高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 课件一 新人教A版必修2
空间中直线与平面之间的位置关系
思考?(一)
线段A′B所在直线与长方 体ABCD-A′B′C′D′ 的六个面所在平面有几种 位置关系? D′ A′ B′
D A B C
C′
【目标导学】
学习目标: 1.直线与平面的三种位置关系
【主体自学】 ：看书P48至49 限时5分钟
思考下面问题： 1.直线与平面有哪三种位置关系？ 2.如何表示直线与平面的三种位置关系？
一、空间中两直线的位置关系
m
P l l 图1 图2
m
l
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平行。空间中 直线之间的这种关系称为异面直线。
1、异面直线 不同在任何一个平面内 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面 直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m l
β α
m
l
直线m和l是异面直线吗? (2)a , b ,则 a 与 b 是异面直线 (3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
∨
P49练习
X
X
X
。（
）
反 思 与 延 伸
• 问题1、平行于同一平面的两条直线 一定是两条平行直线吗？ • 问题2、两条平行线中的一条平行一 个平面，则另一条也一定平行于这个 平面吗？ • 问题3、无公共点的两条直线一定是 D′ 平行直线吗？
A′
B′ D A B C
C′
小结：
空间中直线与平面之间的位置关系有几种？
空间中两直线的位置关系
平面有关知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上 的所有点都在这个平面内。（ ） 2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平 面只有一个公共点。 （ ）
3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点 必在同一个平面内。 （ ）
作业:课本P56第4题
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD
2
H
E
D G
1 同理，FG ∥BD且FG = 2 BD
∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形
B
F
C
把所要解的立体几何问题转化为平面几何 的问题
2、等角定理
A1 B1 D
D1
C1
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角相等或互补。
A1
D A B
C
异面： A1D1、AD、D1C1、 DC、
A1 相交垂直 垂直 异面垂直 A
D1 B1
C1
D B
C
填空： 平行 相交 1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、 ________、 异面 ________三种。 平行 2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是 异面 ________直线。 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 相交、异面 有______________。 无数 4 、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。 无数 5 、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。
判断对错：
1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( ) 2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。 ( )
3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。
( )
4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定 与另一条直线垂直。 ( )
请完成课本P48 的练习
珍惜时间,尽力而为, 1、空间中两直线的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种:
（1）直线在平面内-----有无数个公共点
a
如图：
a
a
（2）直线在平面外：
a
①直线a和面α 相交 ：
.
A
a A 如图：
②直线a和面α 平行 ：
a //
a
如图：
尝
则 l //
试
练
习
例1、判断下列命题的正确
（1）若直线 l 上有无数个点不在平面内， （2）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任 意一条直线都平行。（ ） （3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行，那么另一条也与这个平面平行。（ ） （4）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。（ ）
D1 A1 C1
B1
练习：在上例中，AA1与CC1，AC与A1C1
的位置是什么关系？
A
D B
C
例2 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的 空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD， DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证 EFGH是一个平行四边形。 A ——解立体几何时最主要、最常 证明： 连结BD 用的一种方法。
H
E
AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异 面直线的有几对?相交直线有几对?平行直 线有几对?
二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性
公理4 平行于同一直线的两直线互相平行
若a∥b，b∥c, 则a∥c
c
a
a
b
c
α
例1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线 AB与 C1D1 ，AD1与 BC1 是什么位置关系？为什么？
直线与平面的位置关系有且只有三种
• (1)直线在平面内-----有无数个公共点 • (2)直线与平面相交----有且只有一个公共点 • (3)直线与平面平行----没有公共点
a
a
a
A
.
a
a A
a //
平面与平面之间的位置关系
• 思考?
D′
围成长方体的 六个面, 两两之间的位 置关系 有几种?
C′
A′ D
B′ C
A
B
【目标导学】
学习目标: 1.平面与平面的三种位置关系
【主体自学】 ：看书P50 限时5分钟
思考下面问题： 1.两个平面有哪几种位置关系？ 2.如何画出两个平面位置关系的图象？
两个平面之间的位置关系有且只 有以下两种
//
• l
l
切割长方体
• 一个长方体切一刀可以分成多少块？ 2 • 一个长方体切两刀可以分成多少块？ 3或4 • 一个长方体切三刀可以分成多少块？
C
A
B
观察正方体ABCD A1B1C1D1 ADC与A1D1C1，ADC与A1B1C1
的两边怎样的位置关系，大小如何？
两直线的夹角： 两直线相交所成的4个角中,其中不大于90
的角叫做两直线的夹角
三、两条异面直线所成的角
任选 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O， 则这两条线所成 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 称为异面直线a，b所成的角。 的锐角θ （或直角）， b a′ ？ O P a b′
4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可 以确定一个平面。 （）
思考:在平面内，两条不重合的直线之间有
几种位置关系? 空间的两直线呢? 判断下列直线的位置关系: 1、竖直的两条电线杆所在的直线
2、十字路口的两条路所在的直线
3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧 所在的直线
D′ A′ D A B
C’
4或6或7或8
B′ C
不妨再思考一题？
1、一个平面把空间分为几部分？ 2 2、二个平面把空间分为几部分? 3或4 3、三个平面把空间分为几部分? 4或6或7或8
了解一下： n个平面最多可将空间分为 3 + 5n + 6)/6个部分 (n
小结：
本节课我们学了： 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系
1、a与b是异面直线，且c∥a，则c与b一定（ ）。 （A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）不平行 2、正方体一条对角线与正方体的棱可组成的异面直线的对数 是（ ）对。 （A）6 （B）3 （C）8 （D）12 3、一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定（ ） 平面。 （A）一个 （B）两个 （C）三个 （D）四个
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D A B
C
2）A1 B1与AC所成的角= 4 5°
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
D1
C1
B1
1）直线AD1与B1C所成的夹角 9 0° 2）与棱BB1垂直的棱有： 相交： A1B1、 AB、B1C1、BC、
a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ 的取值范围：
（0， ] 90
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所 成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1。
2）A1 B1与AC；
Hale Waihona Puke A1B1异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托,异面直线 不同在任何一个平面的特点
a
b
a
b
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P l l l
2、平行
m
3、异面直线
m P
只有一个公共点
没有公共点
没有公共点 不同在任一平面
在同一平面
探究:
G
C
A
A D B H F(B) G(C) F E D
高一数学人教A版必修2：2-1-1 平面课件
第十二页，编辑于星期日：二十二点 二分。
下列命题：
(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠
起来厚；(3)有一个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对
的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命
题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] A
第二章 2.1 2.1.1
第十三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[解析]
序号 正误
(1)
×
(2)
×
(3)
×
(4)
√
理由 因为平面是无限延展的，故(1)错 平面是无厚度的，故(2)错 平面是无限延展的，不可度量，故(3) 错 平面是平滑、无厚度、无限延展的， 故(4)正确
第二章 2.1 2.1.1
第二章 2.1 2.1.1
第二十五页，编辑于星期日：二十二点 二分。
4．公理2
文字语言 过 不在 一条直线上的三点，有且只有一个平面
图形语言
A，B，C三点 不共线 ⇒有且只有一个平面 符号语言
α，使A∈α，B∈α，C∈α
作用
确定平面 证明点共面
第二章 2.1 2.1.1
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 二分。
言)的互译问题.
[例1] 若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q、b、β之间
的关系可记作( )
A．Q∈b，b∈β
B．Q∈b，b⊂β
C．Q⊂b，b⊂β
D．Q⊂b，b∈β
第二章 2.1 2.1.1
第三十四页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[解析] 解法1：(直接法) ∵点Q在直线b上，∴Q∈b. ∵直线b在平面β内，∴b⊂β. ∴应选B.
人教A版高中数学必修二：2.1空间点直线平面之间的位置关
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1 平面预习课本P40～43，思考并完成以下问题[新知初探]1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.[点睛] (1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．4．平面的基本性质[点睛] 对公理2必须强调是不共线的三点．[尝试应用](1)空间不同三点确定一个平面( )(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面( )(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内( )答案：(1)×(2)×(3)√(1)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(2)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；(3)平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．A．0 B．1C．2 D．33．根据右图，填入相应的符号：A__________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.答案：∈∉⊄AC文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[典例] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解] (1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[活学活用]1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为( )A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α解析：选B 根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确．2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图(1)．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图(2)．平面的基本性质的应用1.如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b，c确定一个平面β.同理可证l⊂β.于是b⊂α，l⊂α，b⊂β，l⊂β，即α∩β＝b，α∩β＝l.又∵b与l不重合，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2．解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；(3)反证法．通常情况下采用第一种方法．题点二：点共线问题2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线．点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.解决此类问题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．题点三：三线共点问题3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．层级一学业水平达标1．下列说法中正确的是( )A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点解析：选C 不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B 不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C.①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．3．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF 交于一点P，则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．4．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( )A．六边形B．五边形C．菱形D．直角三角形解析：选D 可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选D.5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )解析：选D 在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.6．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________．答案：A∈l，l⊄α7．如图，看图填空：(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.答案：A1B1AC8．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．答案：1或4(1)由点A，O，C可以确定一个平面；(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.10．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线．解：以AB为其中一边，分别画出表示平面的平行四边形．如图．层级二 应试能力达标1．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a ，N ∈b ，M ∈l ，N ∈l ，则( ) A ．l ⊂α B ．l ⊄α C ．l ∩α＝MD ．l ∩α＝N解析：选A ∵M ∈a ，a ⊂α，∴M ∈α，同理，N ∈α，又M ∈l ，N ∈l ，故l ⊂α. A ．一条直线和一点确定一个平面 B ．两条相交直线确定一个平面 C ．四点确定一个平面 D ．三条平行直线确定一个平面解析：选B 根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A 不正确；B 显然正确；C 中四点不一定共面，故C 不正确；三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D 不正确．故选B.A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面解析：选 B 因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形解析：选C 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1.如图，延长C 1M 交CD 于点P ，延长C 1N 交CB于点Q ，连接PQ 交AD 于点E ，AB 于点F ，连接NF ，ME ，则正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形．故选C.5．已知α，β是不同的平面，l ，m ，n 是不同的直线，P 为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.答案：P∈l6．在长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．解析：作图并观察可知既与AB共面，又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．答案：57.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．8.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD>BC，P，Q，M，N分别为AA1，BB1，CC1，DD1上的点，设PQ与NM的交点为S，AB与DC的交点为R，A1B1与D1C1的交点为G.求证：R，S，G三点共线．证明：因为P，Q，M，N分别为AA1，BB1，CC1，DD1上的点，PQ∩NM＝S，所以S∈MN，MN⊂平面CC1D1D，S∈PQ，PQ⊂平面AA1B1B，所以S∈平面CC1D1D，且S∈平面AA1B1B，所以S在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上．同理可证：R，G也在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上，所以R，S，G三点共线．2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系预习课本P44～47，思考并完成以下问题1．空间两直线有哪几种位置关系？2．什么是异面直线？3．什么是异面直线所成的角？4．平行公理的内容是什么？5．等角定理的内容是什么？[新知初探]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[点睛] (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．3．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．a∥b b∥c⇒a∥c.(2)符号表述：}4．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.[点睛] (1)异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．(2)公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用．[小试身手](1)两条直线无公共点，则这两条直线平行( )(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行( )(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线( )(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：选 D 空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对解析：选B 由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°.两直线位置关系的判定[典例] 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．[解析] (1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B ∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．[答案] (1)平行(2)异面(3)相交(4)异面(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．(2)判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[活学活用]1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF( )A．平行B．异面C．相交D．以上均有可能解析：选B 假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线，故选B.2．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．异面或相交解析：选D 由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．平行公理与等角定理的应用[典例] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[证明] (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，这是两种情况都有可能．[活学活用]如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA 1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.异面直线所成角[典例] 11111111DB 1与EF 所成角的大小．[解] 法一：如图1所示，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点， ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.图1法二：如图2所示，连接A 1D ，取A 1D 的中点H ，连接HE ，则HE 綊12DB 1，于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)．连接HF ，设AA 1＝1， 则EF ＝22，HE ＝32，取A 1D 1的中点I ，连接HI ，IF ， 则HI ⊥IF ，∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2，∴∠HEF ＝90°. ∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.图2法三：如图3，连接A 1C 1，分别取AA 1，CC 1的中点M ，N ，连接MN . ∵E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点， ∴EF ∥A 1C 1，又MN ∥A 1C 1，∴MN ∥EF . 连接DM ，B 1N ，MB 1，DN ，则B 1N 綊DM ， ∴四边形DMB 1N 为平行四边形， ∴MN 与DB 1必相交，设交点为P ，则∠DPM 为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)． 设AA 1＝k (k >0)，则MP ＝22k ，DM ＝52k ，DP ＝32k ， ∴DM 2＝DP 2＋MP 2，∴∠DPM ＝90°. ∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法四：如图4，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B 1Q ，易得B 1Q ∥EF ， ∴∠DB 1Q 就是异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)． 设AA 1＝k (k >0)，则B 1D ＝3k ，DQ ＝5k ，B 1Q ＝2k ， ∴B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，∴∠DB 1Q ＝90°. ∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.(2)证：证明作出的角就是要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°. [活学活用] 如图所示，点A 是△BCD 所在平面外一点，AD ＝BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，当EF ＝22AD 时，求异面直线AD 和BC 所成的角． 解：如图所示，设G 为AC 的中点，连接EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为AB ，CD ，AC 的中点． ∴EG ∥BC ，且EG ＝12BC ；FG ∥AD ，且FG ＝12AD .又AD ＝BC ，∴EG ＝FG ＝12AD .∴EG 与GF 所成的锐角(或直角)即为AD 与BC 所成的角． 在△EFG 中，∵EG ＝FG ＝12AD ，又EF ＝22AD ，∴EG 2＋FG 2＝EF 2，即EG ⊥FG .∴∠EGF ＝90°.故AD 与BC 所成角为90°.层级一 学业水平达标1．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直解析：选D 因为a ⊥b ，b ∥c ，则a ⊥c ，故选D.2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( ) A ．相交 B ．异面 C ．相交或异面D ．平行解析：选C 如图所示的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与直线B 1C 1是异面直线，与B 1C 1平行的直线有A 1D 1，AD ，BC ，显然直线AA 1与A 1D 1相交，与BC 异面．3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是平面AA 1D 1D 、平面CC 1D 1D 的中心，G ，H 分别是线段AB ，BC 的中点，则直线EF 与直线GH 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C．平行D．垂直解析：选C 如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.A．0 B．1C．2 D．3解析：选 A ①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．5．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( )A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D 若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．6.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS 是异面直线的一个图是________(填序号)．解析：①中PQ ∥RS ，②中RS ∥PQ ，④中RS 和PQ 相交． 答案：③8.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．解析：如图，过点M 作ME ∥DN 交CC 1于点E ，连接A 1E ，则∠A 1ME为异面直线A 1M 与DN 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a ，则A 1M ＝32a ，ME ＝54a ，A 1E ＝414a ，所以A 1M 2＋ME 2＝A 1E 2，所以∠A 1ME ＝90°，即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°. 答案：90°9.如图所示，E ，F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点． 求证：四边形B 1EDF 是平行四边形． 证明：设Q 是DD 1的中点，连接EQ ，QC 1. ∵E 是AA 1的中点， ∴EQ 綊A 1D 1.又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1， ∴EQ 綊B 1C 1(平行公理)．∴四边形EQC 1B 1为平行四边形．∴B 1E 綊C 1Q . 又∵Q ，F 是DD 1，C 1C 两边的中点，∴QD 綊C 1F . ∴四边形QDFC 1为平行四边形． ∴C 1Q 綊DF .∴B 1E 綊DF . ∴四边形B 1EDF 为平行四边形．10.如图所示，空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . ∵E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ，∴EG ∥CD ，GF ∥AB ，且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF . ∴∠EGF ＝90°.∴△EFG 为等腰直角三角形．∴∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.层级二 应试能力达标1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，C 1D 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直解析：选A 如图所示，连接BD 1，CD 1，CD 1与C 1D 交于点F ，由题意可得四边形A 1BCD 1是平行四边形，在平行四边形A 1BCD 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，所以EF ∥BD 1，所以直线A 1B 与直线EF 相交，故选A.2．在三棱锥A BCD 中，AC ⊥BD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 是( )A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．正方形解析：选B 如图，在△ABD 中，点H ，E 分别为边AD ，AB 的中点，所以HE 綊12BD ，同理GF 綊12BD ，所以HE 綊GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又AC ⊥BD ，所以HG ⊥HE ，所以四边形EFGH 是矩形，故选B.3．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成的角的大小是( ) A ．60° B ．75° C ．90°D ．105°解析：选C 设BB 1＝1，如图，延长CC 1至C 2，使C 1C 2＝CC 1＝1，连接B 1C 2，则B 1C 2∥BC 1，所以∠AB 1C 2为AB 1与BC 1所成的角(或其补角)．连接AC 2，因为AB 1＝3，B 1C 2＝3，AC 2＝6，所以AC 22＝AB 21＋B 1C 22，则∠AB 1C 2＝90°.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( )A ．0°<θ<60°B ．0°≤θ<60°C ．0°≤θ≤60°D ．0°<θ≤60°解析：选D 如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.5.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为__________．解析：连接BC1，AD1，AB1，则EF为△BCC1的中位线，∴EF∥BC1.又∵AB綊CD綊C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴BC1∥AD1.∴EF∥AD1.∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角．在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，∴△AB1D1为正三角形，∴∠AD1B1＝60°.∴EF与B1D1所成的角为60°.答案：60°6.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝12AC＝4，PM＝12BD＝3，∴MN＝5.答案：57．在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDCA1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝3a.又∠BAC ＝90°，∴在矩形ABCD 中，AD ＝2a ， ∴A 1D 1＝2a ， ∴A 1D 21＋A 1B 2＝BD 21，∴∠BA 1D 1＝90°，∴在Rt △BA 1D 1中，cos ∠A 1BD 1＝A 1B BD 1＝a 3a ＝33.8.正三棱锥S ABC 的侧棱长与底面边长都为a ，E ，F 分别是SC ，AB 的中点，求直线EF 和SA 所成的角．解：如图，取SB 的中点G ，连接EG ，GF ，SF ，CF .在△SAB 中，F ，G 分别是AB ，SB 的中点，∴FG ∥SA ，且FG ＝12SA . 于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线EF 与FG 所成的角．在△SAB 中，SA ＝SB ＝a ，AF ＝FB ＝12a ， ∴SF ⊥AB ，且SF ＝32a . 同理可得CF ⊥AB ，且CF ＝32a . 在△SFC 中，SF ＝CF ＝32a ，SE ＝EC ， ∴FE ⊥SC 且FE ＝SF 2－SE 2＝22a . 在△SAB 中，FG 是中位线，∴FG ＝12SA ＝a 2. 在△SBC 中，GE 是中位线，∴GE ＝12BC ＝a 2. 在△EGF 中，FG 2＋GE 2＝a 22＝FE 2， ∴△EGF 是以∠FGE 为直角的等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°.∴异面直线SA 与EF 所成的角为45°.2．1.3&2.1.4 空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系预习课本P48～50，思考并完成以下问题1．直线与平面的位置关系2．两个平面的位置关系[点睛] (1)判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．(2)画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．[小试身手](1)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行( )(2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行( )(3)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行( )(4)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2.如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝l B．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D 显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行直线与平面的位置关系①如果a，b a b②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.A．0 B．1C．2 D．3[答案] C在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选A 对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①错误；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②错误；对于③，直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b 没有公共点，a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，③错误；对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，a与平面α内的无数条直线平行，④正确.[典例] α，β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是( )A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β[解析] A、B都不能保证α，β无公共点，如图(1)所示；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图(2)所示；只有D说明α，β一定无公共点，即α∥β.[答案] D1．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 62.如图所示，平面ABC与三棱柱ABCA1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.线面、面面交线问题[典例] 在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面BEF相交．[证明] ∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，∴平面ACC1A1与平面BEF相交．判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．[活学活用]如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．。
人教A版高中数学必修二课件：2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2-1-1
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解 (1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，如图①. (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A， 且点 A 不在直线 l 上，如图②. (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q，如 图③.
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17
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【跟踪训练 1】 下列四种说法正确的是___②_____． ①平面的形状是平行四边形； ②任何一个平面图形都可以表示平面； ③平面 ABCD 的面积为 100 cm2； ④空间图形中，后作的辅助线都是虚线． 解析 ①错，通常用平行四边形表示平面，但平面的形 状不一定是平行四边形；③错，平面不能度量；④错，看不 到的线画成虚线．
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[条件探究] 在本例中，若直线 a∥b∥c，直线 l∩a＝A， l∩b＝B，l∩c＝C，又该如何证明直线 a，b，c，l 共面？
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证明 如图所示． ∵a∥b，∴a，b 可确定一个平面 α. 又 l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，A∈α，B∈α. ∴AB⊂α.又 A∈l，B∈l，∴l⊂α. 又 b∥c，∴b，c 可确定一个平面 β. 同理 l⊂β. ∵平面 α，β 均经过直线 b，l，且 b 和 l 是两条相交直 线，∴l 与 b 确定的平面是唯一的． ∴a，b，c，l 四线共面．
11
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课件
C D
B A
C1 D1
B1 A1
知识小结
实例引 入平面
平面的画 法和表示
点和平面的 位置关系
平面三 个公理
空间图形
文字叙述
符号表示
2.1.2空间中两直线的位置 关系
平面有知识（复习 ）
判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上
的所有点都在这个平面内。（ ）
2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平
直线。（既不相交也不平行的两条直线） 判断：
(1)
m
β
m
l
α
l
直线m和l是异面直线吗?
(2)
,则 与 是异面直线
(3)a,b不同在平面 内,则a与b异面
异面直线的画法:
通常用一个或两个平面来衬托,异面直线
不同在任何一个平面的特点
a
b
b
a
b
a
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
b′
平
a′ θ O
移
若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围：
例 3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段所
成的角：
D1
C1
1）AB与CC1； 2）A1 B1与AC； A1
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
4、平面的基本性质
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
符号表示为:
P l, Pl.
人教A高二数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系212空间中直线与直线之间的位置关系课件共36
2 3 D 2 3
G F C B
在Rt△EFG中，求得∠EGF = 45°，
所以 BC与EG所成的角为45°. (2)因为BF∥AE，
A
所以∠FBG（或其补角）为所求.
在Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°，
相交直线 空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的定义
异面直线
异面直线的画法 两异面直线所成的角 一作(找)二证三求
边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C，B与D的连线AC， BD叫做这个空间四边形的对角线.
B
C
D
【即时训练】
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系：
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________
b a′ ？ O a b′ a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成的角θ 的取值范围： 0 o < 90 o
例2
如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？ （ 3 ）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 解 : （1）由异面直线的定义可知， 与直线BA′成异面直线的有直线 B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.
2020年高中数学2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件人教A版必修2
【探究 1】 [变条件、变结论]在例 2 中，若
M，N 分别是 A′D′，C′D′的中点，求证：四
[思考探究]………………|辨别正误| 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间等角定理为定义异面直线所成的角提供了理论依 据．( √ ) (2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这 两组直线所成的锐角(或直角)相等．( √ )
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剖析题型 总结归纳
题型一 空间两条直线的位置关系的判定
边形 ACNM 是梯形． [证明] 连接 A′C′.∵M，N 分别是 A′D′，C′D′的中
点， ∴MN 綊12A′C′. 又知 A′C′綊 AC，∴MN 綊12AC. 又知 AM 与 CN 不平行．
故四边形 ACNM 是梯形．
【探究 2】 [变条件、变结论]将例 2 变为：已知 E，E′分 别是正方体 ABCD－A′B′C′D′的棱 AD，A′D′的中点， 求证：∠BEC＝∠B′E′C′.
的位置关系是( )
A．平行或异面
B．相交或异面
C．异面
D．相交
解析：选 B 如图，在长方体 ABCD－
A1B1C1D1 中，AA1 与 BC 是异面直线，又 AA1
∥BB1，AA1∥DD1，显然 BB1∩BC＝B，DD1
与 BC 是异面直线，故选 B.
[答案] D
|方法总结| 1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也 可以用公理4判断． 2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便， 故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.
高一数学人教A版必修二 课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2
解析： 两直线可能相交、平行，也可能异面，故选D. 答案： D
公理 4 及等角定理的应用 多维探究型 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P、Q、M、N 分别为 AD、AB、C1D1、 B1C1 的中点，求证：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.
证明： 取 A1B1 的中点 K，连接 BK、KM.易知四边形 MKBC 为平行四边形． 所以 CM∥BK. 又因为 A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， 所以四边形 A1KBQ 为平行四边形， 所以 A1Q∥BK， 由公理 4 有 A1Q∥CM， 同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行， 且方向相反，
[化解疑难] 求异面直线所成的角需注意的问题
(1)a 与 b 所成角的大小与点 O 无关，为了简便，点 O 常取在两条异面直线 中的一条上，例如取在直线 b 上，然后过点 O 作直线 a′∥a，a′与 b 所成的角 即为异面直线 a 与 b 所成的角.
(2)将两条异面直线所成的角转化为平面上的相交直线的夹角，实现了空间问 题向平面问题的转化．
解析： 取 AC 的中点 M， 连接 OM，ME，OE， 由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB，OE∥DC， 所以直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角．
在△OME 中，EM＝12AB＝ 22，OE＝12DC＝1， 因为 OM 是 Rt△AOC 斜边 AC 上的中线，
(3)两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直.
1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
() A．平行或异面
B．相交或异面
C．异面
D．相交
解析： 假设 a 与 b 是异面直线，而 c∥a，则 c 显然与 b 不平行(否则 c∥b，
高一数学人教A版必修2课件：2.1.1平面 教学课件
定一个平面，设为α.
因为 l∩a ＝ A ， l∩b ＝ B ，所以 A∈a ， B∈b ，则 A∈α ， B∈α. 又因为 A∈l ， B∈l，所以由公理1可知l⊂α. 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2知：经过两条
“∈”或“∉”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用 “⊂”或“⊄”表示．
3．公理1
文字语言 如果一条直线上的________ 两点 在一个平面内，那么这条直线在 此平面内
图形语言
l⊂α 符号语言 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒_______
判断点在平面内 作用 判断直线在平面内 用直线检验平面
记法
用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
2．点、线、面的位置关系的表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 符号语言 图形语言
A∈l ____________ A∉l ____________ A∈α ____________ A∉α ____________
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C， ∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线．
命题方向3 ⇨点线共面问题
求证： 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交， 那么这四条 直线共面. 导学号 09024243
[解析] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a、b、c和l共面． 证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确
人教A版高中数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课件(5)
5.什么是异面直线?什么是异面直线所成的角?
什么是异面直线垂直?
精品PPT
一、研探新知
（1）一支笔所在直线与一个作业本所在 的平面，可能有几种位置关系？
（2）如图，线段A´B所在直线与长方体 ABCD-A´B´C´D´的六个面所在平面有几 种位置关系？
图形
b
a
文字语言(读法)
两直线共面且无公 共点两直线平行
符号语言
a∥b
Ab
a
两直线共面且有一个 公共点两直线相交
aIbA
b
a
两直线不共面且无 公共点两直线异面
a、b异面
精品PPT
（3）空间中线与面的位置关系
图形
a
a
A
文字语言(读法)
直线与平面无公共点 直线与平面平行
直线与平面有一个公 共点直线与平面相交
③ 精品PPT
如何用符号语言表示直线与平面的位置关系:
（1）直线在平面内-----有无数个公共点
a 如图：
a
a （2）直线在平面外：
a
.A
①直线a和面α相交 ：
a A 如图：
②直线a和面α平行 ：
a
a // 如图：
精品PPT
三、尝试 练习
X X X
例1、判断下列命题的正确
（1）若直线l上有无数个点不在平面 内，则
2、若直线a在平面α外，则a ∥α； （ ） ×
3、若直线a∥b，直线b α，则a∥α； （ ） ×
4、若直线a∥b，b α，那么直线a就平行于平面α内
的无数条直线；
高中数学必修2第二章-空间点、直线、平面之间的位置关系PPT
思考
在同一平面内两条相交直线形成四个角，常
取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这
个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条
异面直线的位置关系呢？
a
a
b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
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已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直
线 a//a,•b/b /，把 a 与b 所成的锐角（或直角）叫
“点P在直线l 外”,“点A在平面α外”Pl,A
直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l
直线 l 在平面α外.
l ,l
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平面的基本性质
思考1：如何让一条直线在一个平面内？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 ,那么这条直线在此平面内.
平面经过这条直线 集合符号表示
A．
B．
α
A l,B l,且 A ,B l
如：AD 与 BB,AD与 BB等．
D
（2）如果两条平行直线中的 A
一条与某一条直线垂直，那么，
D
另一条直线是否也与这条直线 A
垂直？
垂直
C B
C B
（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
不一定，如上图的立方体中
直线AB与BC相交， A B B B ,B C B B ,
28
本节小结
基本知识 （1）空间直线的三种位置关系． （2）平行线的传递性． （3）等角定理． （4）异面直线所成的角．
基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.
29
2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系
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主要内容
直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行