高二数学空间向量及其运算PPT优秀课件
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高二数学空间向量及其运算(教学课件201911)
488
C、P四点( )
(A) 不一定共面 (B)一定共面
(C) 一定不共面 (D)无法判定
例1 用向量方法求证：长方 体的体对角线长的平方等于它的 长、宽、高的平方和 .
例2 在60Ｏ的两面角α-l-β中， Ａ∈α，Ｂ∈β，已知A、B到直线l 的距离分别是2和4，且AB=10， 求CD的长.
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中 ， E 、 F 分 别 是 BB1 、 DC 的 中 点
第 课时
2
空间如向果量三基个本向定量理a：, b, c 不共面， p 那么对空间任一向量 ，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论： 设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在 唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 OG kOC，
OE kOA ， OH kOD ，
OF kOB ，求证：
(1) 四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC
例3 在棱长为a的正方体 OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是 棱AB、BC上的动点，且AE=BF， 求证：A1F⊥C1E
第 课时
3
1、给出下列命题：
(1)若向量 a与b共线，向量 c与b共线，则向量 a与c 共线
((23))向若向量量aa,与bb,平c行共，面则即存它在们唯所一在的的实直数线m共，面使；a
mb
(4)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点
Ｏ，若 OM 1 OA 1 OB 1 OC ，则点Ｏ是△ABC的 333
C、P四点( )
(A) 不一定共面 (B)一定共面
(C) 一定不共面 (D)无法判定
例1 用向量方法求证：长方 体的体对角线长的平方等于它的 长、宽、高的平方和 .
例2 在60Ｏ的两面角α-l-β中， Ａ∈α，Ｂ∈β，已知A、B到直线l 的距离分别是2和4，且AB=10， 求CD的长.
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中 ， E 、 F 分 别 是 BB1 、 DC 的 中 点
第 课时
2
空间如向果量三基个本向定量理a：, b, c 不共面， p 那么对空间任一向量 ，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论： 设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在 唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 OG kOC，
OE kOA ， OH kOD ，
OF kOB ，求证：
(1) 四点E、F、G、H共面；
(2)平面EG∥平面AC
例3 在棱长为a的正方体 OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是 棱AB、BC上的动点，且AE=BF， 求证：A1F⊥C1E
第 课时
3
1、给出下列命题：
(1)若向量 a与b共线，向量 c与b共线，则向量 a与c 共线
((23))向若向量量aa,与bb,平c行共，面则即存它在们唯所一在的的实直数线m共，面使；a
mb
(4)已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点
Ｏ，若 OM 1 OA 1 OB 1 OC ，则点Ｏ是△ABC的 333
课件长沙市高二数学《空间向量运算的坐标表示》PPT课件_优秀版
3．利用空间向量求解夹角、距离问题
3．利用空间向量求解夹角、距离问题
2．空间向量的坐标表示
1．空间向量的坐标运算
《同步导练》三单元第5课时 2．空间向量的坐标表示
2．空间向量平行、垂直的条件 1．空间向量的坐标运算
2．空间向量平行、垂直的条件
2．空间向量的坐标表示
2．空间向量平行、垂直的条件
2．空间向量平行、垂直的条件
dAB＝|A→B|＝ . (x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 （2）AB 的中点坐标
课堂探究 互动讲练 类型一 空间向量的坐标运算 [例 1] 已知 O 为坐标原点, A, B, C 三点的坐标分 别是(2,-1,2), (4, 5, -1), (-2, 2, 3). 求点 P 的坐标, 使： (1)O→P＝12(A→B－A→C)； (2)A→P＝12(A→B－A→C)．
1．空间向量的标运算
2．空间向量平行、垂直的条件
2．空间向量平行、垂直的条件
2．空间向量的坐标表示
3．利用空间向量求解夹角、距离问题
2．空间向量的坐标表示
2．空间向量的坐标表示
3．利用空间向量求解夹角、距离问题
2．空间向量的坐标表示
类型二 利用向量解决平行与垂直
1．空间向量的坐标运算
[例 2] 已知空间三点 3．利用空间向量求解夹角、距离问题
长都相等，P 为 A1B 上的点，A→1P＝λA→1B，且 PC⊥AB.求： (1)λ 的值； (2)异面直线 PC 与 AC1 所成角的余弦值．
课堂小结
1．空间向量的坐标运算 2．空间向量平行、垂直的条件 3．利用空间向量求解夹角、距离问题
3．利用空间向量求解夹角、距离问题
高二数学空间向量PPT优秀课件
设 N 为 PA 上一点，则存在 x、y 使 D→N＝xD→P＋yD→A(其中 x、y∈R)，则 D→N＝x(0，－1,2)＋y(2 3， 3,0)＝(2 3y,3y－ x,2x)．
令 2 3y∶ 23＝2x∶32，得 3y－x＝0，① 又A→N∥A→P，且A→N＝(2 3y－2 3，－3,2x)， A→P＝(－2 3，－4,2)，
AD·n →
| AD||n|
1
＝ 12×
2
＝
1＋41＋14
36.
设二面角为
θ，即
cosθ＝
36，∴tanθ＝
2 2.
【名师点评】 此题所求的二面角是一个无 棱二面角，对于这种求无棱二面角的问题， 用空间向量求解时，无需作出二面角的平面 角，从而体现了空间向量的重要作用．
利用空间向量求距离
求点到平面的距离有三种方法：定义法、等体
例2 在底面是直角梯形的四棱锥 S－ ABCD 中，∠ABC＝90°，SA⊥面 ABCD，SA＝AB＝BC ＝1，AD＝12，求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角 的正切值．
【思路点拨】 可建立空间直角坐标系，求出 两个平面的法向量，通过法向量的夹角进行求 解．
【解】 建立如图所示空间直角坐标系，则 A(0,0,0)、 D(12，0,0)、C(1,1,0)、S(0,0,1)，面 SAB 的一个法向量是A→D＝ (12，0,0)．设 n＝(x，y，z)是面 SCD 的一个法向量，则 n⊥D→C，
n⊥D→S，即 n·D→C ＝0，n·D→S ＝0.
又D→C＝(12，1,0)，D→S＝(－12，0,1)， ∴12x＋y＝0，且－12x＋z＝0， ∴y＝－12x，且 z＝12x，∴n＝(x，－x2，x2)，
取 x＝1，得 n＝(1，－12，12)．
空间向量及其运算(第二课时课件)高二数学《知识素养思维》精讲课件(人教A版2019选择性)
(2) 错误！只要a⊥(b-c)，就有a•b=a•c成立；
(3) 错误！(a•b)•c=λc ，a•(b•c)=μa (λ, μ∈R)
1.1.2空间向量的数量积
思维篇
素养篇
知识篇
核
问
1. 已知 a 2， b 5， a,b 2 ,
3
p 3a b,
心 素 养
题 q a 17b, 当p q 时，求的值.
MN 的最小值为 3 . 3
数 问 1.正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，M、N分别是对角线
学 思
DA'、AC上的动点. (1)试用AB、AD、AA' 线性表示MN ;
想 之
题
(2)求MN 长度的最小值.
函 数
（1）要用一组基向量表示目标向量，先
思 想
方 将目标向量表示成首尾相连的若干向量
01 基础作业：
.
02 能力作业：
.
03
拓展延伸：（选做）
（本页可以删了）
AB
AA')
( AC
AA ')
=-2
析
方 几何体中向量的有关运算，往往先选择一组基底将目标
法 向量表示出来，再根据基向量的条件和运算法则求解.
问 3. 已知m 、n 、m n B，且l m,
核 题 l n, 求证：l
心
素
养
要证l⊥α，即证l垂直于内的任意一条直线.
之 分 设g为内任意一条直线，分别在l、m、n、
2
迹的长度.
之
转 化
由向量AP的长度知点P在球面上，又由两
与 化
分 向量数量积为1知向量AP在向量AC’上的
(3) 错误！(a•b)•c=λc ，a•(b•c)=μa (λ, μ∈R)
1.1.2空间向量的数量积
思维篇
素养篇
知识篇
核
问
1. 已知 a 2， b 5， a,b 2 ,
3
p 3a b,
心 素 养
题 q a 17b, 当p q 时，求的值.
MN 的最小值为 3 . 3
数 问 1.正方体ABCD-A'B'C'D'边长为1，M、N分别是对角线
学 思
DA'、AC上的动点. (1)试用AB、AD、AA' 线性表示MN ;
想 之
题
(2)求MN 长度的最小值.
函 数
（1）要用一组基向量表示目标向量，先
思 想
方 将目标向量表示成首尾相连的若干向量
01 基础作业：
.
02 能力作业：
.
03
拓展延伸：（选做）
（本页可以删了）
AB
AA')
( AC
AA ')
=-2
析
方 几何体中向量的有关运算，往往先选择一组基底将目标
法 向量表示出来，再根据基向量的条件和运算法则求解.
问 3. 已知m 、n 、m n B，且l m,
核 题 l n, 求证：l
心
素
养
要证l⊥α，即证l垂直于内的任意一条直线.
之 分 设g为内任意一条直线，分别在l、m、n、
2
迹的长度.
之
转 化
由向量AP的长度知点P在球面上，又由两
与 化
分 向量数量积为1知向量AP在向量AC’上的
高二数学课件：空间向量及其运算
A
B
M
D G C
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
（27面练习第1题 （2）、（3）问。
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边
的中点,化简：
(1) AB 1 (BC BD) (2) AG 1 (AB AC)
2
2
两条有向线段表示．
⑤空间任意两个向量都是共面向量。
结 平面向量的加减法与数乘运算法则及运 论 算律对于空间任意两个向量同样使用。
1、在正方体中AC1，一只蚂蚁 沿AB、BC、CC1爬行，试问这只蚂蚁
的实际位移是多少？
D A
C B
F1 F1=20N
F2 F2=25N
D1
C1
F3=10N F3
A1
B1
(1)AC ' x(AB BC CC ' )
A
(2)AE AA ' xAB yAD B
E
D
C
A B
D C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1)AC ' x(AB BC CC ' ) A
B
E
D
C
A B
A
(1)原式＝AB BM MG AG
B
M
(2)原式
＝AB BM MG 1 ( AB AC)
D
2
＝BM MG 1 ( AB AC)
G
2
BM MG MB
C
MG
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件
(3)a·b= x1x2+y1y2+z1z2
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
1.2空间向量及其运算ppt课件
高考总复习 ·课标版 ·A 数学（理）
3．空间向量的数量积及运算律
(1)两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 O→A ＝
a，O→B＝b，则
∠AOB
叫做向量a与b的夹角，记
作〈a，b〉 ，其范围是 0≤〈a，b〉≤π ，若〈a，b〉＝
π2，则称a与b 互相垂直 ，记作a⊥b.
课前自主回顾 课堂互动探究
(2)共线与垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a∥b⇔a＝λb⇔ a1＝λb1 ， a2＝λb2
，a3＝λb3(λ∈
R)，
a⊥b⇔a·b＝0⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b均为
非零向量)．
课前自主回顾 课堂互动探究
课时作业
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A 数学（理）
课时作业
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A 数学（理）
【证明】 取ED→′＝a、E→F＝b、 E→H＝c，则H→G＝H→B
＋B→C＋C→G＝D→′F＋2ED→′＋12A→A′
＝b－a＋2a＋ 12 ( A→H ＋ H→E ＋ E→A′)＝b＋a＋ 12 (b－a－c－
a)
＝
3 2
b－
1 2
c，∴
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课时作业
与名师对话
高考总复习 ·课标版 ·A 数学（理）
应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共
线、点共面、线共面．
(1)证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三 点共线
①P→A＝λP→B； ②对空间任一点O，O→P＝O→A＋tA→B； ③对空间任一点O，O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)．
人教A版选修21高二数学3.空间向量及其加减运算PPT课件
3. 相反向量
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反向量，记为 – a .
4. 相等向量（equal vetor）
方向相同且模相等的向量称为相等向 量.
人 教 A 版 选修 21高二 数学3 .空间向 量及其 加减运 算PPT 课件
人 教 A 版 选修 21高二 数学3 .空间向 量及其 加减运 算PPT 课件
（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）;
（3）两个向量不能比较大小，因为决定 向量的两个因素是大小和方向，其中方向不 能比较大小.
人 教 A 版 选修 21高二 数学3 .空间向 量及其 加减运 算PPT 课件
人 教 A 版 选修 21高二 数学3 .空间向 量及其 加减运 算PPT 课件
人 教 A 版 选修 21高二 数学3 .空间向 量及其 加减运 算PPT 课件
知识要点
1. 空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做 空间向量（space vetor ）.
向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).
人 教 A 版 选修 21高二 数学3 .空间向 量及其 加减运 算PPT 课件
（2）加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c)
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a
AB = OC = b 所以 a + b = b + a
证明加法结合律:
O
a
A
C
bBc
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反向量，记为 – a .
4. 相等向量（equal vetor）
方向相同且模相等的向量称为相等向 量.
人 教 A 版 选修 21高二 数学3 .空间向 量及其 加减运 算PPT 课件
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（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）;
（3）两个向量不能比较大小，因为决定 向量的两个因素是大小和方向，其中方向不 能比较大小.
人 教 A 版 选修 21高二 数学3 .空间向 量及其 加减运 算PPT 课件
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知识要点
1. 空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做 空间向量（space vetor ）.
向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).
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（2）加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c)
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a
AB = OC = b 所以 a + b = b + a
证明加法结合律:
O
a
A
C
bBc
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c
人教版数学高中二年级选修2-1第三章第一节空间向量及其运算复习课件(共24张PPT)
为 60°.
MN ＝ AN － AM ＝1( AC ＋ AD)－1 AB＝1(q＋r－p)，
2பைடு நூலகம்
22
∴ MN ·AB＝1(q＋r－p)·p 2
＝1(q·p＋r·p－p2) 2
＝1(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. 2
∴ MN ⊥ AB.即 MN⊥AB.
(2)求 MN 的长； 解由(1)可知 MN ＝1(q＋r－p)，
(2)解 AC→′＝－a＋c，C→E＝b＋1c， 2
∴|AC→′|＝ 2|a|，|C→E|＝ 5|a|. 2
AC→′·C→E＝(－a＋c)·（b＋1c）＝1c2＝1|a|2， 2 22
∴cos〈A→C′，C→E〉＝
1|a|2 2
＝ 10.
2· 5|a|2 10
2
即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10. 10
A．2，1 2
B．－1，1 32
C．－3,2
D．2,2
3、已知 P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设 a＝ PQ ，b＝ PR ，c＝ QR ，
若实数 k 使得 ka＋b 与 c 垂直，则 k 的值为___2_____．
(1)证明 设C→A＝a，C→B＝b，CC→′＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴C→E＝b＋1c，A→′D＝－c＋1b－1a，
2
22
∴C→E·A→′D＝－1c2＋1b2＝0. 22
∴C→E⊥A→′D，即 CE⊥A′D．
空间向量的数量积及其应用
【训练 3】 如图，在直三棱柱 ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′， ∠ACB＝90°，D，E 分别为 AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值．
人教A版选修21高二数学3.空间向量及其加减运算精品PPT课件
人 教 A 版 选 修 21 高 二 数学 3 .空 间向量 及其加 减运算 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
解:(2) 2AD1 BD1
AD1 AD1 BD1
AD1 ( BC1 BD1 )
D1
AD1 D1C1
A1
AC1
x 1.
D
C1 B1
C
人 教 A 版 选 修 21 高 二 数学 3 .空 间向量 及其加 减运算 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
课堂小结
1.空间向量的概念.
在空间，具有大小和方向的量.
2.空间向量的加减运算.
空间向量的加减运算应用三角形法则和 平行四边形法则.
人 教 A 版 选 修 21 高 二 数学 3 .空 间向量 及其加 减运算 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
人 教 A 版 选 修 21 高 二 数学 3 .空 间向量 及其加 减运算 课件-精 品课件 ppt(实 用版)
导入新课
复习平面向量
（1）什么是平面向量的定义？ （2）平面向量如何表示？ （3）什么是相等的向量？
解答
（1）既有大小又有方向的量叫向量; （2）向量有两种表示方法:
①几何表示法:用有向线段表示;
②字母表示法:用字母 a、b等或者用有
向线段的起点与终点字母AB表示． （3）长度相等且方向相同的向量.
（1）空间的一个平移就是一个向量;
（2）向量一般用有向线段表示,同向等 长的有向线段表示同一或相等的向量 ;
（3）空间的两个向量可用同一平面内的 两条有向线段来表示.
b
a
B
b
O
aA
结论：空间任意两个向量都是共面向量， 所以它们可用同一平面内的两条有向线段表 示.