高中数学充要条件教案
教学目标
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
教学建议
（一）教材分析
1．知识结构
首先给出推断符号“ ”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步
知识．
2．重点难点分析
本节的重点与难点是关于充要条件的判断．
（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，
主要用来区分命题的条件 和结论 之间的因果关系．
（2）在判断条件 和结论 之间的因果关系中应该：
①首先分清条件是什么，结论是什么；
②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），
也可以举反例说明其不成立；
③最后再指出条件是结论的什么条件．
（3）在讨论条件 和条件 的关系时，要注意：
①若 ，但 ，则 是 的充分但不必要条件；
②若 ，但 ，则 是 的必要但不充分条件；
③若 ，且 ，则 是 的充要条件；
④若 ，且 ，则 是 的充要条件；
⑤若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件．
（4）若条件 以集合 的形式出现，结论 以集合 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要
条件的理解和判断．
①若 ，则 是 的充分条件；
显然，要使元素 ，只需 就够了．类似地还有：
②若 ，则 是 的必要条件；
③若 ，则 是 的充要条件；
④若 ，且 ，则 是 的既不必要也不充分条件．
（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命
题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题 逆否命题，逆命题 否命题，
当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．
（二）教法建议
1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条
件中的 ， 与四种命题中的 ， 要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的
语句，也可以是含有逻辑联结词或“若 则 ”形式的复合命题．
2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣
是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概
念的本质属性．
3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从
判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而
引入“必要条件”的概念．
4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的
合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，
从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．
充要条件
教学目标：
（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；
（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；
（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；
（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
教学重点难点：关于充要条件的判断
教学用具：幻灯机或实物投影仪
教学过程设计
1．复习引入
练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；
（5）若 ，则 ；
（6）若方程 有两个不等的实数解，则 ．
（学生口答，教师板书．）
（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．
置疑：对于命题“若 ，则 ”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看 能不能推出 ，如果 能推出 ，则原命题是真命题，否则就是假命题．
对于命题“若 ，则 ”，如果由 经过推理能推出 ，也就是说，如果 成立，那么 一定成
立．换句话说，只要有条件 就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件 是 成立的充分条件，
记作 ．
2．讲授新课
（板书充分条件的定义．）
一般地，如果已知 ，那么我们就说 是 成立的充分条件．
提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．
（学生口答）
（1）“ ，”是“ ”成立的充分条件；
（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；
（3）“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件．
从另一个角度看，如果 成立，那么其逆否命题 也成立，即如果没有 ，也就没
有 ，亦即 是 成立的必须要有的条件，也就是必要条件．
（板书必要条件的定义．）
提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．
（学生口答）．
（1）因为 ，所以 是 的充分条件， 是 的必要条件；
（2）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；
（3）因为“两三角形全等” “两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积
相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；
（4）因为“四边形的对角线互相垂直” “四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”
是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；
（5）因为 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件；
（6）因为“方程 的有两个不等的实根” “ ”，而且“方
程 的有两个不等的实根” “ ”，所以“方程
的有两个不等的实根”是“ ”充分条件，而且是必要条件．
总结
：如果 是 的充分条件， 又是 的必要条件，则称 是 的充分必要条件，简称充要条
件，记作 ．
（板书充要条件的定义．）
3．巩固新课
例1? （用投影仪投影．）
B
A是B
的什
么条件
B
是 的什么条
件
是有理数 是实数
?
?
、 是奇数
是偶数
?
?
?
?
?
是4的倍数 是6的倍数
?
（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）
①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必
要非充分条件；
② 一定能推出 ，而 不一定推出 ，所以 是 的充分非必要条件， 是
的必要非充分条件；
③ 、 是奇数，那么 一定是偶数； 是偶数， 、 不一定都是奇数（可能都为偶
数），所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件；
④ 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分条件；
高中数学《2、2充分条件、必要条件、充要条件》知识点+教案课件+习题
知识点：一、充分条件在实例一中，条件A1、B1、C1、D1与结论E1之间有如下三个关系：（1）只要A1、B1、C1、D1具备其中的任何一个，E1张三家有肉吃就必定成立。
（2）如果知道了张三家有肉吃（E1）是事实，我们只能断定A1、B1、C1、D1中必定有一个或者多个成立，但无法确知哪个或哪几个成立。
也就是说，如果E1成立，不能确定得出A1存在的结论，对于B1、C1、D1也是如此。
反过来说，如果A1不存在，不能得出E1不成立的结论。
（3）如果知道张三家没有肉吃（非E1）是事实，必然会确定得出A1、B1、C1、D1均不存在的结论。
在这种情况下， A1、B1、C1、D1就是E1的充分条件。
抽象的表述如下：用A表示条件A存在，用非A表示条件A不存在，用B表示结论B成立，用非B表示结论B不成立。
如果（1）A→B（→表示能够推导出，下同）且（2）非A ◌→非B（◌→表示不能推导出，下同）且（3）非B→非A，那么条件A就是结论B的充分条件。
我们再用图1所示的开关并联现象说明一下充分条件。
图中两个开关SW1和SW2是并联的，在灯泡D1完好前提下，SW1闭合、SW2闭合均是“灯泡D1亮”的充分条件。
在语言叙述中，我们一般用“如果……，就……”来表示充分条件。
例如，如果张三家里有猪肉，张三家里就有肉吃；如果期末考试考了60，就能拿到该课程的学分。
二、必要条件在实例二中，条件A2、B2、C2与结论D2之间有如下三个关系：（1）研究者具备较高的研究能力（A2）、研究者努力进行研究（B2）、研究者的研究方向聚焦（C2）三者必须同时具备，结论“研究者产出高水平的研究成果（D2）”才能成立。
（2）如果条件A2、B2、C2任何一个不存在，D2就不成立。
（3）如果D2不成立，只能断定条件A2、B2、C2中有一个或者多个不存在，但无法确定判断哪一个或者哪几个不存在。
在这种情况下，我们称A2、B2、C2是D2的必要条件。
抽象的表述如下：用A表示条件A存在，用非A表示条件A不存在，用B表示结论B成立，用非B表示结论B不成立。
高中数学 充分条件与必要条件 说课稿教案教学设计
《充分条件与必要条件》说课教案一、背景分析1、学习任务分析：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。
在旧教材中，这节内容安排在《解析几何》第二章“圆锥曲线”的第三节讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数学第一册（上）第一章中“简易逻辑”的第三节。
除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。
在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。
教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。
2、学生情况分析：从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”（注意：新教学大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”），这是比较切合教学实际的．由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。
教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。
教学关键：找出A、B，根据定义判断A=>B与B=>A是否成立。
高中数学必修一高一数学第一章(第课时)充分条件与必要条件()公开课教案课件课时训练练习教案课件
课题：1.8 充分条件与必要条件（二）教学目的：1．使学生理解充要条件的概念，掌握充要条件的判断；2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这一节是在上一节学习了充分条件、必要条件概念的基础上，进一步学习充要条件的有关知识．重点是充要条件．关于充分条件、必要条件与充要条件，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．教学过程：一、复习引入：⒈什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？若p⇒q（或若┐q⇒┐p），则说p是q的充分条件，q是p的必要条件.⒉指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴p：x>2，q：x>1；⑵p：x>1,q：x>2；⑶p：x>0 ,y>0，q：x+y<0；⑷p：x=0，y=0，q：x2+y2=0.解：⑴∵x>2⇒x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵∵x>1x>2，但x>2⇒x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件.⑶∵x>0 ,y>0x+y<0，x+y<0x>0 ,y>0，∴p不是q的充分条件，p 也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.⑷∵x=0，y=0⇒x2+y2=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2+y2=0⇒x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件.⒊在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.二、讲解新课：⒈什么是充要条件？如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也可以说q是p的充要条件）例如，“x=0，y=0”是“x2+y2=0”的充要条件；“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件.说明：⑴符号“⇔”叫做等价符号.“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”；也表示“p等价于q”. “p⇔q”有时也用“p↔q”；⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.⒉几个相关的概念若p⇒q，但p q，则说p是q的充分而不必要条件；若p q，但p⇐q，则说p是q的必要而不充分条件；若p q，且p q，则说p是q的既不充分也不必要条件.例如，“x>2”是“x>1”的充分而不必要的条件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的条件；“x>0 ,y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要的条件.⒊充要条件的判断方法四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；⑶确定条件是结论的什么条件.4.怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？答：有两种说法：⑴若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件（此时B也是A的充要条件）.在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此命题的真值集合.⑵若p⇒q，说明p的真值集合⊆q的真值集合，则p是q的充分条件，q 是p的必要条件；若p⇔q，说明p，q的真值集合相等，即p，q等价，则p 是q充要条件（此时q也是p的充要条件）.三、范例例(P35例2)指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？⑴p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.⑵p：同位角相等；q：两直线平行.⑶p：x=3；q：x2=9.⑷p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形.解：⑴∵(x-2)(x-3)=0x-2=0，(x-2)(x-3)=0⇐x-2=0，∴p 是q 的必要而不充分的条件；⑵∵同位角相等⇔两直线平行，∴p 是q 的充要条件；⑶∵x=3⇒x 2=9， x=3x 2=9，∴p 是q 的充分而不必要的条件； ⑷∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形的对角线相等四边形是平行四边形，∴p 是q 的既不充分也不必要的条件.四、练习：1 3.⑴假；⑵假；⑶假；⑷真.课本P 36练习：1，2；P 36-38习题：3.答案：练习：1.⑴；⑵；⑶⇔；⑷⇔.2.⑴充分而不必要的条件；⑵充分而不必要的条件；⑶充要条件；⑷必要而不充分的条件. 五、小结：六、作业：(一)复习：课本P 34-36内容，进一步熟悉和巩固有关概念和方法.(二)书面：课本P 36-37习题1.8：1，2.答案：1.⑴p ：x>0，y>0；q ：x+y>0. （∵⇒）⑵p ：x>3；q ：x>5.（∵⇐）⑶p ：判别式b 2-4ac ≥0；q ：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实根.（∵⇔）⑷p ：x>y ；q ：x 2>y 2. (∵)2.⑴充分而不必要的条件；⑵必要而不充分的条件；⑶必要而不充分的条件；⑷充要条件；⑸必要而不充分的条件；⑹必要而不充分的条件.(三)思考题：试寻求关于x 的方程x 2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.(练习册P 15探索题2)解法1：关于x 的方程x 2+mx+n=0有两个小于1的正根⇔方程在(0，1)内有实根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0)1(0)0(1200f f m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-01002042n m n m n m ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<<<-≥-011002042n m n m n m . 解法2：方程在(0，1)内有实根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-->-+->>+≥∆0)1)(1(0)1()1(00021212121x x x x x x x x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++><<-≥-01002042n m n m n m⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++<<<<-≥-011002042n m n m n m . 七、板书设计（略） 八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
高中数学必修一《充分条件与必要条件》优质教案
高中数学必修一《充分条件与必要条件》优质教案学习目标1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；2.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.重难点1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；2.掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；知识梳理一、充分与必要条件的基本概念1．充分条件与必要条件的概念一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即 ,那么p叫做q的 条件, p叫做q 的 条件.2．一般地，如果既有，又有，就记作： , 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的 条件，简称 条件。
其中叫做等价符号。
教学过程探究一、充分条件与必要条件的含义1.思考:下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。
2、归纳新知（1）充分条件、必要条件的含义一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即 ,那么p叫做q的 条件, p叫做q 的 条件.P足以导致q,也就是说条件p充分了；q是p成立所必须具备的前提.（2）3.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。
4、思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？结论：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。
5、思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？【结论】一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。
高中数学第一章 1.2充分条件 必要条件优秀教案
学习目标 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念.2.掌握判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的方法．知识点一充分条件与必要条件思考用恰当的语言表述以下语句的意义①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；②只有同心协力，才能把事情办好．答案①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件．②同心协力是办好事情的必要条件．梳理(1)一般地，“假设p，则q〞为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)假设p⇒q，但q p，称p是q的充分而不必要条件，假设q⇒p，但p q，称p是q的必要而不充分条件．知识点二充要条件思考在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列〞是“B＝60°〞的什么条件？答案因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因A＋B＋C＝π，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列〞是“B＝60°〞的充分必要条件．梳理(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)充要条件的实质是原命题“假设p，则q〞和其逆命题“假设q，则p〞均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．知识点三充分条件、必要条件和充要条件的联系与区别充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的关系．(1)从逻辑关系上看．①假设p⇒q，但q p，则p是q的充分不必要条件；②假设q⇒p，但p q，则p是q的必要不充分条件；③假设p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；④假设p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)从集合与集合之间的关系上看．如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断．①假设A⊆B，则p是q的充分条件；②假设A⊇B，则p是q的必要条件；③假设A＝B，则p是q的充要条件；④假设A B，且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．(3)从传递性角度看．由于逻辑联结符号“⇒〞“⇐〞“⇔〞具有传递性，因此可根据几个条件之间的关系，经过假设干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系．(4)从等价命题角度看．当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立．类型一充分条件、必要条件和充要条件的判断例1以下各题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：m<－1，q：x2－x－m＝0无实根；(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交．解(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵四边形的对角线相等四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1； x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，∴p 是q 的充要条件．(4)假设方程x 2－x －m ＝0无实根，则Δ＝1＋4m <0，即m <－14.∵m <－1⇒m <－14；m <－14m <－1， ∴p 是q 的充分不必要条件．(5)由ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0，即ab ≠0，故p 是q 的充要条件．反思与感悟 对于两个命题：p 与q .(1)假设有“p ⇒q ，但q p 〞，则称p 是q 成立的充分不必要条件．(2)假设有“q ⇒p ，但p q 〞，则称p 是q 成立的必要不充分条件．(3)假设有“p ⇒q ，且q ⇒p 〞，则称p 是q 成立的充要条件．(4)假设有“p q ，且q p 〞，则称p 是q 成立的既不充分也不必要条件．跟踪训练1 设a ，b 是实数，则“a >b 〞是“a 2>b 2〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 可采用特殊值法进行判断，令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即条件“a >b 〞不能推出结论“a 2>b 2〞；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即结论“a 2>b 2〞不能推出条件“a >b 〞．应选D.类型二 递推法判断命题间的关系例2 p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：(1)s 是q 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？(3)p 是q 的什么条件？解方法一(1)∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∵q是r的必要条件，∴r⇒q.∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q.即s是q的充要条件．(2)由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件．(3)∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p.∴p是q的必要不充分条件．方法二如下图．(1)由图可知q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p，而p q，所以p是q的必要不充分条件．反思与感悟解决传递性问题的关键是画出结构图，也可以考虑命题之间的关系．跟踪训练2如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么() A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案A解析如下图，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙丙．综上，有丙⇒乙⇒甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．类型三充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.证明必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根，∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝ca<0，∴ac<0.充分性：由ac <0可推出Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a<0， ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正一负两实根．因此一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac <0.反思与感悟 根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性是证明“条件〞⇒“结论〞，必要性是证明“结论〞⇒“条件〞．跟踪训练3 ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.证明 必要性：∵a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2＋b 2－ab )＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0，又∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，∴a 2＋b 2－ab ＝(a －b 2)2＋34b 2>0， ∴a ＋b －1＝0.∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.类型四 利用充分条件、必要条件求参数的取值范围例4 p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.假设p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解 设p 对应的集合为A ，q 对应的集合为B .解不等式x 2－8x －20>0，得A ＝{x |x >10或x <－2}．解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意知p ⇒q ，q p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，1－a ≥－2，(说明：“1＋a ≤10〞与“1－a ≥－2〞中等号不能同时取到)解得0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围是0<a ≤3.反思与感悟 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练4 p ：|1－x －13|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意知p ：|1－x －13|≤2⇒－2≤x －13－1≤2⇒ －1≤x －13≤3⇒－2≤x ≤10. q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0⇒[x －(1－m )]·[x －(1＋m )]≤0.(*)∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－x －13|≤2的解集是x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)的解集的真子集． ∵m >0，∴不等式(*)的解集为{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且1－m ＝－2与1＋m ＝10不同时成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ≥10⇒⎩⎨⎧m ≥3，m ≥9.∴m ≥9. ∴实数m 的取值范围是[9，＋∞).1．人们常说“无功不受禄〞，这句话说明“受禄〞是“有功〞的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 无功不受禄可写为命题：假设无功，则不受禄．逆否命题为：假设受禄，则有功．显然受禄是有功的充分不必要条件，因为有功不一定受禄．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件．3．“x 2－4x －5＝0〞是“x ＝5〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 根据方程得x 2－4x －5＝0，解得x ＝－1或x ＝5，故“x 2－4x －5＝0〞是“x ＝5〞的必要不充分条件，应选B.4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .假设“x ∈A 〞是“x ∈B 〞的充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A 〞是“x ∈B 〞的充分条件，则有A B ，则有a ≤－3.5．试说明0<m <13是方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等实根的什么条件． 解 (1)假设方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－12m >0，m ≠0，3m >0，∴0<m <13. 反之，假设0<m <13，则2 m>0，3m>0，－4<－12m<0,0<4－12m<4，即Δ>0，且2m>0，3 m>0.因此0<m<13是方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等实根的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q〞及“q⇒p〞的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“k2＝1〞是“k＝－1〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析k2＝1可得k＝±1，k＝－1一定有k2＝1.∴“k2＝1〞是“k＝－1〞的必要不充分条件．应选B.2．向量a，b为非零向量，则“a⊥b〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案C解析|a＋b|2＝|a－b|2⇔a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b⇔a·b＝0.3．圆O：x2＋y2＝1，直线l：ax＋by＋c＝0，则a2＋b2＝c2是圆O与直线l相切的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析 由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切． 4．设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1〞成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1答案 B解析 假设x ≤1且y ≤1时，可得x ＋y ≤2，反之不成立(用特殊值即可判定)；故x ≤1且y ≤1是x ＋y ≤2的充分不必要条件，那么根据逆否命题的等价性可得x ＋y >2是“当x 、y 中至少有一个数大于1〞的充分不必要条件．5．α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β〞是“m ⊥β〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面α内的一条直线，m ⊥β，则α⊥β，反过来则不一定，以“α⊥β〞是“m ⊥β〞的必要不充分条件．6．设a ∈R ，则“a ＝－2〞是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 假设a ＝－2，则直线l 1：－2x ＋2y －1＝0与直线l 2：x －y ＋4＝0平行，假设“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞，∴a 1＝2a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1，∴“a ＝－2〞是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞的充分不必要条件．7．“0≤m ≤1〞是“函数f (x )＝sin x ＋m －1有零点〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 函数f (x )＝sin x ＋m －1有零点⇔方程sin x ＝1－m 有根⇔－1≤1－m ≤1⇔0≤m ≤2， 所以“0≤m ≤1〞是“函数f (x )＝sin x ＋m －1有零点〞的充分不必要条件．二、填空题8．假设函数f (x )＝2x －(k 2－3)·2－x ，则k ＝2是函数f (x )为奇函数的________条件．(选填“充分不必要〞、“必要不充分〞、“充要〞、“既不充分也不必要〞)答案 充分不必要解析 当k ＝2时，f (x )＝2x －(k 2－3)2－x ＝2x －2－x ，此时函数f (x )为奇函数；反之，当函数f (x )为奇函数时，有f (x )＋f (－x )＝2x －(k 2－3)2－x ＋2－x －(k 2－3)2x ＝(4－k 2)(2x －2－x )＝0，则有k 2＝4，即k ＝±2；故k ＝2是函数f (x )为奇函数的充分不必要条件．9．“sin α＝cos α〞是“cos 2α＝0〞的________条件．答案 充分不必要解析 由cos 2α＝cos 2α－sin 2α知，当sin α＝cos α时，有cos 2α＝0，反之，由cos 2α＝sin 2α不一定有sin α＝cos α，从而“sin α＝cos α〞是“cos 2α＝0〞的充分不必要条件．应选A.10．给出以下三个命题：①“a >b 〞是“3a >3b 〞的充分不必要条件；②“α>β〞是“cos α<cos β〞的必要不充分条件；③“a ＝0〞是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数〞的充要条件．其中正确命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b 〞是“3a >3b 〞的充分必要条件，故①错误；②∵π2>0，则cos π2<cos 0；∵cos π2<cos 2 015π，则π2<2 015π， ∴“α>β〞是“cos α<cos β〞的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0〞是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数〞的充要条件．正确．三、解答题11．条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，假设p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．12．函数f (x )＝3－(x ＋2)(2－x )的定义域为A ，g (x )＝lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .(1)求A ；(2)记p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，假设p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)要使f (x )有意义，则3－(x ＋2)(2－x )≥0，化简整理得(x ＋1)(x －1)≥0，解得x ≤－1或x ≥1，∴A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)要使g (x )有意义，则(x －a －1)(2a －x )>0，即(x －a －1)(x －2a )<0，又∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝{x |2a <x <a ＋1}．∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，解得12≤a <1或a ≤－2. ∴a 的取值范围为(－∞，－2]∪[12，1)． 13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A＝cb ＝sin C sin B，即sin B＋2sin B cos A＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，∴sin B＝sin A cos B－cos A sin B＝sin(A－B)，由于A、B均为三角形的内角，故必有B＝A－B，即A＝2B.综上，知a2＝b(b＋c)的充要条件是A＝2B.。
选修高中数学推出与充分条件必要条件教案
芯衣州星海市涌泉学校推出与充分条件、必要条件教学目的：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，并可以初步判断给定的两个命题之间的关系教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义教学过程一、复习：1、命题的概念：可以判断真假的语句叫命题正确的叫真命题，错误的叫假命题2、称表示个体常项或者者变项之间数量关系的词为量词。
量词可分两种:全称量词、存在量词3、由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题二、引入新课1、“假设p那么q〞为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，假设p成立，那么q一定成立，记作p⇒q例如，“假设x>0，那么x2>0”是一个真命题，可写成：x>0⇒x2>0；2、“假设p⇒q成立，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件〞.3、假设p⇔q成立，那么p是q的充分条件，p也是q的必要条件,简称p是q的充要条件4、用集合的观点描绘充分条件、必要条件、充要条件的意义5、例1：由x>0，经过推理可得出x2>0记作：x>0x2>0表示x>0是x2>0的充分条件例2：两个三角形全等两个三角形面积相等但反之不成立∴两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件例3：用“充分〞或者者“必要〞填空，并说明理由：⒈“a和b都是偶数〞是“a+b也是偶数〞的充分条件；⒉“四边相等〞是“四边形是正方形〞的必要条件；⒊“x≠3〞是“|x|≠3”的充分条件；⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的充分条件；⒌“两个角是对顶角〞是“这两个角相等〞的充分条件；⒍“至少有一组对应边相等〞是“两个三角形全等〞的必要条件；⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0〔其中a,b,c都不为0〕来说，“b2-4ac≥0”是“这个方程有两个正根〞的必要条件；⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件；⒐“a+b是偶数〞是“a和b都是偶数〞的必要条件；⒑“个位数字是5的自然数〞是“这个自然数能被5整除〞的充分条件小结：本节课我们学习了充分条件、必要条件、充要条件的意义。
充要条件教学设计
§2.3 充要条件设计依据充要条件是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念之一，高中阶段主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的为学习数学推理的学习打下基础。
本节课逻辑思维比较强，所以本节课以生活中的例子“鱼水关系”入手，找量与量的依赖关系，上乘充分条件、必要条件，下引充要条件。
再举生活例子来激发学生对充要条件的概100是念深入理解，如,“团员是团支书的什么条件？；在标准大气压下，水温度是水沸腾的什么条件？”。
而例题的设计是归纳“p是q的什么条件”方法，技巧。
学习目标1. 知识与技能（1）理解充要条件的定义，掌握充分、必要条件的四种类型（2）会判断条件与结论的关系（定义法、集合法）2. 过程与方法通过判断p与q的关系引导充要条件的定义，由诱导探究的方法归纳出判断“p是q的什么条件”步骤及方法（定义法，集合法）3. 情感、态度与价值观让学生通过练题总结归纳，培养学生理解、分析、归纳、解决问题的能力；从实际例子体会数学的有用性，“在生活中数学地思维”，增强对数学逻辑知识的兴趣，激发学生的数学兴趣。
●教学重点：充要条件的概念和判断方法●教学难点：对充要条件的理解●教具准备：多媒体教法与学法1.在教学方法上，主要采用研究式探究和启发式讲解。
教师通过点拨引导的方式，启动学生的思维活动，从生活例子出发自主探究充要条件概念，并在实际问题中反复应用和辨析，启发学生理解概念并探究判断方法。
通过用口诀的形式记住条件判断的方法。
教师借助多媒体提高学生的学习兴趣，增加课堂教学的信息容量，提高教学效果。
2.学法上，主要通过“分析——探究——归纳总结”的学习环节主要从3个方面引发学生的思维活动：(1)通过“问题情景”的引入，学生对具体例子的正反辨析，对“充要条件”有一个感性认识。
(2)通过解题实践，总结判定方法，形成判断充要条件的初步能力(3)探究生活中的充要条件，把学习延伸到课外，体验“在生活中数学的逻辑思维”教学设计过程情景引入放映歌曲任贤齐的《我是一条鱼》，提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就无法生存，但只有水，够吗？分析：有水是鱼能生存的什么条件？复习提问什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“⇒”“ ”的含义新知探究指出下列各组命题中，“p ⇒q ”及“q ⇒p ”是否成立并指出p 与q 之间的关系(学生探究) （1）p:方程组有唯一解 q:直线l 1: 和直线l 2: 有唯一交点（2）（3）p:三角形三条边相等 q:三角形三个角相等（学生口答，老师用符号板书）置疑：你能给充要条件下定义么？授新课1.充要条件定义：一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作：p ⇔q 。
新教材高中数学第1章集合与常用逻辑术语1.4充分条件与必要条件1.4.2充要条件教学案新人教A版必修第一册
1.4.2 充要条件(教师独具内容)课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：判断条件与结论之间的充要性．【知识导学】知识点充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有□01p⇒q，又有□02 q⇒p，就记作□03p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分04充要条件(sufficient and necessary condition)．必要条件，简称为□(2)当p是q的充要条件时，q也是p的□05充要条件．(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立□06当且仅当q成立”，或“p与q□07等价”．【新知拓展】1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(4)若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(5)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且B A，即A B，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且A B，即B A，则p是q的必要不充分条件．(6)若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．3．“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( )(2)符号“⇔”具有传递性．( )(3)若p⇒/q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．( )(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．( )(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．( )答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是_______________________________．(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 答案(1)x＝1或x＝2 (2)充要(3)充要题型一充要条件的概念及判断方法例1 在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＝b，q：ac＝bc；(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[解] (1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．[题型探究] 已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？解作出“⇒”图，如右图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.金版点睛判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q 的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．[跟踪训练1]指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B；(2)p ：⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4；(3)已知实数a ，b ，p ：a >0且b >0，q ：a ＋b >0且ab >0.解 (1)因为A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，而A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，所以A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，根据不等式的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.即p ⇒q ，而由⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4不能推出⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2.如：α＝1，β＝5满足⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，但不满足α>2.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由a >0且b >0⇒a ＋b >0且ab >0，并且由a ＋b >0且ab >0⇒a >0且b >0，所以p 是q 的充要条件．题型二 充要条件的证明 例2 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． [证明] ①充分性： ∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0，即a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.②必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0. ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0， ∴a 2－ab ＋b 2≠0.∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件．[题型探究] 已知a ，b 是实数，求证：a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．证明 因为a 2－b 2＝1，所以a 4－b 4－2b 2＝(a 2－b 2)·(a 2＋b 2)－2b 2＝(a 2＋b 2)－2b 2＝a 2－b 2＝1.即a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．另一方面，若a 4－b 4－2b 2＝1， 即a 4－(b 4＋2b 2＋1)＝0，a 4－(b 2＋1)2＝0，(a 2－b 2－1)(a 2＋b 2＋1)＝0.又a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0， 即a 2－b 2＝1.因此a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件． 金版点睛充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．[跟踪训练2] 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 ①必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，∴Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca<0，∴ac <0. ②充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a<0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.题型三 探求充要条件例3 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] ①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求．②当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a.(ⅰ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0⇒a <0；(ⅱ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0⇒0<a ≤1.综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 金版点睛探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．[跟踪训练3] 已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．解 方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，则方程有两个大于1的实数根x 1，x 2：⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)(x 2－1)>0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，(x 1＋x 2)－2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，k 2＋(2k －1)＋1>0，－(2k －1)－2>0⇔k <－2.所以使方程有两个大于1的实数根的充要条件是k <－2.1．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件答案 D解析 由A ∪B ＝B ，得A B 或A ＝B ；反之，由A B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．故“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的充分不必要条件．3．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． 答案 a <0解析 由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0.5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.证明 证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy，即1x <1y.②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.。
人教版高中数学新教材必修第一册课件：1.4.2 充要条件(共14张PPT)
1.4.2充要条件
复习引入
1、充分条件与必要条件 如果p⇒q，则p是q的 充分条件 ，q是p
的 必要条件 ．
2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
讲
课
人
：
邢
启 强
10
提高练习
1.已知P: |2x-3|＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6, 则非p是非q的（ A）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
所以直线 l 与⊙ O 相切。
讲
课
(2)必要性(q
p)：
人
： 邢 启
若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点为P，则OP l
.d=OP=r.
强
7
当堂训练
1、已知p,q都是r的必要条件，
s是r的充分条件，q是s的充分条件，则
（1）s是q的什么条件？ 充要条件
（2）r是q的什么条件？ 充要条件
p
（3）P是q的什么条件？必要不充分条件 r
1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥0
2、充分性: xy≥0→ |x+y|=|x|+|y|
讲
课
人 ： 邢
3、点明结论
启 强
12
提高练习
练习：已知关于x的方程 (1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R).
高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件第一册数学教案
1.4 充分条件与必要条件最新课程标准：(1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(3)通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.知识点一充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件(sufficient condition)，q是p的必要条件(necessary condition)．状元随笔如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p q．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．知识点二充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary condition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．状元随笔p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．[教材解难]1．教材P17思考(1)(4)是真命题，(2)(3)是假命题．2．教材P18思考不唯一，两组对边分别平行，一组对边平行且相等．3．教材P19思考不唯一，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等．4．教材P20思考命题(1)(4)和它的逆命题是真命题．命题(2)是真命题，它的逆命题是假命题．命题(3)是假命题，它的逆命题是真命题．5．教材P21探究“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件．[基础自测]1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A．充分条件B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．答案：B2．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( )A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为(－1,3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．答案：C3．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：A、B是两个集合，则由“A∩B＝A”可得“A⊆B”，由“A⊆B”可得“A∩B＝A”，所以A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.答案：C4．用符号“⇒”与“ ”填空：(1)x2>1________x>1；(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．解析：(1)命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1⇒x>1.(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．答案：(1) ⇒(2)⇒题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断[教材P18例1、P19例2]例1 (1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q的充分条件？①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；④若x2＝1，则x＝1；⑤若a＝b，则ac＝bc；⑥若x，y为无理数，则xy为无理数．(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例；③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；④若x＝1，则x2＝1；⑤若ac＝bc，则a＝b；⑥若xy为无理数，则x，y为无理数．【解析】(1)①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．④由于(－1)2＝1，但－1≠1，p⇒q，所以p不是q的充分条件．⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件．⑥2为无理数，但2×2＝2为有理数，p⇒q，所以p不是q的充分条件．p⇒q由充分条件的定义来判断．(2)①这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p 的必要条件．②这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，p⇒q，所以，q不是p的必要条件．④显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件．⑤由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，p⇒q，所以，q不是p 的必要条件．⑥ 由于1×2＝2为无理数，但1，2不全是无理数，p⇒q，所以，q不是p的必要条件.p⇒q由必要条件的定义来判断．教材反思充分条件、必要条件、充要条件的判断方法1．定义法(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．(2)找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．(3)根据推式及条件得出结论．2．等价转化法(1)等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．(2)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若綈p⇒綈q，且綈q⇒綈p，则p是q的必要不充分条件；若綈p⇔綈q，则p与q互为充要条件；若綈p⇒綈q，且綈q⇒綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．3．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．跟踪训练1 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.解析：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 ⇒x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．(2)两个三角形相似⇒两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．判断p⇒q，q⇒p是否成立→结合定义得出结论题型二求条件(充分条件、必要条件和充要条件)[经典例题]例2 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是( )A．x≥0B．x<0或x>2C. x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3 【解析】 由2x 2－5x －3≥0，得x ≥3或x ≤－12，所以选项中只有x ∈{－1,3,5}是使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件．【答案】 C先求出满足题意的充要条件―――――――→结合集合关系从选项中选出充分不必要条件方法归纳本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{x |x ≥3或x ≤－12}{x |x >2或x <0}，误选B.事实上，“不等式2x 2－5x －3≥0成立”为结论q ，我们只需找到条件p 使p ⇒q 且q p 即可．跟踪训练2 2x 2－5x －3<0的必要不充分条件是( )A ．－12<x <3 B ．0<x <2C ．－1<x <2D ．－12<x <4 解析：2x 2－5x －3<0⇒－12<x <3，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4， ∴－12<x <4是2x 2－5x －3<0的必要不充分条件． 答案：D使2x 2－5x －3<0成立的x 为－12<x<3，再求必要不充分条件． 题型三 充分条件、必要条件、充要条件的应用[经典例题]例3 已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，若p 是q 的充分不必要条件．求实数a 的取值范围．【解析】 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0}＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－12或x ≥2； N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}＝{x |x ≤a －2或x ≥a }，由已知p ⇒q 且q ⇒p ，得MN . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－12，a ≤2，解得32≤a <2或32<a ≤2，即32≤a ≤2， 即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.状元随笔 构造集合M ＝{x|p x}； N ＝{x|q x } ―――→求解M 、N由已知M N ―――→构造a 的不等式解关于a 的不等式组―→结果 方法归纳根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练3 已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围．解析：由(x －a )2<1得，x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0，∴a －1<x <a ＋1.则M ＝{x |a －1<x <a ＋1}，又由x 2－5x －24<0得－3<x <8.则N ＝{x |－3<x <8}．∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7.故a 的取值范围是－2≤a ≤7.先求M 、N ，再利用充分条件得M ⇒N ，即M ⊆N 来求a 的取值范围．课时作业 5一、选择题1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A ⊆B a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于x＝1对称⇔－m2＝1⇔m＝－2.答案：A3．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B.答案：B4．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：令A＝{x|x>1或x<－3}，B＝{x|x>a}，∵q是p的充分不必要条件，∴B A，∴a≥1.答案：A二、填空题5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；(2)“x<5”是“x<3”的________．解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为A B，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．答案：(1)充要条件(2)必要不充分条件6．如果命题“若A则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．解析：因为逆否命题为假，那么原命题为假，即A B，又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分7．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是________．解析：对称轴x＝－b2≤0，即b≥0.答案：b≥0三、解答题8．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解析：(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q 的充要条件．(2)因为p ⇒q ，但q ⇒p ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)因为p ：A ＝{(1,2)}，q ：B ＝{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}，A B ，所以p 是q 的充分不必要条件．9．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数m 的取值范围．解析：由命题p 得：x >10或x <－2，由命题q 得：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)⇔[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]>0⇔x <1－m ，或x >1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q ，且q ⇒p ，{x |x >10或x <－2}{x |x <1－m 或x >1＋m (m >0)}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，两等号不能同时成立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤3，m ≤9，即m ≤3.所以正实数m 的取值范围为(0,3]．[尖子生题库]10．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．解析：(1)a ＝0时，可得x ＝－12，符合题意． (2)当a ≠0时，方程为一元二次方程，若方程有两个异号的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－4a >0，1a <0，解得a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1a >0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1.反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.。