人教版九年级数学上册课件 《垂直于弦的直径》精品课件
②③⑤
. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的
②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平
①③④ 分弦和所对的另一条弧.
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦 ①②④ ,并且平分弦所对的另一条弧.
②两条弦在圆心的两侧
· A
OB
C
D
A
·O B
C
D
将圆沿竖直直径对折可发现，两条弦所夹的弧重合。
∴ 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
新知讲解
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相 互转化,形成整体,才能运用自如.
“知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦
直径平分弧 => 直径垂直于弧所对的弦
谢谢观看！
新知讲解
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为 D，与弧AB交于点C，则D是AB的中 点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
OA2 AD2 OD2
O CB
新知讲解
自主练习：
1.判断： (1)平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
(2)平分弦的直线，必定过圆心。
(3)一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
•O
•O
(1)
B
A (2)
B D
A (3)
B D
新知讲解
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
(5)平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。
·O
AC
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的
C
距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径
h
A
D
或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和
rd
勾股定理求解.
O
B B
课堂练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离
为3cm，求⊙O的半径．
解：
A
E
B
·
O
在Rt△AOE中
答：⊙O的半径为5cm.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.
O.
A CED B
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直 于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？ １、圆是轴对称性 ２、垂径定理及其推论的图式
⌒⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
新知讲解
条件 结论
垂径定理及推论
命题
C
A
B
M└
●O
①② ①③ ①④ ①⑤
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
D
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧
垂直于弦的直径
人教版 九年级上册
导入新知 温故知新：
我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题 1）什么是轴对称图形？ 2）我们学习过的轴对称图形有哪些？
1）如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形叫轴对称图形。
2）如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
这样我们就得到垂径定理：
·O
E
A
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
进一步，我们还可以得到推论： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
新知讲解
如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？
提示：这两条弦在圆中的位置有两种情况：
①两条弦在圆心的同侧
新知讲解
一、探究新知
探究1：折一折
拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
新知讲解
由此你能得到什么结论？ （1）圆是轴对称图形. （2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）. （3）圆的对称轴有无穷多条.
新知讲解
探究2： 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?
线段: AE=BE
C
(
(
(
(
弧: AC=BC, AD=BD
理由如下：连接AO,BO.
·O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两
E
个半圆重合，点A与点B⌒重合，AE与BE A
B
(
(
(
(
D
重合，AC和BC,AD与BD重合．
C
新知讲解
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
A⌒C =B⌒C,
⌒
AD
=B⌒D.
课堂练习
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦， OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． 证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
C
E
·O
A
D
B
课堂练习
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制.
新知讲解
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
圆的两条直径是互相平分的.
C
A ·O B D
新知讲解
垂径定理的推论: • 如图,在下列五个条件中:
⌒⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC,
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
新知讲解
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，
请说明为什么？
C
O
A
E
A
B
D
C B
O A
C
O
O
E
BA
B ED
是
不是，因为
是
不是，因为CD没有
没有垂直
过圆心
新知讲解
垂径定理的几个基本图形：
C
A
O
O
A
EB
A
DB
D
E
DB O
A C
A
=18.52+(R-7.23)2
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
CDBO源自新知讲解自主练习：
如图a、b,一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半
径为7cm，则弓形的高为_2__c_m_或___1_2_c_m____.
C
C
A
D
B
O
O 图a
A DB 图b
新知讲解
方法归纳：
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
(6)弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
(7)平分弦的直径垂直于弦。
A (4)
•O C B (5) C
B •O D
A
A (6)
C
•O EB D
新知讲解
二、垂径定理的实际应用
我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主 桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？
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人教版数学九年级上册垂直于弦的直径优质精选PPT
7学习这篇课文，应该重点引导学生运 用探究 式的学 习方式 ，注意 激发学 生了解 植物知 识、探 究大自 然奥秘 的兴趣 ，把向 书本学 习和向 大自然 学习结 合起来 ，引导 学生养 成留心 身边的 事物、 认真观 察的好 习惯。
演讲完毕，谢谢观看！
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
情境引入：
如图，是1 400 多年前，我国隋 代建造的赵州石拱桥．
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m．
你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。 4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。 6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3 人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
谢谢
1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。 2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
演讲完毕，谢谢观看！
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
情境引入：
如图，是1 400 多年前，我国隋 代建造的赵州石拱桥．
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m．
你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。 4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。 6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3 人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
谢谢
1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。 2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
人教版数学九年级上册24.垂直于弦的直径课件(共26张)
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
⌒
⌒
⌒
⌒
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
⌒
⌒
⌒
⌒
AM－CM＝BM－DM
⌒ ⌒
∴AC＝BD
C
A
D
B
.O
N
M
A
C
A
B
.O
.O
O
E
.
A
C
D
B
D
B
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直
径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
即 AC＝BD.
O
.
A
C
E
D
B
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种
常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),
其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这
段弯路的半径.
解:连接OC.
人教版 数学 九年级 上册
进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解
决一些简单的计算、证明和作图问题.
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
说一说
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对
称轴？
（2）你是怎么得出结论的？ 用折叠的方法
●O
圆的对称性：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
⌒ ⌒
⌒⌒
④ AC=BC
⑤ AD=BD
③ AE=BE
人教版九级数学上册《垂直于弦的直径》优质课件
D
A
B
R
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
O
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦．如图，⊙O的直径AB=12， CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长 为( D )．
因为CD⊥AB， 所以△OAM与△OBM都是直角三角形． 又因为OM为公共边， 所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM． 又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称， 所以A点和B点关于直线CD对称． 所以当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM， 弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
解：设圆的半径为R， 由题意可得OD=R-4，AD=8 m． 在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2， 即R2=(R-4)2+82． 解得R=10(m)． 答：此圆的半径是10 m．
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九 级数学 上册《 垂直于 弦的直 径》优 质课件
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
合作探究，形成知识
( ( ( (
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
数学：24.1.2《垂直于弦的直径》课件(人教版九年级上)
拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，
求桥拱的半径。（精确到0.1米）。
6、在直径为650毫米的圆柱形
油槽内装入一些油后，截面如图
所示。若油面宽AB＝600毫米，
A
求油的最大深度。
O B
O
O
E DC A
D
注意：定理中的两个条件（直径，垂 直于弦）缺一不可！
练习
例1、已知：在⊙O中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的 距离为3cm,求：⊙O的半径。
OE为O到弦AB的垂线段
A
若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。
O EB
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示， 弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
r2 d2 a 2 2
变式练习
变式1：AC、BD有什么关系？
变式2：AC＝BD依然成立吗？
AC
O
DB
变式3：EA＝F_B___, EC=____F_D。
AC E
F DB
O
AC
DB
O
变式4：_O_A_=_O_B_AC=BD.
变式5：_OC_=_O_D
AC=BDA .C
DB
O
• 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点， PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需
要过圆心作弦的垂线段， B NhomakorabeaMA
P
这是一条非常重要的辅助
O
线。
圆心到弦的距离、半径、
弦长构成直角三角形，便
将问题转化为直角三角形
的问题。
综合运用练习
• 已知等腰△ABC的底边BC的长为10cm，顶角为60°， 求它的外接圆的直径。
人教版初中数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件PPT
谈谈本节课的收获
作业
1、必做题：
习题24.1 第10、 11、12题
2、思考题：
已知：在半径为5cm的圆O 中，两条平行弦AB,CD分别 长8cm,6cm.求两条平行弦间
的距离。
谢谢
想一想
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 过点M作直径CD. 左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的
A
┗●
B
想法和理由.
M
●O
由 ① CD是直径 可推得
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC,
③ AM=BM
⌒⌒ ⑤AD=BD.
D
C
推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
A
·O
M B
D
由①CD是直径 ③AM = BM
可推得
②CD⊥AB
⌒⌒ ④AC = BC
⌒⌒ ⑤AD = BD
辨一辨
下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?
O
O
O
(1)
(2)
(3)
O
O
(4)
(5)
(6)
垂径定理的应用 解决求赵州桥拱半径的问题
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
4
1
8
.7
A
R
D
B
OD = OC－CD = R理，得
OA2 = AD2 +
人教版九年级数学上册垂直于弦的直径PPT优秀课件
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一
些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
(1)你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？ 圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是它的对称轴．
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
人教版九年级数学上册垂2直4.于1.弦2：的直垂径直PP于T优弦的秀直课径件 课件
共21张
8
人教版九年级数学上册垂2直4.于1.弦2：的直垂径直PP于T优弦的秀直课径件 课件
思考探索
根据已知条件进行推导： ① ③
②① ④④ ⑤
③② ②③ ⑤
① ④ ⑤
形ADOE是O正E方A形．EAD ODA 90
四
边
形A
DO
E
为矩
形，
AE
1 2
AC
A
D
1 2
A
B
又 ∵AC = AB
C
∴ AE = AD
∴ 四边形ADOE为正方形。 E
·O
A
D
B
人教版九年级数学上册 24.1.2： 垂直于弦的直径 课件
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= 16 cm.
AEB
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2
O·
102 62 8 cm. ∴ AB=2AE=16cm.
人教版九年级数学上册 24.1.2： 垂直于弦的直径 课件
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一
些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
导入新课
(1)你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？ 圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是它的对称轴．
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？
人教版九年级数学上册垂2直4.于1.弦2：的直垂径直PP于T优弦的秀直课径件 课件
共21张
8
人教版九年级数学上册垂2直4.于1.弦2：的直垂径直PP于T优弦的秀直课径件 课件
思考探索
根据已知条件进行推导： ① ③
②① ④④ ⑤
③② ②③ ⑤
① ④ ⑤
形ADOE是O正E方A形．EAD ODA 90
四
边
形A
DO
E
为矩
形，
AE
1 2
AC
A
D
1 2
A
B
又 ∵AC = AB
C
∴ AE = AD
∴ 四边形ADOE为正方形。 E
·O
A
D
B
人教版九年级数学上册 24.1.2： 垂直于弦的直径 课件
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= 16 cm.
AEB
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2
O·
102 62 8 cm. ∴ AB=2AE=16cm.
人教版九年级数学上册 24.1.2： 垂直于弦的直径 课件
24.1.2 垂直于弦的直径(1) 人教版数学九年级上册课件
C
E
O
A
D
B
巩固提高
3.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为 有水部分，如果水面AB宽为16cm，水面最深地 方的高度为4cm，求该输水管的半径.1、这节课你有什么收获？ 2、你还有哪些疑惑？
达标检测
1.如图，已知⊙Ｏ的半径为5cm，一条弦AB的长为8cm，
则圆心O到这条弦的距离为
2. 把一个圆形纸片沿着它的圆心 顺时针或逆时针任意旋转，你发 现了什么？由此你能得到什么结 论？
(1)圆也是中心对称图形.
●O
(2)它的对称中心就是圆心.
结论：圆既是轴对称图形，也是中心对称 图形.
看一看
如图，AB是⊙O的一条弦，CD 是⊙O的直径,
交AB于点E, 当AB和CD有怎样的位置关系时，
作OD AB于点D,则AB 2AD,
在RtAOD中，A
30,OD
1
OA
A
3，
2
AD OA2 OD2 62 32 3 3，
AB 2AD 6 3(cm).
C
O
┓ B
D
探究释疑
如图，圆O的弦CD＝8 ㎝ ，直径AB⊥CD于
E， AE＝2㎝，求半径OA的长.
B
解：连接OC,设OC OA x,
④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？ A
图1
O E
C
D
B
D
图3 A E O
B
C
O
图2
A
E
B
A C
E
图4 B O
D
垂径定理的应用
例1. 如图,已知⊙O的弦AB的长为8, OC⊥AB于C, OC的 长为3，求⊙O的半径长。
人教版九年级上册数学2412垂直于弦的直径课件1共19张
二、自主探究
1.在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径 所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么 结论？
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？试用文字
一）直线CD是AB对称轴 ，点A与点B关于直线CD对称，点C,D 在对称轴CD上，即圆是轴对称图形。
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B
重合，AE与BE重合，弧AD 与弧BD重合. 弧AC 与弧BC重合
∴ A⌒D=⌒BD, A⌒C =⌒BC AE=BE
归纳 垂径定理：
垂直于弦的直径，平分弦且平 分弦所对的两条弧．
C
且平分弦所对的两条弧 ，如何证明？
已知：如图，CD是⊙O的直径，AB为弦，
·O
且CD⊥AB
求证:AE=BE 且
⌒⌒ AD=BD
⌒ AC
⌒ =BC
A
E
B
D
分析：只要证明圆上任一点关于直径所在的直线（ 对称轴）的
对称点也在圆 上，就证明了圆是轴对称图形。
证明：连接OA，OB，则OA=OB CD⊥AB ∴ AE=BE（三线合
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
A
D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2
解得 R≈27.9（m）
O
你还有其它方法吗？
∴赵州桥的主桥拱半径约为 27.9m．
方法一：设点C为弧AB的中点，连接OC交 AB于点D 由垂径定理推论：
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学配套课件(共16张PPT)
3.在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于 点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是______________________.
在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
请大家围绕以下两个问题谈谈这节课你有哪些收获？有何体会？
⑤平分AB所对的劣弧（
（AC=BC ）
⑤平分AB所对的劣弧 A
（AD=BD ）
C
·O
E B
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
试 在下列图形中，你能否利用垂径定
一 理找到相等的线段或相等的圆弧。
试
D
C
A
O
AE B C
A
O
AE B
D
CE O
B
O
E
C
BD
B EA
O
例1已知，如图，在⊙O中，圆心O到
把一个圆沿着它的任意一条直径对 折，重复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
发现： 圆是轴对称图形，它的对称轴是任意 一条直径所在的直线.
实践探究2
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E． （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它
的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
E
Hale Waihona Puke 求证：四边形ADOE是正方形． A
·O
DB
课后拓展
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短 的弦长。
2.如图是一个输水管道的横