数学：第二章二次函数复习课件(北师大版九年级下)
二、根据实际问题建立函数的表 达式解决实际问题
问题3：
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形
状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在 处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线 y= －(x-1)2 +2.25 的表达式为 。如果不考虑其他因素，那么水 2.5 池的半径至少要____米，才能使喷出的水流不致落到池外。
Y
．B(1,2.25)
(0,1.25) A
O x
问题4：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一 个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元， 销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最 大利润是多少？ 分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数）
设每个涨价x元， 那么
（1）销售价可以表示为
（50+x）元（x≥ 0，且 为整数）
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元 （3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
解： 设每个商品涨价x元， 那么 y=(50+x-40)(500-10x) =-10 x2 +400x+5000
+
4 C
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后Δ PBQ的面积y最大 最大面积是 4 cm2
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四 边上分别选取E、F、G、H四点，且 AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计， 可使花园面积最大？
D H
A E G
C
F B
解：设花园的面积为y
6 =-2x2 + 16x （0<x<6）
4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
问题5:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，
点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速 度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿 边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。 (1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的
函数关系式；
=-10[ （x-20）2 -900]
=- 10（x-20）2 +9000
(0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
问题5:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔 有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方 米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 A D ∴ 花圃宽为（24－4x）米 ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6） B C
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 3 时，S最大值＝ 4a ＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6 ∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
小试牛刀
点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度 A 移动，如果P,Q分别从A,B同时出发， 几秒后Δ PBQ的面积最大？ 最大面积是多少？
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC 解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时
1 1 CQ•PB = AP•PB S△PCQ＝ 2 12 2 即S＝ x x (0<x<2） 2
Q
当P在线段AB的延长线上时
1 S△PCQ＝ 2
CQ PB
则 y=60-x2 -（10-x）（6-x）
10
=-2（x-4）2
+ 32
所以当x=4时 花园的最大面积为32
谈谈你的学习体会
实际问题
抽象 转化
运用 数学问题 问题的解 数学知识 返回解释
检验
“二次函数应用” 的思路
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之关系;
x2 ， 当水位线在AB位
置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ D ） A、5米 B、6米； C、8米； D、9米
y
0 h
解：当x=15时，
x B
Y=-1/25
× 152
A
=-9
问题2：炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(m) 与飞行时间t(s)之间的函数关系式是h=V0tsinα －5t2 ，其中V0 是炮弹发射的初速度，α是炮 弹的发射角，当V0=300（m/s）, α=30˚时,炮 弹飞行的最大高度是 m. 1125
第二章
二次函数的应用
学习的目的在于应用，日常生活 中，工农业生产及商业活动中，方案 的最优化、最值问题，如盈利最大、 用料最省、设计最佳等都与二次函数 有关。
一、根据已知函数的表达式解 决实际问题：
问题1：
河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所
示的坐标系，其函数的表达式为y= 1 25
1 x( x 2) 2
1 2 即S＝ x x 2
(x>2）
C
D
P A B
(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有
①
1 2 x x＝２ 2
此方程无解
②
Q
1 2 x x ＝２ 2
x 2x 4 0
2
D C
∴ x1=1+ 5 ,
x2=1－ 5 (舍去)
P A B
∴当AP长为1+ 5 时，S△PCQ＝S△ABC
P
如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，
C
Q
B
解：根据题意，设经过x秒后Δ PBQ的面积y最大 A AP=2x cm QB=x cm 则 y=1/2 x（8-2x） （0<x<4） =-x2 +4x =-（x2 -4x +4 -4） PB=（8-2x ） cm
P
= -（x - 2）2
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北师大版九年级数学下册：第二章 二次函数 复习课件(共33张PPT)
二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程 的图象和x轴交点 ax2+bx+c=0的根
有两个交点 有一个交点
有两个不相 等的实数根 有两个相等
的实数根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判
别式Δ=b2-4ac
b2-4ac>0
b2-4ac=0
没有交点 没有实数根 b2-4ac<0
3.说说下列二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。
想一想 a决定了抛物线的＿开口＿方＿向＿和＿形＿状＿
对称轴由＿a＿和＿b 决定；
c决定了图象与__y___轴的交点位置；
当a的绝对值相等时，其形状 完全相同，当a的绝对值越大，则 开口越小，反之成立。
想一想
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的 坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关 系？
（1）抛物线y=x2-4x+3的对称轴是__C____
A.直线x=1 B.直线x=-1 C.直线x=2 D.直线x=-2
（2）抛物线y=3x2-1的_____B_____
A.开口向上，有最高点 B.开口向上，有最低点 C.开口向下，有最高点 D.开口向下，有最低点
（3）若y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（2，0），B（4，0），则
4、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、 负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交 于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°， 求抛物线解析式。
解：∵点A在正半轴，点B在负半轴，
OA=4，∴点A（4，0）， OB=1， ∴点B（-1，0）， y
北师大版九年级数学下册 第二章 二次函数 (章末复习)课件(共85张PPT)
－12b＋c＞0，故 414a－12b＋c＞0，即 a－2b＋4c>0 √ 由抛物线的对称轴为直线 x＝－2ba＝－13，知 a＝32b，而当 x＝－1
时，y＝a－b＋c＝32b－b＋c＞0，∴12b＋c＞0，∴b＋2c＞0
章末复习
专题三 求二次函数的表达式
【要点指导】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函数表达式时 常见的有三种形式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式y= a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶点坐标；交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线与x轴交点的横坐标.
章末复习
(2)求出每天的销售利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关 系式, 并求出当销售单价为多少时, 每天的销售利润最大, 并求出 最大销售利润； (3)若该公司要求每天的销售利润不低于4000元, 但每天的总成 本不超过6250元, 则销售单价最低可定为多少？
章末复习
解: (1)y=250-5(x-60), 即y=-5x+550(60≤x≤100). (2)W=(x-50)(-5x+550), 即W=-5x2+800x-27 500(60≤x≤100). 配方, 得W=-5(x-80)2+4500. ∵a=-5, ∴抛物线开口向下, ∴当x=80时, W有最大值, 为4500, 即当销售单价为80元/件时, 每天的销售利润最大, 最大销售利润为 4500元. (3)令W=4000, 则-5(x-80)2+4500=4000, 解得x1=70, x2=90. ∴当W≥4000时, x的取值范围为70≤x≤90. ∵50(-5x+550)≤6250, 解得x≥85, ∴x的取值范围为85≤x≤90, 即销售单价最低可定为85元/件.
时，y＝a－b＋c＝32b－b＋c＞0，∴12b＋c＞0，∴b＋2c＞0
章末复习
专题三 求二次函数的表达式
【要点指导】 解决这类问题常用待定系数法. 设二次函数表达式时 常见的有三种形式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0)；顶点式y= a(x-h)2+k(a≠0), 其中(h, k)是二次函数图像的顶点坐标；交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 其中x1, x2是抛物 线与x轴交点的横坐标.
章末复习
(2)求出每天的销售利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关 系式, 并求出当销售单价为多少时, 每天的销售利润最大, 并求出 最大销售利润； (3)若该公司要求每天的销售利润不低于4000元, 但每天的总成 本不超过6250元, 则销售单价最低可定为多少？
章末复习
解: (1)y=250-5(x-60), 即y=-5x+550(60≤x≤100). (2)W=(x-50)(-5x+550), 即W=-5x2+800x-27 500(60≤x≤100). 配方, 得W=-5(x-80)2+4500. ∵a=-5, ∴抛物线开口向下, ∴当x=80时, W有最大值, 为4500, 即当销售单价为80元/件时, 每天的销售利润最大, 最大销售利润为 4500元. (3)令W=4000, 则-5(x-80)2+4500=4000, 解得x1=70, x2=90. ∴当W≥4000时, x的取值范围为70≤x≤90. ∵50(-5x+550)≤6250, 解得x≥85, ∴x的取值范围为85≤x≤90, 即销售单价最低可定为85元/件.
数学九年级下北师大版第二章二次函数复习(一) 课件(12张)
，对称轴是
当x=
时，函数y有最 值是
。当x
时，y随x的
增大而增大；当X
时，y随x的增大而减小。a>0呢？
知识巩固:
（1）、抛物线 y 3x2 的对称轴是
，顶点是
；
抛物线 y 2x2 2 5 的对称轴是
，顶点是
；
抛物线 y 3 (x 2)2 3 的对称轴是
，顶点是
。
2
2
（2）二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点（3，-8）和（-5，-8）
第二章 二次函数（一）
பைடு நூலகம்
知识梳理1:
二次函数概念：
形如
（a
）的形式则称y是x
的二次函数。
巩固：
（1）（2015.甘肃）下列函数中是一次函数的是（ ）
A、y=3x-1
B、 y=ax2+bx+c
C、s = 2t2 - 2t +1
D、
y = x2 + 1 x
（2）当_____时， y m 2 xm22 函数为二次函数。
当函数值y=0时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当 b2 4ac 0 时，图象与x轴交于 A x1 ，0，B x2 ，0 (x1 x2 ) 两点，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程 ax2 bx c 0 的两根．
② 当 0 时，图象与x轴
；
③ 当 0 时，图象与x轴
.
6、抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为
知识梳理2:
二次函数的性质：
（1）顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，当a>0时，抛物线的顶点
有最 点，顶点是
，对称轴是
2.2.1 二次函数的图象与性质(课件)-九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
随堂练习
1.两条抛物线 y x2 与 y x2 在同一坐标系内，下列说法中不 正确的是（ ）
A. 顶点坐标均为(0,0)
B. 对称轴均为x=0
C．开口都向上
D. 都有(0,0)处取最值
2.若A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)为二次函数y=－x2 的 图象上的三点，则y1，y2，y3 的大小关系是( ) A. y1 ＜ y2 ＜ y3 B. y3 ＜ y2 ＜ y1 C. y3 ＜ y1 ＜ y2 D. y2 ＜ y1 ＜ y3
第二章 二次函数
第2节 二次函数的图象与性质（1）
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线. 2．会画二次函数y=x2与y=-x2的图象.（难点） 3．掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质，并会灵活应用.（重点）
情景引入
一次函数y=kx+b和反比例函数
y
k x
，(k≠0)图象是什么形状?
图象 b＞0
k＞0
k＜0
k＜0
k＞0
b＜0
1 二次函数y=x2和y=-x2的图象和性质 — 你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗? 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表 示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出 A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
课堂总结
关于y=x2和y=－x2的10图y 象，你还有哪些疑惑？
9
8
y =x2
北师大版九年级下册数学：第二章二次函数回顾与思考课件(共15张PPT)
二次函数y=ax²与y=a(x-h)²和y=a(xh)²+k与的关系
平移关系
当h>0时,向右平移
y=ax2
y=a(x－h)2
当k>0时,向上平移
y=a(x－h)2+k
当h<0时,向左平移
当k<0时,向下平移
二次函数解析式的三种表示方式
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 __y_=_a__x_2+__b_x_+_c____ (a≠0)
a-b+c > 0, a+b+c = 0
点击中考：逆推思想
3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标 系内的图象大致是（ C ）
.
知识点4：选择恰当的方法求函数解析式
二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶 点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）， 求a、b、c。
a-b+c 0, a+b+c 0 知识点3：图象与系数的关系
对称轴 当 时 y=a(x－h)2+k
x
x
b
b 2a
2 a 知识点3：图象与系数的关系
思考：二次函数y=ax2+bx+c (a ≠0)的图象与系数a,b,c的关系
增减性 抛物线y=2(x-3)2-2的顶点坐标是？
y随x的增大而增大 y=a(x-h)2+k (a≠0)
y=a(x-h)2+k (a≠0)
当
时
2、能利用数形结合，逆推等思想解决二次函数图象与性质问题.
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
以及图象与系数a,b,C的关系
九年级数学北师大版下册课件：第二章 2.1 二次函数(共24张PPT)
第二章 二次函数 2．1 二次函数
◎学习目标 1. 探索并归纳二次函数的定义． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
◎新知梳理
1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常
数，a ≠0 )的函数，叫做二次函数；其中 a 是二次
项系数，b 是 一次项系数 ， c 是 常数 ．
知识点 ：确定二次函数的表达式 3. 如图，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm， 如果将它的长和宽都减去 x(cm)，设它剩下的小长方形
AB′C′D′的周长为 y(cm)，面积为 S(cm2)，则 y 与
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 6:07:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
D．y＝120(1－2x)
3. 将二次函数 y＝100(x＋1)2＋30x－200 化成一般
形式为 y＝100x2＋230x－100 ． 4. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，
◎学习目标 1. 探索并归纳二次函数的定义． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
◎新知梳理
1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常
数，a ≠0 )的函数，叫做二次函数；其中 a 是二次
项系数，b 是 一次项系数 ， c 是 常数 ．
知识点 ：确定二次函数的表达式 3. 如图，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm， 如果将它的长和宽都减去 x(cm)，设它剩下的小长方形
AB′C′D′的周长为 y(cm)，面积为 S(cm2)，则 y 与
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 6:07:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
D．y＝120(1－2x)
3. 将二次函数 y＝100(x＋1)2＋30x－200 化成一般
形式为 y＝100x2＋230x－100 ． 4. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，
北师大版初3数学9年级下册 第2章(二次函数)抛物线的实际问题 课件(共24张PPT)
t 01 2 3 4 5 6 7… h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
拓展与延伸
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球
飞行路线的对称轴是直线t＝ 9 ；③足球被踢出9 s时落
2
地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其
中正确结论的个数是( B )
A．1
当堂小练
2.向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与高度之间的
关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第14 s时的高度相等，则在下
列哪一个时间的高度是最高的( C )
A．第9.5 s
B．第10 s
C．第10.5 s
D．第11 s
拓展与延伸
足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞 行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的 高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的 关系如下表：
新课讲解
知识点1 实际中二次函数模型的建立
1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛 (投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象 与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
新课讲解
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式； (4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝
GF EF
3.75 10
0.375，∴∠GEF≈20.6°.
新课讲解
知识点2 求实际中“抛物线”型的最值问题
拓展与延伸
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球
飞行路线的对称轴是直线t＝ 9 ；③足球被踢出9 s时落
2
地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其
中正确结论的个数是( B )
A．1
当堂小练
2.向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与高度之间的
关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第14 s时的高度相等，则在下
列哪一个时间的高度是最高的( C )
A．第9.5 s
B．第10 s
C．第10.5 s
D．第11 s
拓展与延伸
足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞 行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的 高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的 关系如下表：
新课讲解
知识点1 实际中二次函数模型的建立
1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛 (投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象 与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
新课讲解
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式； (4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝
GF EF
3.75 10
0.375，∴∠GEF≈20.6°.
新课讲解
知识点2 求实际中“抛物线”型的最值问题
北师大版九年级下册数学《二次函数的图象与性质》二次函数说课教学复习课件巩固
原点 (0,0).
8
问题4 当x取何值时，y的值最小？
6
最小值是什么？
4
x=0时，ymin=0.
2
问题5 当x<0时，随着x值的增大，－4 －2 y值如何变化？当x>0时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
y 2x2
24
讲授新课 y＝ax2
图象
位置开
口方向 课件
课件
问题3
函数
y 1 (x 2)2 的图象，能否也可以由函数 y 1 x2
2
2
平移得到？
应该可以.
讲授新课
一 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
例1 画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12
2
2
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
当堂练习
6.在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x2的图象 经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4 ＜x1＜-2，0＜x2＜2，则y1与y2的大小关系是 ___y_1_＞__y_2__.
当堂练习
7.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数 y＝ax2＋c的图象大致为( D )
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=0
直线x=0
顶点坐标
（0,c）
（0,c）
最值
当x=0时，y最小值=c 当x=0时，y最大值=c
增减性
当x＜0时，y随x的增 当x＞0时，y随x的增 大而减小；x＞0时， 大而减小；x＜0时， y随x的增大而增大. y随x的增大而增大.
北师大版九年级下册数学《二次函数的图象与性质》二次函数说课教学复习课件拔高
-6 -7
x＜-1时，y随x的增大而增大；
-8 -9
x＞-1时，y随x的增大而减小.
-10
讲授新课
试一试
2.画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线
的开口方向、对称轴、顶点及增减性.
y
开口方向向上； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2); x＜-1时，y随x的增大而减小； x＞-1时，y随x的增大而增大.
讲授新课
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数
关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a = 1 ，
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1(x－3)2.
8 6 4 2 -4 -2 O 2 4 x -2
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要点归纳
二次函数 y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标 最值
增减性
（h,k）
（h,k）
当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
当x＜h时，y随x的增 当x＞h时，y随x的增 大而减小；x＞h时， 大而减小；x＜h时， y随x的增大而增大. y随x的增大而增大.
复习
y=ax2+k y=ax2
探索y=a(x-h)2 的图象及性质
描点法
图象的画法
平移法
图象的特征 顶点坐标（h,0）
平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变.
2.1 二次函数 课件(共32张PPT) 北师大版数学九年级下册
D
5．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为( ) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
A
6．矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求：（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.
B
3．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数， 则( ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
B
4．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 ( ) A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2 C．y＝(m－1)2x2 D．y＝(－m2－1)x2
①∵600-5x>0，x＞0，∴0≤x<120，且x为整数.②x>0.③∵20-x>0，∴0<x<20.
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
列二次函数关系式
一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
它会与某种函数有联系吗?
讲授新课
典例精讲
归纳总结
二次函数的定义及函数自变量取值范围
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
5．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为( ) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
A
6．矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求：（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.
B
3．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数， 则( ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
B
4．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 ( ) A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2 C．y＝(m－1)2x2 D．y＝(－m2－1)x2
①∵600-5x>0，x＞0，∴0≤x<120，且x为整数.②x>0.③∵20-x>0，∴0<x<20.
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
列二次函数关系式
一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
它会与某种函数有联系吗?
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典例精讲
归纳总结
二次函数的定义及函数自变量取值范围
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？