离散数学Lecture 03
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离散数学第三章课件ppt
以|P(A)|＝Cn0＋Cn1＋…＋Cnn＝2n。
定理3.6 设A和B是两个集合，则： (1)B∈P(A)BA。 (2)ABP(A)P(B)。 (3)P(A)＝P(B)A＝B。 (4)P(A)∈P(B)A∈B。 (5)P(A)∩P(B)＝P(A∩B)。 (6)P(A)∪P(B)P(A∪B)。
A∪B＝B。
反之，若A∪B＝B，因AA∪B，所以AB。 同理可证ABA∩B＝A。
定义3.7
设A和B为两个集合，所有属于A而不
属于B的元素组成的集合称为B对于A的补集
(Complement) ， 或 相 对 补 。 记 作 A － B ＝
{x|x∈A∧xB} 。 A － B 也 称 为 A 和 B 的 差 集
A的真子集，但A不是A的真子集。 注：∈与表示元素和集合的关系，而、与＝
表示集合和集合的关系。 例如，若A＝{0，1}，B＝{0，1，{0，1}}，则 AB且AB。
定理3.3 设A、B和C是三个集合，则
(1)(AA)。 (2)AB(BA)。 (3)AB∧BCAC。
证 仅证(2)和(3) 明 (2)AB x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)
例如，若A＝{0，{0}}，则P(A)A＝(P(A)－A)∪(A－ P(A))＝{，0，{{0}}，{0，{0}}}。
定理3.9 设A、B和C为三个集合，则： (1)AB＝BA。 (2)(AB)C＝A(BC)。 (3)A∩(BC)＝(A∩B)(A∩C)。
例1 设A和B为两个集合，且AB，则A∩CB∩C。
证 对任意的 x∈A∩C ，则有 x∈A 且 x∈C 。而 AB ， 明 由 x∈A 得 x∈B ，则 x∈B 且 x∈C ，从而 x∈B∩C 。所
以，A∩CB∩C。 例2 设A和B为两个集合，则ABA∪B＝BA∩B＝A。
离散数学课件 离散3.3-4.1节PPT
Example: Sort 3,2,4,1,5
procedure insertion sort(a1, a2, . . . , an ∶ real numbers with n ≥ 2) for j ∶= 2 to n
i ∶= 1 while aj > ai
i ∶= i + 1 m ∶= aj for k ∶= i to j − 1
Insertion sort: consider elements one by one, when considering the jth element, insert it into the correct position of the previously sorted j − 1 elements
Next time: Chap 4.2: Integer representations and algorithms Chap 4.3: Primes and greatest common divisors
1/2
Review of last time
Algorithms, pseudocode description of algorithms Linear search and binary search Insertion sort and bubble sort Greedy algorithms The halting problem is unsolvable Big-O/Ω/Θ notation and results
Example: To search for 19 in the list 1 2 3 5 6 7 8 10 12 13 15 16 18 19 20 22
The binary search algorithm
procedure insertion sort(a1, a2, . . . , an ∶ real numbers with n ≥ 2) for j ∶= 2 to n
i ∶= 1 while aj > ai
i ∶= i + 1 m ∶= aj for k ∶= i to j − 1
Insertion sort: consider elements one by one, when considering the jth element, insert it into the correct position of the previously sorted j − 1 elements
Next time: Chap 4.2: Integer representations and algorithms Chap 4.3: Primes and greatest common divisors
1/2
Review of last time
Algorithms, pseudocode description of algorithms Linear search and binary search Insertion sort and bubble sort Greedy algorithms The halting problem is unsolvable Big-O/Ω/Θ notation and results
Example: To search for 19 in the list 1 2 3 5 6 7 8 10 12 13 15 16 18 19 20 22
The binary search algorithm
离散数学第3章 集合
命题演算证明法的书写规范 (以下的X和Y代表集合公式) (1) 证XY
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
11
第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
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第三章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
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第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
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第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
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第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
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第三章 集合
离散数学(全套课件148P)
证 (2). 设 z[x]R∩[y]R, 则 zRx, zRy, 于是 [x]R[y]R 且 [y]R [x]R, 于是[x]R=[y]R.
2018/5/28
宁德师范高等专科学校
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三. 映射
函数f: X→Y. AX, f(A)={f(x)|xA}像;
BY, f (B)={xX | f(x)B}原像.
利用Cantor对角线法证明开区间(0, 1)中的实数不可数.
2018/5/28 宁德师范高等专科学校 8
Hale Waihona Puke 五. 无限集(2)直观上, 集合A中元素的个数称为该集合的基数, 记为 card A, 或|A|. |Z+|=0, |R|=. 若存在从集合A到集 合B的单射, 则定义|A|≤|B|.
连续统假设: 不存在基数, 使得0<<. 选择公理: 若A是由非空集构成的集族, 则AA, 可取 定(A)A.
2018/5/28 宁德师范高等专科学校 7
-1
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五. 无限集
通过一一映射来确定两集合的个数的多少.
有限集(或与某{1, 2, …, n}有一一映射), 无限集, 可数集 (或存在X到Z+的单射), 不可数集.
易验证: 有限集是可数集, 可数集的子集是可数集, 可数集 的映像是可数集. 定理1.7.3 X是可数集X是Z+的映像. 由此, Q是可数集, 两可数集的笛卡儿积集是可数集, 可数 个可数集之并集是可数集. 定理1.7.8 R是不可数集.
如 , Δ(X)={(x, x)|xX}, 恒 同 关 系 , 它 是 等 价 关 系 ; {(x,y)|x,yR, x<y}, 小于关系, 它是传递的, 但不是对 称的、不是自反的.
离散数学课件-第3章-3
个男士和n个女士 【Example】一个组有 个男士和 个女士。如果把他们男 】一个组有n个男士和 个女士。 女相间地排成一排，有多少种方式？ 女相间地排成一排，有多少种方式？ Solution:
我们假设这一排列可以有不同性别的排头。 我们假设这一排列可以有不同性别的排头。 首先我们先考虑n个男士的排列， 首先我们先考虑 个男士的排列，所有的排列数 个男士的排列 P (n, n)=n! 同样的我们也可以得到n个女士的排列数也为 同样的我们也可以得到 个女士的排列数也为n!. 个女士的排列数也为 现在将n个男士与 个女士相间的排列 现在将 个男士与n个女士相间的排列，我们可以采取先将女士排 个男士与 个女士相间的排列， 列好，然后往其中进行男士的排列， 列好，然后往其中进行男士的排列，并存在男士作为排头或女士作 为排头的两种情况。 为排头的两种情况。 由乘积法则可以知道总的排列方式数为
单位有7位代表 单位有3位代表 【example】 A单位有 位代表，B单位有 位代表，排成一列 】 单位有 位代表， 单位有 位代表， 合影，要求B单位 人排在一起。 单位3人排在一起 合影，要求 单位 人排在一起。 a) 问有多少种不同的排列方案？ 问有多少种不同的排列方案？ b) 若B单位的 人不能相邻，且A单位的 人排在两端，问 单位的3人不能相邻 单位的2人排在两端 单位的 人不能相邻， 单位的 人排在两端， 有多少种不同的排列方案。 有多少种不同的排列方案。 Solution： a) 将B单位 个人的某一排列作为一个元素，参加 单位进行排列。 单位3 单位进行排列。 单位 个人的某一排列作为一个元素，参加A单位进行排列
Example 5 字母 字母ABCDEFGH有多少种排列包含串 有多少种排列包含串ABC？ 有多少种排列包含串 ？ Solution： 由于字母ABC必须成组出线，我们可以通过找6个对 必须成组出线，我们可以通过找 个对 由于字母 必须成组出线 和单个字母D、 、 、 和 的排列数得 象，即组ABC和单个字母 、E、F、G和H的排列数得 即组 和单个字母 到答案。 到答案。 由于这6个对象可以按任何次序出线， 由于这 个对象可以按任何次序出线，存在 个对象可以按任何次序出线 6！=6*5*4*3*2*1=720种ABCDEFGHZ字母的排列，其 ！ 字母的排列， 种 字母的排列 成组出现。 中ABC成组出现。 成组出现
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
演示文稿离散数学课件
7.1 运算 7.1.2 运算
1)集合A上的k元运算—集合Ak到集合A 上的函数。
显然，k=1和2时就是所谓的一元运算和二元运算。 2)说明
①作为函数的另一种形式，运算通常写成新的表示形 式，即表达式形式，如：
- (<x,y>)=x-y x-y
②以后的讨论以二元运算为主，涉及的运算多为广义 的运算，比如出现运算符*并不代表普通的乘法运算（除非 特别申请）。
7.1 运算 7.1.2 运算的性质
④吸收律 设о和*为S上的两个可交换的二元运算， 若∀x，y∈S，都有: x*(xоy)=x 且 xо(x*y)=x ，
则称运算*和о满足吸收律。
如，∧，∨与∪，∩都满足吸收律，而R上的普通加， 减，乘，除都不满足吸收律。
7.1 运算
7.1.2 运算的性质 ④吸收律 设о和*为S上的两个可交换的二元运算， 若∀x，y∈S，都有: x*(xоy)=x 且 xo(x*y)=x ， 则称运算*和о满足吸收律。
如，∧，∨与∪，∩都是等幂的，而R上的普通加，减， 乘，除都不是等幂的。
7.1 运算 7.1.2 运算的性质
结论：在代数系统<S,*,o >中，若运算*,o满足吸收律， 则必满足等幂律。
∀a,b,c∊S，若有： a*(aob)=a ao(a*b)=a
则必有：a*a=a aoa=a
这是因为：a*a =a*(ao(a*b)) =a*(ao( … )) =a
7.1 运算 7.1.2 运算的性质
①交换律 设о为S上的二元运算，若有∀x,y∈S，都有 xoy=yox， 则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。
如，R上普通的加，乘法满足交换律，而减，除法不 满足交换律。
其它可交换与不可交换的例子：
离散数学第三章消解基本知识
*第三章消解原理3.1 斯柯伦标准形内容提要我们约定，本章只讨论不含自由变元的谓词公式(也称语句,sentences)，所说前束范式均指前束合取范式。
全称量词的消去是简单的。
因为约定只讨论语句，所以可将全称量词全部省去，把由此出现于公式中的“自由变元”均约定为全称量化的变元。
例如A(x)实指∀xA(x)。
存在量词的消去要复杂得多。
考虑∃xA(x)。
（1）当A(x)中除x外没有其它自由变元，那么，我们可以像在自然推理系统中所做那样，可引入A(e/x)，其中e为一新的个体常元，称e为斯柯伦（Skolem）常元，用A(e/x)代替∃xA(x),但这次我们不把A(e/x)看作假设,详见下文。
（2）当A中除x外还有其它自由变元y1,…,y n，那么∃xA(x, y1,…,y n) 来自于∀y1…∀y n∃xA(x, y1,…,y n)，其中“存在的x”本依赖于y1,…,y n的取值。
因此简单地用A(e/x, y1,…,y n)代替∃xA(x, y1,…,y n) 是不适当的，应当反映出x对y1,…,y n的依赖关系。
为此引入函数符号f，以A(f(y1,…,y n)/x, y1,…,y n) 代替∃xA(x, y1,…,y n)，它表示：对任意给定的y1,…,y n, 均可依对应关系f确定相应的x，使x, y1,…,y n满足A。
这里f是一个未知的确定的函数，因而应当用一个推理中尚未使用过的新函数符号，称为斯柯伦函数。
定理3.1（斯柯伦定理）对任意只含自由变元x, y1,…,y n的公式A(x, y1,…,y n)，∃xA(x, y1,…,y n)可满足，当且仅当A(f(y1,…,y n), y1,…,y n)可满足。
这里f为一新函数符号；当n = 0时，f为新常元。
定义3.1设公式A的前束范式为B。
C是利用斯柯伦常元和斯柯伦函数消去B中量词（称斯柯伦化）后所得的合取范式，那么称C为A的斯柯伦标准形（Skolem normal form）。
离散数学 第三章 函数
1 χA(x)= 0 当 x ∈ A时 当 x ∉ A时
于是我们有 χA′(x)=1- χA(x) χA∩B(x)= χA(x) .χB(x) χA∪B(x)= χA(x) +χB(x) - χA∩B(x)
16
离散数学
A⊆B⇔(∀x∈X)(χA(x) ≤χB(x)) A=B⇔(∀x∈X)(χA(x) =χB(x)) A=∅⇔(∀x∈X)(χA(x) =0) A=X⇔(∀x∈X)(χA(x) =1) 。 例11.谓词的特征函数：设P是X上的谓词，我们定义P的 特征函数 χP :X→{0,1} 如下
14
离散数学
设f ,g是由X到Y的两个函数，f ,g :X→Y，则 f = g ⇔ (∀x∈X)(f(x) = g(x) ) 。 定义3.运算(operation) 定义 对于任何自然数n≥1，n元运算f是一个从n维叉积Xn到 X的函数。 即 f :Xn →X 。 一般说来，运算具有以下两个特点： (1)定义较一般函数特殊； (2)易可操作性； 特别地，一元运算 f :X→X； 二元运算 f :X × X→X。 例9.集合的余运算 ′ :2X → 2X 是一元运算； 集合的交，并运算 ∩ ,∪ :2X × 2X → 2X 是二元运算。
1 χP(x)= 0 当P(x)为真时 当P(x)为假时
于是我们有 χ¬P(x)=1- χP(x) χP∧Q(x)= χP(x) .χQ(x) χP∨Q(x)= χP(x) +χQ(x) - χP∧Q(x)
17
离散数学
(P⇒Q)⇔(∀x∈X)(χP(x)≤χQ(x)) (P⇔Q)⇔(∀x∈X)(χP(x)=χQ(x)) F⇔(∀x∈X)(χF(x) =0) T⇔(∀x∈X)(χT(x) =1) 。
。
于是我们有 χA′(x)=1- χA(x) χA∩B(x)= χA(x) .χB(x) χA∪B(x)= χA(x) +χB(x) - χA∩B(x)
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离散数学
A⊆B⇔(∀x∈X)(χA(x) ≤χB(x)) A=B⇔(∀x∈X)(χA(x) =χB(x)) A=∅⇔(∀x∈X)(χA(x) =0) A=X⇔(∀x∈X)(χA(x) =1) 。 例11.谓词的特征函数：设P是X上的谓词，我们定义P的 特征函数 χP :X→{0,1} 如下
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离散数学
设f ,g是由X到Y的两个函数，f ,g :X→Y，则 f = g ⇔ (∀x∈X)(f(x) = g(x) ) 。 定义3.运算(operation) 定义 对于任何自然数n≥1，n元运算f是一个从n维叉积Xn到 X的函数。 即 f :Xn →X 。 一般说来，运算具有以下两个特点： (1)定义较一般函数特殊； (2)易可操作性； 特别地，一元运算 f :X→X； 二元运算 f :X × X→X。 例9.集合的余运算 ′ :2X → 2X 是一元运算； 集合的交，并运算 ∩ ,∪ :2X × 2X → 2X 是二元运算。
1 χP(x)= 0 当P(x)为真时 当P(x)为假时
于是我们有 χ¬P(x)=1- χP(x) χP∧Q(x)= χP(x) .χQ(x) χP∨Q(x)= χP(x) +χQ(x) - χP∧Q(x)
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离散数学
(P⇒Q)⇔(∀x∈X)(χP(x)≤χQ(x)) (P⇔Q)⇔(∀x∈X)(χP(x)=χQ(x)) F⇔(∀x∈X)(χF(x) =0) T⇔(∀x∈X)(χT(x) =1) 。
。
离散数学课件-第3章-4
初始条件是P0=10000. 我们可以使用迭代法找到关于Pn的公式。注意 P1=(1.11)P0 P2=(1.11)P1=(1.11)2P0 … Pn=(1.11)Pn-1=(1.11)nP0
当代入初始条件P0=10000，就得到公式
Pn=(1.11)n10000 我们可以使用数学归纳法验证它的正确性。
思考：关于这个难题有一个古老的传说，在汉诺有一座塔，那 里的僧侣按照这个游戏的规则从一个珠子到另一个珠子移动64 个金盘子，据说当它们结束游戏时世界就到了末日。如果这些 僧侣1秒钟移动1个盘子，这个世界将在他们开始多久以后终结？
Solution：
根据显式公式
Hn=2Hn-1+1 僧侣们移动64个金盘子需要 264-1=18 446 744 073 709 551 615 次移动来搬动这些盘子。 每次移动需要1秒钟，他们将用5000亿年来求解这个问题。
Solution： 注意到a1=9，因为存在10个1位十进制数字串，并且只 有一个，即串0是无效的。 通过考虑怎样由n-1位的数字串构成一个n位有效数字串 ，这就可以推导出关于这个序列的递推关系。从少1位数字 的串构成n位有效数字串有两种方式。 第一种，在一个n-1位的有效数字串后面加上一个非0的 数字就可以得到一个n位的有效数字串。加这个数字的方式 有9种。 因此用这种方法构成n位有效数字串的方式有9an-1种。
公式对n=0是正确的，这是初始条件的直接结果。
假定Pn=(1.11)n10000,那么由递推关系和归纳假设， Pn+1=(1.11)Pn=(1.11)(1.11)n10000=(1.11)n+110000
这证明了对Pn的显式公式是正确的。
将n=30代入公式Pn=(1.11)n10 000就证明了在30年后账上包含 P30=(1.11)30 10000=228922.97美元。
当代入初始条件P0=10000，就得到公式
Pn=(1.11)n10000 我们可以使用数学归纳法验证它的正确性。
思考：关于这个难题有一个古老的传说，在汉诺有一座塔，那 里的僧侣按照这个游戏的规则从一个珠子到另一个珠子移动64 个金盘子，据说当它们结束游戏时世界就到了末日。如果这些 僧侣1秒钟移动1个盘子，这个世界将在他们开始多久以后终结？
Solution：
根据显式公式
Hn=2Hn-1+1 僧侣们移动64个金盘子需要 264-1=18 446 744 073 709 551 615 次移动来搬动这些盘子。 每次移动需要1秒钟，他们将用5000亿年来求解这个问题。
Solution： 注意到a1=9，因为存在10个1位十进制数字串，并且只 有一个，即串0是无效的。 通过考虑怎样由n-1位的数字串构成一个n位有效数字串 ，这就可以推导出关于这个序列的递推关系。从少1位数字 的串构成n位有效数字串有两种方式。 第一种，在一个n-1位的有效数字串后面加上一个非0的 数字就可以得到一个n位的有效数字串。加这个数字的方式 有9种。 因此用这种方法构成n位有效数字串的方式有9an-1种。
公式对n=0是正确的，这是初始条件的直接结果。
假定Pn=(1.11)n10000,那么由递推关系和归纳假设， Pn+1=(1.11)Pn=(1.11)(1.11)n10000=(1.11)n+110000
这证明了对Pn的显式公式是正确的。
将n=30代入公式Pn=(1.11)n10 000就证明了在30年后账上包含 P30=(1.11)30 10000=228922.97美元。