF BC∴180B BEF ∠+∠=︒∴180********B BEF ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选D此题主要考查了平行线的性质和角平分的性质，此题难度不大，注意掌握相关性质的运用5．D解析：D【解析】解：∵直线a ∥b ，∴∠1+∠ABC +∠2=180°．又∵BC ⊥AB ，∠1=65°，∴∠2=180°﹣90°﹣65°=25°．故选D ．6．A解析：A【详解】∵BF ∥AC ，∴∠C=∠CBF ， ∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC=∠CBF ，∴∠C=∠ABC ， ∴AB=AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD=CD ，AD ⊥BC ，故②③正确，在△CDE 与△DBF 中，C CBF CD BD EDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CDE ≌△DBF ，∴DE=DF ，CE=BF ，故①正确；∵AE=2BF ，∴AC=3BF ，故④正确．故选A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．全等三角形的判定与性质．7．D解析：D【解析】根据平行线的判定，由题意知：①∵68∠=∠，48∠=∠，∴46∠=∠，∴a b ∥，故①对．②∵13∠=∠，17∠=∠，∴37∠=∠，∴a b ∥，故②对．③∵26∠=∠，∴a b ∥，故③对．④∵47180∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，∴37∠=∠，∴a b ∥，故④对．故选D.点睛：此题主要考查了平行线的判定，关键是利用图形中的条件和已知的条件，构造两直线平行的条件.平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两8．C解析：C【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质：等边对等角，可得∠B=∠ACB，然后根据三角形的内角和可求得∠B=75°，然后根据平行线的性质可得∠B=∠DCE=75°.故选：C.点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得两底角的值，然后根据平行线的性质可求解问题.9．C解析：C【解析】根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC，由∠1=∠4，得到AB∥CD.故选C.10．A解析：A【详解】解：∵∠4=∠1=70°，∠2=110°，∴∠4+∠2=180°；∴a∥b．∵∠2≠∠3，∴c与d不平行．故选A．二、填空题11．PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；解析：PB′⊥QC′ 15秒或63秒或135秒．【分析】（1）求出旋转30秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，过E作EF∥AB，根据平行线的性质求得∠PEF和∠QEF的度数，进而得结论；（2）分三种情况：①当0s＜t≤45时，②当45s＜t≤67.5s时，③当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【详解】（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，过E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．故答案为：15秒或63秒或135秒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．12．或或【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．【详解】解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，∵∠ACE+∠E解析：30或120︒或165︒【分析】分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．【详解】解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝30°．②如图2中，当AD∥CE时，∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．∵AD∥BE，∴∠AMC=∠B=45°，∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，∴∠ACE＝75°+90＝165°，综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．故答案为30°或120°或165°．【点睛】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．13．【解析】【详解】作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB因为AB∥CD所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH所以，∠IFG=∠FEC=10°所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°所以，∠解析：【解析】【详解】作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB因为AB∥CD所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH所以，∠IFG=∠FEC=10°所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°所以，∠KGF=∠GFI=80°所以，∠HGK=150°-∠KGF=70°所以，∠JHG=∠HGK=70°同理，∠2=90°-∠JHG=20°所以，∠1=90°-∠2=70°故答案为70【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．14．24【解析】【分析】根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.【详解】解：如图所示观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和解析：24【解析】【分析】根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.【详解】解：如图所示观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和E有2对；A和F有2对.B和C有2对；B和D有2对；B和E有2对；B和F没有同旁内角.C和D有2对，C和E没有同旁内角，C和F有2对.D和E有2对；D和F有2对.E和F有2对.共有2×12=24对.故答案是：24.【点睛】本题主要考察三线八角中的同旁内角，正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键. 15．互相垂直．【解析】【分析】依据，，，，，可得，即可得到与的位置关系是互相垂直．【详解】解：，，，，按此规律，，又，，，以此类推，，，故答案为：互相垂直．【点睛】本题主要解析：互相垂直．【解析】【分析】依据12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，45a a ⊥，⋯，可得14n a a ⊥，即可得到1a 与100a 的位置关系是互相垂直．【详解】解：12a //a ，23a a ⊥，34a //a ，14a a ∴⊥，按此规律，58a a ⊥，又45a a ⊥，⋯，18a a ∴⊥，以此类推，14n a a ⊥100425=⨯，1100a a ∴⊥，故答案为：互相垂直．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是根据已知条件得出规律：14n a a ⊥． 16．130°【解析】∵AD∥BC，∠DEF=25°，∴∠BFE=∠DEF=25°，∴∠EFC=155°，∴∠CFG=155°-25°=130°．故答案为130°．点睛：本题主要是根据折叠能解析：130°【解析】∵AD ∥BC ，∠DEF=25°，∴∠BFE=∠DEF=25°，∴∠EFC=155°，∴∠CFG=155°-25°=130°．故答案为130°．点睛：本题主要是根据折叠能够发现相等的角，同时运用了平行线的性质．17．50°【解析】解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线解析：50°【解析】解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线BD平分∠FBC，∴∠5=12（180°﹣∠4）=12（180°﹣80°+2x）=50°+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5=180°﹣x﹣（80°﹣2x）﹣（50°+x）=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x=50°．故答案为50°．点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．18．78°【解析】解：过点B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．点睛：此题考查了平行线的性质：两直线解析：78°【解析】解：过点B作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．点睛：此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解此题的关键是辅助线的作法．19．如果两个角相等，那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．【详解】解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是解析：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．【详解】解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．20．48°【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，∵AB∥CD，∠B＝75°解析：48°【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，∵AB∥CD，∠B＝75°，∴∠EFC＝∠B＝75°，又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故答案为：48°．本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．三、解答题21．【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.【分析】感知：如图①，过点E作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题；探究：如图2中，作EG∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；应用：作FH∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；【详解】解：理由如下，【感知】过E点作EF//AB∵AB//CD∴EF//CD∵AB//CD∴∠BAE=∠AEF∵EF//CD∴∠CEF=∠DCE∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.【探究】过E点作AB//EG.∵AB//CD∴EG//CD∵AB//CD∴∠BAE+∠AEG=180°∵EG//CD∴∠CEG+∠DCE=180°∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°过点F作FH∥AB.∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°故答案为396°.【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．22．（1）①∠BED=60º；②∠BED=12∠ABC+12∠ADC；（2）∠BED=180º-1 2∠ABC+12∠ADC，理由见解析．【分析】（1）①过点E作EF∥AB，然后说明AB∥CD∥EF，再运用平行线的性质、角平分线的性质和角的和差即可解答；②利用平行线的性质和角平分线的性质即可确定它们的关系．（2）过点E作EF∥AB，再运用平行线的性质、角平分线的定义和角的和差即可确定它们的关系．【详解】（1）①如图1，过点E作EF∥AB．∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF∴∠ABE=∠BEF，∠EDC=∠DEF．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABC=50º，∠ADC=70º∴∠ABE=12∠ABC=150252⨯=°°，∠EDC=12∠ADC=170352⨯︒=︒，∴∠BEF=25º，∠DEF=35º，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=25º+35º=60º；②∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF∴∠ABE=∠BEF=12∠ABC，∠EDC=∠DEF=12∠ADC；．∴∠BED=∠BEF +∠DEF =12∠ABC+12∠ADC∴∠BED=12∠ABC+12∠ADC（2）如图2，过点E作EF∥AB．∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF∴∠EDC=∠DEF，∵∠ABE+∠BEF=180º，∴∠BEF=180º-∠ABE．∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC，∠DEF=12∠ADC，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180º-12∠ABC+12∠ADC．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线构造平行线并灵活利用平行线的性质是解答本题的关键．23．（1）见详解；（2）见详解；（3）29.5°．【分析】（1）根据平行线的性即可A ACD ∠=∠，B BCE ∠=∠，再根据平角的定义进行等量代换即可证明；（2）因为根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到119DEB ∠=︒，61AED ∠=︒，由角平分线的性质得到59.5DEF ∠=︒，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】（1）如图1所示，在ABC ∆中，//DE AB ，A ACD ∴∠=∠，B BCE ∠=∠．180ACD BCA BCE ∠+∠+∠=︒，180A B ACB ∴∠+∠+∠=︒．即三角形的内角和为180︒；（2）180AGF FGE ∠+∠=︒，由（1）知，180GEF F FGE ∠+∠+∠=︒，AGF AEF F ∴∠=∠+∠；（3）//AB CD ，119CDE ∠=︒，119DEB CDE ∴∠=∠=︒，18061AED CDE ∠=︒-∠=︒，∵EF 平分DEB ∠，59.5DEF ∴∠=︒，120.5AEF AED FED ∴∠=∠+∠=︒，150AGF ∠=︒，AGF AEF F ∠=∠+∠，150120.529.5F ∴∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的证明与应用，三角形外角定理证明与应用，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．24．（1）60°；（2）AB BD ⊥，证明详见解析；（3）不变，2APB ADB ∠=∠，理由详见解析【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABN ＝120°，即∠ABP +∠PBN ＝120°，再根据角平分线的定义知∠ABP ＝2∠CBP 、∠PBN ＝2∠DBP ，可得2∠CBP +2∠DBP ＝120°，即∠CBD ＝∠CBP +∠DBP ＝60°；（2）由AM ∥BN 得∠ACB ＝∠CBN ，当∠ACB ＝∠ABD 时有∠CBN ＝∠ABD ，得∠ABC +∠CBD ＝∠CBD +∠DBN ，即∠ABC ＝∠DBN ，再根据角平分线的定义可得1 4ABC CBP DBP DBN ABN ∠=∠=∠=∠=∠，最后根据∠ABN ＝120°可得390ABD ABC ︒∠=∠=，进而可得答案；（3）由AM ∥BN 得∠APB ＝∠PBN 、∠ADB ＝∠DBN ，根据BD 平分∠PBN 知∠PBN ＝2∠DBN ，从而可得∠APB ＝2∠ADB ．【详解】解：（1）∵AM ∥BN ，∠A ＝60°，∴∠A +∠ABN ＝180°，∴∠ABN ＝120°；∵AM ∥BN ，∴∠ABN +∠A ＝180°，∴∠ABN ＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABP +∠PBN ＝120°，∵BC 平分∠ABP ，BD 平分∠PBN ，∴∠ABP ＝2∠CBP ，∠PBN ＝2∠DBP ，∴2∠CBP +2∠DBP ＝120°，∴∠CBD ＝∠CBP +∠DBP ＝60°；()2AB BD ⊥理由： // AM BN,180ACB CBN A ABN ︒∴∠=∠∠+∠=ACB ABD ∠=∠CBN ABD ∴∠=∠CBN CBD ABD CBD ∴∠-∠=∠-∠，即DBN ABC ∠=∠BC BD 、分别平分ABP ∠和PBN ∠，,ABC CBP DBP DBN ∴∠=∠∠=∠1 4ABC CBP DBP DBN ABN ∴∠=∠=∠=∠=∠ 180A ABN ︒∠+∠=180 ********ABN A ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=1304ABC ABN ︒∴∠=∠= 390ABD ABC ︒∴∠=∠=，即AB BD ⊥()3不变．且2APB ADB ∠=∠理由： // ,AM BN,APB PBN ADB DBN ∴∠=∠∠=∠ BD 平分,PBN ∠2PBN DBN ∴∠=∠2.APB ADB ∴∠=∠【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．25．（1）∠A +∠C +∠APC ＝360°，证明详见解析；（2）∠APC ＝∠A −∠C ，证明详见解析；（3）55°．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝12∠FEG，∠GEH＝12∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案．【详解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：如图1所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：如图2所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，∴∠APC ＝∠A −∠C ；（3）由（2）知，∠APC ＝∠PAB −∠PCD ，∵∠APC ＝30°，∠PAB ＝140°，∴∠PCD ＝110°，∵AB ∥CD ，∴∠PQB ＝∠PCD ＝110°，∵EF ∥PC ，∴∠BEF ＝∠PQB ＝110°，∵∠PEG ＝∠PEF ，∴∠PEG ＝12∠FEG ， ∵EH 平分∠BEG ， ∴∠GEH ＝12∠BEG ， ∴∠PEH ＝∠PEG −∠GEH ＝12∠FEG −12∠BEG ＝12∠BEF ＝55°．【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.26．（1）BME DNE MEN ∠+∠=∠，证明见析；（2）MEN BME DNE ∠=∠-∠；（3）120FME ∠=【解析】【分析】(1)如图，过点E 作直线//EF AB ，由平行线的性质得到BME MEF ∠=∠，FEN DNE ∠=∠，即可求得MEN BME DNE ∠=∠+∠；(2)如图，记AB 与NE 的交点为G ，由平行线的性质得∠EGM=∠DNE ，由三角形外角性质得∠BME=∠MEN+∠EGM ，由此即可得到结论；(3)由角平分线的定义设BMF BME β∠=∠=∠，设22DNF DNE α∠=∠=∠，由(1)，得E αβ∠=∠+∠，由(2)，得2F βα∠=∠-∠，再根据2180F E ∠+∠=，可求得60β∠=，继而可求得2120FME β∠=∠=.【详解】(1)BME DNE MEN ∠+∠=∠，证明如下：如图，过点E 作直线//EF AB ，∵//EF AB ，∴BME MEF ∠=∠，又∵//AB CD ，∴//EF CD ，∴FEN DNE ∠=∠，∴MEN MEF FEN BME DNE ∠=∠+∠=∠+∠；(2)MEN BME DNE ∠=∠-∠，理由如下：如图，记AB 与NE 的交点为G ，又∵AB//CD ，∴∠EGM=∠DNE ，∵∠BME 是△EMG 的外角，∴∠BME=∠MEN+∠EGM ，∴∠MEN=∠BME-∠DNE ；(3)∵MB 平分EMF ∠，∴设BMF BME β∠=∠=∠，∵NE 平分DNF ∠，∴设22DNF DNE α∠=∠=∠，由(1)，得E BME DNE αβ∠=∠+∠=∠+∠，由(2)，得2F BMF DNF βα∠=∠-∠=∠-∠，又∵2180F E ∠+∠=，∴22()180βααβ∠-∠+∠+∠=，∴3180β∠=，即60β∠=，∴2120FME β∠=∠=.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。