2020-2021学年江苏省常州外国语学校八年级上期中数学试题
常州外国语学校
2020-2021学年第一学期八年级期中质量调研
一、选择题
1、在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2、下列各数中，无理数是（）
3、下列各式中，正确的是
4、若等腰三角形的周长为10，一边长为4，则此等腰三角形的腰长为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 3或4
5、下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是
A、c²=a²+b²
B、∠A+∠B=∠C
C、∠A：∠B：∠C=2:3:5 D 、a=6,b=12,c=10
6、如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，ED=3，则AE的长为（）
A. 1.5
B. 2
C. 3
D. 3.5
7、如图,数轴上点C表示的数是()
23、已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC关于点B的奇异分割线。
例如：图1,在Rt△ABC中,∠A=90∘,∠C=20∘,过顶点B的一条直线BD交AC于点D,且∠DBC=20∘，则直线BD是△ABC的关于点B的奇异分割线。
(1)如图2,在△ABC中,若∠A=50∘,∠C=20∘.请过顶点B在图2中画出△ABC关于点B的奇异分割线BD交AC于点D，此时∠ADB=___度；
(2)在△ABC中,∠C=26∘,若△ABC存在关于点B的奇异分割线,，请求出此时的∠ABC的度数
24、在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，AB=CD=10，BC=AD=6，P为射线BC上一点，将▲ABP沿直线AP泛翻折至▲AEP 的位置，使点B落在点E处.
(1)若P为BC上一点
a: 如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时CE=
b: 如图二，连接CE，若CE∥AP，则BP⊥BC有何数量关系？请说明理由
（2）如图3，如果点P在BC的延长线上时，当▲PEC为直角三角形时，求PB的长。
【市级联考】江苏省常州市2021-2022学年-有答案-八年级上学期期中质量调研数学试题
【市级联考】江苏省常州市2021-2022学年八年级上学期期中质量调研数学试题一、单选题1. 以下是小明收集的四个轴对称图案，他收集错的是（）A. B. C. D.2. 下列说法错误的是（）A.两个面积相等的圆一定全等B.全等三角形是指形状、大小都相同的三角形C.斜边上中线和一条直角边对应相等的两直角三角形全等D.底边相等的两个等腰三角形全等3. 三角形具有稳定性，就是当三角形的三边长确定时，三角形的形状和大小就确定了，其理论依据是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS4. 已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A.∠A:∠B:∠C＝3:4:5B.∠A−∠B＝∠CC.(b+c)(b−c)＝a2D.a＝7，b＝24，c＝255. 在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的()A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边中垂线的交点D.三边上高所在直线的交点6. 如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC等于（）7. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且PE＝3，AP＝5，点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则此时AF的长是（）A.10B.8C.6D.48. 如图，在中，于点，于点，为边的中点，连接、，则下列结论:①;②为等边三角形.下面判断正确是()A.①正确B.②正确C.①②都正确D.①②都不正确二、填空题已知△ABC≅△DEF，∠A=30∘，∠E=50∘，则∠C=________．已知一直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，则第三边上的高为________.如图，已知AB // CF，E为DF的中点，若AB=8，CF=5，则BD=________．如图，△ABC中，∠A=∠ABC，AC=6，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DA．则DE=________．青青同学把一张长方形纸折了两次，如图，使点A，B都落在DG上，折痕分别是DE，DF，则∠EDF的度数为________．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘，得到△A′B′C，连结AA′，若∠AA′B′=20∘，则∠B的度数为________∘．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，若BC=9，AB=11，则△EBC的周长为________．如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是________.如图，一等腰三角形的周长为16，底边上的高是4，则此三角形的底边长是________.如图，将矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上点P处，已知，PM=3，PN=4，，那么矩形纸片ABCD的面积为________．三、解答题如图，在正方形网格上有一个△DEA．（1）作△DEF关于直线HG的轴对称图形；（2）作△DEF的EF边上的高；（3）若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和格点△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请分别在下面四个图中各画出1个这样的△DEF，要求四个图互不一样．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AC=DF．如图：在△ABC中∠ACB＝90∘，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点B处，且，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳线段滑到A处.已知两只猴子所经过的路程相等，设为xm.（1）请用含有x的整式表示线段的长为________m；（2）求这棵树高有多少米？如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，过点P且平行于BC的直线分别交AB、AC于点D、点A．（1）求证:DB=DP；（2）若DB=5，DE=9，求CE的长.在如图所示的网格中有四条线段AB、CD、EF、GH（线段端点在格点上），⑴选取其中三条线段，使得这三条线段能围成一个直角三角形．答：选取的三条线段为________．⑵只变动其中两条线段的位置，在原图中画出一个满足上题的直角三角形（顶点仍在格点，并标上必要的字母）．答：画出的直角三角形为△________．⑶所画直角三角形的面积为________．如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A−C−B−A运动，设运动时间为t秒(t>0)．（1）若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．参考答案与试题解析【市级联考】江苏省常州市2021-2022学年八年级上学期期中质量调研数学试题一、单选题1.【答案】C【考点】轴对称图形关于x轴、y轴对称的点的坐标多边形内角与外角【解析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选C．2.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】根据圆的面积公式可得两个面积相等的圆半径一定也相等，故A说法正确；根据全等三角形的概念可得B说法正确；斜边上中线相等的直角三角形，斜边也相等，再有一条直角边对应相等，故两个直角三角形全等，因此C说法正确．底边相等的两个等腰三角形，腰长不一定相等，故D说法错误；【解答】解：A、两个面积相等的圆一定全等，说法正确；B、全等三角形是指形状、大小都相同的三角形，说法正确；C、如图，AC=A′C又AB=A′BRt△ABC≅RtΔA′B′C′(H1)则斜边上中线和一条直角边对应相等的两直角三角形全等，说法正确；D、底边相等的两个等腰三角形全等，说法错误；故选：D．3.【答案】D【考点】边边边证全等【解析】由题意三角形的三边长被确定，故利用SSS可得三角形全等，即可说明问题．【解答】解：如图，在△ABC和ΔA′BC′中，AB=AB′,AC=A′C,BC=B′CC在△ABC和ΔA′B′C中，AB=AB′,AC=A′C,BC=B′C△ABC≅ΔA′B′C′(55S)故三角形的三边被确定后，三角形的大小形状就被确定，即三角形具有稳定性故选D．4.【答案】A【考点】勾股定理的逆定理三角形内角和定理直角三角形的性质【解析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．【解答】解：A、∵ A::::=3:4:5×180∘=75∘，故不能判定△ABC是直角三角形；．∠C=53+4+5B、A−∠B=∠C，且∴ A+∠B+C=180∘2A=90∘，故△ABC为直角三角形；C、(b+c)(b−c)=a2b2⋅c2=a2，故△ABC为直角三角形；D、72+242=252，△ABC为直角三角形；故选A．5.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理线段垂直平分线的性质【解析】根据垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：为使游戏公平，凳子应到点A、B、C的距离相等根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边中垂线的交点故选C．6.【答案】B【考点】翻折变换（折叠问题）矩形的性质【解析】此题暂无解析【解答】试题分析：由四边形ABCD是矩形与AB=6△ABF的面积是24，易求得BF的长，然后由勾股定理，求得AF的长，根据折叠的性质，即可求得AD，BC的长，继而求得答案．解：…四边形ABCD是矩形，∠B=90∘,AD=BCAB=6S△ABF 12AB⋅F=12×6××6×4BF=8∴ AF=√AB2+BF2=√62+82=10由折叠的性质：AD=AF=10BC=AD=10FC=BC−BF=10−8=2故选B．7.【答案】B【考点】角平分线的性质【解析】过P作PM⊥AB+M，根据角平分线性质求出PM=3，根据已知得出关于AF的方程，求出方程的解即可．【解答】A女AP=5AE=4△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，1 2×AF×3=2×12×4×3AF=8故选B．8.【答案】C【考点】等边三角形的判定【解析】试题解析：①…BM⊥AC于点MCM⊥AB于点N，P为BC边的中点，|PM12CpN=12BCPM=PN，正确；ΔA=60∘,BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴ ABM=∠ACN=30∘在△ABC中，∠BCN+∠CBM=180∘−60∘−30∘×2=60∘点P基加BC的中点，BM⊥AC,CM⊥ABPM=PN=PB=PC∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM∠BPN+2CPM=2(∠BCN+CBM)=2×60∘=120∘∠MPN=60∘△PMN是等边三角形，正确；所以①②都正确．故选C．【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】100∘【考点】全等三角形的性质三角形内角和定理【解析】【解310△ABC≅△DEF∠B=∠E=50∘∠A+∠B+∠C=180∘,∠A=30∘ΔC=180∘−20∘−50∘=100∘故答案为100∘【解答】此题暂无解答【答案】4.8crn三角形的面积勾股定理的逆定理【解析】先由勾股定理求出斜边的长，再用面积法求解．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∴ ACB=90∘,AC=6cm,BC=8cm,CD⊥AB 则AB=√AC2+BC2=10(cm)由S△ABC=12AC⋅BC=12⋅AB⋅CD得6×8=10⋅CD，解得CD=4.8(cm)故答案为4.8cm．AK【答案】3【考点】平行线分线段成比例平行线的性质全等三角形的性质与判定【解析】AB//F，ΔA=∠FCE,∠ADE=∠F，又∵ DE=FE△ADE≅△CFEAD=CF=5AB=8,BD=AB−AD=8−5=3,故答案为3.【解答】此题暂无解答【答案】3【考点】直角三角形斜边上的中线等腰三角形的判定【解析】因为∴ A=∠ABC，所以CA=CB，因为BD⊥AC，所以∠BDC=90∘因为E为CB的中点，所以BC=2DE，所以6=2DE，则DE=3故本题应填3.【解答】此题暂无解答【答案】90∘【考点】翻折变换（折叠问题）平行线的判定与性质矩形的性质结合轴对称的特点以及图形的特点进行解题．【解答】：长方形的纸片折叠了两次，使A、B两点都落DG上，折痕分别是DE、DF，2GDF=∠BDF,∠GDE=∠ADE，∴2GDF+∠GDE=12(2GD+∠GDA)=1×180∘=90∘，即EDF=90∘．故答案为90∘2【答案】65∘．【考点】旋转的性质等腰直角三角形等腰三角形的判定与性质【解析】试题分析：Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90∘得到ΔA′BCAC=A′C△ACA是等腰直角三角形，∠CAA′=45∘2AB′C=∠A′B′+∠AA′=20∘+45∘=65∘由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65∘【解答】此题暂无解答【答案】20【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】：DE是AC边上的垂直平分线，EA=EC∴△EBC的周比ξ=BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+AB=20故答案为20．【答案】x+y=15【考点】规律型：图形的变化类正方形的性质函数关系式【解析】先由正方形A的边长为5，得出S A=25，再根据勾股定理的几何意义，得到(4+x)+ (6+y)=5A，由此得出x与y的数量关系．【解答】解：…正方形A的边长为5.S A=25根据勾股定理的几何意义，得(4+x)+(6+y)=5A=25∵ x+y=15故答案为x+y=15【答案】6【考点】等腰三角形的性质勾股定理【解析】设出底边的长和腰的长，利用勾股定理和周长列出两个等式，将设出的底边的长求出来即可．【解答】解：设腰长为x，底边长为2y，贝加2x+2y=16,42+y2=x2由此可解得y=3故底边长为6．故答案为6．【答案】、1445【考点】翻折变换（折叠问题）矩形的性质勾股定理【解析】试题分析：将矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上点P处，BM= PM,CN；已知∠MPN=90∘PM=3,PN=4．在RtAMNP中由勾股定理得MN=√PM2+PN2=√32+42=5，根据直角三角形的面积公式，在RtΔMNP中PM×PM=MN×ℎ，解得ℎ=425，由题意得RtΔMNP边MN上高与矩形的宽相等，所以AB=125；因为BC=EM+MN+NC=3+5+4=12，所以矩形纸片ABCD的面积=AB×BC=225×12=1445【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）3.三角形的高【解析】（1）分别得出对应点位置进而得出答案；（2）利用钝角三角形高线作法得出答案；（3）利用三角形面积求法得出答案．【解答】（1）如图所示，△DEF关于直线HG的轴对称图形为△DEF（2）如图所示，DH即为所求；×3×2=3（3）S△DEF=12【答案】见解析【考点】作图-轴对称变换轴对称的性质轴对称图形【解析】试题分析：先确定对称轴，然后作出△ABC关于这条对称轴的轴对称图形即可．试题解析：所作图形如下：→BA+→BA+→BA““(D)备用图备用图备用图【解答】此题暂无解答【答案】证明见解析【考点】全等三角形的性质与判定全等三角形的性质三角形的外角性质【解析】试题分析：要证明AC=DF成立，只需要利用AAS证明△ABC≅△DEF即可．试题解析：证明：BF=EC（已知），EF+FC=EC+CF在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D ∠B=∠DEF BC=EF△ABC≅△DEF(AAS)AC=DF【解答】此题暂无解答【答案】（1）见解析；（2）6【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】（1）根据DB1F⊥AE，得出∠D=∠AEC，再结合∠DBC=∠ECA=90∘，且BC=CA，证明△DBC≅△ECA，即可得证；（2）由（1）可得△DBC≅△ECA，可得4CE=BD,根据BC=AC=12cmAE是BC的中线，即可得出CE=12BC，即可得出答案．【解答】（1）证明：DB⊥BC,CF⊥AE∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90∘∠D=∠AEC又∠DBC=∠ECA=90∘，且BC=CA在△DBC和△ECA中{∠D=∠AEC∠DBC=∠ECA=90∘BC=AC△DBC≅△ECA(AAS)AE=CD;（2）由（1）可得△DBC≅△ECA CE=BDBC=AC=12cmAE是BC的中线，CE=12BC=6cmBD=6cm【答案】（1）$${\{15-x\}}$（2）1.5米【考点】勾股定理的应用【解析】（1）：BD为x，且存在BD+DA=BC+CA 即BD+DA=5DA=15−x（2）已知BC，要求CD求BD即可，两只猴子经过路程相等的等量关系，即BD+DA= BC+CA，根据此等量关系列出方程即可求解．【解答】（1）BD为v，且存在BD+DA=BC+CA即BD+DA=15,DA=15−x.（2）在Rt△ACD中，AD为斜边，则CD2+AC2=AD2,即(5+x)2+102=(15−x)2解得x=2.5米，故树高CD=BC+BD=5+2.5=7.5米，答：(1)(15−x)（2）树高为7.5米【答案】（1）详见解析；（2）CE=4【考点】平行线的判定角平分线的性质【解析】（1）利用角平分线和平行可证得∠DPB=∠PBD,可得DB=DP，同理可得EP=EC即而可得CE的长．【解答】（1）①证明：·DElIBCDPB=∠PBC：BP平分∠ABC∠PBA=∠PBC∠DPB=∠PBADB=DP②解：由（2）同理可得EC=EPDE=DP+EP=DB+CEDB=5,DE=9CE=4【答案】（1AB、EF、GH2详见解析；③）5【考点】三角形的面积等腰直角三角形勾股定理【解析】由图可知AB=5,CD=√29EF=√5,GH=2√5(1)由勾股定理的逆定理可得，由AB、EF、GH可以组成直角三角形；（2）在图中HG×M×MG.画TM=EFFAB即可得到该直角三角形；（3）三角形GMH的面积=12【解答】解：（1）由图可知AB=5,CD=√29EF=√5,GH=2√5 (√5)2+(2√5)2=52．即EF2+AB2=GH′．由AB,EF,CF可组成直角三角形．（2）如图，三角形MGH即为所示．如图，可画直角三角形MGH．）M（3）S△MGH=12×GM×GH=12×√5×2√5=5【答案】（1）2516（2）83（3）t=12；②t=5310③t=194④t=5【考点】等腰三角形的判定勾股定理的应用【解析】（1）根据已知可得AC的长，AP的长，从而可得PC的长，在直角三角形BCP中利用勾股定理即可求得；（2）作PHLAB，由已知可得PH=PC=4t−8，PB=14−4t，在RtΔBPH中，由勾股定理即可得；（3）分情况计谋即可得．【解答】（1）点P在AC上，△ACB=90∘，BC=6，AB=10，．AC=8，AP=4t，CP=8−4t，又PA=PB．(4t)2=62+(8−4t)2t=25 16（2）点P在么BAC的角平分线上，作PHLAB，B“H．．PC=PH=4t−8，PB=14−4t，可证ΔACP=ΔAHP，·AH=BC=8，∴BH=2，在RtΔBPH中，BH2+PH2=BP2，即22+(4t−8)2=(11−4t)2t=8 3（3）①当PC=BC=6时，此时AP=AC−PC=2,∴ t=24=12B^②当PC=BC时，作CHLAB，则有PH=BH，由AC．BC=AB．CH，可得CH=4.8，由勾股定理则有BH=3.6，所以PB=7.2，由已知则有BP=4t−14，由点P运动的时间以及速度，可得BP=4t−14，所以4t−14=7.2，解得t=5310③当PC=BP时，作CHLAB，由AC．BC=AB．CH，可得CH=4.8，由勾股定理则有BH=3.6，由点P运动的时间以及速度，可得BP=4t−14，所以PH=4t−14−3.6=4t−17.6，由勾股定理可得CH2+PH2=P2，即4.82+(4−17.6)2=(44−14)2，解得t=194④当BC=BP时，此时BP=4t−14，所以4t−14=6，解得t=5，综上可知，当t为12,5310,194或5时，ΔBCP为等腰三角形．。
2020-2021学年江苏省常州市武进区八年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省常州市武进区八年级（上）期中数学试卷1. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是( )A. 1，2，3B. 2，3，4C. 13，14，15D. 7，24，252. 在△ABC 中，∠A =70°，∠B =55°，则△ABC 是( )A. 钝角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形3. 在作图题中，利用下列各条件作出的直角三角形不唯一的是( )A. 已知两直角边B. 已知一直角边和它的对角C. 已知两锐角D. 已知斜边和一直角边4. 将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A 的边长为4，正方形C 的边长为3，则正方形B 的面积为( )A. 25B. 5C. 16D. 125. 与三角形的三边的距离相等的点是这个三角形的( )A. 三个角的平分线的交点B. 三边的垂直平分线的交点C. 三边上高所在直线的交点D. 三边中线的交点6. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在斜边AB 上，且AD =CD ，则下列结论中错误的结论是( )A. ∠DCB =∠BB. BC =BDC. AD =BDD. ∠ACD =12∠BDC7. 如图，AC =AD ，BC =BD ，则下列判断正确的是( ) A. AB 垂直平分CDB. CD 垂直平分ABC. AB与CD互相垂直平分D. CD平分∠ACB8.如图，在△ABC中，∠C=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1−∠2的度数是()A. 40°B. 80°C. 90°D. 140°9.△ABC中，AB=AC，且∠A=80°，则∠B=______°.10.等腰三角形有一边长为2cm，周长为12cm，则该等腰三角形的腰长为______ cm．11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则AC=______．12.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的中线，∠B=72°，则∠DAC=______ °.13.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，且CD：BD=2：3，则点D到AB的距离是______．14.如图，点F在∠BAC的平分线AP上，点E在AB上，且EF//AC，若∠BEF=40°，则∠AFE=______ °.15.如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E.若AB=11cm，△BCE的周长为17cm，则BC=______ cm．16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，∠CAD：∠DAB=1：2，则∠B的度数为______ ．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为边的正方形面积为12，中线CD的长度为2，则BC的长度为______．18.如图，∠MON=90°.△ABC中，AC=BC=10，AB=12，点A、B分别在边OM，ON上.当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为______ ．19.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，直线EF经过网格格点.请完成下列各题：(1)画出△ABC关于直线EF对称的△A′B′C′；(2)△ABC的面积等于______ ．(3)利用网格，在直线EF上画出点P，使PA=PB.同时，在直线EF上画出点Q，使QA+QB的值最小．20.已知，如图，AB=AC，点D，E分别是AC，AB的中点，求证：△ABD≌△ACE．21.如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等边△ABE和等边△ACD，直线BD与直线CE相交于点O．(1)求证：∠AEC=∠ABD；(2)请求出∠BOE的度数．22.如图，四边形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD于D，BC=BA，CE⊥AB于E．(1)求证：AD=AE；(2)若AD=4，BC=10，求CD的长．23.如图，△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8.把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，折痕交BC边于点D，求线段CD的长．24.如图，B、C、D三点在同一直线上，AO⊥BC于O，BC=CD，且AB=AC=5，AO=3.点P是线段DB上的一个动点，点P从起点D运动到终点B(包括D、B)，当△ACP是等腰三角形时，求线段DP的长度．25.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.在AC边的延长线上取点D，连接BD，作AF⊥BD于点F，交BC边于点E．(1)求证：AE=BD；(2)若AC=12，EC=5，求AF的长度．26.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.D为AB的中点，E是AC边上任意一点，DF⊥DE，交BC边于F点.G为EF的中点，延长CG交AB于点H．(1)求证：DE=DF；(2)求证：CG=GH；(3)若AE=3，CH=5.求AC边的长．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A 、12+22≠32，则不能组成直角三角形，故此选项不合题意； B 、32+22≠42，则不能组成直角三角形，故此选项不合题意；C 、(13)2+(14)2≠(15)2，则不能组成直角三角形，故此选项不合题意；D 、72+242=252，则能组成直角三角形，故此选项符合题意；故选：D ．利用勾股定理逆定理分别进行计算即可．此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．2.【答案】B【解析】解：∵在△ABC 中，∠A =70°，∠B =55°，∴∠C =180°−∠A −∠B =55°，∴∠B =∠C ，∴△ABC 是等腰三角形．故选：B ．根据三角形的内角和定理求得∠C =180°−∠A −∠B =55°，于是得到∠B =∠C ，即可得到结论．本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的判定，熟记三角形的内角和是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：A 、符合全等三角形的判定，能作出唯一直角三角形；B 、符合全等三角形的判定，能作出唯一直角三角形；C 、而已知两个锐角，不能作出唯一直角三角形，两个角相等，两直角边长可以不等；D 、符合全等三角形的判定，能作出唯一直角三角形；故选：C ．根据直角三角形的性质，看是否符合所学的全等的公理或定理即可得出答案．本题主要考查由已知条件作三角形，属于基础题，主要依据全等三角形的判定来做．4.【答案】A【解析】解：如图，∵根据正方形的性质得：DF=FG，∠DEF=∠GHF=∠DFG=90°，∴∠EDF+∠DFE=90°，∠DFE+∠GFH=90°，∴∠EDF=∠GFH，在△DEF和△FHG中，{∠DEF=∠FHG ∠EDF=∠HFG DF=FG，∴△DEF≌△FHG(AAS)，∴DE=FH=4，∵GH=3，在Rt△GHF中，由勾股定理得：FG2=32+42=25，则正方形B的面积为25．故选：A．根据正方形的性质证△DEF≌△FH，推出DE=FH=4，根据勾股定理求出FG即可．本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是求出FH的长．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等．根据到三角形三边距离相等的点是角平分线的交点解答即可．【解答】解：到三角形三边距离相等的点是这个三角形的角平分线的交点．故选A．6.【答案】B【解析】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∵AD=CD，∴∠A=∠ACD，∴∠B=∠BCD，A选项结论正确，不符合题意；BC与BD不一定相等，B选项结论错误，符合题意；∵∠B=∠BCD，∴BD=CD，∵AD=CD，∴AD=BD，C选项结论正确，不符合题意；∵∠A=∠ACD，∴∠BDC=∠A=∠ACD=2∠ACD，∴∠ACD=12∠BDC，D选项结论正确，不符合题意；故选：B．根据同角的余角相等判断A；根据题意判断B；根据等腰三角形的性质判断C；根据三角形的外角性质判断D．本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：在△ABC与△ABD中，{AC=AD BC=BD AB=AB，∴△ABC≌△ABD，∴∠CAB=∠DAB，∴AB垂直平分CD，故选：A．根据全等三角形的性质得到∠CAB=∠DAB，根据等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】此题考查了翻折变换(折叠问题)，以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键，由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用三角形外角性质即可求出所求角的度数．【解答】解：由折叠的性质得：∠D=∠C=40°，根据三角形外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80°，则∠1−∠2=80°．故选B．9.【答案】50【解析】【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．根据等腰三角形的性质：∠B=∠C，再根据三角形的内角和定理即可解答．【解答】解：∵△ABC中，∠A=80°，AB=AC，∴∠B=∠C=(180°−∠A)÷2=(180°−80°)÷2=50°．故答案为50．10.【答案】5【解析】解：分两种情况讨论：=5(cm)，当已知长是2cm的边是底边时，腰长=12−22当已知长是2cm的边是腰时，三边长是2cm，2cm，8cm不满足三边关系定理．故等腰三角形腰长是5cm．故答案为：5．题目给出等腰三角形有一条边长为2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．11.【答案】12【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴AC=√AB2−BC2=√132−52=12，故答案为：12．根据勾股定理求出AC的长即可．本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．12.【答案】18【解析】解：∵AB=AC，AD为△ABC的中线，∴∠B=∠C=72°，∠BAD=∠DAC，∴∠BAC=180°−72°−72°=36°，∠BAC=18°，∴DAC=12故答案为：18．根据等腰三角形三线合一的性质和等边对等角得：∠B=∠C=72°，∠BAD=∠DAC，再由三角形的内角和可得结论．本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边；在等腰三角形中常运用三线合的性质进行计算和证明，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．13.【答案】4【解析】解：∵BC=10，且CD：BD=2：3，∴CD=4，BD=6，过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=4，故答案为：4．求出CD，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质求出DE=CD，即可得出答案．本题考查了角平分线性质的应用，能理解知识点是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．14.【答案】20【解析】解：∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP，∵EF//AC，∴∠EFA=∠CAP，∴∠BAP=∠EFA，∵∠BEF=40°，∠BEF=∠BAP+∠EFA，∴∠BAP=∠EFA=20°，即∠AFE=20°，故答案为：20．根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到∠AFE的度数．本题考查平行线的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【解析】解：∵AB=11cm，∴AC=AB=11cm，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴AE+BE=AC=AB=11cm，∵△BCE的周长为17cm，∴BC=17−11=6(cm)．故答案为：6．先求出AC长，再根据线段垂直平分线的性质求出AE=BE，可得AE+BE=AC=AB，再根据△BCE的周长求出即可．本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出AE+ BE=AC=AB．16.【答案】36°【解析】解：∵D是线段AB垂直平分线上的点，∴AD=BD，∴△DAB是等腰三角形，∠B=∠DAB，∵∠CAD：∠DAB=1：2，∴设∠DAC=x，则∠B=∠DAB=2x，∴x+2x+2x=90°，∴x=18°，即∠B=36°，故答案为：36°．先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出∠B=∠DAB，再根据∠DAE与∠DAC的度数比为2：1可设出∠B的度数，再根据直角三角形的性质列出方程，求出∠B的度数即可．本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【解析】解：∵以AC为边的正方形面积为12，∴AC=√12=2√3，∵∠ACB=90°，∴AB=2CD=4，∴BC=√AB2−AC2=2；故答案为：2．由正方形的面积求出AC，由直角三角形的性质求出AB，再由勾股定理求出BC即可．此题考查了直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理，求出AB是解决问题的关键．18.【答案】14【解析】解：作CD⊥AB于点D，连接OD，∵AC=BC=10，AB=12，∴点D为AB的中点，CD⊥AB，∴BD=8，∴CD=√102−62=8，∵∠AOB=90°，AB=12，∴OD=6，∵OC≤OD+CD，∴当点O、D、C在同一直线上时，OC取得最大值，此时OC=OD+CD=6+8=14，故答案为：14．根据等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线和斜边的关系，可以得到CD和OD的值，再根据OC≤OD+CD，即可得到OC的最大值，本题得以解决．本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19.【答案】14【解析】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；(2))△ABC的面积：4×8−12×2×4−1 2×2×6−12×8×2=32−4−6−8=14，故答案为：14；(3)如图所示，点P和Q即为所求．(1)首先确定△ABC三个顶点的对称点位置，再连接即可；(2)利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可；(3)画出AB的垂直平分线可确定P点位置，连接A′B与EF的交点就是Q点位置．此题主要考查了作图--轴对称变换，以及最短路线和线段垂直平分线的性质，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置．20.【答案】证明：∵AB=AC，点D，E分别是AC，AB的中点，∴AE=AD，在△ABD和△ACE中∵{AD=AE ∠A=∠A AB=AC，∴△ABD≌△ACE(SAS)．【解析】直接利用全等三角形的判定方法SAS，进而得出答案．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21.【答案】(1)证明：∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AB=AE，AC=AD，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，∴∠EAC=∠DAB，在△AEC与△ABD中，{AE=AB∠EAC=∠DAB AC=AD，∴△AEC≌△ABD(SAS)，∴∠AEC=∠ABD；(2)解：∵∠AEC=∠ABD，又∵∠EAB+∠AEC+∠EFA=180°，∠BOE+∠ABD+∠BFO=180°，∴∠EFA=∠BFO，∴∠BOE=∠EAF=60°．【解析】(1)根据等边三角形的性质得到∠EAB=∠DAC=60°，AB=AE，AC=AD，得到∠EAC=∠DAB，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)根据角的和差和对顶角的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．22.【答案】证明：(1)∵AD⊥CD，CE⊥AB，∴∠D=∠CEA=90°，∵BC=BA，∴∠BAC=∠BCA，∵AD//BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠BAC=∠DAC，在△ADC和△AEC中，{∠D=∠CEA∠DAC=∠BAC AC=AC，∴△ADC≌△AEC(AAS)，∴AD=AE；(2)∵△ADC≌△AEC，∴AD=AE=4，CD=CE，∵BC=BA=10，∴BE=6，在Rt△BCE中，CE2=BC2−BE2=64，∴CD=CE=8．【解析】(1)由“AAS”可证△ADC≌△AEC，可得AD=AE；(2)由全等三角形的性质可得AD=AE=4，CD=CE，由勾股定理可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．23.【答案】解：∵AC2+BC2=62+82=100，AB2=102=100，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∵△ABC折叠AB落在直线AC上，∴AB′=AB=10，B′D=BD，∴B′C=AB′−AC=10−6=4，设CD=x，则B′D=BD=BC−CD=8−x，在Rt△B′CD中，由勾股定理得，B′C2+CD2=B′D2，即42+x2=(8−x)2，解得x=3，∴CD=3，【解析】利用勾股定理逆定理求出∠ACB=90°，根据翻转变换的性质可得AB′=AB，B′D=BD，然后求出B′C，设CD=x，表示出B′D，再利用勾股定理列方程求出x，则可得出答案．本题考查了翻转变换的性质，勾股定理，翻折前后对应线段相等，对应角相等，利用勾股定理列出方程是解题的关键．24.【答案】解：∵AB=AC，AO⊥BC，∴BO=OC，在Rt△AOB中，OB=√AB2−AO2=√52−32=4，∴BC=2OB=8，∵BC=CD，∴BD=8+8=16，当CP′=AC=5时，DP′=8−5=3，当P′′A=P′′C时，OP′′=4−P′′C，在Rt△AOP′′中，OA2+OP′′2=AP′′2，即32+(4−CP′′)2=CP′′2，解得，CP′′=258，则DP′′=258+8=898，当CP′′′=CA=5时，DP′′′=8+5=13，当点P与点B重合时，AC=AP，BP=16，综上所述，△ACP是等腰三角形时，线段DP的长度为3或898或13或16．【解析】根据勾股定理求出OB，进而求出BC和BD的长，分CP′=AC、P′′A=P′′C、CP′′′=CA、点P与点B重合四种情况，根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．25.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACB=90°，∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°，∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△ACE与△BCD中，{∠1=∠2∠ACE=∠BCD AC=BC，∴△ACE≌△BCD(AAS)，∴AE=BD；(2)解：∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD，CE=CD，∵∠BCD=90°，BC=AC=12，DC=EC=5，∴AE=BD=13，∵S△ABD=12AD⋅BC=12BD⋅AF，∴AF=20413．【解析】(1)根据垂直的定义得到∠BFE=90°，根据余角的性质得到∠1=∠2，根据全等三角形的性质得到结论；(2)根据全等三角形的性质得到AE=BD，CE=CD，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AC=BC，∴CD=AD=BD，又∵AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，{∠A=∠DCFAD=CD∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF(ASA)；(2)连接DG，∵∠ACB=90°，G为EF的中点，∴CG=EG=FG，∵∠EDF=90°，G为EF的中点，∴DG=EG=FG，∴CG=DG，∴∠GCD=∠CDG又∵CD⊥AB，∴∠CDH=90°，∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，∴∠GHD=∠HDG，∴GH=GD，∴CG=GH；(3)如图，∵CG=GH=EG=GF，∴CH=EF=5，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF=3，在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE=√EF 2−CF2=4，∴AC=AE+EC=3+4=7．【解析】(1)连接CD，推出CD=AD，∠CDF=∠ADE，∠A=∠DCB，证△ADE≌△CDF 即可；(2)连接DG根据直角三角形斜边上中线求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH即可；(3)求出EF=5，根据勾股定理求出EC，即可得出答案．本题考查了等腰三角形性质和判定，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．第21页，共21页。
2020-2021学年江苏省常州市教育会八级上数学八下期末统考试题含解析
2020-2021学年江苏省常州市教育会八级上数学八下期末统考试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．若式子2244x x x -++的值等于0，则x 的值为（ ） A ．±2 B ．－2 C ．2 D ．－42．点 A (2, - 3)关于原点的对称点的坐标是( )A ．(- 2, - 3)B ．(2, 3)C ．(- 2, 3)D ．(- 3, - 2)3．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD 中，AD 边的中点处有一动点P ，动点P 沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P 点的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知点P （a ，1）不在第一象限，则点Q （0，﹣a ）在（ ）A ．x 轴正半轴上B ．x 轴负半轴上C ．y 轴正半轴或原点上D ．y 轴负半轴上5．下列命题中，有几个真命题 ( )①同位角相等 ②直角三角形的两个锐角互余③平行四边形的对角线互相平分且相等 ④对顶角相等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列说法正确的是（ ）A ．若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口必遇到红灯B ．某蓝球运动员2次罚球，投中一个，则可断定他罚球命中的概率一定为50%C ．“明天我市会下雨”是随机事件D ．若某种彩票中奖的概率是1%，则买100张该种彩票一定会中奖7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1），点C 在第一象限，对角线BD 与x 轴平行．直线y=x+3与x 轴、y 轴分别交于点E ，F ．将菱形ABCD 沿x 轴向左平移m 个单位，当点D 落在△EOF 的内部时（不包括三角形的边），m 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．若m 个数的平均数x ，另n 个数的平均数y ，则m +n 个数的平均数是（ ）A ．2x y +B ．x y m n ++C ．mx ny m n ++D ．mx ny x y++ 9．在平面直角坐标系中，将正比例函数y kx =（k ＞0）的图象向上平移一个单位长度，那么平移后的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10．如图，点Р是边长为2的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，MP PN +的最小值是（ ）A．1 B．2C．2 D．22二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______cm．12．梯形ABCD中，AD∥BC，E在线段AB上，且2AE=BE，EF∥BC交CD于F，AD=15，BC=21，则EF=__________．13．如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC＝120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_____．14．如图，C、D点在BE上，∠1=∠2，BD=EC，请补充一个条件：____________，使△ABC≌△FED．15．若0,0,a b ca b c++=⎧⎨-+=⎩则关于x的方程20(a0)++=≠ax bx c的解是___________.16．如图，已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P(2，4)，则关于x的一元一次不等式kx+3>-x+b的解集是_______.17．如图，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，DEF ∆的周长是10，AF BC ⊥于F ，BE AC ⊥于E ，且点D 是AB 的中点，则AF 的长是______.18．如图，跷板AB 的支柱OD 经过它的中点O ，且垂直于地面BC ，垂足为D ，OD =0.8m ；当它的一端B 地时，另一端A 离地面的高度AC 为____m .三、解答题(共66分)19．（10分）某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，并统计绘制成了如图两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：（1）本次共抽查学生 人，并将条形图补充完整；（2）捐款金额的众数是 ，中位数是 ；（3）在八年级850名学生中，捐款20元及以上（含20元）的学生估计有多少人？20．（6分）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1与x 轴分别交于A(﹣1，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线解析式；(2)在直线BC 上方的抛物线上有点P ，使△PBC 面积为1，求出点P 的坐标．21．（6分）先化简,再求值:2222112a a aaa a a⎛⎫+++÷-⎪+⎝⎭其中,21a=+22．（8分）在□ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH．23．（8分）潮州市某学校为了改善办学条件，购置一批电子白板和台式电脑合共24台.经招投标，一台电子白板每台9000元，一台台式电脑每台3000元，设学校购买电子白板和台式电脑总费用为y元，购买了x台电子白板，并且台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍.(1)请求出y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围(2)请问当购买多少台电子白板时，学校购置电子白板和台式电脑的总费用最少，最少多少钱？24．（8分）要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛. 现将甲、乙两名同学参加射击训练的成绩绘制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩(环) 中位数(环) 众数(环) 方差(2环)甲7 b7 1. 2乙a7. 5 c 4. 2(1)分别求表格中a、b、c的值.(2)如果其他参赛选手的射击成绩都在7环左右，应该选______队员参赛更适合；如果其他参赛选手的射击成绩都在8环左右，应该选______队员参赛更适合.25．（10分）潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元．（1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？26．（10分）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解析】x =0且x²+4x+4≠0，2解得x=2.故选C.2、C【解析】【分析】根据直角坐标系中两个关于原点的对称点的坐标特点：“关于原点对称的点，横坐标、纵坐标都互为相反数”进行解答．【详解】由直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标、纵坐标都互为相反数，可得点P(2,−3)关于坐标原点的对称点的坐标为(−2,3)，故答案为：C.【点睛】本题考查了直角坐标系中关于原点对称的两点的坐标特征，牢牢掌握其坐标特征是解答本题的关键点.3、D【解析】试题解析：动点P运动过程中：①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y=2保持不变；②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y=1保持不变；④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；⑤当＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y=2保持不变．结合函数图象，只有D选项符合要求．故选D．考点：动点问题的函数图象．4、C【解析】【分析】根据题意得出a的取值范围，进而得出答案．【详解】解：∵点P（a，1）不在第一象限，∴a≤0，则﹣a≥0，故点Q（0，﹣a）在：y轴正半轴上或原点．故选：C．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．5、B【解析】【分析】【详解】解：①只有在两直线平行的前提下，同位角才相等，错误; ②直角三角形的两个锐角互余,正确；③平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，错误; ④对顶角相等，正确故选B6、C【解析】解：A．若你在上一个路口遇到绿灯，则在下一路口不一定遇到红灯，故本选项错误；B．某蓝球运动员2次罚球，投中一个，这是一个随机事件，但不能断定他罚球命中的概率一定为50%，故本选项错误；C．明天我市会下雨是随机事件，故本选项正确；D．某种彩票中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，故该选项错误．故选C．7、D【解析】试题分析：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，由菱形ABCD，根据A与B的坐标确定出C坐标，进而求出CM与CN的值，确定出当点C落在△EOF的内部时k的范围，即可求出k的可能值．解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，∵菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，∴CQ=AQ=1，CM=2，即AC=2AQ=2，∴C（2，2），当C与M重合时，k=CM=2；当C与N重合时，把y=2代入y=x+4中得：x=﹣2，即k=CN=CM+MN=4，∴当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2＜k＜4，则k的值可能是3，故选B8、C 【解析】【分析】【详解】m+n个数的平均数=mx nynπ++，故选C．9、D【解析】试题分析：将正比例函数y=kx（k＞0）的图象向上平移一个单位得到y=kx+1（k＞0），∵k＞0，b=1＞0，∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选D．考点：一次函数图象与几何变换．10、C【解析】【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP＋NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP＋NP＝M′N＝AB＝1．【详解】解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP＋NP有最小值，最小值为M′N的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′＝BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N ＝AB ＝1，∴MP ＋NP ＝M′N ＝1，即MP ＋NP 的最小值为1，故选：C.【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1．【解析】试题分析：设这块铁片的宽为xcm ，则铁片的长为2xcm ，由题意，得3（2x ﹣6）（x ﹣6）=240，解得x 1=1，x 2=﹣2（不合题意，舍去），答：这块铁片的宽为1cm ．故答案为1．考点： 一元二次方程的应用．12、17【解析】【分析】过D 作//DH AB 构造平行四边形及相似三角形，利用平行四边形及相似三角形的性质可得答案．【详解】如图，过D 作//DH AB 交EF 于G ，交BC 于H ，因为AD ∥BC ，EF ∥BC ，所以四边形,AEGD 四边形EBGH ，四边形ABHD 都为平行四边形，则,,15AE DG BE HG AD EG BH =====，因为21BC =，所以6CH =，因为EF ∥BC ，所以DGF DHC ∆∆，所以DG GF DH HC=， 因为2AE=BE ，2GH DG ∴=，13DG DH =， 所以13GF HC =，所以2GF =，所以17EF =． 故答案为：17．【点睛】本题考查等腰梯形中通过作腰的平行线构造平行四边形及相似三角形，考查平行四边形的性质及相似三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键．13、23．【解析】【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAD=12∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解．【详解】如图，连接BD，四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=12∠ADC=12×120°=60°∴AB=AD（菱形的邻边相等），∴△ABD是等边三角形，连接DE，B、D关于对角AC对称，∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE E是AB的中点，∴DE⊥AB菱形ABCD周长为16，∴AD=16÷4=4故答案为14、AC=DF （或∠A=∠F 或∠B=∠E）【解析】∵BD=CE ，∴BD-CD=CE-CD ，∴BC=DE ，①条件是AC=DF 时，在△ABC 和△FED 中，12AC DF BC DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABC ≌△FED （SAS ）；②当∠A=∠F 时，12A F BC DE ∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝∴△ABC ≌△FED （AAS ）；③当∠B=∠E 时，12BC DE B E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△FED （ASA ）故答案为AC=DF （或∠A=∠F 或∠B=∠E）．15、1x =或1x =-【解析】【分析】由00a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，即可得到方程的解． 【详解】解：20ax bx c ++=令1x =时，有0a b c ++=；令1x =-时，有0a b c -+=；∴00a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩， 则关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的解是：1x =或1x =-；故答案为：1x =或1x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解进行解题．16、x>1【解析】【分析】观察函数图象得到当x ＞1时，函数y=kx+3的图象都在y=-x+b 的图象上方，所以关于x 的不等式kx+3＞-x+b 的解集为x ＞1．【详解】解：当x ＞1时，kx+3＞-x+b ，即不等式kx+3＞-x+b 的解集为x ＞1．故答案为x ＞1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．17、【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质即可求出答案．【详解】解：∵AB ＝AC ，AF ⊥BC ，∴AF 是△ABC 的中线，∵D 是AB 的中点，∴DF是△ABC的中位线，设AB＝BC＝2x，∴DF＝x，∵BE⊥AC，点D是AB的中点，点F是BC的中点，∴DE＝12AB＝x，EF＝12BC＝4，∵△DEF的周长为10，∴x＋x＋4＝10，∴x＝3，∴AC＝6，∴由勾股定理可知：AF＝故答案为：【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练运用直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质以及勾股定理，本题属于中等题型．18、1.6【解析】【分析】确定出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可．【详解】解：∵跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，AC、OD都与地面垂直，∴OD是△ABC的中位线，∴AC=2OD=2×0.8=1.6米．故答案为1.6米．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，是基础题，熟记定理是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）10，将条形图补充完整见解析；（2）众数是10，中位数是12.1；（3）捐款20元及以上（含20元）的学生有187人．【解析】分析：（1）由题意可知，捐款11元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款1、11、20、21元的人数可得捐10元的人数；（2）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，可知众数，将这组数据按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的数就是这组数据的中位数；（3）由抽取的样本可知，用捐款20及以上的人数所占比例估计总体中的人数．详解：（1）本次抽查的学生有：14÷28%=10（人），则捐款10元的有10﹣9﹣14﹣7﹣4=16（人），补全条形统计图图形如下：故答案为：10；（2）由条形图可知，捐款10元人数最多，故众数是10；将这组数据按照从小到大的顺序排列，中间两个数据分别是10，11，所以中位数是（10+11）÷2=12.1．故答案为：10，12.1；（3）捐款20元及以上（含20元）的学生有：810×7450=187（人）．点睛：本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，众数和中位数，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．20、 (1)y＝﹣13x2+23x+1；(2)点P的坐标为(1，43)或(2，1)．【解析】【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+1与x轴分别交于A（-1，0），B（3，0），可以求得该抛物线的解析式；（2）根据题意和（1）中的抛物线解析式可以求得点C的坐标，从而可以得到直线BC的函数解析式，然后根据在直线BC上方的抛物线上有点P，使△PBC面积为1，即可求得点P的坐标．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+1与x轴分别交于A（-1，0），B（3，0），∴22(1)(1)103310a ba b⎧⨯-+⨯-+⎨⨯+⨯+⎩＝＝，解得，1323ab⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=-13x2+23x+1；（2）∵y=-13x2+23x+1，∴当x=0时，y=1，即点C的坐标为（0，1），∵B（3，0），C（0，1），∴直线BC的解析式为：y=−13x+1，设点P的坐标为（p，-13p2+23p+1），将x=p代入y=−13x+1得y=−13p+1，∵△PBC面积为1，∴2121[(1)(1)]3 33312p p p-++--+⨯=，解得，p1=1，p2=2，当p1=1时，点P的坐标为（1，43），当p2=2时，点P的坐标为（2，1），即点P的坐标为（1，43）或（2，1）．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21、2【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，然后利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式=222(1)21(1)a a a a a a ⎛⎫+--÷ ⎪+⎝⎭=2(1)(1)(1)(1)a a a a a a++-÷+ =2(1)(1)(1)(1)a a a a a a +⨯++- =11a -，把1a =代入，得：原式2=. 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22、证明见试题解析．【解析】试题分析：由平行四边形的性质得到BE ∥CD ，故有∠E ＝∠2，由于CE 平分∠BCD ，得到∠1＝∠2，故∠1＝∠E ，故BE ＝BC ，又 因为BH ⊥BC ，由三线合一可得到CH ＝EH ．试题解析：∵在□ABCD 中BE ∥CD ，∴∠E ＝∠2，∵CE 平分∠BCD ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠E ，∴BE ＝BC ，又 ∵BH ⊥BC ，∴CH ＝EH （三线合一）．考点：1．平行四边形的性质；2．等腰三角形的判定与性质．23、 (1)600072000y x =+(624x ≤<，且x 为整数)；(2)当购买电子白板6台，台式电脑18台学校总费用最少钱，最少是108000元.【解析】【分析】（1）根据题意“电子白板和台式电脑合共24台，一台电子白板每台9000元，一台台式电脑每台3000元”即可列出y 与x 的函数解析式，又根据“台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍”求出x 的取值范围；（2）根据一次函数的性质即可得y 随x 的增大而增大，所以当6x =时，w 有最小值．【详解】解：(1)依题意可得：900030(2)004y x x =+-600072000y x =+，∵台式电脑的台数不超过电子白板台数的3倍，x≥6，则x 的取值范围为624x ≤<，且x 为整数；(2)∵600072000y x =+，60000k =>，∴y 随x 的增大而增大，∴当6x =时，w 有最小值．6000672000108000y =⨯+=(元)答：当购买电子白板6台，台式电脑18台学校总费用最少钱，最少是108000元.【点睛】本题考查了一次函数的性质和应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系列出一次函数，此题难度不大．24、 (1)a=1，b=1，c=8；(2)甲，乙【解析】【分析】（1）首先根据统计图中的信息，可得出乙的平均成绩a 和众数c ；根据统计图，将甲的成绩从小到大重新排列，即可得出中位数b ；（2）根据甲乙的中位数、众数和方差，可以判定参赛情况.【详解】(1)a ＝110×(3+6+4+8×3+1×2+9+10)＝1． ∵甲射击的成绩从小到大从新排列为：5、6、6、1、1、1、1、8、8、9，∴b ＝1．c ＝8.(2)甲的方差较大，说明甲的成绩波动较大，而且甲的成绩众数为1，故如果其他参赛选手的射击成绩都在1环左右，应该选甲参赛更适合；乙的中位数和众数都接近8，故如果其他参赛选手的射击成绩都在8环左右，应该选乙参赛更适合.【点睛】此题主要考查根据统计图获取信息，熟练掌握，即可解题.25、（1）凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶600千克；（2）每千克茶叶的售价至少是200元．【解析】【分析】（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x 千克茶叶，则第二次购进2x 千克茶叶，根据单价=总价÷数量结合第二次购进茶叶每千克比第一次购进的贵10元，即可得出关于x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论；（2）设每千克茶叶售价y 元，根据利润=销售收入-成本，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得【详解】（1）解设凤凰茶叶公司公司第一次购x 千克茶叶，则第二次购进2x 千克茶叶， 根据题意得：68000320002x x-=10，解得：x =200， 经检验，x =200是原方程的根，且符合题意，∴2x +x =2×200+200=600， 答：凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶600千克；（2）设每千克茶叶售价y 元，根据题意得：600y ﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%， 解得：y ≥200，答：每千克茶叶的售价至少是200元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量之间的关系，找出关于y 的一元一次不等式．26、（1）证明见解析；（2）5cm ．【解析】【分析】（1）根据题意可知AC=BC ，∠ACB=90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC ，从而得到结论；（2）根据题意得：AD=4a ，BE=3a ，根据全等可得DC=BE=3a ，由勾股定理可得（4a ）2+（3a ）2=252，再解即可．【详解】（1）根据题意得：AC=BC ，∠ACB=90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）由题意得：AD=4a ，BE=3a ，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，∴（4a）2+（3a）2=252，∵a＞0，解得a=5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．考点1.：全等三角形的应用2.勾股定理的应用．。
2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、太仓市八年级上学期期中数学试卷 解析版
2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、太仓市八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是.符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上.1．下列交通标志图形中，轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列各数：，π，0，，0.2020020002，．其中，无理数的个数为（）A．2B．3C．4D．53．由四舍五入法得到的近似数3.01×104精确到（）A．百位B．百分位C．万位D．万分位4．下列计算正确的是（）A．1+2＝3B．﹣＝C．2×3＝6D．2÷＝5．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE的是（）A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC6．等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（）A．12B．15C．10D．12或157．如图所示，三个居民小区分别座落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（）A．△ABC三边的垂直平分线的交点B．△ABC三个内角平分线的交点C．△ABC三条中线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点8．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48°B．58°C．60°D．69°9．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝22，点M、N在边OB上（M在N的左侧），且PM＝PN，若MN＝4，则OM的长为（）A．7B．8C．9D．1110．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝2CE B．△BCE≌△BDE C．∠BEC＝∠BDC D．BE平分∠CBD 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填写在答题卡相应位置上. 11．的平方根是．12．若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．若与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝．14．计算：＝．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC，若CD＝3，则△ABD的面积为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为．17．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点P，∠ABC+∠ADC＝180°，BD平分∠ABC，AD＝CD，过D作DE⊥BC于E，若AB＝5，BC＝12，则CE＝．18．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC ＝40°，则∠CAP＝．三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.19．（6分）求下列各等式中x的值：（1）3x2﹣＝0；（2）2（x+1）3+16＝0．20．（12分）计算：（1）+﹣（）2；（2）（﹣）×﹣×；（3）（2﹣1）2﹣（+）（﹣）．21．（5分）已知与（x+y﹣3）2互为相反数，求xy的算术平方根．22．（6分）已知a＝3﹣，b＝﹣3﹣，求下列各式的值．（1）a2﹣b2；（2）a2﹣ab+b2．23．（6分）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．24．（6分）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹）（1）在直线AC上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等；（2）在图中找一点O，使得OA＝OB＝OC；（3）在（1）（2）小题的基础上，请在AB上确定一点M，使得两线段MP，MO的长度之和MP+MO的值最小．25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．（1）利用尺规作图：作∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F；（保留作图痕迹，并根据题意在图中标明相应字母，不写作法）（2）在第（1）小题基础上，试判断线段AF与线段BC有何关系，并说明理由．26．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B 作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．（1）求证：△ABE为等腰三角形；（2）已知AC＝14，BD＝5，求AB的长．27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，BC＝6，CD 平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA﹣AD向终点D运动．（1）点P在CA上运动的过程中，当CP＝时，△CPD与△CBD的面积相等；（直接写出答案）（2）点P在折线CA﹣AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；（3）若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度＝．（直接写出答案）28．（10分）如图1所示，在边长为6cm的等边△ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A 出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（s），t＞0．（1）当t＝时，△P AC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以1cm/s 的速度同时出发．那么当t取何值时，△P AQ是直角三角形？请说明理由；（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P，Q均以1cm/s 的速度同时出发，当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．试问线段DE的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出DE的长度．2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、太仓市八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是.符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上.1．下列交通标志图形中，轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．下列各数：，π，0，，0.2020020002，．其中，无理数的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：＝2，，0，0.2020020002，这些都是有理数，无理数有π，，共有2个，故选：A．3．由四舍五入法得到的近似数3.01×104精确到（）A．百位B．百分位C．万位D．万分位【分析】根据近似数的精确度解答．【解答】解：近似数3.01×104＝30100，精确到百位，故选：A．4．下列计算正确的是（）A．1+2＝3B．﹣＝C．2×3＝6D．2÷＝【分析】根据二次根式加减运算和乘除运算法则计算即可．【解答】解：A．1与2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．2×3＝12，此选项错误；D．2＝，此选项正确；故选：D．5．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF ≌△CBE的是（）A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC【分析】求出AF＝CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD＝CB，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选：B．6．等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（）A．12B．15C．10D．12或15【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3＝6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6＝15．故选：B．7．如图所示，三个居民小区分别座落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（）A．△ABC三边的垂直平分线的交点B．△ABC三个内角平分线的交点C．△ABC三条中线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定P点的位置．【解答】解：∵点P到点A，B，C的距离相等，∴点P为AB、BC、AC的垂直平分线的交点．故选：A．8．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48°B．58°C．60°D．69°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决．【解答】解：如右图所示，∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°，∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5，∴∠5＝42°，由折叠的性质可知，∠2＝∠3，∵∠2+∠3+∠5＝180°，∴∠2＝69°，故选：D．9．如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝22，点M、N在边OB上（M在N的左侧），且PM＝PN，若MN＝4，则OM的长为（）A．7B．8C．9D．11【分析】过P点作PC⊥OB，垂足为C，根据含30°角的直角三角形的性质可求解OC 的长，再利用等腰三角形的性质可求解MC的长，进而求解OM的长．【解答】解：过P点作PC⊥OB，垂足为C，∵∠AOB＝60°，∴∠OPC＝90°﹣∠AOB＝30°，∵OP＝22，∴OC＝OP＝11，∵PM＝PN，MN＝4，∴MC＝MN＝2，∴OM＝OC﹣MC＝11﹣2＝9．故选：C．10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，下列结论中一定正确的是（）A．AE＝2CE B．△BCE≌△BDE C．∠BEC＝∠BDC D．BE平分∠CBD 【分析】利用基本作图可判断DE垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到AE ＝BE，AD＝BD，再利用直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质可证明∠BDC＝2∠A，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可证明∠BEC＝2∠A，从而得到∠BEC ＝∠BDC，于是可对C选项进行判断；由于只有当∠A＝30°时，AE＝BE＝2CE，△BCE ≌△BDE，BE平分∠CBD，这样可对A、B、D选项进行判断．【解答】解：由作法得DE垂直平分AB，∴AE＝BE，AD＝BD，∴D点为Rt△ABC的斜边AB上的中线，∴DA＝DC，∴∠A＝∠ACD，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，∵EA＝EB，∴∠A＝∠ABE，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝2∠A，∴∠BEC＝∠BDC，所以C选项的结论正确；只有当∠A＝30°时，AE＝BE＝2CE，△BCE≌△BDE，BE平分∠CBD，所以A、B、D 选项不一定成立．故选：C．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填写在答题卡相应位置上. 11．的平方根是±．【分析】直接根据正数的平方根的意义解答即可．【解答】解：的平方根是±．故答案为：±．12．若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥．【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可．【解答】解：根据题意得，2x﹣3≥0，解得x≥．故答案为：x≥．13．若与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝．【分析】根据同类二次根式以及最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：∵＝2，∴3＝4﹣2a，∴a＝，故答案为：．14．计算：＝﹣1．【分析】判断1和的大小，根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵1＜，∴1﹣＜0，∴＝﹣1，故答案为：﹣1．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC，若CD＝3，则△ABD的面积为15．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×10×3＝15．故答案为：15．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为4cm．【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，再根据三角形内角和定理求出∠B＝∠C ＝30°，连接AN，AM，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝BM，根据轴对称性可得∠BAM＝30°，从而得到∠CAM＝90°，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BM长，同理可得出CN的长，根据MN＝BC﹣CN﹣BM 即可得出结论．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，连接AM，AN，∵ME是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，∴CM＝2AM＝2BM，∴3BM＝BC＝12cm，∵BM＝4cm，同理可得，CN＝4，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．故答案为：4cm．17．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点P，∠ABC+∠ADC＝180°，BD平分∠ABC，AD＝CD，过D作DE⊥BC于E，若AB＝5，BC＝12，则CE＝．【分析】由角平分线的性质得出DE＝DF，证明Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），得出CE＝AF，证明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），得出BE＝BF，则可得出结论．【解答】解：过点D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DF，在Rt△ADF和Rt△CDE中，，∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），∴CE＝AF，在Rt△BDF和Rt△BDE中，，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝BF，∵BC＝BE+CE，BF＝AB+AF，∴BC＝AB+2CE，∵AB＝5，BC＝12，∴CE＝．故答案为：．18．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC ＝40°，则∠CAP＝50°．【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠F AP，即可得出答案．【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PF A和Rt△PMA中，∵，∴Rt△PF A≌Rt△PMA（HL），∴∠F AP＝∠P AC＝50°．故答案为：50°．三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.19．（6分）求下列各等式中x的值：（1）3x2﹣＝0；（2）2（x+1）3+16＝0．【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程整理后，利用立方根定义开方即可求出解．【解答】解：（1）方程整理得：x2＝，开方得：x＝±；（2）方程整理得：（x+1）3＝﹣8，开立方得：x+1＝﹣2，解得：x＝﹣3．20．（12分）计算：（1）+﹣（）2；（2）（﹣）×﹣×；（3）（2﹣1）2﹣（+）（﹣）．【分析】（1）利用算术平方根的定义和立方根的定义计算；（2）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝3﹣4﹣2＝﹣3；（2）原式＝﹣﹣＝4﹣﹣2＝；（3）原式＝12﹣4+1﹣（3﹣2）＝13﹣4﹣1＝12﹣4．21．（5分）已知与（x+y﹣3）2互为相反数，求xy的算术平方根．【分析】根据一对相反数的和为0得出+（x+y﹣3）2＝0，再根据非负数的性质求出x、y的值，即可求得结果．【解答】解：∵与（x+y﹣3）2互为相反数，∴+（x+y﹣3）2＝0，∴，解得∴xy＝，∴xy的算术平方根为．22．（6分）已知a＝3﹣，b＝﹣3﹣，求下列各式的值．（1）a2﹣b2；（2）a2﹣ab+b2．【分析】（1）将a、b的值代入a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算即可；（2）将a、b的值代入原式，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可．【解答】解：（1）当a＝3﹣，b＝﹣3﹣时，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（3﹣﹣3﹣）（3﹣+3+）＝﹣2×6＝﹣12；（2）原式＝（3﹣）2﹣（3﹣）（﹣3﹣）+（﹣3﹣）2＝9﹣6+2﹣（2﹣9）+9+6+2＝29．23．（6分）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．【分析】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．【解答】证明：如图，连接AD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．24．（6分）如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图．（保留必要的画图痕迹）（1）在直线AC上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等；（2）在图中找一点O，使得OA＝OB＝OC；（3）在（1）（2）小题的基础上，请在AB上确定一点M，使得两线段MP，MO的长度之和MP+MO的值最小．【分析】（1）取格点O，J，作直线OJ交AVC于点P，点P即为所求．（2）△ABC三边垂直平分线的交点O，即为所求．（3）作点P关于直线AB的对称点P′，连接OP′交AB于点M，点M即为所求．【解答】解：（1）如图，点P，即为所求．（2）如图，点O即为所求．（3）如图，点M即为所求．25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，E是AC的中点．（1）利用尺规作图：作∠DAC的平分线AM，连接BE并延长交AM于点F；（保留作图痕迹，并根据题意在图中标明相应字母，不写作法）（2）在第（1）小题基础上，试判断线段AF与线段BC有何关系，并说明理由．【分析】（1）先利用基本作图作AM平分∠DAC，然后延长BE交AM于F点；（2）利用等腰三角形的性质和三角形外角性质证明∠CAF＝∠C，从而得到AF∥BC，然后证明△AEF≌△CEB得到AF＝BC．【解答】解：（1）如图，AF为所作；（2）AF∥BC，AF＝BC．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵∠DAC＝∠ABC+∠C，即∠DAF+∠CAF＝∠ABC+∠C，∴∠CAF＝∠C，∴AF∥BC，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，在△AEF和△CEB中，∴△AEF≌△CEB（ASA），∴AF＝BC．26．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B 作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．（1）求证：△ABE为等腰三角形；（2）已知AC＝14，BD＝5，求AB的长．【分析】（1）由垂直的定义得到∠AFE＝∠AFB＝90°，由角平分线的定义得到∠EAF＝∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF＝∠ABF，得到AE＝AB，于是得到结论；（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD＝ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF＝∠DBF，等量代换得到∠AED＝∠ABD，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵BE⊥AD，∴∠AFE＝∠AFB＝90°，又∵AD平分∠BAC，∴∠EAF＝∠BAF，又∵在△AEF和△ABF中∠AFE+∠EAF+∠AEF＝180°，∠AFB+∠BAF+∠ABF＝180°∴∠AEF＝∠ABF，∴AE＝AB，∴△ABE为等腰三角形；（2）解：连接DE，∵AE＝AB，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BE，∴BD＝ED，∴∠DEF＝∠DBF，∵∠AEF＝∠ABF，∴∠AED＝∠ABD，又∵∠ABC＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，又∵△CED中，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠C＝∠EDC，∴EC＝ED，∴CE＝BD．∴AB＝AE＝AC﹣CE＝AC﹣BD＝14﹣5＝9．27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，BC＝6，CD 平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA﹣AD向终点D运动．（1）点P在CA上运动的过程中，当CP＝6时，△CPD与△CBD的面积相等；（直接写出答案）（2）点P在折线CA﹣AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；（3）若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP+ME的值最小，则此时CP的长度＝3．（直接写出答案）【分析】（1）当CP＝6时，证△PCD≌△BCD（SAS），即可得出结论；（2）由（1）得：∠PCD＝45°，分两种情况：①点P在AC上，若PC＝PD，则∠PDC ＝∠PCD＝45°，则∠CPD＝90°；若DP＝DC时，∠CPD＝∠PCD＝45°，若CP＝CD，则∠CPD＝∠CDP＝67.5°；②点P在AD上时，存在DP＝DC，则∠CPD＝∠PCD，求出∠CDP＝105°，由三角形内角和定理得∠CPD＝37.5°即可；（3）当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P'，则MP'∥AC，证△PCM≌△P'CM（AAS），得MP＝MP'，CP＝CP'，当点E、M、P'三点共线时，MP+ME 的值最小，则EP'∥AC，由平行线的性质得∠BEP'＝∠A＝30°，由直角三角形的性质得BE＝AB＝6，BP'＝BE＝3，求出CP＝CP'＝BC﹣BP'＝3即可．【解答】解：（1）当CP＝6时，△CPD与△CBD的面积相等，理由如下：∵BC＝6，∴CP＝BC，∵CD平分∠ACB，∴∠PCD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，在△PCD和△BCD中，，∴△PCD≌△BCD（SAS），∴△CPD与△CBD的面积相等，故答案为：6；（2）由（1）得：∠PCD＝45°，分两种情况：①点P在AC上，如图1所示：若PC＝PD，则∠PDC＝∠PCD＝45°，∴∠CPD＝180°﹣45°﹣45°＝90°；若DP＝DC时，则∠CPD＝∠PCD＝45°，若CP＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝（180°﹣45°）＝67.5°；②点P在AD上时，如图2所示：存在DP＝DC，∴∠CPD＝∠PCD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠CDP＝∠BCD+∠B＝45°+60°＝105°，∴∠CPD＝（180°﹣105°）＝37.5°；综上所述，∠CPD的度数为45°或90°或67.5°或37.5°；（3）当M在CD上，且MP⊥AC时，MP最小，作MP'⊥BC于P'，如图3所示：则MP'∥AC，∵CD平分∠ACB，∴∠PCM＝∠P'CM，又∵∠MPC＝∠MP'C＝90°，CM＝CM，∴△PCM≌△P'CM（AAS），∴MP＝MP'，CP＝CP'，当点E、M、P'三点共线时，MP+ME的值最小，则EP'∥AC，∴∠BEP'＝∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，∴AB＝2BC＝12，∵点E是斜边AB的中点，∴BE＝AB＝6，∴BP'＝BE＝3，∴CP＝CP'＝BC﹣BP'＝3，故答案为：3．28．（10分）如图1所示，在边长为6cm的等边△ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（s），t＞0．（1）当t＝3s时，△P AC是直角三角形；（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以1cm/s 的速度同时出发．那么当t取何值时，△P AQ是直角三角形？请说明理由；（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P，Q均以1cm/s 的速度同时出发，当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．试问线段DE的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出DE的长度．【分析】（1）先由等边三角形的性质得AB＝BC＝AC＝6，∠A＝60°，再由题意得∠APC ＝90°，则∠ACP＝30°，然后由直角三角形的性质得AP＝AC＝3，即可得出答案；（2）分两种情况：①当∠APQ＝90°时，则∠AQP＝30°，由直角三角形的性质得AQ ＝2AP，由题意得出方程，解方程即可；②当∠AQP＝90°时，则∠APQ＝30°，由直角三角形的性质得AP＝2AQ，由题意得出方程，解方程即可；（3）过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，先证△APE≌△CQF（AAS），得AE＝CF，PE＝QF，再证△PDE≌△QDF（AAS），得DE＝DF＝EF，进而得出答案．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，若△P AC是直角三角形，则∠APC＝90°，∴∠ACP＝30°，∴AP＝AC＝3，∴t＝3÷1＝3（s），故答案为：3s；（2）分两种情况：①当∠APQ＝90°时，如图2﹣1所示：则∠AQP＝90°﹣∠A＝30°，∴AQ＝2AP，由题意可得：AP＝BQ＝t，则AQ＝6﹣t，∴6﹣t＝2t，解得：t＝2；②当∠AQP＝90°时，如图2﹣2所示：则∠APQ＝90°﹣∠A＝30°，∴AP＝2AQ，∴t＝2（6﹣t），解得：t＝4；综上，当t为2s或4s时，△P AQ是直角三角形；（3）线段DE的长度不变化，理由如下：过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，如图3所示：∵PE⊥AC，QF⊥AC，∴∠AEP＝∠DEP＝∠CFQ＝90°，∵∠QCF＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠QCF，又∵AP＝CQ，∴△APE≌△CQF（AAS），∴AE＝CF，PE＝QF，又∵∠PDE＝∠QDF，∴△PDE≌△QDF（AAS），∴DE＝DF＝EF，∵EF＝CE+CF，AC＝CE+AE，∴EF＝AC＝6，∴DE＝EF＝3，即线段DE的长度不变，为定值3．。
江苏省常州市外国语学校2020-2021学年八年级上学期数学期中考试试卷及参考答案
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若CD=2，则△ABD的面积为_______ _．
17. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，AD=1，AB=3，将△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落 在CD边上点 处，则BC的长________
江苏省常州市外国语学校2020-2021学年八年级上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 下列各数中,无理数是（ ） 3. 下列各式中,正确的是（ ） 4. 已知等腰三角形的周长为10，一边长为4，则此等腰三角形的腰长为( ) 5. 下列条件中,不能判定△ABC为直角三角形的是( ) 6. 如图，△ABC中，AB＝AC ， AD⊥BC ， 垂足为D ， DE∥AB ， 交AC于点E ， ED＝3，则AE的长为（ ）
（1） 试判断EF和AC的位置关系，并说明理由 （2） 若BD=26，EF=5，求AC的长 22. 阅读下面的文字，解答问题. 由于1< <2，所以 的整数部分为1，小数数部分
-1，根据以上的内容，解答下面的问题：
（1） 的整数部分是________，小数部分是________；
（2） 1+ 的整数部分是________，小数部分是________；
三、解答题 18. 解方程 （1） 4x²-3=22 （2） =0 19. 计算 （1） （2） . 20. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A.B. C在小正方形的顶点上.
江苏省常州市溧阳市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
江苏省常州市溧阳市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．B．C．D．A ．B ．C ．D ． 8．如图，D 为等腰Rt ABC △的斜边AB 的中点，E 为BC 边上一动点，连接ED 并延长交CA 的延长线于点F ，过D 作DH EF ⊥交AC 于G ，交BC 的延长线于H ，则以下结论：①DE DG =；②DGC DAF ∠=∠；③DF DH =；④DHC BDE ∠=∠．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④二、填空题15．如图，已知△ABC 是等边三角形， ∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，则∠BAD ＝16．已知一个等腰三角的两个角度数分别是22()x -︒，35()x -︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为．17．如图，四边形ABCD 中，AB DC ∥，230AC AB BAC DAC =∠=∠=︒，，则AB 与AD 的数量关系是．三、解答题(1)求证：ADC CEB △≌△；(2)求证：CD BE ∥．21．如图，90ACB ADB ∠=∠=︒，M N ，分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MCN MDN ∠=∠；(2)若50AB =，48CD =，求MN 的长．22．（1）如图1，将两块全等的含30︒的直角三角板拼接成一个ABD △，则ABD △是_____三角形，写出AB 与BC 的数量关系；（2）如图2，将三块全等的含30︒的直角三角板拼接成如图所示的四边形，连接BE ，若2AB =，求BE 的长．23．2023年9月5日，台风“海葵”在福建东山登陆，台风中心由东向西沿MN 路线直插内地（如图所示）．市坐落在这条笔直路线MN 的一侧点A 处，到登陆路线MN 的距离AB为600公里，假使台风中心P 周围1000公里以内均能被台风影响；台风中心P 以200公里/小时的速度在登陆路线MN 上沿PN 方向行进时，请问该市是否会受台风影响?若能，请求出该市总共影响多长时间若不能，请说明理由．24．如图，在正方形的网格中，点A 、B 、C 均在格点上．(1)若小正方形的边长为1，则BC =______，AC = ______．(2)仅用无刻度的直尺完成以下作图，画图过程用虚线表示．①在图1中，在AC 上找一点E ，使得BE 是ABC ∠的角平分线；②在图2中，点．P 为线段．．．BC 与网格线的交点．．．．．．．，分别在线段AC AB 、上画M 、N ，连接PM MN 、，使得PM MN +最小．25．如图，长方形ABCD 中，点P 在DC 边上，分别以AP BP 、为折线将D 、C 向AB 的方向折过去，使点D 落在点E 处，点C 落在点F 处；若P 、E 、F 在一直线上．(1)APB ∠= _______°；(2)若21AD DP ==，，求AB 的长；(3)若AD a AB b ==，()2a >，求EF 的长（用含a 、b 的代数式表示）．。
江苏省常州市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题
江苏省常州市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形是几家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列条件中，不能判断ABC为直角三角形的是（）A．2221,2,3a b c===B．::3:4:5a b c=C．A C B∠+∠=∠D．::3:4:5A B C∠∠∠=3．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是()A．10°B．15°C．20°D．25°4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（）A．5B．6C．12D．135．如图是一个平分角的仪器，其中,AB AD BC DC==．将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边固定，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．此仪器的原理是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS 6．如图，P 为ABC 内一点，过点P 的线段MN 分别交AB 、BC 于点M 、N ，且M 、N 分别在PA 、PC 的中垂线上．若80ABC ∠=︒，则APC ∠的度数为（）A ．120︒B ．125︒C ．130︒D ．135︒7．如图，ABC 的面积为212cm ，AP 垂直于ABC ∠的平分线BP 于P ，则PBC 的面积（）A ．29cmB ．28cmC ．26cmD ．25cm 8．如图，ABC 中，4,5,6AB BC AC ===，D 、E 分别是线段AB 和线段BC 上的动点，且BD DE =，F 是线段AC 上一点，且EF FC =，则DF 的最小值为（）A ．3B ．2.5C ．2D ．4二、填空题9．在ABC 中，90,15,12C AB BC ∠=︒==，则AC =______．10．在ABC 中，1068AB AC BC ===，，，D 是AB 边的中点，则CD =______．11．ABC 中，AB BC =，且80A ∠=︒，则B ∠大小为______︒．12．等腰三角形腰长为5cm ，周长为16cm ，则该等腰三角形的底边长为______cm ．13．如图，点P 是AOB ∠内一点，PE OA ⊥，PF OB ⊥，垂足分别为E 、F ，若PE PF =，且70OPF ∠=︒，则AOB ∠的度数为_________°．14．如图，AD 是ABC 的高，70AD BD BE AC BAC ==∠=︒，，，则DBE ∠大小为_____︒．15．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC BC 、为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD △的面积为_____．16．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转到ADE V 的位置，B 、D 、C 在一条直线上．若70B ∠=︒，则BAD ∠的大小为_____︒．17．如图，在ABC 中，4,60,AB BC ACB BD ==∠=︒是ABC ∠的平分线，若M 、N 分+取最小值时，BN的值是____．别是BD和BC上的动点，当CM MN18．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，∠-∠=__________．B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则ADB ABD三、解答题∆关于MN对称的图形△(1)作出与ABC(2)若小正方形的边长为1，则20．如图，AC=DC，BC=EC21．如图，∠ADB＝∠ADC（1）求证：AB＝AC；（2）连接BC，求证：AD22．如图，ABC 中，,120AB AC BAC =∠=︒．点D ，E 在BC 边上，且,AD AC AE AB ⊥⊥．(1)求C ∠的度数；(2)求证：ADE V 是等边三角形．23．如图，在四边形ABCD 中，201572490AB BC CD AD B ====Ð=°，，，，．(1)求证：CD AD⊥(2)求四边形ABCD 的面积．24．如图，ABC 中，,AB AC =AD 、CE 是高，连接DE ．(1)求证：DE BD =；(2)若50BAC ∠=︒，求BED ∠的度数．25．如图，A 、B 两点分别在射线,OM ON 上，点C 在MON ∠的内部，且AC BC =，,CD OM CE ON ⊥⊥，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON ∠；(2)若3,4AD BO ==，求AO 的长．26．如图，在ABC 中，90106∠=︒==，，ACB AB BC ，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A B C --运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动时间为t 秒（0t >）．(1)求斜边AB 上的高．(2)①当点P 在BC 上时，PC 的长为_______．（用含t 的代数式表示）②若点P 在BAC ∠的角平分线上，则t 的值为_______．(3)在整个运动过程中，直接写出PBC 是等腰三角形时t 的值．。
2023-2024学年江苏省常州市常州外国语学校八年级下学期期中数学试题
2023-2024学年江苏省常州市常州外国语学校八年级下学期期中数学试题1.下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．蝴蝶曲线B．阿基米德螺旋线C．卡西尼卵形线D．太极曲线2.成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（）A．百步穿杨B．缘木求鱼C．旭日东升D．拔苗助长3.下列运算正确的是（）A．B．C．D．4.反比例函数的图象在其每个象限内都随的增大而减小，则的值可以为（）A．B．C．D．5.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE6.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若，则的大小（）A．B．C．D．7.《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批橡的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）设这批椽有株，则符合题意的方程是（）A．B．C．D．8.如图，已知线段，、是上两点，且，是线段上一动点，分别以、为对角线作正方形和正方形，为线段的中点，点由点移动到点时，点移动的路径长度为（）A．B．C．D．9.北京时间2023年12月27日14时50分，快舟一号甲运载火箭成功将天目一号气象星座19~22星发射升空！调查“天目一号”各零部件的质量，适合采用______．（填“普查”或“抽样调查”）10.不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有________个．11.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________．12.已知，直线与双曲线相交于点，则的值等于_________．13.已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息：x的取值20.5c分式的值无意义03则c的值是_____________．14.数学家笛卡尔在《几何》一书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是_________．15.如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点作轴的垂线交轴于点，点在轴上，若的面积为2，则的值是__________．16.我们规定：在平面直角坐标系中，设点到原点的距离为（希腊字母读作“柔”），从轴的正半轴出发绕点逆时针旋转度角，用表示点的雷达坐标，则点的雷达坐标为________．17.如图，正方形中，点E，F分别在边，上，于点G，若，，则的长为_____．18.如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是_________．19.计算化简：(1)(2)(3)先化简，再求值：，其中．20.解分式方程：(1)(2)21.青少年体重指数是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中表示体重，表示身高．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，八年级某数学综合实践小组开展了一次调查．等级偏瘦（A）标准（B）超重（C）肥胖（D）男女【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据；【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图．【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：(1)若一位男生的身高为，体重为，则他的体重指数属于________等级；（填“”，“”，“”，“”）(2)将条形统计图补充完整；(3)直接写出扇形统计图中表示体重指数“”等级的扇形的圆心角的度数________．(4)若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”学生的人数约为________．22.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，作以点为对称中心的平行四边形．(2)在图②中，在边上找一点，在边上找一点，连接，，使四边形为矩形．(3)在图③中，在四边形的边上找一点，连接，使．23.如图，菱形的对角线和交于点O，分别延长至点B、点D，且，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求．24.【阅读理解】对于任意正实数、．∵，∴，∴，（只有当时，）．【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：(1)若，只有当________时，有最小值_______；(2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．25.如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线上经过、两点．(1)________，_________；(2)求点的坐标；(3)点在双曲线，点在轴上（如图2），若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标_____________________；(4)以线段为对角线作正方形（如图3），点是边上一动点，是的中点，，交于，当在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．。
江苏省常州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
江苏省常州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．全等图形是指两个图形（）A ．面积相等B ．形状一样C ．能完全重合D ．周长相同3．下列各组线段中，能组成直角三角形的是（）A ．3a =，4b =，6c =B ．7a =，24b =，25c =C ．6a =，8b =，9c =D ．5a =，6b =，7c =4．如图，已知12∠=∠，若用“SAS ”证明BDA ACB ≌，还需加上条件（）A ．AD BC =B ．DC ∠=∠C ．BD AC =D ．OA OB=5．如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，21∠-∠=（）A ．60︒B ．75︒C ．90︒D ．105︒6．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，则CD 的长为（）A．3B．4C．5D．67．已知直角三角形的面积为15，两直角边的和为11，则它的斜边长的平方为（）A．61B．62C．63D．648．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C．D．△10．如图，已知ABC≌则CF的长为的高，11．如图，CD是ABC12．等腰三角形的一边长12cm，另一边长13．如图，点E在正方形ABCD的边面积为．14．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为全等，则x+y=．15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠中，AB=17．在ABC三、计算题19．如图，ABC 中，10,6,8AB BC AC ===，求ABC 的面积．四、解答题20．小明在做数学作业时，遇到这样一个问题:如图，AB CD =，AC BD =，请说明BAC CDB =∠∠的道理．小明动手测量一下，发现确实相等，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由．21．如图，在△ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，E 为AC 上一点，且AE AD =，50BAD ∠=︒，求∠CDE 的度数．22．已知：如图，点C 、D 、B 、F 在一条直线上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AB ＝CD ，CE ＝AF ．求证：（1）△ABF≌△CDE；（2）CE⊥AF．五、证明题24．证明“直角三角形中，30A∠=︒．求证：12CB AB=．六、作图题25．如图，已知P是直线l外一点，用两种不同的方法求作一点Q，使得点Q到点P 的距离和点Q到直线l的距离相等．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．）七、解答题26．定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．(1)在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =．①如图1，若O 为AB 的中点，则射线OC _____ABC 的等腰分割线（填“是”或“不是”）②如图2，已知ABC 的一条等腰分割线BP 交AC 边于点P ，且PB PA =，请求出CP 的长度．(2)如图3，ABC 中，CD 为AB 边上的高，F 为AC 的中点，过点F 的直线l 交AD 于点E ，作CM l ⊥，DN l ⊥，垂足为M ，N ，3BD =，5AC =，且45A ∠<︒．若射线CD 为ABC 的“等腰分割线”，求CM DN +的最大值．。
2020-2021常州外国语学校八年级数学上期末试题(及答案)
2020-2021常州外国语学校八年级数学上期末试题(及答案)一、选择题1．下列因式分解正确的是( )A ．()2211x x +=+B ．()22211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()2212x x x x -+=-+ 2．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A ．120100x x 10=-B ．120100x x 10=+C ．120100x 10x =-D ．120100x 10x=+ 3．在平面直角坐标系内，点 O 为坐标原点， (4,0)A -， (0,3)B ，若在该坐标平面内有以 点 P （不与点 A B O 、、重合）为一个顶点的直角三角形与 Rt ABO ∆全等，且这个以点 P 为顶点的直角三角形 Rt ABO ∆有一条公共边，则所有符合的三角形个数为（ ）。
A ．9B ．7C ．5D ．34．2019年7月30日阳朔至鹿寨高速公路建成通车，已知从阳朔至鹿寨国道的路程为150km ，现在高速路程缩短了20km ，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间比走国道少用1.5小时，设走国道的平均车速为/xkm h ，则根据题意可列方程为（ ）A ．15020150 1.52.5x x --=B ．15015020 1.52.5x x--= C ．15015020 1.52.5x x --= D ．15020150 1.52.5x x--= 5．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()2x y)x 2y -+（ B ．() 2x y)2x y -+--（ C ．() x 2y)x 2y ---（ D ．()2x y)2x y +-+（ 6．如图，ABC ∆是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为( )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°7．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线； Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（ ）A ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC ．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ8．如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，交BC 于点D ，连接AD ，若ADC ∆的周长为10，7AB =，则ABC ∆的周长为（ ）A ．7B ．14C ．17D ．20 9．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，P 是边 AB 上的一个动点(不与顶点 A 重合)，则∠BPC 的度数可能是A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°10．下列条件中，不能作出唯一三角形的是( )A ．已知三角形两边的长度和夹角的度数B ．已知三角形两个角的度数以及两角夹边的长度C ．已知三角形两边的长度和其中一边的对角的度数D ．已知三角形的三边的长度11．到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（ ）A ．三条角平分线的交点B ．三条高的交点C ．三边的垂直平分线的交点D ．三条中线的交点 12．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，∠C =20°，DE 是边AC 的垂直平分线，连结AE ，则∠BAE 等于（ ）A．20°B．40°C．50°D．70°二、填空题13．若关于x的分式方程x2322m mx x++=--的解为正实数，则实数m的取值范围是____．14．若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值是____________.15．已知x m=6，x n=3，则x2m﹣n的值为_____．16．如图，在△ABC中，AB=AC=24厘米，BC=16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_______厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．17．若a+b=5，ab=3，则a2+b2=_____．18．A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同．A型机器每小时加工零件的个数_____．19．已知a+b＝5，ab＝3，b aa b+＝_____．20．因式分解34x x-=．三、解答题21．为支援灾区，某校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品共1000件．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品的件数与用120元购买A型学习用品的件数相同．（1）求A、B两种学习用品的单价各是多少元？（2）若购买这批学习用品的费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？22．计算：(1)4(x﹣1)2﹣(2x+5)(2x﹣5)；(2)2214a a bb a b b⎛⎫-÷⎪-⎝⎭n．23．为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg，甲型机器人分类800kg垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg 垃圾所用的时间相等。