简单的三角恒等变换 PPT
第六节 简单的三角恒等变换
基础梳理
1、用于三角恒等变换的公式主要有： (1)__同__角__三__角__函__数__的__基__本__关__系__式____，运用它们可实 现弦函数之间、弦函数与切函数之间的互化，其主 要功能是变名； (2)__诱__导__公__式，运用它们可实现与一个锐角有关的不 同角之间的转化，其主要功能是变角； (3)_和__差__角__公__式__和__倍__角__公__式__，它们是三角恒等变换 的主力军，主要功能也是变角．
= 1
13 14
2
33 14
由b=a-(a-b)得：
cos b=cos[a-(a-b)]
=cos acos(a-b)+sin asin(a-b)
=´17
+ ´ = 1 3 4 3 3 3
14
7 14
1 2
∵0＜b＜
2
，∴b=
. 3
题型三 三角函数式的证明
【例3】 是(1+tan
已知A、B为锐角，求证：A+B= A)×(1+tan B)=2.
知识准备：1. 运用cos 2x=1-2sin2x，即2sin2x=1-cos 2x；
Байду номын сангаас
2. 掌握asin x+bcos x=sin(x+F)(其中tan F=
)；
3. 正弦型函数y=Asin(wx+F)+h(2010·湖南改编a)2 b2
已知f(x)=sin 2x-2sin2x，求f(x)的最小正周期．
2
2
sin a=± 1 ，∴sin a= 1 是cos 2a=1 的充分不必要条件．
2
2
2
4. 对任意的实数a、b，下列等式恒成立的是( A )
A. 2sin a×cos b=sin(a+b)+sin(a-b)
B. 2cos a×sin b=sin(a+b)+cos(a-b)
C. cos a+cos b=2sin 2× sin
2
D. cos a-cos b=2cos 2×cos
2
解析：sin(a+b)+sin(a-b)=sin acos b+cos asin b+sin acos b-cos asin b=2sin acos b，所以答案A正
确，其他逐个验证都是错误的．
3
5. 已知tan(a+b)=
，2 tan
13
5
∴sin 2=sin[(+)+(-)]
=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)
=
3 5
1 1
2 3
4 5
5 13
56 65
变式2-1
已知cos a=1
7
，cos(a-b)=
，且0＜b＜a＜
2
.2
(1)求tan2a的值；(2)求b.
解析：(1)由cosa= 得sin a= = 1cos2
tanA tanB
4 ，∴tan(A+B)=tan
4，
即 1 tanAtanB=1，整理得(1+tan A)×(1+tan B)=2.
综上，若A、B为锐角，则A+B= (1+tan A)×(1+tan B)=2
4
的充要条件是
链接高考
(2010·湖南改编)已知f(x)=sin 2x-2sin2x，求f(x)的最小正周期．
知识准备：1. 运用cos 2x=1-2sin2x，
即2sin2x=1-cos 2x；
2. 掌握asin x+bcos x=sin(x+F)(其中tan F= b )；
3. 正弦型函数y=Asin(wx+F)+h的最小正周期Ta=.T= 2 .
|w |
解：f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x-(1-cos 2x)
5
=
4
，14 则tan
4= ______2 _2 _.
解析：tan
4
= tan
4
=
tan
tan
4
1
tan
tan
4
=
21 54
=
1 2 1
3 22
54
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
经典例题
题型一 利用三角恒等变换公式进行化简求值 【例1】 (1) 1 3
2. 半角公式
(1)sin 2
=__ _1__c2_o s______.
(2)cos =2 _____ _1__c2o_s___.
(3)tan
=2 _____11__cc_ooss_ ___=
sin 1 cos
1 cos sin
基础达标
1. (教材改编题)
2 sin 2 1 cos2
·
s in1 0 co s1 0
(2)2 sin8 1 2cos82
解 (1)原式= cos10 3sin10=
sin10cos10
2sin30 10
1 sin 20 =4.
2
(2)原式=2 12sin4cos4 + 4cos24
=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.
又∵＜4＜
3 2
4
的充要条件
充分性：∵(1+tan A)(1+tan B)=2，
∴1+(tan A+tan B)+tan Atan B=2，
∴tan(A+B)(1-tan Atan B)=1-tan Atan B，
∴tan(A+B)=1，
∵0＜A＜ ∴A+B=
2，0＜B＜ .4
2，∴0＜A+B＜，
必要性：∵A+B=
9
C.
1 3
B. -
1 3
D. 7
9
解析：cos
2 3
2
=cos[p-2
6
]=-cos
2
6
=2sin2
6
-1=- 7
9
3. “sina= 1 ”是“cos 2a1 =”的(A )
2
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析： 由cos 2a= 1 ，得1-2sin2a=1 ，从而
cos2 cos2
=( B )
A. tan
B. tan 2
C. 1
D. 1
2
解析： 2 sin 2 1 cos2
cos2 ·
cos2
= 2sin2 1 cos2
1 cos2 · 2cos2
=tan 2
2. (教材改编题)若sin
6
=
1 3
则cos
2 3
2
=( A )
A. - 7
∴sin 4+cos 4＜0，cos 4＜0，
∴原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4
=-2sin 4-4cos 4.
题型二 三角函数式的求值
【例2】
已知
2
＜b＜a＜ 3
4
，且cos(-)=
1 1
2 3
，sin(+)=-
3 5
，求sin 2的值．
解 ∵ ＜＜＜3 ，
∴又∴0∵si＜nc(os--2(＜)-=)54=，11，23 c，o＜ss4 i(n(+++＜)=)-=32 4-，53 . .
=sin 2x+cos 2x-1=
2sin
2
x
4
- 1，
∴f(x)的最小正周期T= 2 =.
2
，1 0＜a＜
7
2
a = 1
1 7
2
4 ，3 ∴tan 7
=
=4 ，3 tan2a= 2tan = 2 4 3=- 8 3
1 tan 2 1 4 3 2
47
s i n =
co s
43
´7
7 1
(2)由0＜b＜a＜， 得0＜a-b＜
2
2
又∵cos(a-b)= 1 3 14
∴sin(a-b)= = 1cos2
基础梳理
1、用于三角恒等变换的公式主要有： (1)__同__角__三__角__函__数__的__基__本__关__系__式____，运用它们可实 现弦函数之间、弦函数与切函数之间的互化，其主 要功能是变名； (2)__诱__导__公__式，运用它们可实现与一个锐角有关的不 同角之间的转化，其主要功能是变角； (3)_和__差__角__公__式__和__倍__角__公__式__，它们是三角恒等变换 的主力军，主要功能也是变角．
= 1
13 14
2
33 14
由b=a-(a-b)得：
cos b=cos[a-(a-b)]
=cos acos(a-b)+sin asin(a-b)
=´17
+ ´ = 1 3 4 3 3 3
14
7 14
1 2
∵0＜b＜
2
，∴b=
. 3
题型三 三角函数式的证明
【例3】 是(1+tan
已知A、B为锐角，求证：A+B= A)×(1+tan B)=2.
知识准备：1. 运用cos 2x=1-2sin2x，即2sin2x=1-cos 2x；
Байду номын сангаас
2. 掌握asin x+bcos x=sin(x+F)(其中tan F=
)；
3. 正弦型函数y=Asin(wx+F)+h(2010·湖南改编a)2 b2
已知f(x)=sin 2x-2sin2x，求f(x)的最小正周期．
2
2
sin a=± 1 ，∴sin a= 1 是cos 2a=1 的充分不必要条件．
2
2
2
4. 对任意的实数a、b，下列等式恒成立的是( A )
A. 2sin a×cos b=sin(a+b)+sin(a-b)
B. 2cos a×sin b=sin(a+b)+cos(a-b)
C. cos a+cos b=2sin 2× sin
2
D. cos a-cos b=2cos 2×cos
2
解析：sin(a+b)+sin(a-b)=sin acos b+cos asin b+sin acos b-cos asin b=2sin acos b，所以答案A正
确，其他逐个验证都是错误的．
3
5. 已知tan(a+b)=
，2 tan
13
5
∴sin 2=sin[(+)+(-)]
=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)
=
3 5
1 1
2 3
4 5
5 13
56 65
变式2-1
已知cos a=1
7
，cos(a-b)=
，且0＜b＜a＜
2
.2
(1)求tan2a的值；(2)求b.
解析：(1)由cosa= 得sin a= = 1cos2
tanA tanB
4 ，∴tan(A+B)=tan
4，
即 1 tanAtanB=1，整理得(1+tan A)×(1+tan B)=2.
综上，若A、B为锐角，则A+B= (1+tan A)×(1+tan B)=2
4
的充要条件是
链接高考
(2010·湖南改编)已知f(x)=sin 2x-2sin2x，求f(x)的最小正周期．
知识准备：1. 运用cos 2x=1-2sin2x，
即2sin2x=1-cos 2x；
2. 掌握asin x+bcos x=sin(x+F)(其中tan F= b )；
3. 正弦型函数y=Asin(wx+F)+h的最小正周期Ta=.T= 2 .
|w |
解：f(x)=sin 2x-2sin2x=sin 2x-(1-cos 2x)
5
=
4
，14 则tan
4= ______2 _2 _.
解析：tan
4
= tan
4
=
tan
tan
4
1
tan
tan
4
=
21 54
=
1 2 1
3 22
54
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
经典例题
题型一 利用三角恒等变换公式进行化简求值 【例1】 (1) 1 3
2. 半角公式
(1)sin 2
=__ _1__c2_o s______.
(2)cos =2 _____ _1__c2o_s___.
(3)tan
=2 _____11__cc_ooss_ ___=
sin 1 cos
1 cos sin
基础达标
1. (教材改编题)
2 sin 2 1 cos2
·
s in1 0 co s1 0
(2)2 sin8 1 2cos82
解 (1)原式= cos10 3sin10=
sin10cos10
2sin30 10
1 sin 20 =4.
2
(2)原式=2 12sin4cos4 + 4cos24
=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.
又∵＜4＜
3 2
4
的充要条件
充分性：∵(1+tan A)(1+tan B)=2，
∴1+(tan A+tan B)+tan Atan B=2，
∴tan(A+B)(1-tan Atan B)=1-tan Atan B，
∴tan(A+B)=1，
∵0＜A＜ ∴A+B=
2，0＜B＜ .4
2，∴0＜A+B＜，
必要性：∵A+B=
9
C.
1 3
B. -
1 3
D. 7
9
解析：cos
2 3
2
=cos[p-2
6
]=-cos
2
6
=2sin2
6
-1=- 7
9
3. “sina= 1 ”是“cos 2a1 =”的(A )
2
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析： 由cos 2a= 1 ，得1-2sin2a=1 ，从而
cos2 cos2
=( B )
A. tan
B. tan 2
C. 1
D. 1
2
解析： 2 sin 2 1 cos2
cos2 ·
cos2
= 2sin2 1 cos2
1 cos2 · 2cos2
=tan 2
2. (教材改编题)若sin
6
=
1 3
则cos
2 3
2
=( A )
A. - 7
∴sin 4+cos 4＜0，cos 4＜0，
∴原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4
=-2sin 4-4cos 4.
题型二 三角函数式的求值
【例2】
已知
2
＜b＜a＜ 3
4
，且cos(-)=
1 1
2 3
，sin(+)=-
3 5
，求sin 2的值．
解 ∵ ＜＜＜3 ，
∴又∴0∵si＜nc(os--2(＜)-=)54=，11，23 c，o＜ss4 i(n(+++＜)=)-=32 4-，53 . .
=sin 2x+cos 2x-1=
2sin
2
x
4
- 1，
∴f(x)的最小正周期T= 2 =.
2
，1 0＜a＜
7
2
a = 1
1 7
2
4 ，3 ∴tan 7
=
=4 ，3 tan2a= 2tan = 2 4 3=- 8 3
1 tan 2 1 4 3 2
47
s i n =
co s
43
´7
7 1
(2)由0＜b＜a＜， 得0＜a-b＜
2
2
又∵cos(a-b)= 1 3 14
∴sin(a-b)= = 1cos2
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简单的三角恒等变换 课件(经典公开课)
(或 asin x+bcos x= + cos(x-θ)).
.
2.在上述化简过程中,如何确定θ所在的象限?
提示:θ所在的象限由a和b的符号确定.
3.辅助角公式 asin x+bcos x= + sin(x+φ)= + cos
(x-θ).其中 cos φ=
+
+1,
-
∴f(x)的最小正周期为 T= =π.
-
+1
(2)当 f(x)取得最大值时,sin -
=1.
故 2x- =2kπ+(k∈Z),即 x=kπ+(k∈Z).
因此,所求 x 的取值集合为
= +
,∈ .
探究四 三角恒等变换在实际问题中的应用
【例4】 如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样
截取,才能使△OAB的周长最大?
解:设∠AOB=α,△OAB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α.
∴l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R= Rsin + +R.
∵0<α<,∴<α+ <
∴当 α+ = ,
.
即 α=时,l 取得最大值 R+R=( +1)R.
公式,若用α替换2α,则结果怎样?
提示:结果是 cos
2
α=2cos -1
2
2
.
2.在上述化简过程中,如何确定θ所在的象限?
提示:θ所在的象限由a和b的符号确定.
3.辅助角公式 asin x+bcos x= + sin(x+φ)= + cos
(x-θ).其中 cos φ=
+
+1,
-
∴f(x)的最小正周期为 T= =π.
-
+1
(2)当 f(x)取得最大值时,sin -
=1.
故 2x- =2kπ+(k∈Z),即 x=kπ+(k∈Z).
因此,所求 x 的取值集合为
= +
,∈ .
探究四 三角恒等变换在实际问题中的应用
【例4】 如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样
截取,才能使△OAB的周长最大?
解:设∠AOB=α,△OAB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α.
∴l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R= Rsin + +R.
∵0<α<,∴<α+ <
∴当 α+ = ,
.
即 α=时,l 取得最大值 R+R=( +1)R.
公式,若用α替换2α,则结果怎样?
提示:结果是 cos
2
α=2cos -1
2
2
5.5.2 简单的三角恒等变换(第2课时 辅助角公式、半角公式)课件高一上学期数学人教必修第一册
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
T 2 2 sin
练习：
x
π 3
1.
y解： siynxsincxoscoxs x
6
6
sin x 3 cos x 1 sin x
2
2
1 sin x 3 cos x
2
2
sin
x
3
T 2
2.y
cos
2x
3
2 sin2
x
解：y
cos
2x
时,
6
Smax
1 3
3 6
3 6
解题方法（应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤）
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简
↓ 统一化成 f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k 的形式
↓ 利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ） ＋k的形式，研究其性质
练习：已知函数 f(x)＝4cosxsin (x＋ )－1.
2.已知函数 f(x)＝ 3cos2x－π3－2sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期．(2)求证：当 x∈－π4，π4时，f(x)≥－12.
3.已知函数 f(x)＝2 3sin(x－3π)·sinx－π2＋2sin2x＋52π－1，x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，2π上的最大值和最小值； (2)若 f(x0)＝65，x0∈4π，π2，求 cos2x0 的值．
第五章 三角函数
人教2019版必修第一册
5.5.2 简单的三角恒等变换
课程目标
1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基 本思想方法，以及进行简单的应用．
2025届高三数学一轮复习课件-+简单的三角恒等变换
)
A．π 3
B．5π 12
C．π6
D．π4
解析 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π，由 cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，得 sinα＝473，
cos(α＋β)＝±1114.若 cos(α＋β)＝1114，则 sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋
解析
sinα －
3
cosα
＝
2
12sinα－
3
2
cosα
＝
2sin
α－π3
＝
m
－
1
，
因
为
－
1≤sinα－π3≤1，所以－2≤2sinα－π3≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，
则 m 的取值范围是[－1，3]．
课堂小结（1分钟）
【通性通法】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是 把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化 后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将 y＝asinx＋bcosx 转化为 y＝ Asin(x＋φ)或 y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函 数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
因为 x∈π4，32π，所以 x－71π2∈－π3，1112π，
所以 sinx－71π2∈－ 23，1，
所以－ 22sinx－71π2∈－ 22， 46，
即函数
f(x)在区间π4，32π上的最大值为
46，最小值为－
2 2.
(2)因为 cosθ＝45，θ∈32π，2π， 所以 sinθ＝－35，所以 sin2θ＝2sinθcosθ＝－2245， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1265－295＝275， 所以 f2θ＋π3＝－ 22sin2θ＋π3－71π2 ＝－ 22sin2θ－π4＝－12(sin2θ－cos2θ) ＝12(cos2θ－sin2θ)＝12×275＋2245＝3510.
简单的三角恒等变换一精品PPT课件
2
2
5
sin 2 5 .
25
cos2 1 cos 2 1 .
2
2
5
cos 5 .
25
tan
2
sin
2
cos
2.
2
和角公式的变形
例3 求证：
（1）sin
cos
1 2
sin
sin
;
（2）sin sin 2 sin cos .
2
2
这两个式子的左右两边结构形式上有什么不同？
2
2
2
二倍角公式的变形
例1 试以cos表示sin2 , cos2 , tan2 .
2
2
2
解： 是 的二倍，
2
cos 1 2sin2 .
2
即sin2 = 1 cos2 .
2
2
由cos 2 cos2 1，得
2
cos2 1 cos 2 .
2
即tan2 = 1 cos2 . 2 1 cos 2
3.2 简单的三角恒等变换（一）
1.巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角正 弦、余弦、正切公式；
2.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换； 3.通过三角恒等变换的训练，培养转化与化归的数学思想.
复习巩固
1.两角和差的正弦、余弦、正切公式 sin( ) sincos coscos cos( ) coscos sinsin tan( ) tan tan 1 tan tan
证明：(1) sin sin cos cos sin ， sin sin cos cos sin .
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin sin =2 sin cos .
简单的三角恒等变换课件
解：如图所示，连接 AP，设∠PAB＝ θ0≤θ≤π2， 延长 RP 交 AB 于 M， 则 AM＝90cos θ，MP＝90sin θ. 所以 PQ＝MB＝100－90cos θ，
PR＝MR－MP＝100－90sin θ. 所以 S 矩形 PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝ 10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
类型 4 三角恒等变换的实际应用
[典例 4] 如图所示，ABCD 是一块边长为 100 m 的 正方形地皮，其中 AST 是半径为 90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开 发商想在平地上建一个矩形停车场，使 矩形的一个顶点 P 在 ST 上，相邻两边 CQ，CR 正好落在正方形的边 BC，CD 上，求矩形停车 场 PQCR 面积的最大值和最小值．
4．分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等 式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以 判定原等式成立．
类型 3 关于三角函数性质的综合问题(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) ＝4cos
ωx·sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为 π.
(1)求 ω 的值； (2)讨论 f(x)在区间0，π2上的单调性．
从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4＝－2sin 4. 答案：(1)C (2)－2sin 4
归纳升华 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于 三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于 二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割 化弦、变量代替、角度归一等方法．
t2－1 令 t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤ 2)，则 sin θcos θ＝ 2 ，
2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第3节 第2课时 简单的三角恒等变换 课件(24张)
α22－csoins
2α)·(1＋csoins 2
αα·csoins
2 α) 2
＝cos2α2α－sinα2α2·cos αcos
α2＋sin αsin α
α 2＝2scionsαα·
cos
α 2
α＝sin2 α.
sin 2cos 2
cos αcos 2
cos αcos 2
答案：sin2 α
【思维升华】 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式 子结构与特征．
【考点集训】
1．(2022·全国新高考Ⅱ)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos (α＋π4)sin β，则( )
A．tan (α－β)＝1
B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1
D．tan (α＋β)＝－1
解析：由已知等式，得 sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2
)
A．74π
B．94π
C．54π或74π
D．54π或94π
解析：∵α∈π4，π∴2α∈π2，2π.
∵sin
2α＝
55，∴2α∈π2，π，∴α∈π4，π2，cos
2α＝－2
5
5 .
∵β∈π，32π，∴β－α∈π2，54π，∴cos (β－α)＝－31010，
∴cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2αcos (β－α)－sin 2αsin (β－α)
第四章 三角函数
考点 1 三角函数式的化简 【考点集训】
1．(多选)当 3π<α<4π，化简
1＋sin 2
α－
1－sin 2
简单的三角恒等变换 课件
二 化 asinx＋bcosx 为同名的三角函数
【例 2】 已知函数 f(x)＝2 3sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间0，2π上的最大值和最 小值； (2)若 f(x0)＝65，x0∈4π，π2，求 cos2x0 的值．
【分析】 (1)先将 f(x)化为 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再利 用其性质解答．
规律技巧 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差 异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证 明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左 边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦 法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要 熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.
∴S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·t2－2 1 ＝81200t－1902＋950. 故当t＝190时，S矩形PQCR有最小值950 m2； 当t＝ 2，S矩形PQCR有最大值(14050－9000 2)m2.
一 求值问题
典例剖析
【例1】 已知sinθ＝45，且52π<θ<3π，求cosθ2与 tanθ2的值． 【分析】 先求cosθ的值，再利用倍角公式的变形转化为 求半角的三角函数值．
【解】 ∵sinθ＝45，52π<θ<3π，∴cosθ＝－ 1－sin2θ＝－
3 5.
∵cosθ＝2cos2θ2－1，∴cos2θ2＝1＋2cosθ.
又54π<θ2<32π，
∴cosθ2＝5 5.
θ
4
tanθ2＝csoins22θ＝1＋sincoθsθ＝1－5 35＝2.
规律技巧 半角公式不要求记忆，但要了解其推导过程， 需要时可自行推导再应用，若没有给出角的范围，则根号前的 正、负符号要根据条件进行适当讨论.
人教A版高中数学必修第一册 5.5.2简单的三角恒等变换公开课优秀课件(好用、与教材同步)
以
2
代替 2 ，以
代替
，得
cos
1 2sin2
,
2
2
所以 ① sin2 1 cos .
2
2
在倍角公式 cos2 2cos2 1 中，以 代替 2 ，以
代替 ，得 cos 2 cos2 1,
2
2
所以 ② cos2 1 cos .
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得 tan2 1 cos . 2 1 cos
即得 sin sin 2sin cos .
2
2
拓展： (1)积化和差公式(不要求记忆和应用)
sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]， cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cosαcosβ＝1[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
2 sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
所在象限由
a
和
b
的符号确定．仅仅讨论ba＝±1，±
3，±
3的情况． 3
(2)sin2x＝1－cos2x，cos2x＝
1＋cos2x 2
2
，sinxcosx＝12 sin2x
.
便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 y Asinx
利用和角公式将其展开，可化为 y a sin x b cosx 的形式． 反之，利用和（差）角公式，可将 y a sin x b cosx 转化
为 y Asinx 的形式，进而就可以求得其周期和最值了．
巩固练习
练习1 cos2πcos4πcos8π＝________. 777
解：cos 2
7
cos 4
5.5.2简单的三角恒等变换课件(人教版)
任务1：利用两角和差公式推导出积化和差公式.
先视察下列等式，找出等式左右两边结构特点，再加以证明.
(1) sin cos 1 [sin( ) sin( )] ；
2
等式左边都是两个三角函
(2) cos sin 1 [sin( ) sin( )] ； 数积的情势；右边是两个三
根据积化和差公式 sin cos 1 [sin( ) sin( )] ，思
2
考如何证明等式 sin sin 2sin cos 恒成立？
2
2
解 ：根据 sin cos 1 [sin( ) sin( )] ，令 , ,则 ,
2
22
， sin cos 1 (sin sin)
（3）cos cos 2sin sin 2 .
2
2
2
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
和差化积公式：
(1) sin sin 2sin cos ；
2
2
(2) sin sin 2cos sin ；
2
2
(3) cos cos 2cos cos ；
2
2
(4) cos cos 2sin sin .
新授课 课时15 简单的三角恒等变换
学习目标
学习活动
学习总结
1.会用二倍角公式推导出半角公式，并掌握其简单应用. 2.能根据两角和差公式推导出积化和差、和差化积公式.
学习目标
学习活动
学习总结
目标一：能用二倍角公式推导出半角公式，并掌握其简单应用.
任务：根据以下问题，推导出半角公式.
根据公式 cos 2 cos2 sБайду номын сангаасn2 2cos2 1 1 2sin2 ，探究以下问题：
简单的三角恒等变换 课件
∵α 为第四象限角，∴α2为第二、四象限角． 当α2为第二象限角时， sinα2＝ 33，cosα2＝－ 36，tanα2＝－ 22； 当α2为第四象限角时， sinα2＝－ 33，cosα2＝ 36，tanα2＝－ 22．
● 规律方法 利用半角公式求值的思路
● (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角 函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式 求解．
2s2insi2nc2o2xs2＝
cosx2． sin2
右边＝1＋2coxs22x－x 1＝cosx2x， 2sin2cos2 sin2
所以左边＝右边，
即等式成立．
知识点 2 常见的三角恒等变换 1．a sin x＋b cos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(ab≠0)，其中 tan φ＝ba，φ
所在象限由 a 和 b 的符号确定． 2．sin2x＝1－c2os 2x，cos2x＝1＋c2os 2x，
1 sin x cos x＝__2_si_n__2_x_______．
题型一 利用半角公式求值
【例 1】 已知 cos α＝13，α 为第四象限角，求 sin α2，cos α2，
tan α2． 解 sin α2＝±
1－cos 2
α＝±
1－2 13＝± 33，
cos α2＝±
1＋cos 2
α＝±
1＋2 13＝± 36，
tan α2＝±
1－cos 1＋cosFra bibliotekαα＝±
11－ ＋1313＝± 22．
＝sinα2sin2α2－αcos2α2＝－sinα2cαos
α ．
sin2
sin2
因为－π<α<0，所以－π2<α2<0, 所以 sinα2<0，