函数与导数学案极值与零点
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
高中数学教案函数的极值和导数
高中数学教案——函数的极值和导数一、教学目标：1. 理解导数的概念，掌握基本初等函数的导数公式。
2. 学会利用导数判断函数的单调性，理解函数的极值概念。
3. 能够运用导数解决实际问题，提高解决函数问题的能力。
二、教学内容：1. 导数的定义及几何意义2. 基本初等函数的导数公式3. 导数的计算法则4. 利用导数判断函数的单调性5. 函数的极值及其判定三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义、基本初等函数的导数公式、导数的计算法则、利用导数判断函数的单调性、函数的极值及其判定。
2. 难点：导数的应用，如何利用导数解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生主动探究导数的定义及应用。
2. 利用多媒体课件，直观展示函数的导数与单调性、极值之间的关系。
3. 结合实际例子，让学生感受导数在解决实际问题中的重要性。
4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程：1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何判断函数的单调性、2. 讲解导数的定义：通过几何直观，解释导数的含义，引导学生理解导数表示函数在某点的瞬时变化率。
3. 学习基本初等函数的导数公式：讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式。
4. 导数的计算法则：讲解导数的四则运算法则，举例说明。
5. 利用导数判断函数的单调性：引导学生利用导数符号判断函数的单调性，讲解“增函数”和“减函数”的概念。
6. 函数的极值及其判定：讲解极值的概念，举例说明如何利用导数判断函数的极值。
7. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
8. 总结：回顾本节课所学内容，强调导数在研究函数单调性、极值方面的应用。
9. 拓展：引导学生思考导数在其他领域的应用，如物理、经济学等。
10. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学评价：1. 课后作业：通过布置相关的习题，检验学生对导数概念、基本初等函数的导数公式、导数计算法则、单调性和极值的理解和应用能力。
高二数学下册学案：函数的极值与导数
编 课 号 题 授课时间 班 级 姓 名
【导学过程】 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，判别 f(x0)是极大（小）值的 方法是： ⑴如果在 x0 附近的左侧 f '(x)＞0，右侧 f '(x)＜0，那么，f(x0)是________ ⑵如果在 x0 附近的左侧 f '(x)＜0，右侧 f '(x)＞0，那么，f (x0)是________ 注意：导数为 0 的点不一定是极值点． 探究一：极值点两侧导数正负符号有何规律? 1 例 1．求 f x x3 4 x 4 的极值 3 填4） f ( x) 3x x3
2．已知 f ( x) ax bx cx(a 0) 在 x＝±1 时取得极值，且 f(1)＝－1，
3 2
(1)试求常数 a、b、c 的值； (2)试判断 x＝±1 时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
x
f '( x)
(–∞, –2)
–2
(–2, 2)
2
( 2, +∞)
f (x)
探究二：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？ 例 2．求 y=(x2－1)3+1 的极值
1
【达标检测】 1．求下列函数的极值: （1） f ( x) 6x2 x 2 （2） f ( x) x3 27 x
【课后反思】
2
3
[拓展提升] 1． 函数 f ( x) a ln x bx 3x 的极值点为 x1 1 ，x2 2 ， 则a
2
，b
．
3 2 ★2．已知函数 f ( x) x 3ax 2bx 在 x 1 处有极小值 1 ，试求 a , b 的值，并求出 f ( x) 的
单调区间．
函数的极值与导数教案
函数的极值与导数教案教案标题：函数的极值与导数教案目标：1. 了解函数的极值概念及其与导数的关系。
2. 掌握求函数极值的方法和应用。
3. 培养学生的分析和解决问题的能力。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾函数的概念和图像表示。
2. 提问：你们对函数的极值有什么了解？导入（10分钟）：1. 通过一个简单的例子引出函数的极值概念。
2. 解释函数的极大值和极小值的定义。
3. 引导学生思考函数极值与导数的关系。
讲解（15分钟）：1. 解释导数的定义和作用。
2. 介绍函数极值与导数的关系，即函数在极值点处的导数为0。
3. 解释为什么导数为0的点可能是极值点。
示范（15分钟）：1. 通过一个具体的例子演示如何求函数的极值。
2. 使用导数的方法计算极值点，并验证结果的正确性。
3. 强调求解极值时要注意区间的选择和边界条件。
练习（15分钟）：1. 分发练习题，要求学生独立完成。
2. 鼓励学生尝试不同类型的函数和问题。
3. 提供适当的提示和指导。
总结（5分钟）：1. 回顾本课所学的内容，强调函数极值与导数的关系。
2. 概括求解函数极值的方法和步骤。
3. 鼓励学生在实际问题中运用所学知识。
拓展（5分钟）：1. 提供一些拓展问题，让学生思考更复杂的情况。
2. 引导学生探索其他与函数极值相关的概念和应用。
教学辅助工具：1. 教材或课件，用于讲解和示范。
2. 白板或黑板，用于演示计算过程和解题思路。
3. 练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
教学评估：1. 在练习环节中观察学生的解题过程和答案。
2. 提供及时的反馈和指导，纠正学生的错误或不完整的理解。
3. 鼓励学生在课后继续思考和实践相关问题。
教案扩展：1. 可以引入更复杂的函数类型，如三角函数、指数函数等。
2. 可以探讨函数的凹凸性和拐点等相关概念。
3. 可以引导学生在实际问题中应用函数的极值概念，如最优化问题等。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。
通过图形和实例直观展示极值的存在。
1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。
分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。
1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。
证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。
第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。
2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。
通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。
2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。
分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。
第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。
讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。
3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。
3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。
举例说明如何利用极值点解决实际问题。
第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。
讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。
4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。
4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。
举例说明如何利用拐点解决实际问题。
第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。
函数的极值与导数(教案
函数的极值与导数一、教学目标：1. 理解极值的概念，掌握求函数极值的方法。
2. 掌握导数的定义，了解导数与函数极值的关系。
3. 能够运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
二、教学内容：1. 极值的概念：局部最小值、局部最大值、全局最小值、全局最大值。
2. 求函数极值的方法：（1）利用导数求极值；（2）利用二阶导数判断极值类型；（3）利用图像观察极值。
3. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
4. 导数与函数极值的关系：（1）函数在极值点处的导数为0；（2）函数在极值点附近的导数符号发生变化。
5. 利用导数判断函数的单调性：（1）导数大于0，函数单调递增；（2）导数小于0，函数单调递减。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）极值的概念及求法；（2）导数的定义及求法；（3）导数与函数极值的关系；（4）利用导数判断函数的单调性。
2. 教学难点：（1）二阶导数判断极值类型；（2）利用导数解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，增强直观性；3. 设置典型例题，引导学生思考、探究；4. 注重引导学生发现规律，提高学生解决问题的能力。
五、教学安排：1. 课时：本章共需4课时；2. 教学过程：第一课时：极值的概念及求法；第二课时：导数的定义及求法；第三课时：导数与函数极值的关系；第四课时：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
六、教学评价：1. 课堂讲解：观察学生对极值概念、导数定义及应用的理解程度，以及他们在课堂上的参与度和提问反馈。
2. 作业练习：通过布置相关的习题，评估学生对求极值方法、导数计算和单调性判断的掌握情况。
3. 小组讨论：评估学生在小组内的合作能力和解决问题的创造性思维。
4. 课后反馈：收集学生的疑问和反馈，以便对教学方法和内容进行调整。
七、教学反思：1. 教学方法是否适合学生的学习水平，是否需要调整以提高教学效果。
函数的极值与导数学案(2)
致远中学高二数学理学案（9）导数与极值2【学习目标】1、强化函数极值的概念。
2、掌握求含参函数极值的方法和步骤。
3、理解函数极值点与导函数的零点之间的关系【自主预习】一、知识梳理1、函数极值的定义一般地，设函数f(x)在点x及附近有定义，如果对0x附近的所有的点，都有f(x)＜f(x)，就说f(0x)是，0x叫做．如果对x附近的所有的点，都有f(x)＞f(0x)，就说，x叫做．极大值与极小值统称为．极大值点与极小值点统称为 .2、判别f(x)是极大、极小值的方法：若x满足f′(0x)＝0，且在0x的两侧f(x)的导数异号，则0x是f(x) 0的极值点，f(x)是极值，并且如果f′(x)的符号在0x两侧满足“”，则x是，f(0x)是；如果f′(x)在0x两侧满足“”，则x是，f(0x)是3、求可导函数()f x的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数'()f x 的根；f x；(2)求方程'()0(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么()f x 在这个根处无极值二、基础巩固1、下图是函数)(x f y =的图象，则极大值点是 ，极小值点是 .（第1题） （第2题） 2、上图是导函数)(x f y '=的图象，函数y=f (x )的极大值点是_ _,极小值点是 .3、下面4个命题其中是假命题序号为①0)('0=x f ,则)(0x f 必为极值； ②3)(x x f = 在x=0 处取极大值0； ③函数的极小值一定小于极大值； ④函数的极小值（或极大值）不会多于一个；⑤函数的极值即为最值.4、232y x x =--的极值情况是（ ）A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也极小值 5、函数f(x)=xx 1+的极值情况是( ) (A) 当x=1时取极小值2，但无极大值 (B) 当x=－1时取极大值－2，但无极小值 (C) 当x=－1时取极小值－2，当x=1时取极大值2 (D) 当x=－1时取极大值－2，当x=1时取极小值2例1、（1）函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则() A．a＝－3，b＝3 B．a＝4，b＝－11C．a＝－4，b＝11 D．a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3（2）、设函数2=-⋅，a∈R，若x＝e为y＝f(x)的极值点，f(x)(x a)ln x求实数a.课内巩固练习：1.已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________2、f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．例2、（1）、函数3f x ax x=++有极值的充要条件是．()1（2）、设函数()()21=++有两个极值点12f x x aIn x<求实x xx x、，且则12数a的取值范围？课内巩固练习：1函数f (x )＝x 3－6b 2x ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围例3、设a 为实数,函数.a x x x )x (f 23+--= (1) 求)x (f 的极值. (2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线x )x (f y 与=轴仅有一个交点.例4、已知函数f (x )＝ln(x ＋a )－x 2－x ，在x ＝0处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＝－52x ＋b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．致远中学高二数学理学案（9）导数与极值2课后巩固练习 班级： 姓名：1、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f 在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2、已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为03、下列函数中，x ＝0是极值点的是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝cos 2x C ．y ＝tan x －x D ．y ＝1x4、已知函数f (x )＝x 3－3x 的图象与直线y ＝a 有相异三个公共点，则a 的取值范围是________．5、设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．6、f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式；(2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．7、已知322()3(1)f x x ax bx a a =+++> 在x =-1 时有极值0。
学案1：3.2 导数与函数的单调性、极值、最值
3.2 导数与函数的单调性、极值、最值【导学目标】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【重点知识梳理】1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【高频考点突破】考点一利用导数研究函数的单调性例1 已知函数f (x )＝e x －ax －1.(1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【拓展提高】(1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．【变式探究】(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为_____________________．(2)已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的取值范围是________．考点二 利用导数求函数的极值例2 (2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x .【拓展提升】(1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．【变式探究】 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点； (2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．考点三 利用导数求函数的最值例3 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数． 设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．【拓展提升】(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．【变式探究】 已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．【真题感悟】1.（2015高考江苏）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.（1）试讨论)(x f 的单调性；（2）若a c b -=（实数c 是a 与无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值.2.（2014·广东卷） 曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．3.（2014·江西卷） 若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．4.（2014·江西卷） 已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R)．(1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，13上单调递增，求b 的取值范围．5.（2014·全国卷） 曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．16.（2014·新课标全国卷Ⅱ）设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．37.（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]8.（2013·广东卷） 若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________．9.（2013·江西卷） 设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________．10.（2013·北京卷） 设L 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．11.（2013·全国卷） 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[－1，＋∞)C ．[0，3]D ．[3，＋∞)【提升训练】1．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )．A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝02．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )． A ．[)2,-+∞B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，2)3．函数f (x )＝(4－x )e x 的单调递减区间是( )．A ．(－∞，4)B ．(－∞，3)C ．(4，＋∞)D ．(3，＋∞)4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－35．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )．A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)6．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．下列关于函数f (x )的命题：①函数y ＝f (x )是周期函数；②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中真命题的个数有 ( )．A ．4B ．3C ．2D ．17．函数y ＝x －2sin x 在[0，π]上的递增区间是________．8．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．9．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数y ＝－13x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单调减函数，则b 的取值范围是________．11．设函数f (x )＝ax 3－3x 2，(a ∈R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点，求函数g (x )＝e x ·f (x )的单调区间．12．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋2'()2m x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．答案例1【变式探究】【答案】(1)(2,2a)(2)(0,3]例2【变式探究】例3【解析】 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0， 所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减， 因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间[ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (0)＝1－b ；当12<a <e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (1)＝e －2a －b .【变式探究】(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.【真题感悟】1.（2015高考江苏分）【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在，上单调递增，在上单调递减； 当时， 在，上单调递增，在上单调递减． （2）0a =()f x (),-∞+∞0a >()f x 2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()0,+∞2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0a <()f x (),0-∞2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1.c =2.（2014·广东卷）【答案】y ＝－5x ＋3 【解析】 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x ＋3.3.（2014·江西卷）【答案】(－ln 2，2) 【解析】 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x .又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e－x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)．4.（2014·江西卷）【解析】(1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x （x ＋2）1－2x，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0. 所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2处取得极小值f (－2)＝0，在x ＝0处取得极大值f (0)＝4.(2)f ′(x )＝－x [5x ＋（3b －2）]1－2x ，易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，－x 1－2x <0， 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0，得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，19. 5.（2014·全国卷）【答案】C 【解析】 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x－1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x－1在点(1，1)处的切线斜率是2. 6.（2014·新课标全国卷Ⅱ）【答案】D【解析】 y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3. 7.（2013·新课标全国卷Ⅰ）【答案】D 【解析】若x ≤0，|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x ，x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变为a ≥x －2，而x －2<－2，可得a ≥－2；若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥ax ，可得a ≤ln （x ＋1）x 恒成立，令h (x )＝ln （x ＋1）x ，则h ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2，再令g (x )＝x x ＋1－ln(x ＋1)，则 g ′(x )＝－x （x ＋1）2<0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (0)＝0，可得h ′(x )＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0， 所以h (x )>0，a ≤0.综上可知，－2≤a ≤0，故选D.8.（2013·广东卷）【答案】－1【解析】 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，故k ＝－1. 9.（2013·江西卷）【答案】2【解析】 f (e x )＝x ＋e x ，利用换元法可得f (x )＝ln x ＋x ，f ′(x )＝1x＋1，所以f ′(1)＝2. 10.（2013·北京卷）【解析】(1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2. 所以f ′(1)＝1.所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以g (x )>g (1)＝0(x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．11.（2013·全国卷）【答案】D【解析】 f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12 ，＋∞上恒成立，由于y ＝1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以y <3，故只要a ≥3. 【提升训练】1．【解析】设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0， 由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】D2．【解析】由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[)2,-+∞．【答案】A3．【解析】f ′(x )＝-e x ＋(4－x )·e x ＝e x (3－x )，令f ′(x )<0，由于e x >0，∴3－x <0，解得x >3.【答案】D4．【解析】f ′(x )＝3ax 2＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝3a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D. 【答案】D5．【解析】不等式(x －1)f ′(x )≥0等价于1010'()0'()0x x f x f x -≥-≤⎧⎧⎨⎨≥≤⎩⎩或可知f (x )在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f (x )为常数函数，因此f (0)＋f (2)≥2f (1)．【答案】C6．【答案】D7．【解析】y ′＝1－2cos x ，令1－2cos x ≥0，得cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋53π，k ∈R ，又0≤x ≤π，∴π3≤x ≤π. 【答案】⎣⎡⎦⎤π3，π8．【解析】f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，显然当x ＝2时f (x )取极小值．【答案】29．【答案】(－∞，0)10．【解析】y ′＝－x 2＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立，∴Δ＝4b 2－4(2b ＋3)＝4(b 2－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是b <－1或b >3.【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)11．【解析】f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)．因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1，经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数f (x )的极值点，所以g (x )＝e x (x 3－3x 2)，g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x )＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x .因为e x >0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)．12.【解析】 (1)根据题意知，f ′(x )＝()1a x x- (x ＞0)， 当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)∵f ′(2)＝－a 2＝1，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，∴－373＜m ＜－9.。
函数的极值与导数(教案
函数的极值与导数第一章：函数极值概念的引入1.1 教学目标让学生了解极值的概念，理解极大值和极小值的区别。
学会通过图像来观察函数的极值。
掌握利用导数求函数极值的方法。
1.2 教学内容函数极值的定义利用图像观察函数极值利用导数求函数极值1.3 教学步骤1. 引入极值的概念，让学生通过具体的例子来理解极大值和极小值。
2. 通过图像来观察函数的极值，引导学生学会从图像中找出极大值和极小值。
3. 讲解利用导数求函数极值的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
1.4 作业布置f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1g(x) = x^2 4x + 4第二章：函数的单调性2.1 教学目标让学生理解函数单调性的概念，学会判断函数的单调性。
掌握利用导数来判断函数的单调性。
2.2 教学内容函数单调性的定义利用导数判断函数单调性2.3 教学步骤1. 引入函数单调性的概念，让学生通过具体的例子来理解函数单调性。
2. 讲解利用导数来判断函数单调性的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
2.4 作业布置h(x) = x^3 3xk(x) = x^2 4x + 3第三章：函数的极值定理3.1 教学目标让学生了解函数的极值定理，学会应用极值定理来解决问题。
3.2 教学内容函数的极值定理3.3 教学步骤1. 讲解函数的极值定理，让学生理解极值定理的意义。
2. 通过例题让学生学会应用极值定理来解决问题。
3.4 作业布置求函数f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1 的极大值和极小值。
第四章：函数的拐点4.1 教学目标让学生了解拐点的概念，学会通过导数来找函数的拐点。
4.2 教学内容拐点的定义利用导数找拐点4.3 教学步骤1. 引入拐点的概念，让学生通过具体的例子来理解拐点。
2. 讲解利用导数来找拐点的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
4.4 作业布置m(x) = x^3 3xn(x) = x^2 4x + 4第五章：函数的单调性与极值的应用5.1 教学目标让学生学会运用函数的单调性和极值来解决实际问题。
函数极值与导数教案
函数极值与导数教案教案标题：函数极值与导数教案教案目标：1. 理解函数的极值概念及其与导数的关系。
2. 掌握求函数极值的方法，包括利用导数求极值的定理和导数的应用。
3. 能够应用所学知识解决与函数极值相关的问题。
教学步骤：引入（5分钟）1. 引入函数极值的概念：函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
2. 引导学生思考：如何通过观察函数图像或数学方法确定函数的极值？讲解与示例（15分钟）1. 讲解函数极值与导数的关系：函数在极值点处的导数为0或不存在。
2. 介绍利用导数求极值的定理：若函数在某一区间内可导，且导数在该区间内由正变负，则函数在该区间内取得极大值；若导数在该区间内由负变正，则函数在该区间内取得极小值。
3. 通过示例演示如何利用导数求函数极值。
练习与讨论（20分钟）1. 给学生提供一些函数，让他们通过计算导数来确定函数的极值点。
2. 引导学生思考：如何判断一个极值点是极大值还是极小值？3. 让学生在小组内进行讨论，分享自己的解决方法，并与其他小组进行交流。
拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考：函数极值与实际问题有何关系？2. 提供一些实际问题，让学生通过建立数学模型和求导的方法解决与函数极值相关的问题，如最大面积、最小成本等。
总结与归纳（5分钟）1. 总结函数极值与导数的关系及求解方法。
2. 强调函数极值与实际问题的应用价值。
作业布置：1. 布置练习题，要求学生通过求导法求解函数极值。
2. 提出一个与函数极值相关的实际问题，要求学生用所学知识解决，并写出解题思路和步骤。
教学反思：1. 对于理解函数的极值概念，学生可能存在一定的困难，需要通过图像、实例等方式进行深入解释。
2. 在示例演示和练习环节，要注意引导学生合理选择函数，避免过于复杂或特殊的函数造成学生困惑。
3. 在拓展与应用环节，要鼓励学生积极思考，提出自己的解决思路，并引导他们将数学知识与实际问题相结合。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与定义1.1 极值的概念引入极值的概念，让学生了解函数在某一点取得局部最值的含义。
通过图像和实际例子来说明极值的存在和重要性。
1.2 极值的定义介绍极值的定义，包括局部极值和全局极值。
解释极值的必要条件和充分条件。
第二章：导数与极值的关系2.1 导数的定义与性质复习导数的定义和基本性质，包括导数的符号变化与函数单调性的关系。
2.2 导数与极值的关系引入导数与极值的关系，讲解导数为零的点可能是极值点的原理。
通过实例来说明导数在判断极值中的作用。
第三章：一元函数的极值判定3.1 判定极值的存在性介绍判定极值存在性的方法，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理。
3.2 判定极值的具体方法讲解利用导数符号变化判断极值的方法，包括导数单调性和零点存在性定理。
第四章：多元函数的极值4.1 多元函数极值的概念引入多元函数极值的概念，让学生了解多元函数在不同维度上的极值问题。
4.2 多元函数极值的判定讲解多元函数极值的判定方法，包括拉格朗日乘数法和海森矩阵。
第五章：实际应用中的极值问题5.1 应用背景介绍通过实际例子介绍极值在各个领域中的应用，如优化问题、物理学、经济学等。
5.2 实际应用案例分析分析具体案例，让学生了解如何运用极值理论和方法解决问题。
第六章：利用极值解决实际问题6.1 优化问题概述介绍优化问题的概念，解释最小值和最大值在优化问题中的作用。
举例说明优化问题在工程、经济等领域的应用。
6.2 利用极值解决优化问题讲解如何利用函数的极值解决优化问题，包括确定最优解的方法和步骤。
通过实际案例分析，让学生掌握优化问题的解决技巧。
第七章：函数极值的存在性定理7.1 拉格朗日中值定理复习拉格朗日中值定理的内容，解释其在函数极值存在性判断中的应用。
利用拉格朗日中值定理证明函数极值的存在性。
7.2 罗尔定理与极值存在性讲解罗尔定理的内容及其在函数极值存在性判断中的应用。
结合罗尔定理和拉格朗日中值定理，证明函数极值的存在性。