上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题含答案
静安区2019学年度第二学期高中教学质量检测
高二数学试卷
一、填空题
1．若一个实系数一元二次方程的一个根是112zi，则此方程的两根之积为______.
2．1的平方根为______.
3．如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，3AB，14AA，则
11AC与1
BC
所成角的余弦值为______.
4．
6
2
2
x
x
的二项展开式中
3
x
项的系数为______.
5．设A、B是半径为1的球面上一个大圆上的两点，且1AB，则A、B两点的球面距离为______.
6．在3名男生和4名女生中选出3人，男女生都有的选法有______种.
7．由一条直线和直线外的5个点可确定平面的个数最多为______.
8．请列举出用0，1，2，3，4这5个数字所组成的无重复数字且比3000大的，且相邻的数字的奇偶性不
同的所有四位数奇数，它们分别是______.
二、选择题
9．复数abi（a、bR）和cdi（c、dR）的积是实数的充要条件是（）
A．0adbcB．
0acbd
C．acbdD．
adbc
10．①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；
⑤平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行.
以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
三、解答题
11．（1）设m、
*
nN
，mn，求证：
1
1
1
1
mm
nn
n
CC
m
；
（2）请利用二项式定理证明：
2*
3213,
n
nnnN
.
12．如图，菱形ABCD的边长为2，60A，将ABD△沿BD翻折，使点A移至点P.
（1）求证：BDPC；
（2）若二面角PBDC的平面角为60，求PC与平面BCD所成角的大小.
13．如图，我们知道，圆锥是RtAOP△（及其内部）绕OP所在的直线旋转一周形成的几何体.我们现将
直角梯形
11AOOA（及其内部）绕1
OO
所在的直线旋转一周形成的几何体称为圆台.
设
1O的半径为r，O的半径为R，1
OOh
.
（1）求证：圆台的体积3313RrVhRr；
（2）若2R，1r，3h，求圆台的表面积S.
14．现新定义两个复数
111zabi（1a、1bR）和222zabi（2a、2
bR
）之间的一个新运算，
其运算法则为：
121212
zzaabbi
.
（1）请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：
1231213
zzzzzzz
；
（2）设运算○÷为运算的逆运算，请推导运算○÷的运算法则.
高二数学试卷答案
一、填空题
1．52．i3．32104．－160
5．36．307．158．4103，4301，4123，4321
二、选择题
9．A10．B
三、解答题
11．证：（1）
1
1
1!
1!1
1!!1!!1
mm
nn
n
nnn
CC
mnmmmnmm
；
（2）当3n，
*
nN
时，
122
312122...2
n
nn
nn
CC
1222
12221
nn
CCn
12．（1）证：设BD的中点为E，联结,PECE.
∵ABCD是菱形，∴BDPE，BDCE.
又PC在平面PEC上，∴BDPC.
（2）在AEC△中，作POEC，O是垂足，
又由（1）有POBD，
∴PO平面BCD，
∴点O是点P在平面BCD上的射影，
∴PCO既为PC与平面BCD所成角.
∵BDPE，BDCE，
∴60PEC，
∵PECE，
∴AEC△是等边三角形.
13．解：（1）证：∵11~PAOPAO△△，
∴11POrPOhR，解得1rhPORr，
∴
22
1
11
33
VRPOrPO
22
11
33
rhrh
Rhr
RrRr
4
23
1
3
Rr
h
Rr
（2）在PAO△中，过点
1A作1
ABAO
，B是垂足，
则在
1
RtABA△
中，1ABRr，
1
3AB
，
∴
160AAB，∴4PA，1
2PA
，
所以，该圆台的表面积
22
1
11
22
22
SRPArPARr
22
1
11
2211
22
RPArPARr
14．解：（1）证：设
333zabi（3a、3
bR
）.
左
123112323
zzzabiaabbi
123123
aaabbbi
12131213
aaaabbbbi
右
121312121313
zzzzaabbiaabbi
12131213
aaaabbbbi
左=右，证毕.
（2）因为运算○÷为运算的逆运算，所以
1z○÷2z的运算结果是关于变量z的方程21
zzz
的解.
设zxyi（x、yR），
则
2211
xyiabiabi
，
即
2211
xaybiabi
.
当10a，10b时，解得，21axa，21byb.
∴1122abziab，
故，当10a，10b时，1z○÷11222abziab.
【精准解析】广西钦州市2019-2020学年高二下学期期末考试教学质量监测数学(文)试题
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】D 【解析】
【分析】
根据两个变量 y 与 x 的回归模型中，它们的相关指数越接近于 1，这个模型的拟合效果越好判 断. 【详解】因为两个变量 y 与 x 的回归模型中，它们的相关指数越接近于 1，这个模型的拟合效 果越好，
而丁的相关指数 0.93 最大， 所以回归效果最好的模型是丁，
（
）
A. i
B. i
【答案】B
【解析】
C. 1 i
D. 1 i
【分析】
直接由复数的除法运算可得解.
【详解】复数 1 i (1 i)2 2i i ， 1 i (1 i)(1 i) 2
故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.
2. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标
即d k 2 1， 1 k2
解得 k 3 4
故选：A
【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的转化以及直线与圆的位置关系，属于基础
题.
9. 执行如图的程序框图，则输出 S 的值是（ ）
-5-
A. 11 【答案】B 【解析】
B. 57
C. 120
D. 26
【分析】
由 S=1,k=1，根据循环结构的循环功能，一一循环验证，直至 k 4 ，终止循环，输出结果.
（
为参数），转化为直角坐标方程，再利用直线与圆相
切求解.
x 1 cos
【详解】因为曲线
C
：
y
sin
（ 为参数）
所以直角坐标方程为 x 12 y2 1 ，
因为直线 l
：
2021-2022学年上海市松江区高二年级下册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市松江区高二下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明等式“”，当时，等式左边应在()()()12321121n n n +++⋅⋅⋅++=++1n k =+的基础上加上（ ）n k =A ．B ．21k +23k +C ．D ．()()2223k k +++()()()212223k k k +++++【答案】C【分析】由数学归纳法可知时，左端为，到时，左端n k =123(21)k +++⋯++1n k =+，从而可得答案．123(23)k +++⋯++【详解】解：用数学归纳法证明等式时， 123(21)(1)(21)n n n +++⋯++=++当左边所得的项是；1n =123++假设时，命题成立，左端为；n k =123(21)k +++⋯++则当时，左端为，1n k =+123(21)(22)[2(1)1]k k k +++⋯+++++++当时，等式左边应在的基础上加上．∴1n k =+n k =(22)(23)k k +++故选：C.2．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若O ABC -1G ABC G 1OG 13OG GG =，则为（ ）OG xOA yOB zOC =++(),,x y zA ．B ．111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】如图所示,连接AG 1交BC 于点M ，则M 为BC 中点,利用空间向量的运算法则求得，即得.131114444OG OG OA OB OC ==++ (),,x y z 【详解】如图所示,连接AG 1交BC 于点M ,则M 为BC 中点， )=,1(2AM AB AC =+ ()122OB OA OC-+ .()121233AG AM OB OA OC==-+ 因为13OG GG =所以=3(),OG13GG = 1OG OG - ∴ .134OG OG =则，()11333121111444333444OG OG OA AG OA OB OA OC OA OB OC⎛⎫==+=+-+=++ ⎪⎝⎭∴，，，14x =14y =14z =故选：A.3．已知为等比数列，的前n 项和为，前n 项积为，则下列选项中正确的是（ ）{}n a {}n a n S n T A ．若，则数列单调递增20222021S S >{}n a B ．若，则数列单调递增20222021T T >{}n a C ．若数列单调递增，则{}n S 20222021a a ≥D ．若数列单调递增，则{}n T 20222021a a ≥【答案】D【分析】根据等比数列的前n 项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同20220a >20221a >1a q 号，即可判断A 、B ；举例首项和公比的值即可判断C ；根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.1n n T T ->1n a >1q ≥【详解】A ：由，得，即，则、取值同号，20222021S S >20220a >202110a q >1a q若，则不是递增数列，故A 错误；100a q <<，{}n a B ：由，得，即，则、取值同号， 20222021T T >20221a >202111a q >1a q 若，则数列不是递增数列，故B 错误；100a q <<，{}n a C ：若等比数列，公比，则，11a =12q =11()122(1)1212nn nS -==--所以数列为递增数列，但，故C 错误；{}n S 20222021a a <D ：由数列为递增数列，得，所以，{}n T 1n n T T ->1n a >即，所以，故D 正确.1q ≥20222021a a ≥故选：D 4．已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；||||:143x x y y C +=-x C ②若 为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（ ）()()111222,,,P x y P x y C 12120y y x x -<-A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】A【分析】化简曲线方程，画出图像判断①，利用函数单调减判断②【详解】曲线,||||:143x x y y C +=-当当 当画出图像如图，易知①220,0,1;34y x x y ><-=220,0,1;43x y x y <>-=220,0,1;43x y x y <<+=正确；易知函数为减函数，则人任意两点斜率，②正确12120y y k x x -=<-故选：A二、填空题5．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为_________.30x y --=【答案】####45°π41π4【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，则，θtan 1θ=因为，所以.[)0,πθ∈π4θ=故答案为：.π46．已知向量，且，则_________.(,1,1),(1,1,)a x b y ==- 0a b ⋅= x y -=【答案】1【分析】根据空间向量数量积坐标公式列出方程，求出答案.【详解】由题意得：，故.(,1,1)(1,1,)10a b x y x y ⋅=⋅-=-++= 1x y -=故答案为：17．已知过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且，则_______.28y x =6A B x x +=AB =【答案】10【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦长公式为，代入即可.A BAB p x x =++【详解】根据抛物线的定义可得，所以.,22A Bp pAF x BF x =+=+=4+6=10A B AB p x x =++故答案为：10.8．计算：________.14ni i ==∑【答案】222n n+【分析】利用等差数列求和公式计算即可.【详解】.()()21144124222ni n n i n n n=+=+++=⨯=+∑ 故答案为：.222n n +9．若直线与直线的夹角为，则实数的值为_________.30x my ++=210x y ++=π4m 【答案】或3-13【分析】结合倾斜角与斜率、两角和与差的正切公式求得正确答案.【详解】设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为，30x my ++=α210x y ++=β由于的斜率为，即，210x y ++=12-1tan 2β⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭所以，5π,π6β⎛⎫∈⎪⎝⎭由于直线与直线的夹角为，30x my ++=210x y ++=π4所以直线的倾斜角不是，斜率存在，且斜率为.30x my ++=π21m -所以，解得，111πtan 112tan tan 141tan 312m βαββ-++⎛⎫-==+===⎪-⎝⎭+3m =-或，解得.111πtan 12tan tan 3141tan 12m βαββ---⎛⎫-==-===- ⎪+⎝⎭-13m =所以实数的值为或.m 3-13故答案为：或3-1310．已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若(1,1,)a m m =- l (2,,1)n m =- α直线⊥平面，则实数的值为________.l αm 【答案】-1【分析】根据直线⊥平面，得到与平行，列出方程组，求出的值.l α(1,1,)a m m =- (2,,1)n m =-m 【详解】因为直线⊥平面，则与平行，l α(1,1,)a m m =-(2,,1)n m =-故，即，解得：，a n λ=121m m m λλλ-=-⎧⎪=⎨⎪=⎩1m =-故实数的值为-1.m 故答案为：-111．已知数列前项和满足，则________.{}n a n n S ()lg 1n S n -=n a =【答案】111,1910,2n n n -=⎧⎨⨯≥⎩【分析】先利用对数运算得到，进而利用求出答案.101nn S =+11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【详解】因为，所以，()lg 1n S n-=101nn S =+当时，，1n =1110111a S ==+=当时，，2n ≥11101101910n n n n n n a S S --=-=+--=⨯因为，11910911-⨯=≠故，111,1910,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩故答案为：111,1910,2n n n -=⎧⎨⨯≥⎩12．在无穷等比数列中，，公比，记.则________.{}n a 11a =12q =-22222462n n T a a a a =++++ lim n n T →∞=【答案】415【分析】先求得，然后求得.n T lim nn T →∞【详解】，22211,24a a =-=，12121232222221111,,,2244n n n n n n nn a a a a-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以数列是首项为，公比为的等比数列，()222221216n n a n a -=≥{}2n a 14116所以，11141416111516116n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-所以.4lim 15n n T ∞→=故答案为：41513．等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的值为_____.{}n a n n S 220a =945S =n S n 【答案】5或6【分析】先求得，然后利用求得正确答案.n a 0n a ≥【详解】设等差数列的公差为，{}n a d ，解得，112093645a d a d +=⎧⎨+=⎩125,5a d ==-所以，530n a n =-+由，解得，又，5300n a n =-+≥6n ≤60a =所以取得最大值时的值为5或6.n S n 故答案为：5或614．已知圆与圆相交2221:(210)2210160O x y m x my m m +---+-+=2222:62150O x y x y a +-++-=于，两点，且满足，则_________.11(,)A x y 22(,)B x y 22221122x y x y +=+m =【答案】54【分析】求得两个圆的圆心和半径，根据两圆相交弦的性质列方程来求得的值.m 【详解】圆的圆心为，2221:(210)2210160O x y m x my m m +---+-+=()15,O m m -半径.13r ==圆，即，2222:62150O x y x y a +-++-=()()222315x y a -++=-所以圆心为，半径.()23,1O -)2250r a =->由于，所以，是坐标原点.22221122x y x y +=+OA OB =O 即两圆公共弦的垂直平分线过，ABO根据两圆相交弦的性质可知，公共弦的垂直平分线，AB12O O 所以，所以，解得.12//OO OO ()()513m m -⨯-=⨯54m =故答案为：5415．已知、分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆1F 2F 22:14x C y -=P Q 上一动点，则的最小值为________.22:(2)1G x y ++=2||||PQ PF +【答案】6【分析】结合双曲线的定义以及圆的几何性质求得正确答案.【详解】双曲线，，22:14x C y -=2,1,a b c ==())12,F F 圆的圆心为，半径，22:(2)1G x y ++=()0,2G -1r =在双曲线的左支上，，P 212124,4PF PF a PF PF -===+所以，214PQ PF PQ PF +=++根据圆的几何性质可知，的最小值是，1PQ PF +112GF r -=-=所以的最小值是.2PQ PF +246+=故答案为：616．已知二次曲线的方程：.当、为正整数，且时存在两条曲线、k C 22194x y k k +=--m n m n <m C，其交点与点满足，则________.nC P 12(F F 12PF PF ⊥m n +=【答案】8【分析】先得到为椭圆，为双曲线，结合图象的几何性质得到123,,C C C 5678,,,C C C C ，结合椭圆定义，双曲线定义及列出方程，求出.{}{}1,2,3,5,6,7,8m n ∈∈12PF PF ⊥8m n +=【详解】，，为椭圆，221:183x y C +=22272:1x y C +=22316:x C y +=，，，为双曲线，225:14x C y -=22632:1x y C -=22723:1x y C -=228:14y C x -=结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点，故{}{}1,2,3,5,6,7,8m n ∈∈设，则根据椭圆，双曲线定义及可得：1122,PF d PF d ==12PF PF ⊥，解得：，1212221220d d d d d d ⎧+=⎪⎪-=⎨⎪+=⎪⎩8m n +=所以存在这样的、，且或或.m C n C 17m n =⎧⎨=⎩26m n =⎧⎨=⎩35m n =⎧⎨=⎩故答案为：8三、解答题17．已知平面内两点.(8,6),(2,2)A B -(1)求的中垂线方程；AB (2)求与直线平行且与圆相切的直线方程.AB 2216x y +=【答案】(1)；34230x y --=(2)或44200x y ++=44200x y +-=【分析】（1）根据中点和斜率求得的中垂线方程.AB （2）设出平行直线的方程，结合点到直线的距离求得正确答案.【详解】（1），所以的中垂线的斜率为，624823AB k --==--AB 34线段的中点为，AB ()5,2-所以的中垂线的方程为，即.AB ()3254y x +=-34230x y --=（2）设所求直线方程为，4,43303y x b x y b =-++-=圆的圆心为，半径，2216x y +=()0,04r =圆心到直线的距离，4330+-=x y b 34,3205b d b ===±所以所求直线方程为或.44200x y ++=44200x y +-=18．已知正方体的棱长为2，点分别是棱和的中点.1111ABCD A B C D -,E F BC CD (1)求与所成角的大小；1A D EF (2)求与平面所成角的大小.1A E 1B FB【答案】(1)π3(2)【分析】（1）根据线线角的知识求得正确答案.（2）作出与平面所成角，解三角形求得角的大小.1A E 1B FB 【详解】（1）由于点分别是棱和的中点，,E F BC CD 所以，所以与所成角，即与所成角，//EF BD 1A D EF 1A D BD 由于三角形是等边三角形，所以与所成角为，1A BD 1A D BD π3所以与所成角为.1A D EF π3（2）设平面平面，1A AE ⋂1B FB HG =由于，所以，ABE BCF ≅△△π2GEB GBE GEB GAB ∠+∠=∠+∠=所以，由于平面，平面，所以，AE BF ⊥1BB ⊥ABCD AE ⊂ABCD 1BB AE ^由于平面，所以平面，11,,BF BB B BF BB =⊂ 1B FB ⊥AE 1B FB 由于平面，所以，所以，HG ⊂1B FB AE HG ⊥1//HG AA 所以即是与平面所成角，EHG ∠1EA A ∠1A E 1B FB111tan AE EA A EA A AA ∠==∠=19．我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截至2018年年底该地区面积的仍为沙漠，只有70%为绿洲.计划从2019年开始使用无人机飞播造林，实现快速播种，这样每年原来沙漠面积的30%将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化.记该地区的面积为1个单位，经过一年15120绿洲面积为，经过年绿洲面积为.1,a n n a (1)写出，并证明：数列是等比数列；1a 45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过?35【答案】(1)，证明见解析；11740a =(2)2022年【分析】（1）根据题意求出，并列出，构造法求出，从而11740a =13145n n a a -=+1434545n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得到为公比为，首项为的等比数列；45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3414358a -=-（2）在第一问的基础上得到，列出不等式，求出，结合，134245nn a ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭3245n⎛⎫<⎪⎝⎭()34nf n ⎛⎫= ⎪⎝⎭且，，从而，得到答案.()235f >()245f <201842022+=【详解】（1），000011117301170120540a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯=⎪⎝⎭，()11111311120545n n n n a a a a ---⎛⎫=-+-=+⎪⎝⎭设，则，()134n n a a λλ-+=+13144n n a a λλ-+=-从而，解得：，1145λ-=45λ=-故，1434545n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故为公比为，首项为的等比数列；45n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3414358a -=-（2）由（1）得：14331358424n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故，134245nn a ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭令，解得：，13432455n ⎛⎫-⨯+> ⎪⎝⎭3245n⎛⎫<⎪⎝⎭显然单调递减，当时，，，()34nf n ⎛⎫= ⎪⎝⎭1n =()3327234645f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭()43812442565f ⎛⎫==< ⎪⎝⎭故，即截止到2022年年底，才能使该地区绿洲面积超过.201842022+=3520．已知椭圆、分别为椭圆的左、右焦点，为椭2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F C M 圆上一点，的周长为C 12MF F △4+(1)求椭圆的方程；C (2)若，求的面积；1260F MF ∠=︒12MF F △(3)设为圆上任意一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，判断是否P 225x y +=P C ,A B PA PB ⋅ 为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】(1)；2214x y +=；(3)是，0PA PB ⋅= 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.,,a b c C （2）利用余弦定理求得，从而求得的面积.12MF MF ⋅12MF F △（3）根据切线是否与坐标轴平行进行分类讨论，结合判别式求得.0PA PB ⋅=【详解】（1）依题意，解得，222224c a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪=+⎪⎪⎩2,1,a b c ===所以椭圆的方程为.C 2214x y +=（2）根据椭圆的定义可知，①，1224MF MF a +==221212216MF MF MF MF ++⋅=由余弦定理得，2221212122cos 60F F MF MF MF MF =+-⋅⋅︒即②，22121212MF MF MF MF =+-⋅由①②得，所以.1243MF MF⋅=1212114sin 60223MF F S MF MF =⋅⋅⋅︒=⨯=（3）圆的方程为，椭圆的方程为225x y +=C 2214x y +=注意到是圆上的点，()()()()2,1,2,1,2,1,2,1----过上述四个点中的任意一个作椭圆的切线，则两条切线垂直，即.C 0PA PB ⋅=当是圆上除去上述四个点外的任意一点时，()00,P x y 225x y +=切线和切线的斜率存在且不为零，PA PB 设切线方程为，()00y y k x x -=-由消去并化简得，()002214y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩y ()()()2220000148410k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦令，()()()2222000064414410k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⨯+⨯--=⎣⎦整理得，()2220004210xk x y k y --+-=所以，由于，所以，202014PA PBy k k x -⋅=-22005x y +=2020114PA PB y k k x -⋅==--即.0PA PB ⋅=综上所述，是定值，且定值为.PA PB ⋅021．已知等比数列的公比为是的前项和.{}n a ()0,n q q S ≠{}n a n(1)若，求；1311,4a a ==n S (2)若有无最值?说明理由；11,||1,n a q S =<(3)设，若首项和都是正整数，满足不等式，且对于任意正整数有1q t =1a t t |63|62t -<n 成立，问：这样的数列有几个?912n S <<{}n a 【答案】(1)或；1122n n S -=-221332nn S ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭(2)当时，有最小值为1，但无最大值；当时，有最大值为1，最小值为；01q <<n S 10q -<<n S 1q +理由见解析(3)232【分析】（1）先求得公比，然后求得.n S （2）对进行分类讨论，从而求得正确结论.q（3）求得和的关系式，对分类讨论，确定的可能取值，即可求得正确答案.1a q1a q 【详解】（1）依题意，223111,42a q q q =⨯===±当时，.12q =11111221212212nn n n S -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⎝⎭-当时，12q =-11212212113233212nn nn S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭==--=-⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭（2）当时，，是单调递增数列，01q <<10q ->()111n n S q q =--有最小值为，没有最大值.111S a ==当时，，，10q -<<11q -<-()111n n S q q =--①，当为奇数时，单调递减，有最大值为，且，n n S 111S a ==()11111n S q q >⨯-=--②，当为偶数时，单调递增，有最小值，n n S ()221111S q q q =-=+-且.()11111n S q q <⨯-=--所以当时，的最大值为，最小值为.10q -<<n S 11q +（3）依题意，，首项和都是正整数，，1q t =1a t **1N ,N a t ∈∈由于，所以，|63|62t -<626362,1125t t -<-<<<即从开始（），有种可能，t 22124t ≤≤123所以从开始（），有种可能，1q t =12111242q ≤≤123由于，即，912n S <<()119121n a q q-<<-即恒成立，()()()1911121n q a q q -<-<-则时，，所以，1n =()()()11911121q a q q -<-<-1912a <<试题或，110a =111a =当时，，110a =110115112,,1,11101266a q q q q q -=≤≥-≥≤--则取，共种.q 1111,,,,678124 119当时，，111a =1111111112,,1,1111121212a q q q q q-=≤≥-≥≤--则取，共种.q 1111,,,,121314124 113综上所述，数列有个.{}n a 119113232+=。
西安中学高二数学下学期期末考试试题理含解析
当 时, 。
当 时,原不等式等价于 ，解得 ，∴ ；
②当 时，原不等式等价于 ，
＝2（2 1
≥3+4 7．
当且仅当x ，y＝4取得最小值7．
故选C．
【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值,注意乘1法和满足的条件：一正二定三等,考查运算能力,属于中档题．
11。 已知函数 ，则不等式 的解集为( )
A。 B. C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在 ， 上的单调性,结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
所以 ,
令 所以函数g(x）在(0，+∞)上单调递增，
由题得
所以函数g（x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.
因为对 ,不等式 恒成立，
所以 ，
因为a〉0,所以当x≤0时，显然成立。
当x＞0时， ，
所以 ,所以函数h（x)在（0,1）单调递减，在(1，+∞)单调递增。
所以 ，
所以a＜e,
所以正整数 的最大值为2.
14。 设 .若曲线 与直线 所围成封闭图形的面积为 ，则 ______。
【答案】：
【解析】
试题分析:因为,曲线 与直线 所围成封闭图形的面积为 ，所以， = = ，解得, ．评：简单题,利用定积分的几何意义，将面积计算问题，转化成定积分计算．
15. 直线 与曲线 相切，则 的值为________．
A. 己申年B. 己酉年C. 庚酉年D。 庚申年
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列,地支是以12为公差的等差数列，以1949年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
哈尔滨师范大学附属中学2019_2020学年高二数学下学期期末考试试题文含解析
A。 82。5B。 83C。 93D. 72
【答案】A
【解析】
【分析】
由茎叶图得出所有数据并从小到大排序，由于偶数个,则中位数为中间两个数之和再除以2。
【详解】将这组数据从小到大排列为72，74，76,81，82，83,86,93，93,99，则这组数据的中位数是 ，即82。5
A. 3B. 4C。 6D。 7
【答案】B
【解析】
【分析】
类比二分法，将16人均分为两组，选择其中一组进行检测，再把认定的这组的8人均分两组，选择其中一组进行检测，以此类推，即可得解.
【详解】先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测。继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测。继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查,为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组,此时进行了3次检测。选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测。所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测。
【解析】
【分析】
分析图形中火柴数 变化是以3位首项2为公差的等差数列，由此可算第100个图形所用火柴棒数。
【详解】由图形可知，第一个图形用3个火柴，以后每一个比前一个多两个火柴，则第n个使用火柴为 ，则第100个图形所用火柴棒数为2×100+1＝201.
故答案为：201
【点睛】本题考查合情推理的应用，属于基础题.
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
2019-2020学年上海市闵行区高二上学期期末质量检测数学试题及答案
2019-2020学年上海市闵行区高二上学期期末质量检测数学试题及答案一、单选题1．过点()2,M a -和(),4N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或4 D ．1或2【答案】A【解析】试题分析：依题意有41,12aa a -==+． 【考点】斜率.2．已知圆()()221221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2 C 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切【答案】C【解析】1(2,2)C -，11r =，2(2,5)C ，24r =，12125C C r r ===+，即两圆外切，故选C ．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． (2)切线法：根据公切线条数确定． （3）数形结合法：直接根据图形确定3．设满足约束条件则的最小值是（ ）A ．B ．0C ．1D ．2 【答案】C 【解析】约束条件对应的可行域如图所示：平移直线，由图易得，当经过点时，目标函数最小，最小值为1. 故选C.4．若实数,x y 满足方程228x y +=，则|2||6||6|x y x y x y +-++++--的最大值为()A ．12B ．14C ．18D ．24【答案】C【解析】令x y t +=222，可得44t -．化简原式12|2|t =++，即可得答案．【详解】 令t x y =+，则22224sin [4,4]4t πθθθ⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，于是|2|[0,6]t -∈，60t +>，60t ->， 从而|2||6||6||2||6||6||2|12[12,18]x y x y x y t t t t +-++++--=-+++-=++∈，故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、绝对值不等式的解法、点到直线的距离公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题5．椭圆221259x y +=的短轴长为__________.【答案】6【解析】利用椭圆的标准方程，直接求解，即可得答案． 【详解】∵椭圆的方程为：221259x y +=∴短轴长26b =． 故答案为：6． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题． 6．已知向量(1,2)a =，(,4)b x =-，若//a b ，则x =________ 【答案】2-【解析】根据向量共线，得到1(4)20⨯--=x ，求解，即可得出结果. 【详解】因为向量(1,2)a =，(,4)b x =-，若//a b ，则1(4)20⨯--=x ，解得：2x =-. 故答案为：2- 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.7．若直线l 过点3(2,)A -且平行于向量(6,5)d =，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2365x y -+= 【解析】利用直线l 的点方向式方程即可得出． 【详解】由已知可得：直线l 的点方向式方程是2365x y -+=． 故答案为：2365x y -+=．【点睛】本题考查直线的点方向式方程，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8．已知平面向量,a b 的夹角为6π，||1,||2a b ==，则a b ⋅=_________.【解析】直接代入向量的数量积公式求解，即可得答案． 【详解】 因为平面向量a ，b的夹角为6π，||1a =，||2b =，∴||||cos 1262a b a b π=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．9．若线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=_______.【答案】2【解析】线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫⎪⎝⎭，即方程组2343x y x y -=⎧⎨+=⎩，即可得出x y +．【详解】线性方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143-⎛⎫⎪⎝⎭，即方程组2343x y x y -=⎧⎨+=⎩，两个方程相加可得：336x y +=，则2x y +=．故答案为：2． 【点睛】本题考查线性方程组的增广矩阵及其解法，考查推理能力与计算能力，属于基础题．10．若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则l 的斜率的取值范围是__________.【答案】【解析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出． 【详解】直线l 的倾斜角,43θππ⎡⎫⎪⎢∈⎣⎭， 则l 的斜率tan θ∈．故答案为：．【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题．11．参数方程2cos ,()4sin .x R y θθθ=⎧∈⎨=-⎩所表示的曲线与y 轴的交点坐标是_________. 【答案】(0,3)【解析】根据题意，将曲线的参数方程变形普通方程，令0x =，即可得答案.【详解】根据题意，曲线的参数方程2cos ,4x y sin θθ=⎧⎨=-⎩，变形可得241x y +-=，即23y x =+，为二次函数，与y 轴的交点坐标为(0,3)； 故答案为：(0,3)． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，注意求出参数方程对应的普通方程，属于基础题．12．双曲线221169x y -=上一点A 到点（5,0）的距离为15，则点A 到点（−5,0）的距离为_________________. 【答案】7或23【解析】根据双曲线的标准方程，写出实轴的长和焦点的坐标，根据双曲线的定义，得到两个关于要求的线段的长的式子，得到结果． 【详解】双曲线221169x y -=，()()28,5,05,0a ∴=-是双曲线的两个焦点，点A 在双曲线上，128PF PF ∴-=，点A 到点()5,0的距离为15，则点A 到点()5,0-是15823+=或1587-=，故答案为7或23.【点睛】本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值．13．以下关于圆锥曲线的命题中：①双曲线221259y x -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点；②设A 、B 是两个定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；③设点A 、P 分别是定圆C 上一个定点和动点，O 为坐标原点，若1()2OQ OA OP =+，则动点Q 的轨迹为圆；其中真命题是_________.（写出所有真命题的序号） 【答案】①③【解析】①根据双曲线和椭圆的几何性质即可得解；②根据双曲线的定义即可得解；③根据平面向量的加法法则，可知点Q 为弦AP 的中点，再判定点Q 的轨迹即可． 【详解】①在双曲线中，22225934c a b =+=+=，在椭圆中，22235134c a b =-=-=，且焦点均在y 轴上，所以①正确；②由双曲线的定义知，只有当||k AB <时，动点P 的轨迹才为双曲线的一支，即②错误；③若1()2OQ OA OP =+，则点Q 为弦AP 的中点，由垂径定理可知，OQ AQ ⊥，所以动点Q 的轨迹是圆，即③正确； 所以真命题为①③. 故答案为：①③． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涵盖的知识点有圆锥曲线的定义与几何性质、平面向量运算，考查综合运用知识的能力．14．已知数列{}n a 的通项公式为()()20191,12019N 1,20203n n n n a n n *-⎧-≤≤⎪=∈⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=_______. 【答案】12-【解析】分别求得当12019n 时，2020n 时，前n 项和n S ，再由数列极限公式，可得所求值． 【详解】 当12019n 时，1111111n S =-+-+-+⋯-=-；2020n 时，2018201911()11131()2139313n n n S ---=-+++⋯+=-+-，可得131lim 2212213n n S →∞=-+=-+=--，故答案为：12-． 【点睛】本题考查等比数列的求和公式、数列的极限的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 15．若关于x2kx =-有解，则实数k 的取值范围是____________.【答案】[1)-⋃【解析】由题意画出图形，由于双曲线的对称性，只需求出斜率大于0的情况，同理可得斜率小于0的范围，求出相切时的k 值及与渐近线平行的斜率，介于之间的即可． 【详解】∵y =221(0)x y y -=，∴原问题转化为等轴双曲线221x y -=位于x 轴上方的部分与经过定点(0,2)-的动直线2y kx =-有交点的问题，计算直线与双曲线相切可得k =再结合双曲线渐近线的知识，可得[1)k ∈-⋃.【点睛】本题考查方程的解与函数的交点的互化，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意借助图形进行分析求解. 16．如图，已知直角MON ∆的斜边MN 的长为12，点P 是斜边上的中线OD 与椭圆221259x y +=的交点，O 为坐标原点，当MON ∆绕着点O 旋转时，PM PN ⋅的取值范围为__________.【答案】[35,27]--【解析】求得椭圆的a ，b ，由题意可得||OP 的最小值为3，最大值为5，运用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，可得||OD ，进而得到||PD 的范围，再由向量的加减运算和数量积的性质，可得所求范围． 【详解】椭圆221259x y +=的5a =，3b =，由椭圆的性质可得P 为长轴的端点时||OP 取得最大值5，P 为短轴的端点时||OP 取得最小值3，由直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，可得1||||62OD MN ==， 所以||||||[1,3]PD OD OP =-∈，从而2()()()PM PN PD DM PD DN PD PD DM DN DM DN =++=+++ 221||||[35,27]4PD MN =-∈--．故答案为：[35,27]--． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直角三角形的性质和向量的加减和数量积的运算，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题17．已知直线1:220l x y +-=和2:10lmx y -+=.(1)当12l l //时，求m 的值； (2)当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 的值. 【答案】(1)2-；(2)3或13-. 【解析】（1）直接利用线线平行的充要条件的应用求出结果．（2）直接利用夹角公式的应用求出结果． 【详解】（1）直线1:220l x y +-=和2:10lmx y -+=．所以20m --=，解得：2m =-．（2）由于1:220l x y +-=的斜率12k =-，2:10l mx y -+=的斜率2=k m ． 所以2112tan||141k k k k π-==+，解得3m =或13-． 【点睛】本题考查的知识要点：线线平行的充要条件的应用，夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18．已知向量32a i j b i j =-=+，，其中,i j 是互相垂直的单位向量.(1) 求向量a 在向量b 方向上的投影；(2) 设向量,m a b n a b λ=-=+，若m n ⊥，求实数λ的值. 【答案】（1）5；（2）0λ=【解析】（1）根据题中条件，结合向量投影的概念，即可得出结果；（2）根据m n ⊥，得到()()0a b a b λ-⋅+=，得出220λλ+⋅-⋅-=a a b a b b ，进而求解，即可得出结果.【详解】（1）因为32,=-=+a i j b i j ，,i j 是互相垂直的单位向量， 所以()()32615⋅=-+=-=a b i j i j ，()23391===--+a i j i j ()2224=+=+=+=b i j i j所以向量a 在向量b 方向上的投影为cos ,5⋅<>===a b a a b b（2）因为,m a b n a b λ=-=+，m n ⊥， 则()()0a b a b λ-⋅+=，即220λλ+⋅-⋅-=aa b a b b ，即105550λλ+--=，解得0λ=. 【点睛】本题主要考查求向量的投影，以及由向量垂直求参数，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型. 19．已知三点(3,1)M 、(0,2)N -、(3,5)T -都在圆C 上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若经过点(2,0)P 的直线l 被圆C 所截得的弦长为，求直线l 的方程.【答案】(1)22(3)(2)9x y -++=；(2)3460x y +-=或2x =. 【解析】（1）设出圆的一般方程，把已知点的坐标代入，求解方程组得D ，E ，F 的值，可得圆的一般方程，进一步化为标准方程；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为2x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得k ，则答案可求． 【详解】（1）设圆C 的方程为220xy Dx Ey F ++++=．则9130420925350D E F E F D F F ++++=⎧⎪-+=⎨⎪++-+=⎩，解得6D =-，4E =，4F =．∴圆C的方程为226440x y x y+-++=，化为标准方程：22(3)(2)9x y-++=；（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为2x=，满足直线l被圆C所截得的弦长为当直线l的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x=-，即20kx y k--=．1==，解得34k=-．∴直线方程为3460x y+-=．∴若经过点(2,0)P的直线l被圆C所截得的弦长为直线l 的方程为2x=或3460x y+-=．【点睛】本题考查圆的方程的求法、直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对直线的斜率分成存在和不存在两种情况讨论．20．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>与双曲线22162y x-=的渐近线相同，且经过点(2,3).(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线0(0)x y m m-+=>与双曲线C交于不同的两点,A B，且线段AB的中点在圆2210x y+=上，求实数m的值；(3)在(2)的条件下，若双曲线C的右顶点为2A，求2A AB∆的面积.【答案】(1)2213y x -=；(2)2；(3)2.【解析】（1）由题意设双曲线22:(0)62y x C λλ-=≠，把已知点的坐标代入求得λ，则双曲线方程可求；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系结合中点坐标公式求得AB 的中点坐标，代入圆的方程即可求得m 值；（3）双曲线C 的右顶点为2(1,0)A ，当2m =时，可得122x x +=，1272x x =-，利用行列式计算面积，即可得答案． 【详解】(1)设22:(0)62y x C λλ-=≠，∵C 过点(2,3)，∴941622λ-==-， ∴221:622y x C -=-，即2213y x -=；(2)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立22013x y m y x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2222(3)0x mx m --+=①．12x x m ∴+=，则AB 的中点坐标为3(,)22m m， 代入圆2210x y +=，得2291044m m +=，解得2(0)m m =>；(3)∵2(1,0)A ，当2m =时，①式即22470x x --=，∴122x x +=，1272x x =-， ∴21122122113|21|2211A AB x x S x x x x ∆+=+=-==.本题考查双曲线方程的求法、直线与圆、直线与双曲线位置关系、三阶行列式的应用，考查计算能力，是中档题．21．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(3)9x y C a a a +=>-.(1)过椭圆C 的左焦点，作垂直于x 轴的直线交椭圆C 于M 、N 两点，若||9MN =，求实数a 的值；(2)已知点(1,0),6T a =，A 、B 是椭圆C 上的动点，0TA TB ⋅=，求TA BA ⋅的取值范围； (3)若直线:13x y l a a +=-与椭圆C 交于P 、Q 两点，求证：对任意大于3的实数a ，以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)6a =；(2)[24,49]；(3)证明见解析，(3,0)-. 【解析】（1）由椭圆的方程可得左焦点坐标，再由MN 的长可得纵坐标，即椭圆过9(3,)2-，代入椭圆的方程求出a 的值；（2）6a =代入椭圆可得椭圆的标准形式，设A 的坐标，TA BA 中的BA 用,TA TB 向量表示，再由题意可得关于A 的坐标的关系，由A 的坐标的范围求出数量积TA BA 的取值范围；（3）将直线l 与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出PQ 的中点的坐标，及弦长PQ ，求出以线段PQ 为直径的圆的方程，整理出关于a 的二次三项式恒为0，可得a 的所有系数都为0，可得x ，y 的值，即圆恒过的定点坐标．（1）由题意可得：222(9)9c a a =--=，即左焦点为：(3,0)-，若||9MN =，所以9||2y =，将3x =，9||2y =代入椭圆可得：229181149a a +=-，又3a >解得：6a =； （2）6a =时，椭圆的方程为：2213627x y +=，设(,)A x y ，66x -， 2()||TA BA TA TA TB TA TA TB =-=-，由题意可得：222222211||(1)(1)27(1)228(4)243644x TA BA TA x y x x x x ==-+=-+-=-+=-+，由66x -，所以[24TABA ∈，49]．（3）联立直线l 与椭圆的方程可得：22(9)0ay a y --=，解得10y =，229a y a-=，设(,0)P a ，29(3,)a Q a --，所以PQ 的中点为：3(2a -，29)2a a -， 22229||(3)()a PQ a a-=++，所以以线段PQ 为直径的圆的方程为：2222223919()()[(3)()]224a a a x y a a a----+-=++，整理可得：22222222239939(3)()()()()2222a a a a a x a x y y a a a---+---++-+=+，即2229(3)30a x a x y y a a ---+--=，整理可得：22(3)(3)90x y a x x y a y -++++++=， 对于任意的3a >，关于a 的二次三项式22-++++++恒为0，(3)(3)9x y a x x y a y所以二次项，一次项和常数项的系数均为0，即2-++=++==，(3)390x y x x y y所以3y=，x=-，0即定点坐标为(3,0)-．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系、向量与椭圆的交会、一元二次函数的值域、圆过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．。
上海市闵行区2019-2020学年高二上学期期末质量检测数学试题和参考答案
上海市闵行区2019-2020学年高二上学期期末质量检测数学试卷2020.01一、填空题1.椭圆221259x y +=的短轴长为__________. 2.已知向量(1,2)a =，(,4)b x =−，若//a b ，则x =_________.3.若直线l 过点(2,3)A −且平行于向量(6,5)d =，则直线l 的点方向式方程是___________.4.已知平面向量,a b 的夹角为6π，||1,||2a b ==，则a b ⋅=_________.5.若线性方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为213143−⎛⎫ ⎪⎝⎭，则x y +=_______.6.若直线l 的倾斜角的范围为,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则l 的斜率的取值范围是__________. 7.参数方程2cos ,()4sin .x R y θθθ=⎧∈⎨=−⎩所表示的曲线与y 轴的交点坐标是_________. 8.已知双曲线221169x y −=上的点P 到点(5,0)的距离为15，则点P 到点(5,0)−的距离为_________. 9.以下关于圆锥曲线的命题中：①双曲线221259y x −=与椭圆22135y x +=有相同的焦点； ②设A 、B 是两个定点，k 为非零常数，若||||PA PB k −=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支； ③设点A 、P 分别是定圆C 上一个定点和动点，O 为坐标原点，若1()2OQ OA OP =+，则动点Q 的轨迹为圆；其中真命题是_________.（写出所有真命题的序号）10.已知数列{}n a 的通项公式为()*2019(1),12019120203,n n n n a n N n −⎧−⎪=∈⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=_______.11.若关于x2kx =−有解，则实数k 的取值范围是____________.12.如图，已知直角MON ∆的斜边MN 的长为12，点P 是斜边上的中线OD 与椭圆221259x y +=的交点，O 为坐标原点，当MON ∆绕着点O 旋转时，PM PN ⋅的取值范围为__________.二、选择题13.若过点(2,)M a −和(,4)N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为（ ） A.1B.2C.1或4D.1或214.已知圆221:(2)(2)1C x y ++−=，圆222:(2)(5)16C x y −+−=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A.相离B.相交C.内切D.外切5.若,x y 满足线性约束条件1,1,0.x y x y x +⎧⎪−⎨⎪⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A.0B.1C.2D.1−16.若实数,x y 满足方程228x y +=，则|2||6||6|x y x y x y +−++++−−的最大值为（ ） A.12B.14C.18D.24三、解答题17.已知直线1:220l x y +−=和2:10l mx y −+=. （1）当12//l l 时，求m 的值； （2）当1l 与2l 的夹角为4π时，求m 的值.18.已知向量3,2a i j b i j =−=+，其中,i j 是互相垂直的单位向量. （1）求向量a 在向量b 的方向上的投影；（2）设向量,m a b n a b λ=−=+，若m n ⊥，求实数λ的值.19.已知三点(3,1)M 、(0,2)N −、(3,5)T −都在圆C 上. （1）求圆C 的标准方程；（2）若经过点(2,0)P 的直线l 被圆C 所截得的弦长为l 的方程.20.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>与双曲线22162y x −=的渐近线相同，且经过点(2,3). （1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0(0)x y m m −+=>与双曲线C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2210x y +=上，求实数m 的值；（3）在（2）的条件下，若双曲线C 的右顶点为2A ，求2A AB ∆的面积.21.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(3)9x y C a a a +=>−. （1）过椭圆C 的左焦点，作垂直于x 轴的直线交椭圆C 于M 、N 两点，若||9MN =，求实数a 的值； （2）已知点(1,0),6T a =，A 、B 是椭圆C 上的动点，0TA TB ⋅=，求TA BA ⋅的取值范围； （3）若直线:13x yl a a +=−与椭圆C 交于P 、Q 两点，求证：对任意大于3的实数a ，以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标.上海市闵行区2019-2020学年高二上学期期末质量检测数学试卷参考答案2020.01一、填空题1.62.2−3.2365x y −+=5.26.7.(0,3)8.7或239.③ 10.12−11.[1)−⋃ 12.[35,27]−−【第9题解析】①：双曲线和椭圆的焦点分别在y 轴上和x 轴上，∴①错；②：0k =时，动点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线，||k AB =±时，动点P 的轨迹为一条射线，∴②错误； ③：由1()2OQ OA OP =+可得Q 为AP 中点， 设定圆C 的方程为222()()(0,,)x a y b r r a b R −+−=>∈，(,)A m n ，(,)Q x y ， 则(2,2)P x m y n −−，∵P 在圆C 上，∴222(2)(2)x m a y n b r −−+−−=，即222224m a n b r x y ++⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，说明动点Q 的轨迹仍为圆，∴③正确.【第11题解析】y =221(0)x y y −=，原问题转化为等轴双曲线221x y −=位于x 轴上方的部分与经过定点(0,2)−的动直线2y kx =−有交点的问题，计算直线与双曲线相切可得k =，再结合双曲线渐近线的知识，可得[1)k ∈−⋃.【第12题解析】由椭圆长短轴的相关知识可得||[3,5]PO ∈，又1||||62OD MN ==，∴||||||[1,3]PD OD PO =−∈，从而221()()||||[35,27]4PM PN PD DM PD DN PD MN ⋅=+⋅+=−∈−−. 二、选择题13.A 14.D 15.B 16.C【第16题解析】令t x y =+，则4sin [4,4]4t πθθθ⎛⎫=+=+∈− ⎪⎝⎭， 于是|2|[0,6]t −∈，60t +>，60t −>，从而|2||6||6||2||6||6||2|12[12,18]x y x y x y t t t t +−++++−−=−+++−=−+∈，∴选C. 三、解答题17.（1）2−；（2）3或13−. 18.（1（2）0λ=.19.（1）22(3)(2)9x y −++=；（2）3460x y +−=或2x =.20.（1）设22:(0)62y x C λλ−=≠，∵C 过点(2,3)，∴941622λ−==−， ∴221:622y x C −=−，即2213y x −=； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与双曲线方程，得()222230x mx m −−+=，（*）∴12x x m +=，AB 的中点为3,22m m ⎛⎫⎪⎝⎭代入圆方程，可解得2m =； （3）2(1,0)A ，当2m =时，（*）式即22470x x −−=，122x x +=，1272x x =−，21122122113|21|22211A AB x x S x x x x ∆+=+=−==. 21.（1）6a =；（2）当6a =时，设(,)A x y ，其中[6,6]x ∈−且2213627x y +=， 则22222()||(1)(1)27136x TA BA TA TB TA TA x y x ⎛⎫⋅=⋅−+==−+=−+− ⎪⎝⎭2211228(4)24[24,49]44x x x =−+=−+∈； （3）联立直线l 和椭圆C 的方程，得()2290ay a y −−=，10y =，229a y a−=，从而29(,0),3,a P a Q a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，PQ 中点为239,22a a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，22229||(3)a PQ a a ⎛⎫−=++ ⎪⎝⎭，∴以线段PQ 为直径的圆的方程为2222223919(3)224a a a x y a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫−−−⎛⎫−+−=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，展开，22222222239939(3)2222a a a a a x a x y y a a a ⎛⎫⎛⎫−−−+−⎛⎫⎛⎫−−++−+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()222222229(3)303930a x a x y y a ax a a x ay a y a a−⇒−−+−−=⇒−−+−−−=()22(3)390x y a x x y a y ⇒−++++++=对于任意的3a >，关于a 的二次三项式()22(3)39x y a x x y a y −++++++恒为零 ∴二次项、一次项和常数项的系数均为零，即2(3)3903,0x y x x y y x y −++=++==⇒=−=，即定点坐标为(3,0)−.。
上海市静安区新中初级中学2018-2019学年七年级第二学期期中测试数学试题(解析版)
新中初级中学2018学年第二学期七年级数学期中练习卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分）1. 在下列五个数中，③ 1729，④0.777…，⑤2π，是无理数的是( ) A. ①③⑤B. ①②⑤C. ①④D. ①⑤ 【答案】D【解析】【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可． 2=，所给数据中无理数有：2π⑤；其余是有理数.故选D ．【点睛】本题考查了无理数的定义，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式． 2. 下列计算中正确的是（ ）B.C. 513×56=52=25 = 【答案】D【解析】【分析】 根据实数的运算法则逐个计算分析即可.【详解】A.不是同类二次根式，不能合并； ；错误；C. 513×56=1635，错误； D. =.故选D.【点睛】考核知识点：实数的运算.理解运算法则是关键.3. 下列说法正确的是（）A. 数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应B. 负数没有方根C. 近似数52.0有两个有效数字D. 两直线平行，一对同旁内角平分线互相垂直【答案】D【解析】【分析】根据数轴上每个点都有一个实数与它对应，负数有立方根，有效数字的定义，平行线性质判断即可．【详解】A.数轴上每个点都有一个实数与它对应，故本选项错误；B.负数有立方根，故本选项错误；C.52.0有三个有效数字，故本选项错误；D.∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，∵EO平分∠BEF，FO平分∠DFE，∴∠1=12∠DFE，∠2=12∠BEF，∴∠1+∠2=90°，∴∠O=180°-90°=90°，故本选项正确；故选:D．【点睛】本题考查了数轴和实数，平方根和立方根，平行线性质，有效数字的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．4. 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】【详解】分析：根据平行线的性质应用排除法求解：A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°．故本选项错误．B、如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠3．∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本选项正确．C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项错误．D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项错误．故选B．5. 下列说法正确的是（）A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等B. 同旁内角相等的两条直线平行C. 没有公共点的两条直线平行D. 同一平面内不相交的两条直线必平行【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定和性质可知一二三选项都错误，只有同一平面内不相交的两条直线必平行说法正确．【详解】A.错误，两直线平行时才有内错角相等；B.错误，同旁内角互补，两直线平行；C.错误，没有公共点的两条直线可能是异面直线；D.正确，同一平面内不相交的两条直线必平行．故选D．【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，即两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．6. 如图,把一个矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′为（）．A. 70°B. 65°C. 50°D. 25°【答案】C【解析】【分析】首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°-2∠FED=50°，故选C．【点睛】此题考查了长方形的性质与折叠的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分）7. 32的五次方根是_______，16的四次方根是_______.【答案】(1). 2(2). 2【解析】【分析】根据25=32，24=16即可得出结果．【详解】∵25=32，∴32的五次方根是：2．∵24=16∴16的四次方根是：2．故答案为2，2【点睛】此题主要考查了五次方根和四次方根的定义.理解开方的定义是关键.8. 比较大小：【答案】<【解析】【分析】由34<<可得到结果.【详解】因为34<<，所以<-3.故答案为<【点睛】考核知识点：实数的大小比较.估计无理数大小是关键.9.【答案】 (1).49 (2). 0.3 【解析】【分析】根据算术平方根和立方根定义进行分析.49==0.3= 故答案49，0.3 【点睛】考核知识点：算术平方根和立方根.理解定义是关键.10. 当x_______时，式子-1x 有意义.【答案】x ≥-2且x ≠1【解析】【分析】要使式子有意义，被开方数必须非负数，分母不等于0.【详解】若式子-1x有意义则x+2≥0且x-1≠0.所以x≥-2且x≠1.故答案为x≥-2且x≠1.【点睛】考核知识点：二次根式有意义的条件.理解二次根式定义是关键.11.______.【答案】235-【解析】【分析】根据开方.倒数和指数的关系，逐步分析即可.2323155-==故答案为235-【点睛】考核知识点：开方.倒数和指数的关系.理解幂的意义是关键.12. 若3，则1b a+的平方根_______.【答案】±3【解析】【分析】根据平方与平方根的定义解答．【详解】由已知可得b-1≥0,1-b≥0,所以1-b=0b=1所以a=3所以1ba+=23=9所以1ba+的平方根是±3故答案为±3【点睛】本题考查了平方根的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键．13. 月球沿着一定的轨道围绕地球运动，某一时刻它与地球相距405 500千米，用科学记数法表示这个数并保留三个有效数字是____________千米．【答案】4.06×105【解析】【分析】【详解】解：405 500千米=4.055×105千米≈4.06×105千米．故答案为4.06×105．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14. 数轴上两个点A、B分别表示实数31+和3-1，则A、B两点之间的距离是________.【答案】2【解析】【分析】直接根据数轴上A.B两点之间的距离公式可得|AB|=|a-b|．+-（3-1）|=2【详解】A.B两点之间的距离是|31故答案为2【点睛】此题综合考查了数轴.绝对值的有关内容，体现了数形结合的特点．15. 如图，已知直线AB、CD交于点E，EF⊥CD，∠AEF=50°，那么∠BED=____.【答案】40°【解析】分析】根据垂直的定义可得∠CEF=90°，然后求出∠AEC，再根据对顶角相等解答．【详解】∵EF⊥CD，∴∠CEF=90°，∴∠AEC=∠CEF-∠AEF=90°-50°=40°，∴∠BED=∠AEC=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了垂线的定义，对顶角相等的性质，是基础题，准确识图是解题的关键．16. .如图，直线a∥c，直线b与直线a、c相交，∠1=42°，那么∠2=____.【答案】138°【解析】【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由补角的定义即可得出结论．【详解】∵直线a∥c，∠1=∠42°，∴∠3=∠1=42°，∴∠2=180°-∠3=180°-42°=138°．故答案为138°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．17. 如图，直线AB、CD相交，若∠1=100°，则直线AB、CD的夹角为_________°.【答案】80；【解析】【分析】根据邻补角互补可得∠AOC的度数，进而可得答案．【详解】解：∵∠1=100°，∴∠AOC=180°-100°=80°，∴直线AB与CD的夹角是80°，故答案为80°．【点睛】此题主要考查了邻补角，关键是掌握邻补角互补，对顶角相等．18. 有一条直的等宽纸带，按如图折叠时，纸带重叠部分中的∠α=___度.【答案】75°【解析】【分析】可利用平行线的性质求出∠ABC的大小，进而可求∠2的大小．【详解】如图，∵∠1=30︒，∴∠BEA=30︒,∠EAC=30︒,又∵EB=EA，∴∠EBA=75︒,∴∠α=180︒−75︒−30︒=75︒.故答案为75︒.【点睛】本题考查的知识点是翻折变换（折叠问题），解题的关键是熟练的掌握翻折变换（折叠问题）.三、解答题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）19. 71377 24 1374【解析】【分析】合并同类二次根式，把有理数因数加减，无理数不变.【详解】解：原式=(3-1313)77 244+=【点睛】考核知识点：二次根式的加减运算.掌握运算法则是关键.20. （3-23÷32【解析】【分析】根据二次根式的除法法则进行计算，借助分母有理化进行化简.【详解】解：（÷623===【点睛】考核知识点：二次根式除法.掌握除法法则和分母有理化方法.21. （【答案】-【解析】【分析】根据二次根式乘法法则进行去1括号，再合并同类二次根式.【详解】解：（+【点睛】考核知识点：二次根式的混合运算.掌握运算法则是关键.22.2)2.【答案】36【解析】【分析】根据二次根式乘法法则和乘法公式进行计算即可.【详解】解：)22)]2.=(12-18)2=36【点睛】考核知识点：二次根式乘法.应用乘法公式进行简便运算是关键.23.（3）-1+163-2÷（）-（1-π）03【解析】【分析】根据负指数幂.0指数幂和乘方的定义进行计算.【详解】解：（3）-1+163-2÷（）-（1-π）016(8)1213÷--=-=【点睛】考核知识点：实数的混合运算.掌握幂的运算法则是关键.24. 结果用根式的形式来表示).【解析】【分析】根据开方与幂的关系进行变形，再根据幂的运算法则进行计算.【详解】解：111433621114332683=333=3=3⨯⨯⨯+⨯-⨯÷【点睛】考核知识点：开方与幂的关系.理解相关定义是关键.四、简答题：（本大题共2小题，25题6分，26题10分，共16分）25. 如图所示,已知△ABC中,FG∥BE,∠2=∠3,则∠EDB+∠DBC=180∘?为什么?因为FG∥EB（）所以∠___=∠2(_________)因为∠2=∠3(_________)所以∠1=∠3(等量代换)所以DE∥BC(_________)所以∠EDB+∠DBC=180∘(_________).【答案】已知；1；两直线平行，同位角相等；已知；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【解析】【分析】根据平行线性质推出∠1=∠2，推出∠1=∠3，得出DE∥BC，根据平行线的性质推出即可．【详解】∵FG∥BE（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），∵∠2=∠3，（已知）∴∠1=∠3（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠EDB+∠DBC=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为已知，1，两直线平行，同位角相等，已知，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．26. 如图,已知AB∥CD,∠E=90∘，那么∠B+∠D等于多少度?为什么?解：过点E作EF∥AB，得∠B+∠BEF=180∘(______)，因为AB∥CD(______)，EF∥AB(所作)，所以EF∥CD(______).得______(两直线平行,同旁内角互补)，所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=______°(等式性质).即∠B+∠BED+∠D=_____°.因为∠BED=90∘(已知)，所以∠B+∠D=______°(等式性质).【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠D+∠DEF=180°；360；360；270【解析】【分析】过点E作EF∥AB，根据平行公理的推论和平行线性质进行分析说明.【详解】解：过点E作EF∥AB，得∠B+∠BEF=180°(两直线平行，同旁内角互补_)，因为AB∥CD(_已知__)，EF∥AB(所作)，所以EF∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).得_∠D+∠DEF=180°_(两直线平行,同旁内角互补)，所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D= 360°(等式性质).即∠B+∠BED+∠D=360°.因为∠BED=90°(已知)，所以∠B+∠D=270°(等式性质).故答案为两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠D+∠DEF=180°；360；360；270【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质.作好辅助线，熟悉平行线的判定和性质是关键.五、解答题（本大题共3小题，每题6分，共18分）27. 已知直线AB,CD被直线MN所截,PE、QF分别平分于∠BPQ和∠DQN .如果∠BPQ=∠DQN,那么PE和QF平行么?为什么？【答案】详见解析【解析】【分析】根据∠BPQ=∠DQN，以及PE.QF分别平分∠BPQ.∠DQN得出∠EPQ=∠NQF，然后由平行线的判定定理即可解答．【详解】解：∵∠BPQ=∠DQN，又PE、QF分别平分∠BPQ、∠DQN，∴∠EPQ=12∠BPQ，∠NQF=12∠DQN，∴∠EPQ=∠NQF，∴PO∥QS．【点睛】本题比较简单，考查的是平行线的性质及判定定理．28. 如图所示，已知点C、P、D在一直线上，∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，试说明∠E=∠F的理由.【答案】∠E与∠F相等，理由见解析.【解析】【分析】根据已知可得出AB∥CD，进而由∠1=∠2可证得∠P AE=∠APF，故能得出AE∥FP，即能推出要证的结论成立．【详解】∠E与∠F相等.理由如下:因为∠BAP和∠APD互补,所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),所以∠BAP=∠CPA(两直线平行,内错角相等).因为∠1=∠2,所以∠PAE=∠APF,所以AE∥PF(内错角相等,两直线平行),所以∠E=∠F(两直线平行,内错角相等).【点睛】考查平行线的判定与性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.29. 已知,如图1,四边形ABCD,∠D=∠C=90°，点E在BC边上，P为边AD上一动点，过点P作PQ⊥PE，交直线DC于点Q.(1)当∠PEC=70°时，求∠DPQ；(2)当∠PEC=4∠DPQ时，求∠APE；(3)如图3,将△PDQ沿PQ翻折使点D的对应点D′落在BC边上,当∠QD′C=40°时，请直接写出∠PEC的度数，答：___.【答案】（1）20°；（2）72°；（3）65°.【解析】【分析】（1）由直角三角形两锐角互余和平角中挖去直角，余下的角互余∠APE+∠EPF=90°，计算即可；（2）根据∠PEC=4∠DPQ求出，∠DPQ=18°，再和（1）方法一样计算；（3）由对折的性质及∠QD′C=40°求出∠DPQ=25°，再和前面方法一样用互余计算即可．【详解】解：（1）如图，作PF⊥BC，∴∠PEF+∠EPF=∠APE+∠EPF=90°，∵∠EPQ=90°，∴∠APE+∠DPQ=90°，∴∠EPF=∠DPQ，∴∠PEF+∠DPQ=90°，∵∠PEF=70°，∴∠DPQ=20°．（2）由（1）有，∠PEF+∠DPQ=90°，∵∠PEC=4∠DPQ，∴∠DPQ=18°，∠PEF=72°，∵∠PEF+∠APE=90°，∴∠APE=72°；（3）∵∠C=∠D=90°，∴∠QD′C+∠CQD′=90°，∵∠QD′C=40°，∴∠CQD′=50°，由对折有，∠DQP=∠CQP，∴∠DQP=12（180°-∠CQD'）=65°，∴∠DPQ=90°-∠DQP=25°，由（1）有，∠PEC+∠DPQ=90°，∴∠PEC=65°．故答案为65°．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形中两锐角互余，折叠的性质，利用两锐角互余是解本题的关键．。
2019-2020学年上海市嘉定区六年级下学期期末数学试卷(五四学制) (解析版)
2019-2020学年上海市嘉定区六年级（下）期末数学试卷（五四学制）一、选择题（共6小题）.1．的倒数是（）A．﹣B．﹣C．D．2．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．3．如果m＜n，那么下列不等式中不一定成立的是（）A．ma＜na B．n﹣m＜0C．3﹣m＜3﹣n D．﹣＞﹣4．要检验平面与平面是否垂直，以下工具无法使用的是（）A．铅垂线B．长方形纸片C．两块三角尺D．合页型折纸5．如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．下列说法中，错误的是（）A．两点之间的线段最短B．如果∠α＝53°38′，那么∠α余角的度数为36°22′C．一个锐角的余角比这个角的补角小D．互补的两个角一个是锐角一个是钝角二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）7．计算：﹣（﹣2）4＝．8．不等式﹣5x＞11的解集是．9．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册，把2100000用科学记数法表示为．10．如果将等式4x﹣2y＝﹣5变形为用含x的式子表示y，那么所得新等式是．11．已知是二元一次方程2x+ay＝1的解，那么a＝．12．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么a+b﹣c0．（填“＞”，“＜”“≥”，“≤“或“＝”）13．一件商品如果按原价的八折销售，仍可获得15%的利润．已知该商品的成本价是50元，设该商品原价为x元，那么根据题意可列方程．14．如图，OM是∠AOB的平分线，∠AOB＝140°．∠AOD＝100°，那么∠DOM＝度．15．如图，点C、D是线段AB的三等分点，如果点M、N分别是线段AC、BD的中点，那么MN：AB的值等于．16．时针从钟面上2点旋转到6点，共旋转了度．17．a、b表示两个有理数，规定新运算“※”为：a※b＝ma+2b（其中m为有理数），如果2※3＝﹣1，那么3※4的值为．18．六个棱长为2的正方体叠在一起，成为一个长方体，则这个长方体的表面积是．三、计算题（本大题共6题，每小题5分，满分30分）19．计算：﹣3220．解方程：21．解不等式：x+1＜x+．22．解不等式组：，并将解集在数轴上表示．23．解方程组：24．解方程组：．四、解答题（本大题共有4题，第25、26题6分，第27题7分，第28题9分）25．（1）补全下面的图形，使之成为长方体ABCD﹣EFGH的直观图，并标出顶点的字母；（2）图中与棱AB平行的棱有；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是．26．小明、小杰两人共有210本图书，如果小杰送给小明15本图书，那么小杰的图书正好是小明的图书的2倍，问小明、小杰原来各有多少本图书？27．如图，射线ON、OE、OS、OW分别表示从点O出发北、东、南、西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点O重合．（1）图中与∠BOE互余的角是；（2）①用直尺和圆规作∠AOE的平分线OP；（不写作法，保留作图痕迹）②在①所做的图形中，如果∠AOE＝132°，那么点P在点O方向．28．小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．（1）若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？（2）若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？参考答案一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分）1．的倒数是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据乘积是1的两数互为倒数可得答案．解：的倒数是．故选：C．2．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．解：有①得：x＞﹣1；有②得：x≤1；所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，在数轴上表示为：故选：C．3．如果m＜n，那么下列不等式中不一定成立的是（）A．ma＜na B．n﹣m＜0C．3﹣m＜3﹣n D．﹣＞﹣【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．解：A、当a＝0时，本选项不一定成立，故本选项符合题意；B、∵m＜n，∴n﹣m＞0，故本选项不符合题意；C、∵m＜n，∴﹣m＞﹣n∴3﹣m＞3﹣n，故本选项不符合题意；D、∵m＜n，∴﹣，故本选项不符合题意；故选：A．4．要检验平面与平面是否垂直，以下工具无法使用的是（）A．铅垂线B．长方形纸片C．两块三角尺D．合页型折纸【分析】由教材演示可知，铅垂线，两块三角尺，合页型折纸可以用来检验平面与平面是否垂直，即可求解．解：由分析可知：铅垂线，两块三角尺，合页型折纸可以用来检验平面与平面是否垂直，而长方形纸片只能判断长与宽互相垂直，不能判断与水平面垂直，也是无法保证水平面一定是水平的，故选：B．5．如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】设这个角的度数是x度，根据互为余角的两个角的和等于90°表示出它的余角，互为补角的两个角的和等于180°表示出它的补角，然后列方程求解即可．解：设这个角的度数是x度，由题意得，180°﹣x°＝4（90°﹣x°），解得x＝60，故选：C．6．下列说法中，错误的是（）A．两点之间的线段最短B．如果∠α＝53°38′，那么∠α余角的度数为36°22′C．一个锐角的余角比这个角的补角小D．互补的两个角一个是锐角一个是钝角【分析】根据线段的性质，余角与补角的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．解：A、两点之间的线段最短，是线段的性质，故本小题正确，不符合题意；B、如果∠α＝53°38′，那么∠α余角的度数为90°﹣53°38′＝36°22′，故本小题正确，不符合题意；C、一个锐角α的余角是90°﹣α，这个角的补角是180°﹣α，（180°﹣α）﹣（90°﹣α）＝90°，正确，不符合题意；D、两个直角也是互补的角，故本小题错误，符合题意．故选：D．二、填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分）7．计算：﹣（﹣2）4＝﹣16．【分析】根据有理数的乘方计算即可．解：﹣（﹣2）4＝﹣16．故答案为：﹣16．8．不等式﹣5x＞11的解集是x＜﹣．【分析】根据不等式的性质3求出不等式的解集即可．解：﹣5x＞11，x＜﹣，故答案为：x＜﹣．9．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册，把2100000用科学记数法表示为 2.1×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：210 0000＝2.1×106，故答案为：2.1×106．10．如果将等式4x﹣2y＝﹣5变形为用含x的式子表示y，那么所得新等式是y＝2x+．【分析】移项，方程两边都除以﹣2，得出答案即可．解：4x﹣2y＝﹣5，﹣2y＝﹣5﹣4x，y＝2x+，故答案为：y＝2x+．11．已知是二元一次方程2x+ay＝1的解，那么a＝5．【分析】把代入方程2x+ay＝1得出﹣4+a＝1，求出方程的解即可．解：∵是二元一次方程2x+ay＝1的解，∴代入得：﹣4+a＝1，解得：a＝5，故答案为：5．12．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么a+b﹣c＜0．（填“＞”，“＜”“≥”，“≤“或“＝”）【分析】由数轴可知，a＜0，b＜0，c＞0，且|a|＞|b|＞|c|，所以a+b﹣c＜0．解：由数轴可知，a＜0，b＜0，c＞0，且|a|＞|b|＞|c|，∴a+b﹣c＜0．故答案为：＜．13．一件商品如果按原价的八折销售，仍可获得15%的利润．已知该商品的成本价是50元，设该商品原价为x元，那么根据题意可列方程0.8x﹣50＝50×15%．【分析】根据售价﹣进价＝利润，即可列出相应的方程，本题得以解决．解：由题意可得，0.8x﹣50＝50（1+15%），故答案为：0.8x﹣50＝50（1+15%）．14．如图，OM是∠AOB的平分线，∠AOB＝140°．∠AOD＝100°，那么∠DOM＝30度．【分析】根据角平分线的定义求出∠AOM，然后根据∠DOM＝∠AOD﹣∠AOM，代入数据进行计算即可得解．解：∵OM是∠AOB的平分线，∠AOB＝140°，∴∠AOM＝∠AOB＝140°＝70°，∵∠AOD＝100°，∴∠DOM＝∠AOD﹣∠AOM＝100°﹣70°＝30°．故答案为：30．15．如图，点C、D是线段AB的三等分点，如果点M、N分别是线段AC、BD的中点，那么MN：AB的值等于．【分析】由已知可求得MC+DN的长度，再根据MN＝MC+CD+DN不难求解．解：∵点C、D是线段AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD＝AB，M和N分别是AC和BD的中点，∴MC＝AC＝AB，DN＝BD＝AB，∴MN＝MC+DN+CD＝AB+AB+AB＝AB，∴MN：AB＝，故答案为：．16．时针从钟面上2点旋转到6点，共旋转了120度．【分析】先求出时钟上的时针一小时匀速旋转的度数为30°，再求从2点走到6点经过4个小时，从而计算出时针旋转的度数．解：因为时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时，则时钟上的时针一小时匀速旋转的度数为：360÷12＝30°，那么从2点走到6点经过了4小时，时针旋转了4×30°＝120°．故答案为：120．17．a、b表示两个有理数，规定新运算“※”为：a※b＝ma+2b（其中m为有理数），如果2※3＝﹣1，那么3※4的值为﹣2.5．【分析】根据a※b＝ma+2b（其中m为有理数），2※3＝﹣1，可以得到m的值，然后即可求得3※4的值．解：∵a※b＝ma+2b，2※3＝﹣1，∴2m+2×3＝﹣1，解得，m＝﹣3.5，∴3※4＝﹣3.5×3+2×4＝﹣2.5，故答案为：﹣2.5．18．六个棱长为2的正方体叠在一起，成为一个长方体，则这个长方体的表面积是88或104．【分析】分两种情况讨论：①6×1×1拼法；②3×2×1拼法．解：①6×1×1拼法：2×6＝12（厘米），12×2×4+2×2×2＝104；②3×2×1拼法：长是3×2＝6，宽是2×2＝4，（6×4+6×2+4×2）×2＝44×2＝88．故答案为：88或104．三、计算题（本大题共6题，每小题5分，满分30分）19．计算：﹣32【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．解：原式＝﹣9+5+2＝﹣2．20．解方程：【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解．解：去分母得：2y+10﹣3y+4＝12，移项合并得：﹣y＝﹣2，解得：y＝2．21．解不等式：x+1＜x+．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．解：去分母，得：3x+8＜5x+6，移项，得：3x﹣5x＜6﹣8，合并同类项，得：﹣2x＜﹣2，系数化为1，得：x＞1．22．解不等式组：，并将解集在数轴上表示．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式①，得：x＞﹣1，解不等式②，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：23．解方程组：【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．解：①×4+②得：19x＝19，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为．24．解方程组：．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．解：，①+②+③得：2x+2y+2z＝6，即x+y+z＝3④，把①代入④得：z＝0，把②代入④得：y＝2，把③代入④得：x＝1，则方程组的解为．四、解答题（本大题共有4题，第25、26题6分，第27题7分，第28题9分）25．（1）补全下面的图形，使之成为长方体ABCD﹣EFGH的直观图，并标出顶点的字母；（2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是平行．【分析】（1）根据长方体图形的画法即可补全图形；（2）根据（1）所画图形，可得图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；（3）根据（1）所画图形，可得图中棱CG和面ABFE的位置关系是平行．解：（1）如图即为补全的图形；（2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH；故答案为：CD、EF、GH；（3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行．故答案为：平行．26．小明、小杰两人共有210本图书，如果小杰送给小明15本图书，那么小杰的图书正好是小明的图书的2倍，问小明、小杰原来各有多少本图书？【分析】设小明原来有x本图书，则小杰原来有（210﹣x）本，根据小杰送给小明15本图书，那么小杰的图书正好是小明的图书的2倍，可得出方程，解出即可．解：设小明原来有x本图书，则小杰原来有（210﹣x）本，小杰送给小明15本后有：（210﹣x﹣15）本，小明有：（x+15）本，由题意得：（210﹣x﹣15）＝2（x+15），解得：x＝55，210﹣55＝155（本）．答：小明原来有图书55本，小杰原来有图书155本．27．如图，射线ON、OE、OS、OW分别表示从点O出发北、东、南、西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点O重合．（1）图中与∠BOE互余的角是∠BON和∠AOW；（2）①用直尺和圆规作∠AOE的平分线OP；（不写作法，保留作图痕迹）②在①所做的图形中，如果∠AOE＝132°，那么点P在点O北偏东24°方向．【分析】（1）根据余角的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义作出图形即可；（3）根据角平分线的定义和方向角的定义即可得到结论．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠WOE＝180°，∴∠AOW+∠BOE＝90°，∵∠NOB+∠BOE＝90°，∴图中与∠BOE互余的角是∠BON和∠AOW；故答案为：∠BON和∠AOW；（2）如图所示，射线OP即为所求；（3）∵∠AOE＝132°，OP平分∠AOE，∴∠POE＝132°＝66°，∵∠NOE＝90°，∴∠NOB＝24°，∴点P在点O北偏东24°的方向上，故答案为：北偏东24°．28．小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．（1）若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？（2）若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？【分析】（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据环形跑道的长度＝小明跑的路程+小杰跑的路程，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程+20，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论．解：（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300x+220x＝400，解得：x＝．答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇．（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300y﹣220y＝100，解得：y＝．答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇．②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，依题意，得：300z﹣220z+20＝100，解得：z＝1．答：出发1分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米．。
2021-2022学年上海市金山中学高二年级下册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年上海市金山中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知是定义在R 上的可导函数，若，则=（ ）()f x 0(2)(2)1lim22x f f x x →-+∆=∆ (2)f 'A ．B ．C ．1D ．1-14-14【答案】A【分析】根据极限与导数的定义计算．【详解】0(2)(2)(2)(2)1lim2lim 2122(2)x x f x f f f x f x x →→'+∆--+∆=-==-⨯=-∆∆ 故选：A ．2．从编号为的20张卡片中依次不放回地抽出两张，记：第一次抽到数字为6的倍数，120-A ：第二次抽到的数字小于第一次，则=（ ）B (|)P B A A ．B ．C ．D ．8191119811719【答案】B【分析】根据条件概率公式直接求解即可.【详解】记事件：第一次抽到的数字为的倍数；事件：第二次抽到的数字小于第一次；A 6B 则数字为的倍数的数有：，所以，66,12,18()320P A =第二次抽到的数字小于第一次的情况分为：第一次抽到的数字为，第二次则抽到，共5种；61,2,3,4,5第一次抽到的数字为12，第二次则抽到，共11种；111 第一次抽到的数字为18，第二次则抽到，共17种.117~则，()51117332019380P AB ++==⨯.()()()331138031920P AB P B A P A ∴===故选：B.3．已知抛物线E ：（）的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P22y px =0p >在抛物线E 上，若，则（ ）30PAF ∠=sin PFA ∠=A ．BCD 12【答案】B【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，求出的值，P Q 30PAF ∠=︒30APQ ∠=︒cos APQ ∠由抛物线的性质可得，由正弦定理可得的值．||||PQ PF =sin PFA ∠【详解】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：P Q 30PAF ∠=︒30APQ ∠=︒在中，可Rt AQP △||cos ||QP APQ PA ∠=由抛物线的性质可得，所以||||PQ PF =||||PF PA =在中，由正弦定理可得：，PAF △||||sin sin PA PF PFA PAF =∠∠所以||1sin sin ||2AP PFA PAF PF ∠=⋅∠故选：B ．4．如图，在边长为中，圆与相切，圆与圆相切且与、ABC 1D ABC 2D 1D AB 相切，，圆与圆相切且与、相切，依次得到圆、、、．当圆的AC 1n D +n D AB AC 3D 4D n D n D 半径小于时，的最小值为（ ）181nA ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】由正三角形性质，分别根据几何关系求出正三角形内切圆半径与边长的关系，边长n r n a 与、的关系，即可进一步求出与的关系，从而求出的通项公式，列不等式求解.n a 1n a -1n r -n r 1n r -n r 【详解】由题，正三角形内切圆半径与边长满足：①，n r na 11322n n n n n n a r a a ⋅=⇒=1a =由正三角形性质易得，BC 边上的高过圆心，且圆切线，其中n h n D n D ()2n n E F BC n ≥ ，则组成正三角形，即，111E F BC a ==n nAE F n n na E F =则边长与高满足：②，n a nh 111112n n n n n n n a h hr a h h ------===11n n n a a--=由①②得，，111113n n n n n n rr ----==⇒=由，∴数列为首项为1，公比为的等比数列，故.111a r ==⇒={}n r 13113n n r -=由，故的最小值为6.1115381n n r n -=⇒n 故选：B二、填空题5．计算______．223ii +∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑【答案】43【分析】用等比数列求和公式计算即可.【详解】由已知条件，设数列，则23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23422223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1114219342442123333313n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以24lim 33ii ∞→⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：436．等差数列的前项和为，，，，则______．{}n a n n S 35a =228n a -=198n S =n =【答案】12【分析】根据等差数列性质，若，则，可得，代入前m n p q +=+m n p q a a a a +=+132nn a a a a -+=+项和公式即可.n 【详解】，解得()()()132528198222n n n n a a n a a n S -+++====12n =故答案为：127．若二项式展开式的常数项为60，则实数的值为_________．62x ⎛⎝a 【答案】1±【分析】根据二次展开式的通项公式确定常数项即可求的值.a 【详解】二项式展开式的通项为，62x ⎛ ⎝36612666(2)()2r r rr r r r r T C x C a x---+⎛==-⋅⋅ ⎝令，得，常数项为，得．3602r -=4r =()44244626060,1C a a a -⋅===1a =±故答案为：.1±8．某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种．【答案】120【分析】根据已知条件求出6个节目全排的种数，再求出甲、乙、丙3个节目全排的种数，二者相除即可求解.【详解】演出中的6个节目全排列有,66A 654321720=⨯⨯⨯⨯⨯=甲、乙、丙3个节目全排列有,33A 3216=⨯⨯=所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有，6633A 720120A 6==故答案为：.1209．已知是函数的极小值点，则_____．x a =32()(3)5f x x a x x =-++=a 【答案】5【分析】求导，根据是函数的极小值点，由求解，()()23235f x x a x '=-++x a =()f x ()0f a ¢=并检验即可.【详解】解：因为函数，()()3235f x x a x x=-++所以，()()23235f x x a x '=-++因为是函数的极小值点，x a =()()3235f x x a x x =-++所以，即，解得或，()()232350f a a a a '=-++=2650a a -+=1a =5a =当时，，1a =()2385f x x x '=-+当或时，，当时，，1x <53x >()0f x ¢>513x <<()0f x '<所以，在区间上单调递增，在上单调递减，()f x ()5,1,,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭所以当时，函数取得极大值，不符合题意；1x =()f x 当时，，5a =()23165f x x x '=-+当或时，，当时，，13x <5x >()0f x ¢>153x <<()0f x '<所以，在区间上单调递增，在上单调递减，()f x ()1,,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭()f x 1,53⎛⎫⎪⎝⎭所以，当时，函数取得极小值，符合题意；5x =()f x 所以，5a =故答案为：510．已知第一层书架中有6本数学书，4本语文书；第二层书架中有8本数学书，12本语文书．随机选取一层，再从该层中随机取一本书，则它是数学书的概率为_____．【答案】##0.512【分析】利用独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解.【详解】若选到第一层，则选到数学书的概率为，16326410⨯=+若选到第二层，则选到数学书的概率为，18128125⨯=+故随机选取一层，再从该层中随机取一本书，则它是数学书的概率为.3111052+=故答案为：1211．已知数列的前项和为，则_____．{}n a n 111,0,1n n n n S S S a a +++==2022S =【答案】．12022【分析】由代入已知条件变形后可得是等差数列（变形前说明），求出通11n n n a S S ++=-1{}n S 0n S >项公式后得，从而易得结论．n S 【详解】∵，∴，，110n n n S S a +++=110n n n n S S S S +++-=1(1)n n n S S S +=+时， ，又，所以（）．0n S >10n S +>1110S a ==>0n S >N*n ∈∴由，得，110n n n n S S S S +++-=1111n n S S +-=所以是等差数列，公差为1，首项为1，1{}n S ∴，，1n n S =1nS n =从而．202212022S =故答案为：．1202212．在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：x y x4m81012y12356由表中数据求得关于的回归方程为，则在处的离差的绝对值为_____．y x 0.65.8ˆ1yx =-x m =【答案】1.3【分析】将样本的中心代入回归直线中，求得，再算出当时的观测值，即可得答案.(,x y 6m =6m =【详解】解：因为，4810123455m m x +++++==，123561755y ++++==又因为关于的回归方程为，y x 0.65.8ˆ1yx =-所以，17340.65 1.855m +=⨯-解得，6m =当时，，6m =0.656 1.8 2.1ˆy=⨯-=所以.17|2.1| 1.35-=故答案为:.1.313．已知椭圆，斜率为1的直线过点其左焦点，且与椭圆交于、两点，则弦长22143x y +=l 1F A B _____．||AB =【答案】247【分析】求得直线的方程并与椭圆方程联立，结合弦长公式求得.l AB【详解】椭圆方程为，所以，22143x y +=2,1a b c ===所以，所以直线的方程为，()11,0F -l 1y x =+由消去并化简得，221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 27880,644782880x x +-=∆=+⨯⨯=>设，所以，()()1122,,,A x y B x y 121288,77xx x x +=-=-.247==故答案为：24714．如图是函数的导函数的图象：()y f x =()y f x '=①函数在区间上严格递减； ()f x (1,3)②；(1)(2)f f <③函数在处取极大值； ()f x 1x =④函数在区间内有两个极小值点．()f x (2,5)-则上述说法正确的是______．【答案】②④【分析】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的大小，判断出正确答案.【详解】由导函数的图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减，故()y f x '=()f x ()1,2()2,3，故①错误，②正确；()()12f f <由导函数的图象可知：在上均单调递增，故不是函数的极大值点，③错误；()f x ()1,2-1x =由导函数图象可得：在区间内有，且在与上导函数小于0，(2,5)-()()140f f ''-==()2,1--()3,4在和上导函数大于0，()1,0-()4,5故和为函数的两个极小值点，故在区间内有两个极小值点，④正确.=1x -4x =(2,5)-故答案为：②④15．已知、为双曲线的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>P Q C 点，且，若直线的倾斜角为，则的离心率为____．12||||PQ F F =PQ 3πC##1【分析】由题意画出图形，可得为正三角形，进一步得到四边形为矩形，再由双曲2OQF △21PF QF 线的定义求解得答案．【详解】如图，∵直线的倾斜角为，∴，PQ π3260QOF ∠=︒又，∴，可得为正三角形，12||||PQ F F =2=OQ OF 2OQF △由对称性可得，四边形，21PF QF，2c a -=∴，1e =.16．若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则的取值范围是________．(),0A a ():1xC y x e =-a 【答案】()3,1-【解析】设点为曲线上任意一点，求出函数的导函数，即可求出切线方程，由()()000,1x B x x e -C 切线不经过点，即可得到方程无实根，利用根的判别式求出参数的取值范围；l A ()200110x a x -++=【详解】解：设点为曲线上任意一点，因为，则曲线在()()000,1x B x x e -C ()1xxxy e x exe =+-='C 点处的切线的方程为.B l ()()00001x x y x ex e x x --=-据题意，切线不经过点，则关于的方程，即无实l A 0x ()()00001x x x ex e a x --=-()200110x a x -++=根，所以，解得，所以的取值范围是.()2Δ140a =+-<31a -<<a ()3,1-故答案为：()3,1-三、解答题17．如图，是圆的直径，点是圆上异于A 、B 的点，直线平面，、分别AB O C O PC ⊥ABC E F 是、的中点．PA PC(1)记平面与平面的交线为，求证：直线平面；BEF ABC l //l PAC (2)若，点是的中点，求二面角的余弦值．2PC AB ==CAB E l C --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用中位线证明，则可推出平面，由线面平行的性质，可知，//EF AC //EF ABC //EF l 即可证出直线平面；//l PAC （2）由题意分析，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，C ,,CA CB CP ,,x y z 计算平面和平面的法向量，根据二面角公式可求出平面和平面的余弦值，即为EFB ABC EFB ABC 二面角的余弦值.E l C --【详解】（1）证明：、分别是、的中点， EF PA PC 是的中位线，则，EF ∴PAC △//EF AC 平面ABC ，平面，AC ⊂ EF ⊄ABC 平面，//EF ∴ABC 又平面，平面与平面的交线为，EF ⊂BEF BEF ABC l ，//∴EF l 平面，平面，l ⊄ PAC EF ⊂PAC 平面.//l ∴PAC （2）解：如图，是圆的直径，是的中点，，AB O C AB 2AB =，CA CB ∴⊥CA CB ==直线平面，PC ⊥ABC ，，PC CA ∴⊥PC CB ⊥以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，∴C ,,CA CB CP ,,x y z 则，，，(0,0,1)F B E ⎫⎪⎪⎭，(0,BF∴=BE ⎫=⎪⎪⎭ 设平面的法向量，EFB (,,)n x y z=则，取，则，00BF n z BE n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1y =n = 直线平面，PC ⊥ABC 是平面的法向量，(0,0,1)CP ∴=ABC，cos ,||||CP n CP n CP n ⋅∴===⋅二面角∴E l C --18．2021年9月，教育部印发《关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》中指出：中小学生各项身体素质有所改善，大学生整体下降．某高校为提高学生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼，结合“微信运动”APP 每日统计运动情况，对每日平均运动10000步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，统计了200名学生在某月的运动数据，结果如下：运动达人参与者合计男生70女生80合计80200(1)完善列联表并说明：是否有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关?22⨯(2)从全校运动“运动达人”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取4人参加特训，将男生人数记为，求的分布列．X X 参考公式：．22(),()()()()n ad bc K n a b c da b c d a c b d -==+++++++a 2.072 2.706 3.841 6.6357.87910.828()2P x a ≥0.150.100.050.0100.0050.001【答案】(1)没有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关；(2)X 1234P57030703070570【分析】（1）先完善列联表，通过卡方检验中计算与6.635比较大小从而判断在犯错误概率不超2K 过0.01的前提下认为获得“运动达人”称号与性别的相关性；（2）判断X 服从超几何分布概型，得到X 的分布列．【详解】（1）由题意完善列联表：运动达人参与者合计男生为人，易知列联表数22⨯20080120-=据如下：运动达人参与者合计男生5070120女生305080合计80120200此时：．()2220070305050250.35 6.635120801208072K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯查表可知，()2 2.7060.1P K ≥=所以：没有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关（2）由题意知：选取的8人运动参与者中男生5人，女生3人X 的所有可能情况为： 1、2、3、4且，()135348C C 11C 14P X ===()225348C C 32C 7P X ⋅===，()315384C C 3=3C 7P X ==()443805C C 14=C 14P X ==X 的分布列为：X 1234P114373711419．已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.C 22221x y a b +=0a b >>P 12(1)求椭圆的方程和短轴长；C (2)已知点，过左焦点且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于，，设直线与椭圆的()4,0D -1F A B AD C 另一个交点为，连接，求证：平分.E 1EF 1F D 1BF E ∠【答案】(1)，短轴长22143x y +=(2)证明见解析.【分析】（1）由椭圆定义、离心率可得，进而求得，即可得椭圆方程和短轴长；21a c =⎧⎨=⎩b =（2）将问题化为证明，令为联立椭圆，应用韦达定理、斜率两点式110AF EF k k +=AD (4)y k x =+并化简，即可证结论.11AF EF k k +【详解】（1）由题意，则，故，则，2412a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩21a c =⎧⎨=⎩2223b a c =-=b 所以，短轴长22143x y +=（2）要证平分，即，如下图示，1F D 1BF E ∠1112EF D BF D AF F ∠=∠=∠所以，只需证即可，，110AF EF k k +=1(1,0)F -由题意，设为，联立椭圆并整理得：，AD (4)y k x =+2222(34)3264120k x k x k +++-=所以，且，即，223234A E k x x k +=-+22641234A Ek x x k -=+2144(14)0k ∆=->1122k -<<而，11(4)(4)[25()8]1111()1A E A E A E A E AF EF A E A E A E A E y y k x k x k x x x x k k x x x x x x x x ++++++=+=+=+++++++又，22222212824160322425()80343434A E A E k k k x x x x k k k -++++=-+=+++所以，故平分，得证.110AF EF k k +=1F D 1BF E ∠20．近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为90%了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．请回答如下两个问题：(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的n n P 1P 1概率，表示累计得分为的概率），求：2P 2①的通项公式；1{}n n P P +-②的通项公式．{}n P 【答案】(1)；5.7(2)①；②.11910n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1099191910nn P ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可；（2）求得的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得；再结合累加法，11,,n n n P P P +-1n n P P +-以及等比数列前项和公式，即可求得.n n P 【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为，由题可知，，故X ()~3,0.9X B ，()30.9 2.7E X =⨯=设某班同学3次专注度监测的总得分为，根据题意，故Y ()233Y X X X =+-=+.()()3 5.7E Y E X =+=故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是.5.7（2）①由题可知，120.1,0.90.10.10.91P P ==+⨯=根据题意，，故可得*1119,2,N 1010n n n P P P n n +-=+≥∈()11910n n n n P P P P +--=--故数列为首项，公比为的等比数列，{}1n n P P +-21810.81100P P -==910-则.11181991001010n n n n P P -++⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭②根据上式可得，()()()112211n n n n n P P P P P P P P ---=-+-++-+ 则，1299110109999109911910101010191910110nn n nn P -⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+-++-+-+=+=+⨯- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭故的通项公式.{}n P 1099191910nn P ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭21．已知函数．()ln (,)f x a x bx a b =+∈R (1)若，求函数的图像在处的切线方程；1a b ==()y f x =1x =(2)若，求函数的单调区间；1a =()y f x =(3)若，已知函数有两个相异零点，求证：．1b =-()y f x =12,x x 212e x x >【答案】(1)210x y --=(2)答案见解析.(3)证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；0b ≥0b <（3）由题知，方程有两个不相等的实数根，进而得，再不妨令，进而将问ln xa x =e a >120x x >>题转化为证明，故令，进一步转化为证明，1112221ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121x t x =>()()1ln 21t t t +>-成立，再构造函数证明不等式即可.1t >【详解】（1）解：当时，函数，，1a b ==()ln f x x x =+1()1f x x '=+所以，，()()1ln111,12f f =+=='所以函数的图像在处的切线方程为，即.()y f x =1x =()121y x -=-210x y --=所以，函数的图像在处的切线方程为()y f x =1x =210x y --=（2）解：当时，，定义域为，1a =()ln f x x bx =+()0,∞+所以，，11()bx f x b x x +'=+=所以，时，在上恒成立，故在上单调递增，0b ≥()0f x '≥()0,∞+()f x ()0,∞+当时，令得，0b <()0f x '=1x b =-所以，当时，，单调递增；10,x b ∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 当时，，单调递减；1,x b ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 综上，时，在上单调递增；0b ≥()f x ()0,∞+时，在上单调递增，在上单调递减.0b <()f x 10,b ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,b ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）解：由题知，，1b =-()ln f x a x x =-因为函数有两个相异零点，且()y f x =12,x x (1)1f =-所以且，，即，11x ≠21x ≠1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩1122ln ln x a x x a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，方程有两个不相等的实数根，ln xa x =令，则，()ln x g x x =()()2ln 1ln x g x x -'=故当时，，时，，()()0,11,e x ∈ ()0g x '<()e,x ∈+∞()0g x '>所以，在上单调递减，在上单调递增，()g x ()()0,1,1,e ()e,+∞因为，()()0,1,0x g x ∈<()()1,,0x g x ∈+∞>所以，要使方程有两个不相等的实数根，则.ln xa x =()e e a g >=不妨令，则120x x >>1122ln ,ln a x x a x x ==所以，，()121212ln ln ln a x x a x x x x +==+()1212ln ln a x x x x -=-要证，只需证，即证：212e x x >12ln 2x x >1212ln 2x x x x a+=>因为，1212ln ln 1x x a x x -=-所以，只需证，()121211212122ln ln ln 2x x x x x x x x x x x x +---+=>只需证，即1211221ln 21x x xx x x +>-1112221ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故令，121x t x =>故只需证，成立，()()1ln 21t t t +>-1t >令()()()1ln 21,1h t t t t t =+-->则，()11ln 2ln 1t h t t t t t +'=+-=+-在恒成立，()221110t h t t t t -''=-=>()1,+∞所以，在上单调递增，()h t '()1,+∞因为，()10h '=所以在恒成立，()0h t '>()1,+∞所以，在上单调递增，()h t ()1,+∞所以，，即，成立，()()10h t h >=()()1ln 21t t t +>-1t >所以，成立.212e x x >【点睛】本题第三问解题的关键在于根据题意，将问题转化为证明，进而1112221ln 21x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，再构造函数证明成立即可.121x t x =>()()()1ln 21,1h t t t t t =+-->()()1ln 21t t t +>-1t >。