高一数学课件： 3.2.1几类不同增长的函数模型(一)全册精品课件 新人教A版必修1
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2014年高中数学(入门答疑+思维启+状元随笔)3.2.1几类不同增长的函数模型同步课堂讲义课件 新人教A版必修1
指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝ logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速 度的比较 1．在区间(0，＋∞)上，函数 y＝ax(a>1)，y＝ 增函数 ，但 logax(a>1)和 y＝xn(n>0)都是___________ 增长速度 不同，且不在同一个“档次”上． ____________ 2．在区间(0，＋∞)上随着 x 的增大，y＝ax(a>1) 越来越快 ，会超过并远远大于 y＝ 增长速度_____________ xn(n>0)的增长速度，而 y＝logax(a>1)的增长速度 越来越慢 ． 则会_____________ n< a x log x < x a 3．存在一个 x0，使得当 x>x0 时，有____________.
2．某企业生产一种机器的固定成本 (即固定投入) 为 0.5 万元， 但每生产 100 台时， 又需可变成本 (即 另增加投入)0.25 万元，市场对此商品的年需求量 为 500 台，销售收入(单位：万元)函数为： 1 2 R(x)＝5x－ x (0≤x≤5)，其中 x 是产品生产的数 2 量(单位：百台) (1)把利润表示为产量的函数． (2)年产量为多少时，企业所获得的利润最大？
(1)由题意知： g(x)＝ f(x)－ f(x－ 1) 1 1 ＝ · x(x＋ 1)(35－2x)－ (x－ 1)x[35－2(x－1)] 150 150 1 ＝ x[(x＋ 1)(35－2x)－ (x－1)(37－ 2x)] 150 1 1 ＝ x(72－ 6x)＝ x(12－x)． 150 25 1 ∴g(x)＝ x(12－ x)(x∈ N 且 x≤12)． 25
x 1 2 (2)g(x)＝ (12－x)＝－ (x － 12x＋36－36) 25 25 1 1 36 2 2 ＝－ [(x－ 6) －36]＝－ (x－ 6) ＋ ， 25 25 25 36 ∴当 x＝ 6 时，g(x)有最大值 . 25 36 即第六个月需求量最大，为 万件． 25
高中数学人教A版必修一课件：第3章 几类不同增长的函数模型
[规律方法]常见的函数模型增长特点线性函数模型 线性函数模型 y＝kx＋bk>0的增长特点是直线上升，其增长速度不变 指数函数模型 指数函数模型 y＝axa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度 越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸” 对数函数模型 对数函数模型 y＝logaxa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速 度越来越慢，即增长速度平缓 幂函数模型 幂函数 y＝xnn>0的增长速度介于指数增长和对数增长之间
[解]
(1)C1 对应的函数为 g(x)＝x3，C2 对应的函数为 f(x)＝2x.
(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)， ∴1＜x1＜2,9＜x2＜10， ∴x1＜6＜x2,2 016＞x2. 从图象上可以看出，当 x1＜x＜x2 时，f(x)＜g(x)， ∴f(6)＜g(6)； 当 x＞x2 时，f(x)＞g(x)， ∴f(2 016)＞g(2 016)． 又 g(2 016)＞g(6)， ∴f(2 016)＞g(2 016)＞g(6)＞f(6)．
关于 x 呈指数函数变化的变量是________. 【导学号：37102372】
y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量 y1， y2，y3，y4 均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数 变化．故填 y2.]
指数函数、对数函数与幂函数模型的比较
函数 f(x)＝2x 和 g(x)＝x3 的图象如图所示， 设两函数的图象交于点 A(x1， y1)，B(x2，y2)，且 x1＜x2. (1)请指出图 322 中曲线 C1，C2 分别对应的函数；
【完整】高中数学 几类不同增长的函数模型 新人教A版必修资料PPT
练习
1. 如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数
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y=40
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1
2
3
4
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5
6
7
x
8
9 10
列表法比较三种方案的日回报量
方案一
x/天 y/元
增量/元
1
40
2
40
0
3
40
0
4
40
0
5
40
0
6
40
0
7
40
0
8
40
0
9
40
0
…
…
…
30
40
0
方案二
y/元
增量/元
10
20
10
30
10
40
10
50
10
60
10
70
__________ 应选择第一种 方案；
问题：上述猪八戒的营业额函数模型是否满足过点（1.
① 此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？
请同学谈谈你对几类不同增长的函数模型（一次函数、指数函数、对数函数）差异的认识。
第三个月的营业额为200万元，照此增长，第四个月的营业额为多少?又已知
思考4:本题中符合公司要求的
销售利润X的取值范围: x 10,1000
思考4:本题中符合公司要求的
模型有什么条件? y5
3.2.1几类不同增长的函数模型
课堂讲义
预习导学
第三章 函数的应用
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和
增函数 ，但__________ 增长速度 不同，且不在同 y＝xn(n＞0)都是_________
一个“档次”上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0) 的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会________ 越来越慢． (3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
预习导学 课堂讲义
课堂讲义
第三章 函数的应用
规律方法
1. 此类问题求解的关键是首先利用待定系数法
求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程， 进而求出待定参数． 2． 理解“模型能更好反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系” 的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．
预习导学
课堂讲义
预习导学 课堂讲义
课堂讲义
解
第三章 函数的应用
建立年销量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1,8)，
(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入， a＋b＋c＝8， 可得4a＋2b＋c＝18， 9a＋3b＋c＝30，
第三章 函数的应用
曲线 C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1， 曲线 C2 对应的函数为 f(x)＝lg x， (2)当 x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)； 当 x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)； 当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)． 函数 g(x)＝0.3x－1 呈直线增长， 函数 f(x)随着 x 的逐渐增大， 其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长．
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1
[解析 ]
2x.
(1)C1 对应的函数g(x) ＝x3 ，C2 对应的函数为 f(x) ＝
(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， ∴1<x1<2,9<x2<10， ∴x1<6<x2,2 013>x2.
从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，
a
＜ xn . 个x0，当x＞x0时，就会有logax_____
(3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1) 增 函数，但它们增长的速度不同，而且 和 y ＝ xn(n ＞ 0) 都是 _____ 不在同一个“档次”上，随着 x 的增大， y ＝ ax(a ＞ 1) 的增长速 快 ，会超过并远远大于 y ＝ xn(n ＞ 0) 的增长速度， 度越来越 _____ 而 y ＝ logax(a ＞ 1) 的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个 logax ＜xn＜_____. ax x0，当x＞x0时，就会有_______
产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质 量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推
销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月
的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了 生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂 长，就月份 x ，产量为 y 给出三种函数模型： y ＝ax＋ b， y ＝ ax2 ＋bx ＋c ，y＝ abx＋ c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月
3a＋b＝1.3， 得 2a＋b＝1.2. a＝0.1， 解得 b＝1.
新课标人教版必修一几类不同增长的函数模型课件(共22张PPT)
高中数学必修1同步辅导课程——几类不同增长的函数模 型
（2）对数函数y=logax (a>1)与幂函数y=x (n>0)
n
对数函数y=logax (a>1)的增长速度，不论a与n值的
大小如何总会______ 慢于 y=x 的增长速度,因而在定义
n
logax<x 域内总存在一个实数x0,使x>x0时有____________.
越来越快 ________ ________ 越来越慢 相对平稳
越来越陡 越来越平 随n值变化 而不同
高中数学必修1同步辅导课程——几类不同增长的函数模 型
三种增长型函数之间增长速度的比较 ：
(1)指数函数y=ax (a>1)与幂函数y=xn (n>0) 在区间(0,+∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一 定范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度 _____ 快于 y=xn的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0 时有_______. ax>xn
[解析] 设矩形框架一边长 x，则另一边长为 12－2x ＝6－x,x∈(0,6)． 2 ∴ 面 积 S ＝ x(6 － x) ＝ － x2 ＋ 6x ＝ － (x － 3)2 ＋ 9≤9(m2)(当且仅当 x＝3 时取“＝”)，故选 A.
高中数学必修1同步辅导课程——几类不同增长的函数模 型
变式：如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a， BC=b（b<a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取 AE,AH,CG,CF都等于x，当x为何值时，四边形 EFGH的面积最大？并求出最大面积.
思维启迪:
依据图形建立四边形EFGH的面积S关 于自变量x的目标函数，然后利用解决 二次函数的最值问题求出S的最大值.
高中数学人教版：3.2数学模型及其应用(共73张PPT)
(2) 相互比较:
① x 很小时, 对数函数 增速最快, 但是负值.
y
y=2x
8 y=x2 y=2x
② x 很小时, 直线快于
7 6
幂函数和指数函数.
5 4
③ x 较小时, 幂函数快 3
2
于指数函数.
1
y=log2x
④ x 增大到一定数值时, -o1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
指数函数最快,
(2) y=20lnx+100, x[1, 10]; 120
(3) y=20x, x[1, 10].
100
80
x
1
4
Hale Waihona Puke 71060
0.1ex-100 -99.7 -94.5 9.7 2102.6 40
y=20x
20lnx+100 100 127.7 138.9 146.1 20
20x
20 80 140 200
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
例1. 某人有一笔资金用于投资, 现有三种投资方案供选择,
这三种投资方案的回报如下:
方案一: 每天回报40元;
方案二: 第一天回报10元, 以后每天比前一天多回报10元;
y=20x
20lnx+100 100 127.7 138.9 146.1 20
20x
20 80 140 200
o
约在 x<7 时, y=20lnx+100最大. -20
约在 7<x<7.8 时, y=20x 最大.