《信号与系统》总结：第五章(统编)
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信号与系统sas五章
连续周期信号的频谱具有以下特征： 1． 谱线只在基波频率的整倍数处出现，具有非周期 性的离散频谱，即线谱； 2． 各次谐波的振幅总变化趋势是随着谐波次数的增 加而逐渐衰减； 3． 各谐波的振幅的衰减速度与波形有关，其规律可 以通过对信号函数进行求导，直至出现冲激函数时， 所需微分的次数来表示。
5.2.2 周期信号频谱的特点
0
bn
2 T0
T0 / 2 T0 / 2
2E T0
t sin0dt
4E T02
1
[ n202
sin n0t
t
n 0
T0 / 2
cos n0t]
T0 / 2
2E
n
(1)n1
5.2 周期信号的频域分析
x(t)
n1
2E
n
(1)
n1
sin
0t
2E
sin 0t
0.5
n0 n 1
n 1 n3 n 3
5.2 周期信号的频域分析
5.2 周期信号的频域分析
【例 5-2】求出如图5.4（a）所示的周期锯齿信号的频谱，并 给出相应的单边和双边频谱图。
5.2 周期信号的频域分析
【解】按本题给出的是信号的波形，因此首先必须写出在 一个周期的时域表示式为：
x(t) 2E t
T0 t T0
T0
2
2
a0
2 T0
T0 / 2
x(t)dt 0
T0 / 2
an
2 T0
T0 / 2 T0 / 2
2E T0
t cos n0dt
4E T02
5.2.2 周期信号频谱的特点
0
bn
2 T0
T0 / 2 T0 / 2
2E T0
t sin0dt
4E T02
1
[ n202
sin n0t
t
n 0
T0 / 2
cos n0t]
T0 / 2
2E
n
(1)n1
5.2 周期信号的频域分析
x(t)
n1
2E
n
(1)
n1
sin
0t
2E
sin 0t
0.5
n0 n 1
n 1 n3 n 3
5.2 周期信号的频域分析
5.2 周期信号的频域分析
【例 5-2】求出如图5.4（a）所示的周期锯齿信号的频谱，并 给出相应的单边和双边频谱图。
5.2 周期信号的频域分析
【解】按本题给出的是信号的波形，因此首先必须写出在 一个周期的时域表示式为：
x(t) 2E t
T0 t T0
T0
2
2
a0
2 T0
T0 / 2
x(t)dt 0
T0 / 2
an
2 T0
T0 / 2 T0 / 2
2E T0
t cos n0dt
4E T02
信号与系统第五章1郑君里
1
Байду номын сангаас
c
c O
c
c O
1 e H j 0
jt 0
c c
H j
t 0 ● c 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简 称频带。 ● 在0 ~ c 的低频段内，传输信号无失真 ( )。 16
系统函数的物理意义
系统可以看作是一个信号处理器 激励：E(j) E(j) 响应：H(j)·
对信号各频率 分量进行加权
E (j ) E (j ) e j e ( ) H (j ) H (j ) e j h ( )
E ( )的幅度 由 H ( ) 加权
R(j ) E (j ) H (j )
令x t t 0
正弦积分
sinx Si( y ) = dx 0 x 1. 下限为0；
y
sin x 1 x
O
π
2π
3π 4π
x
2. 奇偶性：奇函数。 3 . 最大值出现在 x π 最小值出现在 x π
Si y
π 2
O
y
π 2
21
阶跃响应波形
ut
O
r t
r t
jt 0
e t
o
t o
t0
因为 R( j ) E( j ) H ( j ) R( j ) jt 0 所以 H ( j ) Ke E ( j ) t
11
频谱图
H ( j ) K 即: t 0
K
O
H j
17
c sin c t t 0 c Sa c t t 0 π c t t 0 π
信号与系统第五章(陈后金)1资料
例1 已知描述某LTI系统的微分方程为
y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 3x '(t)+4x(t)，系统的输入激 励 x(t) = e3t u(t)，求系统的零状态响应yzs (t)。
解： 由于输入激励x(t)的频谱函数为
系统的频率响应由微分方程可得
1 X ( j ) j 3
~ x (t )
A
-T0
0
T0
t
解： 对于周期方波信号，其Fourier系数为
A n0 Cn Sa T0 2
可得系统响应
y(t )
n
jn 0t C H ( j n ) e n 0
A A n0 e jn0t y(t ) 2 Sa Re aT n 1 T 2 a jn0
非周期x(t)通过LTI系统的零状态响应 若信号x(t)的Fourier存在，则可由虚指数信号 ejt(<t<)的线性组合表示，即
1 jt x(t ) X ( j ) e d 2π
由系统的线性非时变特性，可推出信号x(t)作 用于系统的零状态响应yzs(t)。
二、连续非周期信号通过系统响应的频域 分析
Yzs ( j ) bm ( j ) m bm1 ( j ) m1 b1 ( j ) b0 H ( j ) X ( j ) a n ( j ) n a n1 ( j ) n1 a1 ( j ) a0
一、连续时间LTI系统的频率响应
1 1 H ( j ) F [h(t )] j 1 j 2 1 ( j ) 2 3( j ) 2
《信号与系统》第五章 连续系统的s域分析
52拉普拉斯变换性质第524页信号与系统西安邮电大学通信与信息工程学院52拉普拉斯变换性质第525页信号与系统西安邮电大学通信与信息工程学院cossinstst52拉普拉斯变换性质第526页信号与系统西安邮电大学通信与信息工程学院52拉普拉斯变换性质第527页信号与系统西安邮电大学通信与信息工程学院已知因果信号的象函数52拉普拉斯变换性质第528页信号与系统西安邮电大学通信与信息工程学院52拉普拉斯变换性质第529页信号与系统西安邮电大学通信与信息工程学院例11
例3: 求下图所示信号的单边拉氏变换。
第5-23页
西安邮电大学通信与信息工程学院
信号与系统
5.2 拉普拉斯变换性质
解： f1(t)(t)(t1)
f2(t)(t1 )(t 1 )
F1(s)F2(s)1s(1es)
例4：e2(t1)(t) e 2
s 2
f1 (t )
1
t
01
f2(t)
1
-1 0 1 t
第5-14页
西安邮电大学通信与信息工程学院
信号与系统
5.1 拉普拉斯变换
（3）满足
limf(t)et
t
0,(0)的信号称为指数
阶信号，指数阶信号的单边拉氏变换一定存在；
（4） e t 2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标，
为非指数阶信号，无法进行拉氏变换；
（5）有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
f( t) e s a t F ( s s a ) , R e [ s ]0 a
例7:
已知因果信号
f
( t ) 的象函数F (s)
s s2 1
求 et f (3t 2) 的象函数。
(s
s 1 1)2
例3: 求下图所示信号的单边拉氏变换。
第5-23页
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信号与系统
5.2 拉普拉斯变换性质
解： f1(t)(t)(t1)
f2(t)(t1 )(t 1 )
F1(s)F2(s)1s(1es)
例4：e2(t1)(t) e 2
s 2
f1 (t )
1
t
01
f2(t)
1
-1 0 1 t
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信号与系统
5.1 拉普拉斯变换
（3）满足
limf(t)et
t
0,(0)的信号称为指数
阶信号，指数阶信号的单边拉氏变换一定存在；
（4） e t 2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标，
为非指数阶信号，无法进行拉氏变换；
（5）有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；
f( t) e s a t F ( s s a ) , R e [ s ]0 a
例7:
已知因果信号
f
( t ) 的象函数F (s)
s s2 1
求 et f (3t 2) 的象函数。
(s
s 1 1)2
信号与系统-005第五章 离散信号与系统时域分析删减版
(E vr ) y(k) 0 , r 1, 2, n 的解都是原方程的解。
yzi (k)
c1v1k
c2v
k 2
cnvnk
一 c1,阶c2差, 分, c方n由程初y(k始1条) 件vr yy((k0))的, y根(1：), y,ky(n y10)确vrk定
§5.4 离散系统的零输入响应
例1：y(k 2) 3y(k 1) 2 y(k) 0 , y(0) 0, y(1) 1 求零输入响应。
E2
E2 5E
6
v1,2 2, 3
H (E)
E
E E2 5E 6
2 S2
3 S 3
h(k) H E (k)
2k
1
3k
1
k
例2:已知离散系统的转移算子H (E)
E(7E 2)
(E 0.5)(E 0.2)
yzi(0)=2, yzi(1)=4 e(k)=ε(k)求全响应y(k)。
解：1、求零输入响应 v1=0.5 , v2=0.2
E f(k)=f(k+1) E 2f(k)=f(k+2) ... ,E n f(k)=f(k+n)
则n阶差分方程也可写成算子的形式
(En an1E n1 a1E a0 ) y(k )
D(E)
(bm E m bm1E m1
N (E)
y(k) H (E)e(k)
b1E b0 ) e(k )
j)
T
0
c c
§5.2 连续信号的抽样
掌握１.抽样定理：
低通滤波器
最小的抽样角频率: 2m
f m
m 2
奈奎斯特抽样频率（最小的抽样频率）: 2 fm m
信号与系统第五章(2)冲激序列响应
3 i0
1 1 1 k1 2 1 2k1
3
1 1
3
1 2
gk
1 3
1 1k1 1 1
2 3
1 2k1 1 2
1 1 1k 2 1 2k1
6
3
1 6
阶跃响应满足方程：
gk gk 1 2gk 2 k
g1
g 2
0
由方程利用迭代得：
g0 g1 2g 2 1 1
g1
g0
2g
1
1
2
阶跃响应满足方程：
gk gk 1 2gk 2 k
2 3
2k
k
1 3
1 k2
2 3
2k2
k
2
2.阶跃响应
当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列 k 时，
系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响
应，用 gk表示。
若已知系统的差分方程，用经典法可以求得系 统的单位阶跃响应。
另外，若已知系统的 hk，根据LTI系统的线性性质
1 1, 2 2
hk C1 1k C22k
代入初值得
h0 h1
C1 C2 1 C1 2C2
1
hk
1 3
1k
2 3
2k
k
C1
C 2
1 3 2 3
信号与系统第5章6、7节
2020/6/7
5.7 LTI连续系统的表示和模拟
5.7.3 连续系统的信号流图表示 信号流图是系统框图表示的一种简化形式：
用点表示信号，用有向线段表示信号的传输方向。
常用术语： （1）节点：信号流图中表示信号的点称为节点。 （2）支路：连接两个节点的有向线段称为支路。 写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数。 （3）源点与汇点：仅有输出支路的节点称为源点， 如图5.7-7中的节点X1(s) 、X2(s) 。仅有输入支路的 节点称为汇点，如图5.7-7中的节点X3(s) 、X4(s) 、 X5(s) 。
1
2020/6/7
5.6 电路系统的复频域分析
补 例 ： 图 (a) 所 示 RLC 系 统 ， us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1Ω，L=1H，C=1Ｆ。t＜0时电路已达稳态， t=0时开关S由位置1接到位置2。求t≥0时的完全响应 iL(t)、零输入响应iLx(t)和零状态响应iLf(t)。
sC R2
sL
U s2 (s) Z (s)
5.6 电路系统的复频域分析
把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)为
4 ILf (s) H (s)Us2 (s) s[(s 1)2 1]
H (s)
ILf (s) U s2 (s)
R1LCs2
1 (R1R2C
L)s
(R1
R2 )
s2
1 2s
2
求ILf(s)的单边拉氏逆变换， 得:
解：（1）并联系统：
h(t) = h1(t) + h2(t) = d(t) +d(t -1)
（2）级联系统：
h(t) = h1(t)* h2(t) = d(t)*d(t -1) = d(t -1)
5.7 LTI连续系统的表示和模拟
5.7.3 连续系统的信号流图表示 信号流图是系统框图表示的一种简化形式：
用点表示信号，用有向线段表示信号的传输方向。
常用术语： （1）节点：信号流图中表示信号的点称为节点。 （2）支路：连接两个节点的有向线段称为支路。 写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数。 （3）源点与汇点：仅有输出支路的节点称为源点， 如图5.7-7中的节点X1(s) 、X2(s) 。仅有输入支路的 节点称为汇点，如图5.7-7中的节点X3(s) 、X4(s) 、 X5(s) 。
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2020/6/7
5.6 电路系统的复频域分析
补 例 ： 图 (a) 所 示 RLC 系 统 ， us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1Ω，L=1H，C=1Ｆ。t＜0时电路已达稳态， t=0时开关S由位置1接到位置2。求t≥0时的完全响应 iL(t)、零输入响应iLx(t)和零状态响应iLf(t)。
sC R2
sL
U s2 (s) Z (s)
5.6 电路系统的复频域分析
把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)为
4 ILf (s) H (s)Us2 (s) s[(s 1)2 1]
H (s)
ILf (s) U s2 (s)
R1LCs2
1 (R1R2C
L)s
(R1
R2 )
s2
1 2s
2
求ILf(s)的单边拉氏逆变换， 得:
解：（1）并联系统：
h(t) = h1(t) + h2(t) = d(t) +d(t -1)
（2）级联系统：
h(t) = h1(t)* h2(t) = d(t)*d(t -1) = d(t -1)
信号与系统第五章 离散系统分析
离散信号的基本运算主要包括离散信号的加减、乘除、差 分和累加等运算，而离散信号的变换则主要指波形变换，包括 平移、反褶及尺度变换等三种。
1. 离散信号的运算
（1）加减运算
离散信号的加减运算是指对应序列号之值的相加减，可表
示为
f (k) f1(k) f2 (k)
（2）乘除运算
离散信号的乘除运算是指对应序列号之值的相乘除，其中相乘 运算可表示为
k
例5-1 求下列序列的值
f1 (k ) (k 5) (k )
(0 5) (k) 5 (k)
f2 (k ) (2k 1) (k 1) (21 1) (k 1) (k 1)
f3(k) (k) k f (0) 1
f (k) f1(k) f2 (k)
（3）差分运算
离散信号的差分运算是指相邻两个序列值的变化率，具体又分 前向差分和后向差分两种运算。
一阶前向差分定义为
f (k) f (k 1) f (k)
一阶后向差分定义为
f (k) f (k) f (k 1)
差分运算一般都会满足线性性质，即
,k 0 ,k 0
比较单位阶跃序 列 (k与) 单位样值序 列 (k的) 定义式，可 以发现，二者存在 如下两个关系式
(k) (k) (k 1)
(k) (0) (k 1) (k i) i0 k (i) i
3.门函数序列
[af1(k) bf2(k)] af1(k) bf2(k)
（4）累加运算
离散信号的累加是指序列y(k)在某一个k0时刻的值y(k0)等于 在这一个k0时刻的y(k0)与k0以前所有k时刻的序列值ƒ(k)之和， 其定义式为
《信号与系统》第五章连续系统的s域分析
有理多项式P(s)与有理真分式之和。若 bn 1 可提出bn 。
下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为
式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为 特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固 有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的 极点。
F(s) 必然不同！
三、单边拉普拉斯变换
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时
刻为0。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为:
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是
Re[s]>α ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
f(t) ←→ F(s)
四、常见函数的拉普拉斯变换
et (t) 1 , Re[ s] s
5.2拉氏变换的基本性质
一 线性（Linearity ）：
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2
则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例：教材第217页例 5.2-1
cos(t) (t)
s2
f3(t)= e -3t(t) – e-2t(– t)
解:
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉 氏变换必须标出收敛域。
结论：
1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(s)和收敛域 一起，可以唯一地确定f(t)。即：
2、不同的信号可以有相同的F(s)，但他们的收敛
域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的
1、F(s)有单极点（特征根为单根）
例1:
下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法 若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为
式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为 特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固 有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的 极点。
F(s) 必然不同！
三、单边拉普拉斯变换
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时
刻为0。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为:
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是
Re[s]>α ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
f(t) ←→ F(s)
四、常见函数的拉普拉斯变换
et (t) 1 , Re[ s] s
5.2拉氏变换的基本性质
一 线性（Linearity ）：
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2
则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2)
例：教材第217页例 5.2-1
cos(t) (t)
s2
f3(t)= e -3t(t) – e-2t(– t)
解:
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉 氏变换必须标出收敛域。
结论：
1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(s)和收敛域 一起，可以唯一地确定f(t)。即：
2、不同的信号可以有相同的F(s)，但他们的收敛
域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的
1、F(s)有单极点（特征根为单根）
例1:
信号与系统课件第五章(电子)
应用拉普拉斯变换进行系统分析的方法，同样是 建立在LTI系统具有线性和时不变性的基础上的，只 是信号分解的基本信号不同。因此这两种变换，无论 在性质上或是在进行系统分析的方法上都有着很多类 似的地方。事实上，傅里叶变换可看成是拉普拉斯变 换的一种特殊情况。
在频域分析中，我们以 e j t 为基本信号； 在复频域分析中，我们以 e s t 为基本信号；
e 对任意信号 f t 乘以一个衰减因子 t ,适当
选取 的值使 f t e t 当 t 时,
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
f t e t dt
例如 f t e2t t
e2t t dt e2t dt 不满足绝对可积的条件。
0
f t et e 2t t 只要 2
f t e j tdt 收敛
上述积分结果是 j的函数，令其为 Fb j 即：
Fb j
由傅立叶逆变换得：
f
t
e j t dt
f t e t 1
2
Fb
j
e j td
f t 1
2
Fb
j
e j td
Fb j
f
t
e j t dt
e2t et dt 满足绝对可积的条件。 0
又如 f t t t 也不满足绝对可积的条件。
f t et tet t 只要 0
t et dt 满足绝对可积的条件。
0
假设 f t et 满足绝对可积条件，则
ℱ f t e t f t e te j tdt
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
二、收敛域
符号表示
三、单边拉普拉斯变换
收敛域
常用信号的拉氏变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
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1
第五章.离散时间信号与时域分析
一.离散傅里叶级数（DFT）
1.信号0jne基本特征
信号0jne
周 期 性：
00
()02jnNjnmeeN
时有理数时具有周期性
基波频率：
0
2Nm
基波周期：02()Nm
2.信号0jte与0jne之间的差别
0jte 0
jne
0
不同，信号不同
频率相差2，信号相同
对于任何
0
值，都是周期的
仅当2mN时，才有周期性（(0),,Nm均为整数））
基波频率：
0
基波信号
0
m
基波周期：00002o无定义 基波信号：00002()om无定义
3.DFS系数与IDFS变换对
2
11()00211()00()()()()()11()()()NNjknknNNDFSnnNNjknknNNnnDFSXkxnexnWxnXkIDFSxnXkeXkWNN
系数
系数
4.离散傅里叶级数的性质
线 性
若312()()()xnxnxn，则
X
3
()k
X1()kX
2
()k
移
位
时间移位
若
()()
DFS
xnXk
，则()()DFSknNxnmWXk
[()]DFSxnlN
X
()k
频域移位
若
()()
DFS
xnXk
，则()()DFSqnNWxnXkq
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2
周期卷积 时域移位
若13120()()()Nmxnxmxnm，则
X
3()kX1
()k
X
2
()k
频域移位
若312()()()xnxnxn，则X31()kN1120()()NlXlXkl
二.离散时间傅里叶变换DTFT
1. 离散时间傅里叶变换DTFT
○
1非周期信号：11()()0xnnNxnnN
2
1
()()21()()jnjnnxnXedXxneN
离散时间傅里叶变换
应用条件：
()nxn
○
2周期信号：
2
()2()knXakN
1
1
2
()1()NjknNknNaxneN
2.离散时间傅里叶变换性质
周 期 性
总是周期的，周期是2。
线 性
若
1
()xn
X
1
()
，2()xnX2()
则
12
()()axnbxna
X
1()bX2
()
对 称 性
()()XX
Re[()]Im[()]XX偶函数
奇函数
()()XX的模偶函数
的相位奇函数
移
位
时 移
若()()xnX 则
0
0
()()jnxnneX
频 移
若()()xnX 则
0
0
()()jnexnX
读 万 卷 书 行 万 里 路
实用文档 精心整理
3
差 分 求 和
1
()()(0)(2)1njmkxmXXke
1
()(2)1jkunke
时 间 尺 度
若()()xnX 则()()xnX
()()()0k
n
xnkxnknk是的倍数
不是的倍数
()()()k
xnXk
频 域 微 分
()()dXnxnjd
帕塞瓦尔定理
22
2
1
()()2nxnXd
2
()X
：能量谱密度
序列一个周期的能量：221()knNnNxnaN
卷 积 性 质
若()()()ynxnhn 则()()()YXH
备 注
连续信号 离散信号
周期离散
连续非周期
非周期连续
离散周期