2020年山东省济南市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(有答案解析)
2020年山东省济南市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2＜2x}，B={x|-2＜x＜1}，则A⋃B=（）A. （-2，1）B. （-2，2）C. （0，1）D. （0，2）2.设复数z满足（1-i）z=3+i，则|z|=（）A. B. C. D.3.若抛物线，y2=2Px（P＞0）上一点M（x0，1）到焦点的距离为1，则该抛物线的焦点坐标为（）A. （，0）B. （0，）C. （1，0）D. （0，1）4.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关扶植政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月6.8105 6.8117.44月8.1117.78.2138.45月9.685.610.2125.66月8.631.78.442.97月953.68.447.78月9.93910.149.59月12.764.412.154.810月14.658.113.85111月17.336.916.937.61--12月12759.9125.661.72019年1月9.11139.61382月 5.950.9 5.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A. 2018年4月份我国新能源汽车的销量高于产量B. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆C. 2019年2月份我国插电式混合动力汽车的销量低于1万辆D. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆5.已知α为锐角，若，则cos2α=（）A. B. C. - D. -6.如图，点C在以AB为直径的网上，且满足CA=CB，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的网的一部分，记△ABC三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ，在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为P1，P2，则（）A. P1=P2B. P1＞P2C. P1+P2=D.P2-P1=7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. 2π D.8.函数的图象大致是（）A. B.C. D.9.朱世杰是我国元代伟大的数学家，其传世名著《四元玉鉴》中用诗歌的形式记载了下面这样一个问题：我有一壶酒，携着游春走．遇务①添一倍，逢店饮斛九②．店务经四处，没了这壶酒．借问此壶中，当原多少酒？①“务”：旧指收税的关卡所在地；②“斛九”：1.9斛．图是解决该问题的算法程序框图，若输入的x值为0，则输出的x值为( )A.B.C.D.10.已知函数，若f（x）在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（）A. （1，）B. [1，）C. （，4）D. [，4）11.已知F1，F2分别为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形F1NF2M的周长为p，面积为S，且满足32S ＝p2，则该双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.12.已知函数，若对任意的实数a，b，总存在x0∈[-1，2]，使得f（x0）≥m成立，则实数m的取值范围是（）A. （-]B. （-∞，]C. （-∞，]D. （-∞，1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足约束条件则的取值范围是______14.的展开式中，x的系数为________(用数字作答)．15.已知锐角△ABC外接圆的半径为1，∠B=45°，则的取值范围是______16.已知等边的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n-1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n-a n}是等差数列，且b1=2，b3=14，求数列{b n}的前n项和T n⋅18.如图所示，半圆弧所在平面与平面ABCD垂直，且M是上异于A，D的点，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD=2BC．（1）求证：AM⊥平面BDM；（2）若M为AD的中点，求二面角B-MC-D的余弦值．19.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图，观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型y=ce dx分别对两个变量的关系进行拟合，已求得用指数函数模型拟合的回归方程为与x的相关系数r1=-0.94．参考数据（其中u i y i2u y i y e-2183.40.340.115 1.5336022385.561.40.135（）用反比例函数模型求关于的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）．根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，可以出售9千件；若单价定为90元，可以出售11千件；已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由．参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=，r=．20.已知Q为圆x2+y2=1上一动点，Q在x轴，y轴上的射影分别为点A，B，动点P满足，记动点_P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线与曲线C交于M，N两点，判断以MN为直径的网是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．21.已知函数有两个不同的极值点x1，x2(x1＞x2)．(1)求实数a的取值范围；(2)若，求证：，且．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）已知点A为曲线C上的动点，当点A到直线l的距离最大时，求点A的直角坐标．23.设函数f(x)＝|2x－a|＋|x|，其中a＞0．(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤4的解集；(2)若对任意的实数x都有f(x)－f(－x)≥a2－8，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={x|0＜x＜2}；∴A∪B=（-2，2）．故选：B．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算．2.答案：C解析：解：由（1-i）z=3+i，得，则|z|=．故选：C．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：解：∵抛物线y2=2px，p＞0，∴抛物线的准线方程为x=-∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（x0，1）到焦点的距离是1，∴根据抛物线上任一点到焦点F的距离与到准线的距离是相等的，可得x0+=1，∴p=2-2x0，M（x0，1）代入y2=2px可得1=2px0，∴1=2（2-2x0）x0，∴4x02-4x0+1=0，∴x0=．所以抛物线的焦点坐标（，0）故选：A．由抛物线定义可知，x0+=1，M（x0，1）代入y2=2px可得1=2px0，联立解之可得x0．然后求解抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的简单性质，活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，属中档题．4.答案：C解析：解：由图表可知，对于选项A，2018年4月份我国新能源汽车的销量为8.2万辆，产量为8.1万辆，故A正确，对于选项B，2017年3月份我国新能源汽车的产量为万辆，故B正确，对于选项C，2019年2月份我国插电式混合动力汽车的销量为5.3×25%万辆，故C错误，对于选项D，2017年我国新能源汽车总销量为≈77.67万辆，故D正确，故选：C．由对图表数据的分析处理及进行简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了对图表数据的分析处理及进行简单的合情推理，属中档题．5.答案：B解析：解：∵，可得：（cosα-sinα）=，可得：cosα=+sinα，∴（+sinα）2+sin2α=1，可得：50sin2α+30sinα-7=0，∵α为锐角，∴解得：sinα=，负值舍去，∴cos2α=1-2sin2α=1-2×（）2=．故选：B．由已知利用两角差的正弦函数公式可求得cosα=+sinα，根据同角三角函数基本关系式可求得50sin2α+30sinα-7=0，结合α为锐角，解得sinα的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.答案：A解析：解：设圆的半径为1，则区域Ⅰ的面积为；区域Ⅱ的面积=1．圆的面积为π×12=π．∴．故选：A．设圆的半径为1，分别求出两个阴影部分的面积，求得P1，P2的值得答案．本题考查几何概型概率的求法，关键是求出两个阴影部分的面积，是中档题．7.答案：A解析：解：根据几何体得三视图转换为几何体为：左边为一个底面半径为1，高为2的半圆柱，右边是一个底面半径为1，高为1的半圆锥．故：V==．故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：D解析：解：函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x＞0，x→0，f（x）＞0，且f（x）→0，排除A，函数的导数f′（x）=x2+cos x，则f′（x）为偶函数，当x＞0时，设h（x）=x2+cos x，则h′（x）=2x-sin x＞0恒成立，即h（x）≥h（0）=1＞0，即f′（x）＞0恒成立，则f（x）在R上为增函数，故选：D．先根据函数的奇偶性和极限思想进行排除，求出函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的导数和单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9.答案：C解析：解：由题意，模拟程序的运行，x=0，i=0第一次执行循环体后，x=，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=，i=3，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，x=，i=4，满足退出循环的条件，输出x的值为．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.答案：D解析：解：∵函数，在上，ωx+∈[，+]，若f（x）在上恰有两个零点，∴2π≤+＜3π，求得≤ω＜4，故选：D．由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2π≤+＜3π，由此求得ω的范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．11.答案：B解析：解：依题意MF1-MF2=2a，MF1+MF2=，联立解得MF1=a+，MF2=-a，又F1F2为直径，所以四边形F1NF2M为矩形，∴S=MF1MF2=（）2-a2，即=-a2，即p2=32a2，由MF12+MF22=F1F22得2a2+=4c2，即3a2=2c2，即a2=2b2，∴=±，故选：B．根据双曲线的定义和矩形的面积公式、离心率公式可得．本题考查了双曲线的性质，属中档题．12.答案：B解析：解：∵存在x0∈[-1，2]，使得f（x0）≥m成立，∴m≤f（x）max，∵对任意的实数a，b，m≤f（x）max，∴m≤[f（x）max]min；可看作横坐标相同时，函数与函数h（x）=ax+b图象上点的纵向距离，则问题等价于求函数与函数h（x）=ax+b图象上点的纵向距离的最大值中的最小值；如图，记A（-1，-3），B（2，0），连接AB，则图中直线AB的斜率为，∴直线L1的方程为y=x-2，设直线L2与直线L1平行，且与函数相切于点C（x0，y0），又，令，解得x0=0，∴切点C（0，-1），则切线L2的方程为y=x-1，当直线h（x）与直线L1，L2平行且与两直线距离相等时，即恰好处于两直线正中间的位置时，函数与函数h（x）=ax+b图象上点的纵向距离能取得最大值中的最小值，此时，此时，，∴．故选：B．原问题等价于m≤[f（x）max]min，而函数f（x）可理解为函数与函数h（x）=ax+b图象上点的纵向距离，即求函数与函数h（x）=ax+b图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，由图象可知，当直线h（x）与直线L1，L2平行且与两直线距离相等时，能取得最大值中的最小值，由此得解．本题考查不等式的恒成立问题，考查对全称量词与特称量词的理解，考查了转化与化归思想，数形结合思想，作图能力及运算求解能力，属于较难题目．13.答案：[1，3]解析：解：由实数x，y满足约束条件作出可行域，的几何意义为可行域内的动点与定点D（-1，-1）连线的斜率，A（0，2），k DA=3．∴的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点D（-1，-1）连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：3解析：解：式子表示3个因式（-x-1）的乘积，其中一个因式取-x，其余的2个因式取-1，可得x的项；一个因式取，其余的2个因式取-x，可得x的项，故含x的系数为•（-1）••（-1）2+•2••（-1）2=-3+6=3，故答案为：3．根据乘方的意义，式子表示3个因式（-x-1）的乘积，从而求得含x的项的系数．本题主要考查乘方的意义，二项式定理，排列组合的计算公式，属于基础题．15.答案：（2，1]解析：解：由正弦定理可得，∴a=2sin A，c=2sin C，∵∠B=45°，∴ac=4sin A sin C=4sin A sin（135°-A）=4sin A×=2（sin2A+sin A cosA）=2（）==2sin（2A-）+∵锐角△ABC，∠B=45°∴0＜A，0＜，解可得，，∴，∴，∴=∈（2，1+]故答案为：（2，1+）由正弦定理可得a=2sin A，c=2sin C，结合三角形的内角定理及和差角公式，辅助角公式对ac=4sin A sin C 进行化简可求ac的范围，然后由向量数量积的定义即可求解本题考查平面向量的数量积运算，涉及正弦定理在解三角形中的应用，属中档题．16.答案：+1解析：【分析】本题综合考查了折叠问题，与几何体的性质，转化为平面问题求解，考查面面垂直、线面垂直的判定定理和性质定理的应用、平行关系的应用、点到面的距离的求解．立体几何问题中点到面的距离常利用体积桥的方式将所求距离变成几何体的高，构造方程，通过解方程求得结果．折叠为空间立体图形，得出四棱锥A-MNCB的外接球的球心，利用平面问题求解得出四棱锥A-MNCB 的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，由此能求出四棱锥A-MNCB的体积最大时，P到平面MNCB 距离的最大值．【解答】由题意得，取BC的中点E，则E是等腰梯形MNCB外接圆圆心．F是△AMN外心，作OE⊥平面MNCB，OF⊥平面AMN，则O是四棱锥A-MNCB的外接球的球心，且OF=DE=3，AF=2．设四棱锥A-MNCB的外接球半径R，则R2=AF2+OF2=13，OE=DF=AD-AF=3-2=1，∴当四棱锥A-MNCB的体积最大时，P到平面MNCB距离的最大值为：d max=R+OE=．故答案为：．17.答案：解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=3a n-1①．当n=1时，解得：a1=1．当n≥2时，2S n-1=3a n-1-1②，①-②得：a n=3a n-1，故：（常数），所以：数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列．所以：（首项符合通项），故：．（2）数列{b n-a n}是等差数列，且b1=2，b3=14，所以：设c n=b n-a n．c1=b1-a1=1，c3=b3-a3=14-9=5，则：公差d=，所以：c n=2n-1．则：，故：，=，=解析：（1）首先利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．（2）利用分组法求数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：证明：（1）取AB中点为E，连结DE，∵AB=2CD，∴CD=BE，∵AB∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形，又CD=BC，∠ABC=90°，∴BCDE是正方形，设CD=1，则BC=DE=BE=AE=1，AB=2，BD=AD=，∴BD2+AD2=AB2，即BD⊥AD，又平面ADM⊥平面ABCD，平面ADM∩平面ABCD=AD，∴BD⊥平面ADM，又AM⊂平面ADM，∴AM⊥BD，∵M是半圆弧AD上异于A，D的点，∴AM⊥DM，又DM∩BD=D，∴AM⊥平面BDM．解：（2）取AD的中点为O，连结OM，OE，则OE∥BD，∴OE⊥AD，当M为AD的中点时，MA=MD，则OM⊥AD，∵平面ADM∩平面ABCD=AD，∴OM⊥平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OE，OD，OM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由（1）知，B（，0），C（，，0），D（0，，0），M（0，0，），=（，，-），=（-，，0），=（0，），设=（x，y，z）是平面MBC的一个法向量，则，取x=1，得=（1，1，3），设=（x，y，z）是平面MCD的一个法向量，则，取y=1，得=（-1，1，1），∴cos＜＞===，由图知二面角B-MC-D是钝角，∴二面角B-MC-D的余弦值为-．解析：（1）取AB中点为E，连结DE，推导出四边形BCDE是平行四边形，进一步推导出BCDE 是正方形，推导出BD⊥AD，BD⊥平面ADM，AM⊥BD，AM⊥DM，由此能证明AM⊥平面BDM．（2）取AD的中点为O，连结OM，OE，以O为坐标原点，分别以OE，OD，OM为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-MC-D的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：（1）令u=，则y=a+可转化为y=a+bu，∵，∴=，．∴，∴y关于x的回归方程为；（2）y与的相关系数为：=，∵|r1|＜|r2|，∴用反比例函数模型拟合效果更好．当x=10时，y=11+（元）．∴当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）①当产品单价为100元时，每件产品成本为元，∴企业的利润为100×（千元）；②当产品单价为90元时，每件产品成本为元，∴企业的利润为（千元）．故企业要获得更高利润，产品单价应选择90元．解析：（1）令u=，则y=a+可转化为y=a+bu，分别求出与，则回归方程可求；（2）直接利用相关系数公式求y与的相关系数，可得|r1|＜|r2|，得到用反比例函数模型拟合效果更好，取x=10，可得当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）分别求出产品单价为100元与产品单价为90元企业的利润得答案．本题考查回归方程及相关系数的求法，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）设Q（x0，y0），P（x，y），则，由得，代入，得，故曲线C的方程为：；（2）假设存在满足条件的定点，由对称性可知，该定点在y轴上，设定点为H（0，m），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-，由，得（1+4k2）x2-，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴=-，==，∵，，∴+m2==0，对任意的k恒成立，∴，解得m=1，即定点为H（0，1），当直线l的斜率不存在时，以MN为直径的圆也过定点（0，1），综上，以MN为直径的圆过定点（0，1）．解析：（1）设Q（x0，y0），P（x，y），利用所给条件建立两者之间的关系，利用Q在圆上可得x，y的方程，即为所求；（2）设定点为H，设直线l方程，与椭圆方程联立，得根与系数关系，利用HM⊥HN，数量积为0得恒等式，求得点H坐标．此题考查了坐标转移法求轨迹方程，直线与椭圆的综合，难度较大．21.答案：解：（1），则f'（x）=，令g（x）=2x2-ax+2，∵f（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＞x2），则函数g（x）在（0，+∞）上有两个不等零点，∴，∴a＞4，∴a的取值范围为：（4，+∞）；（2）∵a＞＞4，由（1）知f（x）有两个不同的极值点，且，∴，∴，∴，或，又因为x1＞x2，∴x1＞1，∴，===①，设t=，则=，令h（t）=，则h'（t）=，∴h（t）在（2，+∞）上单调递减，∴h（t）＜h（2）=，即，∴原命题得证，即时．解析：（1）f'（x）=，令g（x）=2x2-ax+2，由条件可得函数g（x）在（0，+∞）上有两个不等零点，故，解出不等式即可得a的范围；（2）=，设t=，则=，令h（t）=，判断函数的单调性，然后由h（x）＜h（2）可得原命题成立．本题考查了利用导数研究函数的极值和单调性，考查了转化思想和构造法，属中档题．22.答案：解（1）因为，所以曲线C的普通方程为+=1，因为直线l的极坐标方程为ρcos（θ-）+1=0，所以+ρsinθ+1=0，将代入上式，得直线l的直角坐标方程为：x++2=0，（2）设A（4cosα，sinα），点A到l的距离为d==，其中sinφ=，cosφ=，显然当sin（α+φ）=1时，d最大，此时α=-φ+2kπ，k∈Z，故cosα=sinφ=，sinα=cosφ=，所以x=4cosα=，y=sinα=．所以点A的直角坐标为（，）．解析：（1）因为，所以曲线C的普通方程为+=1，因为直线l的极坐标方程为ρcos （θ-）+1=0，所以+ρsinθ+1=0，将代入上式，得直线l的直角坐标方程为：x++2=0，（2）设A的坐标后利用点到直线的距离公式和三角函数的性质可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=2时，不等式为|2x-2|+|x|≤4，当x≤0时，不等式化为2-3x≤4，解得x≥-，即x∈[-，0]，当0＜x＜1时，不等式化为2-x≤4，解得x≥-2，即x∈（0，1），当x≥1时，不等式化为3x-2≤4，解得x≤2，即x∈[1，2]．综上，不等式的解集为[-，2]（2）因为对任意实数x都有f（x）-f（-x）≥a2-8，所以（f（x）-f（-x））min≥a2-8，又因为f（x）-f（-x）=|2x-a|-|2x+a|≥-|2x-a-2x-a|=-|2a|=-2a，所以只需-2a≥a2-8，解得-4≤a≤2，又a＞0，所以0＜a≤2．解析：（1）分3段去绝对值解不等式，再相并；（2）利用绝对值不等式的性质转化为函数的最小后，代入解不等式可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2020年山东省新高考数学模拟试卷(十二)(含答案)
2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣2|≥2}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|﹣2＜x≤2}2．设a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（）A．1升B ．升C ．升D ．升4．已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为AB、A1B1的中点，则三棱锥F ﹣ECD的外接球体积为（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，，则方程f（g（x））＝a的实根个数最多为（）A．6B．7C．8D．9二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）已知a，b均为正实数，若log a b+log b a ＝，a b＝b a ，则＝（）A ．B ．C ．D．210．（5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的：②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝3C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx+211．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（）A．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝B．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝C．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝D．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝12．（5分）已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（）A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5展开式中x3y3的系数为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，是2x 与4y 的等比中项，则的最小值．15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣5＝0的弦AB的中点为（﹣1，1），直线AB交x轴于点P，则的值为．16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝，n＝tan（θ+），则m＝，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且g（）＝，c＝．（1）求C；（2）若3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，求cos（A﹣C）．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，AB⊥BC，AB∥CD，且AB＝2CD．将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB⊥平面BEC．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE；（Ⅱ）若AB＝BC，求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．20．（12分）抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q ，求的取值范围．21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）组别时间分组频数男性人数女性人数A30≤x＜60211B60≤x＜901046C90≤x＜120m a1D120≤x＜150211E150≤x＜180n2b（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90）之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：K2＝P（K20.1500.100 0.0500.0250.010 0.005 0.001≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】可以求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≤0或x≥4}，B＝{x|x≤2}，U＝R，∴∁U A＝{x|0＜x＜4}，（∁U A）∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，①若“a＞b＞1”时由对数函数的性质可得：一象限底大图低，相同自变量为2时，底大函数值小，可得log b2＞log a2成立．②若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜log b2＜0，则必有0＜b＜a＜1；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，A正确．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．3．【分析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量．【解答】解：设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质得：a1+a7＝2a4＝6，解得第四节竹子的装米量为a4＝（升）．故选：B．【点评】本题考查第四节竹子的装米量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x +1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y ＝的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键5．【分析】利用平面的基本性质作出经过P、Q、R三点的平面，然后判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知经过P、Q、R三点的平面如图：红色线的图形，可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确；故选：D．【点评】本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．6．【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接FC1，FD1，三棱锥F﹣ECD的外接球即为三棱柱FC1D1﹣ECD的外接球，在△ECD中，取CD中点H，连接EH，则EH为边CD的垂直平分线，所以△ECD的外心在EH上，设为点M，同理可得△FC1D1的外心N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，由图可得，EM2＝CM2＝CH2+MH2，又MH＝2﹣EM，CH＝1，如右图所示：，可得，所以，解得，所以．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形AFBC为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理可得a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形F ABC为矩形，即有|AF|＝|BC|，设|AC|＝m，|BC|＝n，可得n﹣m＝2a，n2+m2＝4c2，mn＝2a2，即有4c2﹣8a2＝4a2，即有c ＝a，b ＝＝a，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】由方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系得：方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，再结合函数图象观察可得解．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C．【点评】本题考查了方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系及作图能力，属难度较大的题型．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．【分析】设t＝log a b，代入化解求出t的值，得到a的b关系式，由a b＝b a可求出a，b的值．【解答】解：令t＝log a b，则t +＝，∴2t2﹣5t+2＝0，（2t﹣1）（t﹣2）＝0，∴t ＝或t＝2，∴log a b ＝或log a b＝2∴a＝b2，或a2＝b∵a b＝b a，代入得∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2∴b＝2，a＝4，或a＝2．b＝4∴．或故选：AD．【点评】本题考查对数的运算及性质，换元法的应用，属于基础题．10．【分析】由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，逐项判断即可．【解答】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，对于A选项，函数f（x）＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x有解﹣1，0，1，满足条件，故正确；对于B选项，函数f（x）＝3在（0，+∞）上单调递增，且有解1，2，满足条件，故正确；对于C选项，函数f（x）＝e x﹣1在定义域上单调递增，但e x﹣1＝x只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D选项，函数f（x）＝lnx+2在（0，+∞）上单调递增，显然函数f（x）＝lnx+2与函数y ＝x在（0，+∞）上有两个交点，即lnx+2＝x有两个解，满足条件，故正确．故选：ABD．【点评】本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性、零点及函数图象等基础知识点，属于基础题．解题的关键是理解“和谐区间”的定义．11．【分析】对于选项A，B，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2cos C sin C＝sin C，结合sin C ≠0，可得cos C ＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值；对于选项C，D，由三角形的面积公式可求a2＝2bc sin A ，利用余弦定理，两角和的正弦函数公式可求+＝4sin（A +），结合已知利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：∵2cos C（a cos B+b cos A）＝c，∴由正弦定理可得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，∴2cos C sin（A+B）＝2cos C sin C＝sin C，∵sin C≠0，∴可得cos C ＝，∵C∈（0，π），∴C ＝，可得A正确，B错误．∵边BC 上的高为a，∴bc sin A ＝•a •，∴a2＝2bc sin A，∵cos A ＝，∴b2+c2＝a2+2bc cos A＝2bc sin A+2bc cos A，∴+＝＝2sin A+2cos A＝4sin（A +）≤4，当A +＝时等号成立，此时A ＝，故C正确，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．12．【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}是等差数列，若a1+5a3＝S8，即a1+5a1+10d＝8a1+28d，变形可得a1＝﹣9d，又由a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，则有a10＝0，故A一定正确，不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由S n＝na1+＝﹣9nd +＝×（n2﹣19n），则有S7＝S12，故C一定正确，则S20＝20a1+d＝﹣180d+190d＝﹣10d，S20≠0，则D不正确，故选：AC．【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，关键是掌握与等差数列有关的公式，属于基础题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【分析】根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2y）5＝x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（﹣80）+1×40＝﹣160+40＝﹣120，故答案为：﹣120．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．14．【分析】由等比数列可得x+2y＝1，则＝+＝1++，由基本不等式可得．【解答】解：x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则2x•4y＝2，∴x+2y＝1，∴＝+＝1++≥1+2＝1+2，当且仅当＝时，即x ＝﹣1，y ＝取等号，故答案为：2+1【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．15．【分析】由已知先求k MC，然后根据圆的性质可求k AB，写出AB所在直线方程，联立方程可求A，B，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：设M（﹣1，1）圆心C（﹣2，0），∵k MC ＝＝1，根据圆的性质可知，k AB＝﹣1，∴AB所在直线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0，联立方程可得，2x2+4x﹣5＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，令y＝0可得P（0，0），＝x1x2+y1y2＝2x1x2＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用．16．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m、n的值．【解答】解：若P （﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝＝，∴m ＝．∵tanθ＝＝﹣1，n＝tan（θ+）＝＝0，故答案为：；0．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先利用三角恒等变换将f（x）化简成y＝A sin（ωx+θ）的形式，再利用图象平移变换方法得到g（x），根据g （）＝，可求得角C．（2）利用正弦定理将给的式子化边，利用余弦定理可求得cos A ，结合，问题可解．【解答】解：（1）f（x）＝cos x（sin x ﹣cos x）+＝＝，∴g（x）＝f（x）＝sin（2x ﹣），∵g （）＝，∴，∴，∴，故C ＝．（2）∵3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，由正弦定理得：3（b﹣c）2＝3a2﹣8bc，∴，∴，∴，∴cos（A﹣C ）＝，＝．【点评】本题通过考查三角函数的恒等变换和图象变换以及正余弦定理的应用，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．18．【分析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为，①当n＝1时，2a1﹣S1＝2a1﹣a1＝2，所以a1＝2．当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，②①﹣②得2a n﹣S n﹣（2a n﹣1﹣S n﹣1）＝0，即a n＝2a n﹣1．因为a1＝2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③﹣④得，＝6+（21+22+23+…+2n）﹣（n+3）×2n+1＝＝6+2n+1﹣2﹣（n+3）×2n﹣1＝4﹣（n+2）2n+1，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．19．【分析】（I）取BE的中点F，AE的中点G，证明CF⊥平面ABE，通过证明四边形CDGF是平形四边形得出CF∥DG，故DG⊥平面ABE，于是平面ABE⊥平面ADE；（II）建立空间坐标系，计算平面ADE和平面BDE的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取BE的中点F，AE的中点G，连接FG、GD、CF，则GF AB．∵DC AB，∴CD GF，∴四边形CFGD为平行四边形，∴CF∥DG．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥CF．∵CF⊥BE，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面ABE．∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE．∵DG⊂平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．（Ⅱ）解：过E作EO⊥BC于O．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EO．∵AB∩BC＝B，∴EO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴，过O且平行于AB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝4，则A（0，﹣2，4），B（0，﹣2，0），D（0，2，2），E（2，0，0），∴＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，4），＝（﹣2，﹣2，0）．设平面EAD 的法向量为＝（x1，y1，z1），则有，即，取z1＝2得x1＝，y1＝1，则＝（，1，2），设平面BDE 的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，取x2＝1，得y2＝﹣，z2＝2，则＝（1，﹣，2）．∴cos ＜＞＝＝＝．又由图可知，二面角ADEB的平面角为锐角，∴二面角A﹣DE﹣B 的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20．【分析】（1）设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△＝0求出b 的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝2x+b，联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＝0，所以，b＝﹣1，因此，直线l的方程为y＝2x﹣1；（2）设直线l的方程为y＝2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＞0，所以，b＞﹣1．由韦达定理得x1+x2＝2，x1x2＝﹣b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ 的方程为，由，得2x2+x﹣5﹣2b＝0，由韦达定理得，，所以，，所以，，所以，的取值范围是．【点评】本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21．【分析】（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．由此能估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长和该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，求出k0≈0.808，从而没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【解答】解：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为：＝93分钟．该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为：1200×＝480人．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），共分布列为：P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ012345P∴E（ξ）＝5×＝．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表：每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男3811女189合计41620k0＝≈0.808，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e a﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
山东省济南市高考数学模拟试卷(理科)
山东省济南市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•济南一模）已知全集∪=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，则A∩B2．（5分）（2013•济南一模）已知复数（i是虚数单位），它的实部和虚部的和是（）解：∵=3．（5分）（2013•济南一模）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均甲、乙和中位数y甲、y乙进行比较，下面结论正确的是（）．甲＞乙，y甲＞y乙．甲＜乙，y甲＜y乙．甲＜乙，y甲＞y乙甲＞乙，y甲＜y乙4．（5分）（2013•济南一模）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小得6．（5分）（2013•济宁一模）函数f（x）=ln（x﹣）的图象是（）．﹣）的定义域，可排除）＞，即＞）的定义域为7．（5分）（2013•济南一模）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）．．．的值，最后输出=故答案为：8．（5分）（2013•济南一模）二项式（﹣）8的展开式中常数项是（）﹣•••﹣•9．（5分）（2013•济南一模）已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且，则的值是（）．．．•，AOC=•=1=10．（5分）（2013•济南一模）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的向左平移向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的向左平移代入（﹣，2x+x+个单位长度，再把所得各11．（5分）（2013•济南一模）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）．．=12．（5分）（2013•济南一模）设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立．＜＜．＜＜．＜＜＜＜∵∴=ln2，∵，，∴，∴，∴∴∵，，∴∴∴∴．二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13．（4分）（2013•济南一模）若点A（1，1）在直线mx+ny﹣2=0上，其中，mn＞0，则+的最小值为2．（×=，利∴（×=当且仅当14．（4分）（2013•济南一模）已知抛物线y2=4x的焦点F恰好是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点，且渐近线方程为y=x，则双曲线方程为x2﹣=1．b=双曲线﹣∴=﹣15．（4分）（2013•济南一模）函数y=sin（x+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB﹣2．T=AB==16．（4分）（2013•济南一模）f（x）=|2x﹣1|，f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n （x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f4（x）的零点个数为8．1|=或=或，，令其等于或，或；或，或，1|=，或；或，或，或；或；或或．三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2013•济南一模）已知=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y），且⊥．（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．≤≤+）A+A=，由余弦定理可得S=2cosx+22cosx+2x+2=1+cos2x+2x+≤≤+﹣，﹣]））A+）A+=，解得A==18．（12分）（2013•济南一模）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，AB=2CD=2，E、F分别是AB、AP的中点．（1）求证：AC⊥EF；（2）求二面角F﹣OE﹣A的余弦值．AB=2CD=2OE=EA=EB=∴，∴）可知：．的法向量为，，得，令∴可取∴==因此，19．（12分）（2013•济南一模）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}满足b3=3，b5=9．（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设C n=（n∈N*），求证C n+1＜C n．）由∴．，则，解得）可得．∴=c∴．20．（12分）（2013•济南一模）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．[）C（）]，×；=C••=；=C••=﹣﹣=×+3×+4×+5×．21．（13分）（2013•济南一模）已知函数f（x）=xe x．（I）求f（x）的单调区间与极值；（II）是否存在实数a使得对于任意的x1，x2∈（a，+∞），且x1＜x2，恒有成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．﹣22．（13分）（2013•济南一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k AC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率=，可得，得到，解得椭圆的标准方程为．﹣﹣，∴联立．解得．∴=2时取等号．∴=4=高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801。
2020年山东省新高考数学模拟试卷(二)
2020年山东省新高考数学模拟试卷（二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合22{|log (34)}A x y x x ==--，22{|320(0)}B x x mx m m =-+<>，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A ．(4,)+∞B ．[4，)+∞C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞2．（5分）已知复数z 满足(1)32z i i +=+，则复数z 的虚部为( ) A ．12i -B ．12iC ．12 D ．12-3．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 4．（5分）.若4tan 3α=，则cos(2)(2πα+= )A ．2425-B ．725-C ．725 D ．24255．（5分）在ABC ∆中，O 为AC 的中点，若AO AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则(λμ+= )A ．1B ．12C ．23D ．436．（5分）优题速享如图是函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，给出下列四个命题： ①函数()f x 的表达式为()2sin(2)3f x x π=+；②()g x 的一条对称轴的方程可以为4x π=-；③对于实数m ，恒有()()33f m f m ππ+=-；④()()f x g x +的最大值为2．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（5分）一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2，若四面体容器内完全放进一个球，则该球的半径最大值为( ) A 21B ．22C ．1D ．28．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)0f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．(0,)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，)+∞C ．(-∞，0)(1⋃，)+∞D ．(1,)-+∞二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9．（5分）已知两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数(a = ) A ．213±B ．25±C ．0D ．以上均有可能10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是( )A ．2a b =B ．2b a =C ．A B >D ．B A >11．（5分）已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且关于x 的方程()f x x =无实数根，现有下列说法，其中说法正确的是( )A ．若0a >，则不等式(()f f x )x >对一切x R ∈恒成立B ．若0a <，则必然存在实数0x 使不等式00(())f f x x >成立C ．关于x 的方程(())f f x x =一定没有实数根D ．若0a b c ++=，则不等式(()f f x )x <对一切x R ∈恒成立12．（5分）已知圆锥曲线22:1(0)C mx ny n m +=>>与222:1(0,0)C px qy p q -=>>的公共焦点为1F ，2F ．点M 为1C ，2C 的一个公共点，且满足1290F MF ∠=︒，若圆锥曲线1C 的离心率为34，则下列说法正确的是( )A ．2C 的离心率为92B ．2CC ．2C 的渐近线方程为2y x = D ．2C 的渐近线方程为2y x =±三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知函数81()(1)1x f x ln x x -=--+，则函数()f x 的图象在(2,5)-处的切线方程为 ．14．（5分）若正数x ，y 满足53x y xy +=，则5x y +的最小值是 ．15．（5分）已知直线:10l mx ny +-=与圆22:1O x y +=相交的弦长||AB =，则22m n += ．16．（5分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，即当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点(,)C x y 滚动时形成的曲线为()y f x =，则(2019)f = ，20191()i f i ==∑．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在①1(0)2f=，②()(0)fx f…恒成立，③()f x的图象关于点(3πω，0)中心对称这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的范围；若ω不存在，说明理由．设函数()sin()(0f x xωϕω=+>，)22ππϕ-剟，是否存在ω，使得函数()f x在[0，]2π上是单调的？18．（12分）已知等差数列{}na满足3221a a=-，47a=，等比数列{}nb满足35242()b b b b+=+，且2*22()n nb b n N=∈．（1）求数列{}na，{}nb的通项公式；（2）记数列{}na的前n项和为nS，若数列{}nc满足*1212()nnncc cS n Nb b b++⋯+=∈，求{}nc的前n项和为nT．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为43的菱形，60BCD∠=︒，AC与BD交于点O，平面FBC⊥平面ABCD，//EF AB，FB FC=，23EF=．（1）求证：OE⊥平面ABCD；（2）若FBC∆为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角Q BC A--的余弦值．20．（12分）某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩Z近似的服从正态分布2(,)Nμσ．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：（1）求样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A 、B 、C 三家公司的面试．()i 用样本平均数x 作为的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ．请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；()ii 若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下：公司甲岗位 乙岗位 丙岗位 A 9600 6400 5200 B9800 7200 5400 C1000060005000李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率均为0.3，0.3，0.4．李华准备依次从A 、B 、C 三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有一次机会，李华在某公司选岗时，若以该岗位与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择A 、B 、C 公司的哪些岗位？并说明理由． 附：16112.7≈若随机变量2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数()1alnx bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，()1lnx kf x x x>+-，求k 的取值范围． 22．（12分）已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求||AF ； （2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于M ，N 两点，设0(M x ，0)y ，当0[3y ，4]时，求||MN 的最大值．2020年山东省新高考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合22{|log (34)}A x y x x ==--，22{|320(0)}B x x mx m m =-+<>，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A ．(4,)+∞B ．[4，)+∞C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞【解答】解：解一元二次不等式2340x x -->得：1x <-或4x >，即(A =-∞，1)(4-⋃，)+∞，解一元二次不等式22320(0)x mx m m -+<>得2m x m <<，即(,2)B m m =， 又B A ⊆，所以210m m -⎧⎨>⎩„或40m m ⎧⎨>⎩…，解得4m …， 故选：B ．2．（5分）已知复数z 满足(1)32z i i +=+，则复数z 的虚部为( ) A ．12i -B ．12iC ．12 D ．12-【解答】解：由(1)32z i i +=+， 得32(32)(1)511(1)(1)22i i i z i i i i ++-===-++-， ∴复数z 的虚部为12-． 故选：D ．3．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 【解答】解：在A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A 错误； 在B 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B 错误；在C 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差大于11月份的方差，故C 错误；在D 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故D 正确． 故选：D ． 4．（5分）.若4tan 3α=，则cos(2)(2πα+= )A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【解答】解：22242sin cos 2tan 243cos(2)sin 2216212519sin cos tan παααααααα+=-=-=-=-⨯=-+++， 故选：A ．5．（5分）在ABC ∆中，O 为AC 的中点，若AO AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则(λμ+= )A ．1B ．12C ．23D ．43【解答】解：如图， O 为AC 的中点；∴1111()2222AO AC BC BA AB BC ==-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ；又AO AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ；根据平面向量基本定理得，12λμ==； 1λμ∴+=．故选：A ．6．（5分）优题速享如图是函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，给出下列四个命题： ①函数()f x 的表达式为()2sin(2)3f x x π=+；②()g x 的一条对称轴的方程可以为4x π=-；③对于实数m ，恒有()()33f m f m ππ+=-；④()()f x g x +的最大值为2．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：由图象知，2A =，5746124T πππ=-=，即T π=，则2ππω=，得2ω=， 由五点对应法得5226πϕπ⨯+=，得3πϕ=， 则()2sin(2)3f x x π=+，故①正确， 当3x π=时，()2sin 03f ππ==，则函数关于3x π=不对称，故③错误， 将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图象，即()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=-+=，当4x π=-时，()2sin()242g ππ-=-=-为最小值，则4x π=-是函数()g x 的一条对称轴，故②正确，()()2sin(2)2sin 22sin cos 2cos2sin 2sin 23sin 2)3336f xg x x x x x x x x x ππππ+=++=++==+，则()()f x g x +的最大值为④错误， 故正确的是①②， 故选：B ．7．（5分）一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2，若四面体容器内完全放进一个球，则该球的半径最大值为( )A 1B ．2C ．1D ．2【解答】解：满足条件的四面体的容器如图， 四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，BD BC ⊥， 满足各面均为直角三角形，此时，2AD BD BC ===，则AB CD ==AC =要满足题意，则当球与四面体各面均相切时半径最大， 此时设球心为O ，则原四面体可看成是以O 为顶点，其余各面为底面的四个四面体组合而成，且这4个四面体的高均为内切球半径， 由等体积法有：111222(22323r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯++，解得21r =-． 故选：A ．8．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)0f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()1x x e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．(0,)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，)+∞C ．(-∞，0)(1⋃，)+∞D ．(1,)-+∞【解答】解：设()()x x g x e f x e =-，()x R ∈， 则()()()[()()1]x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-，()1()f x f x '>-Q ， ()()10f x f x ∴+'->， ()0g x ∴'>，()y g x ∴=在定义域上单调递增，()1x x e f x e >-Q ，()1g x ∴>-，又00(0)(0)1g e f e =-=-Q ，()(0)g x g ∴>，0x ∴>，∴不等式的解集为(0,)+∞；故选：A ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9．（5分）已知两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数(a = )A ．±B ．±C ．0D ．以上均有可能【解答】解：圆221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1，圆22(4)()25x y a ++-=的圆心为(4,)a -，半径为5，若两圆相切，分两种情况讨论：当两圆外切时，有222(4)(15)a -+=+，解得a =± 当两圆内切时，有222(4)(15)a -+=-，解得0a =，综合可得：实数a 的值为0或± 故选：BC ．10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是( ) A ．2a b =B ．2b a =C ．A B >D ．B A >【解答】解：因为sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+， 所以sin 2sin cos 2sin cos cos sin B B C A C A C +=+，所以sin cos sin cos 2sin cos 2sin cos cos sin A C C A B C A C A C ++=+， 整理可得，2sin cos sin cos B C A C =， 因为C 为锐角，cos 0C ≠， 所以2sin sin B A =， 由正弦定理可得，2a b =，由三角形的大边对大角可得，A B >， 故选：AC ．11．（5分）已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且关于x 的方程()f x x =无实数根，现有下列说法，其中说法正确的是( )A ．若0a >，则不等式(()f f x )x >对一切x R ∈恒成立B ．若0a <，则必然存在实数0x 使不等式00(())f f x x >成立C ．关于x 的方程(())f f x x =一定没有实数根D ．若0a b c ++=，则不等式(()f f x )x <对一切x R ∈恒成立【解答】解：函数[()]f f x 为一个复合函数，可以把方括号里的()f x 看作为一个未知数t ，t的范围就是()f x 的值域；对于A ，[()]f f x 可以看作()f t ，而题中()f x x =无实根，方括号里的()f x 看作为一个未知数t ，则外层为一个开口向上的2次函数，且()f x x =无实根，且0a >， 所以不等式[()]f f x x >对一切x R ∈都成立，A 正确；对于B ，0a <时，由()f x x =无实根知二次函数()y f x x =-开口向下，且与x 轴没有交点， 同理，令()t f x =，则二次函数()y f t t =-也开口向下，且与横轴没有交点， 所以不等式[()]f f x x <对一切x R ∈都成立，B 错误；对于C ，[()]f f x 看为()f t ，而题中()f x x =无实根，所以方程[()]f f x x =无实根，所以C 正确；对于D ，由0a b c ++=知f （1）01=<，又()f x x =无实根，所以0a <， 由选项B 知不等式(()f f x )x <对一切x R ∈恒成立，D 正确． 故选：ACD ．12．（5分）已知圆锥曲线22:1(0)C mx ny n m +=>>与222:1(0,0)C px qy p q -=>>的公共焦点为1F ，2F ．点M 为1C ，2C 的一个公共点，且满足1290F MF ∠=︒，若圆锥曲线1C 的离心率为34，则下列说法正确的是( )A ．2C 的离心率为92B ．2CC ．2C 的渐近线方程为y =D ．2C 的渐近线方程为y x = 【解答】解：由题意，不妨取M 为两曲线在第一象限的交点， 令21a m=，21b n =，211a p =，211b q =，则曲线1C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，曲线2C 的方程为22122111(0x y a a b -=>，10)b >，又由两曲线有公共焦点，则2222211a b a b c -=+=，由圆锥曲线定义可得：12||||2MF MF a +=，121||||2MF MF a -=， 解得11||MF a a =+，21||MF a a =-．又1290F MF ∠=︒，∴2221212||||||MF MF F F +=， 可得22212a a c +=，整理得2212112e e +=， Q 134e =，∴232e =；由1322c a =，可得22211221192a b c a a +==，得11142b a =，2C ∴的渐近线方程为14y x =±． 故选：BC ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知函数81()(1)1x f x ln x x -=--+，则函数()f x 的图象在(2,5)-处的切线方程为 50y += ．【解答】解：因为81()(1)1x f x ln x x -=--+，点坐标为(2,5)-， 可知点在曲线上， 则219()1(1)f x x x '=--+， 则f '（2）110=-=，即切线的斜率为0， 又因为过点(2,5)-， 所以切线方程为50y +=， 故答案为：50y +=．14．（5分）若正数x ，y 满足53x y xy +=，则5x y +的最小值是 12 ． 【解答】解：正数x ，y 满足53x y xy +=，则153y x+=， 1151551555(5)()(251)(262)12333x y x yx y x y y x y x y x∴+=++=++++=g …，当且仅当2x y ==时取等号， 故5x y +的最小值是12， 故答案为：1215．（5分）已知直线:10l mx ny +-=与圆22:1O x y +=相交的弦长2||AB =，则22m n += ．【解答】解：2222|1|2||21()2AB m n -=-=+Q ， 化简得：2287m n +=． 故答案为：87． 16．（5分）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，即当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点(,)C x y 滚动时形成的曲线为()y f x =，则(2019)f = 0 ，20191()i f i ==∑．【解答】解：Q 正方形的边长为1，∴正方形的对角线2AC =， 则由正方形的滚动轨迹得到0x =时，C 位于(0,1)点，即(0)1f =， 当1x =时，C 位于(1,2)点，即f （1）2=， 当2x =时，C 位于(2,1)点，即f （2）1=， 当3x =时，C 位于(3,0)点，即f （3）0=， 当4x =时，C 位于(4,1)点，即f （4）1=， 则(4)()f x f x +=，即()f x 具备周期性，周期为4， 则(2019)(50443)f f f =⨯+=（3）0=，20191()504(2101)21050521009i f i ==⨯++++++=+∑，故答案为：0；50521009+．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在①1(0)2f =，②()(0)f x f „恒成立，③()f x 的图象关于点(3πω，0)中心对称这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的范围；若ω不存在，说明理由．设函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-剟，①203ω<„．②02ω<„．③503ω<„． 是否存在ω，使得函数()f x 在[0，]2π上是单调的？【解答】解：①1(0)sin(0)sin 2f ϕϕ=+==Q ，52266k k ππϕππ∴=++或， 22ππϕ-Q 剟，6πϕ∴=．此时()sin()6f x x πω=+． 当[0,],[,]26626x x πππωππω∈+∈+，要使得函数()f x 在[0，]2π上是单调的，262ωπππ+„，∴23ω„．0ω>Q ，∴203ω<„． ②()(0)f x f Q „恒成立，()(0)sin 1max f x f ϕ∴===． 22ππϕ-Q 剟，2πϕ∴=．此时()sin()cos 2f x x x πωω=+=． [0x ∈Q ，]2π，[0,]2x ωπω∈，要使得函数()f x 在[0，]2π上是单调的，2ωππ„，2ω∴„．0ω>Q ，02ω∴<„．③()f x 的图象关于点(3πω，0)中心对称， 3k πωϕπω+=g ，3k πϕπ=-+，22ππϕ-Q 剟，3πϕ∴=-．此时()sin()3f x x πω=-． [0x ∈Q ，]2π，[,]3323x ππωππω-∈--．要使得函数()f x 在[0，]2π上是单调的，232ωπππ-„，∴53ω„．0ω>Q ，503ω∴<„．． 故答案为：①203ω<„．②02ω<„．③503ω<„． 18．（12分）已知等差数列{}n a 满足3221a a =-，47a =，等比数列{}n b 满足35242()b b b b +=+，且2*22()n nb b n N =∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n c 满足*1212()n n nc c c S n N b b b ++⋯+=∈，求{}n c 的前n 项和为n T ．【解答】解：（1）等差数列{}n a 满足3221a a =-，47a =， 可得1141222137a d a d a a d +=+-⎧⎨=+=⎩，解得11a =，2d =， 12(1)21n a n n ∴=+-=-，Q 等比数列{}n b 满足35242()b b b b +=+，3222222()b q b q b b q ∴+=+， 即322(1)q q q +=+，2q ∴=，Q 2*22()n nb b n N =∈． 22112b b b q ∴==， 11b ∴=12n n b -∴=，（2）由（1）可得2(121)2n n n S n +-==， ∴1212n n n c c c S b b b ++⋯+=， ∴1121121n n n c c c S b b b ---++⋯+=， 两式相减可得1nn n n nc S S a b -=-=， 1(21)2n n n n c a b n -∴==-，0121123252(21)2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-， 1232123252(21)2n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-，两式相减可得1123112(12)12(2222)(21)212(21)2142(21)23(32)212n n n n n n nn T n n n n --+--=++++⋯+--=+⨯--=-+--=-+--，3(23)2n n T n ∴=+-．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为43的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，23EF =． （1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值．【解答】证明：（1）如图，取BC 中点G ，连接FG ，OG ， 因为FB FC =， 所以FG BC ⊥，又因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC ⋂平面ABCD BC =，FG ⊂平面FBC ， 所以FG ⊥平面ABCD ， O ，G 分别为BD ，BC 中点，所以//OG AB ，12OG AB = 因为2312EF AB =，//EF AB ， 所以四边形EFGO 为平行四边形， 所以//OE FG ， 所以OE ⊥平面ABCD ．（2）如图，以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系，显然二面角Q BC A --为锐二面角，设该二面角为θ，向量(0n =r ，0，1)是平面ABC 的法向量，设平面QBC 的法向量(v x =r，y ，1)，由题意可知sin602FG OE BF ==︒=，所以(2C -，0，0)，(0B ，23，0)，(0E ，0，2)，(1Q ，0，1) 所以(1BQ =u u u r ，23-，1)，(3CQ =u u u r ，0，1)，则00v BQ v CQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，即2310310x y x ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩， 所以1(3v =-r，3，1)，所以||313cos ||||131n v n v θ===⨯r r g r r ．20．（12分）某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩Z 近似的服从正态分布2(,)N μσ．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：（1）求样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A 、B 、C 三家公司的面试．()i 用样本平均数x 作为的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ．请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；()ii 若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下：公司甲岗位 乙岗位 丙岗位 A960064005200B9800 7200 5400 C1000060005000李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率均为0.3，0.3，0.4．李华准备依次从A 、B 、C 三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有一次机会，李华在某公司选岗时，若以该岗位与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择A 、B 、C 公司的哪些岗位？并说明理由． 附：16112.7≈若随机变量2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=．【解答】解：（1）由所得数据绘制的频率直方图，得：样本平均数450.05550.18650.28750.26850.17950.0670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 样本方差2222222(4570)0.05(5570)0.18(6570)0.28(7570)0.26(8570)0.17(9570)0.06161s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；( i )由（1）可知，ˆ70μ=，2ˆ161σ=，故评估成绩Z 服从正态分布(70,161)N ， 所以1ˆˆ(82.7)()(10.6826)0.15872P Z P Z μσ>=>+=-=． 在这2000名毕业生中．能多加三家公司面试的估计有20000.1587317⨯≈人． ()ii 李华可以选择A 公司的甲岗位，B 公司的甲，乙岗位，C 公司的三个岗位， 理由如下：设B ．C 公司提供的工资为B X ，C X ，则B X ，C X 都为随机变量，其分布列为公司 甲岗位 乙岗位 丙岗位 B X980072005400则B 公司的工资期望()98000.372000.354000.47260B E X =⨯+⨯+⨯=（元)， C 公司的工资期望：()100000.360000.350000.46800C E X =⨯+⨯+⨯=（元)，因为A 公司的甲岗位工资9600元大于B ，C 公司的工资期望，乙岗位工资6400元小于B ，C 公司的工资期望，故李华先去A 公司面试，若A 公司给予甲岗位就接受，否则去B 公司；B 公司甲，乙岗位工资都高于C 公司的工资期望，故B 公司提供甲，乙岗位就接受，否则去C 公司；在C 公司可以依次接受甲，乙，丙三种岗位中的一种岗位． 21．（12分）已知函数()1alnx bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，()1lnx kf x x x>+-，求k 的取值范围． 【解答】解：由题意f （1）1=，即切点坐标是(1,1)（Ⅰ）221()()(1)x a lnx b x f x x x +-'=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)11(1)2f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩即1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()1lnx f x x x=++，所以 221(1)(1)()()(2)11lnx k k x f x lnx x x x x---+=+--．考虑函数2(1)(1)()2(0)k x h x lnx x x--=+>，则22(1)(1)2()k x xh x x -++'=． ()i 设0k …，由222(1)(1)()k x x h x x +--'=知，当1x ≠时，()0h x '<．而h （1）0=，故当(0,1)x ∈时，()0h x '<，可得21()01h x x>-； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，可得21()01h x x >- 从而当0x >，且1x ≠时，()()01lnx k f x x x -+>-，即()1lnx kf x x x>+-． ()ii 设01k <<．由于当1(1,)1x k∈-时，2(1)(1)20k x x -++>，故()0h x '>， 而h （1）0=，故当1(1,)1x k∈-时，()0h x >，可得21()01h x x <-，与题设矛盾． ()iii 设1k …．此时()0h x '>，而h （1）0=，故当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，可得21()01h x x <-，与题设矛盾． 综合得，k 的取值范围为(-∞，0]．22．（12分）已知圆22:4O x y +=，抛物线2:2(0)C x py p =>．（1）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为抛物线C 和圆O 的一个交点，求||AF ； （2）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于M ，N 两点，设0(M x ，0)y ，当0[3y ∈，4]时，求||MN 的最大值．【解答】解：（1）依题意(0,)2p F 在圆224x y +=上，2044p ∴+=，解得4p =，∴抛物线C的方程为：28x y =，联立22248x y x y⎧+=⎨=⎩消去x 得2840y y +-=，解得4y =-+，||()4222pAF y ∴=--=-+=．（2）y 依题意设切线l 的方程为000()xy y x x p-=-，整理得000x x py py --=，由||2ON =，得：0||py == 所以02084y p y =-且24y >， 所以222222200002016||||442444y MN OM x y py y y y =-=+-=+-=+-- 2020644164y y =-++-，设204[5t y=-∈，12]，则64||16MN tt=++，求导可知：函数在{5，12]上是递减函数，5t∴=，即03y=时，||MN．。
山东省济南市2024年数学(高考)统编版模拟(自测卷)模拟试卷
山东省济南市2024年数学（高考）统编版模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题若，则（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，则下列选项中是“”的一个充分不必要条件的是（）A．B．C．D．第(3)题若等比数列{a n}满足a n a n＋1＝16n，则公比为( )A．2B．4C．8D．16第(4)题若，，，，则（）A．B．C．D．第(5)题“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（）A．75B．74C．73D．72第(6)题将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（）．A ．是最小正周期为的偶函数B．点是的对称中心C．在区间上的最大值为D ．在区间上单调递减第(7)题在正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(8)题设非零向量，满足且，则，的夹角大小为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知复数，则下列说法正确的是（）A．的共轭复数是B．的虚部是C．D．若复数满足，则的最大值是第(2)题已知直线：与圆：相交于两点，与两坐标轴分别交于两点，记的面积为，的面积为，则（）A．B．存在，使C．D．存在，使第(3)题已知抛物线，过焦点的弦的倾斜角为，为坐标原点，则下列说法正确的有（）A．若，，则B．当时，C ．以为直径的圆与准线相切D．不论为何值，三角形的面积为定值三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
山东省济南市2020年6月高三模拟考试数学试题含答案
山东省济南市2020届高三6月份模拟考试数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） ―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}=12|M x x -<<，{|N x y ==，则=M N ⋂A ．{}1|x x >-B ．2|}0{x x ≤<C ．{}2|0x x <<D ．{12}x x |≤<2．函数()34=f x x x +-的零点所在的区间为A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,33．已知命题1:,e 2exx p x ∀∈+≥R ，则p ⌝为 A ．1,e 2e xxx ∃∈+≥R B ．1,e 2e xx x ∃∈+<R C ．1,e 2exx x ∃∈+≤R D ．1,e 2exx x ∀∈+≤R 4．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切．若12=2O O ，则圆柱12O O 的表面积为A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π5．“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即()121nii i a a n -=--∑．国内生产总值（GDP ）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015─2019年GDP 数据．根据表中数据，2015-2019年我国GDP 的平均增长量为 A ．5.03万亿B ．6.04万亿C ．7.55万亿D ．10.07万亿6．已知双曲线C 的方程为221169x y -=则下列说法错误的是 A ．双曲线C 的实轴长为8 B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x =±C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为947．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是 A ．14B ．516C ．38D ．128．在ABC 中，cos c os A B +=AB =．当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知复数1cos2sin 2()22z i ππθθθ=++-<<（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．||2cos z θ=D ．1z 的实部为1210．台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，2AB AD =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为 A ．16B ．12C ．1D ．3211．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是A ．对任意点P ，//DP 平面11AB D B ．三棱锥11P A DD -的体积为16C ．线段DPD 存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为3π12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>a ．，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数．下列说法正确的是 A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知2(1)nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,1)a =，(1,)b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为___________． 14．若5250125(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，则4a 的值为__________．15．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为________．16．已知函数()2ln f x x =，21()(0)2g x ax x a =-->．若直线2y x b =-与函数()y f x =，()y g x = 的图象均相切，则a 的值为________；若总存在直线与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切，则a 的取值范围是________．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，12AB AD BC ==，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90︒，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点．（1）求证：BMDF ⊥；（2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小． 18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2,,n n a n a n n b ⎧=⎨⎩奇数为偶数为，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．19．（12分）已知函数()sin()(0,0)6f x A A πωω=+>>能同时满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2； ②函数()f x的图象可由)4y x π=-的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和． 20．（12分）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包．面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468g ．庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：g ）尽管上述数据都落在()950,1050上，但庞加菜还是认为面包师撤谎，根据所附信息，从概率角度说明理由．附： ①若()2~,X Nμσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知；随机变量2~(,)25Y N σμ；②若()2~,Nημσ，则0.68()26P μσημσ-<<+=，220.9()544P μσημσ-≤<+=， 330.9()974P p σημσ-<<+=；③通常把发生概率在0．05以下的事件称为小概率事件． 21．（12分）已知函数()ln()f x a x b =+-（1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值； （2）当0b >时，讨论()f x 极值点的个数． 22．（12分）已知平面上一动点A 的坐标为2(2,2)t t -． （1）求点A 的轨迹E 的方程； （2）点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t． （i ）证明直线AB 过定点，并求出定点坐标；（ii ）分别以A ，B 为圆心作与直线2x =-相切的圆两圆公共弦的中点为H ．在平面内是否存在定点P ，使得PH 为定值？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．–1；14．4.5；15．3； 16．32，32a ≥（本小题第一空2分，第二空3分）． 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）证明：【方法一】连接CE ，与BM 交于点N ，根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD 与EF 相交， 故C ，D ，F ，E 四点共面， 因为平面//ADF 平面BCE ， 所以//CE DF ， 因为M 为CE 的中点， 所以CBM EBM ∠=∠，所以N 为CE 中点，又BC BE =， 所以BN CE ⊥，即BM CE ⊥， 所以BMDF ⊥．【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，则1AD AF ==，2BC BE ==，所以()0,0,0B ，M ，()0,1,1D ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,1,0)DF =-，所以20BM DF ⋅==，所以BMDF ⊥．（2）【方法一】连接DB ，DN ，由（1）知，//DF EN 且DFEN =，所以四边形ENDF 为平行四边形， 所以//EF DN ，所以BND ∠为异面直线BM 与EF 所成的角，因为BD DN BN ===所以BND 为等边三角形，所以60BND ∠=，所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒． 【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设1AB =，则1AD AF ==，2BE =，所以()0,0,0B ，M ，()2,0,0E ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,0,1)EF =-所以1cos ,2||||BM EF BM EF BM EF ⋅<>===-．所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒．18．【解析】 （1）因为21122n S n n =+ 所以当1n =时，111a S ==. 当2n ≥时，2211111(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦， 又1n =时符合上式， 所以n a n =．（2）因为,2,n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以对任意的+k ∈N ，2121(21)(21)2k k b b k k +--=+--=，则{}21k b -是以1为首项，2为公差的等差数列；222222242k k k k b b ++==， 则{}2k b 是以4为首项，4为公比的等比数列． 所以()()2135212462n n n T b b b b b b b b -=+++++++++()2462(12321)2222n n =++++-+++++()414(121)214nn n -+-=+- 124433n n +=+-19．【解析】（1）函数()sin(6x f x A πω=+）满足的条件为①③；理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件之一，由③可知，Tπ=，所以2ω=，故②不合题意，所以函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件为①③；由①可知2A =， 所以()2sin(2)6f x x π=+（2）因为()10f x +=，所以1sin(2)62x π+=-， 所以22()66x k Z k πππ+=-+∈或722()66x k Z k πππ+=+∈， 即()6x k k ππ-+∈=Z 或()2x k k ππ+∈=Z又因为],[x ππ∈-，所以x 的取值为6π-，56π，2π-，2π， 所以方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和为23π． 20．【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2．0022111(0)()()224P C ξ===；12111(1)222P C ξ==⨯⨯=；2202111(2)()()224P C ξ===．所以ξ的分布列为：所以1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯=．（个） （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X ．假设面包师没有撒谎，则2~(1000,50)X N ． 根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则2~(1000,10)Y N ． 庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据， 这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=， 由附②数据知，10.9544(980)0.02280.052P Y -<==<， 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎．21．【解析】（1）当1a =，0b =时，l (n )f x x =-此时，函数()f x 定义域为(0,)+∞，1()f x x '=-=，． 由()0f x '>得：04x <<；由()0f x '<得：4x >，所以()f x 在()0,4上单调递增，在(4,)+∞上单调递减．所以max ()(4)2ln 22f x f ==-．（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[0,)+∞，()a f x xb '==+， ①当0a ≤时，()0f x '<对任意的,()0x ∈+∞恒成立， 所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+，（i ）当2440a b -≤，即0a <≤()0f x '≤对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即()f x '在(0,)+∞上无变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为0个；（ⅱ）当3440a b ->，即a >记方程()0h x =的两根分别为1x ，2x ，则120x x a +=>，120x x b =>，所以1x ，2x 都大于0，即()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为2个．综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个．22．【解析】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，因为A 的坐标为2(2,2)t t -， 所以222x t y t⎧=⎨=-⎩，消去参数t 得：22y x =；（2）（i ）因为点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t，所以点B 的坐标为222(,)t t当1t =±时，直线AB 的方程为2x =；当1t ≠±时，直线AB 的斜率为21B AAB B A y y t k x x t-==--所以直线AB 的方程为222(2)1t y t x t t +=--， 整理得2(2)1ty x t =--所以直线AB 过定点()2,0；（ⅱ）【方法一】因为A 的坐标为2(2,2)t t -，且圆A 与直线2x =-相切， 所以圆A 的方程为222()()(2)A A A x x y y x -+-=+，同理圆B 的方程为()()()2222B B B x x y y x -+-=+，两圆方程相减得()()222244B A B A A B A Bx x x y y y y y x x -+-+-=- 将2(2,2)A t t -，222(,)B t t 带入并整理得1()(1)y t x t =-+①， 由（i ）可知直线AB 的方程为2(2)1ty x t =--②， 因为H 是两条直线的交点，所以两个方程相乘得2(2)(1)y x x =--+， 整理得2219()24x y -+=，即点H 的轨迹是以1(,0)2为圆心，32为半径的圆， 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．【方法二】由题意知直线2x =-为圆A 与圆B 的公切线，设切点分别为E ，F ，设两圆的公共弦交公切线2x =-于点G ，则G 为E ，F 的中点， 所以G 点横坐标为2G x =-，G 点的纵坐标为122E F A B G y y y y y t t++===-， 即1(2,)G t t--，因为公共弦必与两圆的连心线垂直， 所以公共弦所在直线的斜率为211AB t k t--=， 故公共弦所在的直线方程为211()(2)t y t x t t---=+ 整理得1()(1)y t x t =-+，所以公共弦恒过()1,0S -；由平面几何的知识可知，公共弦的中点就是公共弦与两圆连心线的交点，记直线AB 所过的定点为R ，则R ，S ，公共弦的中点H ，构成以日为直角顶点的直角三角形， 即点H 在以RS 为直径的圆上： 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．。
2020年6月山东省济南市高三高考模拟考试数学真题试卷及答案
分
所以异面直线 BM 与 EF 所成角的大小是 60 ．................................................10 分
18．【解析】
（1）因为
Sn
=
1 2
n2
+
1 2
n
，
所以当 n = 1时， a1 = S1 = 1 ，.................................................................................1 分
高三年级学习质量评估考试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C C D B A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
1
直角坐标系，设 AB = 1 ，则 AD = AF = 1， BC = BE = 2 ， 所以 B（0 ，0 ，0）， M（ 2 ， 2 ，0）， D（0，1，1）， F（1，0 ，1）， .....................2 分
所以 BM =（ 2 ， 2 ，0）， DF=（1，−1，0），
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 BCD AD ABC BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． −1 ；14．5；15． 3 ；16． ， a 3 （本小题第一空 2 分，第二空 3 分）．
山东省济南市(新版)2024高考数学人教版模拟(自测卷)完整试卷
山东省济南市（新版）2024高考数学人教版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题（）A．B．0C．D．第(2)题已知，且，则实数a的值为( )A．B．C．D．第(3)题若，则（）A．B．C．D．第(4)题设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，则（）A．20B．15C．9D．6第(5)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题若函数的图象可由函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则（）A．B．C．D．第(7)题已知点到点的距离比到轴的距离大1，记点的轨迹为.直线与椭圆相切.与在第一象限的交点为，且曲线在点处的切线斜率乘积为.设的上，左顶点为.将直线与围成的图形绕轴旋转形成一个旋转体，则该旋转体的体积为（）A．B．C．D．第(8)题已知，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题定义在上的函数的导函数为，且.则对任意，，其中，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．第(2)题设，若在上恒成立，则实数a的值可以是（）(附:)A．B．3C．2D．第(3)题若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是（）A．a0＝1B．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2C．a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35D．a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则_______．第(2)题若函数的最大值为2，则常数的一个取值为_______．第(3)题已知向量，，若，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）若f(x)的最小值为2，求的值；（2）若m=1，a>e，实数为函数f(x)大于1的零点，求证：①②第(2)题某球迷为了解两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下：球队：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 10691 81 107 112 107 101 106 120 107 79(1)根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；(2)根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：球队所得分数低于100分100分到119分不低于120分攻击能力等级较弱较强很强记事件“球队的攻击能力等级高于球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率.第(3)题如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，侧面是矩形，为的中点，．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．第(4)题已知函数，，曲线与曲线在处的切线互相平行．（1）求的值；（2）求证：在上恒成立．第(5)题已知函数.（1）求函数的极值；（2）若不等式恒成立，求的最小值（其中e为自然对数的底数）.。
2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(二)(含答案解析)
2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(二)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合2{|430}A x x x =+->，{|21}x B y y ==+，则A ∩B =（ ）A ．(1，2)B ．(1，4)C ．(2，4)D ．(1，+∞) 2．已知复数z 满足i z =|2−i|+i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a =(3，-1)，b =(-1，2)，若|a -λb |=5，则实数λ=（ ）A ．1或-3B ．1C ．-3D ．24．设随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，则函数2()24f x x x ξ=-+不存在零点的概率为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．255．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 6．若函数()f x =sin(2x +φ)(|φ|<2π)的图象向左平移6π个单位长度后关于原点对称，则函数()f x在[0，2π]上的最小值为（） A ．-3 B ．12- C ．12D ．3 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有表面中，面积最大的表面的面积是（ ）A ．52 B ．5 C ．352D ．58．已知实数x 、y 满足不等式组10302x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤，若22x y +的最大值为m ，最小值为n ，则m n -=（ ） A ．252B ．172C ．8D ．99．已知抛物线Ω：22y px =(p >0)，斜率为2的直线l 与抛物线Ω交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，若点M 到抛物线Ω的焦点F 的最短距离为1，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．810．设n T 为等比数列{}n a 的前n 项之积，且16a =-，434a =-，则当n T 最大时，n 的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1011．在三棱锥S ABC -中，SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB =BC ，SA =AC ，AB =12SC ，且三棱锥S ABC-93，则该三棱锥的外接球的半径为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知定义在(0，+∞)上的函数()f x 的导函数()f x '满足ln ()()x xf x f x x '+=，且()f e =1e，其中e 为自然对数的底数，则不等式()f x +e >x +1e的解集是（ ）A ．(0，e )B ．(0，1e )C ．(1e ，e ) D ．(e ，+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知二项式5(1)ax -(a >0)的展开式的第四项的系数为-40，则1axdx -⎰的值为 ．14．已知各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211m m m a a a -++=(m ≥2，m ∈N *)，21m S -=218，则m = ．15．已知函数||()||x f x e x =+．若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．16．已知抛物线C ：22y px =(p >0)，A (异于原点O 为抛物线上一点，过焦点F 作平行于直线OA 的直线，交抛物线C 于P ，Q 两点．若过F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于点B ，则|FP |·|FQ |-|OA |·|OB |= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知向量m x −cos x ，1)，n =(cos x ，12)，函数()f x =m ·n ． (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，a ，c =4，且()f A =1，求△ABC的面积．18．(本小题满分12分)一个袋中有大小、质地完全相同的4个红球和1个白球，共5个球，现从中每次随机取出2个球，若取出的有白球必须把白球放回去，红球不放回，然后取第二次，第三次，…，直到把红球取完只剩下1个白球为止．以ξ表示终止时取球的次数． (1)求 ξ=2的概率；(2)求 ξ的分布列及数学期望． 19．(本小题满分12分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC 且224AD BC AB ===，AB ⊥AD ，侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，且四边形11ABB A 是菱形，∠1B BA=3π，M 为1A D 的中点．(1)证明：CM ∥平面11AA B B ； (2)求二面角1A CD A --的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)经过点M (2210)，且其右焦点为2F (1，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在圆222x y b +=上，且在第一象限，过P 作圆222x y b +=的切线交椭圆于A ，B 两点，问：2AF B ∆的周长是否为定值?如果是，求出该定值；如果不是，说明理由． 21．(本小题满分12分)已知函数2()ln f x ax bx x =-+，a ，b ∈R ． (1)当b =2a +1时，讨论函数()f x 的单调性；(2)当a =1，b >3时，记函数()f x 的导函数()f x '的两个零点分别是1x 和2x (1x <2x )，求证：12()()f x f x ->34−ln 2． 选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，φ∈[0，3π])，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心C 的极坐标为(2，3π)，半径为2，直线l 与圆C 交于M ，N 两点． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)当φ变化时，求弦长|MN |的取值范围．23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++． (1)已知常数a <2，解关于x 的不等式()2f x a +->0；(2)若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．2020年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅰ)理科数学(二)答案1．B 【解析】解不等式2430x x +->，可得{|14}A x x =-<<，由函数21x y =+的值域可得{|1}B y y =>，故A ∩B ={x |1<x <4}，故选B ．2．D 【解析】解法一 由i z =|2−i|+i 得z =ii=1，所以复数z 在复平面内对应的点为(1，)，位于第四象限，故选D ．解法二 设z =a +b i(a ，b ∈R )，由i z =|2−i|+i 可得−b +a ，所以a =1，b =，即z =1，所以复数z 在复平面内对应的点为(1，，位于第四象限，故选D ． 3．A 【解析】解法一 因为a =(3，-1)，b =(-1，2)，所以a -λb =(3+λ，-1-2λ)，又|a -λb |=5，所以(3+λ)2+(-1-2λ)2=25， 解得λ=1或λ=-3．解法二 由已知得|a | b a ·b =-5，所以|a -λb 5==，解得λ=1或λ=-3．4．A 【解析】由函数2()24f x x x ξ=-+不存在零点，令()0f x =得Δ=16-8ξ<0，解得ξ>2，又随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，∴P (ξ>2)=12，即函数2()24f x x x ξ=-+不存在零点的概率为12，故选A ．5．B 【解析】依题意，循环时S ，n 的值依次为S =3，n =2；S =8，n =3；S =19，n =4；S =42，n =5；S =89，n =6；S =184>100，此时不再计算n ，而是直接输出n 的值6．故选B ． 6．A 【解析】函数()f x =sin(2x +φ)的图象向左平移6π个单位长度得()g x =sin[2(x +6π)+φ]= sin(2x +3π+φ)的图象，又()g x 为奇函数，则3π+φ=k π，k ∈Z ，解得φ=k π-3π，k ∈Z ．又|φ|<2π，令k =0，得φ=-3π，∴()g x =sin2x ，()f x =sin(2x -3π)．又x ∈[0，2π]，∴2x -3π∈[-3π，23π]，故当x =0时，()f x min =-，故选A ．7．C 【解析】由三视图还原直观图(如图)可以看出，三棱锥的所有表面中，面积最大的三角形的一边长为3，这条边上的高为22125+=，所以面积1353522S =⨯⨯=．8．B 【解析】先作出满足约束条件的平面区域，然后根据22x y +的几何意义求解．作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，22x y +表示平面区域内的点与原点的距离的平方，观察图形可知，原点到直线x +y -3=0的距离|OD |的平方等于n ，|OA |2=m ，经过计算可得m =13，n =92，则m n -=172，故选B ．9．B 【解析】设直线l ：12x y b =+，代入抛物线方程，得220y py pb --=，Δ=2p +8pb >0，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M x y ，则12y y p +=，所以1222y y p y +==．把2py =代入抛物线方程，得08p x =，故点M 的轨迹方程为2p y =(x >8p)，故点M 到抛物线的焦点F 的最短距离为2p=1，所以p =2．10．A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵16a =-，434a =-，∴3364q -=-，解得12q =，∴116()2n n a -=-⨯．∴n T =012(1)1(6)()2nn +++⋅⋅⋅+--⨯=(1)21(6)()2n n n--⨯，当n 为奇数时，n T <0，当n 为偶数时，n T >0，故当n 为偶数时，n T 才有可能取得最大值．(21)2136()2k k k k T -=⨯．1(1)(21)4122(21)2136()1236()1236()2k k k k k k k k kT T +++++-⨯==⨯⨯，当k =1时，42918T T =>；当k ≥2时，2221k kT T +<． ∴2T <4T ，4T >6T >8T >⋅⋅⋅，则当n T 最大时，n 的值为4． 11．C 【解析】如图，取SC 的中点O ，连接OB ，OA ，因为SB ⊥BC ，SA ⊥AC ，SB =BC ，SA =AC ，所以OB ⊥SC ，OA ⊥SC ，OB =12SC ，OA =12SC ，所以SC ⊥平面OAB ，O 为外接球的球心，SC为球O 的直径，设球O 的半径为R ，则AB =12SC =R ，所以△AOB 为正三角形，所以∠BOA =60°，所以V S-ABC =V S-OAB +V C-OAB =2×12R 2sin 60°×13×R 93，解得R =3，故选C ．12．A 【解析】令()g x =x ()f x ，则()f x =()g x x，ln ()x g x x '=，∴22()()ln ()()g x x g x x g x f x x x '⋅--'==， 令()ln ()h x x g x =-，则11ln ()()xh x g x x x -''=-=，当0<x <e 时，()h x '>0，当x >e 时，()h x '<0，∴()()1()1()0h x h e g e ef e =-=-=≤，∴()f x '≤0． 令()()x f x x ϕ=-，则()()1x f x ϕ''=-≤-1<0，∴()x ϕ为减函数，又不等式()f x +e >x +1e可化为()x ϕ>()e ϕ，∴0<x <e ，故选A ．13．32【解析】二项式5(1)ax -(a >0)的展开式的第四项为3232245C ()(1)10T ax a x =⨯-=-，其系数为2210a x -=-40，又a >0，∴a =2，1a xdx -⎰=221213122xdx x -==-⎰． 14．55【解析】根据等差数列的性质，有211m m m a a a -++==2m a ，因为m a ≠0，所以m a =2．依题意21m S -=1a +2a +…+22m a -+21m a -=12(1a +21m a -)(2m −1)=(2m −1)m a =2(2m −1)=218，所以m =55．15．(1，+∞)【解析】易知函数||()||x f x e x =+为偶函数，故只需求函数()f x 在(0，+∞)上的图象与直线y k =有唯一交点时k 的取值范围．当x ∈(0，+∞)时，()x f x e x =+，此时()10x f x e '=+>，所以函数()f x 在(0，+∞)上单调递增，从而当x >0时，()x f x e x =+>(0)f =1，所以要使函数()f x 在(0，+∞)上的图象与直线y k =有唯一交点，只需k >1，故所求实数k 的取值范围是(1，+∞)．16．0【解析】由题意得直线OA 的斜率存在且不为0，设直线OA 的斜率为k (k ≠0)，则直线OA 的方程为y kx =，由22y kx y px=⎧⎨⎩解得A 222(,)p p k k ，易知B (,22p kp)，直线PQ 的方程为()2p y k x =-，联立方程得2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得，2022ky kp y p --=， 设P (1x ，1y )，Q (2x ，2y )，由根与系数的关系得，212y y p =-，根据弦长公式得， |FP |·|FQ|=212122211||(1)||(1)y y y y p k k =+=+， 而|OA |·|OB|=221(1)p k=+， 所以|FP |·|FQ |-|OA |·|OB |=0．17．【解析】(1)()f x =m ·nx cos x −2cos x +12=1cos 21sin 2222x x +-+=12cos 2sin(2)26x x x π-=- 由222262k x k πππππ--+≤≤，k ∈Z ，得63k x k ππππ-+≤≤，k ∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为[k π−6π，k π+3π](k ∈Z)．（5分） (2)由题意得()f A =sin(2A −6π)=1， ∵A ∈(0，π)，∴2A −6π∈(−6π，116π)，∴2A −6π=2π，得A =3π．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得12=2b +16−2×4b ×12，即2b −4b +4=0，∴b =2．∴△ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯⨯sin 3π（12分）【备注】三角函数与解三角形类解答题的主要考查方式有三个：一是考查三角函数的图象和性质，三角恒等变换是主要工具；二是考查三角形中的三角恒等变换，正、余弦定理和三角函数的性质是主要工具；三是考查解三角形的实际应用，正、余弦定理是解决问题的主要工具．考生在备考时要注意这几个命题点．18．【解析】(1)∵随机变量ξ=2表示从袋中随机取球2次且每次取的都是红球，∴P (ξ=2)=22422253C C 1C C 5⨯=，即ξ=2的概率为15．（4分） (2)由题意知随机变量ξ的所有可能取值为2，3，4，由(1)知P (ξ=2)=15．又P (ξ=4)=111111113141211122225432C C C C C C C C 2C C C C 15⨯⨯⨯=，∴P (ξ=3)=102153=， ∴ξ的分布列为Eξ=2×15+3×23+4×215=4415．（12分）【备注】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映了随机变量取值的平均水平．求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后根据数学期望的计算公式求解．19．【解析】(1)解法一 如图，取AD 的中点N ，连接MN ，CN ．在1ADA ∆中，AN ND =，1A M MD =， 所以MN ∥1A A ．（2分）在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，且BC =12AD =AN ， 所以四边形ABCN 是平行四边形， 所以AB ∥CN ．（4分）又AB ∩1AA =A ，CN ∩MN =N ， 所以平面11AA B B ∥平面CMN ．又CM ⊂平面CMN ，所以CM ∥平面11AA B B ．（5分）解法二 如图，取1AA 的中点E ，连接BE ，ME ．在1ADA ∆中，AE =1EA ，1A M =MD ， 所以EM ∥AD 且EM =12AD ．（2分） 在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，且BC =12AD ， 所以EM ∥BC ，且EM =BC ， 所以四边形BCME 是平行四边形， 所以MC ∥EB ．（4分）又MC ⊄平面11AA B B ，EB ⊂平面11AA B B ，所以MC ∥平面11AA B B ．（5分）解法三 如图，在梯形ABCD 中，延长DC ，AB 交于点F ，连接1A F ．在梯形ABCD 中，BC ∥AD 且BC =12AD ， 所以DC =CF ． 又DM =1MA ， 所以MC ∥1A F ．又MC ⊄平面11AA B B ，1A F ⊂平面11AA B B ， 所以MC ∥平面11AA B B ．（5分） (2)取11A B 的中点P ，连接AP ，1AB ． 因为在菱形11AA B B 中，∠1B BA =3π， 所以AB =1AA =1AB =11A B ， 所以AP ⊥11A B ． 又AB ∥11A B ， 所以AP ⊥AB ．（7分）又侧面11ABB A ⊥平面ABCD ，侧面11ABB A ∩平面ABCD =AB ， 所以AP ⊥平面ABCD ， 又AB ⊥AD ，故以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz (如图所示)．则A (0，0，0)，D (0，4，0)，C (2，2，0)，P (0，03)，1A (−1，03，CD uuu r=(−2，2，0)，1CA u u u r=(−3，−23．因为AP ⊥平面ABCD ，（8分）所以AP u u u r=(0，03)为平面ABCD 的一个法向量． 设平面1A CD 的法向量为n =(x ，y ，z )，由1CD CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u ru u u r n n ，可得12203230CD x y CA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u r u u u r n n ， 即03230x y x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩， 令x =1，则y =1，z =53，所以n =(1，153)为平面1A CD 的一个法向量， 所以cos<AP u u u r ，n >=222533531331|||53311()3AP AP |⋅==⋅⨯++u u u ru u u u r nn ． 设二面角1A CD A --的大小为θ，由图可知θ∈(0，2π)， 所以cos θ=cos<AP u u u r ，n 531（12分）【备注】解决此类问题的关键是根据几何体的结构特征合理建立空间直角坐标系，空间平行与垂直的证明也可转化为空间向量的坐标运算；空间角的求解主要是直线的方向向量与平面的法向量的相关运算，转化为向量夹角即可，要注意向量夹角与所求角之间的关系，正确进行转化．20．【解析】(1)解法一 由题意，得2222144019a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2298a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆的方程为22198x y +=．（4分）解法二 设椭圆的左焦点为1F ，∵右焦点为2F (1，0)，∴c =1，1F (−1，0)， 又点M (2)在椭圆上， ∴2a = |MF 1|+|MF 2|= 6=， ∴a =3，b，∴椭圆的方程为22198x y +=．（4分）(2) 解法一 由题意，设AB 的方程为y kx m =+(k <0，m >0)， ∵直线AB 与圆22x y +=8相切，=，即m =，由22198y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(8+92k )2x +18kmx +92m −72=0，设A (1x ，1y )(0<1x 3)，B (2x ，2y )(0<2x 3)，则1x +2x =21889kmk-+，1x ·2x =2297289m k -+，（7分） ∴|AB1x −2x2689kmk-=+．（9分） 又22||AF =(1x −1)2+21y =(1x −1)2+8(1−219x )=19(1x −9)2，∴|AF 2|=13(9−1x )=3−131x ，同理|BF 2|=13(9−2x )=3−132x ．∴|AF 2|+|BF 2|=6−13(1x +2x )=6+2689kmk +，∴|AF 2|+|BF 2|+|AB |=6+2689km k +−2689kmk+=6，即2AF B ∆的周长为定值6．（12分） 解法二 设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则2211198x y +==1(0<1x 3)，∴|AF 2=13(9−1x )=3−131x ，（7分）连接OP ，OA ，由相切条件，得|AP ==131x ，（10分）∴|AF 2|+|AP |=3−131x +131x =3， 同理|BF 2|+|BP |=3−132x +132x =3，∴|AF 2|+|BF 2|+|AB |=3+3=6，即2AF B ∆的周长为定值6．（12分）【备注】解析几何是高考的重点、难点和热点，对考生的解题能力要求较高，突出考查考生的分析、推理、转化等数学能力，因此在解决圆锥曲线问题时，如何避免繁杂、冗长的计算成为处理这类问题的难点与关键，解析几何题目常用的简化运算的技巧有：利用圆锥曲线的概念将条件等价转化、数形结合、设而不求．21．【解析】(1)因为b =2a +1，所以()f x =2(21)ln ax a x x -++，从而()f x '=12(21)ax a x-++=22(21)1(21)(1)ax a x ax x x x -++--=，x >0．（2分）当a 0时，由()f x '>0得0<x <1，由()f x '<0得x >1，所以()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减．当0<a <12时，由()f x '>0得0<x <1或x >12a ，由()f x '<0得1<x <12a， 所以()f x 在区间(0，1)和区间(12a，+∞)上单调递增，在区间(1，12a )上单调递减．（3分）当a =12时，因为()f x ' 0(当且仅当x =1时取等号)，所以()f x 在区间(0，+∞)上单调递增．（4分）当a >12时，由()f x '>0得0<x <12a 或x >1，由()f x '<0得12a<x <1，（5分）所以()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减．综上，当a 0时，()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减； 当0<a <12时，()f x 在区间(0，1)和区间(12a ，+∞)上单调递增，在区间(1，12a)上单调递减；当a =12时，()f x 在区间(0，+∞)上单调递增，无单调递减区间；当a >12时，()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减．（6分）(2)解法一 因为a =1，所以()f x =2ln x bx x -+(x >0)，从而()f x '=221x bx x-+ ，由题意知1x ，2x 是方程221x bx -+=0的两个根，故1212x x =．（8分） 记()g x =221x bx -+，因为b >3，所以1()2g =32b-<0，(1)g =3−b <0，所以1x ∈(0，12)，2x ∈(1，+∞)，且b 1x =221x +1，b 2x =222x +1，（9分）12()()f x f x -=(21x −22x )− (b 1x −b 2x )+12lnx x =− (21x −22x )+12ln x x ， 因为1x 2x =12，所以12()()f x f x -=22x −2214x −ln(222x )，2x ∈(1，+∞)．令t =222x ∈(2，+∞)，()t ϕ=12()()f x f x -=1ln 22t t t--．因为当t >2时，()t ϕ'=22(1)2t t ->0，所以()t ϕ在区间(2，+∞)上单调递增，所以()t ϕ>(2)ϕ=34−ln 2，即12()()f x f x ->34−ln 2．（12分） 解法二 因为a =1，所以()f x =2ln x bx x -+(x >0)，从而()f x '=221x bx x-+，由题意知1x ，2x 是方程221x bx -+=0的两个根，故1212x x =．（8分） 记()g x =221x bx -+，因为b >3，所以1()2g =32b-<0，(1)g =3−b <0，所以1x ∈(0，12)，2x ∈(1，+∞)，且()f x 在(1x ，2x )上是减函数，所以12()()f x f x ->1()(1)2f f -)=(11ln 422b -+)−(1−b )=−34+2b−ln 2，因为b >3，所以12()()f x f x ->−34+2b −ln 2>34−ln 2．（12分）22．【解析】(1)由已知，得圆心C 的直角坐标为(1)，半径为2，∴圆C 的直角坐标方程为22(1)(4x y -+-=，即2220x y x +--=，∵x =ρcos θ，y =ρsin θ，∴ρ2-2ρcos θ−ρsin θ=0， 故圆C 的极坐标方程为ρ=4cos(3π−θ)．（5分）(2)由(1)知，圆C 的直角坐标方程为2220x y x +--=， 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，(2+t cos φ)2t sin φ)2−2(2+t cos φ) −t sin φ)=0， 整理得，t 2+2t cos φ−3=0，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1t +2t =−2cos φ，1t ·2t =−3，∴|MN |=|1t −2t |==，∵φ∈[0，3π]，∴cos φ∈[12，1]，∴|MN |∈4]．（10分）【备注】在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x ，y 的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性；将极坐标方程化为直角坐标方程时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验． 23．【解析】(1)由()2f x a +->0得|x −3|>2−a ，∴x −3>2−a 或x −3<a −2． ∴x >5−a 或x <a +1，故不等式的解集为(−∞，a +1)∪(5−a ，+∞)．（5分）(2)∵函数()g x图象的上方，f x的图象恒在函数()∴()g x恒成立，f x>()则m<|x−3|+|x+4|恒成立，∵|x−3|+|x+4| |(x−3)−(x+4)|=7，∴m的取值范围为(−∞，7)．（10分）。
山东省济南市2024年数学(高考)统编版真题(预测卷)模拟试卷
山东省济南市2024年数学（高考）统编版真题(预测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知点P （－1，0），设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A 、B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点A ．（，0）B ．（1，0）C ．（2，0）D ．（-2，0）第(2)题如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．第(3)题若抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）A．B ．C ．D ．第(4)题函数的最小值为（ ）A．B．1C ．D ．第(5)题执行下面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=A ．3B ．4C ．5D ．6第(6)题一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为( )A．280B．292C．360D．372第(7)题已知函数，是的反函数，若（），则的值为A．10B．4C．1D．第(8)题已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（）A．B．若，则有两解C．当时，为直角三角形D．若为锐角三角形，则的取值范围是第(2)题已知函数，则（）A．函数的周期为B．函数的图象关于原点对称C ．的最大值为2D．函数在区间上单调递增第(3)题瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A．圆上的点到原点的最大距离为B．圆上存在三个点到直线的距离为C ．若点在圆上，则的最小值是D．若圆与圆有公共点，则三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。