2019-2020年高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件理北师大版
2020版高考数学一轮总复习 第三单元导数及其应用 教案全集 含解析
1 导数的概念及运算
1．了解导数概念的实际背景．
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．
3．能根据导数的定义，求一些简单函数的导数．
4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)平均变化率： 函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率ΔyΔx＝
fx0＋Δx－fx0Δx .
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 limΔx→0 ΔyΔx 通常称为f(x)在x＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即 f′(x0)＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx .
(3)函数f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，称作f(x)的导函数，记作 y′或f′(x) .
2. 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的
切线的斜率 .
曲线在点P(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) .
3．导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
①C′＝ 0 (C为常数)；
②(xn)′＝ nxn－1 (n∈Q)；
③(sin x)′＝ cos x ；
④(cos x)′＝ －sin x ；
⑤(ax)′＝ axln a (a>0且a≠1)； 2 ⑥(ex)′＝ ex ；
⑦(logax)′＝ 1xln a (a>0且a≠1)；
⑧(ln x)′＝ 1x .
(2)导数的运算法则
①和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) .
②积的导数
[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) .
③商的导数
[fxgx]′＝ fxgx－fxgxg2x (g(x)≠0)．
2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第三章 导数及其应用含答案
第三章 导数及其应用
第一节 导数的概念及运算、定积分
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0
ΔyΔx＝limΔx→0
fx0＋Δx－fx0Δx❶为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0
fx0＋Δx－fx0Δx.
函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
❷曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′x0的切线，是唯一的一条切线.
(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数．
(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝1xln a
f(x)＝ln x f′(x)＝1x
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第三章 导数及其应用 3.1 Word版含解析
精选中小学试题、试卷、教案资料
考试内容 等级要求
导数的概念
A
导数的几何意义 B
导数的运算 B
利用导数研究函数的单调性与极值 B
导数在实际问题中的应用
B
§3.1导数的概念及运算
考情考向分析导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为填空题或解答题的第(1)问，低档难度．
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.
(2)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 精选中小学试题、试卷、教案资料
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axlna
f(x)＝lnx f′(x)＝1x
f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝1xlna
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案
第三章 导数及其应用
知识点 最新考纲
变化率与导数、导数的计算 了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．
会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).
导数在研究函数中的应用 了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．
理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.
第1讲 变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax
(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax
(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝1xln a
f(x)＝ln
x(x>0) f′(x)＝1x
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用3
高考数学一轮复习 第三章
3.7 利用导数研究函数零点
题型一 数形结合法研究函数零点
例1 (2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，
f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，
令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)令f(x)＝0，得ex＝a(x＋2)，即1a＝x＋2ex，
所以函数y＝1a的图象与函数φ(x)＝x＋2ex的图象有两个交点，φ′(x)＝－x－1ex，
当x∈(－∞，－1)时，φ′(x)>0；
当x∈(－1，＋∞)时，φ′(x)<0，
所以φ(x)在(－∞，－1)上单调递增，
在(－1，＋∞)上单调递减，
所以φ(x)max＝φ(－1)＝e，且x→－∞时，
φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→0，
所以0<1a1e.
所以a的取值范围是1e，＋∞.
教师备选
已知函数f(x)＝xex＋ex.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数．
解 (1)函数f(x)的定义域为R，
且f′(x)＝(x＋2)ex，
令f′(x)＝0得x＝－2，则f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
(－∞，－2) －2 (－2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 －1e2 单调递增
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)，单调递增区间是(－2，＋∞)．
当x＝－2时，f(x)有极小值为f(－2)＝－1e2，无极大值．
(2)令f(x)＝0，得x＝－1，
当x<－1时，f(x)<0；
当x>－1时，f(x)>0，且f(x)的图象经过点－2，－1e2，(－1,0)，(0,1)．
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 导数的计算
3.2 导数的计算
[教材研读]
预习课本P81～85，思考以下问题
1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 12 的导数是什么？
2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？
[要点梳理]
1．基本初等函数的导数公式
2.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．
[自我诊断] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．y＝1x，y＝x，y＝x2等求导函数，都可以看成y＝xα(α∈Q*)，并用其导数公式求导．( )
2．y＝lnx在x＝2处的切线的斜率为12.( )
3．f(x)＝ex在点(0,1)处的切线的方程为x－y＋1＝0.( )
[答案] 1.√ 2.√ 3.√
题型一 利用导数公式求函数的导数
思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？
提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式．
求下列函数的导数：
(1)y＝10x；
(2)y＝lgx；
(4)y＝4x3；
(5)y＝sinx2＋cosx22－1.
[思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式．
[解] (1)y′＝(10x)′＝10xln10.
(2)y′＝(lgx)′＝1xln10.
(5)∵y＝sinx2＋cosx22－1
＝sin2x2＋2sinx2cosx2＋cos2x2－1＝sinx，
∴y′＝(sinx)′＝cosx. (1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理
【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理
1．导数与导函数的概念
(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0)．
(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x f′(x)＝1x
f(x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝1xln a
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[fxgx]′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( × )
2019年高考文科数学考点梳理之导数的概念及计算和导数的应用汇编
第1页，共43页 2019年高考文科数学考点梳理之导数的概念及计算和导数的应用汇编
考点11 导数的概念及计算
1．导数概念及其几何意义
（1）了解导数概念的实际背景.
（2）理解导数的几何意义.
2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数y=C（C为常数），21,,yxyxyx的导数.
（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
• 常见基本初等函数的导数公式：
1()0();(),nnCCxnxnN为常数；
(sin)cos;(cos)sinxxxx；
(e)e;()ln(0,1)xxxxaaaaa且；
11(ln);(log)loge(0,1)aaxxaaxx且.
• 常用的导数运算法则：
法则1：uxvxuxvx＝.
法则2：·uxvxuxvxuxvx＝＋.
法则3：2()()()()()[](()0)()()uxuxvxuxvxvxvxvx.
一、导数的概念
1．平均变化率
函数()yfx从1x到2x的平均变化率为2121()()fxfxxx，若21xxx，2()yfx1()fx，则平均变化率可表示为yx. 第2页，共43页 2．瞬时速度
一般地，如果物体的运动规律可以用函数()sst来描述，那么，物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到tt这段时间内，当t无限趋近于0时，st无限趋近的常数.
3．瞬时变化率
定义式 0000()()limlimxxfx+xfxyxx
实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用 刻画函数在某一点处变化的快慢
4．导数的概念
一般地，函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是0000()()limlimxxfx+xfxyxx，我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0|xxy，即00()limxyfxx000()()limxfx+xfxx.
导数的概念及应用(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)
考向14导数的概念及应用
【2022·全国·高考真题】曲线ln||yx过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】1eyx 1eyx
【解析】
【分析】
分0x和0x两种情况，当0x时设切点为00,lnxx，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x，即可求出切线方程，当0x时同理可得；
【详解】
解：因为lnyx，
当0x时lnyx，设切点为00,lnxx，由1yx，所以001|xxyx，所以切线方程为0001lnyxxxx，
又切线过坐标原点，所以0001lnxxx，解得0ex，所以切线方程为11eeyx，即1eyx；
当0x时lnyx，设切点为11,lnxx，由1yx，所以111|xxyx，所以切线方程为1111lnyxxxx，
又切线过坐标原点，所以1111lnxxx，解得1ex，所以切线方程为11eeyx，即1eyx；
故答案为：1eyx；1eyx
【2022·全国·高考真题】若曲线()exyxa有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】,40,
【解析】
【分析】
设出切点横坐标0x，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.
【详解】
∵()exyxa，∴(1)exyxa， 设切点为00,xy,则000exyxa,切线斜率001exkxa,
切线方程为：00000e1exxyxaxaxx,
∵切线过原点，∴00000e1exxxaxax,
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-1)教师用书：第3章 导数及其应用 3-1-3
3.1.3 导数的几何意义
1．理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程．(重点)
2．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1 导数的几何意义
阅读教材P83例1以上部分，完成下列问题．
1．设点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝ 错误!＝f′(x0).
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )
(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )
(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理2 导函数的概念
阅读教材P81导函数部分，完成下列问题．
导函数的概念
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f′(x)＝y′＝limΔx→0 错误!.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．( )
(2)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( )
(3)函数f(x)＝x2的导数是f′(x)＝2x.( )
(4)函数f(x)＝0没有导函数．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×