重要度分析

（2）重要度分析在系统中一个部分或最小割集对顶事件发生的贡献大小成为重要度。

重要度对改进系统设计是十分有用的信息。

在工程中重要度分析还可以用于确定系统运行中需检测的部位及制定系统故障诊断时的核对清单。

重要度有不同的含义，下面主要介绍较常用的四种重要度，即概率重要度、结构重要度、关键重要度和相关割集重要度。

这些重要度从不同的角度反映了部件对顶事件发生的影响大小。

①临界状态与关键部件系统中的部件可以有多种故障模式，每一种故障模式对应于故障树中一个基本事件。

这里所指的重要度均系基本事件重要度的定义和计算方法，部件重要度应等于它所包含的基本重要度的和。

当部件只有一种故障模式时，部件重要度即等于基本事件重要度。

为简单起见,假设部件只含有一种故障模式。

在介绍重要度的概念和计算方法之间，首先介绍两个常用到的概念，这就是“系统的临界状态”和“关键部件”。

对部件两态系统，系统的可能状态数为2n个，这2n个状态（微观状态）分别对应于系统正常和系统故障（两个宏观状态）状态。

但并非2n个微观状态都能直接引发宏观状态的变化，只有在处于其中某些特殊状态时才能直接引发宏观状态变化，这些特殊状态即称为系统的临界状态。

任何非临界状态的微观状态都必须首先变成临界状态后才能引发宏观状态变化，系统宏观状态的变化简称为系统状态变化。

例如一个两部件并联系统，有4个微观状态，其中(0,1)，(1,0)，(0,0)属于系统正常状态，(1,1)属于系统故障状态。

(0,0)状态不可能直接变为(1,1)状态，因此它不属于临界状态。

那些当且仅当该部件状态变化及可导致系统状态变化的部件成为该临界状态的关键部件。

关联系统中的任一部件都是关键部件，即任一部件都能在2n个微观状态中找到与之对应的临界状态。

显然，任一部件是否成为关键部件，取决n-个部件的状态，因此，凡谈到i部件的临界状态时，是指除i部件外，于其他1n-个部件状态的某种组合。

仍以两部件并联系统为例，该系统的临界状态其他1有(0,1)，(1,0)，(1,1)三个。

一个临界状态可以对应若干个关键部件，反之一个关键部件也可以对应若干个临界状态。

②概率重要度Pr()I ti设系统故障的结构函数为12()(,,...,)n x x x x ϕϕ=(1)系统故障的概率密度函数为12(())((,,...,))n g Q x g Q x x x =(2)定义概率重要度为Pr (())(1,())(0,())()i i i i g Q t I g Q t g Q t Q t ∂==-∂(3)概率重要度的定义可以解释为：i 部件的重要度是i 部件取1时顶事件概率和i 部件状态取0时顶事件概率值的差。

例：设有2/3系统的故障树，其结构函数为''12132312123123x x x x x x x x x x x x x x ϕ=++=++(4)顶事件概率表达式为12123123(1)(1)g Q Q Q Q Q Q Q Q =+-+-(5)所以12231231122323(1,)(1)(0,)(1,)(0,)(1)g Q Q Q Q g Q Q Q g Q g Q Q Q Q Q Q =+-=-=+--(6)223231(1)gQ Q Q Q Q Q ∂=+--∂ (7)比较式(6)和(7)，有111(1,)(0,)gg Q g Q Q ∂=-∂ (8)将式(7)展开得232312gQ Q Q Q Q ∂=+-∂ (9)1(1,)g Q 的物理意义为：当部件1故障时11(1,(1)0)Q Q =-=系统故障的概率。

11(1,)(0,)g Q g Q -就是当且仅当部件1故障时系统故障概率。

当且仅当部件1故障时系统的状态为23(0,1)x x ==或23(1,0)x x ==，相应的概率应为2323(1)(1)Q Q Q Q -+-，而23232323(1)(1)2Q Q Q Q Q Q Q Q -+-=+-(10)这和式(9)的结果相同，这就说明部件1的概率重要度的物理意义为：当且仅当部件1故障系统即故障的概率。

由上例的分析，不难得到一般性的结论。

部件i 概率重要度Pr i I 的物理含义为：系统处于当且仅当部件i 故障系统即故障的状态的概率。

联系到前面关于关键部件和临界状态的定义，又可说，部件i 的概率重要度就是系统处于部件i 为关键部件状态的概率，或者说，部件i 的概率重要度就是系统处于部件i 的临界状态的概率。

例：试计算2部件串联、2部件并联和3中取2表决系统的概率重要度，设时间和故障率分别为：20t =小时，10.001/λ=小时，2=0.002/λ小时，3=0.003/λ小时。

解：由题设，三个部件的不可靠度分别为1230.00120212223=11 1.98013101 3.92106101 5.8235510t t t Q e e Q e Q e λλλ--⨯------=-=⨯=-=⨯=-=⨯对2部件串联系统1212Pr 1121Pr 121219.607891019.8019910g Q Q Q Q gI Q Q gI Q Q --=+-∂==-=⨯∂∂==-=⨯∂ 对于2部件并联系统12Pr 2121Pr 22121 3.92106101 1.9801310g Q Q gI Q Q gI Q Q --=∂==-=⨯∂∂==-=⨯∂ 对于3中取2表决系统122313123Pr 2123231Pr 2213132229.287921027.5730510g Q Q Q Q Q Q Q Q Q gI Q Q Q Q Q gI Q Q Q Q Q --=++-∂==+-=⨯∂∂==+-=⨯∂ Pr 23211332 5.7459110gI Q Q Q Q Q -∂==+-=⨯∂ 对于2部件串联系统，只要任何一个部件故障系统即故障，因此，当且仅当部件1故障系统即故障的状态为部件2完好，反之，当且仅当部件2故障系统即故障的状态为部件1完好，故Pr 1221I Q A =-= Pr 2111I Q A =-=其中，1A ，2A 为部件1和部件2的可靠度。

对于2部件并联系统，当且仅当一个部件故障系统即故障的状态为另一个部件也故障，故Pr 12I Q =Pr 21I Q =③结构的重要度()t S i I t对于单调关联系统，第i 个部件的状态从0变到1，相应系统状态可能有下述三种变化：()()()()()0,01,11,0,1i i i i a X X X X ϕϕϕϕ=→=-= (11)()()()()()0,01,01,0,0i i i i b X X X X ϕϕϕϕ=→=-= (12)()()()()()0,11,11,0,0i i i i c X X X X ϕϕϕϕ=→=-= (13)对于i 部件某一给定状态，其余1n -个部件的可能状态组合有12n -种，定义()()()121,0,n i iin X X ϕϕϕ-=-⎡⎤⎣⎦∑(14)显然，这种求和仅对情况(a)的发生次数进行了累加，其他两种情况的贡献均为0。

情况(a)的发生次数就是i 部件的临界状态数，显然部件的临界状态愈多，该部件导致系统故障的可能性就愈大，故i n ϕ可作为第i 个部件对系统故障()t S i I t 影响大小的量度。

为使每个部件的结构重要度不大于1，定义i 部件的结构重要度为：()()()11/2t S n i i I t n t ϕ-≡(15)由上式计算是很繁的，只在系统部件数很少时可行。

实际上可用概率重要度来计算结构重要度。

可以证明，若所有部件故障和正常的概率均为1/2，则有()()t r S P i i I t I t =(16)例：对于2部件并联系统，用上述方法计算结构重要度，对于式(4.27)进行验证。

解：两部件并联系统的可能状态数为4，当其中一个部件状态固定后，系统可能取的状态只有两个，即另一部件的两种状态，对于并联系统，用第一种方法得结构重要度为()()()()()()()()11211,0,211=100022t n S i i i n I t X t X t ϕϕ--⎡⎤=-⎣⎦-+-=⎡⎤⎣⎦∑用第二种方法计算结构重要度时，先假设两个部件的故障概率分别等于1/2,则有()()Pr 11212St I t I t Q ===()()Pr22112St I t I t Q ===例：计算图4.12所示各部件的结构重要度。

这个系统共有四个最小割集，它们是：{x 4}，{x 1,x 2}，{x 1,x 3}，{x 2,x 3}。

所以()441241234123x x x x x x x x x x x x '''''Φ=+++X ()()()()()44124123412311111g Q Q QQ Q Q Q Q Q Q Q Q =+-+--+--()()()()14242342311111141114St gI Q Q Q Q Q Q Q Q Q ∂==-+----∂=+-=由于部件2,3和部件1在结构中地位相同，它们的结构重要度应相等，故23114St St St I I I ===()()412123123411111418112St gI Q Q Q Q Q Q Q Q Q ∂==-----∂=---=④关键重要度I i Cr (t )概率重要度在数学上的意义是部件概率改变1个单位所引起系统概率的变化。

但是由于部件原有的概率大小不同，它们同样变化1个单位的难易也不同，这种性质在概率重要度中反映不出来，关键重要度是一个变化率的比，即部件故障概率的变化率所引起的系统故障的变化率，这就把改善一个已经比较可靠的部件比改善一个尚不太可靠的部件难这一性质考虑进去了，从上述意义上讲称为相对概率重要度更恰当，但习惯仍沿用关键重要度名称。

定义关键重要度为()()()()()()()()()()()()()0lim i Cr i i Q t ii i g Q t Q t I t Q t g Q t g Q t Q t g t Q t ∆→⎡⎤∆⎡⎤∆≡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤∂⎡⎤=⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (17) 因为()()()()Prii g Q t It Q t ∂=∂ (18)所以()()()PrCri iiQ t I t I g t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (19) 例：试计算2部件串联、2部件并联和3中取2表决系统的关键重要度，设时间和故障率分别为：t =20小时，1λ=0.001/小时，2λ=0.002/小时，3λ=0.003/小时。

（概率重要度已在前面的例子中求出）对于2部件串联系统21212 5.97883210g Q Q Q Q -=+-=⨯11121211.98013109.60789105.978832103.182038110Cr PrQ I I g ----⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯=⨯⨯⨯=⨯ 22221213.92106109.80199105.978832106.428377810CrPrQ I I g ----⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯=⨯⨯⨯=⨯ 对于2部件并联系统12g Q Q =Pr Pr 1111222111Cr Q I I I Q g Q Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221111CrPr Q I I Q g Q ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于3中取2系统()()31212312311 4.12257810g QQ Q Q Q Q Q Q -=+-+-=⨯ Pr11122311.98013109.28792104.122578104.4611138310Cr Q I I g ----⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯=⨯⨯⨯=⨯ Pr22222313.92106107.57305104.122578107.2028678610CrQ I I g ----⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯=⨯⨯⨯=⨯3332231()5.823355107.74591104.122578108.1166676410Cr PrQ I I g----=⨯=⨯⨯⨯=⨯ 关键重要度的表达式(19)可写为：1()()Cr Pri i i I t Q I g= 式中，3CrI 是系统处于i 部件为关键部件的临界状态的概率。