一元二次函数的图像和性质—讲义
一元二次函数图像
元二次函数图像元二次函数型式y= ax2+ bx+ C 或f (x) = ax2+ bx + C元二次函数图像画法1、形状：抛物线2、开口：a> 0,开口向上；a v0,开口向下b3、对称轴：X = ---------2a4、与X轴的交点：方程的根5、取大取小值：4ac -b24a、例题1、y = χ2—5x + 6解：a=1, 开口向上b 5对称轴:X =——2a 2方程根:χ2- 5x + 6—0X—2 或x—34ac -b21最小值4a42、y = x2+ 5x + 6解：a=1, 开口向上b5对称轴:X=—=—2a2方程根2:X + 5x + 6—0X ——2 或X —- -34ac -b21最小值4a4 3、y = —χ2+ 5x —6解：a= —1,开口向下对称轴：b 5 X ———2a 2方程根：—χ2+ 5x —6—0X—2 或x—3最大值：4ac-b2 1 4a 44、y=- x2- 5x —6解：a=- 1,开口向下bX =-—对称轴:方程根:2a 2-χ2- 5x —6= 0X=—2 或X = —35、6、最大值:4ac—b2 14ay = x2-2x解：a= 1 ,开口向上b IX = ------ =12aχ2- 2x = 0 X= 0或X= 2 4ac-b2 ,-14a对称轴:方程根:最小值:y=-x2—2x解：a= —1, 开口向下对称轴:方程根:X=—b=-12a-χ2- 2x = 0最大值:X = 0 或X=—24ac-b2 d14a27、y = X —2x + 1对称轴：b IX =—= 12a方程根：X2—2x + 1 =X = 1最小值：4ac-b2 C 04a解：a= 1 ,开口向上8、y = —χ2+ 2x —1对称轴：b IX =—= 12a方程根：—X2+ 2x —1 = 0X = 1解：a= —1,开口向下最大值：4ac-b2 C=0 4a29、y = X解：a= 1 ,开口向上b对称轴：X =—= 02a方程根：X2= 0X = 04ac -b2最小值：=04a10、y = —X2解：a= —1,开口向下b对称轴：X = ------- =02a方程根：—X2= 0X = 04ac —b2最大值：=04a211、y = X + X + 1解：a= 1 ,开口向上b1对称轴：X =——2a2方程根：△< 0,方程无解=、,亠 4ac —b23最小值：4a4212、y = —X + X —1解：a= —1,开口向下,亠，b1对称轴：X =—2a2方程根：△< 0,方程无解=,一4ac —b23最人值：4a4元二次函数图像题21、y= X - 7x + 102、y= χ2+ 3x + 223、y=- x + 7x- 124、y=- x2- 6x- 85、y= x2+ 7x26、y= —X + 7χ7、y= X2+ 4X+ 48、y=－X2+ 6X－99、y= X2+ X+ 210、y=－X2+ 2X－4。
一元二次函数的图像性质 -教学设计
教学设计课题：一元二次函数的图像性质教学目的：掌握一元二次函数的图像和性质，会求二次函数的对称轴，顶点坐标，以及函数的最值。
教学过程：1．定义：函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 图像：一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=， 性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线ab x 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，ab ac y 442min -=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a b ac y 442max-=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-ab 上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab --∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y 2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
专题+二次函数的图象和性质--讲义
专题二次函数的图象和性质
冯海君北大附中数学高级教师
本讲重点：二次函数的图象和性质
本讲目标：二次函数的三要素
题一：已知函数f(x)=x2-2ax+5；
(1)若函数f(x)满足f(2+x)= f(2-x),则：
①当x∈[0,3]时,函数的值域为____________；
②当x∈[0,m]时, 函数的值域为_____________；
③若x∈[0,m]时,函数值域为[1,5],则实数m∈____________.
(2)若x∈[0,2],则函数f(x)的值域为_____________.
题二：已知二次函数f(x)满足f(3+x)= f(5-x),函数图象过点(2,2),且在x轴上截得的线段长为求f(x)的解析式.
题三：已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3)
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
专题 二次函数的图象和性质
讲义参考答案
题一: (1)①[1,5]②当0<m <2时，值域为[m 2-4x +5,5]; 当2≤m ≤4时，值域为[1,5]; 当m>2时，值域为[1,m 2-4x +5]③
[2,4] (2)当a <0时，值域为[5,9-4a ]; 当a >2时，值域为[9-4a ,5]; 当0<a ≤1时，值域为[-a 2+5, 9-4a ]; 当1<a ≤2时，值域为[-a 2+5, 5]
题二: f (x )=x 2-8x +14
题三: (1)
2163()555
f x x x =--- (2) (-∞，-2- 3 )∪(-2+ 3 ，0)。
一元二次函数的图像和性质
高二暑假VIP 第二讲 一元二次函数的图象和性质复习目标1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
知识回顾1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac a b x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --，对称轴是直线a bx 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min-=，无最大值。
② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
例题精解一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y 2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取的一些值，列表如下： 【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
一元二次函数总结
一、二次函数的定义 一般地，如果y=ax ² +bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x二次函数。 注：二次函数y=a x ² +bx+c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，的最高次数是2；二次项系数a≠0。 二、二次函数的图象及画法
1、二次函数y=ax ² +bx+c（a≠0）的图象是以-b2a,4ac-b24a为顶点，以直线x=-b
2a为对称轴的抛物线。
2、用描点法画二次函数的步骤。 (1)用配方法化成ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）²＋ｋ的形式；(2)确定图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴的两侧用对称性描点画图。 注：(1) a的大小决定抛物线的开口大小。a越大，开口越小；a越小，开口越大。 (2) a、b的符号决定抛物线的对称轴的位置。当b=0时，对称轴为轴；当ab﹥0时，对称轴在y轴左侧（简称：左同）；ab﹤0，对称轴在y轴的右侧（简称：右异）。 (3) c的大小决定抛物线与y轴的交点位置：c=0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴。 (4)b2-4ac的大小决定抛物线与x轴的交点个数：b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。 (5) 画抛物线的草图，要确定：开口方向、对称轴、顶点、与x轴交点、与y轴交点。 三、二次函数的性质 性质 a＞0 a＜0
开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=-b2a
顶点坐标 (-b2a,4ac-b24a)
增减性 在对称轴的左侧，即x＜-b2a时，y随x的增大而减小； 在对称轴的右侧，即x＞-b2a时，y随x的增大而增大。 简记：左减右增。 在对称轴的左侧，即x＜-b2a时，y随x的增大而增大； 在对称轴的右侧，即x＞-b2a时，y随x的增大而减小。 简记：左增右减。
最值 抛物线有最低点， 当x=-b2a时，有最小值， y最小值=4-ac-b24a 抛物线有最高点， 当x=-b2a时，有最大值， y最大值=4ac-b2
第2章 一元二次函数、方程和不等式 课件(1)(共28张PPT)
x 1
x 1
则当且仅当x+1= a 时取等号，
x 1
此时x= a-1<0（不合题意），因此，上式等号取不到.
设x1>x2≥0，则
f(x1)-f(x2)=x1+
a x1
1
x2
x
a 2
1［1(x-1
x2
)
∵x1>x2≥0,∴x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1,
］,
a
x1 1(x2 1)
∴(x1+1)(x2+1)>1,而0<a<1,
方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,
由已知，得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞)上恒成立，
0,
即Δ=4a2-4(2-a)≤0或 a 1解, 得-3≤a≤1.
g 1 0.
即所求a的取值范围为［-3,1］.
利用基本不等式求最值 【名师指津】 利用基本不等式求最值的方法
基本不等式通常用来求最值问题：一般用a+b≥ 2 ab (a>0, b>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤ (a b)2 解
程思想.
【例6】 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β)，且
0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
【审题指导】审题时要明确不等式的解集与方程的根的关系，
以及根与系数的关系的应用.
【规范解答】由已知不等式可得a<0，且α、β为方程
ax2+bx+c=0的两根，
∴由根与系数的关系可得
人教2019A版必修 第一册
二次函数的图像和性质讲义
例 5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数 y=ax2＋（a＋c）x＋c 与一次函数 y=ax＋c 例 2、二次函数 y=ax ＋bx＋c 与一次函数 y=ax＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的 （ ）
2
的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（
）
b 例 3、在同一坐标系中，函数 y=ax ＋bx 与 y= 的图象大致是图中的（ x
2
பைடு நூலகம்
知生产 x 只玩具熊猫的成本为 R （元） ， 每只售价为 P （元） ， 且 R， P 与 x 的表达式分别为 R=500 ＋30x，P=170－2x． （1）当日产量为多少时，每日获利为 1750 元？ （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
-2-
训练题 A： 1．抛物线 y=－2x2＋6x－1 的顶点坐标为
2
2
点 C，顶点为 P． （1）求这个二次函数表达式； （2）设 D 为线段 OC 上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求 D 点坐标．
0． （填“＞” 、 “＜”或“=”＝） 。
b b ＞－ ，y 随 x 的增大而增大，x＜－ ，y 随 x 的增大而减小；当 a＜0 时，抛物线开口向 2a 2a
（1）一般式： y （2）顶点式： y
= ax 2 + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式.
= a( x − h ) + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2
下，图象有最高点，且 x＞－
b b ，y 随 x 的增大而减小，x＜－ ，y 随 x 的增大而增大． 2a 2a
（3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x 2 ，通常选用交点式：
《二次函数的图像》 讲义
《二次函数的图像》讲义一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中$a$、＄b$、＄c$是常数，且$a ≠ 0$）。
当$a ＞ 0$时，二次函数的图像开口向上；当$a ＜ 0$时，图像开口向下。
形如$y ＝ ax^2$的二次函数是最简单的形式。
当$a ＞ 0$时，图像是以原点为顶点，＄y$轴为对称轴的抛物线，并且在对称轴左侧，函数值随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，函数值随$x$的增大而增大。
例如，函数$y ＝ 2x^2$的图像，其开口向上，顶点为$（0, 0)＄，对称轴是$y$轴。
二、二次函数$y ＝ ax^2 ＋ k$的图像对于二次函数$y ＝ ax^2 ＋ k$，它的图像是由$y ＝ ax^2$的图像向上（＄k ＞ 0$）或向下（＄k ＜ 0$）平移$｜k|＄个单位得到的。
比如，函数$y ＝ 2x^2 ＋ 3$的图像是由$y ＝ 2x^2$的图像向上平移3 个单位得到的。
三、二次函数$y ＝ a(x h)＾2$的图像二次函数$y ＝ a(x h)＾2$的图像是以点$（h, 0)＄为顶点，以直线$x ＝ h$为对称轴的抛物线。
当$h ＞ 0$时，图像向右平移$h$个单位；当$h ＜ 0$时，图像向左平移$｜h|＄个单位。
比如，函数$y ＝ 3(x 2)＾2$的图像是由函数$y ＝ 3x^2$的图像向右平移 2 个单位得到的。
四、二次函数$y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$的图像二次函数$y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$的图像可以通过将$y ＝ ax^2$的图像先左右平移$｜h|＄个单位，再上下平移$｜k|＄个单位得到。
它的顶点坐标为$（h, k)＄，对称轴是直线$x ＝ h$。
例如，函数$y ＝－2(x ＋ 1)＾2 4$的顶点坐标为$（－1, －4)＄，对称轴是直线$x ＝－1$。
五、二次函数$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$的图像对于一般形式的二次函数$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$，我们可以通过配方法将其化为顶点式$y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$的形式。
二次函数的图像与性质
特尔教育一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：授课时间：年月日(星期日) 姓名年级九学校第课教师寄语人生大病，只是一“傲”字—王阳明课题二次函数的图象与性质重点1、二次函数图像与系数的关系2、二次函数解析式的确定3、二次函数图像的对称难点对定量的应用教学过程一、知识回顾如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0).(1)求此抛物线的解析式；(2)写出顶点坐标及对称轴；(3)若抛物线上有一点B，且3OABS=，求点B的坐标.二、新课讲解◆【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C，则BC的长值为_________．◆【变式训练】如图，经过点A (0，－4)的抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点B (－2，0)和C ，O 为坐标原点．(1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 向上平移72个单位长度、再向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围；◆【巩固练习】1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时,x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
人教版 九年级数学讲义 二次函数的图像与性质(含解析)
第5讲二次函数的图象与性质知识定位讲解用时：2分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数的图象与性质，本节课的重点是掌握二次函数的平移法则，能够结合二次函数图象和性质判断a、b、c的之间的关系，而难点在于二次函数的图象和性质的综合考查，需要学生能够根据二次函数的图象与性质正确分析并解决问题。
希望同学们能够认真学习并掌握，为后面二次函数的应用打好基础。
知识梳理讲解用时：25分钟二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表；①描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点；①连线：用平滑的曲线按顺序连接各点；①在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可，连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来，画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧。
x…-223--112-0121232…2y x= (4)491140141494…（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|ab2|个单位，再向上或向下平移|abac442-|个单位得到的。
12341234xyxyOO1212----图1图2向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位课堂精讲精练【例题1】抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位，所得的抛物线的解析式是___________________。
【答案】218232y x x =++【解析】本题考查了二次函数平移规则，根据二次函数的平移法则，“上加下减，左加右减”，可知平移后的函数解析式为()21892y x =+-，整理即为218232y x x =++讲解用时：2分钟解题思路：牢记平移法则即可。