2019年四川省成都七中高考数学模拟试卷(文科)(3月份)解析版
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
四川成都七中2019届高三文科数学下学期入学考试试卷(解析版)
四川成都七中2019届高三文科数学下学期入学考试试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，若2+i=z（1-i），则z的共轭复数z−对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={y|y=3x，x∈R}，B={y|y=√4−x2，x∈R}，则A∩B=（）A. [0,2]B. (0,+∞)C. (0,2]D. [0,2)3.函数f（x）=e|x|的大致图象是（）x2−3A. B.C. D.4.执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（）A. 7B. 9C. 11D. 13⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（）5.已知等边△ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则BD第2页，共18页A. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗+16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 43BA ⃗⃗⃗⃗⃗−16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +56BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗+13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（ ）A. 8−2π3 B. 8−2π C. 8−83π D. 8−8π7. 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，12）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A. (−∞,14)B. (−14,+∞)C. (0,+∞)D. (−∞,−12)8. 如图，边长为a 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. 9−√3π18 B. 9−4√3π18 C. 9−√3π27 D. 9−4√3π279. 如图，点A 为双曲线x 2a2-y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点，P 为双曲线上一点，作PB ⊥x 轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. √510. 已知cos （3π2-α）=2sin （α+π3），则tan （α+π6）=（ ）A. −√33B. −√39C. √33D. √3911.如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB=√2，D为直角边BC上的一点，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH=x，则x的取值范围是（）A. (1,√2)B. (√22,1) C. (12,√2) D. (0,1)12.设M，N是抛物线y2=x上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为-12，则（）A. |OM|+|ON|≥4√2B. MN为直径的圆的面积大于4πC. 直线MN过抛物线y2=x的焦点D. O到直线MN的距离不大于2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{x−2y+3≥0x−y+1≥0y≥1，则z=-3x+4y的最大值为______．14.在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆截y轴所得弦长为______．15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字写成公式，即S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，已知△ABC满足（sin A-sin B）（sin A+sin B）=sin A sin C-sin2C，且AB=2BC=2√2，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为______．16.已知函数f(x)={x−2lnx,x>e−x2+6x+e2−5e−2,x≤e（其中e为自然对数的底数，且e≈2.718）若f （6-a2）＞f（a），则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，数列{b n}的前n项和为S n，b1=1，b n≠0，b n b n+1=4S n-1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．18.为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证，某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级第4页，共18页学生中抽取100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占56，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣．（Ⅰ）试完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计男生 女生 合计（Ⅱ）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率． K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥PC ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且PC =BC =2AD =2CD =2√2，PA =2． （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得BM ∥平面AMC ，求PMPD 的值．20. 已知椭圆Γ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），上顶点为A ．过F 且垂直于x 轴的直线l 交椭圆F 于B 、C 两点，若S △FOA S△COB =√22（1）求椭圆Γ的方程；（2）动直线m 与椭圆Γ有且只有一个公共点，且分别交直线1和直线x =2于M 、N 两点，试求|MF||NF|的值21. 已知a ∈R ，函数f （x ）=x -ae x +1有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2）．（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：e x 1+e x 2＞2．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−12ty =2+√32t（t 为参数），以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ， （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M （0，2），曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|MA |•|MB |的值．23. 已知函数f （x ）=|2x +1|-|x -2|．（1）画出函数f （x ）的图象；（2）若关于x 的不等式x +2m +1≥f （x ）有解，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由2+i=z（1-i），得z=，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由y=3x，x∈R，得y＞0，即A=（0，+∞），由y=，x∈R，得：0≤y≤2，即B=[0，2]，即A∩B=（0，2]，故选：C．分别求y=3x，x∈R，y=，x∈R的值域，得：A=（0，+∞），B=[0，2]，再求交集即可．本题考查了求函数值域及交集的运算，属简单题．3.【答案】A【解析】解：f（-x）===f（x），则函数f（x）为偶函数，故排除CD，当x=1时，f（1）=＜0，故排除B，故选：A．先判断函数偶函数，再求出f（1）即可判断第6页，共18页本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题4.【答案】C【解析】解：由题意，模拟执行程序框图，可得S=0，k=1满足条件S＞-1，S=lg，k=3满足条件S＞-1，S=lg+lg，k=5满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg，k=7满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg+lg，k=9满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg+lg+lg=lg（××××）=lg=-lg11，k=11不满足条件S＞-1，退出循环，输出k的值为11．故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5.【答案】A【解析】解：如图所示设BC中点为E，则=+=+=+（+）=-+•=+．故选：A．根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v=，=．故选：A．直接利用三视图，整理出几何体的构成，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（-∞，-），∴f（x）的单调增区间为（-∞，-），故选：D．先求出2x2+x，（0，）的范围，再由条件f（x）＞0判断出a的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求f（x）单调区间．第8页，共18页本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．8.【答案】C【解析】解：如图所示，边长为a的正六边形，则OA=OB=AB=a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC=a，∴O'C=a，OO'=a，∴OD=a，∴S阴影=12[×a•a-π•（a）2]=（-）a2，S正六边形=a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P===，故选：C．分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．9.【答案】A【解析】解：由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x=2a，代入双曲线的方程可得y=±b，可设P（2a，-b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（-a，0），即|AP|=2a，即有2a=，可得a=b，e===，故选：A．设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x=2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a=b，进而得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵cos （-α）=2sin（α+），∴-sinα=2sinαcos +2cosαsin，则即-2sinα= cosα，∴tanα=-，∴tan（α+）===-，故选：B．由题意利用诱导公式、两角和正弦角公式求得tanα，再利用两角和正切公式求得结果．本题主要考查两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB=，D为直角边BC上的一点，∴AC=BC=1，∠ACB=90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH=x，∴AC1=AC=1，CD=C1D∈（0，1），∠AC1D=90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1=1，故排除选项A和选项C；当CD=1时，B与D重合，AH=，当CD＜1时，AH ＞=，第10页，共18页∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．推导出AC=BC=1，∠ACB=90°，AC1=AC=1，CD=C1D∈（0，1），∠AC1D=90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1=1，当CD=1时，B与D重合，AH=，当CD ＜1时，AH＞=，由此能求出x的取值范围．本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，-y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x=2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立，可得ky2-y+m=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m=-2k．∴直线方程为y=kx-2k=k（x-2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与篇文章位置关系的应用，是中档题．13.【答案】5【解析】解：作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线-3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由可得A（1，2），此时z=5．故答案为：5．先画出约束条件的可行域，利用目标函数z=-3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何意义．14.【答案】2【解析】解：圆心到直线的距离d==∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x-1）2+y2=2．∴此时截y轴所得弦长为2故答案为：2．求出圆心到直线的距离d的最大值，求出所求圆的标准方程，即可求出半径最大的圆截y轴所得弦长．本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．15.【答案】√3【解析】第12页，共18页解：∵AB=2BC=2，∴由题意可得：c=2a=2，a=，∵（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sinAsinC-sin2C，∴由正弦定理可得：（a-b）（a+b）=ac-c2，可得：a2+c2-b2=ac，∴S===ac==．故答案为：．由题意可得：c=2a=2，a=，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2-b2=ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】-3＜a＜2【解析】解：∵∴当x≤e时y=-（x-3）2+e2-5e+7∴x≤e时函数单调递增当x＞e时y'=1-＞0恒成立，故x＞e时函数单调递增，∵f（e）=e-2=e-2lne∴函数在R上为增函数．∴由f（6-a2）＞f（a）得6-a2＞a，解得-3＜a＜2故答案为-3＜a＜2利用二次函数的单调性，及导数工具，先探讨函数的单调性，然后利用条件列出不等式，即可解得a的范围．本题考查了函数单调性的性质及利用导数研究函数的单调性，在探讨分段函数的性质时注意分段研究．本题是个中档题．17.【答案】解：（1）设公比为q等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，首项为a1，则：a1q4⋅a1⋅q4=a1⋅q9，解得：a1=q，2（a n+a n+2）=5a n+1，所以：2q2-5q+2=0，第14页，共18页解得：q =2或12，由于数列为单调递增数列， 故：q =2，所以：a n =a 1⋅q n−1=2n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1=1，b n ≠0，b n b n +1=4S n -1①． 当n ≥2时，b n -1b n =4S n -1-1②， 整理得：b n -b n -1=2（常数），对n 分偶数和奇数进行分类讨论， 整理得：b n =2n -1故：c n =a n b n =（2n -1）•2n ，则：T n =1⋅21+3⋅22+⋯+(2n −1)⋅2n ①， 2T n =1⋅22+3⋅23+⋯+(2n −1)⋅2n+1②， ①-②得：-T n =2⋅2(2n −1)2−1−(2n −1)⋅2n+1−2，解得：T n =(2n −3)⋅2n+1+6． 【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）2×2列联表如下，依题意，男生60人，故女生有100-60=40人， 对游泳感兴趣的男生有60×56=50人，则对游泳不感兴趣的男生有60-50=10人， 对游泳不感兴趣的女生有15人，故对游泳感兴趣的女生有40-15=25人，K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(50×15−25×10)275×25×40×60≈5.556＜6.635，故没有99%的把握认为对游泳是否有兴趣与性别有关（Ⅱ）设A ={6人抽取3人，至少有2人对游泳感兴趣}，则P （A ）=13C 32C+C 33C 63=1020=12．【解析】（Ⅰ）分别求出男女生感兴趣和不感兴趣的人数，填入表中即可．（Ⅱ）6人中有3人对游泳感兴趣，三人不感兴趣，用计数原理算出所有的抽取方法，计算出至少2人对游泳感兴趣的概率p 即可． 本题考查了独立性检验，古典概型的概率求法，属基础题．19.【答案】证明：（Ⅰ）∵在底面ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且BC =2AD =2CD =2√2， ∴AB =AC =2，BC =2√2， ∴AB ⊥AC ，又∵AB ⊥PC ，AC ∩PC =C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥PA ，∵PA =AC =2，PC =2√2， ∴PA ⊥AC ，又∵PA ⊥AB ，AB ∩AC =A ，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ．解：（2）以A 为原点，AB ，AC ，AP 所成角分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （-1，1，0），设M （a ，b ，c ），PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0，1]， 则（a ，b ，c -2）=（-λ，λ，-2λ），∴M （-λ，λ，2-2λ），BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ-2，λ，2-2λ），AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，λ，2-2λ），AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，0）， 设平面AMC 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−λx +λy +(2−2λ)z =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =1，得n ⃗ =（1，0，λ2−2λ）， ∵BM ∥平面AMC ，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =-λ-2+（2-2λ）•λ2−2λ=0，方程无解，∴在线段PD 上，不存在一点M ，使得BM ∥平面AMC ．【解析】（Ⅰ）推导出AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，从而AB ⊥平面PAC ，进而AB ⊥PA ，再求出PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为原点，AB ，AC ，AP 所成角分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD 上，不存在一点M ，使得BM ∥平面AMC ． 本题考查面面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）易知，|BC|=2b 2a ，S △FOAS △COB=b2b 2a=a2b =√22，∴a =√2b ，c =√a 2−b 2=b ，所以，b =1，a =√2，第16页，共18页因此，椭圆Γ的方程为x 22+y 2=1；（2）设直线m 与椭圆Γ的切点为点P （x 0，y 0），则直线m 的方程为x 0x 2+y 0y =1，且有x 022+y 02=1，可得y 02=1−x 022，直线m 与直线l ：x =1交于点M(1，2−x 02y 0)，直线m 交直线x =2于点N(2，1−x 0y 0)．所以，|MF|=|2−x 02y 0|，|NF|=√(2−1)2+(1−x0y 0)2=√1+x 02−2x 0+1y 02=√x 02−2x 0+1+1−x 022y 02=√x 022−2x 0+2y 02=√12(x 02−4x 0+4)y 02=√22⋅|2−x 0y 0|，因此，|MF||NF|=|2−x 0y 0|√22|2−x 0y 0|=√2．【解析】（1）由通径公式得出，结合已知条件得出，再由c=1，可求出a 、b 的值，从而得出椭圆的方程；（2）设切点为（x 0，y 0），从而可写出切线m 的方程为，进而求出点M 、N 的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出x 0与y 0之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出答案．本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 21.【答案】解：（Ⅰ）f ′（x ）=1-ae x ，①a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上递增，不合题意，舍去，②当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＜-ln a ；令f ′（x ）＜0，解得x ＞-ln a ； 故f （x ）在（-∞，-ln a ）单调递增，在（-ln a ，+∞）上单调递减，由函数y =f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2），其必要条件为：a ＞0且f （-ln a ）=-ln a ＞0，即0＜a ＜1，此时，-1＜-ln a ＜2-2ln a ，且f （-1）=-1-ae +1=-ae ＜0，令F （a ）=f （2-2ln a ）=2-2ln a -e 2a+1=3-2ln a -e 2a，（0＜a ＜1），则F ′（a ）=-2a +e 2a2=e 2−2aa 2＞0，F （a ）在（0，1）上单调递增，所以，F （a ）＜F （1）=3-e 2＜0，即f （2-2ln a ）＜0， 故a 的取值范围是（0，1）． （Ⅱ）令f （x ）=0⇒a =x+1e x ，令g （x ）=x+1e x ，g ′（x ）=-xe -x ，则g （x ）在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，由（Ⅰ）知0＜a ＜1，故有-1＜x 1＜0＜x 2， 令h （x ）=g （-x ）-g （x ），（-1＜x ＜0），h （x ）=（1-x ）e x -（1+x ）e -x ，（-1＜x ＜0），h ′（x ）=-xe x +xe -x =x （e -x -e x ）＜0， 所以，h （x ）在（-1，0）单调递减，故h （x ）＞h （0）=0， 故当-1＜x ＜0时，g （-x ）-g （x ）＞0，所以g （-x 1）＞g （x 1），而g （x 1）=g （x 2）=a ，故g （-x 1）＞g （x 2）， 又g （x ）在（0，+∞）单调递减，-x 1＞0，x 2＞0， 所以-x 1＜x 2，即x 1+x 2＞0， 故ex 1+ex 2≥2√e x 1+x 2=2ex 1+x 22＞2．【解析】（Ⅰ）利用导数研究单调性得f （x ） 的最大值为f （-lna ）＞0解得a 即可； （Ⅱ）先通过构造函数证明x 1+x 2＞0，在用基本不等式可证． 本题考查了函数零点的判定定理，属难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =−12ty =2+√32t （t 为参数）， 由代入法消去参数t ，可得曲线C 1的普通方程为y =-√3x +2； 曲线C 2的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ， 得ρ2=41+3sin 2θ，即为ρ2+3ρ2sin 2θ=4， 整理可得曲线C 2的直角坐标方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）将{x =−12ty =2+√32t （t 为参数）， 代入曲线C 2的直角坐标方程x 24+y 2=1得13t 2+32√3t +48=0，利用韦达定理可得t 1•t 2=4813， 所以|MA |•|MB |=4813． 【解析】（Ⅰ）运用代入法，消去t ，可得曲线C 1的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入极坐标方程，即可得到所求直角坐标方程；第18页，共18页（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程，运用参数的几何意义，由韦达定理可得所求之积．本题考查参数方程和普通方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的运用，以及韦达定理的运用，属于基础题． 23.【答案】解：（1）f （x ）=|2x +1|-|x -2|={−x −3，x ≤−123x −1，−12＜x ＜2x +3，x ≥2，画出y =f （x ）的图象，如右图：（2）关于x 的不等式x +2m +1≥f （x ）有解，即为2m +1≥f （x ）-x ， 由x ≥2时，y =f （x ）-x =3；当-12＜x ＜2时，y =f （x ）-x =2x -1∈（-2，3）；当x ≤-12时，y =f （x ）-x =-2x -3∈[-2，+∞）， 可得y =f （x ）-x 的最小值为-2， 则2m +1≥-2， 解得m ≥-32． 【解析】（1）写出f （x ）的分段函数式，画出图象；（2）由题意可得2m+1≥f （x ）-x 的最小值，对x 讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题．。
四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学(文)(解析版)
成都七中高2019届高三二诊模拟考试数学（文科）试卷一、选择题：（共12个小题，每小题5分，共60分.）1.命题“，”的否定形式是（）.A.， B. ，C.， D. ，【答案】D【解析】【分析】结合命题的否定改写,即可.【详解】命题的否定为:改为,改为,故否定形式为，,故选D.【点睛】考查了命题的否定改写,关键抓住改为,改为,即可,难度较容易.2.已知复数满足，则为A. B. C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】首先利用复数的运算法则，求出复数z，再应用复数的模的运算公式，求得结果.【详解】由，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则和除法运算法则，还有复数的模，属于简单题目.3.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合或，先求解，再由集合能够求出答案. 【详解】因为全集,集合或，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，属于基础题，其中解答中准确计算集合和集合的交集、补集的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4.函数在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】计算导函数,计算切线斜率和切点坐标,结合点斜式方程计算方法,计算切线方程,即可.【详解】,故在处切线斜率为,在该点坐标为故切线方程为,得到,故选C.【点睛】考查了利用导函数计算曲线某一点的切线方程,难度中等.5.在△中，,,且的面积为，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为的面积为，所以，解得，在中，由余弦定理可得，所以，故选B.考点：正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了解三角形的综合问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的应用，以及三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据三角形的面积公式，求得，再利用正、余弦定理是解得关键.6.已知函数为上的偶函数，当时，单调递减，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合题意,大致绘制函数图像,利用数形结合思想,建立不等式,计算范围,即可.【详解】结合题意,为偶函数,则该函数关于y轴对称，当时，单调递减，根据大致绘制函数图像,要满足,则要求,解得,故选C.【点睛】考查了偶函数的性质,考查了函数单调性,考查了数形结合思想,难度中等.7.在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|-πaπ，-πbπ}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2-π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．考点：几何概型点评：高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到8. 如果执行如图所示的程序框图，输出的S＝110，则判断框内应填入的条件是( )．A. k＜10?B. k≥11?C. k≤10?D. k＞11?【答案】C【解析】试题分析：因为，所以时结束循环，因此选C.考点：循环结构流程图【方法点睛】研究循环结构表示算法，第一要确定是当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要注意根据条件，确定计数变量、累加变量等，特别要注意正确理解循环结构中条件的表述，以免出现多一次循环或少一次循环的情况．9.已知函数，将的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图像向上平移个单位长度，得到函数的图像，若，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合三角函数平移原理，得到的解析式，计算结果，即可。
2019年四川省成都七中高考数学一诊试卷(文科)及答案
2019年四川省成都七中高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）i为虚数单位，则（1﹣i）（3+i）＝（）A．2+3i B．2﹣2i C．2+2i D．4﹣2i2．（5分）设集合A＝{x|2x＞}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2]D．[﹣1，2]3．（5分）函数y＝ln（1+x2）的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入（）A．k＜6B．k≤6C．k≥6D．k＞66．（5分）设实数x，y满足，则的最大值是（）A．﹣1B．C．1D．7．（5分）“1og2a＜1og2b”是“＜”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知向量＝（4，﹣7），＝（3，﹣4），则在方向上的投影为（）A．2B．﹣2C．﹣2D．29．（5分）设抛物线C：y2＝12x的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且＝（λ＞0），若|MF|＝4，则λ的值为（）A．B．2C．D．310．（5分）设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知（b+c）sin（A+C）＝（a+c）（sin A﹣sin C），则∠A的大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°11．（5分）已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为16π，则其底面边长为（）A．18B．12C．6D．412．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0）的最小正周期为π，函数g（x）＝f（x+）+ f（x），若对∀x∈R，都有g（x）≤|g（）|，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省成都市第七中学2019届高三上学期入学考试数学(文)试题(解析版)
四川省成都市第七中学2019届高三上学期入学考试数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i是虚数单位，复数的虚部是A. 2iB.C. 2D.【答案】C【解析】解：i是虚数单位，复数，复数的虚部为：2．故选：C．利用复数的运算法则和复数的定义即可得出复数的虚部．本题考查了复数的运算法则和复数的基本概念，属于基础题．2.已知集合0，1，，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由或，即或，0，1，，，故选：D．求出集合，利用集合的交集定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“，”的否定是，．故选：C．利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．4.现在，人们出行非常注重绿色交通方式，第一种方式：骑单车或步行，第二种方式：乘地铁或公交经统计，在某校采用绿色交通方式上学的学生中，只需第一种方式的概率为，只需第二种方式的概率为，则两种方式都需要的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：人们出行非常注重绿色交通方式，第一种方式：骑单车或步行，第二种方式：乘地铁或公交．经统计，在某校采用绿色交通方式上学的学生中，只需第一种方式的概率为，只需第二种方式的概率为，则两种方式都需要的概率是．故选：B．利用对立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.若平面向量，满足，则下列各式恒成立的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：即即故选：C．先由得出，再将等式两边同时加运算即可本题考查了向量数量积的性质和运算，并考查了向量垂直的充要条件6.已知平面，直线m，n满足，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：，，当时，成立，即充分性成立，当时，不一定成立，即必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件．故选：A．根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．7.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为参考数据：，，A. 12B. 24C. 36D. 48【答案】B【解析】解：模拟执行程序，可得：，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出n的值为24．故选：B．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．8.在等比数列中，，且，则A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C【解析】解：在等比数列中，，且，，解得，．故选：C．利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出．本题考查等比数列的第11项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的大小为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，由正弦定理可得：，可得：，可得：，，，，解得：，，．故选：C．由正弦定理，内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求，结合范围，可求A的值．本题主要考查了正弦定理，内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.若函数的图象关于原点对称，则实数a等于A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】解：根据题意，函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数，则有，即，变形可得：，解可得；故选：A．根据题意，由函数奇偶性的定义可得数为奇函数，则有，即，变形解可得a的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇函数的定义，属于基础题．11.如图是函数其中，的部分图象，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据函数其中，的部分图象，可得，求得，再根据五点法作图可得，，函数，则，故选：B．由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用诱导公式求的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，利用诱导公式求三角函数的值，属于基础题．12.经过点的直线l与两条坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，则的最小值为A. 2B.C.D. 4【答案】D【解析】解：设直线l：，，令，可得，令，可得，得，．则，当且仅当，由，可得时，取最小值4，故选：D．设直线l的点斜式方程，求出A，B两点的坐标，代入的解析式，使用基本不等式，求出最小值，注意检验等号成立条件．本题考查了直线的点斜式方程，以及基本不等式的应用：求最值，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设，，则事件A：发生的概率为______．【答案】【解析】解：设，，基本事件总数构成的几何区域是以1为边长的正方形OABC，事件A：，，事件A构成的可行域区域是，事件A：发生的概率为：．正方形故答案为：．设，，则基本事件总数构成的几何区域是以1为边长的正方形OABC，事件A：，构成的可行域区域是，由此利用几何概型能求出事件A 发生的概率．本题考查概率的求法，考查几何概型、古典概型的计算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______【答案】【解析】解：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱，挖去一部分，如图．结合图中数据它的体积故答案为：．根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱，挖去一部分，结合图中数据求出它的体积．本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．15.求值：______．【答案】【解析】解：．故答案为：．化切为弦，通分后利用两角和的余弦变形，然后展开倍角公式得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式与两角和的余弦，是中档题．16.若双曲线的左支上存在点P与右焦点F关于其中一条渐近线对称，则该双曲线的离心率为______．【答案】【解析】解：过右焦点F且垂直渐近线的直线方程为：，联立渐近线方程与，解之可得，故对称中心的点坐标为，，由中点坐标公式可得对称点的坐标为，，将其代入双曲线的方程可得，结合，化简可得，故可得．故答案为：．求出过焦点F且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入双曲线方程结合，由离心率公式解出e即得．本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题．三、解答题（本大题共7小题）17.设等差数列的前n项和为，已知．Ⅰ求和；Ⅱ求证：，．【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d，则，解得，，；证明：Ⅱ由，．【解析】根据题意可得，由方程组得出，，求解即可得出通项公式和求和公式．，根利用裂项求和法能求出数列的前n项和，放缩证明即可．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18.如图，在三棱柱中，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ若平面平面，且，求该三棱柱的体积．【答案】证明：取AB的中点O，连结OC，，，，，，是正三角形，，又，平面，又平面，C.解：Ⅱ平面平面，，平面ABC，，，，又，，，，该三棱柱的体积．【解析】取AB的中点O，连结OC，，推导出，，从而平面，由此能证明C.Ⅱ推导出平面ABC，，由此能求出该三棱柱的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.大型中华传统文化电视节目《中国诗词大会》以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨，深受广大观众喜爱，各基层单位也通过各种形式积极组织、选拔和推荐参赛选手某单位制定规则如下：凡报名参赛的诗词爱好者必须先后通过笔试和面试，方可获得入围CCTV正赛的推荐资格；笔试成绩不低于85分的选手进入面试，面试成绩最高的3人获得推荐资格在该单位最近组织的一次选拔活动中，随机抽取了一个笔试成绩的样本，并据此绘制成频率分布直方图如图左同时，也绘制了所有面试成绩的茎叶图如图右，单位：分．Ⅰ估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数；Ⅱ若从面试成绩高于不含中位数的选手中随机选取2人，求其中至少有一人获得推荐资格的概率．【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图知笔试成绩不低于85分的频率为：，又由茎叶图知参加面试的人数为15，估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数为人．Ⅱ面试成绩高于不含中位数分的选手有7人，其中获得推荐资格的有3人，设为a，b，c，d，E，F，G，从中随机抽取2人，共有21种不同结果，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中，不含推荐资格的人选有6种情况，其中至少有一人获得推荐资格的概率．【解析】Ⅰ由频率分布直方图得到笔试成绩不低于85分的频率为，由茎叶图知参加面试的人数为15，由此能估计该单位本次报名参赛的诗词爱好者的总人数．Ⅱ面试成绩高于不含中位数分的选手有7人，其中获得推荐资格的有3人，设为a，b，c，d，E，F，G，从中随机抽取2人，利用列举法能求出其中至少有一人获得推荐资格的概率．本题考查频率分布直方图、茎叶图的应用，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题20.设动圆P经过点，且与圆G：为圆心相切．Ⅰ求动圆圆心P的轨迹E；Ⅱ设经过F的直线l与轨迹E交于A、B两点，且满足的点H也在轨迹E上，求直线l的方程．【答案】解：Ⅰ圆G的圆心，半径为，由圆P与圆G相切，得，由椭圆定义知：动圆圆心P的轨迹E是以F，G为焦点且长轴长为的椭圆，其方程为．Ⅱ设直线l的方程为一定存在，代入，并整理，得：，恒成立，设，，则，设，由，得，即，点H在轨迹E上，，即，解得，舍负．直线l的方程为．【解析】Ⅰ圆G的圆心，半径为，由圆P与圆G相切，推导出动圆圆心P 的轨迹E是以F，G为焦点且长轴长为的椭圆，由此能求出结果．Ⅱ设直线l的方程为一定存在，代入，得：，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程．本题考查动圆圆心的轨迹的求法，考查直线方程的求法，考查圆、椭圆、直线方程、韦达定理、向量知识等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21.已知函数，其中a为常数，为自然对数的底数．Ⅰ当时，求经过原点且与曲线相切的直线方程；Ⅱ当时，函数的最小值为，求的最大值．【答案】解：Ⅰ当时，，，设切点坐标为，则切线方程为，将代入可得，解得，故经过原点且与曲线相切的直线方程为，即，Ⅱ，由，解得，由，解得，函数在上单调递增，在单调递减，函数在上最小值只可能在或处取得，若，此时，此时，满足题意，若，则，解得，此时，矛盾，故时，函数在上单调递增，在单调递减，的最大值为．【解析】Ⅰ设切点坐标为，则切线方程为，将代入即可求出t的值，可的切线方程，Ⅱ先求导函数的单调区间，则可得函数在上最小值只可能在或处取得，根据函数的最小值为，求出，再求出最大值即可．本题考查了导数的几何意义和导数和函数的最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为其中t为参数，且，在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系两种坐标系取相同的单位长度中，曲线C的极坐标方程为，设直线l经过定点P，且与曲线C交于A、B两点．Ⅰ求点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；Ⅱ求证：不论a为何值时，为定值．【答案】解：Ⅰ直线l的参数方程为其中t为参数，且，时，得点，即点P的直角坐标为；又曲线C的极坐标方程为，，，，即曲线C的直角坐标方程为；Ⅱ证明：将直线l的参数方程代入，整理得，其中，，，；；即不论a为何值时，都为定值1．【解析】Ⅰ由题意求得直线l过定点，化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程即可；Ⅱ将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据参数t的几何意义，利用根与系数的关系求得为定值．本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与抛物线的方程与应用问题，是中档题．23.已知不等式的解集为M．Ⅰ求M；Ⅱ设m为M中的最大元素，正数a，b满足，求的最大值．【答案】解：Ⅰ设函数，则为所求．Ⅱ由已知，，则，故的最大值为当且仅当，即，时取等【解析】Ⅰ分3段去绝对值解不等式，再相并；Ⅱ先平方求出最大值，再开方．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
四川省成都市第七中学2019届高三第一次诊断性检测数学(文)试题(精品解析)
四川省成都市第七中学2019届高三第一次诊断性检测数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.i 为虚数单位，则 (1‒i)(3+i)=()A. B. C. D. 2+3i2‒2i 2+2i 4‒2i【答案】D【解析】解：，(1‒i)(3+i)=3+i ‒3i ‒i 2=3+1‒2i =4‒2i 故选：D ．根据复数的运算法则进行计算即可．本题主要考查复数的计算，根据复数乘法的运算法则是解决本题的关键．2.设集合，，则 A ={x|2x >12}B ={x|x +1x ‒2≤0}A ∩B =()A. B. C. D. (‒1,2)[‒1,2)(‒1,2][‒1,2]【答案】A【解析】解：集合，∵A ={x|2x >12}={x|x >‒1}．B ={x|x +1x ‒2≤0)={x|‒1≤x <2},∴A ∩B ={x|‒1<x <2}=(‒1,2)故选：A ．先分别求出集合A 和B ，由此能求出．A ∩B 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.函数的图象大致是 y =ln (1+x 2)()A.B. C. D.【答案】D【解析】解：函数的定义域为R ，，故排除A ，C ；y =ln (1+x 2)f(0)=0，当时，，可知在上为减函数，排除B ．y'=2x1+x 2x∈(‒∞,0)y'<0y =ln (1+x 2)(‒∞,0)故选：D ．f(0)=0由函数的定义域及排除A，C，再由导数研究单调性排除B，则答案可求．本题考查函数的图象及图象变换，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它(由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图其中四边形是为体现直观性而作)()的辅助线当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为 A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据几何体的直观图：由于直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，该几何体的俯视图为有对角线的正方形．故选：B．直接利用直观图“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同，从而得出俯视图形．本题考查的知识要点：直观图和三视图之间的转换，主要考查学生的空间想象能力和转化能力，属于基础题型．()5.执行如图的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入 A. k<6B. k≤6C. k≥6D. k>6【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得S=1k=1，S=1k=2执行循环体，，S=2k=3执行循环体，，S=6k=4执行循环体，，S=24k=5执行循环体，，S=120k=6执行循环体，，由题意，此时，不满足条件，退出循环，输出S 的值为120．可得横线处应填入的条件为．k ≥6故选：C ．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S 的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，.这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此①②③④..种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6.设实数x ，y 满足，则的最大值是 {2x ‒y ≤4x +2y ≤2x ‒1≥0y +1x ()A. B.C. 1D.‒11232【答案】D【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：而的几何意义表示过平面区域内的点与y +1x 点的连线的斜率，D(0,‒1)由，解得：，{x =1x +2y =2A(1,12)，∴K DA =12+11=32故选：D ．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．7.“”是“”的 1og 2a <1og 2b 1<1()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】解：，1og 2a <1og 2b⇔0<a <b 推不出，∵0<a <b 1a<1b推不出，1a<1b0<a <b“”是“”的既不充分也不必要条件．∴1og 2a <1og 2b 1a <1b 故选：D ．首先转化，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．1og 2a <1og 2b 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．8.已知向量，，则在方向上的投影为 ⃗a=(4,‒7)⃗b=(3,‒4)⃗a‒2⃗b ⃗b ()A. 2B. C. D. ‒2‒2525【答案】B【解析】解：在方向上的投影为：．⃗a ‒2⃗b ⃗b (⃗a ‒2⃗b )⋅⃗b|⃗b|=⃗a ⋅⃗b‒2⃗b2|⃗b|=12+28‒2×255=‒2故选：B ．根据方向投影的公式可得．本题考查了平面向量数量积的性质以及运算，属基础题．9.设抛物线C ：的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且，若，y 2=12x ⃗FN =λ⃗FM (λ>0)|MF|=4则的值为 λ()A.B. 2C.D. 335【答案】D【解析】解：根据题意画出图形，如图所示；抛物线，焦点，准线为；y 2=12x F(3,0)x =‒3设，，M(x 1,y 1)N(‒3,y 2)则，|MF|=x 1+3=4解得，；x 1=1∴M(1,y 1)，，∴⃗FN =(‒6,y 2)⃗FM =(‒2,y 1)又，⃗FN=λ⃗FM ，∴‒6=‒2λ解得．λ=3故选：D ．根据题意画出图形，结合图形求出抛物线的焦点F 和准线方程，设出点M 、N 的坐标，根据和求出的值．|MF|⃗FN =λ⃗FM λ本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是中档题．10.设a ，b ，c 分别是的内角A ，B ，C 的对边，已知，则的△ABC (b +c)sin(A +C)=(a +c)(sinA ‒sinC)∠A 大小为 ()A. B. C. D. 30∘60∘120∘150∘【答案】C【解析】解：，∵(b +c)sin(A +C)=(a +c)(sinA ‒sinC)，由正弦定理可得：，整理可得：∴(b +c)sinB =(a +c)(sinA ‒sinC)(b +c)b =(a +c)(a ‒c)，b 2+c 2‒a 2=‒bc 由余弦定理可得：，∴cosA =b 2+c 2‒a 22bc=‒bc 2bc=‒12，∵A ∈(0,180∘)．∴A =120∘故选：C ．由三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理化简已知等式可得：，由余弦定理可得，b 2+c 2‒a 2=‒bc cosA =‒12结合范围，可求A 的值．A ∈(0,180∘)本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.已知正三棱锥的高为6，内切球与四个面都相切表面积为，则其底面边长为 ()16π()A. 18B. 12C.D. 6343【答案】B【解析】解：如下图所示，设正三棱锥内切球的半径为r ，则，得．P ‒ABC 4πr 2=16πr =2设该正三棱锥的底面边长为2a ，则其底面积为．P ‒ABC 34×(2a )2=3a 2该三棱锥的体积为．V =13×3a 2×6=23a 2过点P 作平面ABC ，垂足点为点Q ，则点Q 为的中心，PQ ⊥△ABC 平面ABC ，平面ABC ，，∵PQ ⊥QM ⊂∴PQ ⊥QM 易知，，则，且，所以，，2AQ =AB sin 60∘=2a3=433a AQ =233a∠MAQ =30∘QM =12AQ =33a由勾股定理得，PM =PQ 2+QM2=a 2+1083，Q 为AB 的中点，，则的面积为，∵PA =PB ∴PM ⊥AB △PAB S △PAB =12AB ⋅PM =a a 2+1083所以，正三棱锥的表面积为，P ‒ABC S =3×a a 2+1083+3a 2=3a(a 2+108+a)由等体积法可得，即，解得．13×Sr =V13×3a(a 2+108+a)×2=23a 2a =6因此，该正三棱锥的底面边长为12．故选：B ．设正三棱锥的底面边长为2a ，计算出该正三棱锥的体积V 以及表面积S ，并计算出内球的半径r ，利用等体积法得到关于a 的方程，求出a 即可得出答案．13Sr =V本题考查内切球，解决本题的关键在于计算出锥体的体积与表面积，并利用等体积法构建等式求解，考查计算能力，属于中等题．12.已知函数其中的最小正周期为，函数，若对，f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)πg(x)=f(x +π4)+3f(x)∀x ∈R 都有，则的最小正值为 g(x)≤|g(π3)|φ()A.B.C.D.π32π34π35π3【答案】B【解析】解：函数其中的最小正周期为，f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)π，∴ω=2ππ=2函数∴g(x)=f(x +π4)+3f(x)，=sin(2x +π2+φ)+3sin(2x +φ)=cos(2x +φ)+3sin(2x +φ)=2sin[(2x +φ)+π6]又对，都有，∀x ∈R g(x)≤|g(π3)|，，∴2×π3+φ+π6=π2+kπk ∈Z 解得，，φ=‒π3+kπk ∈Z 的最小正值为．∴φ‒π3+π=2π3故选：B ．函数的最小正周期求出的值，再代入化简函数为正弦型函数，结合题意利用正弦函数的图象与性质f(x)ωg(x)求出的最小正值．φ本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样抽方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为______．【答案】12【解析】解：高中部女教师有6人，占，则高中部人数为x ，则，得人，∵40%x40%=6x =15即抽取高中人数15人，则抽取初中人数为人，15180×120=10则男教师有人15×60%+10×30%=9+3=12故答案为：12根据高中女教师的人数和比例，先求出抽取高中人数，然后在求出抽取初中人数即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据人数比例以及男女老少人数比例建立方程关系是解决本题的关键．14.已知圆C 与y 轴相切，圆心在x 轴的正半轴上，并且截直线所得的弦长为2，则圆C 的标准x ‒y +1=0方程是______．【答案】(x ‒3)2+y 2=9【解析】解：圆C 与y 轴相切，圆心在x 轴的正半轴上，设圆心为，，(a,0)a >0则圆C 的标准方程是，(x ‒a )2+y 2=a 2它截直线所得的弦长为2，故有，求得，∵x ‒y +1=0a 2=12+(|a ‒0+1|2)2a=3则圆C 的标准方程是，(x ‒3)2+y 2=9故答案为：．(x ‒3)2+y 2=9设圆心为，，则由题意可得圆C 的标准方程是，再根据半径、半弦长、弦心距构成(a,0)a >0(x ‒a )2+y 2=a 2直角三角形，求出a 的值，可得圆C 的标准方程．本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．15.已知，均为锐角，且，则的最小值是______．αβcos(α‒β)=3cos(α+β)tan(α+β)【答案】22【解析】解：，cos(α‒β)=3cos(α+β)则：，cosαcosβ+sinαsinβ=3(cosαcosβ‒sinαsinβ)整理得：，2cosαcosβ=4sinαsinβ解得：，tanαtanβ=12由于，均为锐角，αβ则：，tanα>0tanβ>0所以：，tan(α+β)=tanα+tanβ1‒tanαtanβ=2(tanα+tanβ)≥412=22故答案为：．22直接利用三角函数关系式的恒等变变换和基本不等式的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式和诱导公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．16.若函数有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．f(x)={2x +2‒3,x ≤0x 3‒ax +2,x >0【答案】(3,+∞)【解析】解：由题意函数可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，有f(x)={2x +2‒3,x ≤0x3‒ax +2,x >0一个零点，函数图象的右半部分为开口向上的3次函数的一部分，必须有两个零点，，，y =x 3‒ax +2y'=3x 2‒a 如上图，要满足题意：，，{a >03x2‒a =0x =a3可得，解得．f(a 3)=(a3)3‒aa 3+2<0a >3综合可得，3<a 故答案为：．(3,+∞)由题意可得需使指数函数部分与x 轴有一个交点，3次函数的图象由最小值并且小于0，x 大于0的部分，只有两个交点．本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.正项等比数列中，已知，．{a n }a 3=4a 4=a 2+6Ⅰ求的通项公式；(){a n }Ⅱ设为的前n 项和，，求．()S 2{a n }b n =1og 4(S 1+S n )(n ∈N ∗)b 2+b 5+b 8+…+b 50【答案】解：Ⅰ正项等比数列的公比设为q ，已知，，(){a n }a 3=4a 4=a 2+6可得，，解得，，a 1q 2=4a 1q 3=a 1q +6q =2a 1=1即；a n =2n ‒1Ⅱ，()S n =1‒2n=2n ‒1，b n =1og 4(S 1+S n )=log 4(1+2n ‒1)=n2．b 2+b 5+b 8+…+b 50=12(2+5+8+…+50)=174(2+50)=221【解析】Ⅰ正项等比数列的公比设为q ，运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公比，(){a n }即可得到所求通项公式；Ⅱ运用等比数列的求和公式和对数的运算性质，以及等差数列的求和公式，计算可得所求和．()本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及对数的运算性质、等差数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”江南梅雨的点点滴滴都流润着浓洌的诗情…每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q 镇年梅.2009～2018雨季节的降雨量单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：(m)Ⅰ“梅实初黄暮雨深”请用样本平均数估计Q 镇明年梅雨季节的降雨量；().Ⅱ“江南梅雨无限愁”，Q 镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量()的影响较大把握超过八成而乙品种杨梅年的亩产量亩与降雨量的发生频数年如().2009～2018(kg/)()列联表所示部分数据缺失．2×2()降雨量亩产量[200,400)，[100,200)∪[400500]合计<6002≥6001合计10请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？完善列联表，并说明理(由．)参考公式：，其中(K 2=n(ad ‒bc )2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)n =a +b +c =d.)P(K 2≥k 0)0.500.400.250.150.10k 00.4550.7081.3232.7022.703【答案】解：Ⅰ频率分布直方图中第四组的频率为，()1‒100×(0.002+0.004+0.003)=0.1所以用样本平均数估计Q 镇明年梅雨季节的降雨量为；150×0.2+250×0.4+350×0.3+450×0.1=280(mm)Ⅱ根据频率分布直方图可知，降雨量在之间的频数为，()200～400mm 10×100×(0.003+0.004)=7从而补充列联表如下；2×2降雨量亩产量[200,400)，[100,200)∪[400500]合计<600224≥600516合计7310计算，K 2=10×(2×1‒5×2)27×3×4×6=8063≈1.270<1.323所以认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足，75%而甲品种杨梅受降雨量影响的把握超过八成，故建议老李来年应该种植乙品种的杨梅．【解析】Ⅰ利用频率分布直方图求对应的频率值，计算样本的平均数即可；()Ⅱ根据频率分布直方图计算对应的频数值，补充列联表中的数据，计算观测值，对照临界值得出结论．()本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．19.已知椭圆的离心率为．x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)22A(2,0)Ⅰ求椭圆的标准方程；()Ⅱ过点A 的动直线l 交椭圆于另一点B ，设，过椭圆中心O 作直线BD()D(‒2,0)的垂线交l 于点C ，求证：为定值．⃗OB ⋅⃗OC 【答案】解：Ⅰ椭圆C ：椭圆的离心率为．()∵x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)22M(‒2,0)，．∴a =2e =c a =22∴c =2，．∵a 2=b 2+c 2∴b =2椭圆的标准方程为；∴x 24+y 22=1Ⅱ设直线l 的方程为，．()x =ty +2(t ≠0)代入，整理可得．x 2+2y 2=4(t 2+2)y 2+4ty =0解得，于是，x 0=‒4t t 2+2x B =ty B +2=4‒2t 2t 2+2直线DB 的斜率为．∴‒4t t 2+2÷(4‒2t 2t 2+2+2)=‒t 2，直线OC 的方程为．∵OC ⊥BD ∴y =2t x 由，解得{y =2t x x =ty +2C(‒2,‒4t )定值．∴⃗OB ⋅⃗OC =4t 2‒8t 2+2+16t 2+2=4()【解析】Ⅰ利用椭圆C ：椭圆的离心率为，可求椭圆的几何量，()x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)22M(‒2,0)从而可求椭圆方程；Ⅱ设直线l 的方程为，．()x =ty +2(t ≠0)代入，求得B 坐标，可得直线DB 的斜率为直线OC 的方程为解得即可得：x 2+2y 2=4‒t .y =2x.C(‒2,‒4).为定值．⃗OB ⋅⃗OC 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，函数与方程的思想的应用．20.如图，在多面体ABCDE中，AC 和BD 交于一点，除EC 以外的其余各棱长均为2．Ⅰ作平面CDE 与平面ABE 的交线l ，并写出作法及理由；()Ⅱ求证：；()BD ⊥CEⅢ若平面平面ABE ，求多面体ABCDE 的体积．()ADE ⊥【答案】解：Ⅰ过点E 作或的平行线，即为所求直线l ．()AB(CD)理由如下：和BD 交于一点，，B ，C ，D 四点共面，∵AC ∴A 又四边形ABCD 边长均相等，四边形ABCD 为菱形，从而，∴AB//DC 又平面CDE ，且平面CDE ，平面CDE ，AB⊄CD ⊂∴AB//平面ABE ，且平面平面，．∵AB ⊂ABE ∩CDE =l ∴AB//l 证明：Ⅱ取AE 的中点O ，连结OB ，OD ，()，，，，∵AB =BE DA =DE ∴OB ⊥AE OD ⊥AE ，平面OBD ，∵OB ∩OD =O ∴AE ⊥平面OBD ，，∵BD ⊂∴AE ⊥BD 又四边形ABCD 是菱形，，∴AC ⊥BD 又，平面ACE ，AE ∩AC =A ∴BD ⊥又平面BDE ，．BD ⊂∴BD ⊥CE 解：Ⅲ平面平面ABE ，平面ABE ，()∵ADE ⊥∴DO ⊥多面体ABCDE 的体积：∴．V E ‒ABCD =2V E ‒ABD =2V D ‒ABE =2×13×(12×2×3)×3=2【解析】Ⅰ过点E 作或的平行线，即为所求直线由AC 和BD 交于一点，得A ，B ，C ，D 四点共面，()AB(CD)l.推导出四边形ABCD 为菱形，从而，进而平面CDE ，由此推导出．AB//DC AB//AB//l Ⅱ取AE 的中点O ，连结OB ，OD ，推导出，，从而平面OBD ，进而，由四边()OB ⊥AE OD ⊥AE AE ⊥AE ⊥BD 形ABCD 是菱形，得，从而平面ACE ，由此能证明．AC ⊥BD BD ⊥BD ⊥CE Ⅲ由平面平面ABE ，得平面ABE ，多面体ABCDE 的体积：．()ADE ⊥DO ⊥V E ‒ABCD =2V E ‒ABD =2V D ‒ABE 本题考查两平面的交线的求法，考查线线垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21.已知函数，其中a 为常数．f(x)=xsinx +2cosx +ax +2Ⅰ若曲线在处的切线斜率为，求该切线的方程；()y =f(x)x =π2‒2Ⅱ求函数在上的最小值．()f(x)x ∈[0,π]【答案】解：Ⅰ函数，()f(x)=xsinx +2cosx +ax +2则：，f'(x)=xcosx ‒sinx +a 由，f'(π2)=a ‒1=‒2解得：．a =‒1所以：，f(π2)=2则该切线的方程为，y ‒2=‒2(x ‒π2)整理得：．2x +y ‒2‒π=0Ⅱ对，，()∀x ∈[0,π]f″=‒xsinx ≤0所以：在区间上单调递减．f'(x)[0,π]当时，，(1)a ≤0f'(x)≤f'(0)=a ≤0所以：函数在上单调递减，f(x)[0,π]故：．f(x )min =f(π)=aπ当时，，(2)a ≥πf'(x)≥f'(π)=a ‒π≥0所以：函数在上单调递增，f(x)[0,π]，f(x )min =f(0)=4当时，(3)0<a <π由，，且函数在上单调递减，f'(0)=a >0f'(π)=a ‒π<0f(x)[0,π]结合零点存在定理可知：存在唯一的，使得：，且函数在上单调递增，x 0∈(0,π)f'(x 0)=0f(x)[0,π]故：在上单调递减，[x 0,π]故：的最小值为和中较小的一个．f(x)f(0)=4f(π)=aπ当时，①4π≤a <πf(0)≤f(π)故：函数的最小值为．f(x)f(0)=4当时，．②0<a <4πf(π)≤f(0)故：函数的最小值为．f(x)f(π)=aπ综上所述：．f(x )min ={4(a ≥4π)aπ(a <4π)【解析】Ⅰ直接利用函数的求导的应用，求出函数的切线的斜率，进一步确定切线的方程．()Ⅱ利用分类讨论思想和函数的零点的应用进一步求出函数的单调性和函数的最值，最后求出函数的关系式．()本题考查的知识要点：导数的应用，函数的求导问题和函数的单调性的关系，利用分类讨论思想求出函数的中参数的取值及函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为其中t 为参数，且，在以O 为极点、x 轴{x =t +1t y =t ‒1t (t >0)的非负半轴为极轴的极坐标系两种坐标系的单位长度相同中，直线l 的极坐标方程为．()ρsin (π3‒θ)=2Ⅰ求曲线C 的极坐标方程；()Ⅱ求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．()【答案】解：Ⅰ曲线C 的参数方程为其中t 为参数，且，()∵{x =t +1t y =t ‒1t (t >0)曲线C 的直角坐标方程为，，∴x 2‒y 2=4(x ≥2)将，代入，得，x =ρcosθy =ρsinθx 2‒y 2=4ρ2(cos 2θ‒sin 2θ)=4曲线C 的极坐标方程为∴ρ2cos2θ=4(‒π4<θ<π4).Ⅱ将l 与C 的极坐标方程联立，消去，()ρ得，ρ2(cos 2θ‒sin 2θ)=2cos2θ，∴3cos 2θ‒23sinθcosθ+sin 2θ=2(cos 2θ‒sin 2θ)，，∵cosθ≠0∴3tan 2θ‒23tanθ+1=0方程的解为，即，∴tanθ=33θ=π6代入，得，ρsin (π3‒θ)=2ρ=22直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标为∴(22,π6).【解析】Ⅰ由曲线C 的参数方程求出曲线C 的直角坐标方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．()Ⅱ将l 与C 的极坐标方程联立，得，从而，进而方程的()ρ2(cos 2θ‒sin 2θ)=2cos2θ3tan 2θ‒23tanθ+1=0解为，由此能求出直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标．θ=π6本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查直线与曲线的公共点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，且a ，b ，．f(x)=x 2‒x +1c ∈R Ⅰ若，求的最小值；()a +b +c =1f(a)+f(b)+f(c)Ⅱ若，求证：．()|x ‒a|<1|f(x)‒f(a)|<2(|a|+1)【答案】解：Ⅰ由柯西不等式可得，当且仅当时()(a 2+b 2+c 2)(12+12+12)≥(a +b +c )2=1a =b =c =13取等号，即；a 2+b 2+c 2≥13，∴f(a)+f(b)+f(c)=(a 2+b 2+c 2)‒(a +b +c)+3≥13‒1+2=73即的最小值为．f(a)+f(b)+f(c)73证明：Ⅱ，()∵|x ‒a|<1∴|f(x)‒f(a)|=|(x 2‒a 2)‒(x ‒a)|=|x ‒a|⋅|x +a ‒1|<|x +a ‒1|，=|(x ‒a)+(2a ‒1)|≤|x ‒a|+|2a ‒1|<1+(2|a|+1)=2(|a|+1)故结论成立()【解析】Ⅰ根据柯西不等式即可求出最小值，()Ⅱ根据绝对值三角不等式即可证明．本题考查了柯西不等式和绝对值三角形不等式，考查了转化和化归的思想，属于中档题．。
2019年四川省成都市第七中学高三数学文联考试卷含解析
2019年四川省成都市第七中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，有下列结论：①；②；③；④若关于的方程恰有三个不同实根，则取值唯一.其中正确的结论个数为（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C2. 已知点，满足，则关于的二次方程有实数根的概率为A．B．C．D．参考答案：B略3. 对于命题和命题，“为真命题”的必要不充分条件是（）A．为假命题Ｂ．为假命题Ｃ．为真命题Ｄ．为真命题参考答案：C略4. 函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）==，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，∵当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+∞，当x趋向于+∞时，f（x）趋向于0，故排除BC，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，属于中档题．5. 由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为( )A．B．4 C．D．6参考答案：C【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．6. 已知集合A={1，2，4，5，6}，B={1，3，5}，则集合A∩B=( )A．{1，3，5} B．{1，5} C．{2，4，6} D．{1，2，3，4，5.6}参考答案：B【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，4，5，6}，B={1，3，5}，∴A∩B={1，5}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7. 已知命题p：,x2－x+1≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b.下列命题为真命题的是（A）（B）（C）（D）参考答案：B由时成立知p是真命题，由可知q是假命题，故选B.8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B.18C.24D. 32参考答案：C9. 已知，，，则（）A. B.C. D.参考答案：D10. 方程的曲线是（）A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．一个点和一条直线参考答案：C由得，即，为两条直线，选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（﹣1，﹣1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．12. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是．参考答案：略13. 已知圆C经过两点，圆心在x轴上，则C的方程为__________．参考答案：.【分析】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，求出的垂直平分线方程，令，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.【详解】由圆几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，所以圆的半径，故圆的方程为.【点睛】本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14. 已知函数f（x）=2lnx+bx，直线y=2x﹣2与曲线y=f（x）相切，则b= ．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，把切点横坐标分别代入曲线和直线方程，由纵坐标相等得一关系式，再由切点处的导数等于切线的斜率得另一关系式，联立后求得b的值．【解答】解：设点（x0，y0）为直线y=2x﹣2与曲线y=f（x）的切点，则有2lnx0+bx0=2x0﹣2 （*）∵f′（x）=+b，∴+b=2 （**）联立（*）（**）两式，解得b=0．故答案为：0．15. 由曲线与曲线围成的平面区域的面积为·参考答案：16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，.若为钝角，，则的面积为参考答案：，，，，，，，17. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且，若F1关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为______．参考答案：【分析】根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形，且轴，设，可得，从而可得结果.【详解】因为关于的对称点在椭圆上，则，，正三角形，，又，所以轴，设，则，即，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
四川省成都市第七中学2019届高三上学期测试题(十)数学(文)试题含答案
n
等于(
)
A.1 和 2
B.2 和 3
C.3 和 4
D.2 和 4
11．若函数
f
(x)
sin 2x
b
,对任意实数
x
都有
f
x
3
f
x,
f
2 3
1 ,则实数 b
的值为(
)
A． 2 或 0
B．0 或 1
C． 1
D． 2
12．已知
F1 ，F2 为双曲线
C. 5
D. 5
2．双曲线 y2 x2 1的离心率为(
)
45
35
A.
3
B.
5
2
3．已知 x, y 的取值如下表所示
x
5
C.
3
0
1
2
D.
3
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析 y 与 x 的线性关系，且 yˆ 0.95x a ，则 a ( )
A. 2.2
B. 3.36
C. 2.6
抛掷一次，记下正方体朝上的数字为 a ，再由乙抛掷一次，朝上数字为b ，若 a b 1就称甲、乙两人“默
契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为( )
1
A． 1 9
B． 2 9
C． 7 18
D． 4 9
9．若函数 f (x) 1 e3x me2x (2m 1)ex 1有两个极值点，则实数 m 的取值范围是( ) 3
A．
1 2
2019届四川省成都市第七中学高三下学期3月月考数学试题及答案
绝密★启用前2019届四川省成都市第七中学高三下学期3月月考数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{0,,1}A a =，{|01}B x x =<≤，若A B 中有两个元素，则实数a 的取值范围是()A ．()0,1B ．(]0,1C ．(,0](1,)-∞+∞D ．(,0)[1,)-∞⋃+∞答案：A 由A B 中有两个元素，可得a B ∈,且1a ≠，从而得到a 的取值范围.解： 解：由AB 中有两个元素，可得a B ∈,且1a ≠，故01a <<，实数a 的取值范围是()0,1， 故选：A. 点评：本题主要考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性，属于基础题.2．9212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大项是()A ．第5项B ．第10项C ．第5和6项D ．第9和10项答案：C根据二项式系数的性质得展开式为10项中间两项的二项式系数最大. 解：展开式中共有9+1=10项，则二项式系数最大的为中间两项，即第5和第6项， 故选:：C 点评：本题考查求二项式系数的最大项，属于基础题.3．若点(1,2)A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则||AF =()A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B由抛物线的定义转化即可求值. 解：因为点(1,2)A 在抛物线22y px =上，即222p =，所以2p =，故||1122A pAF x =+=+= 故选：B 点评：本题考查由抛物线的定义转化求值问题，属于基础题.4．已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(10)P p ξ-<<=，则(1)P ξ>=() A ．122p - B ．122p + C ．12p + D ．12p - 答案：D由已知可得μ，再由P(-1<ξ<0)=p,利用正态分布曲线的对称性求解. 解：由题可知，随机变量ξ服从正态分布N(0,1)， 所以μ=0，由P(-1<ξ<0)=p ，得P(0<ξ<1)=p ， 故P(ξ>1)=12-P(0<ξ<1)=12p - 故选:：D 点评：本题考查由正态分布曲线的对称性求概率，属于基础题.5．《九章算术》中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为3，4，5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为() A ．4 B ．3C ．2D ．1答案：C作出过球心且与底面平行的轴截面，设球的半径为r ，由等面积法求得半径，则三棱柱的高可求. 解： 如图，是过球心且与底面平行的轴截面，设球的半径为r ， 由AC=3，BC=4，可得AB=5， 由等面积法可得：()113434522r ⨯⨯=++，解得r=1 所以此石材d 的高为2r=2. 故选:：C 点评：本题考查求直三棱柱最大的内切球问题，属于简单题.6．将函数()sin()(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再将所得图象向右平移6π个单位，若得到的图象关于原点对称，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为() A ．[1,1]- B ．13,22⎡⎢⎣⎦C ．3,12⎤⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：D由三角函数图象的平移得函数f(x)=sin()x ϕ+的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再将所得图象向右平移6π个单位，得函数g(x)=sin 23x πϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由三角函数图象的性质得函数g(x)的图象关于原点对称，则g(x)为奇函数，则3πφk π-+=，即φ=(),3k k Z ππ+∈，再由三角函数求值域方式求得答案. 解：由函数f(x)=sin(x+φ)(0<φ<π)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再将所得图象向右平移6π个单位，得函数g(x)=sin 2sin 236x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为函数g(x)的图象关于原点对称，则g(x)为奇函数,则3πφk π-+=，即φ=(),3k k Z ππ+∈ 又0<φ<π，所以φ=3π，即f(x)=sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1()sin ,132f x x π⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 故选：D 点评：本题考查由三角函数图象的伸缩平移变换前后求解析式，还考查了求三角函数的值域，属于中档题.7．设,x y 满足约束条件21002210x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则() A ．4a = B ．4b =C ．8a b +=D ．2a b +=答案：D作出不等式对应的平面区域，利用z 的几何意义确定取得最大值的条件，然后推出结果. 解：作出满足约束条件21002210x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩的可行域，由z=ax+by(a>0,b>0)得a zy x b b =-+因为a>0,b>0，所以直线的斜率0ak b=-< 平移直线得a z y x b b =-+，由图象可知当直线a z y x b b =-+经过点A 时,直线a z y x b b=-+的截距最大，此时z 最大.由<0210x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得A(1,1),此时目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为2， 即a+b=2故选:：D 点评：本题考查简单的线性规划问题，属于简单题.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且96S π=，则5tan 2a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A 3B 3C ．3-D ．3答案：B有等差数列的性质可得1952a a a +=，再利用三角函数求值即可得解. 解：由等差数列的性质可得：()19959692a a S a π+===，解得523a π=， 则523tan tan tan 23263a ππππ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B 点评：本题考查等差数列下标和的性质，还考查了求三角函数的值，属于简单题.9．若三条直线30x y +-=，10x y -+=，50mx ny +-=相交于同一点，则点(),m n 到原点的距离的最小值为（ ） A 5B 6C ．23D ．25答案：A联立直线求得交点，找出m,n 的关系，从而表示出距离得到答案. 解：解：联立3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得1x =，2y =．∵三条直线30x y +-=，10x y -+=，50mx ny +-=相交于同一点，∴25m n +=．则点(),m n 到原点的距离的最小值为原点到直线25x y +=的距离d ==故选：A ． 点评：本题主要考查学生的计算能力，以及对点线距的掌握情况，难度不大.10．过双曲线的右焦点2F 且垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，1F AB （1F 为左焦点）为等边三角形、直角三角形时的离心率分别为1e 、2e ，则()121e e -=()A B C -D答案：D计算2AF 根据三角形的形状得出12F F 与2AF 的关系，从而可得双曲线的离心率. 解：把x=c 代入双曲线方程22221x y a b-=可得2b y a =±，即222212,2bc a AF F F c a a -===若1F AB 为等边三角形，则122F F ，即222c a c a-=，2220ac --=220e -=，故1e =或3-（舍） 若1F AB 为直角三角形，则122F F AF =，即222c a c a-=所以2220c ac a --=，即2210e e --=，故21e =1-()121e e -=故选：D 点评：本题考查由已知关系求双曲线的离心率，属于中档题.11．函数2()sin f x x x x =-，(,)x ππ∈-的零点个数为() A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个答案：C根据函数零点的定义转化为两个函数对应图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可. 解：由()2()sin sin 1f x x x x x x x =-=-可知，当0x =时(0)0f =；0x ≠时1sin 10,sin x x x x -==， 画出sin y x =与1y x =在(0,)x π∈的图像，因2sin 12ππ=>，则有两个零点；由奇函数性质，在(,0)x π∈-也有两个零点； 所以一共5个零点. 故选：C 点评：本题考查求函数零点的个数问题，属于中档题.12．设b a >，定义区间[,)a b 、(,]a b 、(,)a b 、[,]a b 的长度均为b a -.在三棱锥A BCD -中，2AB BC CA ===，AD BD ⊥，则CD 长的取值区间的长度为()A 3B ．2C ．23D ．4答案：B由题意画出图形，得到三棱锥A-BCD 存在时CD 的范围，则答案可求. 解： 如图，△ABC 是边长为2的等边三角形，取AB 中点O,连接CO ，DO,可得3,因为AD ⊥BD,当AD=BD 时，OD 最长为1,则当等腰直角三角形ABD 在平面ABC 上时，CD 的最小值为33+1,则要使三棱锥A-BCD 存在，CD ∈33所以CD 长的取值区间的长度为33故选：B 点评：本题考查由立体几何图形成立限制边长范围问题，属于较难题. 二、填空题 13．定积分()1213sin x x dx -+=⎰_________.答案：2找到sin x 与2x 的原函数为cos x -与313x ，进而代值求解即可. 解：()()()()132311113sin 3cos 3cos 13cos 1123x x dx x x x --⎛⎫⎡⎤+=-+=-+---+-= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰故答案为：2 点评：本题考查求定积分的值，属于简单题.14．若复数223(1)z a a a i =--++为纯虚数，则实数a =__________．答案：3分析：根据纯虚数的条件可得出等式2230{10a a a --=+≠，解出即可.详解：由题可得2230{10a a a --=+≠3a ⇒=，故答案为3.点睛：考查复数的分类，属于基础题.15．已知正项数列{}n a 满足：()22(1)110n n n n a n n a +++--=，其前n 项和为n S ，则20182019S =______.答案：2018由已知求得数列{}n a 的通项公式，再由裂项相消求和求得前n 项和为n S ，计算即可求得答案. 解： 由()()()2110n n nn a a +-+=及0n a >得()2211n n n n a a n n+-⇒=+， 所以111(1)1n a n n n n ==-++，故111111111122334111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2018201820182018201920191S =+=⨯.故答案为：2018 点评：本题考查数列求和中的裂项相消求和，属于简单题.16．在ABC 中，AB AC ==2BC =，D 、E 分别是AB 、AC 中点，M 、N 分别在直线DE 、CA 上，CN CA λ=，1DM DE λ=，0λ>，则BM BN ⋅的最小值为__________.答案：由题将其特殊化放在平面直角坐标系中，即可表示点A.B,C 的坐标，进而表示,BM BN 的坐标表示，即可用λ表示BM BN ⋅，再由基本不等式求得最小值. 解：如图建系，即有(0,2),(1,0),(1,0)A B C -，则(2,2)BN BC CN BC CA λλλ=+=+=-，111,12BM BD DM BD DM λλ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 所以1123(2)222BM BN λλλλλ⎛⎫⋅=-++=+⎪⎝⎭，由基本不等式可知232232BM BN λλ⋅≥⋅=，当且仅当23λ=时取等号， 所以BM BN ⋅的最小值为23.故答案为：23点评：本题考查求平面向量数量积的最小值，常特殊化处理在平面直角坐标系中，进而由基本不等式或构造函数求最值，属于中档题. 三、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，cos (tan tan )2sin B A B C +=. （1）求角A 的大小；（2）ABC 3233，试判断ABC 的形状. 答案：（1）3π；（2）等边三角形. （1）遇切化弦，在根据两角和的正弦公式化简得出1cos 2A =，即可求得答案. （2）根据面积公式求得4bc =，根据半径求出a ，根据余弦定理求出b+c ，从而得出ABC 的三边长，即可判定形状. 解：（1）由已知，sin sin cos 2sin cos cos A B B C A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭，sin cos cos sin cos 2sin cos cos A B A B B C A B +⋅= ∵cos 0B ≠，sin cos cos sin sin()sin 0A B A B A B C +=+=≠ ∴sin 2sin cos CC A =，即1cos 2A = ∵0A π<<∴3A π=（2）∵113sin 322S bc A bc ==⨯= ∴4bc = ∵2sin a R A=∴23322a =⨯⨯= ∵2222cos a b c bc A =+-∴224()2(1cos )()12b c bc A b c =+-+=+- ∵0b c +> ∴4b c += ∴4(4)bc b b ==- ∴2,2b c ==∴ABC 为等边三角形 点评：本题考查由正弦定理与余弦定理判定三角形形状，还考查了由三角恒等变换化简求值，属于简单题. 18．如图，边长为3的正方体1111ABCD A B C D -，13AA AE=，3BD BF =.（1）证明：//AF 面1EBD ； （2）求二面角11E BD A --的余弦值.答案：（1）证明见解析；（2）277. （1）由已知可证MF AE ∥=，即四边形AFME 为平行四边形，可得//AF EM ，再由线面平行的判定定理即可说明；（2）以E 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系，利用空间向量求得面1EBD 与面11BD A 的法向量，再由数量积求夹角的余弦值，最后观察下结论. 解：（1）在1BD 上取点M ，使113BM BD =，则113MF DD AE ==∥∥∴四边形AFME 为平行四边形 ∴//AF EM而AF ⊄面1EBD ，EM ⊂面1EBD ∴//AF 面1EBD（2）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系 则11(0,0,3),(3,0,3),(3,3,0),(3,0,1)D A B E1111(3,0,2),(0,3,1),(3,0,0),(3,33)ED EB D A D B =-=-==-设面1EBD 与面11BD A 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == 则11100n ED n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴111132030x z y z -+=⎧⎨-=⎩令11y =∴113,2z x ==∴1(2,1,3)n =,211210n D A n D B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴2222303330x x y z =⎧⎨+-=⎩,20x =,令21y =，则21z =∴2(0,1,1)n = 设二面角11E BD A --的平面角为α，则α为锐角，1212||27cos ||||142n n n n α⋅===⋅⋅点评：本题考查空间中线面平行的证明，还考查了求空间中二面角的余弦值，属于简单题.19．袋中装有6个球，红蓝两色各半，从袋中不放回取球(16,)k k k Z ≤≤∈次，每次取1个球. （1）求下列事件的概率：①事件A ：2k =，取出的球同色；②事件B ：5k =，第k 次恰好将红球全部取出；（2）若第k 次恰好取到第一个红球，求抽取次数k 的分布列和数学期望. 答案：（1）①25；②310；（2）分布列见解析，74. （1）①2k =，基本事件总数n=26C =15,取出的球同色包含的基本事件个数m=223C =6,由古典概型概率计算公式即可求得答案；②5k =，基本事件总数n=56A ，第k 次恰好将红球全部取出包含的基本事件个数m=232443C A A ，由古典概型概率计算公式即可求得答案；（2）k 的可能取值为1，2，3，4，分别计算概率并列出分布列，再由数学期望计算公式即可求得答案. 解：（1）袋中装有6个球，红蓝两色各半，从袋中不放回取球k(1≤k ≤6，k ∈Z)次，每次取1个球. ①k=2，基本事件总数n=26C =15,事件A ：k=2,取出的球同色包含的基本事件个数m=223C =6,所以事件A 的概率232622()5C P A C ==②k=5，基本事件总数n=56A事件B ：k=5，第k 次恰好将红球全部取出包含的基本事件个数m=232443C A A所以事件B 的概率232443563()10C A A P B A == （2）k 的可能取值为1，2，3，413161(1)2A P k A ===，1133263(2)10C C P k A ===2133363(3)20A C P k A ===3133461(4)20A C P k A ===∴k 的分布列为k1 2 3 4P12 310 320 120∴()123421020204E k =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评：本题考查由计数原理求得基本事件个数从而计算古典概型概率，还考查了列分布列进而求数学期望，属于中档题.20．如图，点(1,0)N 、(4,0)D -，点P 是圆22:(1)16M x y ++=上一动点，线段PN 的垂直平分线交线段PM 于点Q ，设点Q 的轨迹为曲线R .且直线(1)(0)y k x k =>+交曲线R 于,A B 两点（点B 在x 轴的上方）.（1）求曲线R 的方程；（2）试判断直线DA 与曲线R 的另一交点C 是否与点B 关于x 轴对称？答案：（1）22143x y +=；（2）是. （1）如图所示，||||||||||42||QM QN QM QP MP MN +=+==>=，点Q 的轨迹表示的曲线为椭圆，M ，N 为焦点，由此可求方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程与椭圆方程联立化为：()22223484120k xk x k +++-=，假设点C 与点B 关于x 轴对称，则()22C x y -.下面证明D ，A,C 三点共线.即证明：DA DC k k =,即证明：121244y y x x -=++利用根与系数的关系证明:()()122144y x y x +++=0即可.解：（1）如图所示，有||||||||||42||QM QN QM QP MP MN +=+==>=∴Q 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>则24,1a c ==,∴2,3a b ==，∴22143x y +=；（2）联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22223484120k x k x k +++-=设()11,A x y ，()22,B x y0>恒成立，2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+ 假设C 与B 关于x 轴对称，则()22C x y -，下证,,D A C 三点共线 即证DADC k k =，即证121244y y x x -=++ ∵()111y k x =+，()221y k x =+ ∴()()()()()()()122112211212441414258y x y x k x x k x x k x x x x +++=+++++=+++⎡⎤⎣⎦22222412802580343434k k k k k k k⎡⎤--⨯=++==⎢⎥+++⎣⎦ ∴()22,C x y -与,D A 共线，∴DA 与R 的另一交点C 与B 关于x 轴对称 点评：本题考查由定义求椭圆的标准方程，还考查了由韦达定理表示根与系数的关系进而证明对称关系，属于较难题.21．已知函数()()1()xf x x a e a R =-+∈，3()g x x =. （1）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围； （2）证明：当1a =，1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()f x g x >. 答案：（1）1a >；（2）证明见解析.（1）求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用极小值小于0进行求解，再分类讨论检验即可；（2）设()()()F x f x g x =-，求函数的导数，证明当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x >恒成立即可. 解：（1）解：()()(1)x x xf x e x a e x a e '=+-=-+令()0f x '=有1x a =-当1x a <-时()0f x '<，()f x 递减，当1x a >-时()0f x '>，()f x 递增∴当1x a =-时，()f x 取得极小值同时也是最小值1(1)1a f a e --=-+∵()f x 有两个零点，则(1)0f a -<即110a e --+< ∴1a >又()10,()f a f x =>在(1,)a a -上递增， ∴()f x 在(1,)a a -上有且只有一个零点2()a ae af a e-=，设()2a h a e a =-，()2ah a e '=- ∵1a >，∴20a e ->∴()h a 递增 ∴()(1)20h a h e >=->∴()0f a ->，又()f x 在(,1)a a --上递减 ∴()f x 在(,1)a a --上有且只有一个零点 综上所述1a >；（2）设3()()()(1)1x F x f x g x x e x =-=--+()2()(1)33x x x F x e x e x x e x '=+--=-设()3xx e x ϕ=-，即()3x x e ϕ'=- ∵1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()30x e ϕ'<-<∴()x ϕ递减又110,(1)303e ϕϕ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭∴()x ϕ在1,13⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点，设为0x 则当013x x <<时，()0x ϕ>，()0,()F x F x '>递增 当01x x <<时，()0,()0,()x F x F x ϕ'<<递减又1312620,(1)0327327F e F ⎛⎫=-=>= ⎪⎝⎭∴()0F x >成立，∴1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()f x g x >.点评：本题考查由函数零点个数求参数取值范围，还考查了利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1:4cos C ρθ=，2:2sin C ρθ=，设直线3:C θα=与1C 交于,O A 两点，直线4:2C πθα=+与2C 交于,O B 两点.（1）求曲线1C 的普通方程及参数方程；（2）当,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求OAB 面积的取值范围. 答案：（1）22(2)4x y -+=，22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；（2）13S ≤≤.（1）两边同乘ρ后根据互化公式可得曲线1C 的普通方程，再得参数方程;（2）联立极坐标方程组成方程组可得|OA|和|OB|，再根据直角三角形面积公式表示面积，最后根据三角函数性质求取值范围.解：（1）4cos ρθ=，24cos ρρθ=， ∵222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， ∴2240x y x +-=，∴22(2)4x y -+=，1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）（2）联立24cos θρθ=⎧⎨=⎩得4cos A ρα=联立22sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2sin 2cos 2B πραα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴2111||||4cos 2cos 4cos 222A B S OA OB P P ααα=⋅=⋅=⨯⨯= ∵,63a ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1cos 22α≤≤，∴13S ≤≤. 点评：本题考查极坐标方程与普通方程与参数方程之间的互化，还考查了在极坐标中表示面积进而由三角函数性质求范围，属于简单题. 23．已知函数()|1||2|f x x x =-+-. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若存在(0,)x ∈+∞，使得4()f x m x x≤--成立，求实数m 的取值范围. 答案：（1）{|03}x x ≤≤；（2）5m ≥.（1）利用分类讨论思想分3类去绝对值解不等式组，在求并集即为答案； （2）由题可知4()m f x x x ≥++，构建4()()g x f x x x=++，即条件等价于max ()m g x ≥，然后分别求出()f x 与4x x+的最小值，根据区间等条件相同可得max ()g x ，即可求得答案. 解：（1）当2x ≥时，123x x -+-≤，∴3x ≤∴23x ≤≤ 当12x <<时，123x x -+-≤∴13≤∴12x << 当1x ≤时，123x x -+-≤∴0x ≥∴01x ≤≤∴不等式()3f x ≤的解集为{|03}x x ≤≤. （2）4()m f x x x ≥++设4()(),0g x f x x x x=++> 由题意min (),0m g x x ≥>()|1||2||(1)(2)|1f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当12x ≤≤时取“=”号44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时取“=”号∴min ()145g x =+=，当且仅当2x =时 ∴5m ≥. 点评：本题考查解绝对值不等式，还考查了由不等式恒成立求参数取值范围，属于中档题.。
四川省成都市第七中学2018-2019学年高中毕业班零诊模拟考试数学(文)试题(解析版)
成都七中高2019届零诊模拟考试数学试题（文科）一、单选题（每小题5分，共60分）1. 设全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用交集的定义求解即可.详解：因为集合，，所以，故选C.点睛：本题考查的交集，所以简单题.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2. 若复数满足，则复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：把变形，利用复数代数形式的乘除运算化简即可得结果.详解：，，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用二次函数的单调性，结合函数的定义域，根据复合函数的单调性求解即可.详解：得或，令，则为增函数，在上的增区间便是原函数的单调递增区间，原函数的单调递增区间为，故选D.点睛：本题主要考查二次函数与幂函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. 15B. 37C. 83D. 177【答案】B【解析】分析：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量i的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件不满足时执行循环，满足时退出循环，即可得到输出结果．详解：执行程序，可得，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，符合，输出；故选：B5. 已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：考察函数图象可知: 命题为假命题，命题为真命题，所以为真命题．考点：命题的真假判断．6. 已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：由已知得，，结合能得到的值.详解：是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，，，，，，故选C.点睛：本题考查椭圆的定义，基本性质和平面向量的知识.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.7. 在公比为的正项等比数列中，，则当取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，当且仅当时取等号，所以，选Ａ．8. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析：由三视图可得，该几何体是底面为直角梯形的柱体，根据三视图中数据利用棱柱的体积公式可得结果.详解：由三视图可得，该几何体是底面为直角梯形的柱体，其中棱柱的高为，底面积为，可得几何体的体积为，故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，则，由，，则，故选B．【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．10. 若函数在处有极大值，则常数为（）A. 2或6B. 2C. 6D. -2或-6【答案】C【解析】分析：求出函数的导数，再令导数等于0，求出c 值，再检验函数的导数是否满足在x=2处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的 c值舍去．详解：∵函数f（x）=x（x﹣c）2=x3﹣2cx2+c2x，它的导数为=3x2﹣4cx+c2，由题意知在x=2处的导数值为 12﹣8c+c2=0，∴c=6或 c=2，又函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，故导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．当c=2时，=3x2﹣8x+4=3（x﹣）（x﹣2），不满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．当c=6时，=3x2﹣24x+36=3（x2﹣8x+12）=3（x﹣2）（x﹣6），满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．故 c=6．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值，意在考查学生对该知识的掌握能力. (2)本题是一个易错题，容易错选A，函数f(x)在点处的导数是函数在处有极值的必要非充分条件.11. 在中，，，则角（）A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】分析：在中，利用，结合题中条件，利用和差角公式可求得，利用正弦定理与二倍角的正弦即可求得结果.详解：在中，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以由正弦定理得，联立两式可得，即，，所以，所以，所以，故选D.点睛：本题主要考查三角函数的计算以及正余弦定理的应用，最后求得之后，一定要抓住题中条件，最后确定出角的大小.12. 设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，可得在上为减函数，可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，原不等式等价于或，解可得的取值范围，即可得到结论.详解：根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，或，解可得或，则的取值范围是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知函数，若，则__________．【答案】-7【解析】分析：直接根据求a的值.详解：因为，所以故答案为：-7.点睛：(1)本题主要考查对数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)解对数方程常用同底比较法解答,把右边的b化成以a为底的对数.14. 已知函数，，是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则__________．【答案】1【解析】分析：根据勾股定理可得，求得，，从而可得函数解析式，进而可得结果.详解：令的最小正周期为，由，可得，由是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则由勾股定理可得，即，解得，故，可得，，故，故答案为.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.15. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是__________．【答案】【解析】分析：利用双曲线的渐近线的方程可得＝2，再利用抛物线的焦点抛物线y2＝20x的焦点相同即可得出c，即可求得结论.详解：由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.点睛：熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．属于基础题.16. 如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：设，可得，利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质可得结果.详解：如图，连接，已知，，又，，设，，当时，有最小值，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.三、解答题（17-21题每小题12分，22题10分，共70分）17. 设为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据数列的递推关系，利用作差法可得是首项为，公差的等差数列，从而可求的通项公式；（2）求出，，利用裂项法即可求数列的的前项和.详解：（1）由，可知，两式相减得，即，∵，∴，∵，∴（舍）或，则是首项为3，公差的等差数列，∴的通项公式.（2）∵，∴，∴数列的前项和.18. 如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为的中点.（1）证明：；（2）若点为线段的中点，平面平面，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）先证明平面，再证明.(2) 由求点到平面的距离. 详解：（1）连接，因为，，所以为正三角形，又点为的中点，所以.又因为，为的中点，所以.又，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知.又平面平面，交线为，所以平面，由.，，，由等体积法得.点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查点到平面距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)求点到平面的距离常用的是几何法、等体积法和向量法，本题采用的是等体积法.19. 十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：.所有蜜柚均以40元/千克收购；.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【答案】（1）；（2）应该选择方案.【解析】分析：（1）利用列举法，从蜜柚中随机抽取个的情况共有种，其中量小于克的仅有1种情况，由古典概型概率公式可得结果；（2）若按方案收购，求出总收益为（元），若按方案收购，收益为元，从而可得结果.详解：（1）由题得蜜柚质量在和的比例为，∴分别抽取2个和3个.记抽取质量在的蜜柚为，，质量在的蜜柚为，，，则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种：（2）若按方案收购，，，，，，，，，，其中质量小于2000克的仅有这1种情况，故所求概率为.（2）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在，，，，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为（元），若按方案收购：∵蜜柚质量低于2250克的个数为，蜜柚质量低于2250克的个数为，∴收益为元，∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.点睛：本题主要考查直方图的应用、古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）依题意，面积为，联立方程组，解得,所以椭圆的方程，；（2）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数关系求出，设线段的中点为，则的坐标为.接着按，两类，代入，列方程，可求得或.试题解析：（1）由,得.再由,解得,由题意可知，即,解方程组，得,所以椭圆的方程，.（2）由（1）可知点，的坐标是,设点的坐标为,直线的斜率为.则直线的方程为,于是两点的坐标满足方程组,消去并整理，得.由,得.从而..设线段的中点为，则的坐标为以下分两种情况：①当时,点的坐标是,线段的垂直平分线为轴，于是.由,得.②当时,线段的垂直平分线方程为.令,解得,由,整理得.故.综上,或.考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】解析几何解答题一般为试卷两个压轴题之一，“多考想，少考算”，但不是“不计算”.常用的解析几何题目中的简化运算的技巧有：利用圆锥曲线的概念简化运算，条件等价转化简化运算，用形助数简化运算，设而不求简化运算.圆锥曲线题目运算量较大时，要合理利用圆锥曲线的几何特征将所求的问题代数化.本题第一问主要就是利用方程的思想，根据题意列出方程组，即可求得椭圆方程.视频21. 已知函数（为常数）.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数，的图象与轴无交点，求实数的最小值.【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】分析：（1）先求导，再利用导数求函数的单调区间.(2)先转化成对任意的，成立，再转化成时，，再求的最大值.详解：（1）时，，，由得；得.故的减区间为，增区间为.（2）因为时，，同时，因此时，，故要使函数图象与轴在上无交点，只有对任意的，成立，即时，.令，，则，再令，，，于是在上为减函数，故，∴在上恒成立，∴在上为增函数，∴在上恒成立，又，故要使恒成立，只要，所以实数的最小值为.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化成时，，其二是利用二次求导求的最大值.22. 选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）由直线参数方程得，所以将直线参数方程代入圆直角坐标方程得t2+2(cosα-sinα)t-7=0，利用韦达定理化简得，最后根据三角函数有界性求最小值.试题解析：（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+(y-3)2=9．（2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2(cosα-sinα)t-7=0．由△=4(cosα-sinα)2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以又由直线过点(1,2)，故，结合参数的几何意义得，当时取等．所以|PA|+|PB|的最小值为．。
四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学(文)试题(解析版)
第七中学2019届高三一诊模拟考试数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设是虚数单位，则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接展开多项式乘多项式化简得答案．【详解】=3-2i-i2=4-2i．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，从而求出两集合的交集即可．【详解】∵集合A=，解得x>-1，B={x|（x+1）（x﹣2）0且x}={x|﹣1x＜2}，则A∩B={x|＜x＜2}，故选：A．【点睛】本题考查了集合的运算，考查解指数不等式及分式不等式问题，是一道基础题．3.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断．【详解】因为满足偶函数f（﹣x）=f（x）的定义，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，又x=0时，y=0，排除A、C，故选D.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于基础题．4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【详解】∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B．【点睛】本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考查了空间想象能力，属于中档题．5.执行下边的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果．【详解】模拟执行算法程序，可得：S=1，k=1，不满足条件，S=1，k=2，不满足条件，S=2，k=3，不满足条件，S=6，k=4，不满足条件，S=24，k=5，不满足条件，S=120，k=6，此时i满足条件，退出循环，输出S的值为120；所以横线处应填写的条件为，故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，属于直到型循环结构，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.设实数满足，则的最大值是（）A. -1B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件确定可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率求得答案．【详解】由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（），的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率，由图可知，最大．故答案为：．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．7.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性即可判断出结论．【详解】⇒a>b>0 ⇒，但满足的如a=-2,b=-1不能得到，故“”是“”的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.已知向量，，则在方向上的投影为（）A. 2B. -2C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与向量投影的定义，写出对应的运算即可．【详解】向量，，∴，∴(•==-10，||==5；∴向量在向量方向上的投影为：||cos＜(，＞===﹣2．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算与向量投影的定义与应用问题，是基础题．9.设抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，若，则的值（）A. B. 2 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得==，即可得出结论．【详解】过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴==，.故选：D．【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设分别是的内角的对边，已知，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形内角和定理可得．由正弦定理可得b2+c2﹣a2=-bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A∈（0，π）可得A的值.【详解】∵，，∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，∴由余弦定理可得：cosA=，∴由A∈（0，π），可得：A=.故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在三角形中的应用，属于基础题．11.已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为，则其底面边长为（）A. 18B. 12C.D.【答案】B【解析】【分析】过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D 为△ABC的中心，D、M为其中两个切点，利用直角△PDE中的数量关系计算结果.【详解】如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．此时球与四个面相切，如图D、M为其中两个切点，∵S球=16π, ∴球的半径r=2．又∵PD=6，OD=2,∴OP=4,又OM=2,∴=∴ DE=2,AE=6, ∴ AB=12,故选B.【点睛】本题考查球与棱锥的组合体问题，考查球的表面积公式，找切点利用直角三角形是解决此类问题的关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.已知函数（其中）的最小正周期为，函数，若对，都有，则的最小正值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数表达式展开合并，再用辅助角公式化简，得f（x）=sin（2x+）-．再根据正弦函数对称轴的公式，求出f （x）图象的对称轴方程.【详解】由函数的最小正周期为，可求得=2∴f（x）=，===2sin（+），∴又，∴x=是g(x)的一条对称轴，代入+中，有+=(k,解得=(k,k=1时，，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的化简与三角函数性质，运用了两角和差的正余弦公式，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为________.【答案】12【解析】【分析】利用分层抽样中的比例，可得工会代表中男教师的总人数．【详解】∵高中部女教师与高中部男教师比例为2：3，按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则男教师有9人，工会代表中高中部教师共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，工会代表中初中部教师人数与高中部教师人数比例为2：3，工会代表中初中部教师总人数为10，又∵初中部女教师与高中部男教师比例为7：3，工会代表中初中部男教师的总人数为10×30%=3；∴工会代表中男教师的总人数为9+3=12，故答案为12．【点睛】本题考查对分层抽样的定义的理解，考查识图能力与分析数据的能力，考查学生的计算能力，比较基础．14.已知圆与轴相切，圆心在轴的正半轴上，并且截直线所得的弦长为2，则圆的标准方程是________. 【答案】【解析】【分析】由圆心在在轴的正半轴上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．【详解】设圆心为（t，0），且t>0,∴半径为r=|t|=t，∵圆C截直线所得的弦长为2，∴圆心到直线的距离d==∴t2-2t-3=0，∴t=3或t=-1（舍），故t=3，∴.故答案为【点睛】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．15.已知均为锐角，且，则的最小值是________.【答案】【解析】【分析】利用余弦的和与差公式打开，“弦化切”的思想求得tanαtanβ=，再将展开利用基本不等式即可求解．【详解】由cos（α-β）=3cos（α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ，同时除以cosαcosβ，可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，则tanαtanβ=，又=2=．故答案为：.【点睛】本题考查了余弦、正切的和与差公式和同角三角函数的运用，“弦化切”的思想，结合了基本不等式求最值，属于中档题．16.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，结合图象求出实数a的取值范围．【详解】由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，如图所示：当时，的图象易得，当时，函数g(x)=，==0，x=1,在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，如图所示：有三个不同的交点，a≤4故答案为：【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.正项等比数列中，已知，.求的通项公式；设为的前项和，，求.【答案】221【解析】【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1=1，q=2，由此能求出{a n}的通项公式．（2）由（1）求出{a n}的前项和，代入中，直接利求出{b n}的通项，利用等差数列求和公式求得结果.【详解】设正项等比数列的公比为，则由及得，化简得，解得或（舍去）.所以的通项公式为.由得，.所以.【点睛】本题考查等比数列通项公式、等差数列的前n项和的求法，考查运算求解能力，是中档题．18.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量；“江南梅雨无限愁”.镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅2009～2018年的亩产量（/亩）与降雨量的发生频数（年）如列联表所示（部分数据缺失）.请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？（完善列联表，并说明理由）.（参考公式：，其中）【答案】乙【解析】【分析】由频率分布直方图可求出第四组的频率，利用频率分布直方图中平均数的计算公式求得结果.根据题意，列出列联表，计算，与甲品种的百分数作比较得出结论.【详解】频率分布直方图中第四组的频率为.所以用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量为.根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为.进而完善列联表如图..故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查了列联表及的知识，考查了计算能力与推理能力．19.已知椭圆的离心率为，且经过点.求椭圆的标准方程；过点的动直线交椭圆于另一点，设，过椭圆中心作直线的垂线交于点，求证：为定值.【答案】4，证明见解析【解析】【分析】（1）利用椭圆C：的离心率为，且经过点M（2，0），可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，再结合条件求出C的坐标，计算，得出定值4.【详解】因为椭圆的离心率，且，所以.又.故椭圆的标准方程为.设直线的方程为（一定存在，且）.代入，并整理得.解得，于是.又，所以的斜率为.因为，所以直线的方程为.与方程联立，解得.故为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，正确运用韦达定理是关键．20.如图，在多面体中，和交于一点，除以外的其余各棱长均为2.作平面与平面的交线，并写出作法及理由；求证：；若平面平面，求多面体的体积.【答案】见解析见解析 2【解析】【分析】由题意可得平面，由线面平行的性质作出交线即可.取的中点，连结，.由条件可证得平面，故.又.平面.从而.将多面体分割成两个三棱锥，再利用等体积法求得结果.【详解】过点作（或）的平行线，即为所求直线.和交于一点，四点共面.又四边形边长均相等.四边形为菱形，从而.又平面，且平面，平面.平面，且平面平面，.证明：取的中点，连结，.，，，.又，平面，平面，故.又四边形为菱形，.又，平面.又平面，.解：平面平面，平面.故多面体的体积.【点睛】本题考查证明线面平行、线面垂直的方法及求多面体体积的大小，不规则多面体常进行体积分割或补形，此法是解题的关键和难点．21.已知函数，其中为常数.若曲线在处的切线斜率为-2，求该切线的方程；求函数在上的最小值.【答案】【解析】【分析】（1）先利用，求出a，进而写出切点坐标，写出的切线方程.（2）对a分类讨论，易判断当或当时，在区间内是单调的，根据单调性直接可得出最小值，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减，故，又因为，，将两者比较大小求得结果．【详解】求导得，由解得.此时，所以该切线的方程为，即为所求.对，，所以在区间内单调递减.当时，，在区间上单调递减，故.当时，，在区间上单调递增，故.当时，因为，，且在区间上单调递增，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且在上单调递增，在上单调递减.故的最小值等于和中较小的一个值. ①当时，，故的最小值为. ②当时，，故的最小值为.综上所述，函数的最小值.【点睛】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及计算能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的参数标方程为（其中为参数，且），在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线的极坐标方程为.求曲线的极坐标方程；求直线与曲线的公共点的极坐标.【答案】【解析】 【分析】（1）先将曲线C 的参数标方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标方程； （2）将与的极坐标方程联立，求出直线l 与曲线C 的交点的极角，代入直线的极坐标方程即可求得极坐标． 【详解】消去参数，得曲线的直角坐标方程.将，代入，得.所以曲线的极坐标方程为.将与的极坐标方程联立，消去得.展开得.因为，所以.于是方程的解为，即.代入可得，所以点的极坐标为.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数，且.若，求的最小值；若，求证：.【答案】见解析【解析】【分析】由柯西不等式将中的变为，求得的最小值.因为，又，故再结合绝对值三角不等式证得结论成立.【详解】由柯西不等式得，（当且仅当时取等号），所以，即的最小值为；因为，所以，故结论成立.【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题.。