初三相似三角形讲义全
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学习参考 相似三角形知识点总结
知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC与△A/B/C/相似，记作: △ABC∽△A/B/C/ 。
相似三角形的比叫相似比
相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A/B/C/，相似比为k，则△A/B/C/与△ABC的相似比是1k
知识点2、相似三角形与全等三角形的关系
（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理
1. 比例线段的有关概念：
在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，abcdabcdadbcac()
b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：
①基本性质：abcdadbc ②合比性质：±±abcdabbcdd
③等比性质：……≠……abcdmnbdnacmbdnab()0
3. 平行线分线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
已知l1∥l2∥l3,
A D l1
B E l2
C F l3
可得EFBCDEABDFEFACBCDFEFABBCDFDEACABEFDEBCAB或或或或等. .. . .
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学习参考 （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A
D E
B C
由DE∥BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.
（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
知识点4：相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等
②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
④相似三角形周长的比等于相似比
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
知识点5：相似三角形的判定：
①两角对应相等，两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
③三边对应成比例，两三角形相似
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似
⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。
注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。
两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
注意：这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”
三边对应成比例的两个三角形相似。
知识点六：摄影定理 .. . .
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学习参考 DABCAD2=BD·CD AB2=BD·BC AC2=CD·BC
特殊图形（双垂直模型）
∵∠BAC=90°
∴
AD2=BD·CD AB2=BD·BC AC2=CD·BC
知识点七：相似三角形的周长和面积
（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。
(3)相似三角形的周长比等于相似比；
(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方
补充：相似三角形的识别方法
(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)
(3)三边对应成比例的两个三角形相似。
(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
(5)两角对应相等的两个三角形相似。
(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。
(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
相似三角形的基本图形： ABCDEABCDEADBCBACBDAADC∽∽..
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学习参考
判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。
经典习题
考点一：平行线分线段成比例
1、（2013广东肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）
A． 7 B． 7.5 C． 8 D． 8.5
2、（2013•福州） 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．（结果保留根号）
3、（2011湖南怀化）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4 a
b
c A B
C D
E F m n ..
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学习参考 ECDBA
4．（2011山东泰安）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误．．的是（ ）
A．EDDFEAAB B． DEEFBCFB C．BCBFDEBE D． BFBCBEAE
5．（2012•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（ ）
A．512 B．512 C．51 D．51
考点二：相似三角形的性质
1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：
①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．
其中正确的结论有（ ）
A． 5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个
GEADBCPF..
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学习参考 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
分析： 依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME，故①正确；
∴PE=EM=PM，
同理，FP=FN=NP．
∵正方形ABCD中AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE
∴四边形PEOF是矩形．
∴PF=OE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，
∴PM+PN=AC，故②正确；
∵四边形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，
∴PE2+PF2=PO2，故③正确．
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；
∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM=PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．
故选B．
点评： 本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．
九年级讲义第9讲-相似三角形的性质
学易优2020年暑假
九年级
1/5 第九讲 相似三角形的性质
相似三角形的性质
1. 对应角相等，对应边成比例；
2. 相似三角形对应边上的高，中线和角平分线之比都等于相似比；
3. 相似三角形周长的比等于相似比；
4. 相似三角形面积之比等于相似比的平方。
考点☀1：
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，23ADBD，
（1）求DE:BC和:ADEDBCESS四边形；
（2）连结BE，若50ABCS，求DBES。
2．如图，在ABCD中，AE：EB=2：3．
（1）求△AEF和△CDF的周长比；（2）若S△AEF=8cm2，求S△CDF．
学易优2020年暑假 九年级
2/5 3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M为AD的中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1.
(1)求BD的长；
(2)若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．
4．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为3分米，BC长为4分米，，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别为下图中的(1)、(2)所示，你能用所学过的知识说明谁的加工方法符合要求吗?(加工损耗忽略不计，计算结果可保留分米)
4已知，如图，在△ABC中，D为BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，•EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长。
EAFDCB学易优2020年暑假 九年级
3/5
6. 如图，在中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟相似？试说明理由。
5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
相似三角形最全讲义(教师版)
相似三角形基本知识
知识点一：放缩与相似形
1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.
知识点二：比例线段有关概念及性质
（1）有关概念
1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或nmba）
2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dcba
4、比例外项：在比例dcba（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
5、比例内项：在比例dcba（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例dcba（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abba（或a:b＝b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcba（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位） （2）比例性质
1.基本性质: bcaddcba （两外项的积等于两内项积）
初三相似三角形讲义
相似三角形知识点总结
知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC与△A/B/C/相似，记作: △ABC∽△A/B/C/ 。
相似三角形的比叫相似比
相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A/B/C/，相似比为k，则△A/B/C/与△ABC的相似比是1k
知识点2、相似三角形与全等三角形的关系
（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理
1. 比例线段的有关概念：
在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，abcdabcdadbcac()
b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：
①基本性质：abcdadbc ②合比性质：±±abcdabbcdd
③等比性质：……≠……abcdmnbdnacmbdnab()0
3. 平行线分线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
已知l1∥l2∥l3,
A D l1
B E l2
初三相似三角形讲义(同名530)
初三相似三角形讲义(同名530)
DABC 知识点5：相似三角形的判定：
①两角对应相等，两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
③三边对应成比例，两三角形相似
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似
⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。
注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。
两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
注意：这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS”
三边对应成比例的两个三角形相似。
知识点六：摄影定理
AD2=BD·CD AB2=BD·BC
AC2=CD·BC
特殊图形（双垂直模型）
∵∠BAC=90°
∴
AD2=BD·CD AB2=BD·BC AC2=CD·BC
知识点七：相似三角形的周长和面积
（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。
(3)相似三角形的周长比等于相似比；
(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方
补充：相似三角形的识别方法
(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
初三相似三角形讲义 2
实用文档
标准文案 相似三角形知识点总结
知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC与△A/B/C/相似，记作: △ABC∽△A/B/C/ 。
相似三角形的比叫相似比
相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A/B/C/，相似比为k，则△A/B/C/与△ABC的相似比是1k
知识点2、相似三角形与全等三角形的关系
（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理
1. 比例线段的有关概念：
在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，abcdabcdadbcac()
b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。 实用文档
标准文案 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：
①基本性质：abcdadbc ②合比性质：±±abcdabbcdd
③等比性质：……≠……abcdmnbdnacmbdnab()0
3. 平行线分线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
已知l1∥l2∥l3,
A
D l1
B E l2
C F l3
初三相似三角形讲义 3
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相似三角形知识点总结
知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC与△A/B/C/相似，记作: △ABC∽△A/B/C/ 。
相似三角形的比叫相似比
相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△A/B/C/，相似比为k，则△A/B/C/与△ABC的相似比是1k
知识点2、相似三角形与全等三角形的关系
（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
已知l1∥l2∥l3,
A D l1
B E l2
C F l3
可得EFBCDEABDFEFACBCDFEFABBCDFDEACABEFDEBCAB或或或或等.
（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
A
D E
相似三角形的性质讲义
相似三角形的性质
一、知识点讲解
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线比等于相似比。
相似三角形对应周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
二、典例分析
(一)相似三角形对应线段的比
例1如图，i∆ABCs^kA'B'C',相似比为k,AD、NDz分别是边BC、B'C'上的中线，求证:
AD, =KO A,D,
变式练习：
1、∆ABC∆A,B'C',AD和A'D'分别是aABC和aA'B'C,的中心，假设BC=IoCm,Bz
Cf=6cm,AD=7cm,那么A'D'=()
16 21 35 A、12cmB、——cmC、——cmD、——cm3 5 3
2、如图，在aABC中，点D在线段BC上，且aABCsaDBA,那么以下结论一定正确的选项是()
A、AB2=BC∙BDB、AB2=AC-BDC、AB・AD=BD・BCD、AB・AD=AD・CD
3、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光的影子长为CD,AB〃CD,AB=2cm,CD=5cm,点
P到CD的距离是3cm,那么点P到AB的距离是O
5 6 6 10
A、—mB、—mC^—mD、一tn6 7 5
3
4、如下图，在Rt△ABC中，NACB=90°,CD_1.AB于D,E为AC的中点，F为BC的中点，NDCB=30°,求DE：DF的值。
(二)相似三角形对对应周长与面积的比 例2如图，在正方形网格上有ZXABC和4DEF0
(1)求证：^ABCS∕∖DEF;
(2)计算这两个三角形的周长比；
(3)根据上面的计算结果，你有何猜测？
变式练习：
1、假设^ABCsaDEF,Z∖ABC与ADEF的相似比为2：3,那么SMBC：SADEF为0
A、2：3B、4：9C、72:73D、3：2
ΔΓ)1 2、如图，在AABC中，DE/7BC,——=-,那么以下结论中正确的选项是0DB2
九上(学生)相似三角形讲义
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专业资料 暑假讲义 九年级数学 相似三角形
第 1 讲 相似图形与成比例线段
【学习目标】
1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似 ,理解相似图形概念。
2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。
【学习重点】 相似图形的概念与成比例线段的概念。
【学习难点】 成比例线段概念。
【学习过程】
知识点一：比例线段
定义：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中 两条线段的比（即它们长度的比）与另外两
条线段的比 ，如果
段，简称比例线段。 a c
b d ，那么就说这四条线段 a、b、c、d 叫做成比例线
例：如四条线段的长度分别是 4cm、8cm、3cm、6cm 判断这四条线段是否成比例？
解：
练习一：
AB CD AC AC
1、如图所示： （1）求线段比 BC 、 DE 、 BE 、
CD
（2）试指出图中成比例线段
2、线段 a、b、c、d 的长度分别是 30mm、2cm、0.8cm、12mm 判断这四条线段是否成比例？
3、线段 a、b、c、d 的长度分别是 2 、 3 、2、 6 判断这四条线段是否成比例？
4、已知 A、B 两地的实际距离是 250m 若画在图上的距离是 5cm，则图上距离与实际距离
的比是 ___________
5、已知线段 a= 1
2 、 b = 2 3 、c= 2 3 、若 a c
b x b y
，则 x =_________若 y 0
y c ， WORD文档
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专业资料 暑假讲义 九年级数学 相似三角形
则 y =__________
6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ）
A a=3 b=6 c=2 d=4 B a=1 b= 2 c= 3 d= 6
C a=4 b=6 c=5 d=10 D a= 2 b= 3 c=2 d= 6
知识点二：比例线段的性质
比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下：
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识
知识点一：放缩与相似形
1. 图形的放大或缩小，称为 图形的放缩运动 。
2. 把形状相同的两个图形说成是 相似的图形，或者就说是 相似性
注意 ： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似， 其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．
⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
3. 相似多边形的性质 ：如果两个多边形是相似形， 那么这两个多边形的对应角相 等，对应边的长度成比例。
注意 ：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.
知识点二：比例线段有关概念及性质
（1）有关概念
1、比：选用同一长度单位量得两条线段。 a、 b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段 am
的比是 a：b＝ m：n（或 b n ）
2、比的前项，比的后项 ：两条线段的比 a：b中。 a叫做比的前项， b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac
3、比例 ：两个比相等的式子叫做比例，如 b d
ac
4、比例外项 ：在比例 b d （或 a：b＝c： d）中 a、 d叫做比例外项。
ac
5、比例内项 ：在比例 b d （或 a：b＝c：d）中 b、c 叫做比例内项。
ac
6、 第四比例项 ：在比例 b d （或 a： b＝ c： d）中， d 叫 a、 b、 c 的第四比例项。
ab
7、比例中项 ：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或 a:b ＝b:c 时，我们把 b
叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段 ：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长
度的比相等，即 a c （或 a： b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线 bd
《相似三角形》 讲义
《相似三角形》 讲义
一、相似三角形的定义
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。相似三角形是初中几何中非常重要的一个概念，它在解决许多实际问题和数学问题中都有着广泛的应用。
比如说，我们在测量建筑物的高度、河流的宽度等实际场景中，常常会用到相似三角形的知识。
二、相似三角形的判定
1、 两角分别相等的两个三角形相似
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。这是因为三角形的内角和为 180 度，当两个角相等时，第三个角也必然相等。
2、 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
当两个三角形的两组对应边成比例，并且它们的夹角相等时，这两个三角形相似。
3、 三边成比例的两个三角形相似
如果两个三角形的三条边对应成比例，那么它们相似。
三、相似三角形的性质 1、 相似三角形的对应角相等
这是相似三角形的基本性质之一，因为相似三角形是通过对应角相等来定义的。
2、 相似三角形的对应边成比例
相似三角形的对应边的比值是相等的，这个比值叫做相似比。
3、 相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比
比如，两个相似三角形的相似比为 2:1，那么它们对应的高线之比、中线之比、角平分线之比也都是 2:1。
4、 相似三角形的周长比等于相似比
假设一个三角形的周长为 C1，另一个相似三角形的周长为 C2，相似比为 k，那么 C1:C2 ＝ k。
5、 相似三角形的面积比等于相似比的平方
如果两个相似三角形的相似比为 k，那么它们的面积比为 k²。
四、相似三角形的应用
1、 测量高度
例如，要测量一棵大树的高度，但我们无法直接测量。可以在同一时刻，测量一根直立的小木棍的高度以及它的影子长度，同时测量大树的影子长度。因为太阳光线是平行的，所以小木棍和大树与其影子构成的两个三角形相似。通过相似三角形的对应边成比例的性质，就可以计算出大树的高度。