2010考研数一真题及答案解析
2010 年考研数学一真题及答案
1
dx
0
x 0
(1
1 x)(1
y2)
dy
(C)
1
dx
1
1
dy
0 0 (1 x)(1 y)
(D)与 m, n 取值都无关
(B)
1
dx
x
1
dy
0 0 (1 x)(1 y)
(D)
1
dx
0
1 0
(1
1 x)(1
y2
)
dy
(5)设 A 为 m n 型矩阵 ,B 为 n m 型矩阵,若 AB E, 则
y12 y22 , 且 Q 的第三列为 (
2 , 0, 2
2 )T . 2
(1)求 A.
(2)证明 A E 为正定矩阵,其中 E 为 3 阶单位矩阵.
(22)(本题满分 11 分)
设 二 维 随 机 变 量 (X Y) 的 概 率 密 度 为
f (x, y) Ae2x22xyy2 , x , y , 求 常 数 及 A 条 件 概 率 密 度
z=
.
(13)设 α1 (1, 2, 1, 0)T , α2 (1,1, 0, 2)T , α3 (2,1,1, )T , 若由 α1, α2 , α3 形成的
向量空间的维数是 2,则 =
.
(14) 设 随 机 变 量 X 概 率 分 布 为 P{X k} C (k 0,1, 2,), 则
1
(C)
1
1
0
(7)设随机变量 X 的分布函数 F(x)
1
(D)
1
1
0
0
x0
1 0 x 1, 则 P{X 1} =
2 1 ex x 2
(A)0
(B)1
(C) 1 e1
2
(D)1 e1
(8)设 f1(x) 为标准正态分布的概率密度 , f2(x) 为 [1,3] 上均匀分布
的概率密度,
(9)设 x et , y
t 0
lБайду номын сангаас(1
u2 )du,
求
d2y dx2
t0
=
.
(10) 2 0
x cos
xdy =
.
(11)已知曲线 L 的方程为 y 1 x {x [1,1]}, 起点是 (1, 0), 终点是
(1, 0),
则曲线积分 L xydx x2dy =
.
(12) 设 {(x, y, z) | x2 y2 z 1}, 则 的 形 心 的 竖 坐 标
fY|X ( y | x).
(23)(本题满分 11 分)
设总体 X 的概率分布为
X
1
2
3
P
1
2
2
其中 (0,1) 未知,以 Ni 来表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量
3
为 n )中等于 i 的个数 (i 1, 2,3), 试求常数 a1, a2, a3, 使 T ai Ni 为 的无 i 1
f (x) af1(x) x 0 (a 0,b 0) bf2 (x) x 0
为概率密度,则 a,b 应满足
(A) 2a 3b 4
(B) 3a 2b 4
(C) a b 1
(D) a b 2
二、填空题(9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题
纸指定位置上.)
n1 2n 1
(19)(本题满分 10 分)
设 P 为椭球面 S : x2 y2 z2 yz 1 上的动点,若 S 在点 P 的切平面与
xoy 面垂直,求 P 点的轨迹 C, 并计算曲面积分 I
(x 3) y 2z dS ,
4 y2 z2 4 yz
其中 是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分.
2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷
一、选择题(1-8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四
个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括
号内.)
(1)极限
lim
x
(
x
x2 a)(
x
b)
x
=
(A)1
(B) e
(C) eab
(D) eba
(2)设函数 z z(x, y) 由方程 F( y , z ) 0 确定,其中 F 为可微函数,且
(20)(本题满分 11 分)
1 1 a
设
A
0 1
1 1
0
,
b
1 1
,
已
知
线
性
方
程
组
Ax
b
存
在
两
个
不同
的解.
(1)求 , a.
(2)求方程组 Ax b 的通解.
(21)(本题满分 11 分)
设 二 次 型 f (x1, x2 , x3 ) xT Ax 在 正 交 变 换 x Qy 下 的 标 准 形 为
k!
EX 2 =
.
三、解答题(15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位
置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分 10 分)
求微分方程 y 3y 2y 2x ex 的通解.
(16)(本题满分 10 分)
求函数 f (x) x (x2 t) et2 dt 的单调区间与极值. 1
(17)(本题满分 10 分)
(1)比较
1 0
ln t
[ln(1 t)]n dt
与 1tn 0
ln t
dt(n
1, 2,) 的大小,说明理由
(1)
记 un
1 0
ln
t
[ln(1
t)]n
dt(n
1,
2,),
求极限
lim
x
un .
(18)(本题满分 10 分)
求幂级数 (1)n1 x2n 的收敛域及和函数.
xx
F2
0,
则
x
z x
y
z y
=
(A) x
(B) z
(C) x
(D) z
(3)设
m,
n
为正整数,则反常积分
1 0
m
ln2 (1 nx
x)
dx
的收敛性
(A)仅与 m 取值有关
(B)仅与 n 取值有关
(C)与 m, n 取值都有关
(4) lim x
n i 1
n
n
j1 (n i)(n2
=
j2)
(A)
(A)秩 (A) m, 秩 (B) m
(B) 秩 (A) m, 秩 (B) n
(C)秩 (A) n, 秩 (B) m
(D)秩 (A) n, 秩 (B) n
(6)设 A 为 4 阶对称矩阵,且 A2 A 0, 若 A 的秩为 3,则 A 相似于
1
(A)
1
1
0
1
(B)
1
1
0
2010年考研数学真题及答案参考解析
2010年考研数学答案及参考解析（数学三跨考版）
磋砣莫遗韶光老，人生惟有读书好。
书籍是人类知识的总结。
书籍是全世界的营养品。
——莎士比亚 生于忧患，死于安乐 《孟子•告子》
舜发于畎亩之中，傅说举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。
故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。
人恒过，然后能改；困于心，衡于虑，而后作；征于色，发于声，而后喻。
入则无法家拂士，出则无敌国外患者，国恒亡。
然后知生于忧患，而死于安乐也。
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2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
lim 1 x
0
x1－
nx
1
又反常积分 1 2
1 dx 收敛，所以 1 x
1 m ln2 (1 x)
1 2
dx 收敛。 nx
1 m ln2 (1 x)
综上，无论正整数 m 和 n 取何值，反常积分 0
dx 都收敛，故选 D。 nx
n n
n
4． lim n
i 1
j1 (n i)(n2
j2)
1 m ln2 (1 x)
3．设 m，n 均是正整数，则反常积分 0
dx 的收敛性（ ）。 nx
A．仅与 m 的取值有关
B．仅与 n 的取值有关
C．与 m，n 的取值都有关
D．与 m，n 的取值都无关
【答案】D
【考点】反常积分的性质，收敛性判别
【解析】分析过程如下
1 m ln2 (1 x)
【解析】在 F（y/x，z/x）＝0 两边对 x 求导得
F1 (
y x2
)
F2
(
z x2
zx ) x
0
zx
yF1 zF2 xF2
再在 F（y/x，z/x）＝0 两边对 y 求导得
F1
(
1 x
)
F2
(
zy x
)
0
zy
F1 F2
故 x∂z/∂x＋y∂z/∂y＝z。
2 / 23
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1 m ln2 (1 x)
1 m ln2 (1 x)
0
dx 2
nx
0
n x
dx 1
2
dx nx
1 m ln2 (1 x)
中山大学考研数学分析2010年真题及答案
中山大学2010年数学分析真题题目一、（每小题6分，共48分） （1） 求极限limn→∞1n√(n +1)(n +2)…(2n +1)n；（2） 求不定积分∫max (|x |,1)dx ； （3） 已知f (x )= ∫sintπ−tdt x 0，求定积分∫f(x)dx π0； （4） 求二元函数极限lim(x,y)→(0,0)(x 2+y 2)x2y 2；（5） 求二次积分∫dy 10∫e x 2dx 1y ； （6）计算I =∮xdy−ydx x 2+y 2L，其中L 是一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续封闭曲线，L 的方向为逆时针方向； （7） 讨论函数项级数∑√n+x∞在[0,2]上的一致收敛性；（8）计算∬(x 2+y 2)dS S，其中S 为曲线z =√x 2+y 2与平面z=1所围几何体的表面。
二、单位圆盘中切去圆心角为θ的扇形，余下部分粘合成一锥面，问θ为多少时，该锥面加上底面所围的椎体体积最大。
三、设在f (x )在x=0某邻域内有二阶连续导数，且limx→0f (x )x=0，证明∑f (1n )∞n=1绝对收敛。
四、设f (x,y )={(x 2+y 2)p sin1x 2+y 2,x 2+y 2≠00,x 2+y 2=0，其中p 为正数，试分别确定p 的值，使得如下结论分别成立（1） f (x,y )在点(0,0)处连续 （2） f x (0,0)与f y (0,0)都存在（3） f x (x,y)与f y (x,y)在(0,0)点连续五、计算由曲面(xa +yb )2+(z c )2=1,(x ≥0,y ≥0,z ≥0,a >0,b >0,c >0)所围成几何体之体积，其中a,b,c 为正常数。
六、求幂级数∑n 2+1n!2n ∞n=1x n 的收敛范围，求其和函数。
七、设u =f (x )，其中r =√x 2+y 2+z 2，变换方程∂2uðx 2+∂2uðy 2+∂2uðz 2=0，使其成为关于f (r )的方程。
2010考研数一真题.docx
一、小题,每小题4 分,共32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)．．．x 2x(A) 1.(B)e.(C)e a b.(D)e b a.y zx y(x y)(A) x. (B) z. (C) x. (D) z.(3) 设m, n是正整数,则反常积分dx的收敛性( )(A) 仅与m的取值有关. (B)仅与n的取值有关.(C) 与m, n取值都有关. (D) 与m, n取值都无关.i1j1n i n2j2()0 0 1x1y20 0 1x1y(B)dxxdy.0 0 1x1y2(5) 设A为m n矩阵,B为n m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB E,则( )(A) 秩r A m,秩r B m. (B) 秩r A m,秩r B n.(C) 秩r A n,秩r B m. (D) 秩r A n,秩r B n.(6) 设A为4 阶实对称矩阵,且A2 A O,若A的秩为3,则A相似于( )(A)111(B)1111n n nz z. .(C)1dx 11dy.(D) 1dx 11dy.(A)1dx x1dy.(2) 设函数z z(x, y) , 由方程F , 0 确定,其中F为可微函数,且F20 ,则x x(1) 极限lim ( )x(x a)(x b)(C)111(D)1110,(7) 设随机变量X 的分布函数F (x )1 2 1 e x ,x 00 x 1 ,则P X 1 = ( ) x 1(A) 0.1 (B) .2(C) e 1 .(D) 1 e 1.(8) 设 f 1(x ) 为标准正态分布的概率密度, f 2 (x ) 为 1,3 上均匀分布的概率密度,若af 1(x ), x 0(A) 2a 3b 4 . (B) 3a 2b 4 . (C) a b 1. (D) a b 2 . 二、(914 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.)．．．x e t, d 2yy 0 ln 1 u 2du , dx t.(10)2cos dx .(11) 已知曲线L 的方程为 y 1 x x 1,1 ,起点是 1.0 ,终点是 1, 0 ,则曲线积 分 Lxydx x 2dy .(12) 设 x , y , z x 2 y 2z 1 ,则 的形心的竖坐标z .(13) 设11, 2, 1, 0 T,21,1, 0, 2 T,32,1,1, a T,若由1,2,3 生成的向量空间的维数是 2,则a .(14) 设 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为 P X k , k 0,1, 2, , 则 E X2=.三、～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.) (9) 设 t 求 2k !C21, ..f (x ) , (a 0,b 0) 为概率密度,则a , b 应满足 ( ) bf 2 (x ), x 0(15)(本题满分 10 分)求微分方程y 3y 2y 2xe x 的通解． (16)(本题满分 10 分)求函数f x1x 2 x2t e t 2dt 的单调区间与极值.(17)(本题满分 10 分) (I)比较 ln t ln 1 t ndt 与 t n ln t dt n 1, 2,的大小,说明理由；(II)记u nln t ln 1 tndt n 1, 2, (18)(本题满分 10 分)求幂级数n 11n 1 2n,求极限lim u n .(19)(本题满分 10 分)设 P 为椭球面 S : x 2 y 2 z 2 yz 1上的动点,若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 面垂直,求点 P 的轨迹 C ,并计算曲面积分 I 2 2 dS ,其中 是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分. (20)(本题满分 11 分)1 1 a 设 A 0 1 ，b 1 ,已知线性方程组Ax b 存在两个不同的解.( I ) 求 , a ；( II ) 求方程组Ax b 的通解. (21)(本题满分 11 分)已知二次型 f (x 1 , x 2 , x 3) x T Ax 在正交变换 x Qy 下的标准形为 y y ,且 Q 的第三列为( , 0, )T .( I ) 求矩阵 A ；( II ) 证明A E 为正定矩阵,其中E 为 3 阶单位矩阵.(22)(本题满分 11 分)设二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为f (x , y ) Ae2x 2 2xy y 2, x , y ,求常数 A 及条件概率密度f Y |X (y | x ) ．x y 2z2 214 y z 4yznx 的收敛域及和函数. 2n 1(23)(本题满分11分)设总体X的概率分布为1 2 3122表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的其中参数0,1未知,以Ni3个数(i 1, 2,3 ).试求常数a1 , a2 , a3 ,使T a i N i为的无偏估计量,并求T的方差.i 1(1)【答案】 (C).【解析】 本题属于未定式求极限,极限为1 型,故可以用“e 的抬起法”求解．x 2 xx 2 lim e x a x b x x 2 e x x a x b , x 2 x 2 (x a )(x b )x x 2 (x a )(x b ) x(xa )(xb )(a b )x 2 abxlima b故原式极限为e a b ,所以应该选择(C). (2)【答案】 (B).【解析】 zF 1F 2F1F 2yF 1 zF 2 ,xF21 F2 xF 2z F y F 1x F 1 , y F 21 F 2z z yF 1 zF 2 yF 1 F 2z2 2 2(3) 【答案】 (D).【解析】 x 0 与x 1都是瑕点.应分成x x 2 xxx x1x(x a )(x b )limlim x ln x ln xx y z ．x y F F F x a x b1 (x a )(x b ) lim x x a x b其中又因为1[ln 2(1 x )]m用比较判别法的极限形式,对于dx ,由于im1 .1 2 n m显然,当0 1 ,则该反常积分收敛.n m当 0 , im 0存在,此时dx 实际上不是反常积分,故收.20 1,不论m , n 是什么正整数,1[ln 2 (1 x )]m11lim x nlim ln 2 (1 x )m (1 x ) 0 ,(1 x )2(4)【答案】 (D).【解析】i 1j 1n i n 2 j 2i 1 n i (j 1 n 2 j 2 ) (j 1 n 2 j 2 )(i 1n i )nj 1 nj 1dy ,ni 1ni 1dx ,i 1j 1n i n 2 j 2j 1 n 2 j 2 )(i 1 n i)j 1 n 2 j 2i 1 n i)敛 xnn n n n 1 n 1n nn n 1 n n n n n 1nn n nx 1 1 x 11 2n11所以dx 收敛,故选(D).故不论 m , n 是什么正整数,02dx 总收敛.对于 1dx ,取1 1(dx )( dy ) dxdy .(5)【答案】 (A).【解析】 由于AB E ,故r (AB ) r (E ) m .又由于r (AB ) r (A ), r (AB ) r (B ) ,故m r (A ), m r (B ) ①由于 A 为m n 矩阵,B 为n m 矩阵,故r (A ) m , r (B ) m ②由①、②可得r (A ) m , r (B ) m ,故选 A. (6)【答案】 (D).【解析】 设 为 A 的特征值,由于 A 2 A O ,所以 20 ,即 ( 1) 0 ,这样 A 的 特 征 值 只 能 为 -1 或 0. 由 于 A 为 实 对 称 矩 阵 , 故 A 可 相 似 对 角 化 , 即1A ,r (A ) r () 3 ,因此,11 1 ,即 A1(7) 【答案】 (C).【解析】 离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数 是连续函数.观察本题中F (x ) 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续 型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定 义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即P X 1 P X 1 P X 1 F 1 F 1 0 1 e 1e 1,故本题选(C).(8)【答案】 (A).1, 1 x 3 2 0, 其它利用概率密度的性质:fxdx1 ,故f x dx af 1 x dx bf 2 x dxf 1 x dx b3dx b 1所以整理得到2a 3b 4 ,故本题应选(A).二、(9) 【答案】 0. x 2 1 2 21 1 1.【解析】 根据题意知,f 1 x e 2 ( x ),f 2 x 4【解析】因为tln1t e t,d2y d ln 1t2 e t dt 2t t 2 t t d2y0 .(10)【答案】4.【解析】令原式t cos t 2tdt2t2 cos tdt 2t2d sin t2 t2 sin t 2t sin tdt 4td cos t(11)【答案】0.121x1x dx x2dx x1x dx x2 dx12x2 x dx x 2x2 dx3 212 321122.3dxdydz2d rdrr12dz2d 1 r2 rdr12d r dr0 6d22 21622.32zdxdydz2d rdrr12zdz02d rdr22r2 r6ddy ln 1t2 20412(12) 【】dx e【解析】213 2 2 30 12x3 x2 x2 2x3【解析】Lxydx x2dyLxydx x2dyLxydx x2dy4t cos t0 0cos tdt 4c os 4sin t4.x t,x t2 ,dx 2tdt,利用分部积分法,dx2 dt dx 1t2e ln 1t e e,所以dx2t0(13)【答案】 a 6 . 【解析】 因为由1 ,2,3 生成的向量空间维数为 2,所以r (1,2,3) 2 . 对(1,2,3)进行初等行变换：1(1,2,3)所以a 6 .1 2 11 2 11 20 a 6 (14) 【答案】 2 .【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知1 k 0P X k k 0k !Ce ,整理得到 C e 1 ,即P X ke 1.故X 服从参数为1的泊松分布,则E X 1, D X 1,根据方差的计算公式有E X 2D XE X2112 2 .三、(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为 23 2 0 ,解得特征根11,22 ,所以对应齐次方程的通解为y c C 1e xC 2e 2x ．设原方程的一个特解为y * x (ax b )e x ,则y *ax 2 2ax bx b e x ,y *ax 2 4axbx 2a 2b e x ,代入原方程,解得a 1,b 2 ,故特解为y * x (x2)e x ．故方程的通解为y y cy * C 1e x C 2e 2x x (x 2)e x ．其中C 1, C 2 为任意常数.(16)【解析】因为f (x ) 1x 2(x2t )e t 2dt x2 1x2e t 2dt1x 2te t 2dt ,所 以 f (x ) 2x1x 2e t 2dt 2x 3e x 42x 3e x42x1x 2e t 2dt , 令f (x ) 0 , 则x 0, x 1 .C e 1 1k k ! k !1 32 10 01 1 0 0 1 02 a 02 a 0 0又f (x ) 21x 2 e t 2 dt 4x 2e x 4,则f (0) 210 e t 2dt 0 ,所以f (0) 1 (0 t )e dt 2 e 2 (1 e )是极大值.而f (1) 4e 10 ,所以f (1) 0 为极小值.又因为当 x 1时, f (x ) 0 ； 0 x 1时, f (x ) 0 ； 1 x 0 时, f (x ) 0 ；x1时, f (x ) 0 ,所以 f (x ) 的单调递减区间为 (, 1) (0,1) , f (x ) 的单调递增区.(I)当0 x 1时0 ln(1 x ) x ,故 ln(1 t ) n t n ,所以ln t ln(1 t ) ndtln t t n dt n 1, 2, .(II) ln t t ndtln t t n dt ln td t n1,故由n0 n 12根据夹逼定理得0 lim u n lim 0 ,所以lim u n 0 .(18)【解析】所以,当x 2 1 ,即 1 x 1时,原级数绝对收敛.当x 2 1时,原级数发散,因此幂级数 的收敛半径R 1 .当 x1 时,n 1x 2nn 1,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为 1,1 . ( 1)(n1)12(n 1)(I) 2(n 1) 1 lim n 1 lim x( 1)n x 2n 22n 1 ( 1)n 1x 2n 2n 1(2n 1)x 2limn2n 12n 1 2 2lim x x ,n2n 10 t21 t2 1 1n( 1) 2n n 2n 1 x 11n n n 1 2 n0 u 1ln t t n dt 1, 间为( 1,0) (1, )(17)【解析】 ln t ln(1 t ) nln t t n ,则( 1)n12n( 1)n 1 2n 1S 1(x )n 1 2n 1x x 1,1 ,所以有 S 1 (x ) ( 1)n1 x2n 2(x 2 )n1n 1 n 1x 1,1 ,从而有 故S 1 (x ) 2 2 x 1,1 ,S 1(x )xdx S 1(0) arctan x ,x 1,1 .S 1(x ) 在x1,1上是连续的,所以S (x ) 在收敛域 1,1 上是连续的.所以S (x ) x arctan x ,x 1,1 .(19)【解析】 ( I )令F x , y , z x 2 y2z2yz 1 ,故动点P x , y , z 的切平面的法向量 为 2x ,z , 2z , 由 切 平 面 垂 直 xOy , 故 所 求 曲 线 C 的 方 程 为x 2 y 2 z 2 yz 1( II ) 由 ,消去z ,可得曲线 C 在xOy 平面上的投影曲线所围2z y 0,成的xOy 上的区域D :{(x , y ) | x 23 y 21} ,由 x 2 y 2 z 2 yz x1x ,由z 2z2x y y 2z故I 2 2 dS x dxdy xdxdydxdy3(20)【解析】 因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于 3,进而可 以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法 1： ( I )已知Ax b 有 2 个不同的解,故r (A ) r (A ) 3 ,对增广矩阵进行初等行 x y 2z1 (x ) 1 x 1 14 D4 y z 4yz D D Ddxdy 3 122 . .2z y 0x 2 y 2 z 2 yz 1 (II) 设S (x ) x x x ,其中令n 1 2n 1 n 1 2n 1( 1)n12n 1变换,得11 1 0 1a 11 1 0 1 111 11 0 1 1 21 111 00 12111 1 1 0 0 0 0 12 0 1 11 0 0 11 1 1,由于r (A ) r (A ) 3 ,所以a 2 ,故 1 ,a 2 .方法 2：已知Ax b 有 2个不同的解故r (A ) r (A ) 3 ,因此 A0 ,即11 11 0 1知 1或-1.当1 时, r (A ) 1 r (A )2 ,此时, Ax b 无解,因此1 .由 r (A ) r (A ) ,得a 2.(II ) 对增广矩阵做初等行变换33x 1 x 33 x 1 12 可知原方程组等价为 1 ,写成向量的形式,即 x 2 x 32 .A (1)2 ( 1) 0 ,x 2 2 x 3 1 02 11 0 1 21 1 12 1 1 1 2 A 0 2 0 1 0 2 0 1 0 1 0 11 1 1 1 0 0 0 00 0 0 02当 1时,A 0 1 0 1 当 1时,A 0 0 0 1 ,此时,r (A ) r (A ) ,故 Ax b 无解(舍去)． 0 0 0a 20 a 0 0 1 0 1 0a 1a 01 01A 011a3因此Ax b的通解为x k02,其中k为任意常数.(21)【解析】( I )由于二次型在正交变换x Qy下的标准形为y y,所以A的特征值为121,30.由于Q的第3 列为2 , 0,2,所以A对应于 3 0 的特征向量为2, 0,2,记为3. 由于A是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于2 2程组的基础解系为10,1,0T ,21,0,1T,因此1,2为属于特征值1的两个线性无关的特征向量.由于1,2是相互正交的,所以只需单位化：122取Q1,2,31故A Q Q T011121211.( II )A E也是实对称矩阵,A的特征值为1,1,0,所以A E的特征值为2,2,1,由于A E的特征值全大于零,故A E是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度f x,y后,要求条件概率密度T T22,且Q 1 Q T,2110,1,0T,2211,0,1T.1 21的特征向量为x1, x2, x3T,则T30 ,即x1x30 . 求得该方121f Y|X (y|x),可以根据条件概率公式fY|X(y|x)来进行计算.本题中还有待定参数, A要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.fXx f x,y dy A e2x2 2xy y 2 dy A e (y x )2 x 2 dy Ae x2 e (y x )2 dyA e x 2 , x .根据概率密度性质有1fXx dx A e x 2 dx A ,即A 1 ,当x 时,有条件概率密度fYXy x e x22xy y2 e(x y)2 , x, y.(23)【解析】N1 ~ B n,1, N2~ B n, 2 , N3~ B n, 23a1n1a2n 2 a3n 2 na1n a2a1n a3a22 .na1因为T是的无偏估计量, 所以E T, 即得n a2 a1 1 , 整理得到n a3 a2 0a 1 0 , a2, a3.所以统计量1111注意到N1B(n,1) ,故111n n11f(x,y)fX(x)D T D n n N1 n2D N1 n1 .T 0N1N2N3N2N3n N1.n n n nE T E aiNia1E N1a2E N2a3E N3i1故fX x1e x2,x.。
2010考研数学一试题
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数,则反常积分()210ln 1mnx dx x-⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --. (8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == . (10)2cos x xdx π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!CP X k k ==,0,1,2,k =,则()2E X=.三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分()223244x y zI dS y z yz∑+-=++-⎰⎰,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分. (20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q 的第三列为22(,0,)22T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=,x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X 的概率分布为X 1 2 3P1θ- 2θθ- 2θ其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案
1）
2）
3）
4）
5）若A可逆，则
6）若 ， 是 矩阵，则
7）若 则
在本题中，
由于 ，故 .又由于 ，故
①
由于 为 矩阵， 为 矩阵，故
②
由①、②可得 ，故选A.
(6)设 为4阶实对称矩阵，且 ，若 的秩为3，则 相似于( )
(A) .(B) .
(C) .(D) .
【答案】D
【考点】矩阵的特征值和特征向量；相似对角矩阵
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
（i） 与对角矩阵相似的充分条件：① 有 个不同的特征值；② 是实对称矩阵
（ii） 与对角矩阵相似的充要条件：对于矩阵 的每一个 重特征值 ，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数 ，即秩 .
在本题中，
设 为 的特征值，由于 ，所以 ，即 ，这样 的特征值为-1或0.由于 为实对称矩阵，故 可相似对角化，即 ， ，因此， ，即 .
夹逼定理：设 ，若 ，则 。
在本题中，
当 时， ，所以 与
均为定积分，故
(I)当 时 ，
故 ，所以
(II)
故由 ，
根据夹逼定理得
故 .
(18)(本题满分10分)
求幂级数 的收敛域及和函数.
【考点】幂级数的收敛域及和函数
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
幂级数 的收敛域的定义及求法，分三种情况：
，
则 的体积
在这种情形要确定上、下曲面及投影区域。
在本题中，
(13)设 ,若由 形成的向量空间
维数是2，则 = .
【答案】
【考点】向量空间维数的概念
2010考研数学答案解析
2010考研数学答案解析【篇一：2010考研数学一(真题解析分开版)】ss=txt>数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) 222y?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)1. 曲线拐点a（1，0）b（2，0） c（3，0）d（4，0） 2. 设数列?an?单调递减，liman??n无界，则幂级数?0,sn??ak(n?1,2,?）k?1n?a(x?1)kk?1nn的收敛域a(-1,1] b[-1,1) c[0,2) d(0,2]3.设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0,f?(0)?0，则函数z?f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件af(0)?1,f??(0)?0 bf(0)?1,f??(0)?0cf(0)?1,f??(0)?0df(0)?1,f??(0)?04.设i??0lnsinxdx,j??0lncotxdx,k??0lncosxdx则i、j、k的大小关系是???a ijkb ikjc jikd kji5.设a为3阶矩阵，将a的第二列加到第一列得矩阵b，再交换b ?100??100?????p1??111?,p2??001?,???000???010??的第二行与第一行得单位矩阵。
记a=?1?1ap1p2bp2p1 dp1p2 cp2p1则6.设a?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，a*是a的伴随矩阵，若(1,0,1,0)t 是方程组ax?0的一个基础解系，则a*x?0的基础解系可为a?1,?3 b?1,?2 c?1,?2,?3 d?2,?3,?47.设f1(x),f2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是af1(x)f2(x) b2f2(x)f2(x) cf1(x)f2(x) df1(x)f2(x)?f2(x)f1(x)8.设随机变量x与y相互独立，且ex与ey存在，记u=max{x,y},v={x,y},则e(uv)=a euevb exeyc eueyd exev二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)9.曲线y??0tantdt(0?x?)的弧长s=____________4x?10.微分方程y??y?e?xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数f(x,y)??0xy?2fsintdt，则221?t?xx?0?__________12.设l是柱面方程为x2?y2?1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往zy2_ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分xzdx?xdy?dz?__________213.若二次曲面的方程为x2?3y2?z2?2axy?2xz?2yz?4，经正交变换化为y12?4z12?4，则a?_______________三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)ln(1?x)ex?115求极限lim( )x?0x116设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，?2z且在x=1处取得极值g(1)=1,求?x?yx?1,y?117求方程karctanx?x?0不同实根的个数，其中k为参数。