高中数学新学案同步 必修1 北师大版 第三章 指数函数和对数函数 5.1~5.2 讲义
第三章 §5 对数函数5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y＝log2x的图像和性质学习目标1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.4.了解反函数的概念及它们的图像特点.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学知识点一 对数函数的概念思考 已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？答案 由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞).梳理 一般地，我们把叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 .a 叫作对数函数的底数.特别地，称以10为底的对数函数y ＝lg x 为常用对数函数；称以无理数e 为底的对数函数y ＝ln x 为自然对数函数.函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)(0，＋∞)知识点二 对数函数的图像与性质思考 y ＝log a x 化为指数式是x ＝a y ，你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？答案 当a ＞1时，若0<x 1<x 2，则 ，解指数不等式，得y 1<y 2从而y ＝log a x 在(0，＋∞)上为增函数.当0<a <1时，同理可得y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数.12y y a a梳理 类似地，我们可以借助指数函数图像和性质得到对数函数图像和性质：a>10<a<1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0，0<x<1时，y<0(4)当x>1时，y<0，0<x<1时，y>0(5)是(0，＋∞)上的增函数(5)是(0，＋∞)上的减函数知识点三 反函数的概念思考 如果把y＝2x视为A＝R→B＝(0，＋∞)的一个映射，那么y＝log2x是从哪个集合到哪个集合的映射？答案 如图，y＝log2x是从B＝(0，＋∞)到A＝R的一个映射，相当于A 中元素通过f：x→2x对应B中的元素2x，y＝log2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.梳理 一般地，像y＝a x与y＝log a x(a＞0，且a≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y＝a x的定义域R，就是y＝log a x的值域，而y＝a x的值域(0，＋∞)就是y＝log a x的定义域.(2)互为反函数的两个函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图像关于直线y＝x对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.[思考辨析 判断正误]1.由y ＝log a x ，得x ＝a y ，所以x >0.( )2.y ＝2log 2x 是对数函数.( )3.y ＝a x 与y ＝log a x 的单调区间相同.( )4.由log a 1＝0，可得y ＝log a x 恒过定点(1,0).( )××√√题型探究类型一 对数函数的概念解 设y＝log a x(a＞0，且a≠1)，则2＝log a4，故a＝2，即y＝log2x，反思与感悟 对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数.(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由.(1)y＝log a x2(a＞0，且a≠1)；解 ∵真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)y＝log2x－1；解 ∵对数式后减1，∴不是对数函数；(3)y＝log x a(x＞0，且x≠1)；解 ∵底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数.(4)y＝log5x.解 为对数函数.类型二 对数函数的定义域的应用例2 求下列函数的定义域.(1)y＝log a(3－x)＋log a(3＋x)；∴函数的定义域是{x|－3<x<3}.(2)y＝log2(16－4x).解 由16－4x>0，得4x<16＝42，由指数函数的单调性得x<2，∴函数y＝log(16－4x)的定义域为{x|x<2}.引申探究1.若把例2(1)中的函数改为y＝log a(x－3)＋log a(x＋3)，求定义域.∴函数y＝log a(x－3)＋log a(x＋3)的定义域为{x|x>3}.2.求函数y＝log a[(x＋3)(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？解得x<－3或x>3.∴函数y＝log a[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}.相比引申探究1，函数y＝log a[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y＝log a[(x＋3)·(x－3)]，要使对数有意义，只需(x＋3)与(x－3)同号，而对于y＝log a(x－3)＋log a(x＋3)，要使对数有意义，必须(x－3)与(x＋3)同时大于0.反思与感悟 求含对数式的函数定义域的关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变.跟踪训练2 求下列函数的定义域.故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞).(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；所以－1<x<2，且x≠0，故所求函数的定义域为{x|－1<x<2，且x≠0}.(3)y＝log(3x－1)(2x＋3).类型三 对数函数单调性的应用命题角度1 比较同底对数值的大小例3 比较下列各组数中两个值的大小.(1)log23.4，log28.5；解 考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2>1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，又3.4<8.5，于是log23.4<log28.5.(2)log0.31.8，log0.32.7；解 考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，又1.8<2.7，于是 log0.31.8>log0.32.7.(3)log a5.1，log a5.9(a>0，且a≠1).解 当a>1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，又5.1<5.9，于是log a5.1<log a5.9；当0<a<1时，y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，又5.1<5.9，于是log a5.1>log a5.9.综上，当a＞1时，log a5.1<log a5.9；当0<a<1时，log a5.1＞log a5.9.反思与感悟 比较两个同底数的对数大小，首先要根据底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.对于不同底的对数，可以估算范围，如log22<log23<log24，即1<log23<2，从而借助中间值比较大小.√A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.b＞c＞a命题角度2 求y＝log a f(x)型的函数值域(0，＋∞)例4 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________.解析 f(x)的定义域为R.∵3x>0，∴3x＋1>1.∵y＝log2x在(0，＋∞)上递增，∴log2(3x＋1)>log21＝0，即f(x)的值域为(0，＋∞).反思与感悟 在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系.故求y＝log a f(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝log a x的单调性求出log a f(x)的取值范围.A.(0,3)B.[0,3]C.(－∞，3]D.[0，＋∞)答案解析√当x ≥1时，log 2x ≥log 21＝0，类型四 对数函数的图像命题角度1 画与对数函数有关的函数图像例5 画出函数y＝lg|x－1|的图像.解答解 (1)先画出函数y＝lg x的图像(如图).(2)再画出函数y＝lg|x|的图像(如图).(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图像(如图).反思与感悟 现在画图像很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点.跟踪训练5 画出函数y＝|lg(x－1)|的图像.解答解 (1)先画出函数y＝lg x的图像(如图).(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图像(如图).(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图像(如图).命题角度2 与对数函数有关的图像变换例6 函数f (x )＝4＋log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图像过一个定点，则这个定点的坐标是______.答案解析(2,4)解析 因为函数y ＝log a (x －1)的图像过定点(2,0)，所以函数f (x )＝4＋log a (x －1)的图像过定点(2,4).跟踪训练6 已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是A.a>1，c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1，c>1√D.0<a<1,0<c<1解析 由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0<a<1,0<c<1.达标检测1.下列函数为对数函数的是A.y＝log a x＋1(a＞0且a≠1)B.y＝log a(2x)(a＞0且a≠1)√C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)D.y＝2log a x(a＞0且a≠1)2.函数y＝log2(x－2)的定义域是A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)√C.(2，＋∞)D.[4，＋∞)3.函数f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域为√A.(0，＋∞)B.(－∞，0)C.[0，＋∞)D.(－∞，0]4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )等于A.log 2xB.C. D.2x －212log x√5.若函数f(x)＝2log a(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是(1,3)______.规律与方法1.含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数.判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝log a x(a>0，且a≠1)的形式.如：y＝2log2x，y＝都不是对数函数，可称其为对数型函数.2.研究y＝log a f(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.3.研究与对数函数图像有关的问题，以对数函数图像为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分.4.y＝a x与x＝log a y的图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝log a y换成y＝log a x，y＝log a x才与y＝a x关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.。
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 5 对数函数 5.1 对数函数的概念》优质课教案_17
【教学设计·中学数学】《对数函数的概念》教学设计对数函数的概念一、教学目标：1.知识与技能理解对数函数的概念，了解对数函数与指数函数的关系.2.过程与方法从指数函数入手，引出对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系。
3.情感、态度与价值观增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数函数的价值，形成正确的价值观二、教学重点、难点重点：（1）对数函数的概念；（2）对数函数与指数函数的相互转化.难点：对数函数概念的理解；三、学法与教法1、学法：复习回顾，类比归纳，语言表达。
2、教法：探究讨论法。
四、教学设计（一）：复习（1）：函数的概念是什么？（2）：什么是一一映射？（设计目的：本节要学习对数函数，而对数函数是一个新的函数函数模型，所以必须从基本的函数概念入手对其进行分析。
）（二）：新知探究：1.引入在细胞分裂的问题中，细胞分裂个数y和分裂次数x的函数关系,用正整数指数函数y=2x表示.在学习过程中我们已经把它推广到实数指数函数.那么如果分裂次数未知，细胞个数已知，完成下表（引导学生填表并观察，归纳出分裂次数x 与细胞个数y 之间的对应关系y x 2log =）2：探究一思考： 一般的指数函数y =a x (a >0,a ≠1)中的两个变量,能不能把y 当作自变量,使得x是y 的函数?指数函数y =a x (a>0,a ≠1),对于x 每一个确定值,y 都有唯一确定的值和它对应.并且当2121y y x x≠≠时，如图（1）。
就是说，指数函数反应的了数集R 与数集{y|y>0}之间的一一对应。
可见，对于任意y ∈(0,+∞)有唯一x ∈R 满足y =a x把y 当作自变量,x 是y 的函数，即)1,0(log ≠>=a a y x a图（1）函数)1,0(log ≠>=a a y x a 叫作对数函数，这里0.1,0>≠>y a a 自变量 习惯上，自变量用x 表示，所以这个函数就写成 )1,0(log ≠>=a a x y a我们把函数)1,0(log ≠>=a a x ya 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是),(),,0(+∞-∞+∞值域，a 叫作对数函数的底数。
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§5.1对数函数的概念【三维目标】1．知识与技能：（1）理解对数函数的概念；（2）理解对数函数与指数函数的关系.2．过程与方法：（1）注重思考方法的渗透，培养学生以已知探求未知的能力；（2）通过实例培养学生抽象概括能力、类比联想能力.3．情感、态度与价值观：引导学生从现实生活的经历与体验出发，激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解数学知识的功能与价值，形成主动学习的态度.【教学重点与难点】重点：对数函数的概念；难点：指数函数与对数函数的关系.【教学方法】启发诱导合作探究【教学过程】一．创设情景，导入新课我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=x2表示．那如果要求一个这样的细胞经过多少次的分裂，大约可以得到1万或10万个细胞，应该如何解决呢？它们的函数关系是什么？这节课我们就来共同学习这个问题.（写出课题）二．提出问题，小组探究互动探究一：1．细胞分裂的个数y与分裂次数x具有怎样的函数关系？2．如果已知细胞分裂的个数y，如何求它的分裂次数x，写出它的函数关系式. 3．在问题2的关系式中，每输入一个细胞的个数y的值，是否都能得到唯一一个分裂次数x 的值呢？这里是把y 看做自变量，x 为y 的函数. 4．对数函数的定义是什么？5.什么是常用对数函数和自然对数函数？通过小组合作，总结对数函数的概念我们知道指数函数x a y =)1,0(≠>a a 反应了数集R 与数集｛y ︱0>y ｝之间的一一对应关系.如果把y 当作自变量，那么x 就是y 的函数，这个函数就是ya x log =.我们就把这个函数叫做对数函数.习惯上,自变量用x 表示，所以这个函数就写成x a y log = )1,0(≠>a a .互动探究二：1．y a x log =与x a y =中的x ,y 的相同之处是什么?不同之处是什么?指数函数x a y =与对数函数ya x log =刻画的是同一对变量x ,y 之间的关系，所不同的是：(1)在指数函数x a y =中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域为R ，值域为),0(+∞;(2)在对数函数ya x log =中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域为),0(+∞，值域为R.2．指数函数x a y =与对数函数x a y log =之间的关系是什么？两个函数互为反函数，也就是说指数函数x a y =的反函数就是对数函数x a y lo g =)1,0(≠>a a ，对数函数x a y log =)1,0(≠>a a 的反函数就是指数函数x a y =)1,0(≠>a a .每个问题小组展示成果，教师点评，归纳总结 三．巩固深化，拓展提升1.计算对数函数x y 2log =对应于x 取1，2，4时的函数值；计算对数函数x y lg =对应于x 取1，10，100，0.1时的函数值.2. 写出下列函数的反函数：3x y =；x y 5=；x y 2log =；6log y x =；1()3x y =；23lg y x =；log xy π= ；ln y x =；x y lg =.【课堂小结】（1）对数函数的概念，对数函数的定义域与值域； （2）对数函数与指数函数的关系.【课后探究】1.在同一坐标系内画出函数x y 2=与xy 2log =的图像，并观察它们的图像有什么关系？那函数x y )21(=与x y 21log =的图像有怎样的关系呢？2.对数函数的图像与性质.【作业布置】91页第2,3题；97页第1,2题 【板书设计】【课后反思】。
高一数学北师大版必修1教学教案第三章5-1对数函数的概念(2)
《对数函数的概念》教学设计一．教学内容课题：对数函数的概念教材：普通高中课程标准试验教科书北师大版《必修1》第三章第五节第一课时二．教学目标：⒈知识与技能：理解对数函数的概念，理解反函数的概念，熟悉对数函数的图像，掌握对数函数的性质与基本应用。
⒉过程与方法：结合互为反函数的两个函数图像的特点，引导学生结合指数函数图像，类比指数函数，探索研究对数函数的性质。
体会类比、分类讨论与数形结合的思想。
⒊情感、态度与价值观：通过教师指导下学生的交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生分析推理的能力；培养学生严谨的科学态度，通过教学中和合作渗透团结合作的意识。
三．教材分析：本节课是高中数学北师大版《必修1》第三章第五节第一课时的内容，在此之前我们学习了指数函数与对数等内容，它为过渡到本节起着铺垫作用。
“对数函数”这节教材，是在没学习反函数的基础上研究的指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系，同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用，本节课为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的基础知识。
四．学情分析：学生有了学习指数函数图像性质的学习经历，以及对数知识的储备，首先由指数函数指对互化引入对数函数的概念，结合同底指对数函数互为反函数的特点引入对数函数图像和性质的研究便水到渠成。
五．教学的重点和难点：重点：对数函数的概念，反函数的概念及对数函数的图像性质难点：反函数的图像特点及由同底指对数函数互为反函数的特点推导对数函数图像性质。
六．教学准备多媒体课件：展示相关资料，图片，例题及习题。
几何画板：展现互为反函数的两个函数的图像的翻转动画，让学生更加直观的看到变化过程。
学案：引导学生学习的资料，例题。
1．复习引出一、回顾指数式与对数式的互相转化过程师生活动：让学生踊跃发言总共活动时间：2分钟1.对课题的复习引出，回顾已有知识，激活已有认知，为反函数的概念讲解作铺垫2．课题引入1、折纸实验如果发现纸有4层，对折了几次？如果发现纸有8层，对折了几次？如果发现纸有16层，对折了几次？…………如果发现纸有256层，对折了几次？你能写出这个折纸次数x关于纸张层数y的关系式吗？2xy=进行指对互化得2logx y=当纸张层数为y时，折纸次数为2logx y=次，我们发现对于纸张层数为y，通过对应关系2logx y=，折纸次数x都有唯一的值与之对应，从而x是关于y的函数。
高中数学新学案同步 必修1 北师大版 第三章 指数函数和对数函数 习题课 讲义
第三章 指数函数和对数函数习题课 对数函数学习目标1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图像变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学知识点一 对数概念及其运算log a Na N2.对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即N 0.(2)log a 1＝ .(3)log a a ＝ .>13.运算公式已知a >0，且a ≠1，M ，N >0.(1)log a M ＋log a N＝ .(2)log a M －log a N ＝ .log a (MN )(3) ＝ log a M .log n ma M (4)log a M ＝ ＝ (c >0，且c ≠1，M >0且M ≠1).1log M a知识点二 对数函数及其图像、性质函数 叫作对数函数.(1)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为；值域为.(2)对数函数y ＝log ax (a >0，且a ≠1)的图像过点 .(3)当a >1时，y ＝log a x 是(0，＋∞)上的增函数.当0<a <1时，y ＝log a x 是(0，＋∞)上的减函数.(4)直线y ＝1与函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像交点为 .(5)y ＝log ax 与y ＝a x 的图像关于 对称.y ＝log a x 与 的图像关于 对称.1log ay x y ＝log a x (a >0，且a ≠1)(0，＋∞)(1,0)(a,1)y ＝x x 轴R[思考辨析 判断正误]1.y ＝x 与 是相等函数.( )××√log a x y a ＝3.若a x >b ，则x >log a b .( )4.y ＝log a (x ＋1)恒过定点(0,0).( )×log a b题型探究类型一 对数式的化简与求值解答(23)log解 方法一 (利用对数定义求值)∴x ＝－1.方法二 (利用对数的运算性质求解)(23)(23)log (23)log 23++-=+(23)log +(23)log +(322)log x y -1log log (322)log 1.x =+==反思与感悟 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化.＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)，(2)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝___.2解析 ∵f(ab)＝lg(ab)＝1.∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2.类型二 对数函数图像的应用设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，不妨设a<b<c，则直线y＝m与f(x)交点横坐标从左到右依次为a，b，c，由图像易知0<a<1<b<e<c<e2，∴f(a)＝|ln a|＝－ln a，f(b)＝|ln b|＝ln b.∴－ln a＝ln b，ln a＋ln b＝0，ln ab＝ln 1，∴ab＝1.∴abc＝c∈(e，e2).反思与感悟 函数的图像直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图像解决，即利用数形结合思想，使问题简单化.解 ∵f(x)＝logx，则y＝|f(x)|的图像如图.类型三 对数函数的综合应用例3 已知函数f(x)＝log a(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图像上任意一点P 关于原点对称的点Q在函数f(x)的图像上.(1)写出函数g(x)的解析式；解 设P(x，y)为g(x)图像上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，∵Q(－x，－y)在f(x)的图像上，∴－y＝log a(－x＋1)，即y＝g(x)＝－log a(1－x).(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围.由题意知，只要F(x)min≥m即可.∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0.即实数m的取值范围为(－∞，0].反思与感悟 指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、伸缩、对称、翻折等变换.(2)你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明.解 发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是奇函数.将x＝y＝0代入条件，得f(0)＋f(0)＝f(0)，所以f(0)＝0.将y＝－x代入条件得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0⇒f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)在(－1,1)上是奇函数.又发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是减函数.即f(x)－f(y)＞0⇒f(x)＞f(y)，达标检测1.函数f(x)＝ln(x＋1)的定义域为A.{x|x>0}B.{x|x≥0}√C.{x|x>－1}D.{x|x≥－1}解析 由x＋1>0，得x>－1，故定义域为{x|x>－1}.√0<a <1时，只需 1214log ,2a3.已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为√4.若f (x 3)＝lg x ，则f (2)等于√解析 令x 3＝2，则 得 132,x =131(2)lg 2lg 2.3f ==5.已知 (a >0)，则 ＝____.2349a =23log a 323log ,a x =又 ∴ 即 234,9a =22322,33x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22322,33x⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭规律与方法1.指数式a b＝N与对数式log a N＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.log m nba4.在运用性质log a M n＝n log a M时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为log a M n＝n log a|M|(n∈N＋，且n为偶数).5.指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.6.明确函数图像的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图像.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图像.。
北师大版高中数学必修1《三章 指数函数和对数函数 5 对数函数 5.3 对数函数的图像和性质》优质课教案_5
5.3 对数函数的图像和性质
教学目标：
掌握对数函数的基本图像，并能通过图像研究对数函数的性质。
重点和难点
教学重点：掌握对数函数的基本图像，使学生能初步自觉地、有意识地利用图像研究对数函数的性质。
教学难点：运用对数函数的性质来解决一些实际问题。
教学过程
1、复习指数函数的图像及性质。
Ppt
展示。
（设计意图）因为对数函数的图
像和性质是通过与指数函数的
图像和性质类比得出的，运用互
为反函数关系以及数形结合的
思想，让学生熟悉指数函数的图
像及性质，为后面对数函数的教
学奠定基础。
2、导出课题
板书：5.3 对数函数的图像和性
质
问题：对数函数图像的得出有几
种方法？
分析：（1）用描点法。
（2）利用反函数图像关于y=x
对称。
动手实践: 作出函数y=
log x及y=
2
log x的图像。
1
2
ppt展示对数函数的图像，提出
问题。
问题3：对数函数有哪些性质？
设计意图：通过图像对比，使图
像直观、准确，便于学生理解图
像之间的共同点和不同点。
Ppt展示对数函数的图像及性质。
3、应用、巩固、拓展。
（例题、练
习）
4、作业布置。
5、。
数学高一3.5.1对数函数的概念学案 北师大必修1
§3．5．1对数函数的概念（学案）[学习目标]1、知识与技能（1） 由前面学习指数函数xy a =的基础上,根据函数的定义引入对数函数．（2） 能够理解指数函数与对数函数的关系,理解反函数的定义．（3） 会求指数函数与对数函数的反函数．2、 过程与方法（1）掌握指数函数与对数函数之间的关系．（2）学会问题的转化,常规思维的迁移．3、情感．态度与价值观通过学习对数函数,了解指数函数与对数函数之间的关系．在学习的过程中体会研究函数要紧扣函数的定义去理解对应关系．增强学习对数函数的积极性和自信心．[学习重点]: 对数函数的定义的理解以及对数函数与指数函数的关系．[学习难点]：对数函数与支书函数之间的关系．[学习方法]：思考、探究、领悟．[学习过程]【新课导入】[互动过程1]复习:1．对数是怎么定义的?对数与指数之间的关系是什么?什么是函数?什么是指数函数?2．指数函数的图像和性质是什么?[互动过程1]在正整数指数函数中,我们讨论了细胞分裂的个数y 与分裂次数x 之间的函数关系,这个函数可以表示为指数函数x y 2=,而在指数函数中,我们又把正整数指数函数推广到实数指数函数,这样已知分裂的次数我们就可以知道细胞分裂的个数,反过来,如果我们知道分裂细胞的个数,我们同样可以知道细胞分裂的次数,如:求一个这样的细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个细胞,或10万个细胞．这样就可以得到分裂次数x 与细胞分裂的个数y 之间的函数关系,那么怎么表示呢?也就是从x y 2=中,用y 表示出x 的值．我们学习了对数,就可以把这个函数写成对数的形式就是_______________． [互动过程2]思考:对于一般的函数xy a (a 0,a 1)=>≠中的两个变量,能不能把y 当作自变量,使得x 是y 的函数呢？请作出解释．思考分析：指数函数x y a (a 0,a 1)=>≠,对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值和它对应；并且当12x x ≠时,___________ ,也就是说指数函数反映了数集_______与数集_____________之间的一一对应关系,可见,对于任意的___________,在___中都有唯一的数x 满足xy a =．如果把y 当作自变量,那么x 就是y 的___________,而且这个函数就是____________,函数_________________叫作对数函数,这里_________________,自变量________．[互动过程3]同学们想一想这种写法与我们原来见过的函数一样吗?怎么不一样?习惯上,自变量用x 表示,所以这个函数就写成___________________________．[对数函数的定义]:我们把函数____________________________叫作对数函数,a 叫作对数函数的底数． 特别地,我们称以10为底的对数函数______________为__________函数；称以无理数e 为底的对数函数_____________________为__________________函数．例1．计算：（1）计算对数函数2y log x =对应于x 取1,2,4时的函数值；（2）计算常用对数函数y lg x =对应于1,10,100,0．1时的函数值．[互动过程4]思考:根据对数函数的定义请同学们思考探讨一下,指数函数xy a =和对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠有什么关系?[反函数的定义]:指数函数x y a =和对数函数a x log y =刻画的是同一对变量x,y 之间的关系,所不同的是:在指数函数x y a =中,x 是自变量,y 是x 的函数,其定义域是R,值域(0,)+∞;在对数函数a x log y =中, y 是自变量, x 是y 的函数,其定义域是(0,)+∞,值域R ．像这样的两个函数叫作____________,就是说,对数函数a x log y =是指数函数x y a =(a 0,a 1)>≠的___________,指数函数x y a =是对数函数a x log y =的____________．由于对数函数通常写成_____________________,因此,指数函数x y a =(a 0,a 1)>≠是对数函数______________________的反函数;同时,对数函数_______________________也是指数函数x y a =(a 0,a 1)>≠的反函数．例2．写出下列对数函数的反函数:13(1)y lg x;(2)y log x ==例3．写出下列指数函数的反函数:（1）x y 5=; （2）x2y ()3=练习．1,2,3,4作业:习题3-5．A 组1,2。
新教材北师大版高中数学必修第一册第三章指数运算与指数函数 学案(知识点汇总及配套习题)
第三章指数运算与指数函数3.1指数幂的拓展 (1)3.2指数幂的运算性质 (7)3.3 指数函数 (12)1、指数函数的概念指数函数的图象和性质 (12)2、指数函数及其性质的应用 (21)复习巩固 (28)3.1指数幂的拓展学习目标核心素养1．理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法．(易混点)1．通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养．2．通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养.1．正分数指数幂的定义是什么？2．正分数指数幂有哪些性质？3．负分数指数幂的定义是什么？1．正分数指数幂(1)定义：给定正数a和正整数m，n，(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得b n＝a m，则称b为a的mn次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂．(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂a满足：a＝a.②a＝n a m.2．负分数指数幂给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义a＝1a＝1n a m.能否将3－27＝－3写成(－27)＝－3?[提示]不能．因为在指数幂的概念中，总有a>0.于是，尽管有3－27＝－3，但不可以写成(－27)＝－3的形式．1.把下列各式中的b(b>0)写成正分数指数幂的形式：(1)b4＝35；(2)b－3＝32.[解](1)∵b4＝35，∴b＝3.(2)∵b－3＝32，∴b＝32.2.计算：(1)8＝________；(2)27＝________.(1)2(2)19[(1)设b＝8，由定义，得b3＝8，b＝2，所以8＝2.(2)由负分数指数幂的定义，得27＝127.设b＝27，由定义，得b3＝272＝93，b＝9，所以27＝19 .]类型1 根式的化简与求值【例1】化简：(1)n x－πn(x＜π，n∈N*)；(2)4()x＋24.[解](1)∵x＜π，∴x－π＜0.当n为偶数时，n x－πn＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，n x－πn＝x－π.综上可知，nx －πn＝⎩⎨⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)4()x ＋24＝||x ＋2＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≥－2－x －2，x <－2.正确区分n a n 与⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n(1)n a n 表示a 的n 次方的n 次方根，而⎝ ⎛⎭⎪⎫na n表示a 的n 次方根的n 次方，因此从运算角度看，运算顺序不同．(2)运算结果不同①⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n ＝a .②n a n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.[跟进训练]1．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＞0，y ＜0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x ＜0，y ＜0B [∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy ＜0，故选B.] 2．若2a －12＝31－2a3，则实数a 的取值范围为________．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 [2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ，故2a －1≤0，所以a ≤12.]类型2 根式与分数指数幂的互化 【例2】 (1)3可化为( ) A ． 2B ．33C ．327 D．27(2)5a－2可化为( )A ．a B．a C．a D．－a[思路点拨] 熟练应用n a m＝a mn是解决该类问题的关键．(1)D(2)A[(1)3＝()33＝27. (2) 5a－2＝()a－2＝a.]根式与分数指数幂的互化规律1．关于式子n a m＝a的两点说明(1)根指数n即分数指数的分母；(2)被开方数的指数m即分数指数的分子．2．通常规定a中的底数a>0.[跟进训练]3．将下列各根式化为分数指数幂的形式：(1)13a；(2)4a－b3.[解](1)13a ＝1a＝a；(2)4a－b3＝()a－b.类型3 求指数幂a mn的值【例3】求下列各式的值：(1)64；(2)81.[思路点拨] 结合分数指数幂的定义，即满足b n ＝a m 时，a ＝b (m ，n ∈ N ＋，a ，b >0)求解．[解] (1)设64＝x ，则x 3＝642＝4 096， 又∵163＝4 096， ∴64＝16. (2)设81＝x, 则x 4＝81－1＝181， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181，∴81＝13.解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．[跟进训练]4．求下列各式的值： (1)125；(2)128.[解] (1)设125＝x ，则x 3＝125， 又∵53＝125， ∴125＝5. (2)设128＝x ，则x 7＝128－1＝1128， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝1128，∴128＝12. 随堂检测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 2表示23个2相乘．( )(2) a ＝m a n(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．( )1(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．( )(3) a＝n a m[答案](1)×(2)×(3)√2.3a－2可化为( )A．a B．aC．a D．－a[答案]A3．计算243等于( )A．9 B．3C．±3D．－3B[由35＝243，得243＝3.]4．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝________.[答案]55．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，(1)a3＝________；1(2)＝________.3a53.2指数幂的运算性质学习目标核心素养1.掌握指数幂的运算性质．(重点)2. 能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．(难点)通过指数幂的运算，培养数学运算素养.指数幂的运算性质由哪些？指数幂的运算性质(a>0，b>0，α∈R，β∈R) 1．aα·aβ＝aα＋β；2．(aα)β＝aαβ；3．(ab)α＝aα·bα.以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算[提示]错误，.1.23×2×2－2＝________.2.(x2y－1z3)＝________.[答案]x y z类型1 指数幂的运算【例1】计算下列各式：[解] (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫49－⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝4×4100·a ·a ·b·b ＝425a 0b 0＝425.在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简．[跟进训练] 1．计算：(2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46a ·b ·3b 3. [解] (1)原式＝－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715. (2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a3c. (3)原式＝.类型2 对指数幂的运算性质的理解【例2】 (1)下列函数中，满足f ()x ＋1＝12f ()x 的是( )A ．f ()x ＝4xB ．f ()x ＝4－xC ．f ()x ＝2xD ．f ()x ＝2－x(2)＝( )(1)D (2)A [(1)f ()x ＋1＝2－(x ＋1)＝12×2－x ＝12f ()x .故选D.1．根据需要，指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用．2．运用幂的运算性质化简时，其底数必须大于零，对于底数小于零的，要先化为底数大于零的形式．如先化为.[跟进训练]2．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2·a 3＝a 6 B ．()－a 23＝()－a 32C.()a 23＝a 5D ．()－a 23＝－a 6D [a 2·a 3＝a 5，A 错；(－a 2)3＝(－1)3×a 2×3＝－a 6，(－a 3)2＝(－1)2×a 3×2＝a 6，B 错；()a 23＝a 6，C 错，故选D.]类型3 根据条件求值 【例3】 已知a ＋a ＝5，求下列各式的值：(1)a ＋a －1； (2)a 2＋a －2. [解] (1)将a ＋a＝5两边平方，得a ＋a －1＋2＝5，所以a ＋a －1＝3. (2)将a ＋a －1＝3两边平方，得a 2＋a －2＋2＝9，所以a 2＋a －2＝7.在本例条件不变的情况下，则a 2－a －2＝______.±35 [令y ＝a 2－a －2，两边平方，得y 2＝a 4＋a －4－2＝(a 2＋a －2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±35，即a2－a－2＝±3 5.] 条件求值的步骤[跟进训练]3．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求a－ba＋b的值．[解]a－b a＋b＝a－b2 a＋b a－b＝a＋b－2aba－b.①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108. ∵a＜b，∴a－b＝－6 3.③将②③代入①，得a－ba＋b＝12－2×9－63＝－33.随堂检测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1) 对任意实数a，a m＋n＝a m a n.( )(2) 当a>0时，()a m n＝a mn.( )(3)当a≠0时，a ma n＝a m－n.( )[答案](1)×(2)√(3)√2．2·5＝( )A ．103B ．10C ．310D ．7 3B [由实数指数幂的运算性质(ab )n ＝a n b n 知，2·5＝()2×5＝10.]3．已知x ＋x ＝5，则x 2＋1x的值为( )A ．5B ．23C ．25D ．27B [∵x ＋x ＝5，∴x ＋2＋x －1＝25，∴x ＋x －1＝23.∴x 2＋1x ＝x ＋1x ＝x ＋x －1＝23.]4.614－ 3338＋30.125 的值为________． 32[原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52－32＋12＝32.] 5．8×42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×36________.110 [原式＝＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.]3.3 指数函数1、指数函数的概念 指数函数的图象和性质学 习 目 标核 心 素 养1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．(重点) 2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．(重点、难点)1．通过指数函数的图象的学习，培养直观想象素养．2．借助指数函数性质的应用，培养逻辑推理素养.1．指数函数的概念是什么？2．结合指数函数的图象，分别指出指数函数y ＝a x (a >1)和y ＝a x (0<a <1)的定义域、值域和单调性各是什么？3．y ＝a x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x(a >0且a ≠1)的图象和性质有什么关系？知识点1 指数函数的概念1．定义：当给定正数a ，且a ≠1时，对于任意的实数x ，都有唯一确定的正数y ＝a x 与之对应，因此，y ＝a x 是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．2．性质：(1)定义域是R ，函数值大于0； (2)图象过定点(0,1)．指数函数的解析式有什么特征？[提示] 指数函数解析式的3个特征：①底数a 为大于0且不等于1的常数；②自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1；③a x 的系数是1.1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y ＝x 2是指数函数．( )(2)指数函数y ＝a x 中，a 可以为负数．( ) (3)y ＝2x ＋1是指数函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×2.函数y ＝(a －2)a x 是指数函数，则a ＝________.3[由指数函数定义知a－2＝1得a＝3.]3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.(2)x[设f(x)＝a x(a >0，a≠1)，∵f(2)＝2，∴a2＝2，∴a＝2，即f(x)＝(2)x.]知识点2 指数函数的图象和性质1．对于函数y＝a x和y＝b x(a>b>1)．(1)当x<0时，0<a x<b x<1；(2)当x＝0时，a x＝b x＝1；(3)当x>0时，a x>b x>1.2．对于函数y＝a x和y＝b x(0<a<b<1)．(1)当x<0时，a x>b x>1；(2)当x＝0时，a x＝b x＝1；(3)当x>0时，0<a x<b x<1.3．指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在R上是增函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0在R上是减函数，当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大4．一般地，指数函数y＝a x和y＝⎝⎛⎭⎪⎫a(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称，且它们在R 上的单调性相反．(1)在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ (2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象与底数a 有什么关系？[提示] (1)指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．(2)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a >1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a <1时，指数函数的图象是“下降”的．4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数．( )(2)已知函数f (x )＝3x ，若m >n ，则f (m )>f (n )．( ) (3)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√5.下列函数中，是增函数的是________(填上正确的序号)． ①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；②y ＝(3＋1)x ；③y ＝2－x ；④y ＝(a 2＋2)x . [答案] ②④6.函数f (x )＝2x ＋3的值域为________． [答案] (3，＋∞)7.函数y ＝a x －1－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________． (1,0) [由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(0,1)，因而在函数y ＝a x －1－1中，当x ＝1时，恒有y ＝0，即函数y ＝a x －1－1的图象恒过点(1,0)．]第1课时 指数函数的概念、图象和性质类型1 指数函数的概念 【例1】 给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ；③y ＝32x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C [①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x 是指数函数；③中，y ＝32x ＝9x ，故③是指数函数；④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．]判断一个函数是指数函数，需判断其解析式是否可化为y ＝a x (a >0，且a ≠1)的形式．[跟进训练]1．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1C [由指数函数定义知⎩⎨⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.]类型2 指数型函数的定义域和值域 【例2】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |；(3)y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . [解] (1)∵x 应满足x －4≠0，∴x ≠4， ∴定义域为{x |x ≠4，x ∈R }． ∵1x －4≠0，∴2≠1，∴y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)定义域为R .∵|x |≥0，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32|x |≥⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120， ∴x ≥0，∴定义域为{x |x ≥0，x ∈R }． ∵x ≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1.∴0≤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<1，∴0≤y <1，∴此函数的值域为[0,1)．函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合．(2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．[跟进训练] 2．函数f (x )＝3x －4＋2x－4的定义域是________． [2,4)∪(4，＋∞) [依题意有⎩⎨⎧x －4≠0，2x－4≥0，解得x ∈[2,4)∪(4，＋∞)．]3．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是________． (1，＋∞) [∵a x －a ≥0， ∴a x ≥a ，∴当a>1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1.]4．函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．[解]①当0<a<1时，函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，所以a－a2＝a2，解得a＝12或a＝0(舍去)；②当a>1时，函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．综上所述，a＝12或a＝32.类型3 指数型函数图象【例3】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0(2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________．(1)D(2){m|m≥1，或m＝0} [(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝a x(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.(2)画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0，即实数m的取值范围是{m|m≥1，或m＝0}．]处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．[跟进训练]4．函数f(x)＝2x＋2－x2x－2－x的大致图象为( )A B C DA[要使函数有意义，则2x－2－x≠0，即x≠0，故其定义域为{x|x≠0}．由于所有选项中的图象都具有奇偶性，因此考虑其奇偶性：f(－x)＝2－x＋2x 2－x－2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．再考虑单调性：f(x)＝2x＋2－x2x－2－x＝22x＋122x－1＝1＋222x－1，当x>0时，f(x)为减函数，故符合条件的函数图象只有A.]5．(多选)函数y＝a x－1a(a>0，a≠1)的图象可能是( )A B C DCD [当a >1时，1a ∈(0,1)，因此x ＝0时，0<y ＝1－1a <1，且y ＝a x －1a在R上是增函数，故C 符合；当0<a <1时，1a>1，因此x ＝0时，y <0，且y ＝a x －1a在R 上是减函数，故D 符合．故选CD.]指数函数图象变换问题探究为研究函数图象的变换规律，某数学兴趣小组以指数函数f (x )＝2x 为例，借助几何画板画出了下面4组函数的图象：(1)y ＝f (x －1)；(2)y ＝f (|x |)＋1；(3)y ＝－f (x )；(4)y ＝|f (x )－1|.[问题探究]1．请分别写出这4组函数的解析式． [提示] (1)y ＝f (x －1)＝2x －1； (2)y ＝f (|x |)＋1＝2|x |＋1； (3)y ＝－f (x )＝－2x ； (4)y ＝|f (x )－1|＝|2x －1|.2．若给出函数f (x )＝4x 的图象，能否由图象变换的方法得到上面这4组函数的图象？若能，试分别写出图象的变换过程．[提示] 能．(1)将函数y ＝f (x )＝4x 的图象向右平移1个单位长度得到函数y ＝f (x －1)＝4x －1的图象．(2)保留函数y ＝f (x )＝4x 在y 轴右侧的图象，并对称至y 轴左侧，再向上平移1个单位长度得到y ＝f (|x |)＋1＝4|x |＋1的图象．(3)函数y ＝－f (x )＝－4x 与y ＝f (x )＝4x 的图象关于x 轴对称．(4)将函数y ＝f (x )＝4x 的图象向下平移1个单位长度得到函数y ＝f (x )－1＝4x －1的图象，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴的上方，便得到函数|f (x )－1|＝|4x －1|的图象.随堂检测1．下列函数中，指数函数的个数为( ) ①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x－1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个B [由指数函数的定义可判定，只有②正确．]2．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0，且a ≠1 B ．a ≥0，且a ≠1 C ．a >12，且a ≠1D ．a ≥12C [依题意得：2a －1>0，且2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，故选C.]3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )A BC DC [函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，故可排除选项ABD.] 4．函数f (x )＝2x －3(1<x ≤5)的值域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤14，4 [因为1<x ≤5，所以－2<x －3≤2.而函数f (x )＝2x －3在其定义域上是增函数，所以14<f (x )≤4，即所求函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤14，4.]5．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．7 [由已知得⎩⎨⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.]2、指数函数及其性质的应用类型1 指数式的大小比较【例1】 (链接教材第86页例3)比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫311与⎝ ⎛⎭⎪⎫833；(3)1.50.3和0.81.2.[解] (1)∵函数y ＝1.5x 在R 上是增函数，2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2.(2)指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫311x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833x 的图象(如图)，由图知⎝ ⎛⎭⎪⎫311>⎝ ⎛⎭⎪⎫833.(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1， 而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2.比较指数式大小的3种类型及处理方法[跟进训练]1．比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8－0.1,1.250.2； (2)1.70.3,0.93.1；(3)a 0.5与a 0.6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵0<0.8<1， ∴y ＝0.8x 在R 上是减函数． ∵－0.2<－0.1， ∴0.8－0.2>0.8－0.1，而0.8－0.2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45－0.2＝1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2.(2)∵1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1， ∴1.70.3>0.93.1.(3)a 0.5与a 0.6可看做指数函数y ＝a x 的两个函数值．当0<a <1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5>a 0.6.当a >1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数． ∵0.5<0.6，∴a 0.5<a 0.6.综上所述，当0<a <1时，a 0.5>a 0.6；当a >1时，a 0.5<a 0.6. 类型2 解含指数型不等式 【例2】 求解下列不等式：(1)已知3x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5，求实数x 的取值范围；(2)若a －5x >a x ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．[解] (1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5＝30.5，所以由3x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.5可得3x ≥30.5，因为y ＝3x 在R上为增函数，故x ≥0.5.(2)①当0<a <1时，函数y ＝a x 在R 上是减函数，则由a －5x >a x ＋7可得－5x <x ＋7，解得x >－76.②当a >1时，函数y ＝a x 在R 上是增函数，则由a －5x >a x ＋7可得－5x >x ＋7，解得x <－76.综上，当0<a <1时，x >－76；当a >1时，x <－76.指数型不等式的解法(1)指数型不等式a f (x )>a g (x )(a >0，且a ≠1)的解法： 当a >1时，f (x )>g (x )； 当0<a <1时，f (x )<g (x )．(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a 0(a >0，且a ≠1)，a －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x(a >0，且a ≠1)等．[跟进训练]2．不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2x 的解集为________．{x |x ≥1，或x ≤－2} [∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2＝(2－1)x 2－2＝22－x 2，∴原不等式等价于22－x 2≤2x .∵y ＝2x 是R 上的增函数， ∴2－x 2≤x ，∴x 2＋x －2≥0，即x ≤－2或x ≥1， ∴原不等式的解集是{x |x ≥1，或x ≤－2}．] 类型3 指数型函数性质的应用指数型函数的单调性问题【例3】 求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ＋3的单调区间．[解] 令t ＝x 2－2x ＋3，则由二次函数的性质可知该函数在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 为减函数，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x ＋3的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．指数型函数的奇偶性问题【例4】 若函数y ＝a －12x－1为奇函数． (1)确定a 的值； (2)求函数的定义域．[解] (1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0， ∴2a ＋1－2x1－2x ＝0.∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－12x －1，∴2x －1≠0，即x ≠0，∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．指数型函数性质的综合问题【例5】 已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)求f (x )的值域．[解] (1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x1＋4x.又f (0)＝0.故当x ∈(－1,1)时，f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x ＋1，x ∈0，1，0，x ＝0，－2x 4x＋1，x ∈－1，0(2)f (x )＝2x1＋4x ，x ∈(0,1)为减函数，证明如下：任取x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝2x 2－2x 12x 1＋x 2－14x 1＋14x 2＋1.∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0,1)上是减函数．由奇函数的对称性知f (x )在(－1,0)上也是减函数．∴当0<x <1时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2141＋1，2040＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12；当－1<x <0时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2040＋1，－2－14－1＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.而f (0)＝0，故函数f (x )在(－1,1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25∪{0}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12.1．对于形如f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y ＝a x 及函数g (x )的单调性来处理．2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[跟进训练]3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x2，求f (x )的值域与单调区间．[解] 令u ＝2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋1≤1，定义域为R ，故u 在(－∞，1)上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x2在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，单调增区间为[1，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)．4．求函数y ＝4x －2×2x ＋5的单调区间．[解] 函数的定义域为R ，令t ＝2x ，x ∈R 时，t ∈(0，＋∞)．y ＝(2x )2－2×2x ＋5＝t 2－2t ＋5＝(t －1)2＋4，t ∈(0，＋∞)． 当t ≥1时，2x ≥1，x ≥0； 当0<t <1时，0<2x <1，x <0.∵y ＝(t －1)2＋4在[1，＋∞)上递增，t ＝2x 在[0，＋∞)上递增，∴函数y ＝4x －2×2x ＋5的单调增区间为[0，＋∞)． 同理可得单调减区间为(－∞，0].随堂检测1．若函数f (x )＝(1－2a )x 在实数集R 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12B [由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]2．下列判断正确的是( ) A ．2.52.5>2.53 B ．0.82<0.83 C ．π2<π 2D ．0.90.3>0.90.5D [∵y ＝0.9x 是减函数，且0.5>0.3， ∴0.90.3>0.90.5.]3．若f (x )＝3x＋1，则( ) A ．f (x )在[－1,1]上为减函数B ．y ＝3x＋1与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋1的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象过点(0,1)D ．f (x )的值域为[1，＋∞)B [f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，则A 错误；y ＝3x ＋1与y ＝3－x ＋1的图象关于y 轴对称，则B 正确；由f (0)＝2，得f (x )的图象过点(0,2)，则C 错误；由3x>0，可得f (x )>1，则D 错误．故选B.]4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调增区间为________．(－∞，＋∞) [由已知得，f (x )的定义域为R . 设u ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u.因为u ＝1－x 在R 上为减函数，又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在(－∞，＋∞)上为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 在(－∞，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调增区间为(－∞，＋∞)．]5．不等式52x 2>5x ＋1的解集是________． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12，或x >1 [由52x 2>5x ＋1得2x 2>x ＋1，解得x <－12或x >1.]复习巩固类型1 指数的运算【例1】 化简：(1)；[解] (1)原式＝＝2－1×103×10＝2－1×10＝102. (2)原式＝＝a 2·a 2＝a 4.指数运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的．[跟进训练]1．0.25－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3702×[(－2)3]＋(2－1)－1－2＝________.－1252 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－(－2)2×(－2)4＋12－1－ 2＝12－4×16＋(2＋1)－ 2 ＝－1252.] 类型2 函数图象及其应用由解析式判断函数图象【例2】 定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x的图象是( )A B C D A [∵当x ≥0时，2x ≥1，当x <0时，2x <1，∴f (x )＝1⊕2x＝⎩⎨⎧2x ，x <0，1，x ≥0，故选A.][跟进训练]2．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )A BC DA [对于函数y ＝2x －x 2，当x ＝2或4时，2x －x 2＝0，所以排除B ，C ； 当x ＝－2时，2x－x 2＝14－4＜0，排除D.故选A.]应用函数图象研究函数性质【例3】 设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点坐标为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)B [在同一坐标系中画出y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象，如图，由图知当x <x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2>x 3，当x >x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2<x 3.代入x ＝2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝1<23，∴2>x 0.再代入1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝2>13，∴x 0>1.] [跟进训练]3．已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．2a ＋2c ＜2B ．2－a ＜2cC ．a ＜0，b ≥0，c ＞0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0A [作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．对于A ，∵a ＜c ，且f (a )＞f (c )，结合函数图象，如果a ，c 位于函数的减区间(－∞，0)，此时a ＜b ＜c <0，可得f (a )＞f (b )＞f (c )，与题设矛盾；如果a ，c 不位于函数的减区间(－∞，0)，那么必有a ＜0＜c ，则f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，f (c )＝|2c －1|＝2c －1.又∵f (a )＞f (c )，∴1－2a ＞2c －1，即2a ＋2c ＜2.故A 正确．对于B ，C ，D 选项，取a ＝－2，b ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫或14，c ＝12， 满足a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，但是B ，C ，D 选项均不成立．]指数函数图象是研究指数函数性质的工具，所以要能熟练画出指数函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．类型3 指数函数的性质及应用比较大小【例4】(1)比较数的大小：(1)27,82；(2)比较1.5，23.1,2的大小关系是( )A．23.1<2<1.5B．1.5<23.1<2C．1.5<2<23.1D．2<1.5<23.1(1)[解]∵82＝(23)2＝26，由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27.(2)C[∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，1.5<2，∴1.5<2.又∵指数函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数，13.1<3.1，∴2<23.1，∴1.5<2<23.1.]数的大小比较常用方法：(1)当需要比较大小的两个实数均是指数幂时，可将其看成某个指数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(2)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．[跟进训练]4．比较下列数的大小：a1.2，a1.3.[解]∵函数y＝a x(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数，当底数0<a<1时在R上是减函数，而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2<a1.3；当0<a<1时，有a1.2>a1.3.函数性质综合应用【例5】已知f(x)＝a＋22x＋1(a∈R)．(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；(2)用定义法判断函数f(x)的单调性；(3)若当x∈[－1,5]时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．[解](1)若函数f(x)为奇函数，∵x∈R，∴f(0)＝a＋1＝0，得a＝－1，验证当a＝－1时，f(x)＝－1＋22x＋1＝1－2x1＋2x为奇函数，∴a＝－1.(2)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝22x1＋1－22x2＋1＝22x2－2x12x1＋12x2＋1，由x1<x2，得2x1＜2x2，∴2x2－2x1>0，又2x1 ＋1>0,2x2 ＋1>0，故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．(3)当x∈[－1,5]时，∵f(x)为减函数，∴f(x)max＝f(－1)＝43＋a，若f(x)≤0恒成立，则满足f(x)max＝43＋a≤0，得a≤－43，∴a的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43.函数y＝a f(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．[跟进训练]5．已知函数f (x )＝9x －3x ＋1＋c (其中c 是常数)．(1)若当x ∈[0,1]时，恒有f (x )＜0成立，求实数c 的取值范围； (2)若存在x 0∈[0,1]，使f (x 0)＜0成立，求实数c 的取值范围． [解] f (x )＝9x －3x ＋1＋c ＝(3x )2－3·3x ＋c ， 令3x ＝t ，则g (t )＝t 2－3t ＋c .(1)当x ∈[0,1]时，t ∈[1,3]，g (t )＝t 2－3t ＋c <0恒成立． ∵二次函数g (t )＝t 2－3t ＋c 图象的对称轴方程为t ＝32，∴根据二次函数的性质可知g (t )在[1,3]上的最大值为g (3)， ∴g (3)＝32－3×3＋c <0，解得c <0.故c 的取值范围为{c |c <0}．(2)存在x 0∈[0,1]，使f (x 0)<0，等价于存在t ∈[1,3]，使g (t )＝t 2－3t ＋c <0，于是只需g (t )在[1,3]上的最小值小于0即可．∵二次函数g (t )＝t 2－3t ＋c 图象的对称轴方程为t ＝32，∴根据二次函数的性质可知g (t )在[1,3]上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3×32＋c <0，解得c <94，故c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪⎪c <94.1．(2015·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <aC [由函数y ＝0.6x 为R 上的减函数，得1>0.60.6>0.61.5>0，而1.50.6>1，所以b <a <c .故选C.]2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f⎝⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [法一：当x >0时，f (x )＝2x >1，则不等式f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1，恒成立当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x ＋12＝2x ＋32>1，解得x >－14，综上知，x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.法二：设F (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，∵f (x )在R 上是增函数，∴F (x )为R 上的增函数，原不等式即为F (x )>1，∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1，∴原不等式等价于F (x )>F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，即知x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.]3．(2015·江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．{x |－1<x <2} [不等式可化为2x 2－x <22，∵函数y ＝2x 为R 上的增函数， 所以不等式等价于x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.则知不等式的解集为{x |－1<x <2}．]4．(2015·山东卷)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [f (x )＝2x ＋12x －a ，f (－x )＝2－x ＋12－x －a ，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴a ＝1.∴f (x )＝2x ＋12x －1，∴f (x )>3，即2x ＋12x －1>3，故不等式可化为2x －22x －1<0，即1<2x <2，解得0<x <1，∴x 的取值范围为(0,1)．]。
高中数学 3.5.1《对数函数的概念》学案 北师大版必修1
高中数学 3.5.1《对数函数的概念》学案北师大版必修1一、说教材1、教材的地位、作用《对数函数的概念》是北师大版高中数学必修一第三章第5节的内容。
在此之前我们学习了指数函数与对数等内容，它为过渡到本节起着铺垫作用。
“对数函数”这节教材，是在没学习反函数的基础上研究的指数函数和对数函数的自变量与因变量之间的关系，同时对数函数作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用，本节课为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的基础知识.2、教育教学目标根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）知识目标：①理解对数函数的概念；②理解对数函数与指数函数的关系。
（2）能力目标：①注重思考方法的渗透，培养学生以已知探求未知的能力②通过实例培养学生抽象概括能力、类比联想能力。
（3）情感目标：通过对《对数函数的概念》的教学，引导学生从现实生活的经历与体验出发，激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解数学知识的功能与价值，形成主动学习的态度。
3、教学重点、难点及关键重点：对数函数的概念。
在教学中只有突出这个重点，才能使教材脉络分明，才能有利于学生联系旧知识，学习新知识。
难点：指数函数与对数函数的关系。
关键：指数函数与对数函数的类比教学。
由指数函数过渡到对数函数，通过类比分析，达到深刻地了解对数函数的概念，是掌握重点和突破难点的关键。
在教学中一定要使学生的思考紧紧围绕指数函数与对数函数的关系，同时在例题的讲解中，重视加强题组的设计和变形，使教学真正体现出由浅入深，由易到难，由具体到抽象的特点，从而突出重点、突破难点。
二、说教法在引入课题时，我采用多媒体、实物演示法；在新课探究中采用问题启导、活动探究、类比发现法；在形成技能时以训练法、探究研讨发为主。
这组教学方法的特点是：教师通过创设问题情境，引导学生逐步发现知识的形成过程，使教学活动真正建立在学生自主活动和探索的基础上，着力培养学生的创新能力。
高中数学新学案同步 必修1 北师大版 第三章 指数函数和对数函数 疑难规律方法
1解读指数函数的四个难点盘点了指数函数的性质后，下面来分析突破指数函数的几大难点，供同学们学习掌握．难点之一：概念指数函数y ＝a x 有三个特征：①指数：指数只能是自变量x ，而不能是x 的函数；②底数：底数为常数，大于0且不等于1；③系数：系数只能是1.例1给出五个函数：①y ＝2×6x ；②y ＝(－6)x ；③y ＝e x ；④y ＝x x ；⑤y ＝22x ＋1.其中指数函数的个数是________．分析根据所给的函数对系数、底数、指数三个方面进行考察，是否满足指数函数的定义．解析对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x 不是常数；对于⑤，指数是x 的一次函数，故①②④⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．答案1难点之二：讨论指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，当a ＞1时，是增函数；当0<a <1时，是减函数．例2函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．分析遇到底数是参数时，应优先分类讨论，此题应先对a 进行分类讨论，再列出方程并求出a .解当a ＞1时，函数y ＝a x 在[1,2]上的最大值是a 2，最小值是a ，依题意得a 2－a ＝a 2，即a 2＝3a 2，所以a ＝32；当0<a <1时，函数y ＝a x 在[1,2]上的最大值是a ，最小值是a 2，依题意得a －a 2＝a 2，即a 2＝a 2，所以a ＝12.综上可知，a ＝32或a ＝12.难点之三：复合指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与一次函数、反比例函数及二次函数等进行复合时，特别是研究单调性时，应掌握好“同增异减”法则．例3求函数y 1322x x -++的减区间．分析指数函数与指数型复合函数的区别在于指数自变量是x 还是x 的函数．此题先求出函数的定义域，再利用复合函数的“同增异减”法则求解．解由－x 2＋x ＋2≥0知，函数的定义域是[－1,2]．令u ＝－x 2＋x ＋2x －122＋94，则y ＝13u 当x ∈－1，12时，随x 的增大，u 增大，y 减小，故函数的减区间为－1，1.难点之四：图像指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图像特征是：当a ＞1时，在y 轴的右侧，a 越大，图像越往上排；在y 轴左侧，a 越大，图像越往下排．例4利用指数函数的图像比较0.7－0.3与0.4－0.3的大小．分析可在同一坐标系中作出y ＝0.7x 及y ＝0.4x 的图像，从图像中得出结果．解如图所示，作出y ＝0.7x ，y ＝0.4x 及x ＝－0.3的图像，易知0.7－0.3<0.4－0.3.评注图像应记忆准确，在第二象限中靠近y 轴的函数应是y ＝0.4x ，而不是y ＝0.7x ，这一点应注意．2换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助．一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b.证明设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b.二、换底公式的应用举例1．乘积型例1(1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决．(1)解换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)证明由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c＝log a d .评注此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决．2．知值求值型例2已知log 1227＝a ，求log 616的值．分析本题可选择以3为底进行求解．解log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a.故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a .评注这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．3．综合型例3设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小．分析本题可选择以19及π为底进行解题．解A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360<2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A <B .评注一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a.3精析对数函数一、对数函数的概念函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为(0，＋∞)．由对数的定义容易知道对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)是指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数．在对数函数中自变量是对数式中的真数，函数值为对数，这一点在运用对数时要谨记．若对数式中的底数为自变量时，此函数不是对数函数．二、对数函数的图像和性质1．对数函数性质的记忆与运用的注意事项(1)数形结合——利用图像记忆性质．x ＝1是“分水岭”；(2)函数的单调性决定于底数a 大于1还是大于0小于1；(3)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (其中a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的概念、图像、性质，既有密切的联系又有本质的区别．2．对数函数图像分布规律如图所示，在同一坐标系中多个对数函数底数的变化规律是：在直线x ＝1的右边区域，在x 轴上方，对数函数的图像越靠近x 轴，底数越大，且底数均大于1；在x 轴下方，对数函数的图像越靠近x 轴，底数越小，且底数均在(0,1)之间．图中的对数函数的底数a ，b ，c ，d 的大小关系是0<a <b <1<c <d .在具体解题时，还可利用特殊值法．例1函数y ＝log (x －1)(4－x )的定义域是________．解析x －1＞0，x －1≠1，4－x ＞0，x ＞1，x ≠2，x <4，所以函数的定义域是(1,2)∪(2,4)．答案(1,2)∪(2,4)评注函数定义域就是使函数解析式有意义的自变量x 的集合，若出现对数，要使其真数大于0，底数大于0且不等于1.例2函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图像如图所示，则a ，b ，c ，d 与正整数1的大小顺序是()A．1<d<c<a<b B．c<d<1<a<bC．c<d<1<b<a D．d<c<1<a<b解析作出直线y＝1，可知其与对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的交点的横坐标分别就是该对数函数的底数a，b，c，d，于是c<d<1<a<b.答案B评注利用特殊值的办法解决有关对数函数的图像问题，可减轻记忆的负担，使问题得到迅速地解决.4巧解指数、对数函数综合题指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x互为反函数，它们有共同的底数，且底数起了核心作用，其变化规律是：当a＞1时，它们在各自的定义域内都是增函数；当0<a<1时，它们在各自的定义域内都是减函数，因此在解决指数、对数函数型问题时，以底数为突破口，往往能够快速解题．1．共享底数对数式与指数式互化，其底数一致，即log a N＝b，a b＝N.利用它可以解决指、对数方程及互化等问题．例1方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝________.解析将对数式化为指数式，得32x＋1＝1－2·3x，即3·(3x)2＋2·3x－1＝0，得3x＝13(负值舍去)，故x＝－1.答案－12．亮出底数在有些指数、对数函数问题，特别是图像问题中，只要突出底数作用，即亮出底数，根据函数的单调性，就可解决．例2当a＞1时，在同一坐标系中，能表示函数y＝a－x与y＝log a x的图像的是()解析由a ＞1，得0<1a<1，则指数函数y ＝a －x 在R 上是减函数，对数函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，故排除B ，C ，D.答案A3．变换底数对数或指数运算最怕是不同底，这时可利用换底公式等手段变换底数．例3若log a 2<log b 2<0，则()A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1解析化为同底，有1log 2a <1log 2b <0，从而log 2b <log 2a <0，即log 2b <log 2a <log 21.∵对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴0<b <a <1.答案B4．讨论底数当底数不定时，常分0<a <1与a ＞1两种情况进行讨论．例4函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的差为5，则a ＝________.解析由题意知，a ＞0，且a ≠1.①当a ＞1时，有a 1－a 0＝5，即a ＝6；②当0<a <1时，有a 0－a 1＝5，即a ＝－4(舍去)．综上知，a ＝6.答案65．消去底数有时候指数及对数问题的底数存在，会给解题带来一定的麻烦，我们还可利用转化的思想(如用同底法、换底法等)消去底数，使问题简化．例5设0<x <1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．解作商|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝|log (1＋x )(1－x )|，∵0<x <1，∴0<1－x <1,1<1＋x <2,0<1－x 2<1，∴|log (1＋x )(1－x )|＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )11－x ＝log (1＋x )1＋x 1－x2＞log (1＋x )(1＋x )＝1.∴|log a(1－x)|＞|log a(1＋x)|.。
高中数学新学案同步 必修1 北师大版 第三章 指数函数和对数函数 1
§1正整数指数函数学习目标1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性．知识点一正整数指数函数的概念思考定义在N ＋上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置.x 12345678…y248163264128256…答案y ＝2x ，x ∈N ＋，自变量在指数上．梳理正整数指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.知识点二正整数指数函数的图像特征及其单调性思考比较12，12，123的大小，你有什么发现？答案12>122>123，对于y 12，x ∈N ＋，x 越大，y 越小．梳理函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)图像是散点图，当a >1时，在定义域上递增；当0<a <1时，在定义域上递减．知识点三指数型函数思考y ＝3·2x ，x ∈N ＋是正整数指数函数吗？答案不是，正整数指数函数的系数为1.梳理形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型．1．函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)是正整数指数函数．(√)2．正整数指数函数y＝2x(x∈N＋)过点(0,1)．(×)3．函数y＝2a x(x∈N＋)是正整数指数函数．(×)类型一正整数指数函数的概念命题角度1判断是否为正整数指数函数例1下列表达式是否为正整数指数函数？(1)y＝1x；(2)y＝(－2)x；(3)y＝3－x(x∈R)；(4)y＝e x(x∈N＋)．考点正整数指数函数的概念题点判断是否为正整数指数函数解(1)(2)底数不符合，要大于0且不等于1，(3)中y＝3－x，但定义域不符合，所以只有(4)为正整数指数函数．反思与感悟判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式是否符合，特别还应看定义域是否为正整数集．跟踪训练1下列函数中是正整数指数函数的是()A．y＝－2x，x∈N＋B．y＝2x，x∈RC．y＝x2，x∈N＋D．y，x∈N＋考点正整数指数函数的概念题点判断是否为正整数指数函数答案D解析结合正整数指数函数的定义可知选D.命题角度2根据正整数指数函数概念求参数例2已知正整数指数函数f(x)＝(a－2)·a x，则f(2)等于()A．2B．3C．9D．16考点正整数指数函数的概念题点根据概念求参数答案C解析∵f(x)是正整数指数函数，－2＝1，>0且a≠1，∴a＝3，f(x)＝3x.∴f(2)＝32＝9.反思与感悟解此类题的关键是找到参数应满足的条件．跟踪训练2函数y＝(1－3a)x是正整数指数函数，则a应满足________．考点正整数指数函数的概念题点根据概念求参数答案a<13，且a≠0解析－3a>0，－3a≠1，解得a<13，且a≠0.类型二正整数指数函数的图像与性质例3比较下面两个正整数指数函数的图像与性质．(1)y＝2x(x∈N＋)；(2)y＝0.95x(x∈N＋)．考点正整数指数函数的图像与性质题点具体函数的图像和性质解列表比较如下：函数y＝2x(x∈N＋)y＝0.95x(x∈N＋)图像定义域正整数集N＋单调性增函数减函数图像特征由一群孤立的点组成反思与感悟通过列表、描点画图，即可得到正整数指数函数的图像，由于定义域为正整数集，所以不需要连成光滑曲线，图像就是由一群孤立的点组成．的图像．跟踪训练3作出下列函数(x∈N＋)(1)y＝3x；(2)y.考点正整数指数函数的图像与性质题点具体函数的图像和性质解(1)(2)类型三正整数指数函数的应用例4某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元．(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；(2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．考点正整数指数函数模型题点复利问题解(1)已知本金为a元，利率为r，则1期后的本利和为y＝a＋a×r＝a(1＋r)，2期后的本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后的本利和为y＝a(1＋r)3，x期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N＋，即本利和y随存期x变化的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N＋.(2)将a＝1000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式，得y＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×1.02255≈1117.68(元)，即5期后本利和约为1117.68元．反思与感悟建立实际问题的函数模型关键是获得数据，并根据数据归纳规律．跟踪训练4一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶？(精确到1小时)考点正整数指数函数模型题点增长问题解1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL ，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL.由题意知：0.3(1－50%)x ≤0.08≤415.采用估算法，当x ＝1＝12>415；当x ＝2＝14＝416<415.由于y 是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2，故至少过2小时驾驶员才能驾驶.1．函数y (x ∈N ＋)的值域是()A ．RB ．正实数C ．N ，132，133，…考点正整数指数函数性质题点值域答案D2．下列函数：①y ＝3x 3(x ∈N ＋)；②y ＝5x (x ∈N ＋)；③y ＝3x ＋1(x ∈N ＋)；④y ＝(a －3)x (a >3，x ∈N ＋)．其中正整数指数函数的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3考点正整数指数函数的概念题点判断是否为正整数指数函数答案B3．当x ∈N ＋时，函数y ＝(a －1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是()A．1<a<2B．a<1C．a>1D．a>2考点正整数指数函数的概念题点根据概念求参数答案D解析在y＝(a－1)x中，当x＝0时，y＝1.而x∈N＋时，y>1，则必有a－1>1，∴a>2，故选D.4．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是()A．增加7.84%B．减少7.84%C．减少9.5%D．不增不减考点正整数指数函数模型题点增长问题答案B解析设商品原价为a，两年后价格为a(1＋20%)2，四年后价格为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.9216a，∴a－0.9216aa×100%＝7.84%，故选B.5．正整数指数函数f(x)＝(a－2)(2a)x(x∈N＋)在定义域N＋上是________的．(填“增加”或“减少”)考点正整数指数函数性质题点单调性答案增加解析∵f(x)＝(a－2)(2a)x是正整数指数函数，∴a－2＝1，且2a>0,2a≠1，∴a＝3，∴f(x)＝6x，x∈N＋.∵6>1，∴f(x)在N＋上是增加的．1．判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式和定义域是否为正整数集．2．当a>1时是增函数．3．当0<a<1时是减函数．4．正整数指数函数的图像是一些孤立的点.一、选择题1．下列函数：①y＝24x，②y＝6x，③y＝32x，④y＝23x，⑤y＝2x＋1.(以上各函数定义域为x∈N＋)其中正整数指数函数的个数为()A．0B．1C．2D．3考点正整数指数函数的概念题点判断是否为正整数指数函数答案C解析只有②③符合题意．2．若(1－2x)34-有意义，则x的取值范围是()A．R x |x∈R且x≠12x |x＞12x|x＜12考点题点答案D解析(1－2x)34-＝14(1－2x)3，∴1－2x＞0，得x＜1 2 .3．函数y＝38x，x∈N＋是()A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数考点正整数指数函数性质题点单调性答案D解析因为正整数指数函数y＝38x，x∈N＋的底数38小于1，所以此函数是减函数．4．函数y＝a x－2＋1(a>0且a≠1，x∈N＋)的图像必经过点() A．(0,1)B．(2,0)C．(2,1)D．(2,2)考点正整数指数函数的图像与性质题点具体函数的图像和性质答案D解析令x＝2，则y＝2，故必经过点(2,2)．5．中心城区现有绿化面积为1000hm2，计划每年增长4%，经过x(x∈N＋)年，绿化面积为y hm2，则x，y间的函数关系为()A．y＝1000(1＋4%)x(x∈N＋)B．y＝(1000×4%)x(x∈N＋)C．y＝1000(1－4%)x(x∈N＋)D．y＝1000(4%)x(x∈N＋)考点正整数指数函数模型题点增长问题答案A6．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围是()A．a<0B．－1<a<0C．0<a<1D．a<－1考点正整数指数函数的概念题点根据概念求参数答案B解析∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，∴0<a＋1<1，∴－1<a<0. 7．函数y＝3×2x－3，x∈N＋，且x∈[0,4]，则y的值域是()A．{－3,3,9,21,45}B．{3,9,21,45}C．{0,3,9,21,45}D．{－3,0,3,9,21,45}考点正整数指数函数性质题点值域答案B解析∵x∈N且x∈[0,4]，∴x＝1,2,3,4，故值域为{3,9,21,45}．＋二、填空题8．经过点(2,9)的正整数指数函数的解析式为________．考点题点答案y＝3x(x∈N＋)解析将点(2,9)代入正整数指数函数的解析式y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)，求出底数．9．已知不等式(a2＋a＋2)2x>(a2＋a＋2)x＋8，其中x∈N＋，使此不等式成立的x的最小整数值是________．考点单调性题点增加答案9解析∵a 2＋a ＋2＋74>1，且x ∈N ＋，∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时递增的性质，得2x >x ＋8，即x >8，∴使此不等式成立的x 的最小整数值为9.10．有浓度为a %的酒精一满瓶共m 升，每次倒出n 升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________．考点正整数指数函数模型题点增长问题答案a %解析第1a %，第2次加满水后，瓶中酒精的浓度为%a %，依次可得第x 次加满水后，瓶中酒精的浓度为·a %(x ∈N ＋)．三、解答题11．设a >0，定义在N ＋上的函数f (x )＝2x a ·(a 2)x 的图像经过点(2,256)，试求此函数的最值．考点题点解化简f (x )＝2x a ·(a 2)x ＝2x a ·a 2x ＝22x xa＋，由f (2)＝256知，2222a＋＝256，于是a ＝2，所以f (x )＝222x x＋，从而知f (x )min ＝f (1)＝23＝8，f (x )无最大值．12．有关部门计划于2017年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2023年应投入多少辆电力型公交车？考点正整数指数函数模型题点增长问题解由题意知，在2018年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)；在2019年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；…故在2023年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)6，即128＝1458(辆)．答该市在2023年应投入1458辆电力型公交车．13．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可以出售重栽也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)考点正整数指数函数模型题点增长问题解设新树苗的木材量为Q ，则十年后有两种结果：①连续生长十年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5；②生长五年后重栽，木材量M ＝2Q (1＋18%)5，则MN ＝2(1＋10%)5，因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以MN >1，即M >N .因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．四、探究与拓展14．若y ＝(2－3a )x 为增加的正整数指数函数，则a 的取值范围是________．考点正整数指数函数的概念题点根据概念求参数答案解析由2－3a >1，解得a <13，即a ∞15．已知正整数指数函数f (x )的图像经过点(3,27)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求f (5)的值；(3)函数f (x )有最值吗？若有，试求出；若无，请说明原因．考点题点解(1)设正整数指数函数为f (x )＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)，因为函数f (x )的图像经过点(3,27)，所以f (3)＝27，即a 3＝27，解得a ＝3，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3x (x ∈N ＋)．(2)f (5)＝35＝243.(3)因为f (x )的定义域为N ＋，且在定义域上是增加的，所以f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．。