高等数学第三章综合测试题
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第三章 综合测试题A卷 一、填空题（每小题4分,共20分） 1、函数ln(1)yx在[0,1]上满足拉格朗日定理的= . 2、函数321()393fxxxx在闭区间[0,4]上的最大值点为x= . 3、函数4yxx的单调减少区间是 .
4、若函数()fx在xa二阶可导,则0()()()limhfahfafahh= . 5、曲线32xyx的铅直渐近线为 . 二、选择题（每小题4分,共20分） 1、下列函数在[1,1]上满足罗尔定理条件的是 [ ]
（A） xye （B） lnyx （C） 21yx （D） 211yx 2、曲线3(1)yx的拐点是 [ ] （A）(1,8) （B）(1,0) （C） (0,1) （D） (2,1) 3、已知函数()(1)(2)(3)(4)fxxxxx,则()0fx的实根个数为 [ ] （A） 一个 (B ) 两个 (C) 三个 (D) 四个 4、设函数()fx在(,)ab内可导,则在(,)ab内()0fx是函数()fx在(,)ab内单调增的 [ ] (A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充要条件 (D ) 无关条件 5、如果00()0,()0fxfx,则 [ ] （A）0()fx是函数()fx的极大值 (B) 0()fx是函数()fx的极小值 2
(C) 0()fx不是函数()fx的极值 (D) 不能判定0()fx是否为函数()fx的极值 三、解答题 1、（7分）计算011lim()1xxxe. 2、（7分）计算0limlnxxx.
3、（7分）计算10sinlim()xxxx. 4、（7分）计算10lim()3xxxxxabc. 5、（10分）设函数(),()fxgx在[,]ab上连续,在(,)ab内可导,且()()0fafb,证明:存在(,)ab,使得()()()0ffg.
6、（10分）证明：当0x时,2ln(1)2xxxx. 7（12分）设函数()fx在0x的邻域内具有三阶导数,且 13
0()lim(1)xxfxxex
.
(1) 求 (0),(0),(0)fff. (2) 求 10()lim(1)xxfxx. 3
第三章 综合测试题A卷答案 一、填空题 1、11ln2 2、4 3、(2,0)(0,2) 4、1()2fa 5、2x 二、选择题 1、C 2、B 3、C 4、B 5、B 三、解答题 1、12 2、0 3、1 4、3abc 5、设 ()()()gxFxfxe,由罗尔定理即得. 6、由单调性证明即可.
7、解 （1）因为 130()lim(1)xxfxxex,所以 0()ln(1)lim3xfxxxx 由于分母极限为0,所以 0()limln(1)0xfxxx,即 0()lim()0xfxxx
0()lim0xfxx,又因为 ()fx在0x连续,则 0lim()(0)0xfxf
0()(0)(0)lim00xfxffx
,由 0()ln(1)lim3xfxxxx 得
2000()()ln(1)()limlimlim(1)3xxxfxfxxxfxxxxxx
,所以
20()lim2xfxx,即 0()lim22xfxx,由此得 0()(0)(0)lim40xfxffx
（2）2000()()ln(1)()1limlimlim20()lim(1)xxxfxfxfxxxxxxxxfxeeeex
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第三章 综合测试题B卷 一、填空题（25分） 1、2(),()fxxFxx在[1,2]上满足柯西中值定理的 . 2、曲线5335yxx有 个拐点. 3、曲线4sin52cosxxyxx的水平渐近线方程为 . 4、(02,数三)设常数1,2a则21limln(12)nnnnana . 5、曲线3yx在点(1,1)处的曲率为 . 二、选择题（25分） 1、设()fx在0xx的附近二阶可导,00()0,()0,fxfx则()fx在0xx处有 [ ] (A) 极大值 (B)极小值 (C) 拐点 (D) 既非极值点有非拐点
2、（02,数三）设函数()fx在闭区间[,]ab上有定义,在开区间(,)ab内可导,则 [ ]
(A) 当()()0fafb时,存在(,),ab使()0.f (B) 对任何(,),ab有lim[()()]0.xfxf (C) 当()()fafb时,存在(,),ab使()0.f (D) 存在(,),ab使()()()().fafbfba 3、已知()fx在0x的某邻域内有定义,且(0)0,f0()lim2,1cosxfxx则在0x处()fx [ ] 5
(A) 不可导 (B) 可导,且(0)0f (C) 取极大值 (D) 取极小值 4、设0,k函数()lnxfxxke在(0,)内的零点个数为 [ ] (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 5、（2003,数二）设函数()fx在(,)内连续,其导数的图形如图所示,则()fx有 [ ] (A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点 (C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点 三、（7分）求11lim()1lnxxxx.
四、（8分）已知301()sin21lim2,1xxfxxe求0lim().xfx 五、（9分）设()fx在0x处二阶可导,且30sin()lim0,xxxfxx求(0),(0),(0).fff 六、（9分）证明：当0x时1(1)ln1.xxxxx 七、（7分）已知点(1,3)是曲线32yxaxbxc的拐点,并且曲线在2x处有极值,求,,.abc 八、（10分）设函数()fx在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,(0)(1)(2)3,fff (3)1.f试证必存在(0,3),使得()0.f（03,数三）
xo()fx 6
第三章综合测试题B卷答案 一、填空题 1、32 2、3 3、15y 4、112a 5、3510 二、选择题 1、B 2、B 3、B 4、B 5、C
三、解:11111ln11ln1lnlim()limlimlim111ln(1)lnln1lnxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
12111lim.112xxxxx 四、解: 因为301()sin21lim2,1xxfxxe又30lim10,xxe 故0lim1()sin210.xfxx0lim()sin20.xfxx
从而330001()sin21()sin2()limlimlim2,311xxxxxfxxfxxxfxxee故0lim()6.xfx 五、解: 由于()fx二阶可导,故 33212
3300(0)()(0)(0)()sin()3!2!limlimxxxfxoxxffxoxxxfxxx
233
30(0)11(0)(0)()2!3!lim0xffxfxxoxx
7
要使上述极限存在,只有23,,xxx的系数均为零. 所以 1(0)1,(0)0,(0).3fff
六、证明: 原不等式等价于111ln0.1(1)xxxxx所以设
111()ln1(1)xfxxxxx 2221131312()(1)(1)2(1)2(1)xxxfxxxxxxxxxx ()fx分母大于零,设分子为2122()3123()333xxxx.
所以()0,(0)fxx,()fx单调增.又lim()0,xfx故()0fx结论成立. 七、证明:232,62;yxaxbyxa又(1,3)是曲线的拐点,故(1)0y从而 3.a 又曲线在2x取得极值 ,所以(2)0,yb323yxxc(1,3)在曲线
上,所以(1)130,5.ycc 八、证明:因为()fx在[0,3]上连续,所以()fx在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是
(0),(1),(2)mfMmfMmfM
故 (0)(1)(2)3fffmM 由介值定理知,至少存在一点[0,2],c使得 (0)(1)(2)()1(3)3ffffcf 在[,3]c上()fx满足罗尔定理条件,故必存在(,3)(0,3),c使得()0.f
人教B版必修一第三章基本初等函数(Ⅰ)综合测试题
人教B 版必修一第三章基本初等函数（Ⅰ）综合测试题一、单选题1．已知()()3545log log log log 0a b ==，则ab的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．5D ．152．函数()()lg 31f x x =+的定义域是（ ） A ．13⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，B ．13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，C ．113⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．()1+∞， 3．在函数①1y x=，②33y x =， ③21y x =+， ④1y =， ⑤3y x =，⑥12y x -=中，是幂函数的是（ ） A ．①②④⑤ B ．①⑤⑥ C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥4．已知()32xf x =+，则()3log 2f -= （ ） A ．0B ．32C ．52D ．45．函数()22()1x f x a -=+恒过定点（ ） A ．（-1,2）B ．（1,-2）C ．（1,2）D ．（-1,-2）6．若20.52log [log (log )]0x =，则x 的值是（ ）AB ．2C ．12D ．17．设1ln 3a =，0.32b =，213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<8．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递减区间是（ ） A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞10．已知函数321()(1)m f x m m x -=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断11．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当2(]0,x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =--，如果对于任意1[2,2]x ∈-，存在2[2,2]x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．[5,2]--C ．[2，3]D ．[]5,3--12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：35]4[--．＝，[]2.12＝，已知函数21()12xx e f x e =++，()[()]g x f x =，则下列叙述正确的是（ ）A ．()g x 是偶函数B ．()f x 在R 上是增函数 1⎛⎫二、填空题13．若f (x )＝1132,(,1],32,(1,),x x x x --⎧-∈-∞⎨-∈+∞⎩则f (x )的值域为________．14．函数()()x 8log 23a f x =+-()01a a >≠，的图象恒过定点_________. 15．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()12120f x f x x x ->-，()12x x ≠，若对x ∀∈R ，都有()23x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2log 3f =______．16．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)；③若1log 12a >，则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭，； ④若22ln ln()xy x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<.三、解答题17．已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x的增大而减小. （1）求m 值. （2）若满足()()22132m ma a +<-，求a 的取值范围.18．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0． （1）求a ，b 的值； （2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22xy g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．19．已知函数f （x ）＝log a （x 2﹣x +1）（a ＞0且a ≠1）（1）当a 变化时，函数y ＝f （x ）的图象恒过定点，试求定点坐标； （2）若f （2）＝12，求a 的值； （3）若f （x ）在区间[0，2]上的最大值为2，求a 的值．20．设f （x ）＝log a （1+x ）+log a （3﹣x ）（a ＞0，a ≠1）且f （1）＝2． （1）求a 的值及f （x ）的定义域； （2）求f （x ）的单调增区间.21．已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+． （1）当5a =-时，解关于x 的不等式f （x ）＞0； （2）设a ＞0，若对任意t ∈[12，1]，函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数a 的取值范围．22．已知函数3()3x x af x b+=+，且f (x )是定义域为R 的奇函数.（1）求a 和b 的值，并判断f (x )的单调性（只用写结论）；（2）若对任意实数m ，不等式f (m -1)+f (m 2+t )≥0恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案1．A 【分析】根据1的对数为0,底数的对数为1可得,a b 的值,再求ab可得答案. 【详解】由()35log log 0a =得5log 1a =，得5a =， 由()45log log 0b =得5log 1b =，得5b =， 故1ab=. 故选:A. 【点睛】本题考查了对数的性质, 1的对数为0,底数的对数为1是两个常用性质,一定要牢记,属于基础题 2．D 【分析】根据分母不为零，被开方数不小于零，对数的真数大于零列不等式组，解出即可. 【详解】解：由已知得10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得：1x >，故选：D. 【点睛】本题考查求具体函数的定义域，一般根据以下几个方面列不等式：分母不为零，被开方数不小于零，对数的真数大于零. 3．B 【分析】由题意利用幂函数的定义：幂函数是形如,)(y x R 为常数 的函数，逐一判断得出结论． 【详解】解：根据幂函数的定义：幂函数是形如,)(y x R 为常数 的函数。
精选-高一上册数学第三章测试题及答案：函数的应用-文档资料
高一上册数学第三章测试题及答案：函数的应用函数是发生在非空数集之间的一种对应关系。
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1.设U=R，A={x|x0}，B={x|x1}，则A?UB=( )A{x|01} B.{x|0C.{x|x0}D.{x|x1}【解析】 ?UB={x|x1}，A?UB={x|0【答案】 B2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=( )A.log2xB.12xC.log12xD.2x-2【解析】 f(x)=logax，∵f(2)=1，loga2=1，a=2.f(x)=log2x，故选A.【答案】 A3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是( )A.f(x)=ln xB.f(x)=1xC.f(x)=|x|D.f(x)=ex【解析】∵y=1x的定义域为(0，+).故选A.【答案】 A4.已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)=12x;当x4时，f(x)=f(x+1).则f(3)=( )A.18B.8C.116D.16【解析】 f(3)=f(4)=(12)4=116.【答案】 C5.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上( )A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点【解析】∵y=-x2+8x-16=-(x-4)2，函数在[3,5]上只有一个零点4.【答案】 B6.函数y=log12(x2+6x+13)的值域是( )A.RB.[8，+)C.(-，-2]D.[-3，+)【解析】设u=x2+6x+13=(x+3)2+44y=log12u在[4，+)上是减函数，ylog124=-2，函数值域为(-，-2]，故选C.【答案】 C7.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(-2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )A.y=x2+1B.y=|x|+1C.y=2x+1，x0x3+1，x0D.y=ex，x0e-x，x0【解析】∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(-2,0)上为减函数，而y=x3+1在(-，0)上为增函数.故选C.【答案】 C8.设函数y=x3与y=12x-2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C(2,3) D.(3,4)【解析】由函数图象知，故选B.【答案】 B9.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-，4)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A.a-3B.a3C.a5D.a=-3【解析】函数f(x)的对称轴为x=-3a+12，要使函数在(-，4)上为减函数，只须使(-，4)?(-，-3a+12)即-3a+124，a-3，故选A.【答案】 A10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=502xD.y=100log2x+100【解析】对C，当x=1时，y=100;当x=2时，y=200;当x=3时，y=400;当x=4时，y=800，与第4个月销售790台比较接近.故选C. 【答案】 C11.设log32=a，则log38-2 log36可表示为( )A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.1+3a-a2【解析】 log38-2log36=log323-2log3(23)=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.故选A.【答案】 A12.已知f(x)是偶函数，它在[0，+)上是减函数.若f(lg x)f(1)，则x的取值范围是( )A.110，1B.0，110(1，+)C.110，10D.(0,1)(10，+)【解析】由已知偶函数f(x)在[0，+)上递减，则f(x)在(-，0)上递增，f(lg x)f(1)?01，或lg x0-lg x1?110，或0-1?110，或110x的取值范围是110，10.故选C.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知全集U={2,3，a2-a-1}，A={2,3}，若?UA={1}，则实数a的值是________.【答案】 -1或214.已知集合A={x|log2x2}，B=(-，a)，若A?B，则实数a 的取值范围是(c，+)，其中c=________.【解析】 A={x|04，即a的取值范围为(4，+)，c=4.【答案】 415.函数f(x)=23x2-2x的单调递减区间是________.【解析】该函数是复合函数，可利用判断复合函数单调性的方法来求解，因为函数y=23u是关于u的减函数，所以内函数u=x2-2x的递增区间就是函数f(x)的递减区间.令u=x2-2x，其递增区间为[1，+)，根据函数y=23u是定义域上的减函数知，函数f(x)的减区间就是[1，+).【答案】 [1，+)16.有下列四个命题：①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数;②函数y=x-1的值域为{y|y③已知集合A={-1,3}，B={x|ax-1=0，aR}，若AB=A，则a的取值集合为{-1，13};④集合A={非负实数}，B={实数}，对应法则f：求平方根，则f是A到B的映射.你认为正确命题的序号为：________. 【解析】函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-，2)(2，+)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确;函数y=x-1的定义域为{x|x1}，当x1时，y0，即命题②正确;因为AB=A，所以B?A，若B=?，满足B?A，这时a=0;若B?，由B?A，得a=-1或a=13.因此，满足题设的实数a的取值集合为{-1,0，13}，即命题③不正确;依据映射的定义知，命题④正确.【答案】②④三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1，x2(x1【解析】 A={x|x-2，或x5}.要使AB=?，必有2m-1-2，3m+25，3m+22m-1，或3m+22m-1，解得m-12，m1，m-3，或m-3，即-121，或m-3.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2，x[-5,5].(1)当a=-1时，求f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.【解析】 (1)当a=-1时，f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x[-5,5].由于f(x)的对称轴为x=1，结合图象知，当x=1时，f(x)的最小值为1，当x=-5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a，∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数，-a-5或-a5.故a的取值范围是a-5或a5.19.(本小题满分12分)(1)计算：27912+(lg5)0+(2764)-13;(2)解方程：log3(6x-9)=3.【解析】 (1)原式=25912+(lg5)0+343-13=53+1+43=4.(2)由方程log3(6x-9)=3得6x-9=33=27，6x=36=62，x=2.经检验，x=2是原方程的解.20.(本小题满分12分)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?【解析】设购买x台，甲、乙两商场的差价为y，则去甲商场购买共花费(800-20x)x，由题意800-20x440.118(xN).去乙商场花费80075%x(xN*).当118(xN*)时y=(800-20x)x-600x=200x-20x2，当x18(xN*)时，y=440x-600x=-160x，则当y0时，1当y=0时，x=10;当y0时，x10(xN).综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少;若买10台，甲、乙商场花费相同;若买超过10台，则去甲商场花费较少.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;【解析】 (1)由1+x0，1-x0，得-1函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)定义域关于原点对称，对于任意的x(-1,1)，有-x(-1,1)，f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)f(x)为奇函数.22.(本小题满分14分)设a0，f(x)=exa+aex是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)证明：f(x)在(0，+)上是增函数.【解析】 (1)解：∵f(x)=exa+aex是R上的偶函数，f(x)-f(-x)=0.小编为大家提供的高一上册数学第三章测试题及答案，大家仔细阅读了吗？最后祝同学们学习进步。
高中数学人教A版第三章导数及其应用模块综合评价(一)
答案：2
16．下列命题中，正确命题的序号是________．
①可导函数 f(x)在 x＝1 处取极值则 f′(1)＝0；②若 p 为：∃x0∈
x2
R，x20＋2x0
＋2≤0，则綈
p
为：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0；③若椭圆 16
y2 ＋25＝1 两焦点为 F1，F2，弦 AB 过 F1 点，则△ABF2 的周长为 16.
b f（x）＋2
2－b2， 4
b
b2
b b2
当 f(x)＝－2时，f(f(x))min＝－ 4 ，当－2≥－ 4 时，
b2 f(f(x))可以取到最小值－ 4 ，即 b2－2b≥0，解得 b≤0 或 b≥2，
故“b<0”是“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分不必要条
件．故选 A.
A.23
B.12
5
1
1
C.3
D.4
解析：因为抛物线 y2＝4x 的准线方程为 x＝－1，
抛物线
y2＝4x
x2 y2 的准线过椭圆 ＋
＝1(a>b>0)的左焦点，
a2 b2
所以椭圆的左焦点坐标为(－1，0)，所以 c＝1，3因为源自O为坐标原点，△AOB
的面积为 ， 2
所以12×2ab2×1＝32，所以ba2＝a2－a 1
1)＝5.
所以 f(－1)＞f(1)．
答案：C x2 y2
8．过点 P(0，3)的直线与双曲线 4 － 3 ＝1 只有一个公共点，则
这样的直线有( )
3
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
解析：数形结合，直线与双曲线只有一个公共点，有两个可能：
一是直线恰与双曲线相切，二是直线与双曲线的渐近线平行．根据图
高中数学选修第三章导数及其应用知识点归纳及单元测试
第三章导数及其应用?单元测试题一、选择题〔本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确〕1．函数()22)(x x f π=的导数是〔 〕(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(='2．函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是〔 〕(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．对随意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，那么0x <时〔 〕A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4．假设函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有微小值，那么〔 〕 〔A 〕 10<<b 〔B 〕 1<b 〔C 〕 0>b 〔D 〕 21<b 5．假设曲线4y x =的一条切线l 及直线480x y +-=垂直，那么l 的方程为〔 〕A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线及坐标轴所围三角形的面积为〔 〕Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不行能正确的选项是〔 〕8．二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于随意实数x 都有()0f x ≥，那么(1)'(0)f f 的最小值为〔 〕A ．3 B ．52C ．2D ．329．设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，那么p 是q 的〔 〕Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件10． 函数)(x f 的图像如下图，以下数值排序正确的选项是〔 〕〔A 〕)2()3()3()2(0//f f f f -<<< 〔B 〕 )2()2()3()3(0//f f f f <-<< 〔C 〕)2()3()2()3(0//f f f f -<<< 〔D 〕)3()2()2()3(0//f f f f <<-< 二．填空题〔本大题共4小题，共20分〕11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．12．函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值及最小值分别为,M m ，那么M m -=＿＿．13．点P 在曲线323+-=x x y 上挪动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，那么α的取值范围是 14．函数53123-++=ax x x y (1)假设函数在()+∞∞-,总是单调函数，那么a 的取值范围是 . (2)假设函数在),1[+∞上总是单调函数，那么a 的取值范围 .〔3〕假设函数在区间〔-3，1〕上单调递减，那么实数a 的取值范围是 . 三．解答题〔本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分〕15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形态的框架，要求长方体的长及宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？16．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =刚好2x =获得极值．〔1〕求a 、b 的值；〔2〕假设对于随意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．17．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处获得微小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满意•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求(Ⅰ)求点A B 、的坐标； (Ⅱ)求动点Q 的轨迹方程.18. 函数32()23 3.f x x x =-+ 〔1〕求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；〔2〕假设关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，务实数m 的取值范围.19．()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3)(23〔1〕当1-=a 时，求函数的单调区间。
高等数学导数与微分综合测试题(3)含答案
高等数学导数与微分综合测试题（3）一、选择题1．设函数()n f x =()f x 在(),-∞+∞内________.A 处处可导B 恰有一个不可导点C 恰有两个不可导点D 至少有三个不可导点2．若()()f x f x =--，且在()0,+∞内()()0,0,f x f x '''>>则在(),0-∞内必有 A ()()0,0f x f x '''<< B ()()0,0f x f x '''<> C ()()0,0f x f x '''>< D ()()0,0f x f x '''>>3．设2,0,(),0,x f x x g x x >=≤⎩其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处________. A 极限不存在 B 极限存在，但不连续 C 连续，但不可导 D 可导 4．设函数()f x 可导，()()()1F x f x sin x =+,则()0f 0=是()F x 在0x =处可导的________.A 充分必要条件B 充分条件，但非必要条件C 必要条件，但非充分条件D 既非充分条件，又非必要条件 5．()()000limx x f x f x x x →--存在的充要条件是（ ）A ()00f x =B ()f x 在0x 点连续C ()00f x '=D ()f x 在0x 处可导 6．设函数()f x 在点x a =处可导，则函数()f x 在点x a =处不可导的充分条件是______.A ()0f a =且()0f a '=B ()0f a =且()0f a '≠C ()>0f a 且()0f a '>D ()<0f a 且()0f a '< 7．设函数()f x 连续，且()00f '>，则存在0δ>，使得_______. A ()f x 在()0,δ内单调增加 B ()f x 在()0,δ-内单调减少C 对任意的x ∈()0,δ，有()f x ()0f >D 对任意的x ∈()0,δ-，有()f x ()0f > 8．设()f x '在[]a,b 上连续，且()>0f a '，()<0f b '，则下列结论错误的是_______.A 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()()0f x f a >B 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()()0f x f b >C 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()0=0f x 'D 至少存在一点()0x a,b ∈，使得()0=0f x 二. 填空题1.设函数()=y f x 由方程2ln +4xy x =y 所确定，则曲线()=y f x 在点()1,1处的切线方程是_____________. 2．函数()1sin ,xy x =+则x dyπ==_____________.3．设3(),(1),tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导，且()00f '≠，则t 0dy dx ==______________.4．已知函数()y y x =由方程2610y e xy x ++=－确定，则()0y ''=______________. 5．设)(x f 为可导函数，且满足条件()()11lim12x f f x x→--=-，则曲线()y f x =在点()()11,f 处的切线斜率为_____________.6．设函数()f x 有任意阶导数，且()()2f x f x '=，则()()n f x ＝_____________. 7．设sin 2,x y =则dydx＝_____________. 8．22,()d yy f f x dx=已知具有二阶导数，则=_____________.三、计算题与证明题1．求函数()()ln 1+2f x x x ＝在0x =处的n 阶导数()()(n)0n 3f ≥.2．设函数()f x 在0x =可导，且()()0000f f '≠≠，，若()()()20af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.3．已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某邻域内满足关系式()()()1sin 31-sin 8,f x f x x x α-=+＋其中()x α是0x →时是比x 高阶的无穷小，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()6,6f 处的切线方程. 4．设()()0101,f f '==-，求下列极限：（1）()222lim 21x x xf x →--- （2）()021lim x x f x x→-5．设函数()y y x =由方程()f y yxee =确定的，其中f 具有二阶导数且()1,f x '≠求22d y dx.6. 设函数()f x 在x a =可导，且()0f a ≠，求()1lim xx f a x f a →∞⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 7. 设()222x y f f ⎡⎤=⎣⎦求dydx.四．证明题1. 设()(),f x g x 的定义域为(),-∞+∞，且它们在点0x 可导，证明：()()()00,,,,f x x x h xg x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩在点0x 可导的充要条件是：()()()()0000,.f x g x f x g x ''==2. 设()[]f x C a,b ∈，()()f a f b 0,==且()()0,0.f a f b +-''<<证明：()f x 在(),a b 内必有一个零点.高等数学导数与微分综合测试题（3）答案一、选择题1．C 2．C 3．D 4．A 5． C 6．B 7．C 8．D 二、填空题1. -0x y = 2．dx π- 3．3 4．-2 5．-2 6． ()1!n n fx + 7．1ln 2sin 22sin x x⋅⋅ 8．321144f f x x -'''⋅-三、计算题与证明题1．解：由莱布尼兹公式及()()()()()111!ln 1+1k k kk x x ---=⎡⎤⎣⎦+(k 为正整数)，得 ()()()()()()()()()()()n-13111!-12!-13!-1111n-2n-(n)2n n-n-2-n -n -n -fx x+2nx +n n +x +x +x =，所以()()()()()13()1!0113!2n n n n fn n n n ---=---=-.2．解：由于()()()0lim 200h af h bf h f →+-=，所以()()-=100a+b f ，由于()≠00f ，故-=10a+b .又因()()()()()()()001lim lim 0==h h af h +bf 2h -f 0af h +-a f 2h -f 0h h→→()()()()000lim lim ((+=0)+20)h h a f h -f 2h f 2h f =af f h h →→⎡⎤⎣⎦''－－， 由此得2,1a b ==-.3．解：()()()0lim 1sin 31sin lim 8,x x f x f x x a x →→--=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＋得()()131f f 0－＝，故 ()10f ＝。
高等数学习题课(1)01-第三章单元测验答案
答案：第三章微分中值定理与导数应用(单元测验) 1.设f (x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导.证明：在(a, b)内至少存在一点ξ使bf (b) -af (a)=b -af (ξ) +ξf '(ξ).为了证明上述结论，需构造辅助函数1(A) (C)F (x) =x f (x) (B)F (x) =x3 f (x) (D)F (x) =x 2 f (x)F (x) =x2 f (x)答案：A证作辅助函数 F (x) =xf (x)，则F (x)在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件从而在(a, b)内至少存在一点ξ，使F (b) -F (a)=F '(ξ).b -a可见，bf (b) -af (a)=b -af (ξ) +ξf '(ξ).2.假设函数f (x)在[1, 2]上有二阶导数，并且f (1) =则在(1, 2)内至少存在一点ξ，使得f (2) = 0，又F (x) = (x -1)2 f (x).(A) (C)F ''(ξ)= 0 (B)F '''(ξ)= 0 (D)F ''(ξ) ≠ 0不能确定答案：A证明：F (1)＝0，F (2)＝0.则F (x)在[1,2]上满足罗尔定理条件，故在(1,2)内存在一点η, 使得又因为F '(η) = 0F '(x)＝2(x -1) f (x) + (x -1)2 f '(x)所以F'(1)=0.又F'(x)在[1，2]上可导，则F'(x)在[1，2]上满足罗尔定理条件,故∃ξ(1 <ε<η< 2)使3.F '(ξ) = 0设当x → 0 时，e x -(ax2 +bx +1) 是比x2 高阶的无穷小，则.（A）a =1, b=1（B）a =1,b =1（C）a =-1, b=1（D）a =-1,b =1 2 2答案：Ax x221解：由e =1+x + +o(x2! ) 知，e x - (ax2 +bx +1) = (1-b)x + (2-a)x2 +o(x2 ) .所以必有a =1, b = 1 22(设f (x)在x = 0 存在二阶导数，limxf (x) - ln(1 +x)= 2，x→0 x3则 f ''(0) =(A)14(B)3(C)1(D)33 14 2 2答案：A解： f (x)在x = 0存在二阶导数，f (x)在x = 0点的二阶泰勒展开式为：f (x) =f (0) +f '(0)x +f ''(0)x2+ο(x2)x2 x3 3ln(1 +x)在x = 0点的三阶泰勒展开为：ln(1 +x) =x -++οx2 3limx→0xf (x) -ln(1+x)x3= limx→0xf (0) +f '(0)x2+f ''(0)2x3+ο(x3x3-x +x2-x33+ο(x3) x [f (0) - 1]+x2 ⎡f '(0) +1 ⎤+x3⎡f ''(0)-1 ⎤⎣⎢ 2 ⎥⎦ ⎢ 2 3⎥= lim⎣⎦=2x→0 x3∴f (0) - 1 = 0, f '(0) +1= 0,f ''(0)-1= 22 2 3f (0) = 1, f '(0) =-1, f '(0)=142 35.lim[a- (1-a2 ) ln(1 +ax)]=(a ≠ 0).x→0 x x2a2 2(A)(B)a2答案：A(C)ln a (D)a)2)设函数f (x) 在x =0的某邻域内具有一阶连续导数，且f (0) ≠0, f '(0) ≠0, 若af (h) +bf (2h) -f (0)在h → 0 时是比h 高阶的无穷小，则a,b 的值为.(A) a = 2, b =-1 (B)a = 2, b = 1 (C)a =-2, b = 1 (D)a =-2, b =-1答案：A7.设f (x) =x p + (1 -x) p ,若p > 1，则在[0,1]内f (x)(A) 最小值为12 p-1，最大值为1 (B) 最小值为1，最大值为12 p(C) 最大值为1，最小值为1 (D)2 p最大值为12 p-1，最小值为1答案：A8.函数y =|1+ sin x | 在区间(π, 2π)内的图形是(A)凹的答案：A(B)凸的(C)既是凹的又是凸的(D)为直线0 设 f (x )、g (x )是恒大于零的可导函数，且 f '(x )g (x ) - f (x )g '(x ) < 0，则当a < x < b 时，有(A) f (x )g (b ) > f (b )g (x ) (B) f (x )g (a ) > f (a )g (x ) (C) f (x )g (x ) > f (b )g (b ) (D) f (x )g (x ) > f (a )g (a )答案：A10.已知函数 y = f (x ) 对一切x 满足xf ''(x ) + 3x [ f '(x )]2 = 1- e - x ,若 f '(x ) = 0 (x 0 ≠ 0),则(A) f (x 0 )是 f (x )的极小值 (B) f (x 0 )是 f (x )的极大值(C) (x 0 , f (x 0 ))是曲线y = f (x ) 的拐点(D) f (x 0 )不是 f (x )的极值，(x 0 , f (x 0 ))也不是曲线y = f (x )的拐点 答案：A。
(人教版B版2017课标)高中数学必修第一册 第三章综合测试卷(附答案)03
第三章综合测试一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数3()4f x ax bx =++（,a b 不为零），且(5)10f =，则(5)f -等于（ ） A .10- B .2- C .6- D .142.已知函数(1)y f x =+的定义域为[2,0]-，若(0,1)k ∈，则函数()()()F x f x k f x k =-++的定义域为（ ） A .[1,1]k k -- B .[1,1]k k --+ C .[1,1]k k -+ D .[1,1]k k ---3.已知函数2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则(3)f 等于（ ）A .8B .9C .11D .104.已知函数222,0,()2,0,x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-⎪⎩＜≥若()()0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）A .[1,1]-B .[2,0]-C .[0,2]D .[2,2]-5.若函数2()(2)1f x ax a b x a =+-+-是定义在(,0)(0,22)a a --U 上的偶函数，则225a b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A .1B .3C .52 D .726.某工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外，每生产1件该产品还需要增加投资1万元，已知年产量为()+x x ∈N 件，当20x ≤时，年销售总收入为()233x x -万元；当20x ＞时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，要使年利润最大，则该工厂的年产量为（=-年利润年销售总收入年总投资）（ ） A .14件 B .15件 C .16件 D .17件7.设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数1,,()22(1),,x x A f x x x B ⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩若0x A ∈，且()0f f x A ⎡⎤∈⎣⎦，则0x 的取值范围是（ ）A .10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B .11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D .30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.已知二次函数2()(1)2f x x m x m =--+在[0,1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A .(2,0)- B .(2,0]- C .[2,0)- D .[2,0]-9.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且满足(5)(5)f x f x +=-，在[0,5]上只有(1)0f =，则()f x 在[2018,2018]-上的零点的个数为（ ）A .808B .806C .805D .804二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）10.下列各组函数表示的是同一个函数的是（ ） A.()f x()g x x =B .()f x x =与()g x C .()1f x x =+与0()g x x x =+ D .()xf x x=与0()g x x = E.()f x =()g x 11.下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是（ ） A .()f x x = B .1()f x x=C .3()f x x =-D .()f x x x = E.()f x =12.已知函数()f x =，则（ ） A .()f x 的定义域为[3,1]- B .()f x 为定义域上的增函数 C .()f x 为非奇非偶函数 D .()f x 的最大值为8 E .()f x 的最小值为2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.若,1,()3,1,ax f x x x a x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩≥＜是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为________.14.设()f x 是定义在R 上的函数，且(2)()f x f x +=，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-⎧⎪=⎨-⎪⎩≤＜≤＜其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(5)f a 的值是________.15.已知函数()y f x =在(,0)(0,)-∞+∞U 上为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，(2)0f -=，则不等式()0xf x ＜的解集为________.16.下列说法：①若方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a ＜；②函数()f x = ③若函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-；④曲线23y x =-和直线()y a a =∈R 的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1. 其中正确的为________（填序号）四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）已知函数21()1mx f x x+=+是R 上的偶函数. （1）求实数m 的值；（2）判断并用定义法证明函数()y f x =在(,0)-∞上的单调性.18.（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+.现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图像，如图所示，请根据图像解答下列问题.（1）写出函数()()f x x ∈R 的增区间； （2）写出函数()()f x x ∈R 的解析式；（3）若函数()()22([1,2])g x f x ax x =-+∈，求函数()g x 的最小值.19.（12分）已知函数2()x af x x+=，且(1)2f =.（1）判断并证明函数()f x 在其定义域上的奇偶性； （2）证明函数()f x 在(1,)+∞上是增函数； （3）求函数()f x 在区间[2,5]上的最大值和最小值.20.（12分）近年来，雾霾日益严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题.某空气净化器制造厂决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（=+总成本固定成本生产成本）.销售收入()Q x （万元）满足20.522(016),()224(16),x x x Q x x ⎧-+⎪=⎨⎪⎩≤≤＞假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润()y f x =的函数解析式（=-利润销售收入总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使利润最多？21.（12分）若非零函数()f x 对任意实数,a b 均有()()()f a b f a f b +=g ，且当0x ＜时，()1f x >. （1）求证：()0f x ＞； （2）求证：()f x 为减函数； （3）当1(4)16f =时，解不等式()()221354f x x f x +--≤g .22.（12分）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x ＞时，有()1f x ＞. （1）求()0f ；（2）求证：()0f 在R 上为增函数；（3）若()12f =，且关于x 的不等式()2(2)3f ax f x x -+-＜对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】(5)1255410f a b =++=Q ，12556a b ∴+=(5)12554(1255)4642f a b a b ∴-=--+=-++=-+=-.故选B .2.【答案】A(1)f x +Q 的定义域为[2,0]-， 1[1,1]x ∴+∈-11,11,x k x k --⎧∴⎨-+⎩≤≤≤≤解得1111k x k k x k -+⎧⎨---+⎩≤≤≤≤ 即11(01)k x k k --≤≤＜＜ 3.【答案】C【解析】222111C 2f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q22()2,(3)3211.44f x x f ∴=+∴=+=4.【答案】D【解析】当0a ＞时，2()()240f a f a a a -+=-≤，解得02a ＜≤；当0a =时，()()0f a f a -+=，符合条件；当0a ＜时，2()()240f a f a a a -+=+≤，解得20a -≤＜.综上，[2,2]a ∈-，故选D . 5.【答案】B【解析】∵偶函数的定义域关于原点对称，220a a ∴-+-=，解得2a =.由()()f x f x -=可得20a b -=，∴1b =. ∴2()21f x x =+，22(1)35a b f f ⎛⎫+∴== ⎪⎝⎭，故选B .6.【答案】C 【解析】由题意得，2++32100,020,160,2,,0,x x x x y x x x ⎧-+-∈⎪=⎨-∈⎪⎩N N ＜≤＞ 当020x ＜≤时，2232100(16)156y x x x =-+-=--+，16x =时，max 156y =；而当20x ＞时，160140x -＜，所以16x =时，所得年利润最大，故选C . 7.【答案】C【解析】0102x Q ≤＜，()0011,122f x x ⎡⎫∴=+∈⎪⎢⎣⎭，()()0000112121222f f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤∴=⨯-=⨯-+=⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()0011,0222f f x A x ⎛⎫⎡⎤∈∴⨯- ⎪⎣⎦⎝⎭Q ≤＜， 01142x ∴＜≤， 又001110,242x x ∴Q ＜＜≤＜.故选C .8.【答案】D【解析】当方程2(1)20x m x m --+=在[0,1]上有两个相等的实数根时，有2(1)80,101,2m m m ⎧=--=⎪⎨-⎪⎩△≤≤此时无解. 当方程2(1)20x m x m --+=有两个不相等是实数根时，分下列三种情况讨论. ①有且只有一根在[0,1]上时，有()()000f f ＜g ，即2(2)0m m +＜，解得20m -＜＜； ②当(0)0f =时，0m =，方程化为20x x +=，解得10x =，21x =-，满足题意；③当(1)0f =时，2m =-，方程可化为2340x x +-=，解得11x =，24x =-，满足题意综上所述，实数m 的取值范围为[2,0]-.故选D . 9.【答案】B【解析】由题意可得(5)(5)(5)f x f x f x +=-=-，(10)()f x f x ∴+=.Q 当[0,5]x ∈时，()y f x =仅有1x =一个零点，且()f x 是偶函数，()f x ∴在[5,0]-上仅有1x =-一个零点， ()f x ∴在[0,10]上有两个零点，即1x =与9x =.2018201108=⨯+Q ，(2011)(1)0f f ==，∴所求零点的个数为201222806⨯⨯+=，故选B .二、10.【答案】BD【解析】对于A，()f x()g x x =故()f x 与()g x 表示的不是同一个函数； 对于B ，()f x x =与()g x ()f x 与()g x 表示事同一个函数； 对于C ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}|0x x ≠，故()f x 与()g x 表示的不是同一个函数； 对于D ，()xf x x=与0()g x x =的对应关系x 和定义域均相同，故()f x 与()g x 表示的是同一个函数； 对于E，()f x ={}|0x x ＞，()g x {}|01x x x -＞或＜，故()f x 与()g x 表示的不是同一个函数.故选BD .11.【答案】CE【解析】对于A ，()f x x =是定义域R 上的偶函数，.不满足题意；对于B ，1()f x x=在定义域(,0)(0,)-∞+∞U 上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数.不满足题意；对于C ，3()f x x =-在定义域R 上是奇函数，且是减函数，满足题意；对于D ，22,0,(),0,x x f x x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩≥＜在定义域R 上是奇函数，且是增函数.不满足题意；对于E，()f x =R 上是奇函数，且是减函数，∴满足题意.故选CE . 12.【答案】ACE【解析】由题设可得函数的定义域为[31]-，，2()4242f x =++，而02，即2()8f x 4≤≤，()0,2()f x f x ∴Q ＞≤≤，()f x ∴的最大值为最小值为2，故选ACE .三、13.【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()3f x x a =-+Q 在(,1)x ∈-∞上是单调递减的，且()f x 在R 上是单调函数，()f x ∴在R 上一定单调递减，0,13,a a a ⎧∴⎨-+⎩＞≤解得12a ≥，1,2a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭.14.【答案】25【解析】(2)()f x f x +=Q ， 5122f f ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1122f f ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121252a ∴-+=-，35a ∴=， 32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ∴===-=-+=-. 15.【答案】(2,0)(0,2)-U【解析】()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，(2)(2)0f f ∴=--=.()f x Q 为奇函数且在(0,)+∞上单调递增，()f x ∴在(,0)-∞上单调递增.由数形结合解对()0xf x ＜可得20x -＜＜或02x ＜＜，即不等式()0xf x ＜的解集为(2,0)(0,2)-U .16.【答案】答案①④【解析】①方程2(3)0x a x a +-+=有一正一根，则有212(3)40,0,a a x x a ⎧=--⎪⎨=⎪⎩△＞＜解得0a ＜，故①正确；②定义域为{1,1}-，此时()0f x =，()f x ∴既是奇函数也是偶函数，故②不正确：③函数()f x 的值域与函数(1)f x +的值域相同，故③不正确； ④画出曲线23y x =-，如图所示，∴曲线23y x =-和直线()y a a =∈R 的公共点的个数可能为0，2，3，4，故m 的值不可能是1，故④正确.故填①④. 四、17.【答案】（1）因为函数21()1mx f x x +=+是R上的偶函数，所以()()f x f x -=，即22()111()1m x mx x x -++=+-+对任意实数x 恒成立，解得0m =. （2）由（1）得21()1f x x=+，此函数在(,0)-∞上为增函数. 证明：任取12,(,0)x x ∈-∞，且12x x ＜，则()()()()22211222221212111111x x f x f x x x x x --=-=++++()()()()2121221211x x x x x x +-=++， 因为12,(,0)x x ∈-∞，且12x x ＜，所以()()2212110x x ++＞，210x x +＜，210x x -＞，所以()()120f x f x -＜，即()()12f x f x ＜.所以函数21()1f x x=+在(,0)-∞上为增函数. 18.【答案】（1）根据偶函数的性质及已知条件，将题中()f x 的图像补充完整（图略），由函数图像知，()f x 的增区间为[1,0]-和[1,)+∞.（2）当0x ＞时，0x -＜，22()()2()2f x x x x x -=-+-=-，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2()()2f x f x x x =-=-，所以函数()f x 的解析式为222,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+⎪⎩＞≤（3）由（2）知，2()(22)2([1,2])g x x a x x =-++∈.因为函数2(22)2y x a x =-++，x ∈R 的图像的对称轴为直线(22)12a x a -+=-=+，所以①当11a +≤，即0a ≤时，函数()g x 的最小值为(1)12g a =-；②当12a +≥，即1a ≥时，函数()g x 的最小值为(2)24g a =-；③当112a +＜＜，即01a ＜＜时，函数()g x 的最小值为2(1)21g a a a +=--+.19.【答案】（1）()f x 在其定义域上为奇函数.证明如下：()(0),(1)12a f x x x f a x=+≠=+=Q ， 11,()a f x x x∴=∴=+， 1()()f x x f x x-=--=-Q ，且函数()f x 的定义域关于原点对称， ()f x ∴在定义域上称为奇函数.（2）证明：任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ＜，()()21212111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()122121211211x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭， 21121212110,1,1,10x x x x x x x x --Q ＞＞＜＞ ()()210f x f x ∴-＞，即()()21f x f x ＞，()f x ∴在(1,)+∞为增函数.（3）由（2）可知()f x 在(1,)+∞上单调递增，()f x ∴在[2,5]上的最小值和最大值分别min 15()(2)222f x f ==+=， max 126()(5)555f x f ==+=. 20.【答案】（1）由题意得()1210P x x =+， 则20.5221210,016,()()()2241210,16x x x x f x Q x P x x x ⎧-+--⎪=-=⎨--⎪⎩≤≤＞, 即20.51212,016,()21210,16.x x x f x x x ⎧-+-⎪=⎨-⎪⎩≤≤＞ （2）当16x ＞时，函数()f x 在定义域内递减，所以()(16)21216052f x f =-=＜；当016x ≤≤时，22()0.512120.5(12)60f x x x x =-+-=--+，所以当12x =时，()f x 有最大值，最大值为60.综上，当工厂生产1 200台产品时，可使利润最多，利润最多为60万元。
高中-数学-人教版-第三章 函数的概念与性质 综合与测试(六)
第三章 函数的概念与性质 综合与测试（六） 一、选择题1、下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A. B.C. D.2、函数()12f x x =-的定义域为（ ）A. [)0,2B. ()2,+∞C. ()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. ()(),22,-∞+∞3、已知函数2,01,()2,12,1,2,2x x f x x x ⎧⎪≤≤⎪=<<⎨⎪⎪≥⎩，则3[()]2f f f ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的值为（ ）A. 1B. 2C. 3-D.124、函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 取值范围是（ ）A. [2,2]-B. [1,1]-C. [0,4]D. [1,3]5、若1)f x =+()f x 的解析式为（ ）A. 2()f x x x =-B. 2()(0)f x x x x =-≥C. ()2()1f x x x x =-≥D. 2()f x x x =+6、若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩且满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1,+∞B. ()1,8C. ()4,8D. [)4,87、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意的[],2x a a ∈+，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. )+∞B. [2,)+∞C. (]0,2D. [1][2,2]-8、给出下列命题，其中是正确命题的是（ ） A. 若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4； B. 函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞⋃+∞；C. 若定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数，在区间()0,∞+上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数；D. 1x ，2x 是()f x 定义域内的任意的两个值，且12x x <，若()()12f x f x >，则()f x 是减函数．二、填空题9、若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y =______． 10、设函数()23axf x x =+，若()()f f x x =恒成立，则实数a 的值为______． 11、设,0()1,0x a x f x x x x -+⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为______． 12、已知奇函数()f x 的定义域为R 且在R 上连续．若0x >时不等式()1f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的解集为()2,3，则x ∈R 时()1f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______． 三、解答题13、已知定义在[]12-，的一次函数()f x 为单调增函数，且值域为[]33-，． 【题文】求()f x 的解析式；【题文】求函数()f f x ⎡⎤⎣⎦的解析式并确定其定义域． 14、已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． 【题文】求函数()f x 的解析式； 【题文】求()f x 在13[,]22-上的最大值； 【题文】若函数()f x 在区间[2,1]a a +上不单调，求实数a 的取值范围．15、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数()()()214000400280000400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，其中x （台）是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数()f x ；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）16、已知函数())11f x a a =≠-． 【题文】若0a >，求()f x 的定义域；【题文】若()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围． 17、已知函数()2f x x mx m =-+-．【题文】若函数()f x 的最大值为0，求实数m 的值．【题文】若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围．【题文】是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．18、已知函数()f x 是定义在区间[]22-,上的奇函数，且()22f -=-，若对于任意的m ，[]2,2n ∈-有()()0f m f n m n+<+．【题文】判断函数的单调性（不要求证明）；【题文】解不等式()()231f x f x +<-；【题文】若()22f x at ≤-+对于任意的[]2,2x ∈-，[]2,2a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．答案第1页，共9页参考答案1、【答案】C【分析】本题考查了函数的概念．【解答】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．如图，C 选项中，在x 允许的取值范围内取x ＝x 0，此时函数y 与之对应的有2个值，y ＝y 1，y ＝y 2，不符合函数的定义．其它三个选项都符合函数的定义．2、【答案】C【分析】本题考查了函数的定义域． 【解答】由21020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．∴函数()12f x x =-的定义域为()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 3、【答案】A【分析】本题考查了分段函数． 【解答】由题意得，3()=22f ，1(2)=2f ，1()=2=1122f ⨯， 所以3[()]=[(2)]=()=1212f f f f f f ⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 4、【答案】D【分析】本题考查了函数单调性和奇偶性． 【解答】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-．(1)1f =-，(1)(1)1f f ∴-=-=．故由1(2)1f x -≤-≤，得(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-． 又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，121x ∴-≤-≤，13x ∴≤≤．5、【答案】C【分析】本题考查了函数的解析式． 【解答】解：f1）＝x，1=t ，t ≥1，则x ＝（t -1）2，∴f （t ）＝（t -1）2+t -1＝t 2-t ，t ≥1，∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2-x （x ≥1）． 6、【答案】D【分析】本题考查了分段函数和函数的单调性．【解答】函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数， 则由指数函数与一次函数单调性可知应满足1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得48a ≤<，所以数a 的取值范围为[)4,8． 7、【答案】A【分析】本题考查了函数的奇偶性和单调性． 【解答】()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =∴当0x <，有0x ->，2()()f x x -=-答案第3页，共9页2()f x x ∴-=即2()f x x =-22,0(),0x x f x x x ⎧≥∴=⎨-<⎩()f x ∴在R上是单调递增函数，且满足2())f x f = ∴不等式()2())f x a f x f +≥=在[],2x a a ∈+恒成立，x a ∴+≥，[],2x a a ∈+恒成立1)x a ≤∴对[],2x a a ∈+恒成立2(1a a ∴+≤+解得：a ≥∴则实数a的取值范围是：)+∞．8、【答案】D【分析】本题考查了函数的定义域和函数的单调性． 【解答】解：对于A ，若函数()f x 的定义域为[]0,2， 则函数()2f x 的定义域为[]0,1，故A 错误； 对于B ，函数()1f x x=的单调递减区间是(),0-∞和()0,∞+，故B 错误； 对于C ，若定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数，在区间()0,∞+上也是单调增函数，则()f x 在R 上不一定为单调增函数，故C 错误； 对于D ，为单调性的定义，正确． 9、【答案】23x【分析】本题考查了幂函数的解析式．【解答】设幂函数的解析式为y x α=，由于函数图象过点(8,4)，故有48α=，解得23α=， 所以该函数的解析式是23y x =． 10、【答案】-3【分析】本题考查了函数的解析式．【解答】因为()()f f x x =恒成立，所以()25(1)1253a f f a ==+即22150a a --=，解得：5a =或3a =-当5a =时，5()23xf x x =+，()25()169x f f x x x =≠+，则5a =不满足条件 当3a =-时，3()23xf x x -=+，()()f f x x =，则3a =-满足条件．11、【答案】2a【分析】本题考查了分段函数．【解答】解：当0x ≤时，()(0)f x f a ≥=， 又11022x x x x x>⇒+⋅=， 由题意得：1a x x+， 2a ∴．12、【答案】()()()3,20,23,--+∞【分析】本题考查了函数的奇偶性． 【解答】由题意可得当0x >时，()1f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为()()0,23,+∞，由奇函数的性质可得当0x >时，()1f x f x ⎛⎫-->-- ⎪⎝⎭的解集为()2,3，令0t x =-<，则()1f t f t ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为()3,2--，即当0x <时，()1f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的解集为()3,2--， 所以()1f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为()()()3,20,23,--+∞．13、(1)【答案】()21f x x ＝-【分析】本题考查了函数的解析式．【解答】根据题意，()f x 为一次函数且在[]12-，单调增函数， 设()f x ax b +＝，答案第5页，共9页又由其值域为[]33-，，则有()()13223f a b f a b ⎧-=-+=-⎪⎨=+=⎪⎩，解可得21a b =⎧⎨=-⎩，则()21f x x ＝-，()12x -≤≤．(2)【答案】()43f f x x ⎡⎤⎣⎦＝-，定义域为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】本题考查了函数的解析式和函数的定义域． 【解答】由（1）的结论，()21f x x -＝，则()()221143f f x x x -⎡⎤⎣⎦＝-＝-； 又由()f x 的定义域为[]12-，， 则有1212x ≤≤--，解可得302x ≤≤； 则函数()f f x ⎡⎤⎣⎦的定义域为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 14、(1)【答案】2()243f x x x =-+ 【分析】本题考查了函数的解析式． 【解答】由题意，设2()(1)1f x a x =-+，因为(0)3f =，即2(01)13a -+=，解得2a =， 所以函数()f x 的解析式为2()243f x x x =-+．(2)【答案】最大值为111()22f -=【分析】本题考查了函数的最值．【解答】由（1）可得22()2432(1)1f x x x x =-+=-+，因为13[,]22x ∈-，所以当12x =-时，函数()f x 取得最大值，最大值为21111()2(1)1222f -=--+=．(3)【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】本题考查了函数的单调性．【解答】由（1）可得函数2()243f x x x =-+的对称轴的方程为1x =，要使函数()f x 在区间[2,1]a a +上不单调，则211a a <<+，解得102a <<， 所以实数a 的取值范围10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．15、【答案】（1）()f x =()()21300200000400260000100400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪⎨⎪->⎩（2）每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元． 【分析】本题考查了函数的模型应用．【解答】（1）月产量为x 台，则总成本为()20000100x +元，从而()()()20000100R x x x f -+=()()21300200000400260000100400x x x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩． （2）由（1）可知，当0400x ≤≤时，()()21300250002f x x =--+， ∴当300x =时，()max 25000f x =；当400x >时，()60000100f x x =-是减函数，()6000010040025000f x <-⨯<，∴当300x =时，()max 25000f x =，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元． 16、(1)【答案】3,a⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】本题考查了函数的定义域． 【解答】1a ≠时，由30ax -≥得3x a ≤，即函数()f x 的定义域是3,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．(2)【答案】()(],01,3-∞【分析】本题考查了函数单调性的性质． 【解答】当10a ->即1a >时，令3t ax =-，要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1上为减函数，即0a -<，并且且310a -⨯≥，解得13a；当10a -<即1a <时，令3t ax =-答案第7页，共9页要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1为增函数，即0a -> 并且310a -⨯≥，解得0a <综上可知，所求实数a 的取值范围是()(],01,3-∞．17、(1)【答案】0m =或4m =【分析】本题考查了函数的最值． 【解答】22()24m m f x x m ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则最大值204m m -+=，即240m m -=，解得0m =或4m =．(2)【答案】2m -【分析】本题考查了函数单调性的性质．【解答】函数()f x 图象的对称轴是2m x =，要使()f x 在[1,0]-上单调递减，应满足12m -，解得2m -．(3)【答案】6m =【分析】本题考查了函数的值域． 【解答】①当22m ，即4m 时，()f x 在[2,3]上递减， 若存在实数m ，使()f x 在[2,3]上的值域是[2,3]，则(2)3(3)2f f =⎧⎨=⎩，， 即423932m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩，，，此时m 无解． ②当32m ，即6m 时，()f x 在[2,3]上递增，则(2)2,(3)3,f f =⎧⎨=⎩即422,933,m m m m -+-=⎧⎨-+-=⎩解得6m =． ③当232m <<，即46m <<时，()f x 在[2,3]上先递增，再递减，所以()f x 在2m x =处取得最大值，则23222m m m f m m ⎛⎫⎛⎫=-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =-或6，舍去． 综上可得，存在实数6m =，使得()f x 在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．18、(1)【答案】函数()f x 在区间[]22-,上是减函数．答案第8页，共9页 【分析】本题考查了函数单调性的判断．【解答】函数()f x 在区间[]22-,上是减函数． 证明：由题意可知，对于任意的m ，[]2,2n ∈-有()()0f m f n m n+<+， 设12,x m x n ==-，则()()12120f x f x x x +-<-，即()()12120f x f x x x -<-， 当12x x >时，()()12f x f x <，所以函数在[]22-,上为单调递减函数； 当12x x <时，()()12f x f x >，所以函数在[]22-,上为单调递减函数， 综上，函数()f x 在[]22-,上为单调递减函数． (2)【答案】2132x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭【分析】本题考查了函数单调性的性质．【解答】由（1）知函数()f x 在区间[]22-,上是减函数， 因为()()231f x f x +<-，可得2232212231x x x x -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+>-⎩，解得解得2132x -<≤-， 所以不等式()()231f x f x +<-的解集为2132x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭． (3)【答案】11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】本题考查了函数单调性的性质．【解答】因为函数()f x 在区间[]22-,上是减函数，且()21f -=， 要使得对于任意的[]2,2x ∈-，[]2,2a ∈-都有()22f x at ≤-+恒成立， 只需对任意的[]2,2a ∈-，221at -+≥恒成立．令21y at =-+，此时y 可以看作a 的一次函数，且在[]2,2a ∈-时，0y ≥恒成立． 因此只需410410t t +≥⎧⎨-+≥⎩，解得解得1144t -≤≤， 所以实数t 的取值范围为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．答案第9页，共9页。
(人教版B版最新)高中数学必修第一册 第三章综合测试03-答案
第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】B 【解析】(5)1255410f a b =++=，12556a b ∴+=(5)12554(1255)4642f a b a b ∴-=--+=-++=-+=-.故选B .2.【答案】A(1)f x +的定义域为[2,0]-， 1[1,1]x ∴+∈-11,11,x k x k --⎧∴⎨-+⎩≤≤≤≤解得1111k x k k x k -+⎧⎨---+⎩≤≤≤≤ 即11(01)k x k k --≤≤＜＜ 3.【答案】C 【解析】222111C2f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22()2,(3)3211.44f x x f ∴=+∴=+=4.【答案】D【解析】当0a ＞时，2()()240f a f a a a -+=-≤，解得02a ＜≤；当0a =时，()()0f a f a -+=，符合条件； 当0a ＜时，2()()240f a f a a a -+=+≤，解得20a -≤＜.综上，[2,2]a ∈-，故选D . 5.【答案】B【解析】∵偶函数的定义域关于原点对称，220a a ∴-+-=，解得2a =.由()()f x f x -=可得20a b -=，∴1b =. ∴2()21f x x =+，22(1)35a b f f ⎛⎫+∴== ⎪⎝⎭，故选B .6.【答案】C 【解析】由题意得，2++32100,020,160,2,,0,x x x x y x x x ⎧-+-∈⎪=⎨-∈⎪⎩N N ＜≤＞ 当020x ＜≤时，2232100(16)156y x x x =-+-=--+，16x =时，max 156y =；而当20x ＞时，160140x -＜，所以16x =时，所得年利润最大，故选C . 7.【答案】C 【解析】0102x ≤＜，()0011,122f x x ⎡⎫∴=+∈⎪⎢⎣⎭，()()0000112121222f f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤∴=⨯-=⨯-+=⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()0011,0222f f x A x ⎛⎫⎡⎤∈∴⨯- ⎪⎣⎦⎝⎭≤＜， 01142x ∴＜≤， 又001110,242x x ∴＜＜≤＜.故选C .8.【答案】D【解析】当方程2(1)20x m x m --+=在[0,1]上有两个相等的实数根时，有2(1)80,101,2m m m ⎧=--=⎪⎨-⎪⎩△≤≤此时无解. 当方程2(1)20x m x m --+=有两个不相等是实数根时，分下列三种情况讨论. ①有且只有一根在[0,1]上时，有()()000f f ＜，即2(2)0m m +＜，解得20m -＜＜； ②当(0)0f =时，0m =，方程化为20x x +=，解得10x =，21x =-，满足题意；③当(1)0f =时，2m =-，方程可化为2340x x +-=，解得11x =，24x =-，满足题意综上所述，实数m 的取值范围为[2,0]-.故选D . 9.【答案】B【解析】由题意可得(5)(5)(5)f x f x f x +=-=-，(10)()f x f x ∴+=.当[0,5]x ∈时，()y f x =仅有1x =一个零点，且()f x 是偶函数，()f x ∴在[5,0]-上仅有1x =-一个零点， ()f x ∴在[0,10]上有两个零点，即1x =与9x =.2018201108=⨯+，(2011)(1)0f f ==，∴所求零点的个数为201222806⨯⨯+=，故选B .二、10.【答案】BD【解析】对于A，()f x ()2g x xx =-的对应关系不同，故()f x 与()g x 表示的不是同一个函数；对于B ，()f xx =与()g x ()f x 与()g x 表示事同一个函数； 对于C ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}|0x x ≠，故()f x 与()g x 表示的不是同一个函数； 对于D ，()xf x x=与0()g x x =的对应关系x 和定义域均相同，故()f x 与()g x 表示的是同一个函数； 对于E ，()1f x xx =+的定义域是{}|0x x ＞，()g x {}|01x x x -＞或＜，故()f x 与()g x 表示的不是同一个函数.故选BD .11.【答案】CE【解析】对于A ，()f x x =是定义域R 上的偶函数，.不满足题意；对于B ，1()f x x=在定义域(,0)(0,)-∞+∞上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数.不满足题意；对于C ，3()f x x =-在定义域R 上是奇函数，且是减函数，满足题意；对于D ，22,0,(),0,x x f x x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩≥＜在定义域R 上是奇函数，且是增函数.不满足题意；对于E ，()f x =R 上是奇函数，且是减函数，∴满足题意.故选CE . 12.【答案】ACE【解析】由题设可得函数的定义域为[31]-，，2()4242f x =++，而02，即2()8fx 4≤≤，()0,2()f x f x ∴＞≤≤，()f x ∴的最大值为最小值为2，故选ACE . 三、13.【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()3f x x a =-+在(,1)x ∈-∞上是单调递减的，且()f x 在R 上是单调函数，()f x ∴在R 上一定单调递减，0,13,a a a ⎧∴⎨-+⎩＞≤解得12a ≥，1,2a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭.14.【答案】25【解析】(2)()f x f x +=， 5122f f ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1122f f ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121252a ∴-+=-，35a ∴=， 32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ∴===-=-+=-. 15.【答案】(2,0)(0,2)-【解析】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，(2)(2)0f f ∴=--=.()f x 为奇函数且在(0,)+∞上单调递增，()f x ∴在(,0)-∞上单调递增.由数形结合解对()0xf x ＜可得20x -＜＜或02x ＜＜，即不等式()0xf x ＜的解集为(2,0)(0,2)-.16.【答案】答案①④【解析】①方程2(3)0x a x a +-+=有一正一根，则有212(3)40,0,a a x x a ⎧=--⎪⎨=⎪⎩△＞＜解得0a ＜，故①正确；②定义域为{1,1}-，此时()0f x =，()f x ∴既是奇函数也是偶函数，故②不正确：③函数()f x 的值域与函数(1)f x +的值域相同，故③不正确； ④画出曲线23y x =-，如图所示，∴曲线23y x =-和直线()y a a =∈R 的公共点的个数可能为0，2，3，4，故m 的值不可能是1，故④正确.故填①④. 四、17.【答案】（1）因为函数21()1mx f x x+=+是R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，即22()111()1m x mx x x -++=+-+对任意实数x 恒成立，解得0m =. （2）由（1）得21()1f x x =+，此函数在(,0)-∞上为增函数. 证明：任取12,(,0)x x ∈-∞，且12x x ＜，则()()()()22211222221212111111x x f x f x x x x x --=-=++++()()()()2121221211x x x x x x +-=++， 因为12,(,0)x x ∈-∞，且12x x ＜，所以()()2212110x x ++＞，210x x +＜，210x x -＞，所以()()120f x f x -＜，即()()12f x f x ＜.所以函数21()1f x x =+在(,0)-∞上为增函数. 18.【答案】（1）根据偶函数的性质及已知条件，将题中()f x 的图像补充完整（图略），由函数图像知，()f x 的增区间为[1,0]-和[1,)+∞.（2）当0x ＞时，0x -＜，22()()2()2f x x x x x -=-+-=-，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以2()()2f x f x x x =-=-，所以函数()f x 的解析式为222,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+⎪⎩＞≤（3）由（2）知，2()(22)2([1,2])g x x a x x =-++∈.因为函数2(22)2y x a x =-++，x ∈R 的图像的对称轴为直线(22)12a x a -+=-=+，所以 ①当11a +≤，即0a ≤时，函数()g x 的最小值为(1)12g a =-； ②当12a +≥，即1a ≥时，函数()g x 的最小值为(2)24g a =-；③当112a +＜＜，即01a ＜＜时，函数()g x 的最小值为2(1)21g a a a +=--+. 19.【答案】（1）()f x 在其定义域上为奇函数. 证明如下：()(0),(1)12af x x x f a x=+≠=+=，11,()a f x x x∴=∴=+， 1()()f x x f x x-=--=-，且函数()f x 的定义域关于原点对称， ()f x ∴在定义域上称为奇函数.（2）证明：任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ＜，()()21212111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()122121211211x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭，21121212110,1,1,10x x x x x x x x --＞＞＜＞ ()()210f x f x ∴-＞，即()()21f x f x ＞，()f x ∴在(1,)+∞为增函数.（3）由（2）可知()f x 在(1,)+∞上单调递增，()f x ∴在[2,5]上的最小值和最大值分别min 15()(2)222f x f ==+=， max 126()(5)555f x f ==+=. 20.【答案】（1）由题意得()1210P x x =+， 则20.5221210,016,()()()2241210,16x x x x f x Q x P x x x ⎧-+--⎪=-=⎨--⎪⎩≤≤＞,即20.51212,016,()21210,16.x x x f x x x ⎧-+-⎪=⎨-⎪⎩≤≤＞（2）当16x ＞时，函数()f x 在定义域内递减，所以()(16)21216052f x f =-=＜；当016x ≤≤时，22()0.512120.5(12)60f x x x x =-+-=--+，所以当12x =时，()f x 有最大值，最大值为60.综上，当工厂生产1 200台产品时，可使利润最多，利润最多为60万元。
高中数学 第三章 导数及其应用章末综合测评(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
章末综合测评(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列导数运算正确的是( ) A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(2x )′＝x 2x －1 C ．(cos x )′＝sin xD ．(x ln x )′＝ln x ＋1D [⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(2x )′＝2x ln 2；(cos x )′＝－sin x ；(x ln x )′＝ln x ＋1，故选D ．] 2．曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋3 B ．y ＝－3x ＋1 C ．y ＝－3D ．x ＝2C [因为y ′＝f ′(x )＝3x 2－6x ，则曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y ＝－3.]3．若小球自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2(g 为常数)，该小球在t ＝1到t ＝3的平均速度为v ，在t ＝2的瞬时速度为v 2，则v 和v 2关系为( )A ．v >v 2B ．v <v 2C ．v ＝v 2D ．不能确定C [v ＝s (3)－s (1)3－1＝92g －12g2＝2g ，又s ′(t )＝gt ，∴v 2＝2g .故v ＝v 2.]4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，22 B ．⎣⎡⎭⎫22，＋∞C ．⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0，22 D ．⎣⎡⎭⎫－22，0，⎝⎛⎦⎤0，22 A [f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0<x ≤22时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，22.] 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( )A ．1B ．12C ．0D ．－1A [f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f (0)＝0，f (1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.]6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5D [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0，∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.]7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，则不可能的是( )D [D 中若上面图象为函数，其左侧导数应大于0，不合题意；若下面图象为函数，其x <0时有单调递减区间，其相应导数应小于0，也不合题意，故D 不可能，故选D ．]8．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台A [设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x >0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)，令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．]9．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)D [由题易知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0，又切线方程为x ＋y ＝0，所以x 0≠0，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1，x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得a ＝±2，x 0＝－a2.所以当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2时，点P 的坐标为(1，－1)；当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2时，点P 的坐标为(－1,1)，故选D ．] 10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上是增函数，则实数a 的取值X 围是( ) A ．[－1,0] B ．⎣⎡⎦⎤0，253 C ．⎣⎡⎭⎫253，＋∞D ．[9，＋∞)C [∵f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上是增函数， ∴f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上恒成立， ∵f ′(x )＝2x ＋a －1x 2在⎣⎡⎭⎫13，＋∞上递增， ∴f ′⎝⎛⎭⎫13＝23－9＋a ≥0，∴a ≥253.故选C ．] 11．定义在(0，＋∞)上的可导函数f (x )满足f ′(x )·x <f (x )，且f (2)＝0，则f (x )x >0的解集为( )A ．(0,2)B ．(0,2)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．∅A [∵⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝f ′(x )·x －f (x )x 2<0， ∴f (x )x 在(0，＋∞)上为减函数．又∵f (2)＝0，∴f (2)2＝0.∴f (x )x>0的解集为0<x <2，故选A ．] 12．若a >2，则方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上根的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [令f (x )＝13x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ，∵a >2，故当0<x <2时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0,2)上为减函数． 又f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，∴f (0)·f (2)<0，即f (x )在(0,2)上有且只有一个零点， ∴方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上有且只有1个根，故选B ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．9[f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.]14．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝__________. 12[y ′＝2ax －1x ，由题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0， 解得a ＝12.]15．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)的单调减区间是(0,4)，则k 的值是__________．13[f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2(k －1)k ， 由题意知－2(k －1)k ＝4，解得k ＝13.]16．曲线f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值X 围是________．(－∞，1][由题意，得f ′(x )＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P (t ，f (t ))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t＋t 有解．因为t >0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝13x 3－x 2－8x ＋1(－6≤x ≤6)的单调区间、极值．[解]∵f (x )＝13x 3－x 2－8x ＋1，∴f ′(x )＝x 2－2x －8，令f ′(x )＝0， 得x ＝－2或x ＝4.当x ∈(－6，－2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2,4)时，f ′(x )<0； 当x ∈(4,6)时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间为[－6，－2)，(4,6]， 单调减区间为[－2,4]．当x ＝－2时，f (x )取得极大值f (－2)＝313；当x ＝4时，f (x )取得极小值f (4)＝－773.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )，且f (x )在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线垂直于y 轴．(1)某某数a 的值；(2)求f (x )的区间[0,2]上的最大值和最小值． [解](1)依题意：f ′⎝⎛⎭⎫23＝0， 因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 所以－3×⎝⎛⎭⎫232＋2·a ·23＝0，所以a ＝1.(2)由(1)知：f (x )＝－x 3＋x 2＋1， f ′(x )＝－3x 2＋2x ， 令f ′(x )＝0⇒x 1＝0，x 2＝23.因为f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫23＝3127，f (2)＝－3， 所以f (x )max ＝3127，f (x )min ＝－3.19．(本小题满分12分)如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100 m ，其与城站路一边所在直线l 相切于点M ，MO 的延长线交圆O 于点N ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B ．市园林局计划在△ABM 内进行绿化，设△ABM 的面积为S (单位：m 2)．(1)以∠AON ＝θ(rad)为自变量，将S 表示成θ的函数； (2)求使绿化面积最大时点A 的位置及最大绿化面积． [解](1)由题意知，BM ＝100sin θ，AB ＝100＋100cos θ，故S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)． (2)∵S ＝5 000sin θ(1＋cos θ)(0<θ<π)，∴S ′＝5 000(cos θ＋cos 2θ－sin 2θ)＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1)＝5 000(cos θ＋1)(2cos θ－1)．令S ′＝0，由θ∈(0，π)，得cos θ＝12，θ＝π3.当0<θ<π3时，12<cos θ<1，S ′>0；当π3<θ<π时，－1<cos θ<12，S ′<0. 故当θ＝π3时，S 取得极大值，也是最大值，最大值为3 7503，此时AB ＝150 m.即当点A 距路边的距离为150 m 时，绿化面积最大，最大面积为3 750 3 m 2. 20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性． [解](1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R .∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，∴g (x )min ＝g (0)＝0，即f ′(x )min ＝0，故f ′(x )≥0. ∴f (x )在R 上单调递增．21．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，某某数k 的取值X 围．[解] (1)f ′(x )＝3ax 2－b ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4， 故f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.所以实数k 的取值X 围是⎝⎛⎭⎫－43，283. 22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．[解] (1)f ′(x )＝2x e x －1＋x 2e x －1＋3ax 2＋2bx ＝x e x －1·(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )．由x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－2)＝0f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2，故f (x )－g (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2－23x 3＋x 2＝x 2(e x －1－x )．令h (x )＝e x －1－x ，则h ′(x )＝e x －1－1.令h ′(x )＝0，得x ＝1.h ′(x )，h (x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，1)1 (1，＋∞)h ′(x ) － 0 ＋ h (x )↘↗由上表，可知当x ＝1时，h (x )取得极小值，也是最小值，即当x ∈R 时，h (x )≥h (1)，也就是恒有h (x )≥0.又x 2≥0，所以f (x )－g (x )≥0，故对任意x∈R，恒有f(x)≥g(x)．。