辽宁省沈阳市高二上期末数学测试卷(理)(含答案解析)
2018-2019学年辽宁省沈阳市高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（ ）A．（4，10）B．[4，10]C．（6，8）D．[6，8]2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（ ）A．∀x∈N+，2x＜2B．∀x∉N+，2x＜2C．∃x∉N+，2x＜2D．∃x∈N+，2x＜23．双曲线=﹣1的渐近线方程是（ ）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（ ）A．7B．15C．30D．315．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（ ）A．B．C．D．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（ ）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（ ）A．2B．3C．4D．58．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（ ）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b59．已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（ ）A．8B．4C．2D．111．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=， =， =，且=，则x，y，z的值分别为（ ）A．B．C．D．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k 的取值范围为（ ）A．k＞1B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为 ．14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 ．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为 ．16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a= ．三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．20．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．2018-2019学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（ ）A．（4，10）B．[4，10]C．（6，8）D．[6，8]【考点】不等关系与不等式．【分析】直接利用不等式的简单性质计算即可．【解答】解：4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b∈[4，10]．故选：B．2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（ ）A．∀x∈N+，2x＜2B．∀x∉N+，2x＜2C．∃x∉N+，2x＜2D．∃x∈N+，2x＜2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为：∃x∈N+，2x＜2．故选：D．3．双曲线=﹣1的渐近线方程是（ ）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】化方程为标准方程，可得a，b，代入y=可得渐近线方程．【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A4．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（ ）A．7B．15C．30D．31【考点】数列递推式．【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解（法三）构造可得a n+1=2（a n﹣1+1），从而可得数列{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n+1，进而可求a n，把n=5代入可求【解答】解：（法一）∵a n=2a n﹣1+1，a1=1a2=2a1+1=3a3=2a2+1=7a4=2a3+1=15a5=2a4+1=31（法二）∵a n=2a n﹣1+1∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31（法三）∴a n+1=2（a n﹣1+1）∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1∴a5=25﹣1=31故选：D5．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（ ）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】把已知条件移项变形得到a2+b2﹣c2=ab，然后利用余弦定理表示出cosC的式子，把变形得到的式子代入即可求出cosC的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由a2+b2﹣ab=c2，可得：a2+b2﹣c2=ab，根据余弦定理得：cosC===，又C∈（0，π），所以C=．故选：B．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（ ）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选C．7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（ ）A．2B．3C．4D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线x2=8y的焦点坐标（0，2），抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，可得P的纵坐标为：3，故选：B．8．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（ ）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b5【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设公差为d，公比为q，作差比较，运用因式分解，即可得出结论．【解答】解：设公差为d，公比为q，则∵a2=b2，a8=b8，∴a2+6d=a2q6，∴d=a2（q6﹣1）∴a5﹣b5=a2+3d﹣a2q3=a2（1﹣q3）+a2（q6﹣1）=a2（q3﹣1）2，∵a2＞0，（q3﹣1）2≥0，∴a2（q3﹣1）2≥0，即有a5≥b5，故选：A．9．已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．即可判断出结论．【解答】解：曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．∴“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的充分不必要条件，故选：A．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（ ）A．8B．4C．2D．1【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的前n项和公式列出方程组求出首项和公比，由此利用经数列前n项和公式能求出的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=1，S6=9，∴，解得a1=，q=2，∴===2．故选：C．11．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=， =， =，且=，则x，y，z的值分别为（ ）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可画出图形，根据条件及向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算便可得到，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y，z的值．【解答】解：如图，根据条件， ====；又；∴．故选A．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k 的取值范围为（ ）A．k＞1B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】可通过前n项的和，结合单调递减，解不等式可得k的范围，再讨论n为4的倍数，4的倍数余1，4的倍数余2，4的倍数余3，结合等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：a n=sin﹣kn，可得a1=1﹣k，a2=﹣2k，a3=﹣1﹣3k，a4=﹣4k，a5=1﹣5k，a6=﹣6k，a7=﹣1﹣7k，a8=﹣8k，即有S1=1﹣k，S2=1﹣3k，S3=﹣6k，S4=﹣10k，S5=1﹣15k，S6=1﹣21k，S7=﹣28k，S8=﹣36k，由{S n}为递减数列，可得S1＞S2＞S3＞S4＞S5＞S6＞S7＞S8，即为1﹣k＞1﹣3k＞﹣6k＞﹣10k＞1﹣15k＞1﹣21k＞﹣28k＞﹣36k，解得k＞，当n为4的倍数时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞，显然≤；当n为4的倍数加1时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加2时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加3时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0．综上可得k的范围是k＞．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的标准方程分别求出a，c，由此能求出该椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为=1，∴a==2， =，∴该椭圆的离心率为e==．故答案为：．14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 1 ．【考点】四种命题．【分析】根据四种命题之间的关系分别进行判断即可【解答】解：若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题．逆命题为：若a＞b，则ac2＞bc2．当c=0时，ac2＞bc2．不成立，∴逆命题为假命题，则否命题也为假命题．故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有1个．故答案为：1．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为 ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与A1D所成的角的余弦值．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A（0，0，0），E（1，0，2），A1（0，0，2），D（0，2，0），=（1，0，2），=（0，2，﹣2），设异面直线AE与A1D所成的角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．故答案为：．16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a= ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M（，0），计算即可得到答案．【解答】解：构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），考查函数y1=3ax﹣2，令y=0，得M（，0），∴a＞0；考查函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M（，0），代入得：﹣﹣2=0，解之得：a=，或a=﹣（舍去）．故答案为：三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知等式，利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，即可得解△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）由已知可求C=120°，BD=1，利用余弦定理可求AB，在△ABD中，利用余弦定理可求AD的值．【解答】解：（Ⅰ）∵asinC=csinB．∴利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，∴△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC，B=30°，BC=2，∴C=120°，BD=1，∴AB===2，∴△ABD中，AD===．18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）先求出x2﹣2x﹣3＞0，由此能求出关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集．（Ⅱ）由当2a＞4，即a＞2，2a＜4，即a＜2，2a=4，即a=2三种情况进行分类讨论，由此能求出关于x 的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵x（x﹣2）﹣3＞0，∴x2﹣2x﹣3＞0，解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3，∴关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}．（Ⅱ）∵（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R），∴（x﹣4）（x﹣2a）=0的解为x1=4，x2=2a，∴当2a＞4，即a＞2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|4＜x＜2a}；当2a＜4，即a＜2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|2a＜x＜4}；当2a=4，即a=2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为∅．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）把定点坐标代入抛物线方程，求得p，则抛物线方程可求；（Ⅱ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），代入点（1，2），可得p=2，∴抛物线的标准方程y2=4x；（Ⅱ）抛物线焦点坐标为F（1，0），∴直线l：y=k（x﹣1）．设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l：y=k（x﹣1）与y2=4x，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则由韦达定理有：x1+x2=2+，x1x2=1．则弦长|AB|=•=4+，∵k∈[1，2]，∴∈[1，4]，∴弦长|AB|的取值范围是[5，8]．20．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；（Ⅱ）求得==（﹣），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=3，a5=9，可得a1+d=3，a1+4d=9，解得a1=1，d=2，则a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1；前n项和S n=n（1+2n﹣1）=n2；（Ⅱ）证明： ==（﹣），即有++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣﹣）＜，则命题“∀n∈N+，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面A1BD．（Ⅱ）求出平面A1DF的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），B（2，2，0），D（0，0，0），=（﹣2，2，1），=（2，0，4），=（2，2，0），•=0， =0，∴AE⊥DA1，AE⊥DB，又DA1∩DB=D，∴AE⊥平面A1BD．解：（Ⅱ）F（0，1，4），=（2，0，4），=（0，1，4），=（2，2，0），设平面A1DF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（8，﹣4，1），设平面A1BD的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（﹣2，2，1），设二面角F﹣A1D﹣B的平面角为θ，cosθ===．∴二面角F﹣A1D﹣B的余弦值为．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由离心率公式和四边形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，运用韦达定理，求得P的坐标，同理可得Q的坐标，运用向量AP，AQ的坐标，运用数量积的坐标表示，由符号即可得到A与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，•2a•2b=12，a2﹣b2=c2，解得c=1，a=3，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得（32+m2）x2+6m2x+9m2﹣288=0，由﹣3x P=，解得x P=，y P=，m≠0，BM的方程为y=（x﹣3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得x2﹣6m2x+9m2﹣1152=0，由3x Q=，解得x Q=，y Q=，由=（，），=（，），即有•==＜0，即有∠PAQ为钝角，即点A在以PQ为直径的圆C的内部．。
2023-2024学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．抛物线214y x =的焦点到准线的距离为（）A ．18B ．14C ．1D ．2【正确答案】D【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由214y x =⇒242x y p =⇒=，焦点到准线的距离是2p =，故选：D.2．下列式子错误的是（）A ．2577C =C B ．323544C =C +C C ．333553A =C A D ．4356A =4A 【正确答案】D【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.【详解】对于A ，B ，由组合数公式：()1*1,,,,m n m m m m n n n n n C C C C C m n m n N --+==+≤∈知，2577C =C ，323544C =C +C ，所以A 、B 正确；对于C ，因为m m n nm mA C A =得m m n n m m A C A =，所以333553A =C A ，所以C 正确.对于D ，455432120A =⨯⨯⨯=，36654120A =创=，4356A 4A ≠，所以D 不正确.故选：D.3．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．内切C ．外切D ．相交【正确答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ，圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切.故选：B4．已知二项式1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，所有项的系数之和为32，则该展开式中x 的系数为（）A ．405-B ．405C ．81-D ．81【正确答案】A【分析】根据二项式定理，写出通项公式，求出指定项的系数.【详解】令1x =，可得所有项的系数之和为2325n n =⇔=，则11(5)(52)5522155(1)3C (1)3C r r r r rr rr rr r Txxx------+=-=-，由题意5312r-=，即1r =，所以展开式中含x 项的系数为4153C 405-=-．故选：A ．5．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 【正确答案】B【分析】过点1A 作111A D B C ⊥，证明1A D ⊥平面11BCC B ，根据线面角的定义确定1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，解三角形求其正弦值即可.【详解】过点1A 作111A D B C ⊥，连接CD ，由已知1CC ⊥平面111A B C ，1A D ⊂平面111A B C ，所以11A D CC ⊥，因为1111B C CC C = ，11B C ⊂平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1A D ⊥平面11BCC B ，所以1A CD ∠为1AC 与平面11BCC B 所成角的平面角，因为1A D ⊥平面11BCC B ，CD ⊂平面11BCC B ，所以1A D CD ⊥，所以1A CD △为直角三角形，由已知111A B C 为等边三角形，且112A B AB ==，所以1A D =，在11Rt A C C 中，112CC AA ==，112AC =，所以1A C =，在1Rt ACD中，1A C =，1A D =，所以111sin A D A CD A C ∠===，所以1AC 与平面11BCC B故选：B.6．已知点A 是抛物线2y x =上的动点，焦点为F ，点(1,2)B ，则||+||AB AF 的最小值为（）A ．74B ．2C ．94D ．52【正确答案】C【分析】由抛物线的定义转化后，当三点共线时取得最小值.【详解】∵2y x =，则2x y =，∴焦点1(0,4F ，准线l 方程14y =-，点(1,2)B 在抛物线上方，设过A 作l 的垂线，垂足为E ，∴由抛物线的定义知，||||AF AE =，如图所示，∴||||||||||AB AF AB AE BE +=+≥，当且仅当B 、A 、E 三点共线时取等号，当B 、A 、E 三点共线时，19||244BE =+=，故||+||AB AF 的最小值为94，故选：C.7．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种【正确答案】D【详解】分两个步骤：先分配医生有336A =种方法，再分配护士有422364233390C C C A A =，由分步计数原理可得：422336423333690540C C C A A A ⨯=⨯=，应选答案：D ．本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平均分配的问题而忘记除以33A 而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．8．设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得()220OP OF F P +=，其中O 为坐标原点，且122PF PF = ，则该双曲线的离心率为A ．3B 1CD 【正确答案】D【分析】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，可得12PF PF ⊥，利用双曲线的定义结合勾股定理解出该双曲线的离心率．【详解】由()220OP OF F P += ，得2OP OF =，取2PF 中点M ，则2OM PF ⊥，1//OM PF ，所以12PF PF ⊥，设2PF m =，则12PF m =，且122PF PF a m -==，因此222(4)(2)(2)a a c +=，解得ce a==故选：D ．二、多选题9．已知双曲线22:14x C y -=，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为1C ．双曲线C 的渐近线方程12y x =±D ．双曲线C 左支上的点到右焦点的最短距离为4【正确答案】ABC【分析】根据双曲线的基本几何量运算即可.【详解】解：双曲线22:14x C y -=中，224,1a b ==，所以2225c a b =+=，则2,1,a b c ===所以双曲线C的离心率为c aA 正确；双曲线的焦点为()到渐近线12y x =±1=，故B 正确，C 正确；双曲线C 左支上的点P 到右焦点2F的距离为22PF c a ≥++2，故D 不正确.故选：ABC.10．已知点()0,2F 为圆锥曲线C 的焦点，则C 的方程可能为（）A ．28y x=B ．218x y=C ．()221044x y m m m+=<<-D ．()221044y x m m m -=<<-【正确答案】BC分别计算四个选项中圆锥曲线的焦点，即可得正确选项.【详解】对于选项A ：28y x =中，4p =，所以22p=，可得焦点坐标为()2,0，故选项A 不正确；对于选项B ：由218x y =可得28x y =，所以4p =，所以22p =，可得焦点坐标为()0,2，故选项B正确；对于选项C ：2214x y m m+=-，因为04m <<，所以40m -<，所以原方程可化为2214y x m m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，由2a m =，24b m =-，所以22244c a b m m =+=+-=，所以焦点坐标为()0,2±，所以()0,2F 为圆锥曲线()221044x y m m m+=<<-的焦点，故选项C 正确；对于选项D ：2214y x m m -=-中，因为04m <<，所以40m -<，原方程可化为：2214y x m m+=-，当4m m =-即2m =时，22122y x +=表示圆，没有焦点当4m m >-即m>2时，2214y x m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，2a m =，24b m =-，()222424c a b m m m =-=--=-，焦点为(0,，不符合题意，当4m m <-即02m <<时，2214y x m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，24a m =-，2b m =，()222442c a b m m m =-=--=-，焦点为()，不符合题意，故选项D 不正确；故选：BC.11．已知圆C 的方程为()()22114x y -+-=，直线l 的方程为20x my m +--=，下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过定点()2,1B ．直线与圆相交C ．直线被圆所截最短弦长为D ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C 【正确答案】ABC【分析】化简直线l 的方程为2(1)0x m y -+-=，结合方程组的解，可判定A 正确；求得圆心到定点()2,1的距离，得到点P 在圆内，进而得到直线与圆相交，可判定B 正确；根据圆的性质，得到当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，求得最短弦长，可判定C 正确；将圆心坐标代入直线l 的方程，可判定D 不正确.【详解】对于A 项：由直线l 的方程20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，联立方程组2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，即直线l 恒经过定点()2,1P ，所以A 正确；对于B 项：由圆C 的方程()()22114x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，半径2r =，又由12PC r =<=，可得()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以B 正确；对于C 项：由1PC =，根据圆的性质，可得当直线和直线PC 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为==C 正确；对于D 项：将圆心(1,1)C 代入直线l 的方程20x my m +--=，可得1210m m +--=-≠，所以不存在一个实数m ，使得直线l 过圆心C ，所以D 不正确.故选：ABC.12．已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b .双曲线2C 和椭圆1C 焦点相同，且双曲线2C 的离心率为2e ，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，若123F MF π∠=，则下列说法正确的是（）A ．21e e =B ．1234e e =C ．22122e e +=D ．221232e e -=【正确答案】AC设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，由12PF F △的面积为2b ，可得b c =，可求得1e ，设12,MF m MF n ==，利用定义可得，12,2m n a m n a +=-=，则22221()()4m n m n mn a a +--==-，在12MF F △中，由余弦定理可得222242cos ()33c m n mn m n mn π=+-=+-，代入化简，利用离心率公式可求出2e 【详解】解：设双曲线的标准方程为221122111(0)x y a b a b -=>>，半焦距为c ，因为椭圆1C 的上顶点为P ，且12PF F △的面积为2b 。
沈阳市高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
20-1、答案：略
20-2、答案：略
21-1、答案：略
21-2、答案：略
21-3、答案：略
21-4、答案：略
22-1、
22. （5分） (2017·大连模拟) 已知函数f（x）=x﹣alnx﹣1， ，其中a为实数．
（Ⅰ）求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）设a＜0，若对任意的x1、x2∈[3，4]（x1≠x2）， 恒成立，求实数a的最小值．
参考答案
一、 选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、答案：略
3-1、答案：略
21. （20分） (2019高三上·北京月考) 已知函数 .
（1） 当 时,求 的单调递增区间;
（2） 当 时,求 的单调递增区间;
（3） 是否存在 ,使得对任意的 ,都有 恒成立.若存在,求出 的取值范围;若不存在,请说明理由.
（4） 是否存在 ,使得对任意的 ,都有 恒成立.若存在,求出 的取值范围;若不存在,请说明理由.
15. （1分） 将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ________
16. （1分） (2016高二上·辽宁期中) 已知P为椭圆 =1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为________．
B . 如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极大值
C . 如果在x0附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x0）是极小值
D . 如果在x0附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x0）是极大值
辽宁省沈阳市数学高二上学期理数期末考试试卷
辽宁省沈阳市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）下列说法中正确的有（）（1）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；（2）“”是“”的充分不必要条件；（3）若为假命题，则、均为假命题；（4）对于命题则A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （1分） (2018高一上·滁州期中) 若函数满足关系式，则（）A .B .C .D .3. （1分） (2019高二上·浙江期末) 若为实数，则“ ”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （1分） (2019高三上·宁波期末) 在空间直角坐标系中，为坐标原点，满足，则下列结论中不正确的是（）A . 的最小值为-6B . 的最大值为10C . 最大值为D . 最小值为16. （1分） (2016高二下·咸阳期末) 一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X 的均值为（）A . 60B . 70C . 80D . 907. （1分）已知 x、y 为正实数，且，则的最小值是（）A . 4B . 8C . 12D . 168. （1分）从的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为（）A .B .C .D .9. （1分） (2017高三上·唐山期末) 设实数满足约束条件，则的最小值为（）A .B .C .D .10. （1分） (2017高二上·红桥期末) 已知双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为3x﹣4y=0，则双曲线离心率为（）A .B .C .D .11. （1分）(2016·铜仁) 正方体ABCD—A1B1C1D1中直线与平面夹角的余弦值是（）A .B .C .D .12. （1分） (2017高三上·四川月考) 已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在正方形ABCD中，点E为AD的中点，若在正方形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q落在△ABE 内部的概率是________14. （1分）某学校有学生4 022人．为调查学生对2012年伦敦奥运会的了解状况，现用系统抽样的方法抽取一个容量为30的样本，则分段间隔是________．15. （1分）(2017·襄阳模拟) 以下四个命题：①已知随机变量X～N（0，σ2），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为；②设a、b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件；③函数f（x）= ﹣（）x的零点个数为1；④命题p：∀n∈N，3n≥n2+1，则￢p为∀n∈N，3n≤n2+1．其中真命题的序号为________．16. （1分） (2018高二上·江苏月考) 方程表示双曲线，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分）(2020·丽江模拟) 设、为曲线上两点，与的横坐标之和为 .（1）求直线的斜率；（2）设弦的中点为，过点、分别作抛物线的切线，则两切线的交点为，过点作直线，交抛物线于、两点，连接、 .证明： .18. （2分） (2018高一下·葫芦岛期末) 为了解学生身高情况，某校以的比例对全校1000名学生按性别进行分层抽样调查，已知男女比例为，测得男生身高情况的频率分布直方图（如图所示）：（1）计算所抽取的男生人数，并估计男生身高的中位数（保留两位小数）；（2）从样本中身高在之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在之间的概率．19. （2分） (2017高二下·南阳期末) 设函数（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）曲线y=xf（x）是否存在经过原点的切线，若存在，求出该切线方程，若不存在说明理由．20. （2分） (2019高二上·内蒙古月考) 为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x12345y86542（参考公式：）已知和具有线性相关关系．（1）求关于的线性回归方程；（2）若年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．21. （2分）(2017·舒城模拟) 如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．22. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共12分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、。
辽宁省沈阳市郊联体高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析
辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．x=﹣1 C．D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1＞0B．命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题C．设x∈R，则2+x≥0是﹣1≤x≤3的充分不必要条件D．∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy=0，则x≠0 3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（x2+3x+2）6展开式中x的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．3848．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：x2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数来产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.14210．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A．B．C． D．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC 的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．612．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为．14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线x2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：x+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失x∈[0，2000]则取x=1000，且x=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值表参考公式：．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63521．（12分）已知椭圆T：的离心率为，若椭圆T与圆=1相交于M，N两点，且圆P在椭圆T内的弧长为π．（1）求a，b的值；（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为k2，且k1k2=．①求直线AB的斜率；②求四边形ABCD面积的取值范围．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P 在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为（）A．y=﹣1 B．x=﹣1 C．D．【解答】解：抛物线x2=2y的准线方程为：y=﹣，故选：D．2．（5分）下列说法正确的是（）A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1＞0B．命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题C．设x∈R，则2+x≥0是﹣1≤x≤3的充分不必要条件D．∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy=0，则x≠0【解答】解：对于A，命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故A错误；对于B，命题已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1的逆否命题为：已知x，y∈R，若x=2且y=1，则x+y=3，是真命题，则原命题是真命题，故B 正确；对于C，设x∈R，由2+x≥0，得x≥﹣2，当x=4时，不满足﹣1≤x≤3，故C错误；对于D，∀x、y∈R，如果xy=0，则x=0的否命题是∀x、y∈R，如果xy≠0，则x≠0，故D错误．故选：B．3．（5分）直线l过点P（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点，这样的直线共有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【解答】解：由题意可知点（﹣2，﹣4）在抛物线y2=﹣8x上，故过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x只有一个公共点时只能是：i）过点（﹣2，﹣4）且与抛物线y2=﹣8x相切，ii）过点（﹣2，﹣4）且平行于对称轴．故选：C．4．（5分）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即ax±by=0∵双曲线一个焦点到一条渐近线的距离为，∴右焦点F（0，c）到渐近线ax±by=0的距离d==，解之得b=，即，化简得c2=a2因此，该双曲线的标准离心率为e==故选：C．5．（5分）已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，设事件A表示“其中一枚为5角硬币”，事件B表示“另一枚也是5角硬币”，则P（A）=1﹣=，P（AB）==，∴其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为：P（B|A）===．故选：D．6．（5分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，则小球落入A袋中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B袋中，小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，小球落入A袋中的概率为：P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）=．故选：D．7．（5分）（x2+3x+2）6展开式中x的系数为（）A．92 B．576 C．192 D．384【解答】解：（x2+3x+2）6 表示6个因式开式（x2+3x+2）的乘积，其中一个因式取3x，其余的都取2，可得展开式中x的系数为•3•25=576，故选：B．8．（5分）设O为坐标原点，动点N在圆C：x2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足，则点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设N（x0，y0），由题意可得M（0，y0），设P（x，y），由点P满足，可得（x，y﹣y0）=（x0，0），可得x=x0，y=y0，即有x0=2x，y0=y，代入圆C：x2+y2=8，可得．即有点P的轨迹方程为．故选：B．9．（5分）我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用rand（）函数来产生0～1的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.142【解答】解：x2+y2+z2＜1发生的概率为π×13×=，当输出结果为524时，i=1001，m=527，x2+y2+z2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.144，故选：A．10．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，则=（）A．B．C． D．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），∵直线l倾斜角为30°，∴直线l的方程为：y﹣0=（x﹣）．设直线与抛物线的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），∴|AF|=x1+，|BF|=x2+，联立方程组，消去y并整理，得4x2﹣28px+p2=0，解得x1=p，x2=p，或x2=p，x1=p，当x1=p，x2=p时，∴|AF|=x1+=（4+2）p，|BF|=x2+=（4﹣2）p，∴|AF|：|BF|==7+4，当x2=p，x1=p时，∴|AF|：|BF|==7﹣4，故选：C．11．（5分）已知双曲线上有不共线的三点A、B、C，且AB、BC、AC 的中点分别为D、E、F，若OD、OE、OF的斜率之和为﹣2，则=（）A．﹣4 B．C．4 D．6【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0．由A，B在双曲线，则，相减可得=×=×=×，∴k AB=，即=2k OD．同理可得=2k OE，=2k OF．∴=2（k OD+k OE+k OF）=2×（﹣2）=﹣4．故选A．12．（5分）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：①a1﹣c1=a2﹣c2②a1+c1=a2+c2③c1a2＞a1c2④其中正确的式子的序号是（）A．②③B．①④C．①③D．②④【解答】解：由图可知a2＞a1、c2＞c1，从而a1+c1＜a2+c2；根据a1﹣c1=|PF|，a2﹣c2=|PF|可知a1﹣c1=a2﹣c2∴①正确，②不正确．∴a1+c2=a2+c1，∴（a1+c2）2=（a2+c1）2，即a12﹣c12+2a1c2=a22﹣c22+2a2c1，∴b12+2a1c2=b22+2a2c1，∵b1＜b2，∴c1a2＜a1c2，∴③不正确；此时④，∴④正确．故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为91．【解答】解：样本间隔为2000÷100=20，则抽出的号码为11+20（x﹣1），则第五组号码为11+20×4=91，故答案为：91．14．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，且它与椭圆有相同的焦点，则该双曲线方程为．【解答】解：椭圆的焦点为（±5，0），双曲线的焦点坐标在x轴上．则双曲线的c=5，即a2+b2=25，由双曲线的渐近线方程为4x﹣3y=0，则3b=4a，解得，a=3，b=4．则双曲线的方程为．故答案为：．15．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1、A2、B1、B2，焦点分别为F1、F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PB2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是．【解答】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，﹣b）、=（﹣c，﹣b），由∠B1PB2为钝角知道与的数量积大于0，所以有：﹣ac+b2＞0，把b2=a2﹣c2代入不等式得：a2﹣ac﹣c2＞0，除以a2得1﹣e﹣e2＞0，即e2+e﹣1＞0，解得，又0＜e＜1，所以0＜e＜，故答案为：．16．（5分）过y轴上定点P（0，m）的动直线与抛物线x2=﹣16y交于A、B两点，若为定值，则m=﹣8．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），存在满足条件的点P（0，m），直线l：y=tx+m，有，消y可得x2+16tx+16m=0，由△=162t2﹣4×16m＞0可得4t﹣m＞0∴x1+x2=﹣16t，x1x2=16m，∴|AP|2=x12+（y1﹣m）2=x12+t2x12=（1+t2）x12，|BP|2=x22+（y2﹣m）2=（1+t2）x22，∴=+=•=•当m=﹣8时，为定值，故答案为：﹣8．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知a∈R，命题P：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：已知方程表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若q为真命题时：（a+1）（a﹣2）＜0，∴﹣1＜a＜2，∴a∈（﹣1，2）；（2）若p为真命题时：a≤（x2）min x∈[1，2]，∴a≤1，p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p、q一真一假，即或，解得1＜a＜2或a≤﹣1，∴a的范围为（1，2）∪（﹣∞，﹣1]．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）第一组学生身高的中位数为，第二组学生身高的中位数为；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A，，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；（3）X的可能取值为0，1，2，3，，，，∴X的分布列为X0123P．19．（12分）已知点M与点F（4，0）的距离比它的直线l：x+6=0的距离小2．（1）求点M的轨迹方程；（2）OA，OB是点M轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB是否经过x轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．【解答】解：（1）由题意知动点M到（4，0）的距离比它到直线l：x=﹣6的距离小2，即动点M到（4，0）的距离与它到直线x=﹣4的距离相等，由抛物线定义可知动点M的轨迹为以（4，0）为焦点的抛物线，则点M的轨迹方程为y2=16x；（2）法一：由题意知直线AB的斜率显然不能为0，设直线AB的方程为x=ty+m（m≠0）A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去x，可得y2﹣16ty﹣16m=0，△＞0即4t2+m＞0，y1+y2=16t，y1y2=﹣16m，，由题意知OA⊥OB，即，则x1x2+y1y2=0，∴m2﹣16m=0，∵m≠0，∴m=16，∴直线AB的方程为x=ty+16，∴直线AB过定点，且定点坐标为（16，0）；法二：假设存在定点，设定点P（x0，0），A（x1，y1），B（x2，y2）（y1y2≠0），∵OA⊥OB，∴，∴x1x2+y1y2=0，又∵A、B在抛物线上，即代入上式，可得，∴y1y2=﹣256，又∵A、B、P三点共线，∴，∴，∴假设成立，直线AB经过x轴的定点，坐标为（16，0）．20．（12分）某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000）、（2000，4000]、（4000，6000]三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失x∈[0，2000]则取x=1000，且x=1000的概率等于经济损失落入[0，2000]的频率）．现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值表参考公式：．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.010 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【解答】（1）由题意可知P（x=1000）=0.3，P（x=3000）=0.5，P（x=5000）=0.2，ξ的所有可能取值为2000，4000，6000，8000，10000，，P（ξ=10000）=0.22=0.04，所以ξ的分布列为ξ200040006000800010000 P0.090.300.370.200.04 E（ξ）=2000×0.09+4000×0.30+6000×0.37+8000×0.20+10000×0.04=5600元（2）经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30434捐款不超过500元10616合计401050，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．21．（12分）已知椭圆T ：的离心率为，若椭圆T 与圆=1相交于M，N两点，且圆P在椭圆T 内的弧长为π．（1）求a，b的值；（2）过椭圆T的中心作两条直线AC，BD交椭圆T于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k1，BD的斜率为k2，且k1k2=．①求直线AB的斜率；②求四边形ABCD面积的取值范围．【解答】解：（1）由圆P在椭圆T 内的弧长为，则该弧所对的圆心角为，M、N 的坐标分别为，设c2=a2+b2，由可得，∴a2=4b2，则椭圆方程可记为+=1，将点（﹣1，）代入得，∴b2=1，a2=4，∵a＞b＞0，∴a=2，b=1；（2）①由（1）知椭圆方程可记为，由题意知直线AB的斜率显然存在，设直线AB的方程为：y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△＞0，即16（1+4k2﹣m2）＞0，∴，∴，∵，∴，即x1x2=4y1y2，∴4k2=1，∴k=±；②，O到直线AB的距离，四边形ABCD面积，∵m2∈（0，1）∪（1，2），∴四边形ABCD面积S∈（0，4）．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M为曲线C1上的动点，点P 在线段OM上，且满足|OM||OP|=4．（1）求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），其中0≤α＜π．l与C2交于点，求直线l的斜率．【解答】解：（1）设点P的极坐标（ρ，θ）（ρ＞0），点M的极坐标（ρ1，θ）（ρ1＞0），由题意可知，由|OP||OM|=4得曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ（ρ＞0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1（y≠0）；（2）法一：由直线的参数方程可知，直线l过原点且倾角为α，则直线l极坐标方程为θ=α，联立，∴A（2sinα，α），∴，∴或，∴或，∴直线l得斜率为或；法二：由题意分析可知直线l的斜率一定存在，且由直线l的参数方程可得，直线l过原点，设直线l的普通方程为y=kx，∴C2到l的距离，可得，∴直线l得斜率为或．。
辽宁省沈阳市—高二数学上学期期末考试 理
沈阳二中2012—2013学年度上学期期末考试高二（14届）数学（理）试题满分：150分 时间：120分钟第1卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5 分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
） 1、不等式2x x <的解集是（ ）A 、()0,∞-B 、()1,0C 、()+∞,1D 、()()+∞⋃∞-,10,2、设i 为虚数单位，bi a ii+=+-15，则=-b a （ ） A 、1 B 、—5 C 、5 D 、—13、设,p q 是两个命题22:log (||3)0,:6510p x q x x -<-+>，，则p 是q 的（ ）A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种5、二次不等式012>++bx ax 的解集为{x |－1<x <13}，则ab 的值为( )A ．－5B ．5C ．－ 6D ．66、若()x f y =是定义域为{}*∈≤≤=N x x x A ,71，值域为{}1,0=B 的函数，则这样的函数共有（ ）A 、128个B 、126个C 、72个D 、64个7、当a 为任意实数时，直线024)32(=+-++a y x a 恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是（ ） A ．y x 322=或x y 212-= B ．y x 322-=或x y 212=C ．x y 322=或y x 212-= D ．x y 322-=或y x 212=8、若多项式()()()1010991010111+++++++=+x a x a x a a xx Λ，则820a a a +++Λ=（ ）A 、509B 、510C 、511D 、10229、若点O 和点F ()0,2-分别是双曲线()012222>=-a by a x 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则⋅的取值范围为（ ）A 、[)+∞+,323B 、[)+∞-,323 C 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,47 D 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,47 10、如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分，包括边界）若目标函数ay x z +=，取得最小值的最优解有无穷个，则ax y-的最大值是（ ） A 、32 B 、52C 、61D 、4111、设F 1，F 2是双曲线2214y x -=的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=u u u r u u u u r u u u u r ，且21||||PF PF λ=u u u u r u u u r，则λ的值为（ ）（ ）A ．13 B ．12C ．2D ．312、以下正确命题的个数为（ ）①命题“存在00,20x x R ∈≤”的否定是：“不存在00,20xx R ∈>”；②命题：“函数131()()4xf x x =-的零点在区间11(,)43内”是真命题；③某班男生20人，女生30人，从中抽取10个人的样本，恰好抽到4个男生、6个女生，则该抽样中女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率； ④8(1)x 展开式中不含4x 项的系数的和为1。
辽宁省沈阳市重点高中高二上学期期末数学试题 解析版
高二期末检测数学（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．若方程表示双曲线，则实数k 的取值范围为（ ） 22112x y k k +=+-A ．B ．C ．D ．()1,2-(),1-∞-()2,+∞()(),12,-∞-⋃+∞2．在空间直角坐标系中，点与点关于（ ）O xyz -()1,1,1A ()1,1,1B -A ．原点对称B ．平面xOy 对称C ．平面yOz 对称D ．平面xOz 对称3．已知直线l 恰好经过圆的圆心，且与直线垂()()22:131C x y -++=:20m x y +=直，则直线l 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．210x y +-=210x y ++=250x y --=250x y -+=4．四张红桃纸牌、三张黑桃纸牌及两张梅花纸牌中，每张纸牌上的数字不同，取出两张不同花色的纸牌，不同的取法共有（ ）A ．24种B ．9种C ．10种D ．26种5．的展开式中，项的系数为（）()()412x x --3x A ．2B ．14C ．48D ． 2-6．已知，下列排列组合公式中，不一定正确的是（ ） *,m n ∈N A ． B ．C ．D ． C Cm n m nn-=A C A m m m n n m=A C !mm n nn =11A A m m n n n m+=-7．按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一种数字编码，则不同的数字编码共有（）A ．120种B ．60种C ．40种D ．10种8．已知抛物线，其焦点为F ，P 是拋物线C 上的动点，若点，点Q2:8C y x =()4,2M在以FM 为直径的圆上，则的最小值为（ ）PF PQ +A ．B ．C ．8D ．95-5+二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．已知双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的离心率可以是（ ） 13y x =±A B ．2C D 10．设，则下列式子正确的是（ ）()5501521x a a x a x -=+++ A ．B ． 01a =-123451a a a a a ++++=C ．D ．024121a a a ++=135122a a a ++=11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P 为椭圆C 上的一个动点，点22:198x y C +=1F 2F ，则下列结论正确的是（ ）()1,1M -A ．的周长为6B ．的面积的最大值为 12PF F △12PF F △C ．存在点P ，使得D ．的最大值为712PF PF ⊥1PM PF +12．如图，在正方体中，，点P 在侧面及其边界上运1111ABCD A B C D -1AB =11BCC B 动，并且总是保持，则下列结论正确的是（）1AP BD ⊥A ． 113P AA D V -=B ．点P 在线段上1B C C ．平面1BD ⊥11AC DD ．直线AP 与侧面所成角的正弦值的范围为 11BCC B ⎫⎪⎪⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．二项式的展开式中，第4项为______．()532x +14．已知圆，以点为圆心，半径为r 的圆与圆C 有公共点，()22:24C x y ++=()2,0A 则r 的取值范围为______．15．已知空间向量，．若与平行，则______．11,,2a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()2,1,1b =-- 2a b - b a =16．设，分别为椭圆与双曲线1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>的公共焦点，与在第一象限内交于点M ，()222222222:10,0x y C a b a b -=>>1C 2C ．若椭圆的离心率，则双曲线的离心率为______． 1290F MF ∠=︒1C 134e =2C 2e 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念． （1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？18．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AMM ABCD -的长为3，且，N 是CM 的中点．设，，60MAB MAD ∠=∠=︒a AB =b AD = ，用，，表示，并求BN 的长．c AM =a b c BN19．（12分）在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为． nx ⎛ ⎝13（1）求n 的值及展开式中的常数项是第几项； （2）展开式中系数最大的项是第几项？20．（12分）已知直线与拋物线的准线相交于点A ，O 为坐1y x =-()2:20C y px p =>标原点，且． 2AO k =（1）求拋物线C 的标准方程；（2）若Q 为抛物线C 上一动点，M 为线段FQ 的中点，F 为抛物线的焦点，求点M 的轨迹方程．21．（12分）在如图所示的五面体ABCDFE 中，面ABCD 是边长为2的正方形，平AE ⊥面ABCD ，，且，N 为BE 的中点，M 为CD 的中点． DF AE ∥112DF AE ==（1）求证：平面ABCD ；FN ∥（2）求二面角的平面角的正弦值．N MF D --22．（12分）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒()2222:10x y C a b a b +=>>22:13x E y -=数，椭圆C 的上顶点为M ，右顶点为N ，O 为坐标原点，的面积为1．MON △（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与曲线相切，与椭圆C 交于A ，B 两点，求的取值范222:D x y b +=AB 围．2022—2023学年度（上）联合体高二期末检测数学 参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．A 【解析】依题意，得，则．故选A ． ()()120k k +-<12k -<<2．D 【解析】在空间直角坐标系中，点关于平面xOz 对称的点的坐标为(),,x y z ，则根据题中所给的坐标，可以判断它们关于平面xOz 对称．故选D ．(),,x y z -3．C 【解析】由直线l 与直线m 垂直，设直线l ，m 的斜率分别为，，则1k 2k ，即，解得．易得圆C 的圆心为，故直线l 的方121k k ⋅=-1112k ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭12k =()1,3-程为，整理可得直线l 的方程为．故选C ．()321y x +=-250x y --=4．D 【解析】红桃+黑桃：（种）；红桃+梅花：（种）；黑桃+梅花：4312⨯=428⨯=（种）．326⨯=故取出两张不同花色的纸牌，共有：（种），故选D ． 128626++=5．B 【解析】在中，项由的项与x 的积和的项()()412x x --3x ()41x -2x ()41x -3x 和的积组成，故可得的系数为．故选B ． 2-3x ()()()2121441C 11C 214-⨯+-⨯-=6．C 【解析】对于A ，由组合数的性质知，成立，A 正确； C C m n m n n-=对于B ，因为，因此成立，B 正确； A C A m m n nmm=A C A m m m n n m =对于C ，，而与不一定相等，则与不一定相等，C 不一定正确；A C !m m n nm =!m !n A !m nm A !m n n 对于D ，，D 正确．故选C ． ()()111!!A A 1!!m mn n n n n m n m n m n m +=⋅==-----7．D 【解析】由题意可得，该题等价于求5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数，为（种）．故选D ．552323A 10A A =⋅8．A 【解析】由题得点F 的坐标为，则圆H 的圆心为，半径．()2,0()3,1H r =因为点P 在抛物线上，且抛物线的准线为，所以等于点P 到准线2:8C y x =2x =-PF 的距离．过点P 作准线的垂线，垂足为R ．要使取到最小值，即最小，此时PF PQ +PR PQ +R ，P ，Q 三点共线，且三点连线后直线RQ 过圆心H ．如图所示，此时．故选A ．()min5PR PQ HR r +=-=二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．AC 【解析】设半焦距为c ．①若双曲线的焦点在x 轴上，此时双曲线的方程为． ()222210,0x y a b a b-=>>因为双曲线的两条渐近线为，所以． 13y x =±133b a b a =⇒=由，所以双曲线的离心率； 222a b c c +=⇒=c e a ==②若双曲线的焦点在y 轴上，此时双曲线的方程为．()222210,0y x a b a b-=>>双曲线的两条渐近线为，所以．13y x =±133a b a b =⇒=由，所以双曲线离心率为．222a b c c +=⇒=c e a==AC ． 10．ACD 【解析】令，则，即，A 正确；0x =()501a -=01a =-令，则，即①， 1x =50123451a a a a a a =+++++0123451a a a a a a +++++=则，B 错误；123452a a a a a ++++=令，则，即1x =-()50123453a a a a a a -=-+-+-012345243a a a a a a -+-+-=-②．由①②，可得，，C 、D 正确．故选ACD ．024121a a a ++=-135122a a a ++=11．BD 【解析】对于A ，由椭圆，得的周长为22:198x y C +=12PF F △，A 错误；1212238PF PF F F ++=⨯+=对于B ，当P 为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积12PF F △，B 正确；122S =⨯=对于C ，当P 为椭圆短轴顶点时，最大，12F PF ∠此时，222222121212123327cos 022339PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===>⨯⨯即为锐角，故不存在点P 使得，C 错误；12F PF ∠12PF PF ⊥对于D ，由椭圆，所以． 22:198x y C +=()21,0F 又，所以，所以()1,1M -21MF ==，D 正确．故选BD ．12226667PM PF PM PF PM PF MF +=+-=+-≤+=12．BC 【解析】对于A ，点P 在平面内，平面平面，所以点11BCC B 11BCC B ∥1AA D P 到平面的距离即为点C 到平面的距离，即正方体的棱长，所以1AA D 1AA D ，A 错误；1111111113326P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△对于B ，以D 为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，且()1,0,0A (),1,P x z ()1,1,0B ()10,0,1D ()11,1,1B ()0,1,0C 01x ≤≤，，01z ≤≤所以，，．()1,1,AP x z =- ()11,1,1BD =-- ()11,0,1B C =--因为，所以，所以，即，所以1AP BD ⊥1110AP BD x z ⋅=--+=x z =(),1,P x x ，(),0,CP x x =所以，即，C ，P 三点共线，故点P 在线段上，B 正确；1CP xB C =-1B 1B C 对于C ，由，，根据三垂线定理，可得，1111B D A C ⊥11AD A D ⊥111BD A C ⊥．11BD A D ⊥因为，平面，所以平面，C 正确；11A C 1A D ⊂11AC D 1BD ⊥11AC D 对于D ，，，平面的一个法向量为． ()1,1,AP x x =- 01x ≤≤11BCC B ()0,1,0m =设与平面的夹角为，为锐角，AP11BCC B θθ其正弦值为sin m APm APθ⋅===由，D 错误．故选BC ． 01x ≤≤sin θ≤≤三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 【解析】的展开式中第4项为．680x ()532x +()533336315C280T x x -+=⨯=14． 【解析】由题知的圆心为，两圆心的距离26r ≤≤()22:24C x y ++=()2,0-．()224d =--=因为两圆有公共点，即相交或相切，所以，解得．242r r -≤≤+26r ≤≤15，，得．11,,2a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()2,1,1b =-- ()24,21,2a b n -=- 因为与平行，所以，解得，所以，所2a b - b 4212211n -==--12n =-111,,22a ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 以 a =16，1212MF MF a +=1222MF MF a -=，．因为，所以112MF a a ⇒=+212MF a a =-1290F MF ∠=︒． ()()22212124a a a a c ++-=2221222121122a a c e e ⇒+=⇒+=因为，即，所以，得．134e=211169e =222111229e e =-=2e =四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排有个等可能的基本事件，77A 甲、乙不相邻的事件中含有的基本事件数为，5254A A 所以． ()525477A A 2A 7P ==甲、乙不相邻且不在两端（其他正确解答也可得分）（2）从除甲、乙外的5位老师中任取3人排在甲、乙之间有种， 35A 排在甲、乙之间的3位老师与甲、乙一起视为一个整体， 同余下的2位老师作全排列有种， 33A 甲、乙的排列有种．22A 由分步乘法计数原理，得，所以甲、乙之间所隔人数为3，共有720种不332532A A A 720=同的排法．18．解：因为N 是CM 的中点，所以12BN BC CN AD CM =+=+ ()12AD AM AC =+- ．()11111112222222AD AD AD AB AB AD AM a b c ⎡⎤=+-+=-++=-++⎣⎦ 由题意，可得，，，2a AB == 2b AD == 3c AM ==，，60MAB MAD ∠=∠=︒90DAB ∠=︒所以22111222BN a b c ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ()22212224a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅， ()14490223cos 60223cos 604=++--⨯⨯︒+⨯⨯︒174=所以BN ．BN = 19．解：（1）二项式展开式的通项公式为nx ⎛⎝．5411C C 2rrn rr n r r r n n T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭（公式写对得1分）因为第3项和第4项的系数比为，所以， 1322331C 1231C 2n n ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫⎪⎝⎭化简得，解得，236C C n n =20n =所以．52041201C 2rrr r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭令，得，所以常数项为第17项．52004r -=16r =（2）设展开式中系数最大的项是第项，1r +则 ()11202011202011C C ,212,222120,11C C ,22r r r r r r r r r r r r --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪-≥⎧⎪⎝⎭⎝⎭⎪⇒⎨⎨+≥-⎪⎩⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩（列不等式组正确得1分，化简2分） 解得．（少一种情况扣1分）． 67r ≤≤因为，所以或，r ∈N 6r =7r =所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项．20．解：（1）对抛物线，()2:20C y px p =>其准线方程为． 2p x =-因为准线与直线交于点A ，1y x =-所以点A 的坐标为． ,122p p ⎛⎫--- ⎪⎝⎭因为，则，解得，（斜率列式正确的1分，结果1分） 2AOk =1222p p --=-2p =则抛物线C 的标准方程为． 24y x =（2）由（1）知，则．2:4C y x =()1,0F 设，，根据M 为线段FQ 的中点， ()11,Q x y (),M x y 可得即1112,2,x x y y +=⎧⎨=⎩1121,2.x x y y =-⎧⎨=⎩由Q 为抛物线C 上一动点，可得，即， 2114y x =()()22421y x =-整理可得点M 的轨迹方程为．221y x =-21．（1）证明：方法一：如图，取AB 的中点P ，连接NP ，PD ．（必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现但过程无体现扣1分）因为N 为BE 的中点，所以，． NP AE ∥12NP AE =又因为，， DF AE ∥12DF AE =所以，且，所以四边形NPDF 是平行四边形， NP DF ∥NP DF =所以．FN DP ∥因为平面ABCD ，平面ABCD ， DP ⊂FN ⊄所以平面ABCD ．FN ∥（缺条件平面ABCD ，平面ABCD ，扣1分．）DP ⊂FN ⊄方法二：易得AE ，AB ，AD 两两垂直，如图，以A 为原点，AB ，AD ，AE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． （必须展示作辅助线的过程，仅在图中体现但过程无体现的扣1分．）因为平面ABCD 是边长为2的正方形，， DF AE ∥且，N 为BE 的中点，M 为CD 的中点， 112DF AE ==所以，，，，，，()0,0,0A ()2,0,0B ()2,2,0C ()0,2,0D ()0,0,2E ()1,0,1N ，，()1,2,0M ()0,2,1F 所以．()1,2,0NF =-因为平面ABCD 的一个法向量为，()0,0,1n =所以，即．0NF n ⋅= NF n ⊥ 又因为平面ABCD ，所以平面ABCD ．NF ⊄NF ∥（2）解：因为，，()1,2,0NF =- ()1,0,1MF =-设平面MNF 的一个法向量为，(),,m x y z =则 20,0.m NF x y m MF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，所以．1y =2x z ==()2,1,2m =因为平面ABCD ，，所以平面ABCD ， AE ⊥DF AE ∥DF ⊥因为平面ABCD ，所以．AD ⊂DF AD ⊥又因为，，平面MFD ， AD DC ⊥DC DF D ⋂=,DC DF ⊂所以平面MFD ，AD ⊥所以平面MFD 的一个法向量为．()0,2,0AD =设二面角的平面角为，N MF D --θ则，所以1cos 3m AD m ADθ⋅==sin θ=（正确求出余弦值得1分．）所以二面角． N MF D --22．解：（1）设椭圆C 的半焦距为．()0c c >因为双曲线， 22:13x E y -=所以椭圆C ，即． c a =因为的面积为1，所以②． MON △112ab =结合①、②与，解得，，222a b c =+2a =1b =所以椭圆C 的标准方程为． 2214x y +=（2）由（1）知，曲线为圆．22:1D x y +=当与圆D 相切的直线l 斜率不存在时，直线， :1l x =±由解得，则．221,1,4x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩y =AB =当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为，，，y kx m =+()11,A x y ()22,B x y 由消去y 并整理，得，（此处缺少化简后221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222418440k x kmx m +++-=的方程扣1分．），即，()()222264441440k m k m ∆=-+->22410k m -+>，． 122841km x x k -+=+21224441m x x k -=+又因为直线l 与圆相切，22:1D x y +=，即，显然， 1=221m k =+0k ≠则 ()()222212121222844444141km m x x x x x x k k --⎛⎫-=+-=-⨯ ⎪++⎝⎭，()()2222222641616484141km k k k -+==++于是得．2AB x =+=（此处表示出AB 的长度要有弦长公式，没有弦长公式扣1分．）令，（此处需要说明t的取值范围，不写取值范围扣1分．）()2411k tt +=>则． AB ==而，即，因此．综上所述，的取值范围为． 1t >101t <<02AB <≤AB (]0,2。
辽宁省沈阳市2022-2023学年高二上册期末数学质量检测试题(含解析)
辽宁省沈阳市2022-2023学年高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A ．OA 、OB 、OC共线B ．OA 、OB共线C ．OB 、OC共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面【正确答案】D 【分析】根据向量OA 、OB 、OC不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A ．77A B ．4343A A C ．4343A A D ．4345A A 【正确答案】D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4名学生站成一排，②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况；则有4345A A 种排法；故选：D .本题考查排列的应用，解题方法是插空法，属于基础题．3．ABC ∆的顶点分别为(112)A -，，、(562)B -，，、(131)C -，，，则AC 边上的高BD 的长为（）A ．2B C ．5D ．6【正确答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示运算即可求解.【详解】∵(112)A -，，、(562)B -，，、(131)C -，，，则(450)AB =- ，，，(043)AC =-，，，∵点D 在直线AC 上，∴设(043)AD AC λλλ==-，，，则(043)(450)(4453)BD AD AB λλλλ=-=---=-+-，，，，，，，又∵BD AC ⊥ ，则40(45)4(3)(3)0BD AC λλ⋅=-⨯++⨯+-⨯-=，解得45λ=-.∴912(4453)(4)55BD λλ=-+-=- ，，，，，则5BD == ，故选：C.4．如图所示，设E ､F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱CD 上两点，且2AB =､1EF =，其中正确的命题为（）A ．异面直线11B D 与EF 所成的角为45°B ．异面直线11B D 与EF 所成的角为30°C ．直线11BD 与平面1B EF 所成的角为45°D ．直线11B D 与平面1B EF 所成的角为60°【正确答案】A 【分析】将两条异面直线平移至相交，找到异面直线所成的角，求解即可判断选项A ，B ，先求出点1D 到平面1DCB 的距离，然后利用直角三角形中的边角关系求解即可判断选项C ，D ．【详解】解：因为11//EF D C ，所以111B D C ∠是异面直线11B D 与EF 所成的角为45︒，故选项A 正确，选项B 错误；在三棱锥11D B DC -中，设点1D 到平面1DCB 的距离为h ，则有1111B D DCD DCB V V --=，所以111122223232⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得h ，则直线11B D 与平面1B EF 12=，所以直线11B D 与平面1B EF 所成的角为30°，故选项C ，D 错误．故选：A ．5．在50的展开式中有理项的项数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6【正确答案】A 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，可得当50r -为偶数，且r 能被3整除时，展开式为有理项，从而得出结论．【详解】解：50 的展开式的通项公式为50150(rr r r T C -+=⋅⋅，故当50r -为偶数，且r 能被3整除时，即0r =，6，12，18，24，30，36，42，48时，展开式为有理项，故选：A ．6．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）A ．221x y +=或22165x y +=B ．221x y +=或2237x y +=C ．22165x y +=或224x y +=D ．224x y +=或2237x y +=【正确答案】B 【分析】求出圆心到直线AC 的距离，比较得出圆心到三边距离的最小值，求出圆心到三顶点的距离，比较得最大值，可得唯一公共点坐标，从而得所求圆方程．【详解】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=点O 到直线240x y +-=的距离1d =>，又OA ==OB ==，OC =则以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则公共点为(01)-，或(61)-，，故圆的半径为1，则圆的方程为221x y +=或2237x y +=，故选：B.7．已知抛物线24y x =上的点P 到2x =-的距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（）A ．175B ．115C ．3D 【正确答案】A 【分析】由抛物线定义，把12d d +转化为抛物线的焦点到直线3490x y -+=的距离加1求解即可．【详解】解：如图，抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，由抛物线定义可知，抛物线24y x =上的点P 到2x =-的距离1||1d PF =+，又P 到直线3490x y -+=的距离为2d ，12d d ∴+的最小值为17||115MF +==．故选：A ．8．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（）A ．53B C D ．94【正确答案】B 【分析】根据题意，连接','AF CF ，构造矩形'FAF B ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得a c 、的关系，进而求出离心率．【详解】设左焦点为'F ，AF m=，连接','AF CF 则2FC m =，'2AF a m =+，'22CF a m =+，'2FF c =因为BF AC ⊥，且AB 经过原点O 所以四边形'FAF B 为矩形在Rt △'AF C 中，222'+'AF AC F C =，代入()()()2222+3=22a m m a m ++化简得23a m =所以在Rt △'AF F 中，222'+'AF AF F F =，代入()222222233a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得22179c a =，即173e =所以选B本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．二、多选题9．过点(23)P ，，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A ．50x y +-=B ．240x y +-=C ．320x y -=D ．4250x y -+=【正确答案】AC 【分析】设出直线的点法向式方程为(2)(3)0A x B y -+-=(A 、B 不同时为0)，先讨论0A =或0B =均不合题意，即0AB ≠，然后求出横纵截距，由两截距相等得出AB，代入即得直线方程．【详解】设所求直线方程为(2)(3)0A x B y -+-=(A 、B 不同时为0)，显然，当0A =或0B =时，所得直线方程不满足题意，故A 、B 均不为0，当0x =时，23A y B=+，当0y =时，32Bx A =+，根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则2332A BB A+=+，令Az B =，则3232z z+=+，整理，得2230z z +-=，解得1z =，或32z =-，则0A B =≠，或302A B =-≠，故所求直线方程为50x y +-=或320x y -=，故选：AC.方法点睛：本题考查直线的截距问题．在不学直线的点法向式方程的地区，一般直线在坐标轴的两截距相等，可分类讨论，分截距为0和截距不为0两类，截距为0时设直线方程为y kx =求解，截距不为0时设直线方程为x y a +=求解．两截距一个是另一个倍数问题也一样．10．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论正确的有（）A ．AD 与BC 所成的角为30°B ．AC 与BD 所成的角为90︒C ．BC 与面ACD 所成角的正弦值为3D ．平面ABC 与平面BCD【正确答案】BD 【分析】以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各选项中的直线的方向向量、平面的法向量后可得向量的夹角的余弦值，从而得到相应的空间角的三角函数值.【详解】取BD 的中点O ，连接,AO CO ，则AO BD ⊥，∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，故平面ABD ⊥平面BCD ，而平面ABD ⋂平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，故AO ⊥平面BCD .∴以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设1OC =，则(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C D -，∴(0,1,1)BA = ，(0,1,1)AD =-，(1,1,0)BC = ，(1,0,1)AC =-，(0,2,0)BD = .∵1cos ,2||||AD BC AD BC AD BC ⋅〈〉===，因为[],0,AD BC π〈〉∈ ，故,3AD BC π〈〉= ，∴异面直线AD 与BC 所成的角为60°，故A 错误；∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故B 正确；设平面ACD 的法向量为(,,)t x y z =，则0,0,t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩取1z =，得1,1x y ==，∴(1,1,1)t =，设BC 与面ACD 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||BC t BC t BC t θ⋅=〈〉===⋅C 错误；易知平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z '''=，则0,0,m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=''''+=⎩取1x '=得1,1y z ''=-=，∴(1,1,1)m =-，设两个平面的夹角为α（α为锐角），则||cos cos ,3||||m n m n m n α⋅=〈〉==⋅，故sin α=tan α=.∴平面ABC 与平面BCD，故D 正确.故选：BD.本题考查空间角的计算，一般根据几何体的特征合理建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量、平面的法向量的夹角来计算空间角的大小，本题属于中档题.11．在()821x -的展开式中，下列说法正确的有（）A ．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128B ．展开式中所有项的系数和为82C ．展开式中二项式系数的最大项为第五项D ．展开式中含3x 项的系数为448-【正确答案】ACD 【分析】在()821x -的展开式中，利用奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和，等于72，可得A 正确；求所有项的系数之和的方法是令1x =，可得B 错误，二项式系数最大的为48C ，为第5项，可得C 正确；利用二项展开的通项公式找到3x 项，可得D 正确.【详解】在()821x -的展开式中，所有奇数项的二项式系数和为812128-=，故选项A 正确；令1x =，得所有项的系数和为()8211-=，故选项B 错误；展开式中二项式系数最大的为48C ，它是展开式中的第415+=项，故选项C 正确；展开式中含3x 项的为()()3553821448C x x -=-，系数为448-，故选项D 正确.综上可知，ACD.故选：ACD.12．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则下述结论正确的是（）A ．AF +BF 为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m =ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【正确答案】AD 【分析】根据椭圆的定义可求AF BF +的值，结合三角形的边长关系可判断ABF 周长的取值范围，计算0BA BF ⋅<可判断ABF 不是直角三角形，计算AB ，利用面积公式可求ABF 的面积.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF'=∴=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，∴AB 的范围是()0,6，∴ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B ，又∵)F，∴(·60BA BF ⋅=-=-<，∴ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A ，)B ，∴112ABFS=⨯=D 正确．故选：AD 三、填空题13．已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．【正确答案】6【分析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．14．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点.用AB →，AD →，1OA →表示1OC →，则1OC →=______.【正确答案】1AB AD OA →→→++【分析】如图，连接11A C ，利用空间向量的线性运算求解.【详解】如图，连接11A C .由题得1OC →=111111=+OA A C OA AC OA AB AD AB AD OA →→→→→→→→→→+=+=+++.故1AB AD OA →→→++15．某地区高考改革，实行“321++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有_______.（用数字作答）【正确答案】16【分析】本题可分为在物理、历史两门科目中只选一门以及在物理、历史两门科目中选两门两种情况进行计算，然后相加，即可得出结果.【详解】若在物理、历史两门科目中只选一门，则有12242612C C ´=´=种；若在物理、历史两门科目中选两门，则有2124144C C ´=´=种，则共有41216+=种，故答案为.16本题考查通过排列组合解决有多少种不同的组合方式的问题，考查学生从题目中提取信息的能力，考查推理能力，考查分类讨论思想，是简单题.16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为______.【正确答案】(]1,2【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得直线20bx ay a -+=与直线0bx ay -=的距离2ad c=，根据圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得1d ，求解可得双曲线的离心率的取值范围．【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为b y x a=，即0bx ay -=，0(P x ，0)y 是直线20bx ay a -+=上任意一点，则直线20bx ay a -+=与直线0bx ay -=的距离2ad c==， 圆2200()()1x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，1d ∴ ，即21ac ，得2c e a= ，又1e >，e ∴的取值范围为(1，2]，故(1，2]．四、解答题17．已知()72701271mx a a x a x a x +=++++ 中，且335a =-.（1）求m 的值；（2）求1357a a a a +++的值.【正确答案】（1）1-；（2）64.【分析】（1）由二项展开式的通项公式直接建立方程33735C m =-，解出m ；（2）利用赋值法：令1x =和-1得到方程组，联立即可解得.【详解】()71mx +的二项展开式的通项公式为：17r r rr T C m x +=，（1）因为7i i i a C m =，0,1,2,3,7i =⋅⋅⋅，依题意得：33735C m =-，所以31m =-，得1m =-.（2）()72701271x a a x a x a x -=+++ 令1x =得.()701234567110a a a a a a a a +++++++=-=①令1x =-得.()7701234567112a a a a a a a a -+-+-+-=+=②由①-②得：()7135722a a a a +++=-，即613572a a a a +++=-.所以61357264a a a a +++==18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，BC AC ⊥，13AC BC CC ===，113AE AA =，1113C F CC =.（1）求直线1AC 与面11A FB 所成角的正弦值；（2）求二面角11A FB A --的余弦值.【正确答案】（1）11；（2）77.【分析】（1）根据线面垂直关系，建立如图空间直角坐标系，直接利用直线的方向向量求线线角即可得解；（2）利用空间直角坐标系，求得两面的法向量，利用向量夹角公式，即可得解.【详解】（1）∵1CC ⊥底面ABC ，∴111CC C A ⊥，111CC C B ⊥，∵BC AC ⊥，∴1111C B C A ⊥，于是以1C 为原点，11C A ，11C B ，和1CC 所在直线分别为x ､y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,0,0C ，()13,0,0A ，()3,0,3A ，()10,3,0B ，()0,0,1F ，∴()13,0,3C A = ，()13,0,1A F =-，()113,3,0A B =- ，设平面11A FB 的法向量为(),,m x y z = ，则11100m A F m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30330x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，3z =，∴()1,1,3m =，设直线1AC 与面11A FB 所成的角为α，则111sin cos ,11m C A m C A m C Aα⋅====⋅.故直线1AC 与面11A FB所成角的正弦值为11.（2）由（1）可知，()3,0,2AF =--，()13,3,3AB =-- ，设平面1AFB 的法向量为()111,,n x y z = ，则100n AF n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113203330x z x y z --=⎧⎨-+-=⎩，令12x =，则11y =-，13z =-，()2,1,3n =--，∴cos ,77m n m n m n⋅===-⋅.由题可知，二面角11A FB A --为锐二面角，故二面角11A FB A --.本题主要考查在空间直角坐标中利用向量求线线角和二面角的大小，计算量较大，属于中档题.本题的关键点有：（1）在用向量求线线角时，注意线线角的范围；（2）在用求面的法向量时，注意利用赋值法求法向量，并使数据相对简单.19．已知直线l 过点P (2，3)且与定直线l 0：y =2x 在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点B (a ，0).（1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.【正确答案】（1）12a >；（2）33y x =-【分析】（1）求出直线l 与直线0:2l y x =平行时，直线l 的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围；（2）首先求直线的斜率不存在时的面积S ，当直线l 的斜率存在时，设出直线方程，求出直线斜率的范围，联立直线l 与0l 的方程，求出点A 的坐标，由三角形面积公式，结合判别式法，求出S 的最小值，及此时直线方程.【详解】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，不能构成AOB ，此时322BP k a==-，解得：12a =，所以12a ≠，又因为点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 再第一象限内交于点A ，所以12a >.（2）当直线l 的斜率不存在时，即()2,0B ,()2,4A ，此时12442S =⨯⨯=,当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x =-+，由于直线的斜率存在，所以12a >，且2a ≠，又32BP k a=- ，2k ∴>或0k <，由()232y k x y x ⎧=-+⎨=⎩，得3264,22k k x y k k --==--，即3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭，则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=--，即()()2412290S k S k ---+=，当40S -≠时，()()21223640S S ∆=---≥，整理得()30S S -≥，得3S ≥，即S 的最小值为3，此时2690k k -+=，解得：3k =，则直线l 的方程为()32333y x x =-+=-即33y x =-本题主要考查直线与直线的位置关系，求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于中档题型.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，且2CD =，1AB =，BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点.（1）求证：//AN 平面PBC ；（2）在直线PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 出DMDP的值；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在，23DM DP =或127DM DP =.【分析】（1）取PC 的中点E ，连接BE ，NE ，先证四边形ABEN 为平行四边形，可得//BE AN ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）取CD 的中点F ，连接AF ，证得AB AF ⊥后，以A 为原点建立空间直角坐标系，设DM DP λ=，求得平面PBC 的法向量n|cos CM < ，|n > 列得关于λ的方程，解之即可．【详解】（1）证明：取PC 的中点E ，连接BE ，NE ，N Q 为PD 的中点，////NE CD AB ∴，12NE CD AB ==，∴四边形ABEN 为平行四边形，//BE AN ∴，又BE ⊂平面PBC ，AN ⊂平面PBC ，//AN ∴平面PBC ．（2）解：取CD 的中点F ，连接AF ，则//AB CF ，12AB CF ==，∴四边形ABCF 为平行四边形，又AB BC ⊥，∴四边形ABCF 为矩形，即AB AF ⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，PA AB ∴⊥，PA AF ⊥，故以A 为原点，AF ，AB ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0P ，0，1)，(0B ，1，0)，C 1，0)，D 1-，0)，设DM DP λ=，则M -，1λ-，)λ，∴(CM =-，2λ-，)λ，(0PB = ，1，1)-，PC =1，1)-，设平面PBC 的法向量为(n x = ，y ，)z ，则00n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y z y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1y =，则0x =，1z =，∴(0n =，1，1)，CM 与平面PBC所成角的余弦值为26，∴|cos CM <，|||||||CM n n CM n ⋅>==⋅，化简得，22150240λλ-+=，解得23λ=或127，∴直线PD 上存在点M 满足题意，且23DM DP =或127．21．已知动点M 到定点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到x 轴距离大14，（1）求动点M 的轨迹方程C ；（2）过F 作互相垂直的直线l 与m 交轨迹()0C y ≥于P ､Q 两点及S ､T 两点，A ，B 分别是弦PQ ､ST 的中点，当1AB =时，求直线l 与m 的方程.【正确答案】（1）()()2000y y x y ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩；（2）方程是14y x =+和14y x =-+或14y x =-+和14y x =+.【分析】（1）设出M 的坐标，然后根据已知建立方程化简即可求解；（2）由题意分别设出直线l ，m 的方程，联立直线l 与抛物线的方程，求出点A 的坐标，同理求出B 的坐标，然后求出|AB |，令其为1，化简即可求解．【详解】解（1）法1：设点(),M x y 14y =+化简得21122x y y =+，则点M 的轨迹方程是()()2000yy x y ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩.方法2：已知点M 到定点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到x 轴距离大14，由于点F 到x 轴的距离为14故当0y <时直线0x =上的点适合条件；当0y ≥时，M 到F 的距离等于到直线14y =-的距离，故轨迹方程为抛物线2x y=综上：点M 的轨迹方程是()()2000y y x y ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，l ：14y kx =+代入2x y =得2104x kx --=210k ∆=+>，12x x k +=，212121142224A A x x k k x x x y +=-⇒==⇒=+，∴21,224k k A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭同理∴2111,224B k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭则222422421111140AB k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==⇒+++=⇒-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴21k =，1k =±，则直线l 与m 的方程是14y x =+和14y x =-+或14y x =-+和14y x =+.易错点睛：求解点到点的距离与点到直线的距离是都得带上绝对值，否则容易出错，所以本题中需要出现两种情况讨论.22．已知曲线1C ：()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2C：2y =，1C 的一个焦点在2C 的准线上.（1）求曲线1C 的方程；（2）设曲线1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，若过点1F 的直线l 与曲线1C 的y 轴左侧部分(包含1C 与y 轴的交点)交于A ，B 两点，直线2AF 与曲线2C 交于C ，D 两点，直线2BF 与曲线2C 交于E ，F 两点，试求CD EF +的取值范围.【正确答案】（1）22163x y +=；（2）⎡⎣.【分析】（1）由待定系数法求出曲线1C 的方程；（2）设直线l：x ty =，由题意知[]1,1t ∈-，用设而不求法表示出直线2AF 、2BF 的斜率，进而表示出弦长CD EF +为关于t 的函数，求出范围即可.【详解】（1）由题知，抛物线2C的准线为x =1C的一个焦点为()，∴c =又∵短轴长为b =2226a bc =+=，∴椭圆1C 的方程为22163x y +=.（2）由（1）知()1F，)2F .设直线l：x ty =-，过点(时，1t =；过(0,时，1t =-；由题意知[]1,1t ∈-.联立方程221,63x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22230t y +--=.设()11,A x y ，()22,B x y，则122122232y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设直线2AF 的斜率为1k ，直线2BF 的斜率为2k ，1k ==，2k ==∴12218k k t ⋅==-，12121212121126ty ty y y t t k k y y y y ⎫--++=+=-=⎪⋅⎭.设直线2AF ：(1y kx =，联立方程(12y k x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得)2222111230k x k x k -++=.设()33,C x y ，()44,D x y ，则)2134212k x x k ++=，223421111,CD CF DF x x k ⎫=+=++==+⎪⎭同理2211EF k ⎫=+⎪⎭.∴2212112CD EF k k ⎫+=++⎪⎭()2221212112223628t t k k k k ⎤⎛⎫⎤⎥=++-=+-- ⎪⎦⋅⎥⎝⎭⎣⎦)2179t =+.∵[]1,1t ∈-，∴[]20,1t ∈，∴CD EF ⎡+∈⎣.（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求法”一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.。
辽宁省沈阳市第一七五高级中学高二数学理上学期期末试题含解析
辽宁省沈阳市第一七五高级中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图,在平面四边形中,,.若,,则（A）（B）（C）（D）参考答案：【知识点】向量的加法与减法的几何运算，向量垂直的应用、向量的数量积【答案解析】B解析：解：因为,，所以.，则选B.【思路点拨】在计算向量的数量积时，可把所求的向量利用向量的加法和减法向已知条件中的向量转化，再进行计算.2. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题不正确的是（）A．若，则 B．若，则或C．若，则 D．若，则或参考答案：A略3. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若为正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A. B. C. D.参考答案：A略4. 集合,则集合P∩Q的交点个数是（）A. 0 个B. 1个C. 2个D. 3个参考答案：B【分析】在同一坐标系中，画出函数和的图象，结合图象，即可求解，得到答案。
【详解】由题意，在同一坐标系中，画出函数和的图象，如图所示，由图象看出，和只有一个交点，所以的交点个为1，故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集，以及指数函数与对数函数的图象的应用，其中解答中在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合法的应用，属于基础题。
5. 抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为的最大值为A． B．C．D．参考答案：D6. 设椭圆的离心率为，右焦点，方程的两个根分别为，则点P（）在A．上B．内C．外D．以上三种情况都有可能参考答案：B7. 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A . 13万件 B. 11万件 C. 9万件 D. 7万件参考答案：C8. 在中，角所对的边分别是，且，则（A）（B）（C）（D）参考答案：B略9. 已知命题p：?x∈R，x2﹣3x+2=0，则?p为( )A．?x?R，x2﹣3x+2=0 B．?x∈R，x2﹣3x+2≠0C．?x∈R，x2﹣3x+2=0 D．?x∈R，x2﹣3x+2≠0参考答案：D【考点】四种命题；命题的否定．【专题】常规题型．【分析】根据命题p：“?x∈R，x2﹣3x+2=0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“=“改为“≠”即可得答案．【解答】解：∵命题p：“?x∈R，x2﹣3x+2=0”是特称命题∴?p：?x∈R，x2﹣3x+2≠0故选D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题，属基础题．10. 已知函数在其定义域内有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知随机变量服从正态分布，若，则．参考答案：0.472因为随机变量服从正态分布，所以因此1-0.028-0.028=0.944，.12. 若关于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），则m= ．参考答案：2考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：由二次不等式的解集形式，判断出 1，m是相应方程的两个根，利用韦达定理求出m的值．解答：解：∵ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），，∴a＞0，1，m是相应方程ax2﹣6x+a2＜0的两根，解得 m=2；故答案为：2．点评：本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a的值，是解答本题的关键．13. 从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是．参考答案：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【考点】F3：类比推理．【分析】从具体到一般，观察按一定的规律推广．【解答】解：从具体到一般，按照一定的规律，可得如下结论：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）214. 复数，则的虚部为__________.参考答案：15. 已知函数．那么对于任意的，函数y的最大值为________．参考答案：16. 若关于x的一实系数元二次方程有一个根为，则________参考答案：略17. 棱长为2的正方体的内切球表面积为__________．参考答案：正方体的棱长等于其内切球的直径，所以其内切球半径，故表面积．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
辽宁省沈阳市重点学校联合体2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含解析
2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学（答案在最后）（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．椭圆22169x y +=的短轴长为（）A ．B ．C ．3D ．62．5(1)x -的展开式中含2x 的项是（）A ．25x-B ．25xC ．210x -D ．210x3．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,3,5,0,2,2,2,,1A B C t ----，若,,A B C 三点共线，则t 的值为（）A ．2-B ．7-C ．10D ．134．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画时，可以分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，则可配成的不同颜色种数为（）A ．3256种B ．27种C ．3255种D ．6种5．若双曲线221412x y -=上一点P 到其右焦点的距离是8，则点P 到其左焦点的距离是（）A ．4B ．10C ．2或10D ．4或126．已知(61a -=+,a b 均为有理数），则a 的值为（）A ．90B ．91C ．98D ．997．已知抛物线2:4E y x =，圆22:2C x y x +=，过圆心C 作斜率为k 的直线l 与抛物线E 和圆C 交于四点，自上而下依次为,,,A M N B ，若2AM NB MN +=，则k 的值为（）A ．B ．C ．2±D ．28．将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（）A ．90种B ．120种C ．160种D ．190种二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知直线:2210l x y ++=，则（）A ．()1,1m =-是直线l 的法向量B ．直线l 的倾斜角为135︒C ．直线1:0l x y n --+=与直线l 平行的充要条件是12n ≠D ．直线l 在两坐标轴上的截距相等10．在空间直角坐标系中，已知点()()()2,0,0,1,1,2,2,3,1A B C -，则（）A ．5AB BC ⋅=-B ．AC =C ．异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为1530D ．OB 在BC 上的投影的数量为1411．已知()62370123732(1)x x a a x a x a x a x -+=+++++ ，则下列结论正确的是（）A ．02a =-B ．385a =C ．2370123722222916a a a a a +++++= D ．135732a a a a +++=12．离心率为512-的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆22121222:1(0),,,,x y C a b A A B B a b+=>>为顶点，12,F F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A ．长轴长为4，短轴长为52-B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥轴，且21PO A B ∥D ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆221:(2)(1)4O x y +++=和圆222:(1)(3)9O x y -+-=的位置关系是______．14．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．15．如图，在正六边形ABCDEF 中，以,F C 为焦点，且经过点,,,A E B D 的双曲线的离心率e =______．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是过顶点11,,,B D D B 的圆上的一点，Q 为1CC 的中点．当直线PQ 与平面ABCD 所成的角最大时，点P 的坐标为______；直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）已知()3266C C 1m m m -=≠，计算：1236678C C C C m m m m ++++++；（2）解方程：72343C 5A x x x ---=．18．（12分）如图，,M N 分别是四面体O ABC -的棱,OA BC 的中点，,P Q 是MN 的三等分点（点P 靠近点N ），记,,AO a AB b AC c ===．（1）以{},,a b c为基底表示OQ ；（2）若1,2,,32a b c OAB OAC CAB ππ===∠=∠=∠= ，求OQ ．19．（12分）圆22:8O x y +=内有一点()01,2P ，过点0P 的直线交圆O 于,A B 两点．（1）当0P 为弦AB 的中点时，求直线AB 的一般式方程；（2）若圆O 与圆22:(1)(1)9C x y +++=相交于,E F 两点，求EF 的长度．20．（12分）已知2nx x ⎛+ ⎝的展开式的所有二项式系数之和为64．（1）求该二项式及其展开式中的常数项；（2）求展开式中系数最大的项．21．（12分）如图，AD BC ∥且2,,AD BC AD CD EG AD =⊥∥且,EG AD CD FG =∥且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；（2）求二面角E BC F --的平面角的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．22．（12分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)6,0F，其渐近线与抛物线2C ：22y px =交于点(2．（1）求双曲线1C 及抛物线2C 的标准方程；（2）设A是双曲线1C与抛物线2C在第一象限的交点，作直线l与双曲线1C的两支分别交于点,M N，使得 ．求证：直线MN过定点．AM AN2023-2024学年度（上）联合体高二期末检测数学参考答案及评分标准一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．B 【解析】在椭圆22169x y +=中，b =，所以短轴长为2b =．2．C【解析】5(1)x -的展开式的通项公式为515C (1)k kk k T x-+=⋅⋅-，所以含2x 的项是323245(1)10T C x x =⋅⋅-=-．3．B 【解析】因为()()2,5,3,4,3,6AB AC t =--=-- ，且,,A B C 三点共线，所以352t -=-⨯，解得7t =-．4．A【解析】分3步取色，第一、第二、第三步都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成3256256256256⨯⨯=（种）不同的颜色．5．D 【解析】由双曲线的方程可得224,12a b ==，所以22,41216a c ==+=，可得4c =．设右焦点为F ，左焦点为F '．当点P 在左支上时，则6PF a c ≥+=，所以28224PF PF a =-=-⨯='；当点P在右支上时，282212PF PF a =+=+⨯='．6．D【解析】因为(61-的展开式的通项公式为616C (,(1kk k T a +=⋅-=+，所以(((2462466666C C C C 99a =+⨯+⨯+⨯=．7．A 【解析】如图，圆22:(1)1C x y -+=的圆心为()1,0C ，半径1r=，且(1,0)C 为抛物线2:4E y x=的焦点，抛物线E的准线方程为1x =-．设()()1212,,,A y B x y x ，则1212112AB AC BC x x x x =+=+++=++．因为24AM NB MN +==，所以6AB =，则124x x +=．设直线l 的方程为()1y k x =-，显然0k ≠，由()21,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()2222240k x k x k -++=，所以2122244k x x k++==，解得k =．8．B 【解析】先在编号为2，3的盒子内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，则三个盒子内每个至少再放入1个球．将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒子中即可，不同的放法共有216C 120=（种）．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．BD 【解析】A ：直线:2210l x y ++=的一个法向量为()2,2，但()1,1m =-与向量()2,2不共线，A错误；B ：直线:2210l x y ++=的斜率为1-，故倾斜角为135︒，B 正确；C ：把直线1:0l x y n --+=的方程改写为2220x y n +-=，则直线1l ，l 平行的充要条件是21n -≠，即12n ≠-，C 错误；D ：直线:2210l x y ++=在,x y 轴上的截距分别是11,22--，D 正确．故选：BD ．10．AC 【解析】A ：()()1,1,2,1,2,3AB BC =--= ，所以1265AB BC ⋅=-+-=-，A 正确；B ：()0,3,1AC = ，所以09110AC =++=B 错误；C ：()1,1,2OB =- ，所以1146OB =++=，所以异面直线OB 与AC 所成角的余弦值为03215cos ,30610OB AC OB AC OB AC⋅==⨯⋅，C 正确；D ：14914BC =++= ，所以OB 在BC 上的投影的数量为1263141414OB BC BC⋅==-，D 错误．故选：AC ．11．ACD【解析】A ：令0x =，得()0212a =-⨯=-，A 正确；B ：6(1)x +的展开式的通项为()16C 0,1,2,,6k kk T x k +== ，所以233415,20T x T x ==，所以()632(1)x x -+的展开式中3x 项的系数()33152205a =⨯+-⨯=，B 错误；C ：令2x =，得()2376012372222322(12)2916a a a a a +++++=⨯-⨯+= ，C 正确；D ：令1x =，得()60127312(11)64a a a a ++++=⨯-⨯+= ．令1x =-，得01270a a a a -+--= ．两式相减，得()1357264a a a a +++=，所以135732a a a a +++=，D 正确．故选：ACD ．12．BD【解析】A ：当长轴长为4，短轴长为2-时，512,12a b a b e a-==-⇒==≠，A 不符合题意；B：当11290F B A ∠=︒时，2111211121tan tan OB OFB A A F B O b ac OA OB ∠==∠=⇒=，即222510102a ac c e e e ---=⇒--=⇒=，B 符合题意；C：当1PF x⊥轴，且21PO A B ∥时，21b PF a ==，且11121121tan tan OB PF B A A FOP b c a OA OF ∠==∠=⇒=⇒=，则25122c e a -==≠，C 不符合题意；D ：当四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 时，点O 到直线22A B 的距离为c ，此时42221sin 310cB A A e e e a∠===⇒=⇒-+=，解得2352e =．又2310122e e e --<<⇒=⇒=，D 符合题意．故选：BD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．外切【解析】根据两圆的方程可知()()1212,1,1,3,2O O r --=，23r =，所以12125O O r r ===+，所以两圆外切．14．216【解析】最左端排甲，共有55120A =（种）；最左端排乙，最右端不能排甲，有1444C A 96=（种），所以不同的排法共有12096216+=（种）．151+【解析】设正六边形ABCDEF 的半径为r ，如图，连接,FC DF ，则,2DC r FC r ==．又90CDF ∠=︒，所以DF =．依题意，双曲线的实轴长)21a DF DC r =-=-，焦距22c FC r ==，所以该双曲线的离心率212c e a ===．16．1)+150,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】过点O 作11B D 的垂线并延长，交 11B D 于点E ，易得()()0,2,1,1,1,1OE Q E =，所以(1,QE =-．由图可知当点P 在点E 的位置时，直线PQ 与平面ABCD所成的角最大．易得平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =．设直线QE 与平面ABCD 所成的角为θ，则sin cos ,5QE nQE n QE nθ⋅===⋅，即直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值为155．当PQ ∥平面ABCD 时，直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值最小，为0，所以直线PQ 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围是150,5⎡⎢⎣⎦．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．解：（1）因为()3266C C 1m m m -=≠，所以326m m +-=，解得2m =，所以1231236678778C C C C C C C mm m m m m m +++++++++=++2388C C m m ++=+39C m +=59C =126=．（2）由72343C 5A x x x ---=，得()()()()33!54!7!4!6!x x x x --=--，即()()33654!x x --=，所以()()3640x x --=，解得1211,2x x ==-（舍去），所以原方程的解为11x =．18．解：（1）OQ OM MQ =+()1123AO MA AB BN=-+++()11112322a a b c b ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦211366a b c =-++ ．（2）2222411221936369918OQ a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅41121211112093699292=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+14=，所以12OQ = ．19．解：（1）直线AB 的斜率显然存在．因为0P 为弦AB 的中点，由垂径定理得0OP AB ⊥．又因为020210OP k -==-，所以12AB k =-，故直线AB 的方程为()1212y x -=--，整理，得直线AB 的一般式方程为250x y +-=．（2）228x y +=与22(1)(1)9x y +++=相减，得2210x y ++=，所以直线EF 的方程为2210x y ++=．圆心()0,0O 到直线EF的距离24d ==．由垂径定理得EF的长度为2==．20．解：（1）由题意，得264n =，解得6n =，所以该二项式为62x ⎛+ ⎝，则通项公式为：36662166C (2)C 2k k k k k k k T x x ---+==．令3602k -=，解得4k =，所以该二项式的展开式中的常数项为42416C 260T +==．（2）设第1k +项的系数最大，则6176661566C 2C 2,C 2C 2,k k k k k k k k ----+-⎧≥⎨≥⎩解得4733k ≤≤，则2k =，所以展开式中系数最大的项为2433216C 2240T x x +==．21．解：（1）法一：如图1，取DG 的中点为Q ，连接,NQ MQ ．又因为,M N 分别为,CF EG 的中点，所以,MQ CD NQ DE ∥∥．因为,CD DE ⊂平面,,CDE MQ NQ ⊄平面CDE ，所以MQ ∥平面,CDE NQ ∥平面CDE ．又因为,,MQ NQ Q MQ NQ =⊂ 平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面CDE ．因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面CDE．图1图2法二：以D 为坐标原点，建立如图2的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,2,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0,2D A B C E ，()()()30,1,2,0,0,2,1,0,2,0,,12F G N M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．()()0,2,0,2,0,2DC DE == ．设平面CDE 的法向量为()0000,,n x y z = ，则0000020,220,n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令01z =-，得()01,0,1n =- ．31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则00MN n ⋅= ，即0MN n ⊥ ．又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．（2）()()()1,0,0,1,2,2,0,1,2BC BE CF =-=-=- ．设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，则0,220,n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1z =，得()0,1,1n = ．设平面BCF 的法向量为(),,m a b c = ，则0,20,m BC a m CF b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1c =，得()0,2,1m = ．设二面角E BC F --的平面角为θ，显然θ为锐角，所以二面角E BC F --的平面角的余弦值为310cos 10m n m n θ⋅===，则二面角E BC F --的平面角的正弦值为sin 10θ==．（3）设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()1,2,BP t =-- ．平面ADGE 的一个法向量为()10,1,0n = ．因为直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，所以12cos ,2n BP ==，解得t =．则(DP = ．由（1）知平面CDE 的一个法向量为()01,0,1n =- ，所以点P 到平面CDE的距离002n DPd n ⋅== ．22．解：（1）双曲线1C 的渐近线方程为b y x a =±．因为)F ，双曲线1C的渐近线过点(，所以226,b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩则双曲线1C 的标准方程为22124x y -=．由抛物线2C过点(，得22p =，则抛物线2C 的标准方程为22y x =．（2）由题意知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()()1122,,,,y kx m M x y N x y =+．联立221,24,x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()2222240k x kmx m ----=，则()()()222222Δ44248420k m k m m k =--+=+->，212122224,22km m x x x x k k --+==--，所以()12122422m y y k x x m k+=++=-，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++22222224222m k m k m k k --=⋅++--222242m k k-=-．联立2222,24,y x x y ⎧=⎨-=⎩解得2,2,x y =⎧⎨=±⎩所以()()()11222,2,2,2,2,2A AM x y AN x y =--=-- ．由AM AN ⊥，得0AM AN ⋅= ，即()()()()12122222AM AN x x y y ⋅=--+-- ()()12121212228x x y y x x y y =+-+-++222222242448802222m m k km m k k k k---=+--+=----．整理，得221248120k km m m +-+-=，即()()22660k m k m +--+=．显然()2,2A 不在直线MN 上，即220k m +-≠，所以660k m -+=，满足Δ0>，所以直线MN 的方程为()6666y kx k k x =++=++，。
辽宁省沈阳市_学年高二数学上学期期末试卷理(含解析)【含答案】
2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10） B．[4，10] C．（6，8）D．[6，8]2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 C．∃x∉N+，2x＜2 D．∃x∈N+，2x＜23．双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．315．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（）A．B．C． D．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．58．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b59．已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（）A．8 B．4 C．2 D．111．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=， =， =，且=，则x，y，z的值分别为（）A．B．C．D．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k的取值范围为（）A．k＞1 B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a= ．三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．20．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10） B．[4，10] C．（6，8）D．[6，8]【考点】不等关系与不等式．【分析】直接利用不等式的简单性质计算即可．【解答】解：4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b∈[4，10]．故选：B．2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 C．∃x∉N+，2x＜2 D．∃x∈N+，2x＜2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为：∃x∈N+，2x＜2．故选：D．3．双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】化方程为标准方程，可得a，b，代入y=可得渐近线方程．【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A4．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．31【考点】数列递推式．【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解（法三）构造可得a n+1=2（a n﹣1+1），从而可得数列{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n+1，进而可求a n，把n=5代入可求【解答】解：（法一）∵a n =2a n ﹣1+1，a 1=1 a 2=2a 1+1=3 a 3=2a 2+1=7 a 4=2a 3+1=15 a 5=2a 4+1=31（法二）∵a n =2a n ﹣1+1∴a 5=2a 4+1=4a 3+3=8a 2+7=16a 1+15=31 （法三）∴a n +1=2（a n ﹣1+1） ∵a 1+1=2∴{a n +1}是以2为首项，以2为等比数列 ∴a n +1=2•2n ﹣1=2n ∴a n =2n ﹣1∴a 5=25﹣1=31 故选：D5．已知△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2﹣ab=c 2，则C=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】把已知条件移项变形得到a 2+b 2﹣c 2=ab ，然后利用余弦定理表示出cosC 的式子，把变形得到的式子代入即可求出cosC 的值，然后根据角C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数．【解答】解：由a 2+b 2﹣ab=c 2，可得：a 2+b 2﹣c 2=ab ，根据余弦定理得：cosC===，又C ∈（0，π）， 所以C=．故选：B ．6．若点（x ，y ）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x ﹣y 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，﹣1]B ．[﹣2，1]C ．[﹣1，2]D ．[1，2] 【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x ﹣y 表示直线在y 轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选C．7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线x2=8y的焦点坐标（0，2），抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，可得P的纵坐标为：3，故选：B．8．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b5【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设公差为d，公比为q，作差比较，运用因式分解，即可得出结论．【解答】解：设公差为d，公比为q，则∵a2=b2，a8=b8，∴a2+6d=a2q6，∴d=a2（q6﹣1）∴a5﹣b5=a2+3d﹣a2q3=a2（1﹣q3）+a2（q6﹣1）=a2（q3﹣1）2，∵a2＞0，（q3﹣1）2≥0，∴a2（q3﹣1）2≥0，即有a5≥b5，故选：A．9．已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．即可判断出结论．【解答】解：曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．∴“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的充分不必要条件，故选：A．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的前n项和公式列出方程组求出首项和公比，由此利用经数列前n项和公式能求出的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=1，S6=9，∴，解得a1=，q=2，∴===2．故选：C．11．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=， =， =，且=，则x，y，z的值分别为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可画出图形，根据条件及向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算便可得到，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y，z的值．【解答】解：如图，根据条件， ====；又；∴．故选A．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k的取值范围为（）A．k＞1 B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】可通过前n项的和，结合单调递减，解不等式可得k的范围，再讨论n为4的倍数，4的倍数余1，4的倍数余2，4的倍数余3，结合等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：a n=sin﹣kn，可得a1=1﹣k，a2=﹣2k，a3=﹣1﹣3k，a4=﹣4k，a5=1﹣5k，a6=﹣6k，a7=﹣1﹣7k，a8=﹣8k，即有S1=1﹣k，S2=1﹣3k，S3=﹣6k，S4=﹣10k，S5=1﹣15k，S6=1﹣21k，S7=﹣28k，S8=﹣36k，由{S n}为递减数列，可得S1＞S2＞S3＞S4＞S5＞S6＞S7＞S8，即为1﹣k＞1﹣3k＞﹣6k＞﹣10k＞1﹣15k＞1﹣21k＞﹣28k＞﹣36k，解得k＞，当n为4的倍数时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞，显然≤；当n为4的倍数加1时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加2时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加3时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0．综上可得k的范围是k＞．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的标准方程分别求出a，c，由此能求出该椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为=1，∴a==2， =，∴该椭圆的离心率为e==．故答案为：．14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为 1 ．【考点】四种命题．【分析】根据四种命题之间的关系分别进行判断即可【解答】解：若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题．逆命题为：若a＞b，则ac2＞bc2．当c=0时，ac2＞bc2．不成立，∴逆命题为假命题，则否命题也为假命题．故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有1个．故答案为：1．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与A1D所成的角的余弦值．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A（0，0，0），E（1，0，2），A1（0，0，2），D（0，2，0），=（1，0，2），=（0，2，﹣2），设异面直线AE与A1D所成的角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．故答案为：．16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a= ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M（，0），计算即可得到答案．【解答】解：构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），考查函数y1=3ax﹣2，令y=0，得M（，0），∴a＞0；考查函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M（，0），代入得：﹣﹣2=0，解之得：a=，或a=﹣（舍去）．故答案为：三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知等式，利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，即可得解△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）由已知可求C=120°，BD=1，利用余弦定理可求AB，在△ABD中，利用余弦定理可求AD的值．【解答】解：（Ⅰ）∵asinC=csinB．∴利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，∴△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC，B=30°，BC=2，∴C=120°，BD=1，∴AB===2，∴△ABD中，AD===．18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）先求出x2﹣2x﹣3＞0，由此能求出关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集．（Ⅱ）由当2a＞4，即a＞2，2a＜4，即a＜2，2a=4，即a=2三种情况进行分类讨论，由此能求出关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵x（x﹣2）﹣3＞0，∴x2﹣2x﹣3＞0，解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3，∴关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}．（Ⅱ）∵（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R），∴（x﹣4）（x﹣2a）=0的解为x1=4，x2=2a，∴当2a＞4，即a＞2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|4＜x＜2a}；当2a＜4，即a＜2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|2a＜x＜4}；当2a=4，即a=2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为∅．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）把定点坐标代入抛物线方程，求得p，则抛物线方程可求；（Ⅱ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），代入点（1，2），可得p=2，∴抛物线的标准方程y2=4x；（Ⅱ）抛物线焦点坐标为F（1，0），∴直线l：y=k（x﹣1）．设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l：y=k（x﹣1）与y2=4x，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则由韦达定理有：x1+x2=2+，x1x2=1．则弦长|AB|=•=4+，∵k∈[1，2]，∴∈[1，4]，∴弦长|AB|的取值范围是[5，8]．20．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；（Ⅱ）求得==（﹣），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=3，a5=9，可得a1+d=3，a1+4d=9，解得a1=1，d=2，则a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1；前n项和S n=n（1+2n﹣1）=n2；（Ⅱ）证明： ==（﹣），即有++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣﹣）＜，则命题“∀n∈N+，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面A1BD．（Ⅱ）求出平面A1DF的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣A1D﹣B 的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），B（2，2，0），D（0，0，0），=（﹣2，2，1），=（2，0，4），=（2，2，0），•=0， =0，∴AE⊥DA1，AE⊥DB，又DA1∩DB=D，∴AE⊥平面A1BD．解：（Ⅱ）F（0，1，4），=（2，0，4），=（0，1，4），=（2，2，0），设平面A1DF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（8，﹣4，1），设平面A1BD的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（﹣2，2，1），设二面角F﹣A1D﹣B的平面角为θ，cosθ===．∴二面角F﹣A1D﹣B的余弦值为．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由离心率公式和四边形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，运用韦达定理，求得P的坐标，同理可得Q的坐标，运用向量AP，AQ的坐标，运用数量积的坐标表示，由符号即可得到A与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，•2a•2b=12，a2﹣b2=c2，解得c=1，a=3，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得（32+m2）x2+6m2x+9m2﹣288=0，由﹣3x P=，解得x P=，y P=，m≠0，BM的方程为y=（x﹣3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得x2﹣6m2x+9m2﹣1152=0，由3x Q=，解得x Q=，y Q=，由=（，），=（，），即有•==＜0，即有∠PAQ为钝角，即点A在以PQ为直径的圆C的内部．。