人教版九年级数学第二十八章锐角三角函数单元复习含答案
Cα
E
A
N
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ M
ME ME b, MN ME a tan tan
Cα D β
E
A
B
N
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角 ∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.
4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角 (1) 利用计算器求三角函数值 第一步：按计算器 sin tan cos 键， 第二步：输入角度值， 屏幕显示结果. (不同计算器操作可能不同)
(2) 利用计算器求锐角的度数 方法①： 第一步：按计算器 2nd F sin cos tan 键，
第二步：输入函数值
图中CD＝BC－BD，由此可列方
程求出CD．
BD C
解：设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC = 3 ，
5
x 3， AD 5 x
AD 5
3
A
AD BC，BC 5 x， 3
又 BC－CD＝BD，
5 x x 4， 3
BD
C
解得x =6，∴CD=6.
(2) sinB的值．
解：延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，
∵sin∠PAO＝ 1 ，设OP＝x，AP＝3x，
∴AO＝ 2
3 2 x.
∵AO＝OE，∴OE＝ 2 2 x，
∴AE＝ 4 2 x.
∵sin∠PAO＝ 1 ，
3 ∴在Rt△ACE中
AC
2
2，∴3x 7 2 2
E ，解得x＝3，
AE 3 4 2x 3
∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，
∴∠AFE+∠BFC=90°.
∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.
在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，
由勾股定理易得BF=6.
∴tan∠BCF
=
3 .
4
10 8
∴tan∠AFE=tan∠BCF= 3 . 4
针对训练 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，
针对训练
1. 在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=cosB， 那么△ABC一定是__直__角__三角形．
2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B， 1
C都在格点上，则∠ABC的正切值是__2__.
例2 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点， 沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求 tan∠AFE．
DC
∴DC =
AC tan∠ADC
=
tan
3 60
1,
∴BC＝BD＋DC＝5.
在Rt△ABC中， AB AC2 BC2 2 7.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC 2 7 5 2 3.
例5 已知：如图，Rt△AOB中，∠O＝90°，以OA为 半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P. (1) 求证：BP＝BC；
解：BC=BD+CD=4+6=10=AD， 在Rt△ACD中，
AC AD2 CD2 102 62 8，
在Rt△ABC中，
AB AC2 BC2 64 100 2 41，
A
sin B AC 8 4 41 . AB 2 41 41
BD C
方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与 角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程 思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
∴AO＝2 2 x＝ 6 2 ，即⊙O的半径为6 2 .
针对训练
如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点
B的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C = 4 ，DF=3，
求⊙O的半径．
5
解：连接BD．
在⊙O中，∠C=∠A，
∴cosA=cosC=
4 5
.
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°．
解：原式 3 3 3
3
4
7. 4
考点三 解直角三角形
例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上， BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC = 3 ，求：
5 (1) DC的长；
分析：题中给出了两个直角三角
A
形，DC和sinB可分别在Rt△ACD
和Rt△ABC中求得，由AD＝BC，
设AB=4x，则AF=5x，
由勾股定理得，BF=3x． ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，
∴△ABF∽△BDF，
BF AF
=
DF ，即
BF
3x 5x
=
3 3x
，解得x
5 3
.
∴⊙O的半径为 1 AB 2x 10 .
2
3
考点四 三角函数的应用
例6 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中 AD∥ BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的 背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的 坡长AE．(结果保留根号)
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = cos(90°－α) ， cosα = __s_in_(_9_0_°__－__α_)_， sin2α + cos2α = 1 . tanα ·tan(90°－α) =_1__.
(4) 锐角三角函数的增减性
对于sinα与tanα，角度越大，函数值越 大 ； 对于cosα，角度越大，函数值越_小___.
＝__c__，
sin A
sin B
tanA＝___co_s__A___，tanB＝__c_o_s_B__.
(2) 直角三角形可解的条件和解法
◑条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．
◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出 另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边； 知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股 定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边， 再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添 加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
分析：根据题意，结合折叠的性 质，易得∠AFE=∠BCF，进而在 Rt△BFC中，有BC=8，CF=10， 由勾股定理易得BF的长，根据三 角函数的定义，易得 tan∠BCF 的值，借助∠AFE=∠BCF，可得 tan∠AFE的值．
10 8
解：由折叠的性质可得，CF=CD，
∠EFC=∠EDC=90°.
优翼 课件
第二十八章
九年级数学下（RJ） 教学课件
锐角三角函数
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1. 锐角三角函数
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1) ∠A的正弦：sin
A
=
∠A的对边
斜边
a； c
∠A的邻边
b
(2)∠A的余弦：cosA＝ 斜边 ＝ c ；
FH
EH tan∠F
= 10 i
10
3 (米)， i=1:
3
ED C
FG FH HG 10 3 2 (米).
45°
又∵AG=DG=10米，
F A HG
B
∴ AF FG AG 10 3 2 10 10 3 8 (米). 故加固后坝底增加的宽度AF为 10 3 8 米.
解：连接OC. ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OCB＝90°， ∴∠OCA＋∠BCA＝90°. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OAC＋∠BCA＝90°， ∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°， ∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP.
(2) 若sin∠PAO＝ 1 ，且PC＝7，求⊙O的半径． 3
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
(2) 方位角
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目
标方向线构成的小于900的角，叫做方位角. 如图
所示：
北A 30°
西
O
东
45°
B南
北
西北
东北
45°
西
45°O
西南
南
东 东南
(3) 坡度，坡角 如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面坡度.记作i，即i = h . l 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 i = tan α. 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，
坡面就越陡.
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是： ① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； ③ 得到数学问题的答案； ④ 得到实际问题的答案．
6. 利用三角函数测高 (1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤： ①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； ②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l； M ③量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l ·tanα+a.
∠A的对边
a
(3)∠A的正切：tanA＝ ∠A的邻边 ＝ b .
2. 特殊角的三角函数
1
2
3
sin30°＝ 2 ，sin45°＝ 2 ，sin60°＝ 2 ；
3
2
人教版九年级下数学第二十八章锐角三角函数单元练习题（含答案）
《锐角三角函数》单元练习题一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（）A．3sinαB．3cosαC．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（）A．B．C．D．3．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5 米B．5米C．2米D．4米4．如图，护林员在离树8m的A处测得树顶B的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为1.6m，则树的高度BD为（）A．8m B．9.6m C．（4）m D．（8+1.6）m5．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（）A．B．C．D．6．如图，网格中小正方形的边长都为1，点A，B，C在正方形的顶点处，则cos∠ACB的值为（）A．B．C．D．7．如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14m到达D，在D处测得A的仰角为45°，塔高AB为（）A．m B．m C．m D．m8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，CD是斜边AB上的高，则cos∠BCD 的值为（）A．B．C．D．9．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为（）A．千米B．千米C．千米D．千米10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（）A．8B．12C．13D．1811．已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，如果它把一物体从地面送到离地面9米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）A．18米B．4.5米C．米D．米．12．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．cm B．cm C．64 cm D．54cm二．填空题13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，若3a＝4b，则sin B的值是．14．已知∠A是锐角，且cos A＝，则tan A＝．15．如图，在点A处测得点B处的仰角是．（用“∠1，∠2，∠3或∠4”表示）16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，过点A作AE⊥CD交BC于点E，如果AC＝2，BC＝4，那么cot∠CAE＝．17．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．18．如图，某水库大坝的横假面是梯形ABCD，坝顶宽DC是10米，坝底宽AB是90米，背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，那么这个水库大坝的坝高是米．三．解答题19．计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣6cos245°．20．如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53°方向的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距海里．（本题参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）（1）试问船B在灯塔P的什么方向？（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）21．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．22．如图，已知：R t△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A 作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．23．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡AF上的D处测得大树顶端B的仰角是30°，在地面上A处测得大树顶端B的仰角是45°．若坡角∠F AE＝30°，AD＝6m，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.73）24．“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，≈2.65）25．被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“大玉米”）坐落在风景如画的如意湖，是来郑州观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数知识后，刘明和王华同学决定用自己学到的知识测量“大王米”的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量项目及结果如下表：项目内容课题测量郑州会展宾馆的高度的仰角是α，前进一段距离到达C点用测倾器CF测得楼β，且点A、B、C、D、E、F均在同一竖直平测量数据∠α的度数∠β的度数EC的长度，40°45°53米……请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出郑州会展宾馆的高度（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数）参考答案一．选择题1．【解答】解：∵∠A＝α，AB＝3，∴cosα＝，∴AC＝AB•cosα＝3cosα，故选：B．2．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，∴tan A＝＝，故选：A．3．【解答】解：作BC⊥地面于点C，设BC＝x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC＝2x米，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，解得，x＝2，即BC＝2米，故选：C．4．【解答】解：在Rt△CBH中，∠HCB＝45°，CH＝8m，∴，∴HB＝CH•tan∠HAB＝8×tan45°＝8m，∴HD＝HB+AC＝8+1.6＝9.6．答：树的高度为9.6m．故选：B．5．【解答】解：如图，由sinα＝＝可设PQ＝4a，OP＝5a，∵OQ＝3，∴由OQ2+PQ2＝OP2可得32+（4a）2＝（5a）2，解得：a＝1（负值舍去），∴PQ＝4，OP＝5，则tanα＝＝，故选：C．6．【解答】解：如右图所示，∵网格中小正方形的边长都为1，∴CE＝＝2，AC＝＝，AE＝3，CD＝4，作AH⊥CE于点H，∵，∴，解得，AH＝，∵AC＝，AH＝，∠AHC＝90°，∴CH＝＝，∴cos∠ACH＝，即cos∠ACB＝，故选：D．7．【解答】解：在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴BD＝AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴BC＝AB．设AB＝x（米），∵CD＝14，∴BC＝x+14．∴x+14＝x∴x＝7（+1）．即铁塔AB的高为7（+1）米．故选：B．8．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，∴BC＝7，∵CD是斜边AB上的高，，∴CD＝＝，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴cos∠BCD＝＝＝，故选：B．9．【解答】解：作PC⊥AB交AB于点C，如右图所示，AC＝，BC＝，∵m＝AC﹣BC，∴m＝﹣，∴PC＝＝，故选：A．10．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝，∴＝，∴AB＝13，∴BC＝＝12，故选：B．11．【解答】解：如图：由题意得：斜坡AB的坡度：i＝1：2，AE＝9米，AE⊥BD，∵i＝＝，∴BE＝18米，∴在Rt△ABE中，AB＝＝9（米）．故选：D．12．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，令b＝3x，则a＝4x，由勾股定理可得c＝5x，所以sin B＝＝＝，故答案为：．14．【解答】解：∵∠A为锐角，且cos A＝，以∠A为锐角作直角三角形△ABC，∠C＝90°．∴cos A＝＝．设AC＝5k，则AB＝13k．根据勾股定理可得：BC＝12k．∴tan A＝＝．故答案为：．15．【解答】解：在点A处测得点B处的仰角是∠4，故答案为：∠4．16．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，∴AD＝CD＝BD，∴∠ACD＝∠CAD，∠DCB＝∠B，∵AE⊥CD，∴∠CAE+∠ACD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝∠B，∴cot∠CAE＝cot B＝＝＝2，故答案为：2．17．【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，则四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC＝GB＝20，HB＝FD，∵B为CD的中点，∴EG＝CB＝BD＝HF，由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10米，在Rt△AHP中，AH＝HF•t an45°＝10米，∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10（米）．答：2号楼的高度为（50﹣10）米．故答案为：（50﹣10）．18．【解答】解：如图所示：过点D作DM⊥AB于点M，作CN⊥AB于点N，设DM＝CN＝x，∵背水坡AD和迎水坡BC的坡度都为1：2.5，∴AM＝BN＝2.5x，故AB＝AM+BN+MN＝5x+10＝90，解得：x＝16，即这个水库大坝的坝高是16米．故答案为：16．三．解答题（共7小题）19．【解答】解：原式＝2×+4××﹣6×（）2＝1+2﹣3＝0．20．【解答】解：（1）过P作PC⊥AB交AB于C，在Rt△APC中，∠C＝90°，∠APC＝53°，AP＝50海里，∴PC＝AP•cos53°＝50×0.60＝30海里，在Rt△PBC中，∵PB＝20，PC＝30，∴cos∠BPC＝＝，∴∠BPC＝30°，∴船B在灯塔P的南偏东30°的方向上；（2）∵AC＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，BC＝PB＝10，∴AB＝AC﹣BC＝（40﹣10）海里，答：两船相距（40﹣10）海里．21．【解答】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝BP＝；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴＝，∴＝，∴＝，设CP＝k，则P A＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴P A＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A＝；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD＝AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，∴PD＝．22．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tan D＝tan∠ECH＝＝．23．【解答】解：延长BD交AE于点G，作DH⊥AE于H，设BC＝xm，由题意得，∠DGA＝∠DAG＝30°，∴DG＝AD＝6，∴DH＝3，GH＝＝3，∴GA＝6，在Rt△BGC中，tan∠BGC＝，∴CG＝＝x，在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝x，由题意得，x﹣x＝6，解得，x＝≈14，答：大树的高度约为14m．24．【解答】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，∵AC＝20，∠CAB＝60°，∴AG＝AC＝10，CG＝AG＝10，∵BC＝BD﹣CD＝30，∵CG⊥AB，DH⊥AB，∴CG∥DH，∴△BCG∽△BDH，∴＝，∴＝，∴DH＝≈23（厘米）；∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；（2）过C′作C′S⊥MN于S，∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，∴A′S＝C′S＝10，∴BS＝＝10，∴A′B＝10+10，∵BG＝＝10，∴AB＝10+10，∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．25．【解答】解：由题意可得：设BN＝FN＝x，则tan40°＝＝≈0.84，解得：x＝278.25，故AB＝278.25+1.5≈280（m），答：郑州会展宾馆的高度为280m．。
人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用复习练习及答案
第28章锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用1. 在厶ABC中，/ A=120° AB=4 AC=2 贝卩sinB 的值是（）A. 口B .-i C .2 D14 5 7 142. 在Rt△ ABC中，/ C=90 ,若AB=4 sinA=?，则斜边上的高等于（）5A. 64 B .兰C . 16 D . 1225 25 5 53. 如图，在Rt△ ABO中，斜边AB= 1,若OC/ BA / AOC= 36°，贝S （）A. 点B到AO的距离为sin 54B. 点B到AO的距离为tan 36 °C. 点A到OC的距离为sin 36 ° sin 54D. 点A到OC的距离为cos 36 sin 544. 如图是教学用直角三角尺，边AC= 30 cm,/ C= 90° tan / BAC=则边BC的长为（）A. 30 3 cm B . 20 3 cm C . 10 3 cm D . 5 3 cm\[2 35. 如图，在△ ABC中，cos B= ,sin C= , AC= 5,则厶ABC的面积是（）2 5A.fB. 12C. 14D. 21 6•河堤横断面如图所示，堤高BC= 6 m,迎水坡AB的坡比为1 : 3,则AB的长为（）A. 12 m B . 4 3 m C . 5 3 m D . 6 3 m7. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15 m,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角a为60°，又从A点测得D点的俯角B为30°,若旗杆底部G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()A. 20 m B . 10 3 m C . 15 3 m D . 5 6 m8. 一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20 n mile，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20 min 后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A. 10：3 n mile/h B .30 n mile/h C . 20 ';3 n mile/h D . 30 : 3n mile/h9. 从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°,看到楼顶部点D处的仰角为60°,已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（A. (6+2 .3) 米B (6+3 .3) 米C (6+6 .3 )米D . 12 米10. 如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）.为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30° 则B、C两地之间的距离为()3A. 100 3 m B 50 2m C. 50 3m D .咛11. 在Rt△ ABC中，CA= CB AB=込/2,点D在BC边上，连接AD 若tan1/ CAD= 3,贝y BD的长为 _____ .12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3 , 0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC= 2,设tan / BOC= m则m的取值范围是________ .13. 在等腰三角形ABC中，/ A= 30°, AB= 8,贝S AB边上的高CD的长是14. 在Rt△ ABC中，/ C=90 , tanA = 4, BC=8 则厶ABC的面积为.315. 等腰三角形的一腰长为6cm,底边长为673cm则其顶角为___________ .16. 在Rt△ ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于点D.已知AC=5 , BC=2 那么sin / ACD= _____17. 如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°, D为BC上一点，/ DAC=30 , BD=2 AB= 2怎,贝S AC的长是_______ .18. 如图，从地面上点A处测得山顶上铁塔BD的塔顶和塔底的仰角分别为B =60°和a =45°，已知塔高BD=100m那么山高CD= m .（结果保留根号）19. 如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C 点处的俯角为45°.则海底C点处距离海面DF的深度为________ 米（结果精确到个位，参考数据：2〜1.414 , . 3〜1.732 , 〜2.236 ）…字二…一/产'即~~时•、\I 、20. 如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45° .已知山坡AB垂直于视线AD AB=20米，AE=30米,则这块宣传牌CD的高度为________________ 米.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：2〜1.414 , 3〜1.732 ）.21. 如图，在△ ABC中，CDLAB 垂足为D.若AB=12 CD=6 tanA=?，求2 sinB+cosB 的值.22. 已知：如图，Rt△ AOB中，/ 0=90，以0A为半径作O Q BC切OO于点C,连接AC交QB于点P.(1) 求证：BP=BC(2) 若sin / PAQ= 1，且PC=7 求OO 的半径.323. 如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC= 30 m,由地面向上依次为第1层、第2层，…，第10层，每层高度为3 m假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长h m.(1)用含a的式子表示h；(不必指出a的取值范围)⑵当a= 30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若a每小时增加15°，从此时起几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？24. 如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m,他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°;小红眼睛与地面的距离（CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、ND 在同一条直线上）.求出旗杆MN勺高度.（参考数据：2〜1.4…3〜1.7 , 结果保留整数.）26.如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF,从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角a为45° .从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角B为30°.已知树高EF=6米，求塔CD的高度.（结果保留根号）[Um答案：1 —10 DBCCA AADCA 11.612.5 m^-2"13.^3^或4 或4 314.2415. 120°16.二3 17. 318. 50 ( 3+1)19. 260020. 5.421. 解：在 Rt △ ACD 中，T/ADC=90，二 tanA 二 CD - 3，二 AD=4 AD AD 2••• BD=AB -AD=12-4=8 在 Rt △BCD 中,BDC=90 , BD=8 CD=6 BC= BD 2 CD 2 =10, • sinB 二 CD 3 , cosB=BD - , • sinB+cosB=3+« =7 . BC 5BC5 5 5 5 22. (1)证明：连接 OC T BC 是O O 切线，•/0(B=90°,「./OCA / BCA=90 , T OA=O , •/ OCA / OAC / BOA=90，•/ OAC+APO=90,T / APO / BPC •/ OAC / BPC=90，•/ BPC / BCA 二 BC=BP(2)解：延长 AO 交O O 于点 E ,连接 CE 在 Rt △ AOP 中, T sin / PAO=,3设 OP=x AP=3x 贝y AO=22x ,T AO=OE 二 OE=22x ,「. AE=^2x , 解得：x=3,・ AO=6 2 .23. 解：（1）如图，过点E 作EF ±AB 于点F.由题意可知，四边形 ACEF 为矩形，• EF = AC= 30, AF = CE= h ,Z BEF= T AB= 3X 10= 30,・ BF = AB- AF = 30- h.T sin / PAO=,3CE = 1 AE 3 AC 2一2 . 3x 7= .・ --------- - AE 3 '3「• h = 30— 30tan a .⑵ 当 a = 30° 时，h = 30 — 30tan 30 ° = 30 — 30^3〜12.7.3T 12.7 — 3~4.2，二当a= 30°时，B 点的影子落在乙楼的第五层.当 h = 0 时，30 — 30ta n a= 0,得 a= 45 °,Ta 每小时增加15°,二从此时起1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.24. 解：过点A 作AE± MN 于 E ,过点C 作CF 丄MN 于 F ,则 EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2 (m ),在 Rt △ AEM 中, v/ AEM=90 , / MAE=45 , • AE=ME 设 AE=ME=xm 贝S MF=(x+0.2 ) m , FC= (28-x ) m在 Rt △ MFC 中, v/ MFC=90，/ MCF=30，二 MF=CF?ta / MCF• x+0.2二乜 (28-x )，解得 9.7，二 MN 二ME+EN=9.7+1.711 米.又•••在 Rt △ BEF 中，tan / BEF = ||, ••• tan a= 30—1，即 30— h = 30tan a, 30答：旗杆MN 的高度约为11米.解：由题意可知/ BAD W ADB=45，二 FD 二EF 二米，在 Rt △ PEH 中, tan B =CG ，二CG=( 5 3+6)?二=5+2 3，：. CD=( 6+2.3 ) 米. PG 326. tan B =EH PHBF ，八 BF =： 5 3，二 PG=BD=BF+FD=35+6, 在 RT A PCG K。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)正切函数专题练习(含答案)
人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数之正切函数专题练习一、选择题1.如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于( )A．abB．baC．aa2+b2D．ba2+b22.如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是( )A． 1B． 1.5C． 2D． 33.在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y 的值是( )A． 2B． 8C．－2D．－84.正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，则它与x轴所夹锐角的正切值是( )A．23B．32C．132D．1335.根据图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是( )A． 0.26B． 0.43C． 0.90D． 2.236.如图，在2×3的正方形网格中，tan ∠ACB的值为( )A．223B．2105C．12D． 27.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan ∠APB等于( )A． 1B．3C．33D．128.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )A．12B．13C．14D．249.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，AC＝1，则tan A的值为( )A．12B．32C．33D．310.如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB＝2BC，则tan ∠CBE＋tan ∠DAE的值是( )A． 2B． 2＋3C． 2－3D． 2＋2311.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值( )A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．大小不变12.比较tan 20°，tan 50°，tan 70°的大小，下列不等式正确的是( )A． tan 70°＜tan 50°＜tan 20°B． tan 50°＜tan 20°＜tan 70°C． tan 20°＜tan 50°＜tan 70°D． tan 20°＜tan 70°＜tan 50°二、填空题13.如图，P(12，a)在反比例函数y＝60图象上，PH⊥x轴于H，则tan ∠POH的值为__________．x14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b＝3a，则tan A＝__________.15.在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________．16.已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．17.比较大小：tan 50°________tan 48°.三、解答题18.如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2)，BA⊥x轴于A.求tan ∠BOA的值．19.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan B的值．答案解析1.【答案】B【解析】如图因为第一象限的点P的坐标是(a，b)，所以tan ∠POx＝ba.故选B.2.【答案】B【解析】如图，tanα＝ABOB ＝2，即3t＝2，解得t＝1.5.故选B.3.【答案】D【解析】如图，∵点P(4，y)在第四象限内，∴OA＝4，PA＝－y又OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，∴tan ∠AOP＝2，∴PAOA＝2，∴－y＝2×4，∴y＝－8.故选D.4.【答案】A【解析】如图，过A作AB⊥x轴于B，∵A(3,2)，∴AB＝2，OB＝3，∵正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，∴它与x轴所夹锐角的正切值是tan ∠AOB＝ABOB ＝23，故选A.5.【答案】B【解析】如图，AB≈2.6，OB＝6，tanα＝ABOB ≈2.66≈0.43.故选B.6.【答案】D【解析】如图，过A作AD⊥BC于D，设每个小正方形边长为1，在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，则tan ∠ACB＝ADCD＝2，故选D.7.【答案】A【解析】∵A、B、O是小正方形顶点，∴∠AOB＝90°，∴∠APB＝12∠AOB＝45°，∴tan ∠APB＝1.故选A.8.【答案】B【解析】设每个小正方形边长为1，过C点作CD⊥AB，垂足为D.根据旋转性质可知，∠B′＝∠B.在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝3，故tan B＝CDBD ＝13，则tan B′＝tan B＝13.故选B.9.【答案】D【解析】∵AB＝2，AC＝1，∴CB＝22−12＝3，∴tan A＝BCAC＝3，故选D.10.【答案】【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴tan ∠CBE＝CEBC ，tan ∠DAE＝DEAD，∵AD＝BC，CE＋DE＝CD＝AB＝2AD，∴tan ∠CBE＋tan ∠DAE＝CEBC ＋DEAD＝CDAD＝2ADAD＝2.故选A.11.【答案】D【解析】把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形与原来的三角形相似，则∠B的大小不变，则∠B的正切值不变．故选D.12.【答案】C【解析】由锐角的正切值随角增大而增大，得tan 20°＜tan 50°＜tan 70°，故C符合题意，故选C.13.【答案】512【解析】∵P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，∴a＝6012＝5，∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan ∠POH＝512.14.【答案】23【解析】∵∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，∴tan A＝ab，∵2b＝3a，∴a b ＝23，∴tan A ＝a b ＝23.15.【答案】不变【解析】∵锐角的正切值是该角的对边与邻边的比，∴当各边都扩大为原来的4倍时，比值不变．16.【答案】0＜tan B ≤3【解析】根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°.根据题意，知：0°＜∠B ≤60°.又tan 60°＝3，故0＜tan B ≤3.17.【答案】＞【解析】根据锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，∵50°＞48°，∴tan 50°＞tan 48°.18.【答案】解 tan ∠BOA ＝AB OA ＝24＝12.【解析】19.【答案】解 如图，过点A 作AD ⊥BC 的延长线于D ，S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×AD ＝12，解得AD ＝4，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2−AD 2＝82−42＝43，tan B ＝AD BD ＝443＝33.【解析】过点A作AD⊥BC的延长线于D，利用三角形的面积求出AD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．。
人教新版九年级下《第28章锐角三角函数》单元测试卷含答案解析
第28章锐角三角函数单元测试卷一．选择题（共12小题）1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1C．D．2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）A．B．C．D．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）A．B．C．1D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C 的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5B．C．1D．7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈.90，tan26°≈0.49）A．29.0B．28.5C．27.5D．27.010．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50°方向上；②A地在B地的北偏西30°方向上；③cos∠BAC=；④∠ACB=50°．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④二．填空题（共12小题）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是．16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα=．17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．21．计算：tan45°+=；22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=．23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为．B．用科学计算器计算：sin69°≈（精确到0.01）．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）三．解答题（共26小题）25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．26．计算：sin30°﹣cos45°+tan260°．27．计算：2sin30°﹣2cos45°．28．计算：2cos230°+﹣sin60°．29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．30．（1）计算与化简：cos60°•tan30°（2）因式分解：3a2﹣6a+3．31．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．34．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的长．35．在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B （﹣1，3），C（﹣4，3），求sinB的值．36．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=20．（1）求BC的长度；（2）若∠ADC=75°，求CD的长．37．C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM ∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）38．如图，为了测量某条河的宽度，在它的对岸岸边任取一点A，再在河的这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60°，∠ACB=45°，量得BC的长为30m，求这条河的宽度（结果精确到1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732．）39．清明节假期，小红和小阳随爸妈去旅游，他们在景点看到一棵古松树，小红惊讶的说：“呀！这棵树真高！有60多米．”小阳却不以为然：“60多米？我看没有．”两个人争论不休，爸爸笑着说：“别争了，正好我带了一副三角板，用你们学过的知识量一量、算一算，看谁说的对吧！”小红和小阳进行了以下测量：如图所示，小红和小阳分别在树的东西两侧同一地平线上，他们用手平托三角板，保持三角板的一条直角边与地平面平行，然后前后移动各自位置，使目光沿着三角板的斜边正好经过树的最高点，这时，测得小红和小阳之间的距离为135米，他们的眼睛到地面的距离都是1.6米．（1）请在指定区域内画出小红和小阳测量古松树高的示意图；（2）通过计算说明小红和小阳谁的说法正确（计算结果精确到0.1）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）40．如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A，B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，某人在点A处测得∠CAQ=30°，再沿AQ方向前进20米到达点B，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据≈1.414，≈1.732）41．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i=1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD=8x（m）．（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→B）到达B地，平均速度是2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．42．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）43．电影《厉害了，我的国》震撼上演后，引起了大家的强烈共鸣，当“复兴号”一幕又一幕的奔驰在祖国广袤的大地上，中国高铁的车轮快速的滚出了崭新中国的新画卷．中国高铁的飞速发展，使越来越多的人选择高铁出行．为了保证市民出行方便，某市的高铁站出入口与地铁站出入口进行对接．已知某人沿着坡角为30°的楼梯AB从A行至B，后沿BC路线上斜坡CD，坡角为30°，再行走一段距离DE，到达高铁入口处．若入口处楼梯EF的坡角为45°，DE∥BC∥AF，AB=20米，CD=4米，那么EF的长度是多少米？（保留0.1米）（≈1.414）44．图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图2，AB ⊥BC，垂足为点B，CD∥AB，FG⊥DE，垂足为点G，若∠θ=37°50′，FG=30cm，CD=10cm，求CF的长（结果取整数，参考数据：sin37°50′≈0.6l，cos37°50′≈079，tan37°50′≈0.78）45．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度．（结果保留整数）【参考数据：sin35°=0.57，cos35°=0.82，tan35°=0.70】46．如图，李强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼，为了求得对面办公大楼的高度，李强测得办公大楼顶部点A的仰角为30°，测得办公大楼底部点B 的俯角为37°，已知测量点P到对面办公大楼上部AD的距离PM为30m，办公大楼平台CD=10m．求办公大楼的高度（结果保留整数）．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，≈1.73）47．为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）48．如图是宁夏沙坡头的沙丘滑沙场景．已知滑沙斜坡AC的坡度是tanα=，在与滑沙坡底C距离20米的D处，测得坡顶A的仰角为26.6°，且点D、C、B 在同一直线上，求滑坡的高AB．（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．49．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）50．如图，在一次海警演习中，A、B两地分别同时派出甲、乙两快艇营救一货轮C，已知B地位于A地正西方向相距84海里位置，货轮C位于A地正北方向，位于B地北偏东48.2°方向（所有数据精确到个位，sin48.2°≈0.7，cos48.2°≈0.6，tan48.2°≈1.05）（1）求A、B两地分别与货轮C的距离；（2）若乙快艇每小时比甲快艇多行驶20海里，且它们同时达到货轮C位置，求甲、乙快艇的速度．答案一．选择题（共12小题）1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1C．D．【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵tan∠BCD=，设BE=x，则AC=2x，∴tanA===，故选：A．【点评】本题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．2．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，=，则sinA的值为（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，∴=，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴==，设AD=2a，则AC=5a，根据勾股定理得到CD=a，因而sinA==．故选：B．【点评】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到△AED∽△ABC是解决本题的关键．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（）A．B．C．1D．【分析】先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用sin60°=，cos60°=可求DB=，AD=，把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【解答】解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，∴DB=，AD=c，在Rt△ADC中，DC2=AC2﹣AD2，∴（a﹣）2=b2﹣c2，即a2+c2=b2+ac，∴．故选：C．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C 的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）【分析】作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．由△CBH∽△BAO，推出===2，推出BH=﹣2a，CH=2b，推出C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，可得=，推出=，推出FH=2c，可得C（﹣b﹣2c，2b），因为2c+2b=﹣2a，推出2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，可得C（a﹣c，﹣2a﹣2c），由此即可判断；【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC==2，∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°，∴∠CBH=∠BAO，∵∠CHB=∠AOB=90°，∴△CBH∽△BAO，∴===2，∴BH=﹣2a，CH=2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴=，∴=，∴FH=2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b=﹣2a，∴2b=﹣2a﹣2c，b=﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A．B．C．5D．【分析】作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形．根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长．【解答】解：作CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD中，，∴BD==2．∴AB=AD+BD=5．故选：C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．6．如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=3；E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=BC，则图中线段AC与EF之间的最短距离是（）A．0.5B．C．1D．【分析】过F作FG⊥AC于G，然后连接AF，根据△ACF和△ABC底和高的比例可得出△ACF的面积，然后根据S ACF=AC×FG可求出FG的长，继而得出了答案．【解答】解：过F作FG⊥AC于G，连接AF，可得：△ACF和△ABC底之比为1：3；高之比为1：1；∴△ACF和△ABC的面积之比为1：3，又∵AB=2，BC=3，∴S△ABC =3，S△ACF=1，又∵S△ACF=AC×FG，∴FG=．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，难度较大，首先要判断出FG可表示最短距离，然后解答本题关键的一步是利用底与高的关系求出△AFC的面积．7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB=15°，∠ACD=45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（）A．50m B．25m C．（50﹣）m D．（50﹣25）m【分析】如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AM=BN．通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度，则易得MN=AB．【解答】解：如图，过点A作AM⊥DC于点M，过点B作BN⊥DC于点N．则AB=MN，AM=BN．在直角△ACM，∵∠ACM=45°，AM=50m，∴CM=AM=50m．∵在直角△BCN中，∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°，BN=50m，∴CN=（m），∴MN=CM﹣CN=50﹣（m）．则AB=MN=（50﹣）m．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．8．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB=60°，OA=OB=14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm【分析】根据OA=OB，可知△AOB是等腰三角形，作OG⊥AB于点G，从而可以得到AG=BG，∠AOB=2∠AOG，从而可以得到OG的长．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA=OB=14厘米，∠AOB=60°，∴∠AOG=∠BOG=30°，AG=BG，∴OG=OA•cos30°=7厘米，故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数解答．9．今年，重庆被“抖音”抖成了“网红城市”，其中解放碑的游客数量明显高于去年同期，如图，小冉和小田决定用所学知识测量解放碑AB的高度，按照以下方式合作并记录所得数据：小冉从大厦DG的底端D点出发，沿直线步行10.2米到达E点，再沿坡度i=1：2.4的斜坡EF行走5.2米到达F点，最后沿直线步行30米到达解放碑底部B点，小田从大厦DG的底端乘直行电梯上行到离D点51.5米的顶端G点，从G点观测到解放碑顶端A点的俯角为26°，若A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，且B，F和C，E，D分别在同一水平线上，则解放碑AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈.90，tan26°≈0.49）A．29.0B．28.5C．27.5D．27.0【分析】作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．想办法求出BC、AH即可解决问题；【解答】解：作GH⊥BA于H，FM⊥CD于M．则四边形BCMF，四边形CDGH 是矩形．在Rt△FEM中，FM：EM=1：2.4，EF=5.2m，∴FM=BC=2m，EM=4.8m，CM=BF=30m，∴CD=CM+EM+DE=45m，∴GH=CD=45m，在Rt△AGH中，AH=GH•tan26°≈22.05m，∵CH=DG=51.5m，∴AB=CH﹣BC﹣AH=51.5﹣2﹣22.05≈27.5（m），故选：C．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．位于南开（融侨）中学旁边的“转转桥”是重庆市网红景点之一，在桥下人形天桥（如图1），其平面图如图2所示，天桥入口D点有一台阶DC，CD=0.5米，其坡度为i=1：0.75，在DC上方有一平层BC=1米，且BC与地面MN平行，在天桥顶端A点测得B点的俯角为63°，且AD⊥MN，为知道台阶AB的长度，请根据以上信息，帮小亮计算出台阶AB的长度，约为（）精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.90，cos63°≈0.45，tan63°≈2.00A．1.4米B．2.5米C．2.8米D．2.9米【分析】延长BC交AD于H．在Rt△DCH中，求出CH，再在Rt△ABH中求出AB即可；【解答】解：延长BC交AD于H．在Rt△CDH中，∵DH：CH=1：0.75，CD=0.5，∴DH=0.4，CH=0.3，∴BH=1.3，在Rt△ABH中，cos63°=，∴AB≈2.9（米），故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解仰角俯角的概念，理解坡度坡角的定义，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=45°+（90°﹣75°）=60°，∴BD=AB•cos60°=AB=6，AD=AB•sin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出方程是解决问题的关键．12．如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，C地恰好位于A地正东方向上，则（）①B地在C地的北偏西50°方向上；②A地在B地的北偏西30°方向上；③cos∠BAC=；④∠ACB=50°．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④【分析】先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．【解答】解：如图所示，由题意可知，∠1=60°，∠4=50°，∴∠5=∠4=50°，即B在C处的北偏西50°，故①正确；∵∠2=60°，∴∠3+∠7=180°﹣60°=120°，即A在B处的北偏西120°，故②错误；∵∠1=∠2=60°，∴∠BAC=30°，∴cos∠BAC=，故③正确；∵∠6=90°﹣∠5=40°，即公路AC和BC的夹角是40°，故④错误．故选：B．【点评】本题考查的是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．二．填空题（共12小题）13．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边AB边上的高CD的长为【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC=，再利用勾股定理计算出AC=，然后利用面积法计算CD的长【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中，∵sinA==，∴BC=×4=，∴AC==，∵CD•AB=AC•BC，∴CD==，即斜边上的高为．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．14．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图，tanα==故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．如图在方格纸中α，β，γ这三个角的大小关系是α=β＞γ．【分析】首先根据锐角三角函数的概念表示出tan∠1=，tan∠4=，进一步分析平行线，再根据平行线的性质进行分析．【解答】解：如图所示，tan∠1=，tan∠4=，故∠1=∠4．根据两直线平行，内错角相等，得∠3=∠2，于是∠1+∠2=∠3+∠4，即α=β．根据两直线平行，内错角相等，得∠4=∠5，又∠3＞∠6，故∠3+∠4＞∠5+∠6，即β＞γ．所以α=β＞γ．【点评】考查了平行线的性质及识图分析能力．从图中找出同位角、内错角和同旁内角、根据平行线的性质解答．16．若0°＜α＜90°，tanα=1，则sinα=．【分析】由0°＜α＜90°、tanα=1知∠α=45°，据此可得sinα=．【解答】解：∵0°＜α＜90°，tanα=1，∴∠α=45°，则sinα=，故答案为：．【点评】本题主要考查特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．17．△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA+cosA=．【分析】根据tanA=和三角函数的定义画出图形，进而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的值．【解答】解：如图，∵tanA==，∴设AB=5x，则BC=4x，AC=3x，则有：sinA+cosA=+=+=，故答案为：．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，只要画出图形，即可将正弦、余弦、正切函数联系起来，进而得出结论．18．设α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=．【分析】根据一个角的余切等于它余角的正切，可得答案．【解答】解：由α是锐角，如果tanα=2，那么cotα=，故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用一个角的余切等于它余角的正切是解题关键．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB=．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【解答】解：由∠C=90°，若sinA=，得cosB=sinA=，故答案为：．【点评】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．20．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，则cosA=．【分析】根据正切的定义，可得直角边，根据勾股定理，可得斜边，根据余弦函数，可得答案．【解答】解：如图，由tanB=，得AC=4k，BC=3k，由勾股定理，得AB=5k，cosA===，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用正切的定义得出直角边是解题关键．21．计算：tan45°+=5；【分析】先代入三角函数值、计算算术平方根，再计算加法可得答案．【解答】解：tan45°+=1+4=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值和算术平方根的定义．22．已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=30°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：∵∠A是锐角，tanA=，∴∠A=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．23．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为π．B．用科学计算器计算：sin69°≈ 2.47（精确到0.01）．【分析】A．根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解．B．直接使用科学计算器进行计算．【解答】解：A．∵AB=BC，CD=DE，∴=，=，∴+=+，∴∠BOD=90°，==π．∴S阴影=S扇形OBDB．sin69°≈2.47．故答案是：π；2.47．【点评】A．考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．B．考查了计算器的使用．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为8.16．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）【分析】根据计算器的使用，可得答案．【解答】解：tan 42≈0.9004，=0.9004，AC≈8.16，故答案为：8.16．【点评】本题考查了计算器，正确使用计算器是解题关键．三．解答题（共26小题）25．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．【分析】依题意设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，∴EC==5x，EM==x，CM==2x，∴EM2+CM2=CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM==．【点评】本题考查了锐角三角函数值的求法．关键是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转化到直角三角形中求解．26．计算：sin30°﹣cos45°+tan260°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求值即可．【解答】解：原式=﹣×+×（）2=﹣+×3=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值即可解题，属于基础题型．27．计算：2sin30°﹣2cos45°．【分析】首先计算特殊角的三角函数，然后再计算乘法，后计算加减即可．【解答】解：原式=2×﹣2×=1﹣+2=1+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．28．计算：2cos230°+﹣sin60°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式=2×（）2+﹣，=+﹣，=3﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．29．计算：3tan30°+cos245°﹣sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣sin60°==．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．30．（1）计算与化简：cos60°•tan30°（2）因式分解：3a2﹣6a+3．【分析】（1）根据特殊角三角函数值，可得答案；（2）根据提公因式法、公式法，可得答案．【解答】解：（1）原式=×=；（2）3a2﹣6a+3=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，分解因式要彻底，分解到不能分解为止．31．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．32．计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1+3﹣=3．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．33．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=24，cos∠BAC=，求CB的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形．有一组邻边相等的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．（2）通过解直角△ABC得到AC的长，利用勾股定理即可得到BC的长度．【解答】解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：。
人教版九年级数学下第二十八章锐角三角函数单元练习题(含答案解析)
tan 58°≈1.60，sin 76°≈0.97.cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.00)
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求tanB的值.
13．
【分析】
在直角三角形中，将AB的值代入余弦值中，可求出BC边的长．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=8，cosB= ，
∴ = ，
∴BC= ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查了解直角三角形，应用余弦函数的定义来求直角三角形的边是解题的关键．
14．
【详解】
过P作PA⊥OA，
∵P点坐标为（4，3），
18．在△ABC中，（tanA﹣ ）2+| ﹣cosB|=0，则∠C的度数为_____．
19．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，则sinA=________．
20．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC=_____．
三、解答题
21．计算：cos245° ＋ ＋cos230°.
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，AB＝5，则cosB的值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值是___________．
12．比较大小：cos 36°________cos 37°.
13．在Rt△ABC中，斜边AB的长是8，cosB＝ ，则BC的长是__________．
人教新版九年级数学下册 单元复习 第28章 锐角三角函数 含答案
第28章锐角三角函数一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（）A．8 B．12 C．13 D．182．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，AB＝2，则AC长是（）A．B．C．D．23．已知α为锐角，下列结论：（1）sinα+cosα＝1；（2）若α＞45°，则sinα＞cosα；（3）如果cosα＞，则α＜60°；（4）＝1﹣sinα．其中正确结论的序号是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（3）（4）4．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定5．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．06．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan B﹣|+（2cos A﹣1）2＝0，则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等边三角形C．等腰（不等边）三角形D．等腰直角三角形7．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠B．则sin B•sadA＝（）A．B．1 C．D．29．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（）A．B．C．D．10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面AB ＝2米，梯子与地面夹角α的正弦值sinα＝0.8．梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为（）A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米11．如图已知斜坡AB长米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度为3：1，休闲平台DE的长是（）米．A．20 B．15 C．D．二．填空题（共8小题）12．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是．13．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为．14．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin A+cos A＝．15．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，则cos A＝．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CB于点F．交CD于点E．若AC＝6，sin B＝，则DE的长为．17．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则S1：S2＝．18．如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D 与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD＝．19．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是m（结果保留根号）；三．解答题（共5小题）20．已知α为一锐角，sinα＝，求cosα，tanα．21．计算：2cos30°+sin45°﹣tan260°﹣tan45°．22．（1）已知∠A是锐角，求证：sin2A+cos2A＝1．（2）已知∠A为锐角，且sin A•cos A＝，求∠A的度数．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．24．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD 相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（）A．8 B．12 C．13 D．18【分析】先根据∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝，即可得到AB的长，再根据勾股定理，即可得到BC的长．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝，∴＝，∴AB＝13，∴BC＝＝12，故选：B．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，AB＝2，则AC长是（）A．B．C．D．2【分析】根据∠A的正弦值得到BC的长，进而利用勾股定理得到AC长即可．【解答】解：∵∠C＝90°，sin A＝，AB＝2，∴BC＝AB×sin A＝2×＝，由勾股定理得：AC＝＝．故选：A．3．已知α为锐角，下列结论：（2）若α＞45°，则sinα＞cosα；（3）如果cosα＞，则α＜60°；（4）＝1﹣sinα．其中正确结论的序号是（）A．（1）（3）（4）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（3）（4）【分析】根据锐角三角函数的定义、互余角的三角函数的关系、锐角三角函数的增减性、特殊角的三角函数值及绝对值的定义求解．【解答】解：（1）如果α＝30°，那么sinα＝，cosα＝，sinα+cosα＝≠1，错误；（2）∵90°＞α＞45°，∴0°＜90°﹣α＜45°＜α，∴sinα＞sin（90°﹣α），∴sinα＞cosα，正确；（3）∵cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，∴如果cosα＞，则α＜60°，正确；（4）∵sinα≤1，∴sinα﹣1≤0，∴＝|sinα﹣1|＝1﹣sinα，正确．故正确结论的序号是（2）（3）（4）．故选：C．4．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定【分析】cos A＝sin（90°﹣A），再根据余弦函数随角增大而减小进行分析．【解答】解：∵cos A＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，∴当0°＜∠A＜45°时，sin A＜cos A，即sin A﹣cos A＜0．故选：B．5．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．0【分析】将两式分别两边平方，利用sin2α+cos2α＝1，求出sinαcosα的值，解答即可．【解答】解：∵sinα+cosα＝，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．6．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan B﹣|+（2cos A﹣1）2＝0，则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形B．等边三角形C．等腰（不等边）三角形D．等腰直角三角形【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠B，∠A的度数，进而得出答案．【解答】解：∵|tan B﹣|+（2cos A﹣1）2＝0，∴tan B＝，2cos A＝1，则∠B＝60°，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．故选：B．7．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝×+×＝，故此选项正确；②tan105°＝tan（60°+45°）＝＝＝＝﹣2﹣，故此选项正确；③sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°＝×﹣×＝，故此选项正确；④cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°＝×﹣×＝0，故此选项正确；故正确的有4个．故选：D．8．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝2∠B．则sin B•sadA＝（）A．B．1 C．D．2【分析】证明△ABC是等腰直角三角形即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝2∠B，∴∠B＝∠C＝45°，∠A＝90°，∴BC＝AC，∴sin∠B•sadA＝•＝1，故选：B．9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（）A．B．C．D．【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用已知条件以及勾股定理构建方程组求出OA，OH即可解决问题．【解答】解：如图，作OH⊥AB于H．由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3，∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝4，∵AH2+OH2＝OA2，∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），∴OA+OH＝，∴OA＝，OH＝，∴cos∠OAB＝＝＝，故选：B．10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AC斜靠在右墙，测得梯子顶端距离地面AB ＝2米，梯子与地面夹角α的正弦值sinα＝0.8．梯子底端位置不动，将梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为（）A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米【分析】分别在Rt△ABC，Rt△DEC中求出AC，BC，CD即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2米，∴sinα＝，∴0.8＝，∴AC＝2.5米，BC＝＝1.5米，在Rt△ECD中，∵∠EDC＝90°，ED＝2.4米，EC＝AC＝2.5米，∴CD＝＝0.7，∴BD＝CD+BC＝0.7+1.5＝2.2米，故选：C．11．如图已知斜坡AB长米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度为3：1，休闲平台DE的长是（）米．A．20 B．15 C．D．【分析】延长DE交BC于H．解直角三角形求出BC＝AC＝30，再证明BH＝CH＝DH＝30，EH＝10，即可解决问题；【解答】解：延长DE交BC于H．由题意BH：EH＝3：1，在Rt△ABC中，AB＝60，∠BAC＝45°，∵BC＝AC＝60，∵AD＝DB，DH∥AC，∴BH＝CH＝30，∴DH＝AC＝30，∴EH＝10，DE＝30﹣10＝20，故选：A．二．填空题（共8小题）12．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是10 ．【分析】根据正弦函数的定义得出sin A＝，即＝，即可得出AB的值．【解答】解：∵sin A＝，即＝，∴AB＝10，故答案为：10．13．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为．【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，∴a＝＝5，∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH＝，故答案为：．14．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin A+cos A＝．【分析】根据tan A＝和三角函数的定义画出图形，进而求出sin A和cos A的值，再求出sin A+cos A的值．【解答】解：如图，∵tan A＝＝，∴设AB＝5x，则BC＝4x，AC＝3x，则有：sin A+cos A＝+＝+＝，故答案为：．15．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，则cos A＝．【分析】根据正切的定义，可得直角边，根据勾股定理，可得斜边，根据余弦函数，可得答案．【解答】解：如图，由tan B＝，得AC＝4k，BC＝3k，由勾股定理，得AB＝5k，cos A＝＝＝，故答案为：．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CB于点F．交CD于点E．若AC＝6，sin B＝，则DE的长为．【分析】先由AF平分∠CAB，CD⊥AB，过点E作EG垂直于AC，利用角平分线的性质定理得EG等于DE，易得Rt△AED全等于Rt△AEG以及∠DCA等于∠B，从而求得AD，AG，CG，然后在Rt△CEG中，由勾股定理求出EG，即为DE的长度．【解答】解：过点E作EG⊥AC于点G，又∵AF平分∠CAB，CD⊥AB，∴EG＝ED，在Rt△AED和Rt△AEG中，∴Rt△AED≌Rt△AEG（HL），AG＝AD．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠B+∠BAC＝∠DCA+∠BAC＝90°，∴∠DCA＝∠B，∵AC＝6，sin B＝，∴sin∠DCA＝sin B＝，∴＝，∴AD＝，∴DC＝＝＝，∴AG＝AD＝，CG＝AC﹣AG＝，∴在Rt△CEG中，CE2＝EG2+CG2，∴（DC﹣ED）2＝（DC﹣EG）2＝EG2+CG2∴，∴EG＝，∴DE＝．故答案为：．17．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则S1：S2＝1：1 ．【分析】过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，根据三角函数可求AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S1，S2，依此即可作出解答．【解答】解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，AG＝AB•sin40°＝5sin40°，∠DEH＝180°﹣140°＝40°，在Rt△DHE中，DH＝DE•sin40°＝8sin40°，S1＝8×5sin40°÷2＝20sin40°，S2＝5×8sin40°÷2＝20sin40°．则S1＝S2．故答案为：1：118．如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC为2米，斜坡AB的坡度，现把图中的货物沿斜坡继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，恰好可把货物放平装进货厢，则BD＝米．【分析】利用斜坡AB的坡度得到＝，进而证得△CBD∽△BAE，得到＝＝，然后设CD＝x米，则BD＝3x米，在Rt△CBD中，利用勾股定理求得答案即可．【解答】解：如图，∵斜坡AB的坡度，∴＝，∵∠CBD+∠ABE＝90°，∠ABE+∠A＝90°，∴∠CBD＝∠A，∵∠CDB＝∠AEB＝90°，∴△CBD∽△BAE，∴＝＝∴设CD＝x米，则BD＝3x米，货物顶点D与C重合，∴∠CDB＝90°，在Rt△CBD中，BD2+CD2＝BC2，即：x2+（3x）2＝22，x＝（负值舍去），∴BD＝米．故答案为米．19．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是45m，则甲楼的高AB是45m（结果保留根号）；【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：由题意可得：∠BDA＝45°，则AB＝AD，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，CD＝45m．tan∠CDA＝tan30°＝＝，即＝，解得：AD＝45（m），∴AB＝45m．故答案为：45．三．解答题（共5小题）20．已知α为一锐角，sinα＝，求cosα，tanα．【分析】根据sinα＝，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值，同理可得tanα的值．【解答】解：由sinα＝＝，设a＝4x，c＝5x，则b＝＝3x，故cosα＝＝，tanα＝＝．21．计算：2cos30°+sin45°﹣tan260°﹣tan45°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝2×+×﹣3﹣1＝﹣3．22．（1）已知∠A是锐角，求证：sin2A+cos2A＝1．（2）已知∠A为锐角，且sin A•cos A＝，求∠A的度数．【分析】（1）利用三角函数的定义即可得出结论；（2）利用三角函数的定义得出c2＝ab，再用勾股定理得出a2+b2＝c2，进而得出a＝b，即可得出结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，sin A＝，cos A＝，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，（1）证明：sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝1，（2）∵sin A•cos A＝，∴＝，∴c2＝2ab，∴a2+b2＝2ab，即：（a﹣b）2＝0，∴a＝b，在Rt△ABC中，tan A＝＝1，∠A＝45°．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tan B＝（1）求AC和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．【分析】（1）由tan B＝＝设AC＝3x、BC＝4x，据此得DC＝4x﹣2，根据∠ADC＝45°得AC＝DC，即3x＝4x﹣2，解之得出x的值，继而可得答案；（2）作DE⊥AB，设DE＝3a、BE＝4a，根据DE2+BE2＝BD2可求得a的值，继而根据正弦函数的定义可得答案．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∵tan B＝＝，∴设AC＝3x、BC＝4x，∵BD＝2，∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，∵∠ADC＝45°，∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，解得：x＝2，则AC＝6、BC＝8，∴AB＝＝10；（2）作DE⊥AB于点E，由tan B＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），∴DE＝3a＝，∵AD＝＝6，∴sin∠BAD＝＝．24．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD 相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．【分析】（1）根据已知条件得到CP＝4，求得BP＝2，根据三角形重心的性质即可得到结论；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到，求得＝，设CP＝k，则PA＝3k，得到PA＝PB＝3k根据三角函数的定义即可得到结论；（3）根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD＝∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝BP＝；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴＝，∴＝，∴＝，设CP＝k，则PA＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴PA＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A＝；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD＝AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，∴PD＝．。
人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案
第二十八章 锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)． 故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ， 即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )， 所以OC ＝OB ， 所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， 则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB， 则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)． 则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ， 设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。
人教版-数学-九年级下册--第二十八章 锐角三角函数全章小结与复习测试(含答案)
小结与复习知识结构基础知识1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，a2+b2=c2，sinA=cosB=ac， cosA=sinB=bc，tanA=cotB=ab， cosA=tanB=ba．2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB． 3．同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA=sin cos,cotcos sinA AAA A．4．特殊角的三角函数三角函数0°30°45°60°90°sinα 0 1222321cosα 1 322212tanα 0 321 3不存在cotα不存在3 1 33解直角三角形的基本类型解直角三角形的基本类型及其解法如下表：类型已知条件解法解直角三角形注意点1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位． 思想方法总结 1．转化思想转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题． 2．数形结合思想本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决． 3．函数思想锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a 与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a 任意确定的一个度数，sina 都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina 在（01）之间任意确定的一个值，锐角a 都有惟一确定的一个度数与之对应． 4．方程思想在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素． 中考新题型 例1 计算：（1）sin 230°-cos45°·tan60°（223tan 30︒+分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：（1）sin30°-cos45°·tan60°=14-2=14（2）原式+1-3×（3）2+1-1+2（1-2）=2 说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，•这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．例 2 如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．•小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），•请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47•°≈0.6820，tan47°≈1.0724）分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF•中求出BC 与DF，两者之和即为所求．解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．答：缆车垂直上升了246.28米．说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；•二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．课时作业设计本章单元测试．单元测试一、选择题．1．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于（）．A．45 B．5 C．15D．1452．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若cotA=34，则cosA等于（）．A．45B．35C．43D．343．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B之间的距离应为（）．A ．15sin50°米B ．15cos50°米；C ．15tan50°米D ．15cot50°米CBAaADC(第3题) (第6题) (第7题) 4．如果si n 2a+sin 230°=1，那么锐角a 的度数是（ ）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若2，则cosB 的值为（ ）． A ．12B ．22C ． 32D ．16．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，•测得AC=a ，∠ACB=a ，那么AB 等于（ ）．A ．a ·sinaB ．a ·cosaC ．a ·tanaD ．a ·cota7．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC=4，BC=3，则sin ∠ACD 的值为（ ）． A ．43 B ．34 C ．45 D ．358．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm ，则斜边的长是（ ）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 9．在△ABC 中，sinB=cos （90°-C ）=12，那么△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形10．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（ ）． A ．sinA=125 B ．cosA=1213 C ．tanA=125 D ．cotA=121311．如图，为测楼房BC 的高，在距离房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC•的高为（ ）．A．30tanα米B．3030.30sin.tan30sinC Dααα米米BAαCBADC(第11题) (第12题)12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长为（）．A．2 B．2 C．1 D．22二、填空题．13．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B′，且BP=2，•那么PP′的长为________．（不取近似值，以下数据供解题使用：sin15°=6262,cos1544-+︒=）(第13题) (第14题) (第21题)14．如图，沿倾斜角为33°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（精确到0.01m）15．sin30°=________．1635°=________．（精确到0.01）17．若圆周角α所对弦长为sinα，则此圆的半径r为_______．18．锐角A满足2sin（A-15°）3A=________．19．计算：3tan30°+cot45°-2tan45°-2cos60°=_________．20．已知A是锐角，且sinA=13，则cos（90°-A）=________．21．为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下办法：•将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm．三、计算题．22°-）．23．计算：cos60°-1．24．计算：（1）sin30°+cos45°+tan60°-cot30°．（2cot303tan30 cos27sin30cos45︒-︒︒+︒-︒25．若方程2x2+（4sinθ）x+1=0（0<θ<90°）有两个相等的实数根，求θ的值．四、解答题．26．如图，为申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况．在大道拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离B点3米处的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B•点的俯角为30°，问距离B点8 1.73）27．我边防战士在海拔高度（即CD 的长）为50米的小岛顶部D 处执行任务，上午8时发现在海面上的A 处有一艘船，此时测得该船的俯角为30°，该船沿着AC•方向航行一段时间后到达B 处，又测得该船的俯角为45°，求该船在这一段时间内的航程．（•计算结果保留根号）28．如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成58°，•求拉线下端点A 与杆底D 的距离AD ．（精确到0.01米）58B A4mD C答案：一、1．B 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．B 11．A 12．B二、13 14．2.38 15．12 16．1.10 17．1218．75° 1920．1321．三、22°-）0．23．解：原式=12-12．24．（1）12（2）1 25．θ=45°． 四、26．过点C 作CE ⊥AB 于E ，Rt △CBE 中，tan30°=BE CE，∴BE=CE ·tan30° Rt △CAE 中，tan60°=AEEC，∴AE=CE ·tan60°∴4×1.73=6.92<8． ∴保护物不在危险区．27．解：根据题意，∠ADC=60°，∠BDC=∠DBC=45°，∴BC=DC=50．在Rt △ADC 中，AC=CD ×tan ∠AB=AC-BC=50-1）（米）．答：该船在这段时间内的航程为50）米． 28．解：在Rt △ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=58°，CD=5米．∵tan ∠CAD=CDAD ， ∴AD=5tan tan 58CD CAD =∠︒≈3.12（米）．答：拉线下端点A 与杆底D 的距离AD 约为3.12米．。
2023-2024学年数学九年级下册人教版 第二十八章 锐角三角函数压轴题经典题型(含答案)
2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十八章锐角三角函数压轴题经典题型1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，动点P从点B出发，在边BC上以每秒3个单位长度的速度运动至点C，然后又在边CA上以每秒1个单位长度的速度运动至点A停止．当点P 不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交边AB于点Q，再以PQ为边作等边△PQM，且点M与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧．设△PQM与△ABC重叠部分的面积为S 平方单位，点P的运动时间为t秒．（1）当点P在边BC上运动时，求PQ的长（用含t的代数式表示）；（2）当点P在边BC上运动时，求S与t的函数关系式；（3）取AB的中点K，连接CK．当点M落在线段CK上时，求t的值．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.点D和点E分别为AC和BC的中点，连接DE.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PF⊥AB，交折线AC-CB于点F，以PF为一边向PF的右侧作正方形PFGH.设点P的运动时间为t秒(t>0).（1）DE的长为 ；（2）当点F在AC边上，且DE=3PF时，求t的值；（3）当点E落在正方形PFGH的内部时，求t的取值范围；（4）当线段DE将正方形PFGH的边PF分成两部分的比为13时，直接写出t的值.3．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB=400+4003千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）4．如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM=30°，折射角∠DBN=22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E 处，入射角∠ACM′=60°，折射角∠ECN′=40.5°.DE//BC，MN、M′N′为法线.入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；(结果保留根号)（2）如果DE=8.72米，求水池的深.(参考数据：2取1.41，3取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0 .93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85)5．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，CE⊥BD于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，BD＝7，求线段BE的长：（3）在（2）的条件下，求cos∠DCA的值．6．如图，抛物线y=m x2+(m2+3)x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3，0)．（1）请直接写出：m= ；抛物线的解析式 ；直线BC的解析式 ；tan∠OCA= ；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，过点P作BC的垂线垂足为点G，求线段PG的最大值；（3）如图2，Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，请求出点Q的坐标．7．综合与实践如图，正方形ACBF与正方形CDGE有公共顶点C，AC=3，CD=2，连接AD，BE．（1）如图①，当点E，G在正方形ACBF内时，线段BE与AD的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）把正方形CDGE绕点C旋转到如图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）把正方形CDGE绕点C在平面内自由旋转．①当A，E，D三点在同一条直线上时，AE的长是 ；②旋转过程中，|AE−AD|的最大值为 ．8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE．（1）如图1，若E是线段AC上任意一点，连接EF，DF，DE，求证：△ADE≌△CDF．（2）在第（1）题的前提下，求证：BE=EF．（3）如图2，若E是线段AC延长线上一点，其他条件不变，且BE∥AF，求tan∠AFC的值．9．如图（1）如图1，在△ABC 中，∠ACB =2∠B ，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，DE //AC ，交BC 于点E ．①若DE =1，BD =32，求BC 的长；②试探究AB AD −BE DE是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，∠CBG 和∠BCF 是△ABC 的2个外角，∠BCF =2∠CBG ，CD 平分∠BCF ，交AB 的延长线于点D ，DE //AC ，交CB 的延长线于点E .记△ACD 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，△BDE 的面积为S 3.若S 1⋅S 3=916S 22，求cos∠CBD 的值．10．如图（1），E ，F ，H 是正方形ABCD 边上的点，连接BE ，CF 交于点G 、连接AG ，GH ，CE =DF .（1）判断BE 与CF 的位置关系，并证明你的结论；（2）若CE =CH ，求证：∠BAG =∠CHG ；（3）如图（2），E ，F 是菱形ABCD 边AB ，AD 上的点，连接DE ，点G 在DE 上，连接AG ，FG ，CG ，∠AGD =∠BAD ，AF =AE ，DF =GF ，CD =10，CG =6，直接写出DF 的长及cos ∠ADC 的值.11．如图，直线y=−2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，以OB为直径的⊙M交AB于另一点C，点D在⊙M上.分别过点O，B作直线CD的垂线段，垂足为E，F，连接OC.（1）求点A，B，C的坐标.（2）当点D在直线BC右侧时，①求证：EC⋅CF=OE⋅BF；②求证：EC=DF.（3）CD与EF的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线CD的解析式.12．如图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒.如图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB=16cm，宽AD=12cm，圆弧盖板侧面DC所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）.（1）求DC所在⊙O的半径长及DC所对的圆心角度数；（2）如图3，当圆弧盖板侧面DC从起始位置DC绕点D旋转90°时，求DC在这个旋转过程中扫过的的面积.参考数据：tan36.87°≈0.75，tan53.06°≈1.33，π取3.14.13．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A 处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：3≈1.73）14．已知正方形ABCD的边长为4，△BEF为等边三角形，点E在AB边上，点F在AB边的左侧.（1）如图1，若D，E，F在同一直线上，求BF的长；（2）如图2，连接AF，CE，BD，并延长CE交AF于点H，若CH⊥AF，求证：2AE+2FH=BD （3）如图3，将△ABF沿AB翻折得到△ABP，点Q为AP的中点，连接CQ，若点E在射线BA上运动时，请直接写出线段CQ的最小值.答案解析部分1．【答案】（1）解：PQ ＝t（2）解：当0＜t≤2时，S ＝34t 2；当2＜t ＜3时，S ＝－23t 2＋93t －93．（3）解：①如图①3t ＝332，解得t ＝32；②如图②，3[3－（t －3）]＝32∙（t －3），解得t ＝5综上所述，满足条件的t 的值为32或5.2．【答案】（1）52（2）解：t =524（3）解：当点E 落在GH 上时，∵AP =3t ，PF =4t ，四边形PFGH 是正方形，∴PH =GH =PF =4t ，∠PHG =∠BHE =90°，∴BH =AB−AP−PH =5−3t−4t =5−7t . ∵cos B =BH BE =BC AB ，∴5−7t 2=45，解得t =1735；当点E 落在PF 上时，∵AP =3t ，∴BP =5−3t ，∵cos B =BP BE =BC AB ，∴5−3t 2=45，解得t =1715.综上所述，t 的取值范围是1735<t <1715.（4）解：t 的值为25或4345.3．【答案】（1）解：如下图，过点C 作 CH ⊥AB 交AB 于点H ，设 CH =x在 Rt △ACH 中， ∠A =45° ， AH =CH =x在 Rt △BCH 中， ∠B =30° ， BH =3x∴AB =(3+1)x =400+4003∴x=400，∴CH=400∵400<600，海港C受台风影响（2）解：如下图，以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点，此时台风在PQ之间时，海港受到影响，在Rt△PCH中，CP=600，CH=400∴PH=CP2−CH2=2005∴PQ=2PH=4005=205≈45（小时）则时间：t=400520答：台风影响该海港持续的时间有45小时.4．【答案】（1）解：作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，则AF//MN//M′N′，∴∠ABM=∠BAF，∠ACM′=∠CAF，∵∠ABM=30°，∠ACM′=60°，∴∠BAF=30°，∠CAF=60°，∵AF=6米，∴BF=AF⋅tan30°=6×3=23(米)，CF=AF⋅tan60°=6×3=63(米)，3∴BC=CF−BF=63−23=43(米)，即BC的长为43米；（2）解：设水池的深为x米，则BN=CN′=x米，由题意可知：∠DBN =22°，∠ECN′=40.5°.DE =8.72米，∴DN =BN ⋅tan22°≈0.4x (米)，N′E =CN′⋅tan40.5°≈0.85x (米)，∵DN +DE =BC +N′E ，∴0.4x +8.72=43+0.85x ，解得x ≈4，即水池的深约为4米．5．【答案】（1）解：如图，连接OC ，∵∠ABD =2∠BAC ，∠COB =2∠BAC ，∴∠ABD =∠COB ，∴OC ∥DE ，∵CE ⊥BD ，∴CE ⊥OC ，∴CE 是 ⊙O 的切线.（2）解：如图，作OF ⊥BD ，设BE =x ，∵OF ⊥BD ，BD =7，∴∠OFB =90°，BF =12BD =72，∴EF =BF +BE =72+x ，O B 2=O F 2+B F 2，∵CE ⊥BD ，CE ⊥OC ，∴∠E =∠OCE =90°，∴四边形OCEF 是矩形，C E 2=B C 2−B E 2=9−x 2，∴OF =CE ，OC =EF =72+x ，∴OB =OC =72+x ，∴(72+x )2=9−x 2+(72)2，x 1=−92(舍去)，x 2=1，∴BE =1.（3）解：由(2)得x =1，∴OB =92，∴AB =2OB =9，∵∠ADB =90°，BD =7，∴cos ∠ABD =BD AB =79，∵∠DCA =∠ABD ，∴cos ∠DCA =cos ∠ABD =79.6．【答案】（1）m =−1；y =−x 2+4x−3；y =x−3；13（2）解：如图1，过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点H ，设P(t ，−t 2+4t−3)，则H(t ，t−3)，∴PH =−t 2+4t−3−(t−3)=−t 2+3t ，∵OB =OC =3，∴∠BCO =∠CBO =45°，∵PH ∥y 轴，∴∠PHG =45°∵∠PGH =90°∴PG =PH ⋅sin ∠PHG =(−t 2+3t)×sin45°=−22(t−32)2+928，∴当t =32时，PG 的最大值为928；（3）解：如图2，过点B 作BE ⊥CB 交CQ 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，则∠BFE =∠CBE =90°，∵∠CBO =45°，∴∠EBF =45°，∴BF =EF =22BE ，∵∠BCO =∠ACQ =45°，∴∠BCE =∠OCA ，∴tan ∠BCE =tan ∠OCA∴BE CB =OA OC，又可知A(1，0)，∴OA =1，C(0，−3)∴OC =3由OB =OC =3，得BC =32∴BE 32=13，∴BE =2，∴BF =EF =22×2=1，∴OF =OB +BF =3+1=4∴E(4，−1)，又C(0，−3)∴直线CE 的解析式为y =12x−3，联立方程组{y =12x−3y =−x 2+4x−3，解得：{x 1=0y 1=−3，{x 2=72y 2=−54，∴点Q 的坐标为(72，−54)．7．【答案】（1）BE=AD ；BE⊥AD（2）解：成立，理由如下：如图，∵正方形ACBF，正方形CDGE，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCA+∠ECA=∠ECD+∠ECA，即∠BCE=∠DCA，∴△BCE≅△ACD(SAS)，∴BE=AD、∠CBO=∠CAD，∵∠BOC=∠AOE，∠OBC+∠BOC=90°∴∠OAD+∠AOE=90°，∴BE⊥AD；（3）7−2；228．【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ADC为等边三角形，∠DAC=∠DCA=∠ACB=60°，∴AD=CD，∠DAE=∠DCF=60°，∵CF=AE，∴△ADE≌△CDF(SAS)（2）证明：∵△ADE≌△CDF(SAS)，∴ED=FD，∠ADE=∠CDF，∵∠ADC=60°，∴∠EDF=60°，∴△EDF为等边三角形，∴EF=DE，∵AD=AB，∠DAE=∠BAE=60°，AE是公共边，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE=DE，∴BE=EF．（3）解：过A作AH⊥BF，∵BE ∥AF ，∴△BCE ∽△FCA ，∴CE AC =BC CF，设AC =1，CE =x ，可得方程x 2+x−1=0(x >0)，解得，x =5−12，∵CH =12，AH =32，∴tan ∠AFC =32：(5−12+32)=15−239．【答案】（1）解：①∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠DCB =12∠ACB ，∵∠ACB =2∠B ，∴∠ACD =∠DCB =∠B ，∴CD =BD =32，∵DE //AC ，∴∠ACD =∠EDC ，∴∠EDC =∠DCB =∠B ，∴CE =DE =1，∴△CED∽△CDB ，∴CE CD =CD CB，∴132=32CB ，解得BC =94；②∵DE //AC ，∴AB AD =BC CE，同①可得，CE =DE ，∴AB AD =BC DE，∴AB AD −BEDE=BCDE−BEDE=CEDE=1，∴AB AD −BEDE是定值，定值为1（2）解：∵DE//AC，∴S1S2=ACDE=BCBE，∵S3S2=BECE，∴S1⋅S3S22=BCCE，又∵S1⋅S3=916S22，∴BC CE =9 16，设BC=9x，则CE=16x，∵CD平分∠BCF，∴∠ECD=∠FCD=12∠BCF，∵∠BCF=2∠CBG，∴∠ECD=∠FCD=∠CBD，∴BD=CD，∵DE//AC，∴∠EDC=∠FCD，∴∠EDC=∠CBD=∠ECD，∴CE=DE，∵∠DCB=∠ECD，∴△CDB∽△CED，∴CD CE =CB CD，∴C D2=CB⋅CE=144x2，∴CD=12x，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD =CD =12x ，∴BH =12BC =92x ，∴cos∠CBD =BH BD =92x 12x =38．10．【答案】（1）解：BE ⊥CF ，理由：∵四边形ABCD 为正方形，∴BC =CD ，∠BCE =∠CDF =90°.∵CE =DF ，∴△BCE≌△CDF (SAS )，∴∠CBE =∠DCF .∵∠CBE +∠CEB =90°，∴∠DCF +∠CEB =90°，∴∠CGE =90°，即BE ⊥CF（2）证明：∵∠CBG =∠EBC ，∠CGB =∠ECB =90°，∴△CGB ∽△ECB ，∴CG CE =BG BC. ∵CE =CH ，BC =AB ，∴CG CH =BG AB，即CG BG =CH AB .∵∠CBG +∠BCG =90°，∠ABG +∠CBG =90°，∴∠BCG =∠ABG ，即∠HCG =∠ABG ，∴△HCG ∽△ABG ，∴∠BAG =∠CHG ；（3）解：DF =154，cos ∠ADC =81511．【答案】（1）解：令x =0，则y =10；令y =0，则0=−2x +10，解得x =5； ∴A(5，0)，B(0，10)，∴OA =5，OB =10，AB =52+52=55，作CG ⊥OB 于点G ，∵以OB 为直径的⊙M 交AB 于另一点C ，∴∠BCO =90°，∵sin ∠CBO =OA AB =OC OB ，即555=OC 10，∴OC =25，∵cos ∠BOC =OG OC =OC OB ，即OG 25=2510，∴OG =2，∴CG =OC 2−OG 2=4，∴C(4，2)；（2）证明：①∵∠BCO =90°，BF ⊥CD ，OE ⊥CD ，即∠BCO =∠BFC =∠CEO =90°， ∴∠OCE =∠CBF ，∴△OCE ∽△CBF ，∴CE BF =OE FC ，即EC ⋅CF =OE ⋅BF ；②作MN ⊥CD 于点M ，则OE ∥MN ∥BF ，且OM =BM ，∴OM BM =EN NF，∴EN =NF ，∵MN ⊥CD ，∴CN =DN ，∴EN−CN =NF−DN ，即EC =DF ；（3）解：CD 与EF 的距离和不是定值；直线CD 的解析式为y =43x−103.12．【答案】（1）解：如图，连接AC ，BD 相交于点O ，为矩形ABCD 的中心，∵AB =16，AD =12，∠BAD =90°，∴BD =AB 2+AD 2=256+144=20，∴⊙O 半径长为：OD =12BD =12×20=10.0cm ，∵tan ∠ADB =AB AD =1612≈1.33，∴∠ADB ≈53.06°，∴∠DOC =2∠ADB =2×53.06°≈106.1°；（2）解：如图，∵S 弓形DmC =S 弓形Dn C ′，∴DC 扫过的的面积：S 阴=S 扇形CD C ′=90π×162360≈201.0(c m 2).13．【答案】（1）解：过点P 作PD ⊥AB 于D 点，∴∠BDP =∠ADP =90°，在Rt △PBD 中，∠PBD =90°−45°=45°，BP =20海里，∴DP =BP·sin45°=102（海里）， BD =BP·cos45°=102（海里），在Rt △PAD 中，∠PAD =90°−60°=30°，∴AD =DP tan30°=106（海里）， ∴AB =BD +AD =(102+106)海里，∴观测站A ，B 之间的距离为(102+106)海里；（2）解：补给船能在82分钟之内到达C 处，理由：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ，∴∠AFB =∠CFB =90°，由题意得：∠ABC =90°+15°=105°，∠PAD =90°−60°=30°，∴∠C =180°−∠ABC−∠PAD =45°，在Rt △ABF 中，∠BAF =30°，∴BF =12AB =(52+56)海里， 在Rt △BCF 中，∠C =45°，∴BC =BF sin45°=2(52+56)=(10+103)海里， ∴补给船从B 到C 处的航行时间=10+10320×60=30+303≈81.9（分钟）<83分钟， ∴补给船能在83分钟之内到达C 处.14．【答案】（1）解：∵△BEF为等边三角形，∴∠BEF=60°=∠AED，BF=BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AD=4，∴tan∠AED=ADAE=3，∴AE=433，∴BE=AB−AE=4−433；（2）证明：如图，延长AF，CB交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠ABC=∠ABG=90°，∴BD=AB2+AD2=2AB，∵CH⊥AF，∴∠CHG=∠ABG=90°，∴∠G+∠BAG=90°=∠G+∠BCH，∴∠BAG=∠BCH，∴△ABG≌△CBE(ASA)，∴BE=BG，∠G=∠BEC，∵△BEF为等边三角形，∴BE=BF=EF，∠BEF=∠BFE，∴BG=BF，∴∠G=∠BFG，∴∠BFG=∠BEC，∴∠GFE=∠CEF，∴∠HFE=∠HEF，∵CH⊥AF，∴∠HFE=∠HEF=45°，∴EH =FH ，∴EF =2FH ，∴BE =2FH ，∴BD =2AB =2AE +2BE =2AE +2FH ；（3）解：当点E 在线段AB 上时，如图，取AB 的中点N ，连接NQ ，∵将△ABF 沿AB 翻折得到△ABP ，∴∠ABF =∠ABP =60°，∵点Q 为AP 的中点，∴NQ ∥BP ，∴∠ANQ =∠ABP =60°，∴点Q 在过线段AB 的中点，且与AB 成60°角的直线上移动，∴当CQ ⊥NQ 时，CQ 有最小值，如图，延长QN ，CB 交于点H ，连接AQ ，∵点N 是线段AB 的中点，∴BN =AN =2，∵∠ANQ =60°=∠BNH ，∴tan ∠BNH =BH BN =3，∴BH =23，∴CH =23+4，∵∠H =90°−∠BNH =30°，∴CQ =12CH =2+3，HN =2BN =4，HQ =3CQ =23+3，∴NQ =23−1>2，∴∠NAQ>60°，∴此时点E不在线段AB上，∴点E在线段AB上时，CQ>2+3，当点E在线段AB的延长线上时，∵将△ABF沿AB翻折得到△ABP，∴∠ABF=∠ABP=120°，∵点Q为AP的中点，点N是线段AB的中点，∴NQ∥BP，∴∠ANQ=∠ABP=60°，∴点Q在过线段AB的中点，且与AB成60°角的直线上移动，∴当CQ⊥NQ时，CQ有最小值，同理：CQ=2−3；综上所述，CQ的最小值为2−3.。
人教版九年级下册第二十八章 《锐角三角函数》单元练习题(含答案)
人教版九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元练习题（含答案）一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，那么cos A的值等于()A．B．C．D．2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A．4B．2C．D．3.已知∠A为锐角，且tan A＝，则∠A的取值范围是()A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4.把Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′，则锐角A、A′的余弦值之间的关系是()A．cos A＝cos A′B．cos A＝5cos A′C．5cos A＝cos A′D．不能确定5.Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6 cm，那么BC等于()A．8 cmB．cmC．cmD．cm6.在△ABC中，∠C＝90°，已知tan A＝，则cos B的值等于()A．B．C．D．7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为()A．B．4C．2D．58.已知∠A为锐角，且sin A＜，那么∠A的取值范围是()A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜60°C．60°＜∠A＜90°D．30°＜∠A＜90°分卷II二、填空题9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝________.10.若tan (x＋10°)＝1，则锐角x的度数为__________．11.在△ABC中，∠C＝90°，如果tan B＝3，则cos A＝__________.12.如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以20海里/小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船，我渔政船的航行路程是________海里．13.如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高为__________，楼高为__________．14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且tan A＝3，则cos B的值为__________．15.如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A 的值是__________．16.△ABC中，∠C＝90°，cos ∠A＝0.3，AB＝10，则AC＝__________.三、解答题17.如图，某公园内有座桥，桥的高度是5米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°，为方便老人过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角外需留下2米宽的人行道，问离原坡角(A点处)6米的一棵树是否需要移栽？(参考数据：≈1.414，≈1.732)18.课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝.(1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________；(2)探究tan A·cot A的值．19.已知Rt△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，∠C＝90°，a：c＝2：3，求tan A 的值．20.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5，解这个直角三角形．21.如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图(图2)，支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF 交于点E、D，现测得DE＝20厘米，DC＝40厘米，∠AED＝58°，∠ADE＝76°.(1)求椅子的高度(即椅子的座板DF与地面MN之间的距离)(精确到1厘米)(2)求椅子两脚B、C之间的距离(精确到1厘米)(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，sin 76°≈0.97.cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.00)第二十八章《锐角三角函数》单元练习题答案解析1.【答案】D【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5.∴cos A＝＝，故选D.2.【答案】A【解析】如图，∵∠C＝90°，∴cos B＝，∴BC＝AB cos B＝6×＝4，故选A.3.【答案】C【解析】∵tan 45°＝1，tan 60°＝，锐角的正切值随角增大而增大，又1＜＜，∴45°＜∠A＜60°.故选C.4.【答案】【解析】∵Rt△ABC各边的长度都缩小为原来的得Rt△A′B′C′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∴∠A＝∠A′，∴cos A＝cos A′.故选A.5.【答案】A【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝6 cm，∴tan A＝＝＝，解得BC＝8，故选A.6.【答案】A【解析】设BC＝2x，∵tan A＝，∴AC＝x，∴AB＝3，∴cos B＝＝，故选A.7.【答案】B【解析】∵cos B＝，∴BC＝AB·cos B＝6×＝4.故选B.8.【答案】A【解析】∵∠A为锐角，且sin 30°＝，又∵当∠A是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，∴0°＜A＜30°，故选A.9.【答案】60°【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，∴S＝AC·BC＝，∴AC＝，∵tan A＝＝＝，∴∠A＝60°.10.【答案】20°【解析】∵tan (x＋10°)＝1，∴tan (x＋10°)＝＝，∴x＋10°＝30°，∴x＝20°.11.【答案】【解析】由tan B＝3，可以设∠B的对边是3k，邻边是k，则根据勾股定理，得斜边是k＝k，故cos A＝.12.【答案】30【解析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，在Rt△BCD中，∵BC＝20×1.5＝30(海里)，∠CBD＝45°，∴CD＝BC·sin 45°＝30×＝15(海里)，则在Rt△ACD中，AC＝＝15×2＝30(海里)．13.【答案】100m(100－100)m【解析】设CD＝x m，则∵CE＝BD＝100，∠ACE＝45°，∴AE＝CE·tan 45°＝100.∴AB＝100＋x.在Rt△ADB中，∵∠ADB＝60°，∠ABD＝90°，∴tan 60°＝，∴AB＝BD，即x＋100＝100，∴x＝100－100，即楼高100－100 m，塔高100m.14.【答案】【解析】解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝3，设a＝3x，b＝x，则c＝x，∴cos B＝＝＝.解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．又∵tan A＝＝3，∴sin A＝3cos A.又sin2A＋cos2A＝1，∴cos A＝.∵A、B互为余角，∴cos B＝sin (90°－B)＝sin A＝.15.【答案】【解析】作BD⊥AC于点D，∵BC＝2，AC＝＝3，点A到BC的距离为3，AB＝＝，∴＝，即＝，解得BD＝，∴AD＝＝＝2，∴tan A＝＝＝.16.【答案】3【解析】∵∠C＝90°，AB＝10，∴cos A＝＝＝0.3，∴AC＝3.17.【答案】解不需要移栽，理由：∵CB⊥AB，∠CAB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝5米，在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3，即∠CDB＝30°，∴DC＝2BC＝10米，BD＝BC＝5米，∴AD＝BD－AB＝(5－5)米≈3.66米，∵2＋3.66＝5.66＜6，∴不需要移栽．【解析】根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在直角三角形BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC的度数为30，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB－AB求出AD的长，然后将AD＋2与6进行比较，若大于则需要移栽，反之不需要移栽．18.【答案】解(1)由题意得：cot 45°＝1，cot 60°＝；(2)∵tan A＝，cot A＝，∴tan A·cot A＝·＝1.【解析】(1)根据题目所给的信息求解即可；(2)根据tan A＝，cotA＝，求出tan A·cot A的值即可．19.【答案】解设a＝2k，c＝3k.由勾股定理得b＝＝＝k.则tan A＝＝＝.【解析】设a＝2k，c＝3k，依据勾股定理可求得b的长度，然后依据锐角三角函数的定义解答即可．20.【答案】解在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠A＝60°，∵tan B＝，∴b＝a×tan B＝5×tan 60°＝5，由勾股定理，得c＝＝10.【解析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C＝90°则∠A＝90－∠B＝60°，解直角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．21.【答案】解(1)如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，∵DE∥MN，∴∠DCP＝∠ADE＝76°，则在Rt△CDP中，DP＝CD sin ∠DCP＝40×sin 76°≈39(cm)，答：椅子的高度约为39厘米；(2)作EQ⊥MN于点Q，∴∠DPQ＝∠EQP＝90°，∴DP∥EQ，又∵DF∥MN，∠AED＝58°，∠ADE＝76°，∴四边形DEQP是矩形，∠DCP＝∠ADE＝76°，∠EBQ＝∠AED＝58°，∴DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，又∵CP＝CD cos ∠DCP＝40×cos 76°≈9.6(cm)，BQ＝＝≈24.4(cm)，∴BC＝BQ＋PQ＋CP＝24.4＋20＋9.6≈54(cm)，答：椅子两脚B、C之间的距离约为54 cm.【解析】(1)作DP⊥MN于点P，即∠DPC＝90°，由DE∥MN知，∠DCP＝∠ADE＝76°，根据DP＝CD sin ∠DCP可得答案；(2)作EQ⊥MN于点Q可得四边形DEQP是矩形，知DE＝PQ＝20，EQ＝DP＝39，再分别求出BQ、CP的长可得答案．人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 章末专题训练人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数 章末专题训练一、选择题1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A 的正弦值( D )A ．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2. 下列式子错误的是( D )A ．cos40°＝sin50°B ．tan15°·tan75°＝1 C.sin 225°＋cos 225°＝1 D ．sin60°＝2sin30°3. 如图所示，AB 为斜坡，D 是斜坡AB 上一点，斜坡AB 的坡度为i ，坡角为α，AC ⊥BM 于C ，下列式子：①i ＝AC ∶AB ；②i ＝(AC －DE)∶EC ；③i ＝tan α＝DE BE；④AC ＝i ·BC.其中正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡度是（坡度是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是 （ A ） A.米B.米C. 15米D. 10米5.△ABC 在网格中的位置如图K －17－2所示(每个小正方形的边长都为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误．．的是( C )图K－17－2A．sinα＝cosα B．tanC＝2C．sinβ＝cosβ D．tanα＝16.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角∠A、∠A′的余弦值的关系是( B )A．cosA＝cosA′B．cosA＝3cosA′C．3cosA＝cosA′D．不能确定7. 如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直。