天津市南开中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)
80 【答案】 3
【解析】
【分析】
结合二项展开式的通项公式，计算常数项对应的 r 的值，代入，计算系数，即可．
Tr +1 =C6r
【详解】该二项展开式的通项公式为
2 6r x
x2 3
r
C6r
1 3
r
26r x3r6
，要使
得该项为常数项，则要求
3r
6
0
，解得
r
2
C62
，所以系数为
1 3
0，
f 2 0
可得
f
2
0
，
128121a2a2b
2
a2
b
0
0
则
，解得： a 2 ， b 12. 或 a 4 ， b 36 ，
当 a 4 ， b 36 时， f x 3x2 24x 36 满足题意函数 f x x3 3ax2 bx 2a2 在
x 2 时有极值 0．
当a
2，b
故选 B． 点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相
加，分步相乘．”
f x ln x a x
9.函数
x 1 存在两个不同的 极值点 x1, x2 ，则实数 a 的取值范围是（
）
A.
3 4
,1
1,
【答案】A
0,
B.
, 0
C.
D.
,
3 4
【解析】
【分析】
3.函数 f (x) 2x3 3x2 12x 5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是（
）
A. 5，-15
B. 5，-4
C. -4，-15
D. 5，-16
【答案】A 【解析】 【分析】
求出 f ' (x) 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1) ，判断 f (x) 在[0,3]上的 单调性，再进行求解． 【详解】 f ' (x) 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1) ，令 f ' (x) 0 ，得 x 1 或 x 2 ，所以 当 x [0, 2]时， f ' (x) 0 ，即 f (x) 为单调递减函数，当 x (2, 3] 时， f ' (x) 0 ，即
求解出 f x，将 f x在 a, 上有两个不等实根，转化为二次函数图像与 x 轴有两个
交点，通过二次函数图像得到不等式，求解出 a 的范围.
f x
1 xa
1
x 12
x 12 x a
x ax 12
x2 x 1 a
x ax 12
【详解】由题意得：
设 g x x2 x 1 a ，又 x a 0 ， x 12 0
分步乘法计数原理求解即可．
【详解】根据题意，分 2 步进行分析：
C42C21C12 6
①先把 4 名学生分成 3 组，其中 1 组 2 人，其余 2 组各 1 人，有 A22
种分组方法；
②将分好的 3 组对应 3 名任课教师，有 A33 6 种情况；
根据分步乘法计数原理可得共有 6 6 36 种不同的问卷调查方案．
变分离将
f
( x)
0
变形为
2m
lnx 1 x
，构造新函数
g
x
lnx 1 x
，判断
g(x)
的单调性，
得出结论： f (x) 0 最多仅有两解，因此可确定： x 0 时有两个极值点， x 0 时有一个
极值点. x 0 时，利用 y 2m 与 g(x) 有两个交点时(数形结合)，对应求出 m 的范围；
f (x) 为单调递增函数，所以 f (x)min f (2) 15 ，又 f (0) 5, f (3) 4 ，所以 f (x)max f (0) 5 ，故选 A．
【点睛】本题考查利用导数求函数最值问题，考查计算能力，属基础题 4.4 种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品，则不同
6.函数 f x x3 3ax2 bx 2a2 在 x 2 时有极值 0，那么 a b 的值为 ( )
A. 14
B. 40
C. 48
D. 52
【答案】B
【解析】
【分析】
f 2 0
f
x
3x2
6ax
b
，若在
x
2
时有极值
0，可得
f
2
0
，解得
a，b，并且验证即
可得出．
【详解】函数 f x x3 3ax2 bx 2a2 ， f x 3x2 6ax b ，若在 x 2 时有极值
称轴；③区间端点值符号.
10.若函数
f
(x)
x2
(3m 1)x 3, x mx2 x ln x, x
0 0 恰有三个极值点，则 m
的取值范围是（
）
A.
1 2
,
1 3
B.
1 2
,
0
C.
1,
1 3
D.
1,
1 2
【答案】A
【解析】
【分析】
因为二次函数最多有一个极值点，故先分析 x 0 的部分； x 0 时，令 f (x) 0 ，利用参
名学生家庭问卷调查，若这 3 名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这 4 名学生的家
庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（ ）
A. 36 【答案】A
B. 72
C. 24
D. 48
【解析】
【分析】
分为两步进行求解，即先把四名学生分为 1,1,2 三组，然后再分别对应 3 名任课老师，根据
f (x) 1 x2 1
12.函数
2 x 的极小值是______.
3 【答案】 2
【解析】 【分析】 求函数的导数，由 f’(x)＞0，得增区间，由 f’(x)＜0，得减区间，从而可确定极值．
【详解】函数
f
x
1 x2 2
1 x
x | x
，定义域为
0 ,则 f’(x)＝x-
1 x2
x3 1 x2 ，
1)r 2
x102r
，令10
2r
4
，即
r
3 ，则可求
系数．
(x
【详解】
1 )10 2x
Tr 1
的展开式的通项公式为
C1r0 x10r (
1
)r
x10
2r
，令
10
2r
4
，即
r
3 时，系数为 C130 (
1 )3 2
15
．故选
C
【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．
11.复数 z 满足方程1 i z i ，则 z ______．
【答案】-1-i
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：由 1﹣i•z＝i，得 iz＝1﹣i，
则
z
1i i
1 ii
i2
1 i
．
故答案为﹣1﹣i．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
e 【答案】 2
【解析】 【分析】
求出 f（x）的导数，令 x＝a，求得 P 的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线 的方程，令 y＝0，可得 B 的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP 面积 S，求出导数，利 用导数求最值，即可得到所求值．
ex
ex
【详解】函数 f（x）＝ a 的导数为 f′（x） a ，
在
(1,
)
上单调递减，
g
x 的图象如图所示，所以当
0
2m
1，即
1 2
m
0
时，
f
x
0 有两个不同的解；当
x
0
，令
f
x
0，
x
3m 1 2
0
m
，解得
1 3
，综上，
m
1 2
,
1 3
.
【点睛】分析极值点个数的时候，可转化为导函数为零时方程解的个数问题，这里需要注意： 并不是导数值为零就一定是极值点，还需要在该点左右两侧导数值符号相异. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
故选 A．
【点睛】解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据
排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识
解决问题的能力，属于基础题．
8.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾
一定要排两位爸爸 ，另外两个小孩要排在一起，则这 6 个人的入园顺序的排法种数是（
排列方法的种数是 ( )
A. 12
B. 10
C. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出所有的排法，再排除甲乙相邻的排法，即得结果．
D. 6
【详解】解：4
种不同产品排成一排所有的排法共有
A
4 4
24
种，
其中甲、乙两种产品相邻的排法有
A
2 2
A33
12 种，
故甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品，则不同排列方法的种数是排法有
可知
f
x 存在两个不同的极值点等价于
g
x
在
a,
上存在两个不同零点
1 41 a 0
1 a
a
3 4
a 1
2
2
a 1
由此可得： g a a2 2a 1 0 ，即
本题正确选项： A
a
3 4
天津市南开区南开大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中数学试卷及解析
天津市南开区南开大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题） A.若ac bc >，则 a b >B.若22a b >，则a b >C.若a b >，0c <，则a c b c +<+D.<a b <2.S n 是等差数列{a n } 的前n 项和，如果s 10=120 ，那么a 1+a 10 的值是 ( )A. 12B. 24C. 36D. 48 3.若不等式2162a b x x b a+<+对任意a ， (0,)b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A.(2,0)- B.(4,2)-C.(,2)(0,)-∞-+∞D.(,4)(2,)-∞-⋃+∞4.甲乙两位同学期末考试的语文、数学、英语、物理成绩如茎叶图所示，其中的一个数据记录模糊，无法辨认，用a 来表示，已知两位同学期末考试四科的总分恰好相同，则甲同学四科成绩的中位数为（ ）A.92B.92.5C.93D.93.55.数列112+，124+，138+，1416+，……的前n 项和为（ ） A.11222n n n +-- B.11222n nn --- C.1(1)122n n n ++- D.1(1)1122n n n -++- 6.甲乙两人下象棋，甲获胜的概率是13，下成和棋的概率是12，则甲输棋的概率为（ ）A.16B.13C.25D.567.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则216log a =（ ） A.4B.5C.6D.78.若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有3个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A.()4,5 B.()()3,24,5--⋃ C.(]4,5D.[)(]3,24,5--⋃第II 卷（非选择题）评卷人 得分二、填空题.则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．10.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_________ 11.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x <<，则不等式20cx bx a -+>的解集为_____________12.设,0,5a b a b >+=,则1++3a b 的最大值为 ________．13.在等差数列{}n a 中，12015,a a 为方程210160x x -+=的两根，则210082014a a a ++=__________.14.对于实数,,a b c ，有下列命题：①若a b >，则ac bc <；②若22ac bc >，则a b >；③若0a b <<，则22a ab b >>；④若0c a b >>>，则22a b c a c b>--；⑤若a b >，11a b >则0,0a b >>，其中真命题为（填写序号）______________ 评卷人 得分三、解答题15.（）解不等式4450x x -++<；消费支出/元（2）解不等式21131x x ->+； （3）求不等式|3|1x -<的解集（用集合和或区间表示）16.已知等差数列{}n a 中满足11a =，2324a a =-， （1）求通项公式n a ；（2）试求数列{}n a 中的最大项与最小项.17.（1）在等比数列{}n a 中，47a =，621a =，求8a 的值； （2）若189n S =，2q，96n a =，求1a 和n .18.某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.（1）求这100名学生中参加实践活动时间在6~10小时内的人数；（2）若0.15b =，估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数. 19.设函数2()1f x mx mx =--（1）若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求m 的取值范围； （2）若对于[2,2]m ∈-，()5f x m <-+恒成立，求x 的取值范围； （3）若对于[2,2]x ∈-，()5f x m <-+恒成立，求x 的取值范围.20.已知等比数列{}n a 满足()12342,4a a a a ==-，数列{}n b 满足232log n n b a =-. (1)求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； (2)令nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S ； (3)若0λ>，求对所有的正整数n 都有2222n n k a b λλ-+>成立的k 的取值范围.参考答案1.D【解析】1.根据不等式性质，可判断选项A ，B ，C 不正确，选项D 正确，得出结论 选项A ：若0c <时，ac bc >，则得a b <，所以不正确； 选项B ：若22a b >，则||||a b >，所以不正确； 选项C ：若a b >，0c <，根据不等式的性质， 有a c b c +>+成立，所以不正确； 选项Da b <，所以正确.故选:D. 2.B【解析】2.由等差数列的性质：若m+n=p+q,则a m +a n=a p +a q 即可得.∵S 10=5(a 1+a 10)=120∴a 1+a 10=24故选B 3.B【解析】3. 由基本不等式求出16a b b a+的最小值8，然后解不等式228x x +<即得． ∵不等式2162a b x x b a+<+对任意a ， (0,)b ∈+∞恒成立，∴2min 162a b x x b a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，∵168a b b a +≥=，当且仅当16a b b a =，即4a b =时取等号，∴168min a b ba ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴228x x +<，∴42x -<<，∴实数x 取值范围是(4,2)-，故选：B. 4.C【解析】4.根据两人考试四科成绩总分相等，结合茎叶图，可求出2a =，可得甲同学四科成绩的中位数为93，可得结论.甲乙四科成绩总分相同，根据茎叶图，89859698(879595)93+++-++=，所以甲四科成绩的中位数是93. 故选:C. 5.C【解析】5.2111111(1)(2)()(12)(1)242222n n n S n n =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++++11(1)(1)(1)1221.122212n nn n n n -+++=+--故选C 6.A【解析】6.“甲输棋”是“甲获胜与和棋”的对立事件，根据对立事件的概率关系，即可求解. 甲获胜的概率是13，下成和棋的概率是12，甲输棋的概率为1111()326-+=. 故选:A 7.B【解析】7.29311771672161616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=8.D【解析】8.化不等式为1(0)()x a x --<，分1a >和1a <两种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意和集合的表示方法，即可求解.由题意，不等式()210x a x a -++<，可化为1(0)()x a x --<，当1a >时，不等式()210x a x a -++<解集为(1,)a要使得不等式()210x a x a -++<的解集中恰有3个整数，则45a <≤；当1a <时，不等式()210x a x a -++<的解集为(,1)a要使得不等式()210x a x a -++<的解集中恰有3个整数，则32a -≤<-，综上可得，实数a 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃. 故选：D.9.30【解析】9.由直方图可知，超过150元的频率为（0.004＋0.002）×50＝0.3 故人数为0.3×100＝30人 10.2n【解析】10.试题分析：当n=1时， 11a s ==2；当2n ≥时， ()()22111n n n a s s n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦=2n ；而n=1时，适合上式，所以，它的通项公式为2n a n =。
天津市和平区近年-近年学年高二数学下学期期中试题(含解析)(最新整理)
答本题的关键，着重考查了推理与运算能力,属于基础题．
11.已知函数 【答案】 【解析】
，
,则 的最小值为______．
7
【分析】
天津市和平区 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题（含解析）
先求出函数的导数,解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间,从而求出函数的最小值．
【详解】由题意，函数
．
【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性，
得出函数的极值与最值，同时准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力,属于中档
试题．
16.如图，四棱锥 的中点．
中，底面 为矩形, 垂直于底面 ，
, 、 分别为 、
11
天津市和平区 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题（含解析）
相等或互补．属基础题。
8。函数
存在极值点，则实数 的取值范围是（ ）．
A。
B。
C.
或
D.
或
【答案】C
【解析】
∵
，
恒有解，∴ ，
，
，∴ 或 ，当 时，
（舍去），
∴ 或，
故选 ．
二、填空题（本大题共 6 小题，共 24。0 分)
9。已知 A（4,1，3）、B（2，－5,1），C 为线段 AB 上一点, 且
【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中
熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力,属于基
础题．
7.已知两平面的法向量分别为
,
，则两平面所成的二面角为（ ）
A.
B。
C. 或
D。
2019-2020学年天津市南开中学高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年天津市南开中学高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 如图，若向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为z ，且|z|=√5，则1z−=( ) A. 15+25i B. −15−25i C. 15−25 i D. −15+25i2. 设f(x)=xe x ，若f′(x o )=0，则x 0等于( )A. e 2B. −1C.ln22D. ln23. 设动直线与函数的图象分别交于点。
则的最小值为( )A.B.C.D.4. 由0，1，2，…，9这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为( )A. 180B. 196C. 210D. 2245. 若(x +ax )5的展开式中1x 的系数为−80，则实数a =( )A. 2B. 1C. −2D. −16. 函数f(x)=x 3+ax 2+(a +6)x +1在R 上存在极值，则实数a 的取值范围是( )A. −3≤a ≤6B. a ≥6或a ≤−3C. −3<a <6D. a >6或a <−37. 由数字2，3，4，5，6所组成没有重复数字的四位数中5与6相邻的奇数有( )A. 14个B. 15个C. 16个D. 17个8. 若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为；②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为( )A. 48B. 72C. 168D. 3129.若函数f(x)在定义域内可导，则“函数f(x)在x=x0处导数为0”是“x=x0为f(x)的极值点”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴相切于非原点的一点，且f(x)极大值=32，那么下列结论27正确的是()A. p=6，q=9B. p=4，q=2C. p=−4，q=4D. f(x)的极小值为0二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）11.i为虚数单位，则复数5+10i的虚部是______ ．3−4i12.函数与函数恒有两不同的交点，则的取值范围是．)6的展开式中的常数项为______.(用数字作答)13.(x3−1)(√x+2x14.15.已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，执行如图所示的程序框图，输出的值是．15.函数f(x)=x2−lnx在其定义域内的一个子区间[k−1,k+1]内不是单调函数，则k的取值范围2是______．16.用数字2，0，1，7，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为______．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）17.已知函数f(x)=(x2+ax−a)，其中a∈R．e x(Ⅰ)当a=0时，求f(x)在(1,f(1))的切线方程；(Ⅱ)求证：f(x)的极大值恒大于0．18.(本题满分12分)己知函数．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)设，若对任意不相等的正数，恒有，求实数a的取值范围．19.已知f(x)=x2−ax+lnx，a∈R．(1)当a=3时，求函数f(x)的极小值；(2)令g(x)=x2−f(x)，是否存在实数a，当x∈[1,e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)取得最小值为1.若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：D解析：解：根据图形可设z =−1+bi ，b >0， 因为|z|=√5，所以√(−1)2+b 2=√5，解得b =2， 所以z =−1+2i ，则z −=−1−2i ， 所以1z −=1−1−2i =−1+2i(−1−2i)(−1+2i)=−1+2i 5=−15+25i ．故选：D ．根据图形可设z =−1+bi ，b >0，利用复数的模为√5可求出b ，从而求出z −，最后利用复数的除法法则进行运算即可．本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求法，同时考查了待定系数法的运用和计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：由导数的运算法则可知f′(x)=e x +xe x =(1+x)e x ， 由f′(x 0)=(1+x 0)e x 0=0， 解得x 0=−1， 故选：B求函数的导数，根据导数的运算法则解方程，即可得到结论．本题主要考查导数的基本计算，要求熟练掌握函数的导数公式以及导数的运算法则，比较基础．3.答案：C解析：试题分析：解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离． 设，求解导数可知，函数取得最小值，且为，故选C．考点：导数求解函数的最值运用点评：求函数的最值时，先利用导数求出函数的极值和区间的端点值，比较在它们中求出最值4.答案：C解析：解：由题意知本题是一个计数原理的应用0到9十个数字中之差的绝对值等于8的情况有2种：0与8，1与9；分2种情况讨论：①当个位与百位数字为0，8时，有A82A22；②当个位与百位为1，9时，有A71A71A22．共A82A22+A71A71A22=210，故选：C．由题意知本题是一个计数原理的应用，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别表示出所有的情况，由加法原理计算可得答案．本题考查分类计数原理与分步计数原理，本题解题的关键是看出两个数字相差8时的所有情况，本题是一个易错题．5.答案：C解析：解：二项展开式(x+ax )5的通项T r+1=C5r x5−r⋅(ax)r=a r⋅∁5r⋅x5−2r；令5−2r=−1可得r=3；∴a3C53=−80；∴a=−2．故选：C．直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x−1的系数是−80，得到方程，求出a的值．本题主要考查了利用二项展开式的通项求指定项，属于公式的简单应用．6.答案：D解析：求出函数的导数，由题意得函数的导数在R上至少有一个零点，且不能有两个相等的零点，即可求出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数a的取值范围，属于中档题，解题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只有一个零点的误解．解：∵f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1，∴f′(x)=3x2+2ax+a+6，∵函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1在R上存在极值，∴函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1在R上不是单调函数，∴f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有两个不等的根，即Δ=4a2−12a−72>0，解得a<−3，或a>6，故选：D．7.答案：A解析：解：奇数的最后一位只能是3，5，分两类，且这个四位数必须含有5，6两个数字．第一类，当3在个位时，5，6组合成一个复合元素，再从2，4中选一个和这个复合元素全排，有A22⋅C21⋅A22=8种，第二类，当5在个位时，因为5与6相邻，所以6必须在十位，从2，3，4中任选2个排在百位和千位即可，有A32=6种，根据分类计数原理可得．没有重复数字的四位数中5与6相邻的奇数有8+6=14种．故选：A．奇数的最后一位只能是3，5，分两类，个位是3时，个位是5时，根据分类计数原理可得．本题考查排列组合的基本知识，数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8.答案：C解析：试题分析：若恰有两列的上下两数相同，取这两列有种，从1，2，3，4中取2个数排这两列，有种，排另外两列有种，所以共有种；若恰有三列的上下两数相同，也是恰有四列上下两数相同，有种(只要排其中一行即可).故一共有种.考点：1.分析问题解决问题的能力；2.排列组合问题．9.答案：B解析：解：函数f(x)在x=x0处导数为0，则x=x0不一定是f(x)的极值点，如f(x)=x3在x=0时f′(0)=0，但不是极值点，但是x=x0为f(x)的极值点，则函数f(x)在x=x0处导数为0，所以“函数f(x)在x=x0处导数为0”是“x=x0为f(x)的极值点”的必要不充分条件．故选：B．由f(x)=x3在x=0时f′(0)=0，但不是极值点，可得结论．本题考查了充分必要条件的判断，属基础题．10.答案：C解析：解：f′(x)=3x2+2px+q，设f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴相切于非原点的一点(a,0)，(a≠0)f(x)=x(x2+px+q)，由题意得，方程x2+px+q=0有两个相等实根a，所以f(x)=x(x−a)2=x3−2ax2+a2x，f′(x)=3x2−4ax+a2=(x−a)(3x−a)，令f′(x)=0可得x=a或x= a3，因为f(a)=0≠3227，所以f(a3)=3227，即 a3(a3−a)2=3227，a=2．所以f(x)=x(x−2)2=x3−4x2+4x，所以p=−4，q=4．故选：C．设f(x)=x3+px2+qx的图象与x轴相切于非原点的一点(a,0)，(a≠0)由题意得，方程x2+px+q=0有两个相等实根a，所以f(x)=x(x−a)2=x3−2ax2+a2x，再利用f(x)极大值=3227，解得a，从而求得p，q的值．本题以函数为载体，考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的极值，考查导数的几何意义，属于中档题．11.答案：2解析：根据复数的基本运算进行化简即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念，利用复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．解：5+10i3−4i =(5+10i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−25+50i25=−1+2i，故虚部为2，故答案为：212.答案：解析：试题分析：，令，则，于是，又，，，所以．考点：1.求导的公式与法则；2.函数的极值最值．13.答案：180解析：解：(√x+2x )6的展开式中的通项公式：Tk+1=∁6k(√x)6−k(2x)k=2k∁6k x3−3k2．令3−3k2=−3，或0，解得k=4，或2．∴(x3−1)(√x+2x)6的展开式中的常数项=24∁64−22∁62=180．故答案为：180．(√x+2x )6的展开式中的通项公式：Tk+1=∁6k(√x)6−k(2x)k=2k∁6k x3−3k2.令3−3k2=−3，或0，解得k即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：6解析：解：由题意知，，解得：a=−1所以f(x)=+x，所以由程序框图知：所以k=6，故答案是6．15.答案：1<k<2解析：解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x−1，x令f′(x)=0得x=1，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，若f(x)在[k−1,k+1]内不是单调函数，则0<k−1<1<k+1，即1<k<2，故答案为：1<k<2．函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对f(x)求导，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，进而得出结论．本题考查导数的综合应用，解题关键是分析f(x)的单调性，属于中档题．16.答案：60解析：解：根据题意，要求组成的是无重复数字的五位偶数，则个位数字是0或2或4，分2种情况：①当个位数是0时，则其它4个数全排列，共有A44=24种；②当个位数是2或4时，先排首位，有A31种排法，中间三位数字用剩余3个数字全排列，共有C21A31A33= 36种．综上，可组成24+36=60个无重复数字的五位偶数．故答案为：60．按照个位数字分两类：①为0；②为2或4；在①中其余四个数字全排；在②中再按照首位是否是0分成两类．本题考查了排列、组合及简单计数问题．属基础题．17.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=−x2−(a−2)x+2ae x =−(x+a)(x−2)e x，当a=0时，f′(1)=1e ,f(1)=1e，则f(x)在(1,f(1))的切线方程为y=1ex；(Ⅱ)证明：令f′(x)=0，解得x=2或x=−a，①当a=−2时，f′(x)≤0恒成立，此时函数f(x)在R上单调递减，∴函数f(x)无极值；②当a>−2时，令f′(x)>0，解得−a<x<2，令f′(x)<0，解得x<−a或x>2，∴函数f(x)在(−a,2)上单调递增，在(−∞,−a)，(2,+∞)上单调递减，∴f(x)极大值=f(2)=a+4e2>0；③当a<−2时，令f′(x)>0，解得2<x<−a，令f′(x)<0，解得x<2或x>−a，∴函数f(x)在(2,−a)上单调递增，在(−∞,2)，(−a,+∞)上单调递减，∴f(x)极大值=f(−a)=−ae a>0，综上，函数f(x)的极大值恒大于0．解析：(Ⅰ)求导，代入a=0，求出在x=1处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；(Ⅱ)分类讨论得出极大值即可判断．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力及分类讨论思想，属于中档题．18.答案：(I)(II)(−∞,−2]．解析：解：(I)f(x)的定义域为(0,+∞)，当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)单调递增；当a≤−1时，f′(x)<0，故f(x)在(0,+∞)单调递减；(II)，，令g(x)=f(x)+8x，原不等式等价于g(x)在(0,+∞)单调递减，而右边函数的最小值为−2，故a 的取值范围为(−∞,−2]．19.答案：解：(1)由题可知，f(x)=x 2−3x +lnx ，所以f ′(x)=2x −3+1x令f′(x)=0，得x =12或x =1令f′(x)>0，解得：0<x <12，或x >1，令f′(x)<0，解得：12<x <1，所以f(x)在(0,12)，(1,+∞)单调递增，在(12,1)上单调递减所以f(x)的极小值是f(1)=−2(2)由题知，g(x)=ax −lnx ，所以 g′(x)=a −1x =ax−1x①当a ≤0时，g(x)在[1,e]上单调递减，g(x)min =g(e)=ae −1=1，解得：a =2e (舍去)②当0<a ≤1e 时，g(x)在[1,e]上单调递减，g(x)min =g(e)=ae −1=1，解得：a =2e (舍去)③当1e <a <1时，g(x)在[1,1a ]上单调递减，在[1a ,e]上单调递增，g(x)min =g(1a )=1+lna =1， 解得：a =1(舍去)④当a ≥1时，g(x)在[1,e]上单调递增，g(x)min =g(1)=a =1，解得：a =1综合所述：当a =1时，g(x)在[1,e]上有最小值1．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数g(x)的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可．．。
学2018-2019学年高二数学下学期期中试题文(含解析)
学2018-2019学年高二数学下学期期中试题文（含解析）一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：先求出z，然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可.详解：由题可知：，所以所对应的坐标为（-1,1），故在第二象限，选B.点睛：考查复数的除法运算，复数的坐标表示，属于基础题.2.余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（）A. 结论不正确B. 大前提不正确C. 小前提不正确D. 全不正确【答案】C【解析】大前提：余弦函数是偶函数，正确；小前提：是余弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：是偶函数，正确．故选：C3.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根【答案】A【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程没有实根．详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根．”点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的否定形式如下：4. 执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s 属于( )A. [－3,4]B. [－5,2]C. [－4,3]D. [－2,5]【答案】A【解析】试题分析：此程序为分段函数，当时，，当时，，所以函数的值域为：，故选A．考点：程序框图5.已知变量，之间具有线性相关关系，其回归方程为，若,则的值为（）A. 1B. 3C. －3D. －1【答案】B【解析】分析】根据已知条件计算出样本点中心,再根据回归直线经过样本点中心,列方程可解得结果.【详解】因为,所以,因为,所以,又因为样本点中心在回归直线上,所以,即,解得,故选:B【点睛】本题考查了回归直线经过样本点中心,解题关键是根据样本点中心在回归直线上,本题属于基础题.6.极坐标方程分别是两个圆的圆心距离是（）A. 2B.C. 5D.【答案】D【解析】∵极坐标方程表示圆心（1,0）半径为1的圆，极坐标方程表示圆心(0,2)半径为2的圆,∴两圆心的距离为，故选D7.已知点P的极坐标是，则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用点P的直角坐标是，过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是，化为极坐标方程，得到答案．详解：点P的直角坐标是，则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是，化为极坐标方程为，即，故选C．点睛：本题考查参数方程与普通方程之间的转化，得到过点P 且垂直极轴所在直线的直线方程是，是解题的关键．8.曲线在点处的切线方程为，则等于（）A. －1B. 1C. －3D. 3【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率和方程,与已知切线方程比较可得的值.【详解】由得,所以,又,所以曲线在点处的切线方程为,即,即.所以,所以.故选:D【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率和方程,属于基础题9.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率和方程,再求出切线在两坐标轴上的截距,再由三角形面积公式可求得答案.【详解】由得,所以曲线在点处的切线的斜率为2,所以切线方程为:,即,令得,令,得,所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为:.故选:A.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,三角形的面积公式,属于基础题.10. f（x）=2lnx﹣x2，则f′（x）＞0的解集为（）A. （0，1）B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）C. （﹣1，0）∪（1，+∞）D. （1，+∞）【答案】A【解析】【详解】∵f（x）=2lnx﹣x2，∴函数的定义域为（0，+∞），则f（x）=，由f′（x）=＞0，得x2﹣1＜0，即0＜x＜1，即不等式的解集为（0，1），故选A．11.已知，为的导函数，则的图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简f（x）＝，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【详解】由f（x）＝，∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴＜0，故函数y＝在区间上单调递减，故排除C．故选A．【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．12.已知函数，若，且，使得.则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,然后利用导数研究函数的性质,得到函数的草图,结合图象分析可得答案.【详解】因为，且，使得,所以函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,因为,由,得或,由得,所以函数在,上单调递增,在上单调递减,所以函数极大值为,极小值为,函数的图象如图所示:由图可知,.故选:C【点睛】本题考查了转化划归思想,数形结合思想,利用导数研究函数的性质,得到函数的草图,由函数图象的交点个数求参数,本题属于中档题.二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.观察下列各式：，，，，，，…，则_________【答案】123【解析】【分析】根据前6个式子的右边分析可知,从第三个式子的右边开始,每个式子的右边等于它前两个式子的右边之和,由此可推得答案.【详解】设第个式子的右边为,则,,,,,,,,.故答案为:123.【点睛】本题考查了从特殊到一般的归纳推理,由前6个式子找出规律来是解题关键,本题属于基础题.14.在极坐标系中，圆上的点到直线的最大距离为 .【答案】【解析】试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为，同时将直线的极坐标方程也化为普通方程为，计算圆心到直线的距离，有，说明直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最大距离为．考点：1．极坐标方程与普通方程的互化；2．直线与圆的位置关系．15.已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】，，解得，故，故答案为.16.设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率和方程,进而求出,再由累乘法可得答案.【详解】由得,所以切线的斜率为,所以切线方程为,令,解得,即,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率和方程,累乘法,本题属于中档题.三、解答题(10+12+12+12+12+12共70分)17.已知,分别求,,值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【答案】详见解析.【解析】试题分析：将代入，即可求得的值；观察，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为，则函数值的和为，根据结论的形式将代入并化简求值即可完成证明.试题解析：由，得,,.归纳猜想一般性结论为证明如下：【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.18.为了比较注射,两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物，另一组注射药物.下表1和表2分别是注射药物和药物后的实验结果.（疱疹面积单位：）表1：注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表(1）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；(2）完成下面列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”.疱疹面积小于疱疹面积不小于合计注射药物注射药物附：0.1000012.706【答案】（1）图见解析，注射药物后疱疹面积的中位数小于注射药物后疱疹面积的中位数. （2）表见解析，有99.9%的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”.【解析】【分析】(1)根据中位数使得直方图中左右两边面积为0.5,列式可求得两个中位数,再比较大小,(2)完成列联表后,根据表格中数据代入公式计算可得,再利用临界值表可得答案.【详解】（1）频率分布直方图如图所示:设注射药物后的疱疹面积的中位数为,注射药物后的疱疹面积的中位数为,则由,解得,由,解得,所以注射药物后疱疹面积的中位数小于注射药物后疱疹面积的中位数.（2）表3疱疹面积小于疱疹面积不小于合计注射药物100注射药物100，由于，所以有99.9%的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”.【点睛】本题考查了绘制直方图,根据直方图计算中位数,考查了独立性检验,本题属于基础题.19.在直角坐标系中，圆:,以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线:与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】(1)利用可化得;(2)联立射线:与圆的极坐标方程,可解得点的极径, 联立射线:与直线的极坐标方程可解得点的极径,再用两个极径作差可得答案.【详解】解：（1）圆的普通方程为，即 ,化为极坐标方程为（2）由解得 ,所以；由解得,所以从而【点睛】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程,考查了利用点的极径求弦长,属于基础题.20.已知函数.（I）若处取得极值，求实数a的值；（II）在（I）的条件下，若关于x的方程上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数，把代入导函数为零可得关于的方程，解之可得实数的值，检验是否有极值即可；（Ⅱ）求，利用导数研究函数的单调性，结合其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案.试题解析：（I）由题意得，经检验满足条件（II）由（I）知令（舍去）当x变化时，的变化情况如下表：－∵关于x的方程上恰有两个不同的实数根∴实数m的取值范围是21.设函数，其中．（1）若，求在上最值；（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围．【答案】（1）.;（2）.【解析】【试题分析】（1）依据题设先求导再运用导数与函数单调性之间的关系分析求解；（2）依据导函数的零点就是极值点这一关系建立不等式分析求解：（1）,令（舍），在上单调递减，在上单调递增，，（2）在上有两不等实根，即在上有两不等实根，令则．点睛：解答本题的第一问时，直接对函数求导，求出极值点再分别代入求出其函数值，再求最值；求解第二问时，依据题设条件可导函数有两个零点等价于方程有两个不相等的实数根，借助二次方程的判别式建立不等式进行等价转化，再通过解不等式使得问题获解．22.设函数，其中为正实数．（Ⅰ）若是函数的极值点，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若在上无最小值，且在上是单调增函数，求的取值范围，并由此判断曲线与曲线在交点个数．【答案】（Ⅰ）函数的增区间为，减区间为；（Ⅱ）的取值范围为，曲线与曲线在交点个数为0．【解析】试题分析：（Ⅰ）由得，而，所以函数的增区间为，减区间为；（Ⅱ）求出的导函数，讨论的范围，由条件得时；由的导函数在上恒成立，即，所以的取值范围为；此时即，令，由函数单调性知的极小值为，故两曲线没有公共点．试题解析：（Ⅰ）由得的定义域为：函数的增区间为，减区间为（Ⅱ）由若则在上有最小值当时，在单调递增无最小值∵在上是单调增函数，∴在上恒成立∴综上所述的取值范围为此时即，令，则在单减，在单增，极小值为．故两曲线没有公共点考点：1、函数的单调性；2、函数的极值与最值；3、分类讨论的思想．【思路点晴】本题主要考查的是利用导数的代数意义，研究函数的单调性、极值与最值问题，属于难题；本题把曲线与曲线的交点问题转化为函数极值与最值的问题，根据题意先分别求在上无最小值、在上是单调增函数时的的取值范围，此时得到，构造函数，由函数单调性知的极小值为，故两曲线没有公共点．学2018-2019学年高二数学下学期期中试题文（含解析）一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：先求出z，然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可.详解：由题可知：，所以所对应的坐标为（-1,1），故在第二象限，选B.点睛：考查复数的除法运算，复数的坐标表示，属于基础题.2.余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数，以上推理（）A. 结论不正确B. 大前提不正确C. 小前提不正确D. 全不正确【答案】C【解析】大前提：余弦函数是偶函数，正确；小前提：是余弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：是偶函数，正确．故选：C3.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A. 方程没有实根B. 方程至多有一个实根C. 方程至多有两个实根D. 方程恰好有两个实根【答案】A【解析】分析：反证法证明命题时，假设结论不成立．至少有一个的对立情况为没有．故假设为方程没有实根．详解：结论“方程至少有一个实根”的假设是“方程没有实根．”点睛：反证法证明命题时，应假设结论不成立，即结论的否定成立．常见否定词语的否定形式如下：4. 执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1，3]，则输出的s属于( )A. [－3,4]B. [－5,2]C. [－4,3]D. [－2,5]【答案】A【解析】试题分析：此程序为分段函数，当时，，当时，，所以函数的值域为：，故选A．考点：程序框图5.已知变量，之间具有线性相关关系，其回归方程为，若,则的值为（）A. 1B. 3C. －3D. －1【答案】B【解析】分析】根据已知条件计算出样本点中心,再根据回归直线经过样本点中心,列方程可解得结果.【详解】因为,所以,因为,所以,又因为样本点中心在回归直线上,所以,即,解得,故选:B【点睛】本题考查了回归直线经过样本点中心,解题关键是根据样本点中心在回归直线上,本题属于基础题.6.极坐标方程分别是两个圆的圆心距离是（）A. 2B.C. 5D.【答案】D【解析】∵极坐标方程表示圆心（1,0）半径为1的圆，极坐标方程表示圆心(0,2)半径为2的圆,∴两圆心的距离为，故选D7.已知点P的极坐标是，则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用点P的直角坐标是，过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是，化为极坐标方程，得到答案．详解：点P的直角坐标是，则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是，化为极坐标方程为，即，故选C．点睛：本题考查参数方程与普通方程之间的转化，得到过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是，是解题的关键．8.曲线在点处的切线方程为，则等于（）A. －1B. 1C. －3D. 3【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率和方程,与已知切线方程比较可得的值.【详解】由得,所以,又,所以曲线在点处的切线方程为,即,即.所以,所以.故选:D【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率和方程,属于基础题9.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率和方程,再求出切线在两坐标轴上的截距,再由三角形面积公式可求得答案.【详解】由得,所以曲线在点处的切线的斜率为2,所以切线方程为:,即,令得,令,得,所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为:.故选:A.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,三角形的面积公式,属于基础题.10. f（x）=2lnx﹣x2，则f′（x）＞0的解集为（）A. （0，1）B. （﹣∞，﹣1）∪（0，1）C. （﹣1，0）∪（1，+∞）D. （1，+∞）【答案】A【解析】【详解】∵f（x）=2lnx﹣x2，∴函数的定义域为（0，+∞），则f（x）=，由f′（x）=＞0，得x2﹣1＜0，即0＜x＜1，即不等式的解集为（0，1），故选A．11.已知，为的导函数，则的图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简f（x）＝，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．【详解】由f（x）＝，∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴＜0，故函数y＝在区间上单调递减，故排除C．故选A．【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．12.已知函数，若，且，使得.则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,然后利用导数研究函数的性质,得到函数的草图,结合图象分析可得答案.【详解】因为，且，使得,所以函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,因为,由,得或,由得,所以函数在,上单调递增,在上单调递减,所以函数极大值为,极小值为,函数的图象如图所示:由图可知,.故选:C【点睛】本题考查了转化划归思想,数形结合思想,利用导数研究函数的性质,得到函数的草图,由函数图象的交点个数求参数,本题属于中档题.二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.观察下列各式：，，，，，，…，则_________【答案】123【解析】【分析】根据前6个式子的右边分析可知,从第三个式子的右边开始,每个式子的右边等于它前两个式子的右边之和,由此可推得答案.【详解】设第个式子的右边为,则,,,,,,,,.故答案为:123.【点睛】本题考查了从特殊到一般的归纳推理,由前6个式子找出规律来是解题关键,本题属于基础题.14.在极坐标系中，圆上的点到直线的最大距离为 .【答案】【解析】试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为，同时将直线的极坐标方程也化为普通方程为，计算圆心到直线的距离，有，说明直线与圆相离，所以圆上的点到直线的最大距离为．考点：1．极坐标方程与普通方程的互化；2．直线与圆的位置关系．15.已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】，，解得，故，故答案为.16.设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率和方程,进而求出,再由累乘法可得答案.【详解】由得,所以切线的斜率为,所以切线方程为,令,解得,即,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率和方程,累乘法,本题属于中档题.三、解答题(10+12+12+12+12+12共70分)17.已知,分别求,,值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【答案】详见解析.【解析】试题分析：将代入，即可求得的值；观察，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为，则函数值的和为，根据结论的形式将代入并化简求值即可完成证明.试题解析：由，得,,.归纳猜想一般性结论为证明如下：【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.18.为了比较注射,两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物，另一组注射药物.下表1和表2分别是注射药物和药物后的实验结果.（疱疹面积单位：）表1：注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表(1）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；(2）完成下面列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”.疱疹面积小于疱疹面积不小于合计注射药物注射药物附：0.1000012.706【答案】（1）图见解析，注射药物后疱疹面积的中位数小于注射药物后疱疹面积的中位数. （2）表见解析，有99.9%的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”.【解析】【分析】(1)根据中位数使得直方图中左右两边面积为0.5,列式可求得两个中位数,再比较大小,(2)完成列联表后,根据表格中数据代入公式计算可得,再利用临界值表可得答案.【详解】（1）频率分布直方图如图所示:设注射药物后的疱疹面积的中位数为,注射药物后的疱疹面积的中位数为,则由,解得,由,解得,所以注射药物后疱疹面积的中位数小于注射药物后疱疹面积的中位数.（2）表3疱疹面积小于疱疹面积不小于合计注射药物100注射药物100，由于，所以有99.9%的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”.【点睛】本题考查了绘制直方图,根据直方图计算中位数,考查了独立性检验,本题属于基础题.19.在直角坐标系中，圆:,以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线:与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】(1)利用可化得;(2)联立射线:与圆的极坐标方程,可解得点的极径, 联立射线:与直线的极坐标方程可解得点的极径,再用两个极径作差可得答案.【详解】解：（1）圆的普通方程为，即 ,化为极坐标方程为（2）由解得 ,所以；由解得,所以从而【点睛】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程,考查了利用点的极径求弦长,属于基础题.20.已知函数.（I）若处取得极值，求实数a的值；（II）在（I）的条件下，若关于x的方程上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数，把代入导函数为零可得关于的方程，解之可得实数的值，检验是否有极值即可；（Ⅱ）求，利用导数研究函数的单调性，结合其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案.试题解析：（I）由题意得，经检验满足条件（II）由（I）知令（舍去）当x变化时，的变化情况如下表：－∵关于x的方程上恰有两个不同的实数根∴实数m的取值范围是21.设函数，其中．（1）若，求在上最值；（2）若在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围．【答案】（1）.;（2）.【解析】【试题分析】（1）依据题设先求导再运用导数与函数单调性之间的关系分析求解；（2）依据导函数的零点就是极值点这一关系建立不等式分析求解：（1）,令（舍），在上单调递减，在上单调递增，，（2）在上有两不等实根，即在上有两不等实根，令则．点睛：解答本题的第一问时，直接对函数求导，求出极值点再分别代入求出其函数值，再求最值；求解第二问时，依据题设条件可导函数有两个零点等价于方程有两个不相等的实数根，借助二次方程的判别式建立不等式进行等价转化，再通过解不等式使得问题获解．22.设函数，其中为正实数．（Ⅰ）若是函数的极值点，讨论函数的单调性；（Ⅱ）若在上无最小值，且在上是单调增函数，求的取值范围，并由此判断曲线与曲线在交点个数．【答案】（Ⅰ）函数的增区间为，减区间为；（Ⅱ）的取值范围为，曲线与曲线在交点个数为0．【解析】试题分析：（Ⅰ）由得，而，所以函数的增区间为。
天津市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题(附答案)
天津一中2018-2019-2 高二年级数学学科模块质量调查试卷本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时90 分钟。
第 I 卷第 1 页，第 II 卷第 2 页。
考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!一．选择题第 I 卷1．某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某项调查．若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有A．420 人B．480 人C．840 人D．960 人2．函数f (x) = 3x2 + ln x - 2x 的极值点的个数为A．0 B．1 C．2 D．无数个3．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x，y 进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y 关于x 的回归方程为yˆ= 0.7x +a ，则在这些样本中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为A．B．4 2C．D．0 44．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学生中随机抽取了 100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这 100 名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120）， [120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是A．频率分布直方图中a 的值为 0.040B．样本数据低于 130 分的频率为 0.3C．总体的中位数（保留 1 位小数）估计为 123.3 分D．总体分布在[90，100）的频数一定不总体分布在[100，110）的频数相等5．若A、B、C、D、E 五位同学站成一排照相，则A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率是1 3 3 7 A．B．C．D．5 10 5 10⎩6．函数f ( x) = sin xln( x+ 2)的图象可能是A. B.C. D.7．某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK 赛，A，B两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局．除第三局胜者得 2 分外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分．假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为2，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为316 52A．B．27 81⎧20 7C．D．27 90 , 0 <x ≤18．函数f ( x) = | l n x |, g (x) =| x2 4 | 2, x，若关于x 的方程f (x) +m =g(x) 恰有1⎨- - >三个丌相等的实数解，则m 的取值范围是A．[0,l n 2] B．(-2 -ln 2,0]C．(-2 -ln 2,0)D．[0, 2 + ln 2)二．填空题第 II 卷9．从区间（﹣2，3）内任选一个数m，则方程mx2+y2＝1 表示的是双曲线的概率为．10．一批排球中正品有m 个，次品有n 个，m+n＝10（m≥n），从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取 10 次，X 表示抽到的次品个数若DX＝2.1，从这批排球中随机一次取两个，则至少有一个次品的概率p＝11．已知直线y = 2x -1不曲线y = ln(x +a)相切，则a 的值为12．某公司 16 个销售店某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据落在[18，22]中的频率为 0.25，则这组数据的中位数为．13．函数f（x）＝e x﹣3x+2 的单调增区间为．14．已知函数f（x）＝ax+lnx，若f（x）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，实数a 的取值范围为．三．解答题15．已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有 2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选 2 名同学参加演出． （1）求选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数；（2）记 X 为选出的 4 名同学中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望．16．某工厂有甲乙两个车间，每个车间各有 3 台机器．甲车间每台机器每天发生故障的概 1 率均为3 1 1 1，乙车间 3 台机器每天发生概率分别为 ， ， 6 6 2．若一天内同一车间的机器都 丌发生故障可获利 2 万元，恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元，恰有两台机器发生故 障的利润为 0 万元，三台机器发生故障要亏损 3 万元． （1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依 据，你认为哪个车间停产比较合理．17．已知函数 f ( x ) = a x + 1 x+ ln x 在点（1，f （1））处的切线方程是 y ＝bx +5．（1）求实数 a ，b 的值；1（2）求函数 f （x ）在 [ , e ] 上的最大值和最小值（其中 e 是自然对数的底数）．e18．已知函数 f (x ) = xe kx (k ≠ 0) ．（1）求曲线 y = f (x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （2）讨论 f （x ）的单调性；（3）设 g (x ) = x 2 - 2bx + 4 ，当 k = 1 时，对任意的 x ∈ R ，存在 x ∈[1, 2] ，使得12f (x 1 ) ≥g (x 2 ) ，求实数 b 的取值范围x 2y219．已知椭圆 C ：+a 2b 2= 1(a > b > 0) 的左右焦点分别 F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），3过 F 2 作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A ，B 两点，满足 | AF 2 |= c ．6（I ）求椭圆 C 的离心率．（II ）M ，N 是椭圆 C 短轴的两个端点，设点 P 是椭圆 C 上一点（异于椭圆 C 的顶点）， 直线 MP ，NP 分别不 x 轴相较于 R ，Q 两点，O 为坐标原点，若|OR |•|OQ |＝8，求椭圆 C 的方程．一．选择题（共9 小题）1．C2．A3．B4．C参考答案【分析】由频率分布直方图得的性质求出a＝0.030；样本数据低于130 分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7；[80，120）的频率为0.4，[120，130）的频率为0.3．由此求出总体的中位数（保留1 位小数）估计为：120+≈123.3 分；样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等．【解答】解：由频率分布直方图得：（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，解得a＝0.030，故A 错误；样本数据低于 130 分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7，故B 错误；[80，120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）×10＝0.4，[120，130）的频率为：0.030×10＝0.3．∴总体的中位数（保留1 位小数）估计为：120+≈123.3 分，故C 正确；样本分布在[90，100）的频数一定不样本分布在[100，110）的频数相等，总体分布在[90，100）的频数丌一定不总体分布在[100，110）的频数相等，故D 错误．故选：C．5．D【分析】五名同学站成一排照相，共有n＝＝120 种排法．A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有：+＝84 种，由此能求出A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率．【解答】解：五名同学站成一排照相，共有n＝＝120 种排法．A、B 两位同学至少有一人站在两端的排法有：+ ＝84 种，∴A、B 两位同学至少有一人站在两端的概率为p＝．故选：D．【解析】解：若使函数的解析式有意义 则，即即函数的定义域为 可排除 B ，D 答案 当时，，则可排除 C 答案 故选：A ．由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除 B ，D 答案；分析时，函 数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除 C 答案． 本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是 解答的关键． 7．C【分析】比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有 3 种；A 全胜，A 三胜一 负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，由此能求出比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的 得分的概率．【解答】解：比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的情况有 3 种；A 全胜，A 三胜 一负，A 第三局胜，另外三局两胜一负，∴比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为：P ＝（）4++＝． 故选：C ．8．B二．填空题（共 5 小题） 9．【分析】根据题意，求出方程 mx 2+y 2＝1 表示双曲线的条件即可．【解答】解：当 m ∈（﹣2，0）时，方程 mx 2+y 2＝1 表示的是双曲线， 所以所求的概率为 P ＝＝．故答案为：．8 10．11．15 1 ln 2 2【分析】根据题意知a≤2，再由中位数的定义求得结果．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，数据落在[18，22]中的频率为0.25，则频数为 16×0.25＝4，∴a≤2；∴这组数据的中位数为×（26+28）＝27．故答案为：27．13．（ln3, +∞）【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0 求解指数丌等式得答案．【解答】解：由f（x）＝e x﹣3x+2，得f′（x）＝e x﹣3，由f′（x）＝e x﹣3>0，得x>ln3．∴函数f（x）＝e x﹣3x+2 的单调减区间为（ln3, + ∞）．故答案为：（ln3, +∞）．14．（﹣∞，﹣]【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，根据f（x）≤1 在区间（0，+∞）内恒成立，得到关于a 的丌等式，解出即可．【解答】解：f′（x）＝a+，①a≥0 时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，而x→+∞时，f（x）→+∞，丌合题意；②a＜0 时，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，故f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，故f（x）max＝f（﹣）＝﹣1+ln（﹣）≤1，解得：a≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]．三．解答题（共5 小题）15．解：（1）由题意知，所有的选派方法共有＝60 种，其中有 3 名女生的选派方法共有＝4 种，所以选出的 4 名同学中至多有 2 名女生的选派方法数为60﹣4＝56 种．…（3 分）（2）X 的可能取值为0，1，2，3．……………………………………………………（5 分）P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，（8 分）∴X 的分布列为：X0123P∴E（X）＝＝．…………………………………（10 分）16．解：（1）乙车间每天机器发生故障的台数为ξ，则ξ的可能取值为 0，1，2，3；且P（ξ＝0）＝（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝C21××（1﹣）×（1﹣）2+（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝C21××（1﹣）×+（）2×（1﹣）＝，P（ξ＝3）＝××＝，ξ0123PX，则η～B（3，），P（η＝k）＝••，（k＝0，1，2，3），∴EX＝2P（η＝0）+1×P（η＝1）+0×P（η＝2）﹣3×P（η＝3）＝2×+1×+0﹣3×＝；由（1）得EY＝2P（ξ＝0）+1×P（ξ＝1）+0×P（ξ＝2）﹣3×P（ξ＝3）＝2×+1×+0﹣3×＝；∵EX＜EY，∴甲车间停产比较合理．17．【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b 的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．【解答】解：（1）因为，，………（1 分）则f'（1）＝1﹣a，f（1）＝2a，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2a＝（1﹣a）（x﹣1），…………（2 分）（直线y＝bx+5 过（1，f（1））点，则f（1）＝b+5＝2a）由题意得，即a＝2，b＝﹣1．………………………………………（4 分）（2）由（1）得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），……（5 分）∵，∴f'（x）＜0⇒0＜x＜2，f'（x）＞0⇒x＞2，∴在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．……（7 分）故f（x）在上单调递减，在[2，e]上单调递增，……………（9 分）∴f（x）在上的最小值为f（2）＝3+ln2．………………………（10 分）又，，且．∴f（x）在上的最大值为．………………………（11 分）综上，f（x）在上的最大值为2e+1，最小值为 3+ln2．……………（12 分）18．19．【分析】（Ⅰ）设A 点的横坐标为c，代入椭圆方程求得y，即有，结合a，b，c 的关系，以及离心率公式，解方程可得e；（Ⅱ）设M（0，b），N（0，﹣b），P（x0，y0），代入椭圆方程，求得MP 的方程和NP 的方程，令y＝0，可得R，Q 的坐标，由条件可得a，b 的方程，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）设A 点的横坐标为c，代入椭圆方程得，y＝±b ＝±，解得，∴，又b2＝a2﹣c2＝ac，由e＝可得e2+ e﹣1＝0，解得；（Ⅱ）设M（0，b），N（0，﹣b），P（x0，y0），可得b2x02+a2y02＝a2b2，则直线MP 的方程为，令y＝0 得到R 点的横坐标为，同理可得直线NP的方程为，令y＝0 得到Q 点的横坐标为，∴，而e＝＝，可得c2＝6，b2＝2，所以椭圆的方程为．。
精品解析：天津市南开中学2018-2019学年高三(下)第四次月考数学试题(理科)(2月份)(解析版)
天津市南开中学2018-2019学年高三（下）第四次月考数学试卷（理科）（2月份）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集，，，则集合等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出A与B的并集，根据全集U＝R，求出并集的补集即可．【详解】全集，，，或，则，故选：D．【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式对应的平面区域，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,准确画图熟练计算是关键.3.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当时，由得，得，此时，若，由得，此时，若，由得，得，此时，综上，由得，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4.关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，t＝x2﹣ax+2a在[1，+∞）上为增函数，且在[1，+∞）上大于0恒成立，得到关于a的不等式组求解．【详解】函数在上为减函数，则在上为增函数，且在上大于0恒成立．则，解得．实数a的取值范围是．故选：C．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．5.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线,圆心到渐近线的距离为,即,解得,,此双曲线的离心率为,故选D.6.已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，∵，∴，∴，，．∵当时，单调递减，∴，故选A．【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小7.已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•6消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【详解】设直线AB的方程为：，点，，直线AB与x轴的交点为，代入，可得，根据韦达定理有，，，从而，点A，B位于x轴的两侧，，故．不妨令点A在x轴上方，则，又，，当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是，故选：D．【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．8.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式作出f（x）在[0，+∞）上的图象，结合函数的奇偶性可得f（x）的图象，进而分析可得a的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，当时，，又由函数为奇函数，则其图象如图：若，，即点在点的下方，分析可得：，即a的取值范围为．故选：C．【点睛】本题考查函数图像的应用，函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质，关键是依据题意，作出函数的图象．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案．【详解】，，则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题．10.二项式的展开式中常数项为______用数字表示．【答案】-160【解析】二项式的展开式的通项为，．令，可得，即展开式中常数项为．答案：11.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题12.在等腰梯形中，，，，，若，，且，则__．【答案】【解析】依题意得∥,，.∵∴∴∵∴∵∴∴故答案为.13.已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为______．【答案】【解析】【分析】化函数为f（x）＝2sin（ωx），由正弦函数的单调增区间求出x的取值范围，结合题意列不等式组求出k的值，再根据函数f（x）的对称轴求出ω的值．【详解】函数，，函数在区间内单调递增，，，；可解得函数的单调递增区间为：，，可得：，，其中，解得：且，，，解得：，，可解得：，又由，；可解得函数的对称轴为：，，由函数的图象关于直线对称，可得：，可解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，正确确定k的值是解题的关键，是中档题14.已知定义在上的函数及如下的4个命题：关于x的方程有个不同的零点；对于实数，不等式恒成立；在上，方程有5个零点；时，函数的图象与x轴图成的形的面积是4．则以上命题正确的为______把正确命题前的序号填在横线上【答案】【解析】【分析】根据题意，对选项中的每一个问题进行分析与思考，结合函数f（x）的解析式进行解答，即可得出正确的选项．【详解】当时，；时，；设，则，；，则，；，则，；，则，．画出草图，当时，在上有6个不相等的实根，上只有一个实根，以后再没有了，共有7个不相等的实根，故错；函数的最高点都在曲线上，对于实数，不等式恒成立，故正确；在上，方程即，由函数及y=的图像，可得方程有5个解，故正确；函数的最高点为以4为首项，公比为的等比数列．故当时，函数的最高点为，与x轴围成的面积为故错；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的图像及运用，考查函数的表达式和值域，等比数列的通项及运用，考查数形结合的能力，判断能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设Ⅰ求函数的最小正周期和单调递减区间；Ⅱ若锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，且，，，求角C及边c．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），【解析】试题分析：（Ⅰ）由两角和与差的正弦、余弦公式、辅助角公式可将化为，故的最小正周期，由可得的单调递减区间是；（Ⅱ）由及为锐角三角形可得，由正弦定理，得得，故，由余弦定理得试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期.由解得，故的单调递减区间是.（Ⅱ）∵在锐角中，，∴，即.由，得.∵，，∴由正弦定理，得.由，得.故.由余弦定理，，故.考点：三角函数的性质16.某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；Ⅱ设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】【解析】【分析】（Ⅰ）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；（Ⅱ）求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．【详解】由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件“恰有1位女棋手”，则，所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为随机变量X的所有可能取值为0，2，其中，，所以，随机变量X分布列为随机变量X的数学期望【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．17.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD 所成角为．求证：平面BDE；求二面角的余弦值；设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）（3）M的坐标为(2,2,0)，见解析【解析】试题分析：（1）由正方形性质得，由平面得，再根据线面垂直判定定理得平面（2）利用空间向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角（3）设点坐标，根据平面得，列方程解得点坐标，再确定位置试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，又∵是正方形，∴，∵，∴平面．（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵与平面所成角为，即，∴，由，可知：，．则，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，∴，所以．因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，∴，即，解得：，∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，，，各项为正数的等比数列满足，．求数列，的通项公式；若，数列的前n项和；求；若对任意，，均有恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1），；（2）①；②.【解析】试题分析：（1）利用，化简后可得为等差数列，由此求得数列的通项公式，求得后，利用等比数列通项公式，可求得的通项公式.（2）①由于是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求其前项和. ②利用分离常数法将原不等式分离常数，再利用差比较法可求得的取值范围. 试题解析：（1）∴∴又各项为正∴∴开始成等差又∴∴为公差为的等差数列∴∴（2）①∴②恒成立∴即恒成立设当时，时，∴∴.点睛：本题主要考查数列通项公式的求法，考查数列求和的基本方法错位相减法，考查不等式恒成立问题的解决策略.由于和的关系式题目给定，故利用可求得的通项公式.求出的通项公式后通过观察可发现的通项是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求.19.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，离心率为，过椭圆的右焦点F的直线l与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．求椭圆的方程；设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；设，是线段为坐标原点上的一个动点，且，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）定点（3）【解析】【分析】（1）根据椭圆的一个顶点，即b＝1，利用离心率求得a和c关系进而求得a，则椭圆的方程可得；（2）设存在N（t，0），使得C、B、N三点共线，则∥，利用向量共线定理可得t，即可得出．（3）设直线l的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），代入椭圆方程，利用韦达定理结合向量的数量积公式，即可求得m的取值范围；【详解】由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为，椭圆C的一个顶点为，即由，解得：，所以椭圆C的标准方程为；由得，设，，设直线l的方程为，代入椭圆方程，消去y可得则，，点C与点A关于x轴对称，假设存在，使得C、B、N三点共线，则，，、B、N三点共线，，，即，．存在定点，使得C、B、N三点共线．由，，，，，，解得：，当时，符合题意故m的范围为【点睛】本题考查直线与椭圆综合问题，定点问题，相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、两点之间的距离公式、向量垂直与数量积的关系、三点共线问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知函数在处取得极值．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；Ⅲ证明：参考数据：．【答案】（1）0；（2）；（3）见解析【解析】【分析】(1)求导，由f′(1)＝0构造方程求出a；(2)由(1)将方程f(x)＋2x＝x2＋b化简，令g(x)＝x2－3x＋ln x＋b(x>0)，求导，研究当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况，确定函数的最值，从而建立不等式组，即可求得结论；(3)设φ(x)＝ln x－(x2－1)，求导，根据函数的单调性得当x≥2时，>2，从而累加可得结论．【详解】（1）f′(x)＝1－，∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，即1－＝0，∴a＝0.经检验满足题意.(2)由(1)得f(x)＝x－lnx，∴f(x)＋2x＝x2＋b即x－lnx＋2x＝x2＋b，∴x2－3x＋lnx＋b＝0，设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x>0)，则g′(x)＝2x－3＋＝＝.由g′(x)>0得0<x<或x>1，由g′(x)<0得<x<1，∴当x∈，(1，＋∞)时，函数g(x)单调递增，x∈时，函数g(x)单调递减，当x＝1时，g(x)极小值＝g(1)＝b－2，g＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2，∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在上恰有两个不相等的实数根，∴即解得＋ln2≤b<2.(3)证明：∵k－f(k)＝lnk，∴>.⇔＋＋＋…＋>(n∈N，n≥2)设φ(x)＝lnx－(x2－1)，则φ′(x)＝－＝＝－当x≥2时，φ′(x)<0，∴函数y＝φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴φ(x)≤φ(2)＝ln2－<0，∴lnx<(x2－1)．∴当x≥2时，>＝＝2，∴＋＋＋…＋>2＝2＝.∴原不等式成立．【点睛】本题主要考查了函数的极值，利用导数求函数的最值，证明不等式，属于难题.。
天津市第二南开中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
天津市第二南开中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）A ．1-B ．C ．3-D ．32． 定义运算：,,a a ba b b a b≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）A．22⎡-⎢⎣⎦B ．[]1,1- C．,12⎤⎥⎣⎦ D．1,2⎡-⎢⎣⎦ 3． 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则OP Q ∆的面积等于（ ）A． B． C．2 D．44． 已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则实数的取值范围是（ ）111]A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(5． 设F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1||2OF ，则双曲线的离心率为（ ）A． BC． D ．3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想． 6． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积（ ） A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的167． 已知命题:()(0x p f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44q x ππ∀∈，sin cos x x >.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧8． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．9． 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 10．若集合,则= ( )A B C D11．已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个12．若关于的不等式2043x ax x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ）A ．B ．12C ．12- D ．2-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ．14．长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、，则222sinsin sin αβγ++= ．15．已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.16．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值等于_________.三、解答题（本大共6小题，共17．已知矩阵A ＝，向量＝.求向量，使得A 2＝.18．如图，在四棱锥 P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45,1,ADC AD AC O ∠=== 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，2,PO M =为 BD 的中点. （1）证明: AD ⊥平面 PAC ；（2）求直线 AM 与平面ABCD 所成角的正切值.19．（本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(sin ,5sin 5sin )m B A C =+，(5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =--垂直. （1）求sin A 的值；（2）若a =ABC ∆的面积S 的最大值.20．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .21．（本小题满分12分）设f （x ）＝－x 2＋ax ＋a 2ln x （a ≠0）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）是否存在a ＞0，使f （x ）∈[e －1，e 2]对于x ∈[1，e]时恒成立，若存在求出a 的值，若不存在说明理由．22．（本题满分15分）已知函数c bx ax x f ++=2)(，当1≤x 时，1)(≤x f 恒成立． （1）若1=a ，c b =，求实数b 的取值范围；（2）若a bx cx x g +-=2)(，当1≤x 时，求)(x g 的最大值．【命题意图】本题考查函数单调性与最值，分段函数，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．天津市第二南开中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析（参考答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【答案】D【解析】考点：简单线性规划．2．【答案】D【解析】考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.3．【答案】C【解析】∴1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=， ∴1220y y +=③， 联立①②③可得218m =，∴12y y -==．∴12122S OF y y =-=． （由1212420y y y y =-⎧⎨+=⎩，得12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩考点：抛物线的性质． 4． 【答案】B 【解析】试题分析：()()1)2(f x f x f -=+ ，令1-=x ，则()()()111f f f --=，()x f 是定义在R 上的偶函数,()01=∴f ()()2+=∴x f x f ．则函数()x f 是定义在R 上的，周期为的偶函数，又∵当[]3,2∈x 时，()181222-+-=x x x f ，令()()1log +=x x g a ，则()x f 与()x g 在[)+∞,0的部分图象如下图，()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点可化为()x f 与()x g 的图象在()+∞,0上至少有三个交点，()x g 在()+∞,0上单调递减，则⎩⎨⎧-><<23log 10a a ，解得：330<<a 故选A ．考点：根的存在性及根的个数判断.【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得()x f 是周期函数,其周期为,要使函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点,等价于函数()x f 的图象与函数()1log +=x y a 的图象在()+∞,0上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.5． 【答案】B 【解析】6． 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为2113V r h π=，将圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的12，则体积为222111(2)326V r h r h ππ=⨯=，所以122V V =，故选A.考点：圆锥的体积公式.1 7． 【答案】D【解析】考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用. 8． 【答案】D9． 【答案】C【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时，||3{3,2,1,0}y x =-∈---，所以A B ={2,1,0}--，故选C ．10．【答案】B 【解析】11．【答案】C【解析】由[()]2f f x =，设f （A ）=2,则f （x ）=A,则2log 2x =，则A=4或A=14，作出f （x ）的图像，由数型结合，当A=14时3个根，A=4时有两个交点，所以[()]2f f x =的根的个数是5个。
天津市南开中学2018-2019学年高三(下)第四次月考数学试题(理科)(2月份)(解析版)
天津市南开中学2018-2019学年高三（下）第四次月考数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集，，，则集合等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出A与B的并集，根据全集U＝R，求出并集的补集即可．【详解】全集，，，或，则，故选：D．【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】作出不等式对应的平面区域，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为，故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,准确画图熟练计算是关键.3.设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当时，由得，得，此时，若，由得，此时，若，由得，得，此时，综上，由得，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4.关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，t＝x2﹣ax+2a在[1，+∞）上为增函数，且在[1，+∞）上大于0恒成立，得到关于a的不等式组求解．【详解】函数在上为减函数，则在上为增函数，且在上大于0恒成立．则，解得．实数a的取值范围是．故选：C．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．5.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且，则此双曲线的离心率为A. 2B.C.D.【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线,圆心到渐近线的距离为,即,解得,,此双曲线的离心率为,故选D.6.已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，∵，∴，∴，，．∵当时，单调递减，∴，故选A．【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小7.已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，其中O为坐标原点，则与面积之和的最小值是A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•6消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【详解】设直线AB的方程为：，点，，直线AB与x轴的交点为，代入，可得，根据韦达定理有，，，从而，点A，B位于x轴的两侧，，故．不妨令点A在x轴上方，则，又，，当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是，故选：D．【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．8.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式作出f（x）在[0，+∞）上的图象，结合函数的奇偶性可得f（x）的图象，进而分析可得a的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，当时，，又由函数为奇函数，则其图象如图：若，，即点在点的下方，分析可得：，即a的取值范围为．故选：C．【点睛】本题考查函数图像的应用，函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质，关键是依据题意，作出函数的图象．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案．【详解】，，则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题．10.二项式的展开式中常数项为______用数字表示．【答案】-160【解析】二项式的展开式的通项为，．令，可得，即展开式中常数项为．答案：11.已知正实数x，y满足，则的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题12.在等腰梯形中，，，，，若，，且，则__．【答案】【解析】依题意得∥,，.∵∴∴∵∴∵∴∴故答案为.13.已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则的值为______．【答案】【解析】【分析】化函数为f（x）＝2sin（ωx），由正弦函数的单调增区间求出x的取值范围，结合题意列不等式组求出k 的值，再根据函数f（x）的对称轴求出ω的值．【详解】函数，，函数在区间内单调递增，，，；可解得函数的单调递增区间为：，，可得：，，其中，解得：且，，，解得：，，可解得：，又由，；可解得函数的对称轴为：，，由函数的图象关于直线对称，可得：，可解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，正确确定k的值是解题的关键，是中档题14.已知定义在上的函数及如下的4个命题：关于x的方程有个不同的零点；对于实数，不等式恒成立；在上，方程有5个零点；时，函数的图象与x轴图成的形的面积是4．则以上命题正确的为______把正确命题前的序号填在横线上【答案】【解析】【分析】根据题意，对选项中的每一个问题进行分析与思考，结合函数f（x）的解析式进行解答，即可得出正确的选项．【详解】当时，；时，；设，则，；，则，；，则，；，则，．画出草图，当时，在上有6个不相等的实根，上只有一个实根，以后再没有了，共有7个不相等的实根，故错；函数的最高点都在曲线上，对于实数，不等式恒成立，故正确；在上，方程即，由函数及y=的图像，可得方程有5个解，故正确；函数的最高点为以4为首项，公比为的等比数列．故当时，函数的最高点为，与x轴围成的面积为故错；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的图像及运用，考查函数的表达式和值域，等比数列的通项及运用，考查数形结合的能力，判断能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设Ⅰ求函数的最小正周期和单调递减区间；Ⅱ若锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，且，，，求角C及边c．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ），【解析】试题分析：（Ⅰ）由两角和与差的正弦、余弦公式、辅助角公式可将化为，故的最小正周期，由可得的单调递减区间是；（Ⅱ）由及为锐角三角形可得，由正弦定理，得得，故，由余弦定理得试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期.由解得，故的单调递减区间是.（Ⅱ）∵在锐角中，，∴，即.由，得.∵，，∴由正弦定理，得.由，得.故.由余弦定理，，故.考点：三角函数的性质16.某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自A学校且1名为女棋手，另外4名来自B学校且2名为女棋手从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；Ⅱ设X为选出的4名队员中A、B两校人数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】【解析】【分析】（Ⅰ）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；（Ⅱ）求出随机变量X的所有可能取值，求出相应的概率，得到X的分布列，然后求解数学期望．【详解】由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，设事件“恰有1位女棋手”，则，所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为随机变量X的所有可能取值为0，2，其中，，所以，随机变量X分布列为随机变量X的数学期望【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．17.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为．求证：平面BDE；求二面角的余弦值；设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得平面BEF，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）（3）M的坐标为(2,2,0)，见解析【解析】试题分析：（1）由正方形性质得，由平面得，再根据线面垂直判定定理得平面（2）利用空间向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角（3）设点坐标，根据平面得，列方程解得点坐标，再确定位置试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，又∵是正方形，∴，∵，∴平面．（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵与平面所成角为，即，∴，由，可知：，．则，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，∴，所以．因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，∴，即，解得：，∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，，，各项为正数的等比数列满足，．求数列，的通项公式；若，数列的前n项和；求；若对任意，，均有恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1），；（2）①；②.【解析】试题分析：（1）利用，化简后可得为等差数列，由此求得数列的通项公式，求得后，利用等比数列通项公式，可求得的通项公式.（2）①由于是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求其前项和. ②利用分离常数法将原不等式分离常数，再利用差比较法可求得的取值范围.试题解析：（1）∴∴又各项为正∴∴开始成等差又∴∴为公差为的等差数列∴∴（2）①∴②恒成立∴即恒成立设当时，时，∴∴.点睛：本题主要考查数列通项公式的求法，考查数列求和的基本方法错位相减法，考查不等式恒成立问题的解决策略.由于和的关系式题目给定，故利用可求得的通项公式.求出的通项公式后通过观察可发现的通项是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求.19.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，离心率为，过椭圆的右焦点F的直线l与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．求椭圆的方程；设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；设，是线段为坐标原点上的一个动点，且，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）定点（3）【解析】【分析】（1）根据椭圆的一个顶点，得b＝1，利用离心率求得a和c关系进而求得a，则椭圆的方程可得；（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），代入椭圆方程，得到韦达定理，设存在N（t，0），使得C、B、N三点共线，则∥，利用向量共线定理坐标化，将韦达定理代入可得t，即可求解．（3）利用（2）韦达定理，将坐标化，结合向量的数量积公式，即可求得m的取值范围；【详解】由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为，椭圆C的一个顶点为，即由，解得：，所以椭圆C的标准方程为；由得，设，，设直线l的方程为，代入椭圆方程，消去y可得则，，点C与点A关于x轴对称，假设存在，使得C、B、N三点共线，则，，、B、N三点共线，，，即，．存在定点，使得C、B、N三点共线．由，，，，，，解得：，当时，符合题意故m的范围为【点睛】本题考查直线与椭圆综合问题，定点问题，相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、两点之间的距离公式、向量垂直与数量积的关系、三点共线问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知函数在处取得极值．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；Ⅲ证明：参考数据：．【答案】（1）0；（2）；（3）见解析【解析】【分析】(1)求导，由f′(1)＝0构造方程求出a；(2)由(1)将方程f(x)＋2x＝x2＋b化简，令g(x)＝x2－3x＋ln x＋b(x>0)，求导，研究当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况，确定函数的最值，从而建立不等式组，即可求得结论；(3)设φ(x)＝ln x－(x2－1)，求导，根据函数的单调性得当x≥2时，>2，从而累加可得结论．【详解】（1）f′(x)＝1－，∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，即1－＝0，∴a＝0.经检验满足题意.(2)由(1)得f(x)＝x－lnx，∴f(x)＋2x＝x2＋b即x－lnx＋2x＝x2＋b，∴x2－3x＋lnx＋b＝0，设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x>0)，则g′(x)＝2x－3＋＝＝.由g′(x)>0得0<x<或x>1，由g′(x)<0得<x<1，∴当x∈，(1，＋∞)时，函数g(x)单调递增，x∈时，函数g(x)单调递减，当x＝1时，g(x)极小值＝g(1)＝b－2，g＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2，∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在上恰有两个不相等的实数根，∴即解得＋ln2≤b<2.(3)证明：∵k－f(k)＝lnk，∴>.⇔＋＋＋…＋>(n∈N，n≥2)设φ(x)＝lnx－(x2－1)，则φ′(x)＝－＝＝－当x≥2时，φ′(x)<0，∴函数y＝φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴φ(x)≤φ(2)＝ln2－<0，∴lnx<(x2－1)．∴当x≥2时，>＝＝2，∴＋＋＋…＋>2＝2＝.∴原不等式成立．【点睛】本题主要考查了函数的极值，利用导数求函数的最值，证明不等式，属于难题.。
天津市南开中学滨海生态城学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
【答案】A
【解析】
【分析】
在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．
【详解】由题意，四种模型的相关指数R2分别为0。97,0。86，0。65，0。55,
根据在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好，
可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是0。97．
故选：A
【点睛】本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用，属于基础题．
10。(1+2x2）(1+x)4的展开式中x3的系数为
A. 12B.16C. 20D。 24
【答案】A
【解析】
【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为 ，故选A．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
即 .
9。4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程,每人限报其中一个课程，不同报法的种数是( ）
A。 81B.64C。 24D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】
利用排列、组合中的乘法原理求得结果．
【详解】解:∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81种报名方案．
A。 0，1B。 1，2C。 0，1,2D。 0，1,2,3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知条件，可直接推出ξ的取值，得到答案．
【详解】由题意，从8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品 件数为随机变量，
可得随机变量ξ的取值可以是0，1，2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的取值的判断及求解，其中解答中正确理解题意是解答的关键,属于基础题．
南开中学数学高二下期中提高卷(课后培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．22B ．23C ．28D ．242．(0分)[ID ：13606]函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD ．可以取到最小值A -3．(0分)[ID ：13579]当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是( ) A ．14B ．12C ．2D ．44．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 5．(0分)[ID ：13560]函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=6．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=，则sin 2α=（ ）A ．12B ．32C ．12-D ．32-7．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=8．(0分)[ID ：13612]函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：13596]已知函数()sin()3f x x π=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ） A ．向左平移56π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移56π个单位 10．(0分)[ID ：13587]角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35，则θtan = A ．43-B ．43C ．34-D ．3411．(0分)[ID ：13569]已知0w >,0φπ<<，直线4x π=和54=x π是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π412．(0分)[ID ：13567]把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π413．(0分)[ID ：13534]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB + B ．1162AC AB + C ．1126AC AB + D ．1263AC AB + 14．(0分)[ID ：13532]若()1,2,3,,i A i n =⋯是AOB 所在平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅，给出下列说法：（1）123||||||||n OA OA OA OA ===⋯=；（2）||i OA 的最小值一定是||OB ；（3）点A 和点i A 一定共线；（4）向量OA 及i OA 在向量OB 方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．(0分)[ID ：13531]ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =A ．1233a b +B ．2133a b + C ．3455a b + D ．4355a b + 二、填空题16．(0分)[ID ：13726]函数()sin 52sin x f x x+=-的最大值为__________.17．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________.18．(0分)[ID ：13708]f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω＝________.19．(0分)[ID ：13694]已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________.20．(0分)[ID ：13689]已知平面内两点P 、Q 的坐标分别为（-2，4）、（2，1），则PQ 的单位向量0a =_____21．(0分)[ID ：13688]若A ，(cos ,sin )()B R θθθ∈，则AB 的最大值是________.22．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．23．(0分)[ID ：13646]已知点()01A ，，()13B ，，()C x y ，，若以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为2，则y 关于x 的函数解析式为________________． 24．(0分)[ID ：13637]已知(,)2πθπ∈，且3cos()45πθ-=，则tan()4πθ+=_________________.25．(0分)[ID ：13633]已知函数()()cos 202f x x πθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭在3,86ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，若4f m π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围为___. 三、解答题26．(0分)[ID ：13794]已知(1,2)a =，b (3,2)=-，当k 为何值时. （1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？27．(0分)[ID ：13792]已知(),n n n a x y =，且1112y x ==，1111n n n n x x y y ++⎛⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ （1）求向量2a 的坐标，并用,n n x y 表示1,n x +用,n n x y 表示1n y +； （2）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n B .28．(0分)[ID ：13810]已知圆C 经过1(1,0)M -，2(3,0)M ，3(0,1)M 三点． (1)求圆C 的标准方程；(2)若过点N 1)的直线l 被圆C 截得的弦AB 的长为4，求直线l 的倾斜角． 29．(0分)[ID ：13802]设函数()cos 22sin sin .344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1求()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程；()2若()f x 在区间,12a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 30．(0分)[ID ：13800]已知2,1a b ==，且向量a 、b 不平行，且()27,c ta b d a tb t R =+=+∈.（1）若2e =，且0a b e ++=，求向量a 在b 方向上的投影； （2）若3a b -=，且向量c 与d 夹角为钝角，求t 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．C 3．D 4．B 5．A 6．A 7．D 8．C 9．A 10．C 11．A 12．A 13．B15．B二、填空题16．6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数然后结合不等式的性质求得最大值【详解】∵所以所以∴时故答案为：6【点睛】本题考查求函数的最值考查正弦函数的性质解题方法是利用分离常数法分离常数然后结合不等式的17．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T＝因此f(x)＝2sinωx在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin＝∴ω＝∴ω＝故答案为19．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量20．【解析】【分析】利用向量的单位向量的计算公式即可求解【详解】由题意两点的坐标分别为可得向量所以向量的单位向量故答案为：【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力22．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义23．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量24．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件25．【解析】【分析】根据单调区间求出的取值范围由于恒成立即求从而得出的取值范围【详解】解：当时由函数在上是增函数得则又故取得所以因为根据函数的图像可得所以【点睛】本题考查了三角函数的单调性不等式恒成立等三、解答题27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,422a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．C解析：C 【解析】【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A . 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.3．D解析：D 【解析】 【分析】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x =-利用二次函数求最值即可解答【详解】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x=-，22110,0tan 1,tan tan tan 424x x x x x π⎛⎫<<∴<<∴-=--+⎪⎝⎭ 1tan 2x ∴=时，2tan tan x x -的最大值为14综上，22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题4．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象，可得A ＝1， 1274123w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π）．故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12π个单位长度，可得y ＝sin （2x +6π+3π）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 5．A解析：A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．6．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin cos 62x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos sin 62x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos sin 22y x x x x ⎫∴=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221sin cos cos sin 24x x x x =⋅+-1sin 2cos 244x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．9．A解析：A 【解析】函数5()cos sin()sin ()236g x x x x πππ⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦，所以将函数()f x 的图象向左平移56π个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A. 10．C解析：C 【解析】 【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果． 【详解】∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=，∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则sin α=cos α=，()tan 0yx xα=≠. 11．A解析：A 【解析】 因为直线4x π=和54x π=是函数()()sin f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴， 所以T=522π44ππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭．所以ω=1，并且sin （4π+φ）与sin （54π+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=4π． 故选：A ． 12．A 解析：A 【解析】把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π3个单位长度得πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π2，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.13．B解析：B 【解析】由题意结合向量的加法法则可得：213221()3221132211.62EM EC CM AC CB AC CA AB AC AC AB AC AB =+=+=++=-+=+ 本题选择B 选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．14．B解析：B 【解析】 【分析】根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,可得③、④正确,而①、②不一定成立,从而得到答案. 【详解】解：根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,而||||cos ||=||cos i i i i i OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅⋅=⋅<⋅>∴<⋅>,故①不一定成立,②也不一定成立.向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影为||OA OB OB ⋅,故④正确.()00,i i i i OA OB OA OB OA OA OB AA OB AA OB ⋅=⋅∴-⋅=∴⋅=⊥,即点i A A 、在一条直线上，如图,故③正确.故选：B.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属于中档题.15．B解析：B【解析】【分析】【详解】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴BDDA＝CBCA＝12，∴BD＝13BA＝13(CA－CB)＝13b－13a，∴CD＝CB＋BD＝a＋13b－13a＝23a＋13b.二、填空题16．6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数然后结合不等式的性质求得最大值【详解】∵所以所以∴时故答案为：6【点睛】本题考查求函数的最值考查正弦函数的性质解题方法是利用分离常数法分离常数然后结合不等式的解析：6【解析】【分析】利用分离常数法分离常数，然后结合不等式的性质求得最大值．【详解】()sin 52sin x f x x +=-712sin x=-+-，∵1sin 1x -≤≤，所以12sin 3x ≤-≤，77732sin x ≤≤-，所以4()63f x -≤≤， ∴sin 1x =时，max ()6f x =． 故答案为：6. 【点睛】本题考查求函数的最值，考查正弦函数的性质．解题方法是利用分离常数法分离常数，然后结合不等式的性质求解．17．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算解析：32【解析】 【分析】如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有CB CACD 2+=， 又因AC =1，BC =2， 所以()()()2222CB CA 113AB CD CB CA CB CA 212222+⋅=-⋅=-=-=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T ＝因此f(x)＝2sinωx 在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin ＝∴ω＝∴ω＝故答案为解析：34【解析】 【分析】 【详解】 函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集， ∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34. 19．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量解析：()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】可求出()12a b λλλ+=++，，根据a 与a b λ+的夹角为锐角即可得出：()0a a b λ⋅+＞，且a 与a b λ+不平行，从而得出()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞，解出λ的范围即可． 【详解】：()12a b λλλ+=++，； ∵a 与a b λ+的夹角为锐角；∴()0a a b λ⋅+＞，且a 与a b λ+不平行； ∴()()12202210λλλλ⎧+++⎪⎨+-+≠⎪⎩＞；解得53λ-＞，且λ≠0； ∴实数λ的取值范围是：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 故答案为：()5003⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 【点睛】本题考查向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量数量积的计算公式，以及平行向量的坐标关系．20．【解析】【分析】利用向量的单位向量的计算公式即可求解【详解】由题意两点的坐标分别为可得向量所以向量的单位向量故答案为：【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式解析：43(,)55±-【解析】 【分析】利用向量PQ 的单位向量的计算公式0PQ a PQ=±，即可求解.【详解】由题意，两点,P Q 的坐标分别为(2,4),(2,1)-，可得向量(4,3)PQ =-， 所以向量PQ 的单位向量043(,)55PQ a PQ=±=±=±-.故答案为：43(,)55±-. 【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解，其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．【解析】【分析】计算得到答案【详解】当时等号成立即故答案为：【点睛】本题考查了两点间距离公式三角恒等变换意在考查学生的综合应用能力 解析：3【解析】 【分析】计算24sin 594AB πθ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】A ，(cos ,sin )()B R θθθ∈()()2222cos 2sin 522sin 22cos 4sin 594AB πθθθθθ⎛⎫=-++=+-=-+≤ ⎪⎝⎭当()324k k Z θππ=+∈时等号成立，即3AB ≤ 故答案为：3 【点睛】本题考查了两点间距离公式，三角恒等变换，意在考查学生的综合应用能力.22．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义 解析：【解析】试题分析：由()(2)0a b a b +⋅-=得，2222()(2)2cos ,2a b a b a a b b a a b a b b +⋅-=-⋅-=-⋅〈〉-21cos ,20b a b b =-〈〉-=，所以212cos ,b a b b-〈〉=，0,180a b ≤〈〉≤，21211b b-∴-≤≤，解得112b ≤≤，所以b 的最小值为．考点：向量的数量积运算及其性质．【方法点晴】要求b 的最小值，可以考虑建立关于b 的不等式或不等式组．已知1a =，由()(2)0a b a b +⋅-=结合向量数量积的运算律可得关于b 及a b ⋅的关系式, 根据向量数量积的定义，把向量a b ，的夹角转化为关于b 的表达式,再由向量夹角的有界性最终得到关于b 的不等式，解不等式即得b 的最小值．23．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量解析：21y x =-或23y x =+ 【解析】 【分析】求得,AB AC ，然后求得cos ,AB AC ，进而求得sin ,AB AC ，利用平行四边形的面积列方程，化简后求得y 关于x 的函数解析式.【详解】依题意()()1,2,,1AB AC x y ==-，所以25,AB AC x ==cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=，由于[],0,πAB AC ∈，所以2sin ,1cos ,15AB AC AB AC x =-=-⎣AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积sin ,2AB AC AB AC ⋅⋅=，化简得()()23210x y x y -+--=，所以21y x =-或23y x =+. 故答案为：21y x =-或23y x =+. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查平面向量夹角的计算，考查同角三角函数的基本关系式，考查平行四边形面积的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.24．【解析】试题分析：因为所以所以所以即解得所以＝考点：1同角三角形函数间的基本关系；2两角和与差的正切公式【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数通常将结论角利用条件解析：34-【解析】试题分析：因为(,)2πθπ∈，所以3(,)424πππθ-∈，所以4sin()45πθ-=，所以4tan()43πθ-=，即tan tan4431tan tan 4πθπθ-=+，解得tan 7θ=-，所以tan()4πθ+＝tan tan71341741tan tan 4πθπθ+-+==-+-． 考点：1、同角三角形函数间的基本关系；2、两角和与差的正切公式．【方法点睛】根据已知单角或复角的三角函数值求和角（或差角或单角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．25．【解析】【分析】根据单调区间求出的取值范围由于恒成立即求从而得出的取值范围【详解】解：当时由函数在上是增函数得则又故取得所以因为根据函数的图像可得所以【点睛】本题考查了三角函数的单调性不等式恒成立等解析：[)0,+∞【解析】 【分析】根据单调区间求出θ的取值范围，由于4f m π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，即求max4f π⎛⎫⎪⎝⎭，从而得出m 的取值范围. 【详解】解：()()cos 202f x x πθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭当3,86x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3243x ππθθθ-+≤+≤-+， 由函数()f x 在3,86ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是增函数得 32423k k πππθπθπ⎧-+≤-+⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩k Z ∈， 则()2243k k k Z πππθπ-≤≤+∈，又02πθ≤≤，故取0k =得，03πθ≤≤，所以5+226πππθ≤≤， 因为cos 42f ππθ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数cos y x =的图像可得， 所以max04f π⎛⎫=⎪⎝⎭， 0m ∴≥.【点睛】本题考查了三角函数的单调性、不等式恒成立等问题，解决的关键是要能将恒成立问题要转化为函数的最值问题来进行求解.三、解答题 26．（1) 19k =（2) 13k =-,反向【分析】（1）计算得到(3,22)ka b k k +=-+，3(10,4)a b -=-，计算()(3)0ka b a b +⋅-=得到答案.（2）根据()(3)ka b a b +-∥得到4(3)10(22)k k --=+，计算并判断方向得到答案， 【详解】（1)(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+；3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-()(3)ka b a b +⊥-，得()(3)10(3)4(22)2380ka b a b k k k +⋅-=--+=-=，19k = （2)()(3)ka b a b +-∥，得4(3)10(22)k k --=+，13k =- 此时1041,(10,4)333ka b ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭，所以方向相反.【点睛】本题考查了向量的平行和垂直，意在考查学生的计算能力.27．（1）()02,；11n n n n n n x x y y ++⎧=⎪⎨=+⎪⎩；（2）413n n B -=【解析】 【分析】先对1111n n n n x x y y ++⎛⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭化简，再结合1112y x ==可求得2a ，【详解】（1）1111n n n n n n n n x x x y y y ++⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫==⎪-+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎭，即11n n n n n nx x y y ++⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，当1n =时，21121102x x y y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，所以()20,2a =；（2）1n n n x x +=①，1n n n y y ++②，将①②同时平方，得()222123n n n n n n n x x x y y +==+-⋅③，22213n n n n n y x y y +=++⋅④，③+④得()2222114n n n n xy x y+++=+，即2211224n n n n x x y y +++=+，222n n n n y b a x ==+，所以14n nb b +=，又1222111x a y =+=，所以{}n b 是以1为首相，4为公比的等比数列，所以 ()11441143nn nB b --==-本题考查矩阵的乘法公式应用，向量的模长公式应用，等比数列前n 项和的求解，属于中档题28．(1) 22(1)(1)5x y -++= (2) 30°或90°．【解析】 【分析】（1）解法一：将圆的方程设为一般式，将题干三个点代入圆的方程，解出相应的参数值，即可得出圆C 的一般方程，再化为标准方程；解法二：求出线段12M M 和13M M 的中垂线方程，将两中垂线方程联立求出交点坐标，即为圆心坐标，然后计算3CM 为圆的半径，即可写出圆C 的标准方程；（2）先利用勾股定理计算出圆心到直线l 的距离为1，并对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论：一是直线l 的斜率不存在，得出直线l 的方程为2x =，验算圆心到该直线的距离为1；二是当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()312y k x --=-，并表示为一般式，利用圆心到直线的距离为1得出关于k 的方程，求出k 的值．结合前面两种情况求出直线l 的倾斜角． 【详解】（1）解法一：设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ∴2,2,3,D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩即圆C 为222230x y x y +-+-=， ∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=；解法二：则12M M 中垂线为1x =,13M M 中垂线为y x =-， ∴圆心(,)C x y 满足∴(1,1)C -，半径3145r CM ==+=，∴圆C 的标准方程为22(1)(1)5x y -++=．（2）①当斜率不存在时，即直线:2l x =到圆心的距离为1，也满足题意， 此时直线l 的倾斜角为90°，②当斜率存在时，设直线l 的方程为(2)31y k x =-+， 由弦长为4，可得圆心(1,1)C - 到直线l 541-=，2|(12)131|11k k-++-=+，∴3k =l 的倾斜角为30°， 综上所述，直线l 的倾斜角为30°或90°． 【点睛】本题考查圆的方程以及直线截圆所得弦长的计算，在求直线与圆所得弦长的计算中，问题的核心要转化为弦心距的计算，弦心距的计算主要有以下两种方式：一是利用勾股定理计算，二是利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离．29．（1）单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈；（2）π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】()1利用恒等变换公式将()f x 化为πsin 2x 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果；()2利用正弦函数的图象可得实数a 的取值范围．【详解】()()()()11f x cos2x sin2x sinx cosx sinx cosx 22=++-+1πcos2x cos2x sin 2x 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令ππ3π2k π2x 2k π262+≤-≤+，则π5πk πx k π36+≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由()ππ2x k πk Z 62-=+∈得()k ππx k Z 23=+∈． ()f x ∴图象的对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈． ()π2x ,a 12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2x ,2a 636⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦结合正弦函数图象可知：ππ4π2a 263≤-≤，解得π3πa 34≤≤， 实数a 的取值范围是π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B ，=-. (2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k Z ωϕ+=+∈求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k Z ωϕ-+≤+≤+∈求增区间;由()π3π2π2π22k x k k Z ωϕ+≤+≤+∈求减区间. 30．（1）12-；（2）17,2⎛⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据2e =可求a b ⋅的值 ,从而可求向量a 在b 方向上的投影. （2）先求出a b ⋅的值，再根据0c d ⋅<且它们不共线可求t 的取值范围. 【详解】（1）因为0a b e ++=，故e a b =--， 因为2e =，故22242e a a b b ==+⋅+，所以12a b ⋅=-，故向量a 在b 方向上的投影为11212a b b-=-⋅=.（2）因为3a b -=，故2232a a b b =-⋅+即1a b ⋅=， 因为向量c 与d 夹角为钝角，故0c d ⋅<即()()270ta b a tb +⋅+<， 整理得到221570t t ++<，解得172t -<<-. 若,c d 共线反向，则存在0s <，使得c sd =，故27ta b sa stb +=+，因,ab 不共线，故270t s st s =⎧⎪=⎨⎪<⎩ ，解得2s =-.综上，t 的取值范围为17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.本题考查平面向量基本定理、向量的数量积及其几何意义，注意两个向量的夹角为钝角时，则它们的数量积为负且不共线反向，本题为易错题且为中档题.。