高中数学空间向量的运算 ppt课件
高中数学平面向量和空间向量
平面向量
1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．
单位向量：长度等于1个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：ababab．
⑷运算性质：①交换律：abba；
②结合律：abcabc；③00aaa．
⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．
设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则1212,xxyy．
4、向量数乘运算：
⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．
①aa；
②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a． b a C
abCC ⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．
⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．
5、向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．
设11,axy，22,bxy，其中0b，则当且仅当12210xyxy时，向量a、0bb共线．
6、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使1122aee．（不共线的向量1e、2e作为这一平面内所有向量的一组基底）
2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2共面向量定理讲义
3．1.2 共面向量定理
[对应学生用书P50]
如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问题．
问题1：AB、AD、11AC可以移到一个平面内吗？
提示：可以，因为AC＝11AC，三个向量可移到平面ABCD内．
问题2：1AA，AC，1AC三个向量的位置关系？
提示：三个向量都在平面ACC1A1内．
问题3：1BB、1CC、1DD三个向量是什么关系？
提示：相等．
1．共面向量
一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量．
2．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.
1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．
2．向量共面不具有传递性．
3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．
[对应学生用书P51]
向量共面的判定
[例1] 给出以下命题：
①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；
②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；
③若存在有序实数组(x，y)使得OP＝xOA＋yOB，则O、P、A、B四点共面；
④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；
⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．
其中正确命题的序号是________．
[思路点拨] 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．
[精解详析] ①错：空间中任意两个向量都是共面的；
②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；
③正确：因为OP、OA、OB共面，
∴O、P、A、B四点共面；
④错：没有强调零向量；
⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．
[答案] ③
[一点通] 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．
高中数学新湘教版选修2-1 空间中向量的概念和运算
3．1空间中向量的概念和运算
第一课时 空间中向量的概念和线性运算
[读教材·填要点]
1．向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量．
2．用有向线段表示向量
要表示向量a，可以从任意一点A出发作有向量线段AB，使AB的方向与a相同，长度|AB|等于a的模，则有向线段AB表示向量a，记为a＝AB―→ .
3．空间向量加法的运算律
(1)a＋b＝b＋a.(加法交换律)
(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(加法结合律)
4．向量与实数相乘
(1)向量与实数相乘：任何一个向量a都可以看作某个平面上的向量，它与实数λ相乘可以按照平面向量与实数相乘的法则进行．
(2)①λ(a＋b)＝λa＋λb.(对向量加法的分配律)
②(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a.(对实数加法的分配律)
[小问题·大思维]
1．空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？
提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样．
2．在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？
提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面．
3．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全相同吗？ 提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内，所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则，是相同的．
4．两个向量a，b共线是两个向量共面的什么条件？
提示：a，b共线时， 这两个向量一定共面；若a与b共面，a与b所在的直线可能相交，所以a与b共线是a与b共面的充分不必要条件．
空间向量的线性运算
已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
(1)OQ―→＝PQ―→＋xPC―→＋yPA―→；
(2)PA―→＝xPO―→＋yPQ―→＋PD―→.
[自主解答]
如图，
空间向量的数量积运算 精品
§3.1.3空间向量的数量积运算 公开课教案
调兵山市第二高中 王雅男
课题：3.1.3空间向量的数量积运算 (人教版普通高中课程标准实验教科书)选修2-1
教学目标: 知识目标：① 掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；
② 运用公式解决立体几何中的有关问题。
能力目标：① 比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；
② 探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。
情感目标：① 通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；
② 通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。
教学重点：空间向量数量积公式及其应用。
教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。
教学方法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；
学生学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想等形式。
课型：新授课
教具：多媒体投影仪
授课时间：2007.12.12（周三）上午第二节
授课地点：高二（10）班
授课教师：林益强
授课过程：
1.复习引入(1)”数量积”概念提出的背景:如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所作的功
||||cosWFSFS,为了在数学中体现”功”的这样一个标量,我们引入了”数量积”的概念.
(2)平面向量的数量积定义:我们把 ||||cosab叫做向量ab与的数量积(或内积,点积)记作ab,其中,0ab是和的夹角范围是
注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.02时,0ab, 2时,0ab, 2时, 0ab
高中数学空间向量的向量积
、、、、
1 空间向量的数量积
本次课课堂教学内容
要点一：空间向量的数量积
1．两个向量的数量积．
已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．
要点诠释：
①由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
①两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
①两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
2.空间向量数量积的性质
设是非零向量，是单位向量，则
①；
①；
①或；
①；
①
3．空间向量的数量积满足如下运算律
①（a）·b=（a·b）；
①a·b=b·a（交换律）； ,abe||cos,aeeaaae0abab2||aaa||aaacos,||||ababab||||||abab、、、、
2 ①a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．
要点诠释：
①对于三个不为0的向量a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，若不能得出，即向量不能约分．
①若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．
①对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，有，向量的数量积不满足结合律．
要点二：空间两个向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则①AOB叫做向量a与
b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，
那么空间两个向量a、b的夹角的余弦,
要点诠释：
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题
1．用向量方法证明空间中的平行关系
(1)证明线线平行
设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(2)证明线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，
平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，
则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(3)证明面面平行
①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．
2．用向量方法证明空间中的垂直关系
(1)证明线线垂直
设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(2)证明线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(3)证明面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )
高中数学3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的坐标表示1数学
3．1.4 空间向量的坐标表示
[对应学生用书P56]
空间向量的坐标表示
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.
问题1：用i，j，k表示AC，1AD.
提示：AC＝i＋j，1AD＝j＋k.
问题2：若1AC＝xi＋yj＋zk，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？
提示：∵1AC＝i＋j＋k，
∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．
在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).
空间向量的坐标运算
一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 0003 N.
问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？
提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．
问题2：巨石受到的合力有多大？
提示：|F|＝5 000 N.
1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.
2．空间向量平行的坐标表示为
a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．
3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．
1．确定空间向量的坐标的方法： (1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标．
空间向量的数量积运算-高中数学知识点讲解
空间向量的数量积运算
1．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
→ → →
已知两个非零向量푎、푏，在空间中任取一点 O，作푂퐴
= → →
푎，푂퐵 = → → → →
푏，则∠AOB
叫做向量푎与푏的夹角，记作＜푎，
→
푏＞．
2．空间向量的数量积
→ → → → → → → → → → → → → →
（1）定义：已知两个非零向量푎、푏，则|푎||푏|cos＜푎，푏＞叫做向量푎与푏的数量积，记作푎•푏，即푎•푏 =
|푎||푏|cos
→ →
푎，푏＞ ＜
→ → → → → → → → → → →
（2）几何意义：푎与푏的数量积等于푎的长度|푎|与푏在푎的方向上的投影|푏|cosθ
的乘积，或푏的长度|푏|与푎在푏的方
→
向上的投影|푎|cosθ
的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
→
（1）交换律：(휆푎)
⋅ → →
푏 = λ（푎
⋅ →
푏） = → →
푎•（휆푏）
→
푎
⋅ →
푏 = →
푏
⋅ →
푎
→ →
（2）分配律：푎 ⋅ (푏
+ →
푐) = →
푎
⋅ →
푏 + →
푎
⋅ →
푐．
4．数量积的理解
→
（1）书写向量的数量积时，只能用符号푎
⋅ → →
푏，而不能用符号푎 × → →→
푏，也不能用푎푏
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符
号由夹角的余弦值决定．
→
（3）当푎
≠ → →
0时，由푎 ⋅ → → → → →
푏 = 0
不能推出푏一定是零向量，这是因为任一个与푎垂直的非零向量푏，都有푎 ⋅ →
푏 = 0
【解题方法点拨】 利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
1 / 3利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，
人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义 1.1空间向量及其运算(含解析)
洪创教育精品文档工作室
洪创教育精品文档工作室 1.1
空间向量及其运算
1、空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2、空间向量的有关定理
〔1〕共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点
〔2〕共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点
3、空间向量的数量积及运算律
〔1〕数量积及相关概念
①两向量的夹角：两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，那么∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，假设〈a，b〉＝π2，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
〔2〕空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
知识梳理 洪创教育精品文档工作室
洪创教育精品文档工作室
题型一 空间向量根本关系
例1 向量,ab互为相反向量，b＝3，那么以下结论正确的选项是〔 〕
A．ab B．ab为实数0
C．a 与b方向相同 D．||a＝3
【答案】D
【详解】
向量,ab互为相反向量，
那么,ab模相等、方向相反.
0ab.
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的向量表示
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. 1.数学抽象——能够抽象出直线的方向向量与平面的法向量.
2.数学运算——会用空间向量的坐标运算求平面向量的法向量 2.掌握直线的方向向量和平面的法向量
自主学习·必备知识
教材研习
教材原句
要点一 空间中点、直线的向量表示
1.点的位置向量：
如图，在空间中，我们取一定点𝑂 作为 基点 ，那么空间中任意一点𝑃 就可以用向量𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示我们把向量𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 称为点𝑃 的① 位置向量 .
2.空间直线的向量表示式：
如图1,𝐚 是直线𝑙 的方向向量，在直线𝑙 上取𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐚 ，设𝑃 是直线𝑙 上的任意一点，则点𝑃
在直线𝑙 上的充要条件是存在实数𝑡 ，使得𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑡𝐚 ，即② 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑡𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 如图2，取定空间中的任意一点𝑂 ，可以得到点𝑃 在直线𝑙 上的充要条件是存在实数𝑡 ，使𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑡𝐚 或𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑡𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .
上述两个式子都称为空间直线的③ 向量表示式 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
要点二 空间平面的向量表示
1.空间平面的向量表示式：
如图，取定空间任意一点𝑂 ，空间一点𝑃 位于平面𝐴𝐵𝐶 内的充要条件是存在实数𝑥,𝑦 ,
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 我们把这个式子称为空间平面𝐴𝐵𝐶 的向量表示式由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量④ 唯一确定 .