一元一次不等式(组)考点例析
三角形 ． 二元一次方程组 自测题（ 参考答案 Ａ）
１ 一１ ２ １０ ３ －２ ２ ４ 十． ５ ÷（ －２． ６ ． ． ＿ ． ２。 ． ， ． ． ． ５ ） ．５ ． ｘ
７ ．０ ． ８ ６ ． ． ９ Ａ ． Ｆ． １ ． ３。２ ０ ． １ ． Ｂ． １ １ ． Ｃ ２ １ ． Ｃ． ３
解 去分母 去括号 ， １ｘ ６ １ｘ ． 得 ２ － ０ ＋１移项 ， １ｘ １ｘ ￣ ２ － ０
．
≥ｌ ． ＋６合并 ， ２ 得 ≥ ７ 化系数为 ｌ 得 ≥ ． ， ７
甾 例４ （ ０年 夏回 治Ｉ 不 式２ ‘ ～ ＜８ 解 ■ ‘ ２ ４ 宁 族自 Ｘ 等 ≤３ ７ 的 ０ ） 工
解析 由方程盯 ＋１ 一。 ２ 的解是 一３解得ｎ：一４ 当日： ， ＝ ， ： ： ：
一
４ ， 时 不等式为 一２ ＜一６根据不等式的基本性质得 ｚ＞ ３ ， ．
例 ２ （６ ５年 四川省绵 阳市 ） ２０ 如果 关于 的不等式 （ ｎ＋
１ｘ＞ｎ＋ １的解集 为 ＜ １ 那 么 ｎ的取值 范 围是 （ ） ，
所 以车辆安排有三种方案． 方案一 ：甲种车、 乙种车 各 ５辆 ； 方案 二 ：甲种车 ６ ， 辆 乙种车 ４ ； 辆 方案三 ：甲种车 ７ ， 辆 乙种车 ３ 辆．
（） ２ 方案一 ， 需运输费 ： ０ ＋１ ０ Ｘ５ ６ ０ （ ． ２ ０ Ｘ５ ０ —１ ０ 元） ０ ３ ５
方案二， 需运输费： ０ Ｘ６ ０ Ｘ４ １ ０ 元） ２ ０ ＋１ ０ ＿ ７ ０ （ ． ０ ３ － ２ 方案三 ， 需运输费 ： ０ Ｘ７ ０ Ｘ３ １ ０元 ） ２ ０ ＋１ ０ － ７ ０ （ ． ０ ３ ９
故方案一所需运输费最少， １ ０ 元． 为 ６ ０ ５
列不等式（ 解实际问题与列方程（ 解实际问题的方法 、 组） 组） 步骤类 似， 关键是认真审题 ， 根据数量之间的关系 ， 列出不等式（ ． 组）
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例 析
（ 常见题型 ， 组） 归
类解析如下 ， 供参考 ：
日圉黑匿圈蓬 圈 登 例 ２５ 宁 市 已 方 衄 １＝的 是 ＝ ， １（０年 夏 ） 知 程 ＋２： 解 ３ ０ ： ０
求 不等 武（ ２ｘ＜一 ６的解 集． ｎ＋ ）
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解 题 方 法
（） １ 设安排甲种货车 Ｘ辆 ， 则安排乙种货车 （０ ） ， １ 一Ｘ 辆 根据题意
得 ｛
）３ 得≤≤． 数为，． ． ５ ７整 ５７ ｉ解 ＞’ 故 ｏ ６ ＇
（ Ａ）ｎ＞ ０ （ Ｂ）Ⅱ＜ ０ （ Ｃ）ｎ＞ 一 １
） ．
（ Ｄ）ｎ＜一 １
解析 因为在 （ ＋１ ｎ ） ｎ 的两边同除以（ ＋１ 得 ＜ ＞ ＋ｌ ｎ ）
１ 等号改变 方向 ， ｎ １ ０ 得到 ｎ ， 故 ＋ ＜ ， ＜一１所 以选 Ｄ ， ．
塑圉圜
荡 ｒ （０年 京 海 区 解 等 ２一 ≥ ｈ ． 例３ ２ ５ 北 市 淀 ） 不 式 ｘ １ ０ —
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
１ 八 ５Ａ ６Ｄ １ Ｂ ８ｃ ９／ ２ ４ １ ． ． ． ７ ． ． １ Ｉ 一 １７ ． ． １ ． １ ．Ｘ ６． ＝， Ｙ
２ ｛：’２ ２ ２／＞ ２ ３长１ｍ宽 ０ ： １ ０ ． １／．２ ５ ， ７ ．＝ ．。 ．２ ． ｃ ｃ 札
Ｉ ＝ ＝ ，・ ；
２ 略 ５ ＢＣ ０ － Ａ ２ 预 期 天，划 产 ４ ．２ Ｏ 一９ ＋￣ ． ６ 定 限６ 计 生 汽 ． ． 。 ／ ．
车 ２０ ２ ．（） ２ 辆． ７ １ 判断正确 ；２ 判断不正确． ２ ． （） ８ 原来小学在校生
１ ５ 人 ， ７ ４ 初中在校生 １ ２ 人． ０ ０ ０ ９
第一章 一元一次不等式复习11
一元一次不等式复习班 学号 姓名__________________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆第一章 一元一次不等式复习 课前准备 本章从现实背景出发，通过建立模型，引入不等式，、一元一次不等式、一元一次不等式组的概念及其解法。
之后又将获取的知识应用于解决实际问题。
在学习中要注意体会数形结合的思想，体会不等式建模解决实际问题的过程。
这部分内容是中考的必考内容之一，中考交会以填空和选择的方式考查不等式的基本性质、解集的概念和把解集在数轴上表示出来，不等式的应用性问题还是近年中考的热点内容，考查可能与日常生活相联系，也可能与其它章节内容，如方程、函数及几何内容相结合。
复习准备 请同学们总结这一章的内容，自备纸张进行列举，然后和同伴进行交流，看谁列举的全面。
同时，看自己遗漏了哪些知识。
结合自己列举的本章主要内容，回答课本37页回顾与思考中提出的问题。
典型例析（参考分析，完成解答） 例1若a>b 且c 为有理数，则( )A ac>bcB ac<bcC ac 2>bc 2D ac 2≥bc 2分析：醒主要是考查不等式性质的应用，要比较ac 与bc, ac 2与bc 2的大小由c 来决定，因此解本题时要从c 从的的取值入手。
由于C 的正负性不确定，因此ac 与bc 的大小也不确定。
例2不等式｛3x ≤6x+1>0的整数解是 。
分析：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内可能是有限的。
如自然数解，非负整数解，整数解等等，对于这类问题通常是先求出不等式组的解集，然后再确定某些范围内不等式（组）的解。
例3.已知y 1=2x+3,y 2=x+4,当x 取何值时，y 1<y 2？ 分析；本题是不等式与一次函数的简单组合，可以用两种方法解决。
方法一：将函数转化为不等式，解不等式即可。
中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
中考专题复习-一元一次方程(组)含答案
中考数学总复习-方程与不等式一次方程(组)【基础知识回顾】一、等式的概念及性质：1、等式：用“=”连接表示关系的式子叫做等式2、等式的性质：①、性质1：等式两边都加(减）所得结果仍是等式，即：若a=b,那么a±c=②、性质2:等式两边都乘以或除以(除数不为0）所得结果仍是等式即:若a=b,那么a c= ，若a=b（c≠o）那么a c =【名师提醒：①用等式性质进行等式变形,必须注意“都"，不能漏项②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值】二、方程的有关概念:1、含有未知数的叫做方程2、使方程左右两边相等的的值,叫做方程的组3、叫做解方程4、一个方程两边都是关于未知数的，这样的方程叫做整式方程三、一元一次方程:1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤:1。
2。
3。
4。
5。
【名师提醒:1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则,要注意灵活准确运用;2、特别提醒:去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意.】四、二元一次方程组及解法：1、二元一次方程的一般形式:ax+by+c=0（a.b 。
c 是常数，a≠0，b≠0)；2、由几个含有相同未知数的 合在一起,叫做二元一次方程组；3、 二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解；4、 解二元一次方程组的基本思路是: ;5、 二元一次方程组的解法：① 消元法 ② 消元法【名师提醒:1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解2、二元一次方程组的解应写成五、列方程(组）解应用题:一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量2、设:直接或间接设未知数3、列:根据题意寻找等量关系列方程（组)4、解：解这个方程(组)，求出未知数的值5、验:检验方程(组）的解是否符合题意6：答:写出答案（包括单位名称）【名师提醒:1、列方程(组)解应用题的关键是： 2、几个常用的等量关系：①路程= × ②工作效率= 】 【重点考点例析】考点一:二元一次方程组的解法对应训练 1．（2016•湘西州)解方程组： 213211x y x y +=⎧⎨-=⎩①②． ．x=a y=b 的形式考点二:一(二）元一次方程的应用例2 （2016•齐齐哈尔）假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案(）A．5种B．4种C．3种D．2种故选：C．例3 (2016•张家界)为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2。
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数【基础知识精讲】1.一元一次不等式与一次函数的关系。
两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。
另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。
事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。
2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。
一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。
【考点聚焦】本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。
题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。
【典例精析】例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。
思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。
解：由图象可知：（1）当x＞3时，y＞0；（2）当x＜3时，y＜0；（3）当x＞6时，y＞3。
评注：（1）两点确定一条直线。
（2）大于往右看，小于往左看。
【试解相关题】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。
已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？思路点拨：此题两问均牵扯到不等式问题，但需先列函数关系式。
解：设当时间为x秒时，跑过的路为y米，则y哥哥=4x，y弟弟=3x＋9如图所示，由图象知9秒前弟弟跑在哥哥前面；9秒后，哥哥跑在弟弟前面。
评注：通过以上两例，体会：刻画运动变化的规律需要用函数模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型。
2018中考数学题型专项研究12讲：2018中考数学题型专项研究第3讲：不等式(组)的解法
第3讲不等式（组）的解法1．确定不等式的解集并把它表示在数轴上．2．确定不等式组的解集并把它表示在数轴上．3．确定不等式组的特殊解．1．去分母时，容易出现漏项或者是两边所乘的不是最简公分母．2．去括号时，如果括号前是负因数，容易出现部分变号错误．3．移项时，对“被移动的项”理解错误，导致该变号的不变，不该变号的变了号．4．化系数为1时，两边同时除以未知数的系数，容易把该系数写到分子上．5．在不等式两边同时乘上或除以负数时不等号的方向要改变．6．在数轴上表示解集时，要注意有等号的点用实心点，无等号的点用空心圈．7．确定不等式组的解集时对公共部分的表示不合理，规律：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1、把解集表示在数轴上．近几年直接考查解不等式(组)题目较少，但不等式(组)是解决实际问题的有效工具，所以能够准确解不等式(组)就显得尤为重要．确定不等式组的解集时，先确定每个不等式的解集，再利用数轴寻找它们的公共部分．【典例解析】【例题1】（2017毕节）关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．2【考点】C3：不等式的解集．【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据x≥4，求得m的值．【解答】解：≤﹣2，m﹣2x≤﹣6，﹣2x≤﹣m﹣6，x≥m+3，∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，∴m+3=4，解得m=2．故选：D．【例题2】关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是（）A．3 B．2 C．1 D．【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得最小值．【解答】解：，解①得x≤a，解②得x＞﹣a．则不等式组的解集是﹣a＜x≤a．∵不等式至少有5个整数解，则a的范围是a≥2．a的最小值是2．故选B．【例题3】（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，依题意得：=，解得x=5．经检验x=5是原方程的解，且符合题意．答：梨树苗的单价是5元；（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，依题意得：（5+2）+5a≤6000，解得a≥850．答：梨树苗至少购买850棵．【例题4】为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？【分析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．【解答】解：（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元由题意得，解得，答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，由题意得：，解得，∴3≤a≤5，∵x取整数，∴x=3，4，5．即共有3种方案：方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．【专项训练】一、选择题：1.（2017湖南株洲）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．2.（2017浙江湖州）一元一次不等式组的解是（）A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x≤2 D．x＞﹣1或x≤2【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．2-1-c-n-j-y【解答】解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣1，解不等式x≤1，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故选：C．3.（2017青海西宁）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣2x+1＜3，得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，故选：B．4.（2017•益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．错误!未找到引用源。
北师大版2024新版七年级数学上册第五章考点例析3：一元一次方程的应用-相遇问题、追及问题、工程问题
考点三 一元一次方程的应用
例1.A,B两站间的路程为448千米,一列慢车从A站出发,每小时行驶60千米,一列快车 从B站出发,每小时行驶80千米,问: (2)两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,出发后多少小时快车追上慢车?
慢车
快车(2)解:设两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,
快车的路程 - 慢车的路程 = AB两站间的路程
出发后x小时快车追上慢车.
设经过x小时快车追上慢车,
60x
根据题意得,80x-60x=448,
慢车的路程 解得x=22.4 .
80x-60x=448
解方程得x=22.4 答:两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,出发
经检验, x=22.4是该实际问题的解.
C
A 后22.4小时快车追上慢车.B 快车的路程
列方程为( B )
A.
x 5
+
x+1 8
=1
B.
x 5
+
x-1 8ຫໍສະໝຸດ =1C.x 5
-
x+1 8
=1
D.
x 5
-
x-1 8
=1
甲的工作效率为
1 5
工作1总量
=
工作效率
×
工作乙时的间工作效率为
1 8
1天
甲
甲做了x天 乙做了(x-1)天 甲的工作总51量x+乙81 的(x工-1作) 总量= 1
乙
工作总量=工作效率 × 工作时间
出发后22.4小时,快车追上慢车.
80x
考点三 一元一次方程的应用
例1.A,B两站间的路程为448千米,一列慢车从A站出发,每小时行驶60 千米,一列快车从B站出发,每小时行驶80千米,问: (1)两车同时开出,相向而行,出发后多少小时相遇? (2)两车同时开出,同向而行,如果慢车在前,出发后多少小时快车追上慢车?
高中数学不等式题解题方法
高中数学不等式题解题方法高中数学中，不等式是一个重要的考点，也是学生们普遍感到困惑的一个难点。
解不等式题需要掌握一定的方法和技巧，下面我将以具体的题目为例，详细介绍高中数学不等式题的解题方法。
一、一元一次不等式1. 题目：求解不等式2x + 3 > 5。
解析：这是一个一元一次不等式，我们可以通过移项和化简来求解。
首先，将不等式中的常数项移到一边，得到2x > 2。
然后，将不等式两边都除以2，得到x > 1。
所以，不等式的解集为{x | x > 1}。
2. 题目：求解不等式3x - 4 ≤ 7。
解析：这是一个一元一次不等式，我们可以通过移项和化简来求解。
首先，将不等式中的常数项移到一边，得到3x ≤ 11。
然后，将不等式两边都除以3，得到x ≤ 11/3。
所以，不等式的解集为{x | x ≤ 11/3}。
通过以上两个例子，我们可以总结出解一元一次不等式的方法：将不等式中的常数项移到一边，然后将不等式两边都除以系数，最后根据不等号的方向确定解集。
二、一元二次不等式1. 题目：求解不等式x^2 - 3x + 2 > 0。
解析：这是一个一元二次不等式，我们可以通过求解方程来确定不等式的解集。
首先，将不等式转化为方程x^2 - 3x + 2 = 0。
然后，求解方程得到x = 1或x = 2。
接下来，我们需要确定不等式在这两个解的两侧的取值情况。
取一个介于1和2之间的数，比如1.5，代入不等式中，得到1.5^2 - 3(1.5) + 2 = 0.25 > 0。
所以，不等式在x = 1和x = 2之间是大于0的。
综合起来，不等式的解集为{x | 1 < x < 2}。
通过以上例子，我们可以总结出解一元二次不等式的方法：先求解方程，然后确定不等式在解的两侧的取值情况，最后根据不等号的方向确定解集。
三、绝对值不等式1. 题目：求解不等式|2x - 1| > 3。
人教版七年级数学下第九章 一元一次不等式归类总结
流 第九章 一元一次不等式【基础知识梳理】一、 一元一次不等式1．不等式的基本性质：(1)不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b ，那么a ±c>b ±c．(2)不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b ，c>0，那么ac>bc 或a c >b c． (3)不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向① ，用式子表示：a>b ，c<0，那么，ac ② bc 或a c ③b c． 2．解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并 ④ ，把系数化为1．3．不等式解集及其数轴表示法⑴ 不等式表示：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8．(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．如：注意:表示4的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．温馨提示：不等式的性质是解不等式的重要依据.在解不等式时，值得注意的是在不等式的两边除以一个负数时，不等号的方向一定要改变.二、一元一次不等式组一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．⑴ 温馨提示：求几个一元一次不等式组的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定．公共部分是指数轴上被两条不等式解集的区域都覆盖住的部分．⑵ 求解不等式组的关键是求一元一次不等式的解集．由于一元一次不等式都可转化为x ＞a 或x ＜a 的最简形式，因此只要分为两种情形讨论其解集即可(不妨设a>b)：① 当不等号的方向一致时(称同向不等式)，即：流对这类不等式组可按“同大取大；同小取小”的法则，即取公共部分为它的解(如图1)．图1 图2所以在图1中，不等式组的解集为x>a, 在图2中，不等式组的解集为⑤.②当不等号的方向相反时(称异向不等式)，即：则若未知数的取值比大数小，比小数大时，不等式组的解集在两数之间，取公共部分(如图3)；图3所以在图3中，不等式组的解集为⑥.若未知数的取值比大数还大，比小数还小，不等式组的解集是空集，即没有公共部分(如图4)．图4所以在图3中，不等式组的解集为空集,即无解.上述不等式组的解集用一句顺口溜表示为” 同大取大, 同小取小,小大大小中间找, 大大小小解不了(答：无解).三、不等式(组)的应用1．列不等式解应用题的基本步骤：①审题；②设未知数；③列不等式；④解不等式；⑤检验并写出答案．2．列不等式组解决实际问题与列一次方程组解决实际问题的步骤大致相同，不同的是前者寻找不等量关系，后者建立的是等量关系，并且解不等式组所得的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案．流【考点例析】一、不等式的基本性质例1、若a<b<0，则下列式子：①a+1<b+1； ②a b >1；③a+b<ab ；④1a <1b 中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分析与解：本题就是不等式性质的应用.对于①是在不等式两边都加上1,根据不等式性质1,该不等式成立;对于②是在不等式两边同时除以b,因为b 是负数, 根据不等式的基本性质，同乘同除一个负数时，不等号的方向要改变,所以②也正确;对于③,因为a<b<0,所以a+b<0,ab>0,所以③正确;对于④是在不等式的两边同乘以1ab >0，可得1a >1b ,故④不正确，故选C. 点拨：不等式的基本性质是不等式的核心，特别要注意不等式的性质3的利用，不等号的方向要改变.二、不等式解的表示方法例2. 解集在数轴上表示为如图5所示的不等式组是（ ）A ．32x x >-⎧⎨⎩≥B ．32x x <-⎧⎨⎩≤C ．32x x <-⎧⎨⎩≥D ．32x x >-⎧⎨⎩≤ 分析与解：不等式（组）的解集在数轴上表示的形状是一条射线，小于向左画，大于向右画，无等号的画空心圆圈，有等号的画实心圆点，因此判断不等式的解集为.32x x >-⎧⎨⎩≤，故选D.点拨：利用数轴表示不等式（组）的解，关键要熟知不等号的表示方法.尤其是空心和实心的区别.三、不等式（组）解法步骤例3. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：23-图5流 3(1)7251.3x x x x --⎧⎪⎨--<⎪⎩≤， ① ②分析与解：解不等式①，得2x -≥；解不等式②，得12x <-．在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图： 或者根据“同大取大；同小取小；小大大小中间找，大大小小解不了”的原则，可以得到：原不等式组的解集是122x -<-≤． 点拨：会解不等式（组）是一个基本要求，关键是利用好不等式的基本性质，同时要注意解的范围的确定方法.四、不等式(或组)的整数解问题例4. 解不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧->--≤-4315221x x x x 并求其整数解的和.分析：欲求整数解的和，就要求出它的整数解，而要求出整数解，就要先求出不等式组的解集,然后根据解集求出符合条件的整数解.解：解①，得23->x ；解②，得x ≤4，故不等式组的解是x <-23≤,4故它的 整数解是－1，0，1，2，3，4，从而整数解的和是－1＋0＋1＋2＋3＋4=9.点拨：解这类问题的一般步骤为：①求出一元一次不等式（组）的解集；②找出适合解集范围内的特殊解，如整数解、自然数解等.就本题而言，求出整数解后不要忘了求整数解的和.五、不等式式(或组)中待定字母范围的确定例5. （1）若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为—1<x<1，则（a+1）（b —1）的值是__________；2-1-01流 （2）若不等式3x-a ≤0的正整数解为1、2、3，则a 的取值范围是__________．分析：（1）先求出不等式组的解集，再与已知解集对照比较，确定a 、b 的值；（2）先求出不等式的解集，再利用数轴确定a 的取值范围． 解：（1）解原不等式组中的各个不等式得：1232a x x b+⎧<⎪⎨⎪>+⎩依题意知，解集为3+2b<x<a+12，又∵不等式组的解集为-1<x<1.∴ 112321a b +⎧=⎪⎨⎪+=-⎩（1）（２）由（1）得：a+1=2，由（2）得：b=—2，则b —1=—3，∴（a+1）（b —1）=2×(-3)=-6；（2）不等式的解集为x ≤a 3，如右图所示，解集为x ≤3到x<4范围内时，满足原不等式的正整数解恰好为1，2，3．故有：3≤a 3<4，解得9≤a<12．所以a 的取值范围是9≤a<12．点拨：确定不等式组中的字母的取值范围，主要有三种方法：（1）运用不等式的解集确定 ；（2）从反面求解确定；（3）借助数轴来确定。
人教版(2024版)七年级数学上册第五章考点例析4：一元一次方程的应用-积分问题、盈亏问题、配套问题
一元一次方程的应用
积分问题
不败:胜利和平手. 胜利赢得的积分+平手赢得的积分=总积分.
盈亏问题
利润=售价-成本 利润=成本×利润率
配套问题: a个甲与b个乙为一套
甲的总数量 a
=
乙的总数量 b
b×甲的总数量=a×乙的总数量
考点三 一元一次方程的应用
例2.一商店在某一时间以每件a元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件
亏损20%,在这次买卖中,这家商店( D )
A.不盈不亏
B.盈利20%a元
C.亏损20%a元
D.亏损112 a元
售价 - 成本 = 利润
第一件衣服 第二件衣服
a - x = 20%x 总利润>0 盈利
a - 总y利润=<0-20%亏y 损
a-x=20%x
x=
5 6
a
a-y=-20%y
y=
5 4
a
× 利润率 = 利润 成本
20%
-20%
20%x+(-20%y)
=20%×
5 6
a+(-20%× 45
a)
=-112 a <0
考点三 一元一次方程的应用
例3.某车间有62名工人,生产甲、乙两种零件,每人每天平均能生产甲种零件12个或
典型考题
一元一次方程的应用
——积分问题、盈亏问题、配套问题
考点三 一元一次方程的应用
胜利 平手
例1.在一场足球联赛中,甲队在联赛前30场比赛中只输了4场,其它场次全部保持不败,
共取得了74个积分,暂列积分榜第一位.已知胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,
设甲队一共胜了x场,则可列方程为( C )
第二讲 方程与不等式
０１ １
分式方 Ｉ 程 Ｉ 『
考 点 解 读 ：解 分 式 方 程 和分 式 方 程 的应 用 是 命 题 的重 点 ．解 分 式 方程 要 注 意验 根 ， 实 际 应用 中 ， 在 自变 量还 受 实 际 问题 的限制 ． 考 点 １ 解 分 式 方 程
一
ｌ
一１ ０， 方 程 不 成 立． ： 此
所 以ｍ的值 为 ３ ．选 Ｄ． 温 馨 小 提 示 ： 满足 最 简公 分 母 等 于 ０ ， 就 是 分 式 方 程 的 当 时 它
增 根 ， 代 入 原 方 程 检 验 ．本 题 中 容 易 出现 选 Ａ的 错 误 ， 因是 没 再 原
温 馨 小 提 示 ： 分 式 方 程 的基 本 思路 是 “ 化 ” 把 分 式 方程 转 解 转 ，
化 为整 式 方程 求 解． 另 外 ， 分 式 方 程 一 定要 验 根． 解 考 点 ２ 增 问 题 例 ５ （ ０ １ 鸡 西 卷 ）分 式 方 程 ２ ｌ年 根 ， ｍ的值 为 （ 则
考 点 １ 列 一 元 一 次 方 程
例 １ （０１ 湘潭卷） 潭历 史悠久 ， ２ １年 湘 因盛 产 湘 莲 ， 誉 为 “ 被 莲
城” ．李 红 买 了 ８ 莲 蓬 ， ５ 元 ， 回３ 元 ， 每 个 莲 蓬 的 价 格 为 个 付 ０ 找 ８ 设 Ａ
元 ， 据题意 ， 出方程为 根 列
Ａ． 一 ｌ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３
解 因 ｆ２ 二 一 方 组【 ＋ ，解 ：为 ， 元 次 程 ｆ—ｂＹ 的 ， ＝是 ｘ ｙ＝１ ａｂ７ Ｌ ｙ＝１ ｘ ａ