鲁教版八年级数学上册课件1.1因式分解
预习诊断
1.下列各式中，是因式分解的是（
A、a(m-6)+b(m-6)=(m-6)(a+b) B、(a-b)(3-a)=3a-a2-3b+ab C、(x+y)(x-y)=x2-y2 D、(a+b)2=a2+2ab+b2
）
2、你能根据整式的乘法，完成问题
若m(a+b-2)=ma+mb-2m,则ma+mb-2m=__________
八年级数学上册第一章因式分解
教学目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系
复习与回顾 1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 am+an (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=_______ (3)多项式乘以多项式: am+an+bm+bn (a+b)(m+n)=_____________ 2.乘法公式有哪些? 2 2 a b (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=_______ 2 2 2 (2)完全平方公式: (a±b) =___________ a 2ab+b
延伸探究
整式的乘法
计算下列各式： （1）3x(x-1)=________________ (3)(m+4)(m-4)=______________ 完成下面算式的填空： （1）3x2-3x=（ ）（ (3) m2-16=( )(
(2)m(a+b+c)=_______________ (4)(y-3)2 =________________
当a=3.14, b=2.386, c=1.386时,
原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
2.
20082+2009能被2008整除吗?
解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
=2008 ×2009
∴ 20082+2009能被2009整除
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
=400
3.若 x 101, y 99 则 x 2 xy y __ 4
2 2
布置作业
课本Ｐ4: 习题1.1
探究新知
观察下面拼图过程，写出相应的关系式
m
m
m
a
b
c
m
a+b+c
ma+mb+mc m(a+b+c) ______________=______________
x x
x
x
Байду номын сангаас
1
1
1
1
x+1
x+1
x2+x+x+1 (x+1)2 _______________________=_________________
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒 等变形. • 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形 式，特征是向着积化和差的形式发展； • 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘 积的形式，特征是向着和差化积的形式发展.
分解因式要注意以下几点： 1、分解的对象必须是多项式。 2、分解的结果是几个整式乘积的形式。 3、要分解到不能分解为止。
系统总结
因 因式分解的定义 式 分 解 因式分解与整式
乘法的关系
达标检测
1.检验下列因式分解是否正确:
正确
(1) x 2 y xy 2 xy( x y)
(2) 2 x 1 (2 x 1)(2 x 1)
2
错误
正确 (3) x 2 3 x 2 ( x 1)( x 2)
合作探究
探究一：因式分解的概念
观察得知：a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2,都是把一个多项式化成几个整式的积的形
式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式。
知识应用
1、下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（ ） A、x3-y3=(x-y)（x2+xy+y2） B、(x+2)(x+3)=x2+5x+6 C、x2+2x+7=x(x+2)+7 D、m2-n2+6=(m+n)(m-n)+6 2、下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（ ） A、x2-y2=(x+y)(x-y) B、(x+2)(x+3)=x2+5x+6 C、x2+3x+5=x(x+3)+5 D、m2-n2+2=(m+n)(m-n)+2
(6).m2-4=(m+4)(m-4)
因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
基础闯关二
巩固概念
下列各式从左到右的变形，是否为分解因式？ 为什么？
（ 1）a (a 2b) a 2ab
2
否
(2)bx bx 2 bx(1 x) (3)a 4 (a 2)(a 2)
） （2）ma+mb-m=( ) (4)y2-6y+9=(
)( )( )
)
因式分解
两 者 关 系
1.因式分解与整式乘法互为逆运算 2.因式分解的结果必定是乘积的形式.
基础闯关一
理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法
问题引领
993-99能被100整除吗？你是怎么想的？
993-99 3-99能被哪些 99 2 =99×99 -99×1 正整数整除？ 2 =99（99 -1） =99×（99+1）（99-1） =98×99×100
解决此问题的关键在于，把993-99化成几个数乘积的形 式，若是a3-a，如何化成几个整式的乘积的形式？
(4) x 3 x 2 x( x 3) 2 错误
2
方法:检验因式分解是否正确,只要看等式右边 几个整式相乘的积与左边的多项式是否正确.
2：计算
(1) 87 87 13
2
(2)
101 99
2
2
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2
2
是 是 否
否 否
(4) x 2 x 1 x( x 2) 1
2
（5） 24a bc 2 a 3bc 1 （6）x 1 x(1 ) x
2 3 2
能力提升 拓展应用 1. 当a=3.14，b=2.386，c=1.386时， 求ab－ac的值。
解: ab-ac=a(b-c)
合集下载
山东省八年级鲁教版(五四制)数学上册课件：11因式分解(共16张PPT)
)(
)
1.因式分解与整式乘法是互逆的过程.
2.因式分解的结果必定是乘积的形式.
因式分解与整式乘法之间的关系：
因式分解
多项式
几个整式乘积的形式
整式乘法
知识应用
连
x2 + 4x +
4
一
x2 - 2x +
连
1 4x2 - 1
x2 - 1
x2 - 4
（x + 2）（x - 2） （x - 1）（x + 1）
体验归纳
➢因式分解与整式乘法是互逆过程。 ➢分解因式要注意以下几点：
1、分解的对象必须是多项式。 2、分解的结果是几个整式乘积的形式 。 3、要分解到不能分解为止。
拓展延伸
已知多项式ax2+bx+c(a、b、c均为 常数)，分解因式的结果是(3x+1)(x-2)， 求a、b、c的值。
系统总结
因式分解的定义：
观察下面拼图过程，写出相应的关系式
m m m m
a
b
c
m__a__+_m__b__+_m__c__=___m___(a__+_b__+_c__)
a+b+c
1 x+1
x
x
x
x
1
1
1
x+1
________x_2_+__x_+__x_+__1_____=____(_x_+__1__)_2______
观察下列式子的变形： a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2, ●思考：什么是因式分解？
2024八年级数学上册第一章因式分解2提公因式法第1课时直接提公因式法课件鲁教版五四制
__－__2____．
练点1 公因式
1. [2024·烟台莱州市期中]多项式12 m3 n2＋8 m2 n －20 m2 n3
的公因式是( A )
A. 4 m2 n
B. 4 m2 n2
C. 2 mn
D. 8 m2 n
2. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为 2 a .
练点2 提单项式公因式分解因式 3. 把多项式 x2－ x 提取公因式 x 后，余下的部分是( B )
2. 将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的
公因式是( C )
A．3a－b
B．3(x－y)
C．x－y
D．3a＋b
3. 多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是( C )
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
4. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是( A ) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
1 . 多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( B ) A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
2. 式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( C )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
3. 下列各组式子中，没有公因式的是( B ) A．4a2bc与8abc2 B．a3b2＋1与a2b3－1 C．b(a－2b)2与a(2b－a)2 D．x＋1与x2－1
5. 下列多项式因式分解正确的是( B ) A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax) B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2) C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y) D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)
练点1 公因式
1. [2024·烟台莱州市期中]多项式12 m3 n2＋8 m2 n －20 m2 n3
的公因式是( A )
A. 4 m2 n
B. 4 m2 n2
C. 2 mn
D. 8 m2 n
2. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为 2 a .
练点2 提单项式公因式分解因式 3. 把多项式 x2－ x 提取公因式 x 后，余下的部分是( B )
2. 将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的
公因式是( C )
A．3a－b
B．3(x－y)
C．x－y
D．3a＋b
3. 多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是( C )
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
4. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是( A ) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
1 . 多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( B ) A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
2. 式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( C )
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
3. 下列各组式子中，没有公因式的是( B ) A．4a2bc与8abc2 B．a3b2＋1与a2b3－1 C．b(a－2b)2与a(2b－a)2 D．x＋1与x2－1
5. 下列多项式因式分解正确的是( B ) A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax) B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2) C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y) D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)
鲁教版八年级数学上册第一章因式分解1因式分解课件
解析 根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形,3 个长为b、宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成的, ∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2, ∵大长方形的长为a+2b,宽为a+b, ∴大长方形的面积也可表示为(a+2b)(a+b), ∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b), 故选B.
A.20
B.30
C.35
D.40
解析 ∵259+517=518+517=517×(5+1)=517×6=516×30,∴n的值可 能是30.故选B.
6.(新考向·代数推理)将图中的一个正方形和三个长方形拼
成一个大长方形,根据此图写出一个多项式的因式分解: x2+3x+2=(x+2)(x+1) .
解析 拼成的大长方形如图所示:
方形,直接写出相应的等式:
;
(2)尝试借助拼图的方法,把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式,
并把所拼得的图形画在如图④所示的虚线方框内;
(3)分解因式:2b2-3ab+a2=
.
(直接写出结果,不需要画图)
图①
图②
图③
图④
解析 (1)3b2+4ab+a2=(a+b)(3b+a). (2)2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b). 如图所示:
12.(2024河北张家口宣化期末,6,★☆☆)小颖利用两种不同 的方法计算下面图形的面积,并据此写出了一个因式分解的 等式,此等式是 ( B )
A.a2+2ab+b2=(a+b)(a+b) B.a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b) C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)
鲁教版数学(五四制)八年级数学上册.1平方差公式课件
(4)方法一：－16x4＋81y4＝－(16x4－81y4) ＝－(4x2＋9y2)(4x2－9y2) ＝－(4x2＋9y2)(2x＋3y)(2x－3y)．
方法二：－16x4＋81y4＝81y4－16x4＝(9y2＋4x2) (9y2－4x2)＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
知1－练
感悟新知
知识点 2 平方差公式在分解因式中的应用
知2－讲
请你写出几个能用平方差公式因式分解的多项 式(每人写两个).
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式， 要先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
感悟新知
例2 把下列各式因式分解： (1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2) 2x3－8x.
知2－练
感悟新知
知2－练
3. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册
中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋
b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、
爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2
因式分解，结果呈现的密码信C息可能是( )
A．我爱美
B．宜昌游
C．爱我宜昌
感悟新知
3. 如图，在一块边长为a cm的正方形
知1－练
纸片的四角，各剪去一个边长为b cm 的正方形，求剩余部分的面积. 如果
a＝3.6，b＝0.8 呢？ 解：剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)(cm2)．
当a＝3.6，b＝0.8时，
剩余部分的面积为a2－4b2＝(3.6＋1.6)×(3.6－1.6)
知1－练
解：(1)a2b2－m2＝(ab＋m)(ab－m)． (2)(m－a)2－(n＋b)2＝[(m－a)＋(n＋b)]·[(m－a) －(n＋b)]＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)．
方法二：－16x4＋81y4＝81y4－16x4＝(9y2＋4x2) (9y2－4x2)＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
知1－练
感悟新知
知识点 2 平方差公式在分解因式中的应用
知2－讲
请你写出几个能用平方差公式因式分解的多项 式(每人写两个).
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式， 要先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
感悟新知
例2 把下列各式因式分解： (1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2) 2x3－8x.
知2－练
感悟新知
知2－练
3. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册
中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋
b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、
爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2
因式分解，结果呈现的密码信C息可能是( )
A．我爱美
B．宜昌游
C．爱我宜昌
感悟新知
3. 如图，在一块边长为a cm的正方形
知1－练
纸片的四角，各剪去一个边长为b cm 的正方形，求剩余部分的面积. 如果
a＝3.6，b＝0.8 呢？ 解：剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)(cm2)．
当a＝3.6，b＝0.8时，
剩余部分的面积为a2－4b2＝(3.6＋1.6)×(3.6－1.6)
知1－练
解：(1)a2b2－m2＝(ab＋m)(ab－m)． (2)(m－a)2－(n＋b)2＝[(m－a)＋(n＋b)]·[(m－a) －(n＋b)]＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)．
鲁教版(五四制)八年级上册第一章因式分解复习讲义(无答案) (1)
第一章因式分解1.1因式分解一、因式分解的概念1、概念：把一个多项式化成的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例1：考察因式分解的定义：下列式子中，（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(a–b)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2，是因式分解的有：练习：请同学们计算下列各式：(1)m(a+b+c)=___________________ (2)(y-2)2=______________________(3)(m+2)(m-2)=__________________根据上面的算式填空：(1)ma+mb+mc=( )( ) (2)y2-4y+4=( )2(3)m2-4=( )( )例2、考察判断因式分解的方法：请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式(1)x2－2=(x+1)(x－1)－1 (2)(x－3)(x+2)=x2－x+6(3)3m2n－6mn=3mn(m－2) (4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc(5)a2－4ab+4b2=(a－2b)2练习：下列由左边到右边的变形，哪些不是因式分解？为什么？(1)(2a+2)(2a-2)=4a2-4; (2)a2-b2-1=(a+b)(a-b)-1; (3)2x2-8x=2x(x2-4)二、因式分解与整式乘法的关系1、区别与联系：（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；（2）分解因式的结果要以积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止；例1、考察因式分解与整式乘法的区别：把3(x-1)2利用整式乘法得,把3x2-6x+3分解因式为；练习：判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2).(a-3)(a+3)=a2-9 (3).2x(x-3y)=2x2-6xy (4).m2-4=(m+2)(m-2) (5).(5a-1)2=25a2-10a+1 (6).2πR+ 2πr=2π(R+r)(7).x 2+4x+4=(x+2)2例2、考察因式分解的实际应用：若分解因式215(3)()x mx x x n +-=++，求m 的值。
鲁教版八年级上册数学第一章《因式分解》常见题型与考点精讲(2)课件(共19张PPT)
《因式分解》知识点精讲（2）
提公因式法
公因式
1.多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多 项式各项的公因式。
2.最大公因式的提取方法:系数取分子和分母 系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的 字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的 公因式.
例1.多项式12abc-6bc²的公因式是（ ） A.2ab B.3bc² C.4b D.6bc
10.已知a+b=5,ab=7,求a2b+ab2-a-b的值。
4.多项式首项为负数
例5. -7ab+14a2-49ab2=-7a(________).
解: -7ab&43; 49ab2 ） 第一次提出负号
=-7a(b-2a+7b²）
第二次提出7a
变式：
1. -a2+b2=(a+b)(______) 2. 4x3 16x2 24x
（3）把多项式各项都含 有的相同字母（或因 式） 的最低次幂的积 作为公因式 的因式。
（4）如果括号前是负数时，应该 把括号内的 单项式变号。
例2. （2018•吉林）若a+b=4，ab=1，则 a2b+ab2=
【解析】解：∵a+b=4，ab=1， ∴a2b+ab2=ab（a+b） =1×4 =4． 故答案为：4．
可． 【解析】解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b） =（a﹣b）（a2﹣4） =（a﹣b）（a﹣2）（a+2）， 故答案为：（a﹣b）（a﹣2）（a+2）．
变式：
1.3(y-x)2+2(x-y)=___________ 解析：3(y-x)2+2(x-y) = 3(x-y)2+2(x-y) =(x-y)(3x-3y+2) 注意：(y-x)2=(x-y)2
提公因式法
公因式
1.多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多 项式各项的公因式。
2.最大公因式的提取方法:系数取分子和分母 系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的 字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的 公因式.
例1.多项式12abc-6bc²的公因式是（ ） A.2ab B.3bc² C.4b D.6bc
10.已知a+b=5,ab=7,求a2b+ab2-a-b的值。
4.多项式首项为负数
例5. -7ab+14a2-49ab2=-7a(________).
解: -7ab&43; 49ab2 ） 第一次提出负号
=-7a(b-2a+7b²）
第二次提出7a
变式：
1. -a2+b2=(a+b)(______) 2. 4x3 16x2 24x
（3）把多项式各项都含 有的相同字母（或因 式） 的最低次幂的积 作为公因式 的因式。
（4）如果括号前是负数时，应该 把括号内的 单项式变号。
例2. （2018•吉林）若a+b=4，ab=1，则 a2b+ab2=
【解析】解：∵a+b=4，ab=1， ∴a2b+ab2=ab（a+b） =1×4 =4． 故答案为：4．
可． 【解析】解：a2（a﹣b）﹣4（a﹣b） =（a﹣b）（a2﹣4） =（a﹣b）（a﹣2）（a+2）， 故答案为：（a﹣b）（a﹣2）（a+2）．
变式：
1.3(y-x)2+2(x-y)=___________ 解析：3(y-x)2+2(x-y) = 3(x-y)2+2(x-y) =(x-y)(3x-3y+2) 注意：(y-x)2=(x-y)2
鲁教版(五四学制)八年级数学上册课件：1.1因式分解 (共15张PPT)
八年级数学上册第一章因式分解
教学目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系
预习诊断
1.下列各式中，是因式分解的是（
A、a(m-6)+b(m-6)=(m-6)(a+b) B、(a-b)(3-a)=3a-a2-3b+ab C、(x+y)(x-y)=x2-y2 D、(a+b)2=a2+2ab+b2
） （2）ma+mb-m=( ) (4)y2-6y+9=(
)( )( )
)
因式分解
两 者 关 系
1.因式分解与整式乘法互为逆运算 2.因式分解的结果必定是乘积的形式.
随堂练习
连 一 连
x2 + 4x + 4 x2 - 2x + 1 4x2 - 1 x2 - 1 x2 - 4
（x + 2）（x - 2） （x - 1）（x + 1） （x - 1）2 （x + 2）2 （2x - 1）（2x + 1）
延伸探究
整式的乘法
计算下列各式： （1）3x(x-1)=________________ (3)(m+4)(m-4)=______________ 完成下面算式的填空： （1）3x2-3x=（ ）（ (3) m2-16=( )(
(2)m(a+b+c)=_______________ (4)(y-3)2 =________________
乘法的关系Leabharlann 当堂达标见导学案。
布置作业
课本Ｐ4: 习题1.1
合作探究
探究一：因式分解的概念
观察得知：a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2,都是把一个多项式化成几个整式的积的形
教学目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系
预习诊断
1.下列各式中，是因式分解的是（
A、a(m-6)+b(m-6)=(m-6)(a+b) B、(a-b)(3-a)=3a-a2-3b+ab C、(x+y)(x-y)=x2-y2 D、(a+b)2=a2+2ab+b2
） （2）ma+mb-m=( ) (4)y2-6y+9=(
)( )( )
)
因式分解
两 者 关 系
1.因式分解与整式乘法互为逆运算 2.因式分解的结果必定是乘积的形式.
随堂练习
连 一 连
x2 + 4x + 4 x2 - 2x + 1 4x2 - 1 x2 - 1 x2 - 4
（x + 2）（x - 2） （x - 1）（x + 1） （x - 1）2 （x + 2）2 （2x - 1）（2x + 1）
延伸探究
整式的乘法
计算下列各式： （1）3x(x-1)=________________ (3)(m+4)(m-4)=______________ 完成下面算式的填空： （1）3x2-3x=（ ）（ (3) m2-16=( )(
(2)m(a+b+c)=_______________ (4)(y-3)2 =________________
乘法的关系Leabharlann 当堂达标见导学案。
布置作业
课本Ｐ4: 习题1.1
合作探究
探究一：因式分解的概念
观察得知：a3-a=a(a+1)(a-1),am+bm+cm=m(a+b+c), x2+2x+1=(x+1)2,都是把一个多项式化成几个整式的积的形
2024八年级数学上册第一章因式分解1因式分解课件鲁教版五四制
(a－2)2
可因式分解为____________．
3. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
A．9a2＋y2
B．－9a2＋y2
C．9a2－y2
D．－9a2－y2
4. 若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
5. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么这个
即：多项式
整式乘积．
因式分解
x2－1
因式分解
整式乘法
(x＋1)(x－1)
例2 把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
导引：把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与
x2－3xy2对照，能够与x2－3xy2相等的选项必是
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
导引：紧扣因式分解的定义进行判断．
1
1
2
因为 不是整式，所以a ＋1＝a(a＋ )不是因式分解，
a
a
故A错误；因为(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化积，
因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误；因为a2
＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，结果不是积的形式，因此
正确答案．
归纳
四个选项都是乘积的形
式，可以利用因式分解和整
式乘法的互逆关系检验所得
结果的正确性．
例3 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．6
B．2017
C．2016
可因式分解为____________．
3. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
A．9a2＋y2
B．－9a2＋y2
C．9a2－y2
D．－9a2－y2
4. 若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
5. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么这个
即：多项式
整式乘积．
因式分解
x2－1
因式分解
整式乘法
(x＋1)(x－1)
例2 把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
导引：把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与
x2－3xy2对照，能够与x2－3xy2相等的选项必是
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
导引：紧扣因式分解的定义进行判断．
1
1
2
因为 不是整式，所以a ＋1＝a(a＋ )不是因式分解，
a
a
故A错误；因为(x＋1)(x－1)＝x2－1不是和差化积，
因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误；因为a2
＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1，结果不是积的形式，因此
正确答案．
归纳
四个选项都是乘积的形
式，可以利用因式分解和整
式乘法的互逆关系检验所得
结果的正确性．
例3 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．6
B．2017
C．2016
2024八年级数学上册第一章因式分解3公式法第2课时完全平方公式课件鲁教版五四制
解：(1) x2－12xy＋36y2＝(x－6y)2.
(2) 16a4＋24a2b2＋9b4＝(4a2＋3b2)2.
(3) －2xy－x2－y2＝－(2xy＋x2＋y2)
＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2.
(4) 4－12(x－y)＋9(x－y)2＝[3(x－y)－2]2
＝(3x－3y－2)2.
例 3 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
解：(1)x2＋14x＋49
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝ x2＋2×7x＋72
＝ [(m＋n)－3]2
＝ (x＋7) 2 ；
＝(m＋n－3)2.
例4 计算或化简下列各式：
(1)2022＋202×196＋982；
例1 判断下列多项式是否为完全平方式．
(1)b2＋b＋1；
(3)1＋4a2；
(2)a2－ab＋b2；
1
2
(4)a －a＋ 4 .
导引： (1)中b不是数b与1的乘积的2倍；
(2)中ab不是a，b乘积的2倍；
(3)中1与2a的乘积的2倍没有出现；
1
(4)中a是a与 乘积的2倍．
2
解：(1)不是完全平方式；
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
知识点 3 完全平方公式在分解因式中的应用
因式分解的一般步骤：
1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；
2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；
3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
例 5 把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；
鲁教八年级上册因式分解PPT学习教案
议一议 你能尝试把a³-a化成几个整式的
乘积的形式吗？
a(a+1)(a-1)
第3页/共18页
观察下面的拼图过程，写出相应的关系式。
m a
m
m
b
c
m a+b+c
ma+mb+mc=m(a+b+c)
第4页/共18页
x x
x
x
1
1
1
1
x+1 x+1
x²+x+x+1=(x+1)²
第5页/共18页
因式分解定义
第1页/共18页
探 究 993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 想所一以想:, 999933--999还9能能被被哪1些00整整数除整除.?
答：98， 99
第2页/共18页
(3).(5a-1)2=25a2-整10式a乘+法1 (4).x2+4x+4=(x+2因因)2式式分分解解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
第9页/共18页
(6).m2-4Βιβλιοθήκη (m+4)(m-4)基础闯关二 巩固概念
下列各式从左到右的变形，是否为分解因式？ 为什么？
（1）a(a 2b) a2 2ab 否
鲁教八年级上册因式分解
复习与回顾 1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=a_m__+_a_n__ (3)多项式乘以多项式: