例谈函数化思想在解题中的应用
高中数学思想方法在教学中的有效应用例谈
数 学 思想 方 法 的 培 养和 使 用在 日常 的数 学教 学 学 习 中显得 至 关重 要 。数 学 思 想 方 法 的 构 成 一般 分 为 三 个 阶段 ：潜 意 识 阶段 、明 朗和 形成 阶段 以及 最后 的 深化 阶 段 。文 章 将 从 实 际的 事例 中来 阐 述数 学 思 想方 法在 高 中数 学教 学 实践 中 的运 用 。
关键 词 ：数 学 思想 ；数 学方 法 ：教 学 运 用
中 图分 类 号 ：Ｇ６ ３ ３ ． ６ 文 献标 识 码 ：Ａ 文章 编 号 ：１ ６ ７ １ — ０ ５ ６ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ １ ３ ６ — ０ ２
数 学 是 锻 炼 人思 维 的一 门重 要 科 学 ，数 学 能 在形
为３ ０ ％。 三 、在 解题 中归 纳数 学 思想 在解 决 数 学 难 题 的过 程 中 ．出题 者 往 往 将 一 些 数 学 思 想 含 蓄 的融 人 到 解 题 过 程 中 ，因此 ，在 解 决 数 学
教 学 有 法 ，教 无 定 法 。数 学 来 源 于 生 活 ，数 学 也
Ｎ ｅ ｗＣ ｕ ｒ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｕ ｍＲ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ＞ ＞１ ３ ６ Ｉ 热 点 全 攻略
高［ １ ］ 数学思想万． 去
在教学［ １ ］ 的 有 效 应 用 例
◇ 江苏 省 南 京 市 田家 炳 高级 中学 董 晓萍
摘 要 ：数 学是 启发 人 思维 的 一 个 重要 学科 ，如何 去 进 行 数 学教 学是 一 个 值 得 深 思 的 问题 ．其 中对 于
离 不 开生 活 ，在 高 中数 学 教 学 过 程 中 ，怎样 将 数 学 思
想 灌 输 到 每一 位 学 生 心 中 ，让 应 试 教 育 变 为 素 质 教 育 是 每 一位 数 学 教 育 工 作 者 在 教 学 实 践 中必 须 思 考 的 问
例谈二次函数在实际生活中的应用
例谈二次函数在实际生活中的应用作者：张岚秦婷马玲刘瑜来源：《大东方》2018年第02期摘要：二次函数作为一个非常重要的函数模型，贯穿于整个中学数学的教与学中，是数学研究中的重要的工具。
本文通过具体的实例进行分析和总结二次函数在实际生活中的应用。
关键词：二次函数；数学模型；应用1 二次函数的相关概念一般地，我们把形如的函数叫做一元二次函数，其图像是一条抛物线，且a决定函数图像的开口方向，a>0时，开口方向向上，a物线是轴对称图形，对称轴为直线。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P，其坐标为。
抛物线与x轴交点个数由一元二次方程根的个数决定，即由的符号决定。
当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴只有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点。
2 二次函数在实际生活中的应用有关二次函数的应用问题按照是否需要建立平面直角坐标系可以分为两类，一类不需要建立平面直角坐标系，这类题目关键是要求出二次函数的解析式，例如求销售利润的最值问题，二次函数的解析式分为顶点式，一般式和交点式，要根据实际问题所给的条件选择合适的解析式，接着只需运用二次函数的主要性质：如单调性、奇偶性、对称性、最值等，必要时结合二次函数图形求解出函数模型。
另一类就是必须建立平面直角坐标系。
这类题呈现的方式主要是以抛物线为基础的实际问题，如拱桥问题、投掷问题等等。
首先要将拱桥抽象为抛物线，然后结合实际问题中的条件，建立坐标系求出抛物线的解析式。
平面直角坐标系选择的一般原则是使得得出的二次函数的解析式最简单，因此要学会巧妙地选择直角坐标系的位置。
综上可知不管是哪类二次函数模型题最终都是通过二次函数解析式来解决问题的。
2.1 在经济生活中的应用二次函数在经济生活中的应用，主要分为投资策略、销售定价、货物存放、消费住宿等不同方面，而这几个不同方面的问题有一个共通点，那就是利润的最大化问题。
不论是投资还是销售，利润问题都是我们最关注的问题。
浅谈数学思想在初中数学教学中的渗透——以二次函数相关教学为例
浅谈数学思想在初中数学教学中的渗透——以二次函数相关教学为例摘要：二次函数是初中数学教学的主要内容。
教师需要增强学生对二次函数的概念和性质的理解，增强学生对学习的兴趣，并使他们掌握有效的学习函数方法。
关键字：初中数学；平方函数战略学生对二次函数的知识不感兴趣的原因是，一方面，学生对旧知识不了解，另一方面，他们不适应二次函数的综合性，缺乏思考能力和梳理能力。
教师应让学生了解数学知识的螺旋结构。
只有在知识之间建立联系，他们才能内化知识并有效地掌握知识。
一、从方程式思维转换为功能性思维二次函数是中学数学课程内容中最重要的部分，因此在教学这部分内容时，教师还应注意传统教学方法的应用和改进。
在教授二次函数时，您首先需要了解概念。
基于对二次函数的图象的了解，实现对二次函数的基本性质的理解。
只有掌握了函数图的规律和使用方法后，才能进一步了解平方函数曲线的值及其方程式。
在此基础上，教师应该融入生活中的例子，以便学生能够直观地理解和区分二次函数的表达式和一元二次方程，并清楚地表明二次函数提供了两个不同未知数之间的动态关系。
此外，对概念的认知和掌握也与更深入的思考密切相关。
例如，要了解常量如何成为变量，需要将此过程与以前学习的代数和几何知识联系起来。
与知识的严格转换相比，思想和概念需要更多的变化。
这要求教师指导学生从功能的图像到变量的变化，从静态思维到动态思维，并真正理解功能的变化过程。
二、中学数学功能知识的内容分析（一）知识状况该功能是中学数学课程知识内容中相对较大的一部分，其概念知识的特征是将常数发展为变量，并且学习的深入需要转变学生的思维方式。
数学模型的某些功能反映了对象的轨迹，一些更抽象的知识很容易被学生理解和吸收。
通过对事实情况的分析，可以发现，对功能概念的认识，理解和构建过程应该是逐步的，从基本数和代数计算开始，到求解各种方程，然后转向功能学习，除了转换知识载体。
更重要的是，学生的思维方式从求解方程等的数和代数运算过程转变为定量关系和图像的集成。
例谈“转化思想”在解题中的运用
原点到直线 3x 4y 5 = 0 距离 d =
5 =1，
32 + ( 4)2
所以 x2 + y2 的最小值是 1． 数形转化 应用广泛， 不仅在选择 题、填空题 的
解答中优越 性明显，而且 在解决一些 抽象数学问 题 中常起到事半功倍的效果．
2 借助构造法运行转化 构造 法 是 通过 构 造一 个 与 原命 题 Байду номын сангаас关 的 新 命
令 f ( x) = t3 + 2008t ，则 有 f ( x 1) = f (1 y) ， 又 易证 f (t) = t3 + 2008t 在 R 上单 调递 增( 可用 定义 或 导数证明，这 里从略) ，所以 x 1=1 y ，故 x+y =2.
例 3 已知 ( z x)2 4(x y)( y z) = 0 ，求证： x 、 y 、 z 成等差数列．
∴y
2 tan x =
1 tan 2 x
定义域为
{x | x∈R 且 x ≠kπ+ π，且 x ≠kπ±π,k ∈Z }．
2
4
由于 y = 2 tan x = 1 tan 2x ，结合 y = tan 2x 的 1 tan 2 x
图象及原函数的定义域可知该函数周期 T = π.
函数定义 域是函数三 要素中的一 个最重要的 因
34
福建中学数学
2008 年第 1 期
题，通过对新命题的研究达到解决原命题的目的．为 了实现矛盾的转化，解题中经常使用构造法．
例 2 设 x 、 y 为实数，且满足 (x 1)3 + 2008( x 1) = 1 ，求证： x+ y = 2 ． ( y 1) 3 + 2008( y 1) = 1
例谈齐次化思想方法在高中数学解题中的应用
破口．
3． 2 齐次化思想方法在解三角形中的应用
例 2 （ 2017 年全国Ⅰ卷文科第 11 题） ΔABC 的 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c． 已知 sinB + sinA·
若上述函数 p（ x，y，…，z） = 0，则这样的方程称为 关于 x，y，…，z 的 n 次齐次方程； 若上述函数 p（ x，y， …，z） ＞ 0，则这样的不等式称为关于 x，y，…，z 的 n 次 齐次不等式． 现将齐次多项式、齐次方程、齐次不等式 统称为齐次式．
基金项目： 甘肃 省 教 育 科 学“十 三 五”规 划 课 题“基 于 核 心 素 养 的 高 中 数 学 章 起 始 课 教 学 研 究 ”（ 项 目 编 号： GS［2018］ GHB0759） ； “基于教师视角的民族地区高中数学有效教学策略研究： 以甘肃省 S 县为例”（ 项目编号： GS［2018］GHB1848） ．
作者简介： 严天珍（ 1990 － ） ，男，甘肃天水人，教育硕士，中学一级教师，研究方向： 学科教学（ 数学） ； 李平（ 1987 － ） ，男，甘肃会宁人，本科，中学一级教师，研究方向： 学科教学（ 数学） ．
·28·
理科考试研究·数学版
2019 年 10 月 1 日
齐次式不仅能体现数学的对称美与和谐美，并且
参考文献： ［1］曾建国． 数学解题策略选讲［M］． 哈尔滨： 哈尔滨工业 大学出版社，2011． ［2］蔡小雄． 更高更妙的高中数学［M］． 杭州： 浙江师范大 学出版社，2016． ［3］刘沛松． 联想方法在高中数学解题思路的分析［J］． 文 理导航，2017（ 09） ： 50．
（ 收稿日期： 2019 － 05 － 03）
2019 年 10 月 1 日
例谈拉格朗日乘数法在高中多元函数最值问题中的应用
例谈拉格朗日乘数法在高中多元函数最值问题中的应用
作者：周文建祖米热提·阿里木
来源：《福建中学数学》2023年第07期
针对高中某些具有一定难度的数学问题，“高观点中学数学”解决问题的优势得到凸显．利用拉格朗日乘数法，可以解决含约束条件的多元函数最值问题和不等式问题，操作方便，解法简单，可以帮助学生提升思维创新能力，提升數学学科核心素养．本文作者尝试从若干典型例题来阐述拉格朗日乘数法在多元函数最值问题和不等式问题中的使用．
3 反思与启示
波利亚说过，没有任何一道题目是彻底完成了的，总是还会有一些事情可以做．一道题用一种方法解决以后，就需要我们进一步进行研究，强化思考能力，真正进入深度学习，很多时候可以引入一些高等数学的数学思想和方法，以发展高阶思维，提升学生的数学核心素养．高考题立足基础而又充满创新，在近年的高考中，有限制条件的多元函数以不等式形式考查成为一种常态，部分试题难度相对较难，通过以上例题的尝试，发现在有限制条件的多元函数求最值的问题中，拉格朗日数乘法方法独到，运算简便，方式单一，可以作为通法来解决此类问题．
参考文献
[1]华东师范大学数学系．数学分析[M]．北京：高等教育出版社，2001
[2]G·波利亚．怎样解题：数学思维的新方法[M]．涂泓，冯承天译．上海：上海科技教育出版社，2002
[3]甘大旺．拉格朗日乘数法的初等应用[J]．宁波教育学院学报，2017（1）：134-137。
例谈数学思想在解题中的应用
、
用 分类 讨 论 思 想 巧 妙 解 题
当被 研 究 的 问题 包 含 多 种 可 能 情 况 ， 能 一 概 而 论 时 ， 不
行 四边 形 ， 以 ＡＤ＝ Ｃ， 所 Ｅ ＡＥ＝ Ｂ Ｃ Ｄ． 因 为 ＡＢ＝ Ｄ＝ ＡＤ＝ 。 Ｃ ７． ５
握 一 定 的 数 学 思 想 与方 法 ， 解 、 握 基 本 的数 学 知 识 及 技 理 掌 能提 到并 重 的 位 置 。那 么 初 中数 学 教 学 中 常 用 到 哪 些 数 学
思想 方 法 呢？ 现 举 例 说 明 ：
一
数。
Ａ
Ｄ
析解 ：过 Ａ点作 Ａ ∥ Ｅ Ｄ 交 Ｂ Ｃ， Ｃ于 Ｅ， 因为 Ａ Ｄ∥
析解 ： 由两 实 数 ａ ｂ在 数 轴 上 的位 置 可 知 、
所 以 ａ ｂ Ｏ．— ＞ ＋ ＜ ｂ ａ０
例 ２ 某 商 场 销 售 一 批 名 牌 衬 衫 ，平 均 每 天 可售 出 ２ ０
ＷＥ Ｉ Ａ Ａ Ｇ Ｎ Ｌ ０ Ｈ Ｎ Ｄ
实 践 平 台
例谈数掌思想 在解题 中的 应 用
文 ／ 庆 思 吴
评 注 ： 审题 时 不 仅要 找 到 隐 含 的 相 等 关 系 ， 出方 程 ， 在 列 还 要 抓 住 “ 快 减 少 库 存 ” 样 的 要 求 ， 能 对 所 得 的 方 程 尽 这 才 的解 进 行 合 理 的取 舍 。
Ｅ
Ｃ
必 须 按 可 能 出现 的所 有 情 况 来 分 别 讨 论 ， 得 出 各 种 相 应 的
结 论 ． 种处 理 问 题 的 思 想 方 法 称 为分 类 思 想 。 这
Ｂ Ｃ＝１ 所 以 Ｂ Ｂ Ｃ ２， Ｅ＝ Ｃ— Ｅ＝１ — ＝ ＡＥ＝ Ｄ： ２ ５ ７， Ｃ ＡＢ＝ ７． 所 以
函数思想在“从分数到分式”教学设计中的渗透
㊀㊀㊀㊀㊀㊀函数思想在从分数到分式教学设计中的渗透函数思想在 从分数到分式 教学设计中的渗透Һ李晓娜㊀周子凡㊀高㊀然㊀（北京市大兴区新源学校，北京㊀１０２２０９）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学教学中，教师可以渗透一些后续学习会用到的数学思想．本文通过在 从分数到分式 的教学设计中创设情境，在分式有意义㊁分式值为零的条件的求解过程中渗透函数的 变量对应思想 ，发展学生合情推理的能力，渗透函数思想，并利用小组合作交流提升学生小组合作的意识．ʌ关键词ɔ函数思想；分式；教学设计一㊁教材分析分式在整个初中教材中具有承上启下的作用．分式属于有理式范畴，但和整式有本质的区别，是初中代数部分的重要概念．对于本章的教学，教师应主要借助旧知分数来让学生认识分式的内容，运用类比的学习方法让学生承上启下地理解知识之间的联系和区别．分数与分式有一致的形式，有相似的定义方式㊁性质和运算规律，学生通过类比的学习方式可得出分式的概念，并通过分数的运算方式引入分式的运算．这为后面解分式方程做了铺垫，也为学习反比例函数奠定了基础．二㊁学情分析学生在小学已经学习过分数的概念和基本性质，因此，通过类比分数的知识，学生会较容易理解分式的相关知识．初二的学生已具有数学知识探索能力，分析归纳能力也逐步增强，同时笔者执教班级的学生数学综合能力较强，对于知识的接受能力及数学演绎创造能力较强，故本节课主要以学生主动探究学习为主．三㊁目标分析１．了解分式的概念，掌握分式有意义和值为零时字母的取值范围．２．类比分数学习，经历分式概念的形成及探索分式有意义条件的过程，从具体到抽象，从特殊到一般，同时渗透函数思想．３．通过具体问题的解决，进一步培养学生符号语言的严密性，提高学生数学学习的兴趣和自信心．四㊁教学环节ʌ环节一ɔ类比思考，发现分式数学游戏：请你任意给出两个整数并相除，商有几种结果？问题１：计算的结果一定是整数吗？师生：（总结）两个整数的商不一定是整数．追问：当两个整数相除的结果不是整数时，如５ː２，怎样表示商？它有什么实际意义吗？师生活动：结合分数５２进行说明．教师总结思路：引入分数的意义是解决商不为整数的这类结果．追问：请你任意给出两个整式，商有几种结果？问题２：计算的结果一定是整式吗？师生：（总结）类比分数的发展，任意两个整式的商的结果如何？如２ｘ２ｙｚːｘｙｚ（结果是整式），ｙː（ｙ＋２）（结果不为整式）．追问：不是整式的商如何表示呢？师生活动：用ｙｙ＋２表示所得的商．追问：你能举出两个整式相除的结果不是整式的例子吗？教师：（总结）商的结果不是整式时，可用类似分数的方法引入整式相除商的表示方式，即：两个整数相除商不是整数ң一般化ң引入分数表示商，两个整式相除商不是整式ң一般化ң引入新的式子表示商．ʌ设计意图ɔ抓住数学运算这一核心，类比分数的运算本质，当两个整式相除结果不是整式时引入分式这个新的概念，让学生在分式的引入过程中体会数系扩充的思想，同时为从分数到分式的一般化抽象提供样例．ʌ环节二ɔ发现新知，总结归纳问题１：对于新引入的式子，应该研究它的哪些内容？依据什么样的思路展开研究？追问：在小学我们学习了分数的哪些知识？是按照怎样的思路和方法研究的？师生活动：教师引导学生回顾分数的学习思路，类比分数的学习方式 分数的定义 分数的基本性质 分数的运算 的思路，进一步学习一般化的式子 分式，同时渗透研究新概念的一般方式．问题２：你能尝试给分式下个定义吗？㊀㊀㊀㊀㊀①这类代数式有哪些特征？②如何定义分式？师生活动：（发现其共同特征）ＡＢ表示两个整式Ａ，Ｂ相除得到的商，并通过比较整式得到Ｂ中含有字母的特征．一般地，如果Ａ，Ｂ表示两个整式，并且Ｂ中含有字母，那么式子ＡＢ叫作分式．分式ＡＢ中，Ａ叫作分式的分子，Ｂ叫作分式的分母．类似于 整数和分数统称有理数 ，我们把整式和分式统称有理式．ʌ设计意图ɔ类比分数的学习方式建构分式的概念，同时学习研究分式的一般思路．ʌ环节三ɔ辨析概念，新知应用例１㊀下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？（１）３ｘ＋１６；（２）２ａ（ａʂ０）；（３）３ｘπ；（４）３ｘ２ｘ．分析㊀（１）是整式；（２）是分式；（３）是整式：π是一个数；（４）是分式：分式是用形式定义的，不能先变形．解㊀整式：３ｘ＋１６，３ｘπ；分式：２ａａʂ０()，３ｘ２ｘ．归纳总结：分式应具备如下条件：（１）形如ＡＢ，且Ａ，Ｂ均为整式；（２）分母Ｂ中含有字母；（３）分母Ｂʂ０．ʌ设计意图ɔ概括分式的本质属性：两个整式的商，分母中含有字母，且分母不为０．ʌ环节四ɔ合作探究，深化新知思考：以分式ｘｘ＋２为例，说说分式与整式的关系，以及分式与分数之间的联系与区别．师生活动：教师引导学生说出分式表示两个整式的商，分式与整式的区别在于分母中是否含有字母．追问：分式ｘｘ＋２中的字母ｘ可以取哪些值？分式和分数之间有什么关系？分式有意义的条件是什么？分式为零的条件是什么？填表：ｘ－２－１０１２ ｘ＋２０１２３４ ｘｘ＋２无意义－１０１３１２问题１：对于任意的ｘ值，都能求出整式ｘ＋２的值吗？问题２：对于任意的ｘ值，都能求出ｘｘ＋２的值吗？问题３：分式在什么条件下值为零？归纳总结：分式是分数的一般化，分数是分式中字母取某些值时得到的具体数．分式的值为零的条件是：分母不为零且分子为零．ʌ设计意图ɔ通过填写表格，让学生直观理解分式的概念．列表格的第一个目的是着眼于两个 ０ 时刻的解读．第一个 ０ 时刻是当ｘ＝－２时ｘ＋２＝０，类比 分数分母不为零⇒分式分母Ｂʂ０⇒－２０无意义 ，进而得到分式有意义的条件是：分式的分母Ｂʂ０．第二个 ０ 时刻是当ｘ＝０时ｘ＋２＝２， 分子值为零㊁分母值不为零⇒分式值为零 ，从而归纳出分式值为零的条件：分子为零且分母不为零．第二个目的是对分式与分数关系的一个直观解读，同时渗透函数的 变量对应说 的概念，在取值范围内，当ｘ给定任意值时，分式都有唯一的值与之对应，这个值恰好是分数，总结来说，分式是分数的一般化，分数是分式的具体化．第三个目的是对分式值进行一个整体的分析，从它的大小变化趋势进一步渗透函数思想．这个环节渗透了从特殊到一般的研究思想，从分数到分式运用了类比的思想，符合学生的认知水平和认知规律．例２㊀当ｘ取什么值时，下列各式有意义？（１）ｘ－３ｘ＋３；（２）２ｘ－５ｘ２；（３）ｘ－２ｘ２－４．例３㊀当ｘ取什么值时，分式ｘ－４ｘ－４的值等于零？解㊀分式｜ｘ｜－４ｘ－４的值等于零的条件：ｘ－４ʂ０㊀①，｜ｘ｜－４＝０㊀②，{由①，得ｘʂ４，由②，得ｘ＝ʃ４．故当ｘ＝－４时，分式｜ｘ｜－４ｘ－４的值等于零．注：一般地，称一个式子为分式时，就隐含了分母不等于零的条件．拓展练习：１．如果分式６３ａ－５是负数，则ａ的取值范围是．２．ｘ取何值时，代数式１１＋１１＋ｘ有意义？３．分式２ｘ＋１ｘ２－４ｘ＋４中ｘ的取值范围是．ʌ设计意图ɔ通过例题的讲解使学生进一步理解和掌握分式有意义的条件以及分式为零的条件，同时与上一章因式分解㊁七年级绝对值内容进行有机融合，提高学生对知识的纵向理解．ʌ环节五ɔ课堂作业，自我评价１．下面的式子中，哪些是分式？３ｘ２－１，３０００３００－ａ，２７，ＶＳ，Ｓ３２，２ｘ２＋１５，４５ｂ－ｃ，ｘ２－ｘｙ＋ｙ２２ｘ－１．㊀㊀㊀㊀㊀㊀２．当ｘ取什么值时，下列各式有意义？（１）２ｘ－５ｘ－３；（２）ｘｘ２－１；（３）２ｘｘ２＋３．３．当ｘ取什么值时，下列各式的值等于零？（１）２ｘ－３ｘ＋２；（２）ｘｘ－１；（３）ｘ－１ｘ－１．ʌ环节六ɔ课后反思从分数到分式 是人教版八年级上册中的教学内容，初中生在小学已经学习过分数的概念和基本性质，因此，类比分数的知识学生较容易理解分式的相关知识．笔者执教班级的学生数学综合能力较强，已具有数学知识探索能力及分析归纳能力，对于知识的接受能力及数学演绎创造能力较强，故本节课中可以学生为主体，让学生动口㊁动脑积极思考．通过本节课，无论是在实际教学实践方面，还是教学理论指导方面，都使我受益匪浅．下面，笔者将从备课准备以及授课结束两个方面谈一下自己的感受．在备课准备的过程中，笔者有以下收获：１．为了进一步了解学情，了解这一阶段学生的认知规律及特点，笔者精心研读了数学课程标准和皮亚杰的认知规律，进一步了解了学生思维逻辑的发展过程，知道了学生知识形成所经历的过程是从具体运算阶段到形式运算阶段，是从具体的图表演示转变为抽象的思维概括，这些都为笔者本次教学及今后的教学提供了重要的理论指导，知道了如何按照当前学生的心理和认知特点进行教学．２．对于数学教学本质的理解：通过磨课㊁研课，笔者看到了数学是思维发展的呈现，上课的过程既是学生思维发展训练的过程，也是教师进一步理解知识本质㊁不断成长的过程．本次课程打磨的过程使笔者从数学更高的层面看到了数学教学应该具备的要点：重在思维，把握本质，突出重点，突破难点，由易到难，层层深入．３．对于情感与态度方面的理解：笔者渐渐理解了数学教学不仅仅是知识和技能㊁过程与方法的教学，更体现在情感㊁态度上，适时地对学生的表现给出表扬和赞赏，会让学生体验到数学学习的乐趣，体会到成功．我们不仅要在课堂上落实学科知识，更要发挥学科的育人功能，落实学科素养对于数学学习的更高要求．４．对于板书设计的理解：板书是课堂内容的精髓，是课堂重难点及课堂逻辑思维的展现．在板书设计方面，笔者深刻领悟到了板书示范作用的重要性，慢慢学习到了如何通过板书展示本节课的重难点，以及如何有效利用板书展现整节课的逻辑思维过程．但是笔者的板书还有待加强，字迹的工整程度还需要练习．四㊁总㊀结本节课的教学设计通过实际的检验，成功及不足之处有以下几点．１．在课堂引入方面，类比分数引入本节课的主要内容 分式 ，调动了学生的积极性，学生已有认知得到了充分体现，并自主总结，从而引出了本节课的主题 分式 ．２．教学时通过几个问题展示分式概念生成的过程，它类比分数的引入㊁数域的扩充对本节课的知识进行生成，对学生进行提问㊁追问，并引导学生成功解决了问题，让学生初步体会了概念学习的一般规律以及对新事物学习的一般思路．我们学习的过程是：定义 基本性质 运算，而本节课只需完成第一步概念的学习．在完成例１的过程中，学生如预设的一样出现了障碍，对于３ｘ２ｘ是否为分式出现了分歧，说明学生在思维和认知上还存在差距．笔者趁机引导，进一步强调定义中 分母中含有字母 这一特点，同时完善定义，对在定义教学过程中设置的 障碍 进行处理．在质疑㊁讨论到完善认知的过程中，学生慢慢学会了自己提出问题并解决问题，得出了完整的分式的概念以及判断分式的方法．在此过程中，学生体会了从 特殊到一般再到特殊 的数学思想，也锻炼了学生提出问题能力㊁解决问题能力及基本的表达能力．３．在分式的值为零的条件的探究中，笔者主要设置了三个问题，这个环节是本节课至关重要的一环，这里利用表格数据的填写计算辅助学生完成问题的解答．在这一过程中，学生探究了分式值为零的条件及相关延伸，并突出对分式与分数关系的一个直观解读，同时渗透了函数的 变量对应说 的概念，在取值范围内，当ｘ给定任意值时，分式都有唯一的值与之对应，这个值恰好是分数，也就是分式是分数的一般化，分数是分式的具体化．４．在例２㊁例３的学习中，学生能运用思考环节得出的结论进行例题的解决，但笔者也从做题的过程中发现了学生的薄弱环节，动脑不动手，过程不够严谨，大部分学生直接写出答案，没有知识生成的过程，同时由于没有手写的过程出现了计算上的失误．５．本课的课堂小结不仅体现了知识层面的收获，更注重了数学思维方法的渗透，最后由学生通过做题来检验自己本节课的学习成果，对自己的学习进行评价．在自评中，学生体验到了数学学习的乐趣和主人翁地位，很好地体现了新课程标准对于情感㊁态度与价值观的展现，使数学课堂不仅仅是教师的课堂，而成为学生思维的主战场．最后教师对整堂课给予客观评价，激励学生学习的信心，让学生看到自己思维的价值．６．分数到分式的教学过程，让学生站到了主人翁的地位．随着教师的引导，学生逐渐理解了数学学习的方式方法，即数学学习实际上有一条暗线 知识的逻辑生成过程以及旧知的铺垫，从学习中体会到了学习的乐趣，获得了丰富的果实．ʌ参考文献ɔ［１］钱佩玲．中学数学思想方法［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２００８．［２］波利亚．怎样解题［Ｍ］．阎育苏，译．北京：科学出版社，１９８２．。
试谈“一次函数”中的数学思想
试谈“一次函数”中的数学思想辽宁省朝阳市喀左县平房子中学常文阁数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起指导作用。
基本知识点是数学课上首先要掌握的，但更重要的是解决问题的思路和方法，思路和方法的获取要靠自己一步一步地去体验和理解，更重要的是解决问题的过程，在过程中探索、获取思路和方法。
每年的中考数学题都着重考查了同学们对数学思想方法的理解和掌握。
因此，同学们在数学学习中，对重要的数学思想方法的学习要加强，而不是消弱。
下面谈一谈“一次函数”中的数学思想。
一、函数的思想：就是根据题中条件学会用函数方法解决实际问题。
“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映客观世界的动态，它们的相互制约性，函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型。
经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想和一次函数在我们现实生活的广泛应用，培养同学们“数学化”的能力。
二、方程思想：就是从分析问题的数量关系入手，适当设出未知数，通过等量关系列出方程或方程组来解决问题的一种数学思想方法。
主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。
函数思想与方程思想的联系十分密切。
如解方程就是求函数y=f(x)当函数值为零时自变量x的值；用函数图象的“交轨”方法，可以求出或讨论方程f(x)=g(x)的根或“函数组”化的方程组，等等。
这种联系提供了解决问题过程中转化的依据。
三、转化思想：就是根据知识间的内在联系，把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，恰当地把题目中的某些关系从一种形式转化为另一种形式，问题就能比较顺利地得到解决，这就是转化思想。
领悟了转化思想，能够帮助同学们打开思路，把一个较复杂或陌生的问题转化成较简单或熟悉的问题。
例如，一次函数的图、表、式三种表示方法之间的相互转化，通过方程与函数的联系解决问题，求两条直线交点的问题转化为解二元一次方程组的解。
使学生学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，培养学生把文字语言转化为数学符号的能力。
数学思想在解答函数零点个数问题中的应用
考点透视函数零点的个数问题比较常见，常见的命题形式有两种：（1）求函数零点的个数；（2）已知函数零点的个数，求参数的取值范围.下面结合实例，谈一谈如何巧妙运用数学思想解答函数零点的个数问题.一、利用方程思想函数f (x )的零点即为函数f (x )=0时x 的取值.因此，在解答函数零点的个数问题时，可利用方程思想，令函数f (x )=0，将问题转化为求函数f (x )所对应的方程f (x )=0的解的个数.解该方程，便可确定函数的零点的个数.例1.求函数f (x )=ìíîïïx 2-2,-π<x ≤0,cos(3x +π6),0<x <π.零点的个数.解：当-π<x ≤0时，解方程x 2-2=0，得x =-2；当0<x <π时，解方程cos(3x +π3)=0,得3x +π6=π2+k π，即x =π9+k π3(k ∈Z)，当k =0,1,2时，x =π9，4π9，7π9，满足题意，所以函数f (x )有4个零点.该函数为分段函数，需分-π<x ≤0和0<x <π两种情况讨论f (x )=0的解的个数.运用方程思想求解函数零点的个数问题的思路较为简单，解方程即可求得问题的答案.二、利用数形结合思想函数的图象是解答函数问题的重要工具.由于函数f (x )的零点即为函数f (x )与x 轴交点的横坐标，所以可利用数形结合思想，根据函数的解析式画出函数的图象，通过研究函数的图象与x 轴交点的个数，来求得函数零点的个数.例2.求函数f (x )=ln x +2x -4零点的个数.解：由题意可知函数的定义域是{x |x >0}，令f (x )=ln x +2x -4=0，可得ln x =4-2x ，设g (x )=ln x ,h (x )=4-2x ,分别画出两个函数的图象，如图1所示，由图可知两个函数的图象交于第一象限，而g (x )=ln x 在第一象限单调递增，h (x )=4-2x 在第一象限单调递减，所以两个函数的图象只有1个交点，所以函数f (x )=ln x +2x -4只有1个零点.该函数由两个简单初等函数g (x )、h (x )构成，于是令f (x )=0，将方程变为g (x )=h (x )的形式，构造出两个新函数，然后在同一坐标系中分别画出g (x )和h (x )的图象，利用数形结合思想来解题.通过观察两个函数的图象，即可明确其交点的个数.两个函数的图象有几个交点，方程g (x )=h (x )就有几个解，函数f (x )=0就有几个解，函数f (x )就有几个零点.例3.已知函数f (x )=ax -2ln x (a ∈R)有2个零点，求a 的取值范围.解：令f (x )=0，可得ax -2ln x =0，即a =2ln x x(x >0).设g (x )=2ln x x(x >0),y =a，对g (x )求导可得g ′(x )=2(1-ln x )x 2,则当0<x <e 时，1-ln x >0，g ′(x )>0；当x >e 时，1-ln x <0，g ′(x )<0，所以g (x )在（0,e ）上单调递增，在（e ,+∞）上单调递减，故g (x )在x =e 处取得最大值g (e )=2e.画出函数g (x )=2ln xx的图象，如图2所示，要使直线y =a 与g (x )图象有2个交点，则需使直线y =a 必须在x 轴和直线y =2e 之间，因此，0<a <2e.解答本题的关键在于将f (x )=0进行适当的变形，通过分离参数，构造出两个函数，利用数形结合思想来研究两个函数图象的交点.在画函数的图象时，可利用导数法来判断函数的单调性，求函数的最值，以便确定函数图象的变化情况.总之，解答函数零点的个数问题，可以从方程和图象两个方面入手，利用方程思想和数形结合思想来解答.一般地，若易于求得方程f (x )=0的解，则可利用方程思想，通过解方程来解题；若不易求得方程f (x )=0的解，则需利用数形结合思想，借助函数图象来讨论函数零点的个数.（作者单位：陕西省神木职业技术教育中心）邱香云图2图139Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。