浅谈中学数学中的反证法
浅谈反证法的逻辑依据及其运用
浅谈反证法的逻辑依据及其运用王纪兵摘要：反证法是数学中常见的一种证明方法，它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
若命题的结论的反面只有一种情况，只要推翻这一种情况就能肯定结论，这种反证法叫归谬法；若命题的结论的反面不只一种情况，则需要将反面情况一一推翻才能肯定结论，这种反证法叫穷举法，那么反证法的理论根据是什么？反证法是否就是证明原命题的逆否命题？怎样应用反证法？怎样的命题适合用反证法证明？本文拟就这些问题作点初步探讨。
关键词：反证法；逆否命题；逻辑依据1引言关于反证法，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。
”这就充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。
反证法的核心是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了反证法的关键所在。
出现矛盾的方式通常有：与公理定义矛盾；与已知条件或临时假设矛盾；与显然的事实矛盾；与显然的事实矛盾；自相矛盾等等；法国数学家J·阿达玛曾说过：“这种方法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。
”这段话可以理解为：假设命题的结论不正确，并运用此判断，在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾，从而知该相反判断的错误性，进而知道判断本身的正确性。
由此可知，反证法的理论依据可概括成形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。
所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。
而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。
也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。
由此可见，证明原命题的逆否命题只是反证法的一种具体形式。
2 反证法与证逆否命题是不同的从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。
像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。
如上所述，用反证法证明命题“若p则q”，是把“p且非q”作为假设，利用正确的推理推出矛盾，得出“p且非q”为假，从而得出“若p则q”为真；而证明命题“若p则q”的逆否命题“若非q则非p ”，是将非q作为条件，用正确的推理推出非p成立，根据“若p则q”和“若非q则非p ”的等价性得出“若p则q”成立。
浅谈反证法
285学苑论衡这种证明方法就称为反证法，这是一种逆向思维的论证形式。
反证法的思维过程不同于倒推分析法。
它不是从结论出发寻找起点，而是首先否定结论，在推导出一个错误结果，从而导致矛盾。
其矛盾的产生是假设不成立所致，于是可否定结论的反面，从而肯定结论，它在逆向思维的论证过程中强调了四种命题（原命题，逆命题，否命题，逆否命题）之间的关系，受到了一举两得的效果。
反证法这种推理论证形式数学的重要思维形式，是培养学生逆向思维能力的又一重要途径。
在数学的教学中应强调反证法的作用，尽可能地把一个问题用直接证法和反证法两种方法来做。
即使对那些只能使用一种方法证明的命题，也要在证明之后，分析另一种证法的障碍以便两种方法相互对照，从而进一步提高学生的逆向思维能力。
例如：一、如何证明正弦函数的最小正周期是2π？分析：2π是正弦函数的一个周期，要证明2π是正弦函数的最小正周期，只需证明任何小于2π的正数都不是它的周期。
这可用反证法证明如下：设存在某一个小于2π的正数T 是正弦函数的周期，根据周期函数的定义，当x 取定义域内的每一个值时，都有sin（x+T）=sinx，取x=π/2，得sin（π/2+T）=1，即cosT=1。
另外，根据余弦函数的定义，当T=2kπ（k ∈z）时等式成立，无论k 取何整数，都有T=2kπ（k ∈z），这与O<T<2π矛盾，这个矛盾是由于假设存在小于2π的正数T，能够成为正弦函数的周期造成的。
所以任何小于2π的正数都不是正弦函数的周期，即正弦函数的最小正周期是2π。
运用反证法，还可以证明一些很有趣，但不用反证法又十分难解的问题。
二、求证世界上至少有两个人的头发根数相等这一命题如果要正面证明，就应该把全世界许多人的头发数一数，然后进行比较，当然这是很难做到的。
于是我们考虑用反证法。
假设世界上任何两个人的头发都不相等，那么我们可以按照头发根数将人编号：秃顶的编为0号，一根头发的编为1号，两根头发的编为2号，三根头发的编为3号……由于全世界的人口已超过50亿，所以一定有人编号大于50亿，假定中国的张三就是其中的一个人。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学中常用的一种解题方法。
它基于谬误论证法，假设待证明的命题不成立，通过推理论证推出一个不合理的结果，从而推翻了最初的假设，进而证明了待证明的命题成立。
下面将从几个典型的初中数学题目入手，探讨反证法在初中数学解题中的应用。
我们来看一个求解整数平方根的问题。
假设有一个正整数n，我们要证明如果n是平方数，那么它的平方根一定是整数。
我们可以采用反证法来证明这一结论。
假设n的平方根不是整数，即存在无法化简的最简分数\frac{a}{b}，满足\sqrt{n}=\frac{a}{b}，其中a和b互质。
不失一般性，假设a是奇数。
由于\sqrt{n}是n的平方根，我们可以推出n=\left(\frac{a}{b}\right)^2，进而得到n=\frac{a^2}{b^2}。
由于a是奇数，那么a^2也是奇数。
设a^2=k，则b^2n=k，由于k是奇数，所以n必然也是奇数。
我们知道平方数的性质是除以4的余数只可能是0或1，所以n的余数只可能是0或1，与n是奇数矛盾。
我们得出结论，若n是平方数，它的平方根一定是整数。
接下来，我们来看一个涉及最小值的问题。
假设有一个集合A，其中包含一些正整数。
现在要证明，如果将集合A中的两个元素交换位置，则整个集合中的元素之和不小于原来的和。
我们可以采用反证法来证明这一结论。
假设交换位置后，整个集合中的元素之和比原来的和要小。
设原来集合A中的两个元素分别为a和b，交换位置后变为b和a。
如果交换位置后的和比原来的和要小，那么必然有a-b>0，即a>b，否则a-b<0，即a<b。
不失一般性，假设a-b>0。
现在考虑将a减去某个正整数k，而将b加上k的情况。
由于a-b>0，所以存在一个正整数k，使得a-k>b+k。
考虑到a和b都是整数，那么我们可以得到一个更小的和，即a-k+(b+k)<a+b，这与交换位置后的和比原来的和要小矛盾。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种常用的数学证明方法，在初中数学解题中也经常会用到。
它通过假设逆命题为真，然后从中推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。
下面我们将分析反证法在初中数学解题中的运用。
反证法常用于证明命题的唯一性。
在证明某个数是质数的时候，可以假设该数不是质数，即可以被其他数整除。
然后我们通过列举除数的范围进行验证，如果不存在除数，那么原命题成立，证明了该数是质数。
这种证明方法常用于判断某个数的因数是否唯一、判断直线与曲线的交点是否唯一等问题。
反证法也可以用于证明不存在性。
有一个命题是证明某个等式无解。
我们可以假设存在解，然后通过推导得出矛盾的结论，从而证明原命题是无解的。
这种证明方法常用于证明二次方程无实根、函数无零点等问题。
反证法还可以用于证明命题的充分性。
充分性就是指当条件成立时，结论一定成立。
要证明一个三角形是等边三角形，可以假设它不是等边三角形，然后通过反证法推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题的充分性。
这种证明方法常用于证明对称图形的性质、证明等腰三角形的性质等。
在初中数学解题中，反证法是一种常用的证明方法，它可以简化证明过程，减少演绎的步骤。
但是反证法也有其局限性，它只能证明命题的唯一性、不存在性和充分性，对于必要性的证明并不适用。
在运用反证法解题时，我们要注意问题的具体情况，合理选择证明方法。
反证法在解题过程中也需要较高的逻辑思维能力和数学素养，需要我们熟练掌握一些基本的数学概念和技巧。
反证法在初中数学解题中是一种常用的证明方法，可以帮助我们证明问题的唯一性、不存在性和充分性。
熟练掌握反证法的运用，可以提高我们解题的效率和准确性。
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨反证法是初中数学学习中常用的一种思维方式，通常在证明某些命题时会用到。
它的作用在于，通过假设命题不成立，然后通过推理得到矛盾，从而证明了命题是成立的。
下面就来探讨一下反证法在初中数学解题中的应用。
1. 证明逆命题、反命题在数学中，证明逆命题、反命题通常采用反证法。
例如，证明“如果两条直线平行，则它们的斜率相等”的逆命题“如果两条直线的斜率不相等，则它们不是平行的”以及反命题“如果两条直线不平行，则它们的斜率不相等”时，可以采用反证法。
首先假设逆命题和反命题是成立的，即假设存在两条斜率不相等的直线是平行或存在两条不平行的直线的斜率相等，然后通过推理得到矛盾的结论，从而证明了原命题是成立的。
2. 证明等式在初中数学中，证明等式也常常采用反证法。
例如，证明“对于任意实数x，x²≥0”时，可以采用反证法。
假设存在一个实数x，使得x²<0，然后通过x²的定义将其化简为（-x）²>0，即(-x)×(-x)>0，那么根据负数的定义可知，(-x)×(-x)>0的条件是x≠0，即(-x)²>0的条件是x≠0。
但是这与我们的假设矛盾，因为我们已经假设x²<0，而这意味着x²≥0不成立，由此证明了原命题是成立的。
3. 证明最大值或最小值假设存在实数a、b，使得a+b=8且ab>16，然后将ab表达式展开为a(8-a)，化简后得到8a-a²>16，移项可得a²-8a+16<0，即(a-4)²<0，这与平方差公式是矛盾的，因此我们假设的ab>16是不成立的，即xy的最大值是16。
反证法在中学数学中的应用
1引言有一个故事讲的是奸臣弹劾贤能的大臣，最后贤能的大臣被陷害要被皇上处死，可是皇上觉得这位大臣罪不该死，就把生死两个字分别写在两纸条上，让这个大臣自己选择其中一纸条，是生便生，是死便死。
但是，奸臣却在纸条上做了手脚，让他抽出的任何一纸条上面写的都是死字。
这个阴谋被贤能之臣的好友发现了，并且告知了他，想要和他一起在皇上面前揭发奸臣的诡计。
但是这个快要被处死的大臣却没让好友这么做，而是很快乐的告诉好友："不要有任何举动，当我拿到纸条以后，就快速吃进嘴里，则监斩官就不得不看剩下的那纸条了，这样监斩官可以推断出我吃进去的纸条上面写的是生字，则我不就得救了[1]〞。
通过这个故事，我们能够看出这个即将走上死路的大臣是通过什么方法挽救了自己的生命，贤臣是利用了"生相对于死〞的反证法，这样就轻松解决了自己被杀掉的危机。
哈代是一位非常优秀的英国数学家，他说出过这样的言论："反证法对于数学家来说，就是最强有力的一件武器，比起象棋开局让子以取得优势的方法还要高明很多，象棋对弈最多牺牲一子，而数学家在运用反证法的时候索性全盘否认，拱手相让，最终却取得了胜利错误!未找到引用源。
这些表达了反证法的神奇之处和不可动摇的地位。
反证法是如此神奇，反证法即可以应用到生活当中去解决危机，又可以解决数学中的难题。
本文就是具体分析反证法在数学中是如何应用的，希望能为大家学习和运用反证法提供帮助。
2反证法的介绍2.1反证法的概念要证明一个命题成立，有时候不容易直接证明，就可以考虑从反向思考证明。
则先提出与求证的结论相反的假设，然后推导出和证明的定理或公理、定义、原题设相矛盾的结果，这样就证明了跟求证的结论相反的假设是不能成立，从而肯定了原来求证的结论是成立的，这种间接证明的方法叫反证法[3]。
2.2反证法的证明步骤大概能够把运用反证法证明命题的方式分为以下三步：〔1〕反设——假设命题的结论的反面是成立的。
〔2〕归谬——通过假设的结论去证明，从而推出一些相矛盾的结论。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析引言数学是一门逻辑性极强的学科，而反证法则是数学中一种非常重要的证明方法。
在初中数学中，教师们经常通过教学案例向学生讲解反证法的运用，帮助学生理解和掌握这种证明方法。
本文旨在分析反证法在初中数学解题中的具体运用，帮助学生更好地理解这一方法，并在解题过程中灵活地运用反证法，提高解题能力。
一、反证法的基本思想反证法是通过否定所要论证的结论，找出符合已知条件但却与所要证的结论相矛盾的设想，从而推导出一个矛盾结论，达到证明所要论证结论的目的。
其基本思想可以概括为：采用否定所要证明的结论的态度，找出该结论的必要条件，然后推导出一个与已知条件矛盾的论断。
在初中数学中，反证法的运用通常可以通过以下基本步骤实现：1. 需假设所要证明的结论为假，即采用否定的态度对待所要证的结论。
2. 根据所题设的条件，找出所要证的结论的必要条件。
3. 然后，构造一个与已知条件矛盾的新条件。
4. 通过推导、分析，得出矛盾结论，从而得出所要证的结论为真的结论。
1. 几何题中的反证法在初中数学中，几何题是反证法应用的典型场景。
有关平行线的性质证明题，可以通过采用反证法来证明。
当需要证明两条直线平行时，可以先假设它们不平行，然后通过构造一组与已知条件矛盾的附加条件，来推导出矛盾结论，从而证明所要证的结论为真。
在数论问题中，反证法同样有着重要的应用。
需要证明某个数是奇数时，可以采用反证法。
假设该数是偶数，然后推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明该数为奇数。
四、如何灵活运用反证法1. 灵活使用反证法在解题过程中，需要根据题目的具体条件和要求来判断是否采用反证法。
有些问题适合采用反证法进行证明，而有些问题可能需要采用其他方法。
在解题中，应当根据题意和已知条件合理选择证明方法，以达到简化解题过程和加深理解的目的。
2. 注意证明逻辑的连贯性在使用反证法进行证明时，需要注意证明的逻辑连贯性。
从假设开始，一直到推导出矛盾结论，整个推理过程应当有条不紊，逻辑严密，确保每一步推理都是正确的，这样才能顺利地完成证明。
浅谈反证法的原理及在中学数学中的应用
在 中学数学中， 反证法应用相当广泛。 怎样正确运用反 证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证 明难以入 手甚至无法人手的题 目，用反证法就会使证明变得轻而易
举。
程 中， 当直接证明一个命题感到困难时， 我们经常采用反证
反证法原理及解题步骤 １ ． 反证法原理。 反证法是一种论证方式 。 它首先假设某
一
、
命题不成立 ， 然后推 出明显矛盾 的结论 ， 从而得出原假设不 成立 ， 原命题得证。 总的来说反证法就是通过证明原命题的 反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在 中学数学中经常运用。 有的问题不易从问题 的正面去解答 ， 但若从 问题的反面着手却容易解决 ， 它从否定结论出发， 经 过正确严格的推理 ，得到与已知假设或已成立的数学命题 相矛盾 的结果 ，从而得到原命题的结论是不容否定的正确
一
出“ 能由实物的形状想象 出几何图形 ， 由几何图形想象出实 物的形状” ， 培养和提高学生的绘 图、 识图能力是小学阶段 几何初步知识教学的核心 。在教学过程中应该注意让学生 观察模型， 根据模型画出图形 ， 再 由图形想象空间形状和位 置， 使学生更好地把握几何图形的特征。比如， 在长方体教 学 的过程 中， 由于学生是第一次正式接触几何 图形 ， 需要有 步骤地指导学生绘制直观 图的一般方法 ，提高学生的绘图 能力 。 在教学中要求学生依次说 出长方体的棱特征 ， 并分别 画出长、 宽、 高， 再通过简单地将实线转化为虚线后 ， 让学生
四、 画一 画 ， 巩 固空 间观念 画一 画 ， 有 利 于学生 进一 步 巩 固空 间观念 。 新课 标 中指
象、 绘制和 比较放在不 同位置上的物体或实物模型， 逐步形 成各种表象 ， 再进一步确立空间观念。想象不但要和观察 、 实验等活动结合起来 ， 而且要具有现实生活中的实际依据 。 平常让学生多“ 动手操作” ， 是为形成空间表象而准备 ， 但处 处依赖“ 动手操作” 来帮助建立 图形的空间观念是不够 的。 在一些客观因素下 ，学生没有动手操作的材料或动手操作 的可能性的时候 ， 问题 的解决就必须依靠以往 的知识经验 。 如何让平时的模型为己所用 ，还需要学生在有模型时要多 想一想 ， 充分理解其各部分的空间关系。 例如 ： “ 一个三角形 的一条直角边旋转一周 ， 形成什么 图形？” 让学生通过实际 操作 ， 得出答案后 ， 提出问题 ： “ 按直角三角形一个锐角的顶 点旋转一周 ， 形成什么图形 ？ ” 由于在学生通过刚才操作 ， 形 成三角形旋转的模型， 利用这个模型从思维上推导出答案 ， 形成一个新型的空间表象。 又如“ 正方体 的认识 ” ， 在学生已 经学 习了长方体后 ，观察正方体与长方体的相同点和不同
浅谈反证法在中学数学中的应用
昌吉学院论文（设计）分类号：本科毕业论文（设计）密级：浅谈反证法在中学数学中的应用系院学科门类数学系专业数学与应用数学学号姓名指导教师教师职称讲师二零一三年五月三日毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果或作品。
本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
作者签名：年月日毕业论文版权使用授权书本毕业论文作者完全了解学院有关保存、使用毕业论文的规定，同意学院保留并向有关毕业论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。
本人授权本学院及以上级别优秀毕业毕业论文评选机构将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库以资检索，可以采用复印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本毕业论文。
声明人签名：导师签名：年月日年月日昌吉学院2013届本科毕业论文（设计）摘要数学思想和方法是把数学知识转化为能力的桥梁,在数学的诸多证明方法中,有一种被称为“数学家最精良的武器之一”的间接证明方法,这就是反证法。
反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用。
从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的。
反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用。
它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。
本文主要讲了反证法的定义、逻辑依据、分类以及其使用的步骤，并根据大量文献进行探究和研究，对反证法的适应范围、如何正确使用反证法以及运用反证法应该注意的问题进行归纳与总结。
关键词：反证法；逻辑依据；中学数学；归谬昌吉学院本科毕业论文格式规范目录摘要 (I)目录.................................................................................................................................... I I 引言 (1)1反证法的定义及逻辑依据 (2)1.1反证法的定义 (2)1.2反证法的逻辑依据 (2)2反证法的分类及步骤 (4)2.1反证法的分类 (4)2.2运用反证法解决问题的步骤 (5)3反证法的适用范围 (6)3.1逆命题 (6)3.2基本命题 (6)3.3否定性命题 (7)3.4限定式命题 (8)3.5整除性问题 (8)3.6无穷性命题 (9)3.7某些存在性命题 (9)3.8全称肯定性命题 (10)3.9一些不等量命题 (10)4运用反证法应注意的问题 (12)4.1了解矛盾种类 (12)4.2正确的作出反设 (13)4.3正确的导出矛盾 (15)4.4必须明确推理特点 (16)总结 (16)参考文献 (17)致谢 (18)昌吉学院2013届本科毕业论文（设计）引言在当今和未来社会中，人们面对纷繁复杂的信息，经常需要作出选择和判断，进而进行推理，作出决策，因而义务教育阶段，数学课程的学习，强调学生的数学活动，发展学生的推理能力。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是数学中一种重要的证明方法，它通常在解决数学问题时发挥着重要的作用。
在初中数学中，我们经常会遇到一些需要用到反证法才能解决的问题，比如证明某个命题的真假，或者推导出一些结论。
在本文中，我们将对反证法在初中数学解题中的运用进行分析，并举例说明其具体运用。
让我们简单了解一下什么是反证法。
反证法是一种证明方法，它采用反证的思路来证明一个命题的真假。
通常，当我们试图证明一个命题时，如果直接使用证明方法无法得出结论，我们可以尝试采用反证法。
反证法的基本思路是，假设命题的否定是成立的，然后通过推导出矛盾的结论，从而得出命题的原命题是成立的结论。
让我们来看一个简单的例子，证明根号2是无理数。
要证明根号2是无理数，首先我们可以假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2 = m/n，其中m和n 是整数，并且它们没有公因数。
然后我们对等式根号2 = m/n 进行平方，可以得到 2 =m^2/n^2。
接着我们可以得到 m^2 = 2n^2。
这时我们可以观察到m^2是2的倍数，那么m一定也是2的倍数，即m=2k。
代入m=2k，我们可以得到 (2k)^2 = 2n^2，简化后得到 4k^2 = 2n^2，再简化得到 2k^2 = n^2。
这说明n^2也是2的倍数，那么n也一定是2的倍数。
所以m和n同时都是2的倍数，这与我们假设的m和n互质相矛盾。
所以我们可以得出结论，假设根号2是有理数，会导致矛盾，所以根号2是无理数。
在这个例子中，我们使用了反证法来证明根号2是无理数。
我们假设根号2是有理数，然后通过四则运算推导出矛盾的结论，从而得出结论，根号2是无理数。
另外一个例子，我们来看一个关于方程的例子，证明方程 x^2 + 5x + 6 = 0 的根不是有理数。
要证明方程的根不是有理数，我们可以采用反证法。
首先我们假设方程有有理数根，即可以表示为p/q，其中p和q是整数，并且它们没有公因数。
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浅谈中学数学中的反证法
摘要：反证法是数学中一种重要的证明方法，它以其独特的证明方法和思维方式对培养逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义.本文阐明反证法的定义、概念、种类、证明的一般步骤，探索反证法在中学数学教学中的应用及其适用的范围。
反证法；证明；矛盾
关键词：
一、绪论
在我们的生活中，通常会遇到许多形形色色的有趣的事，比如道路旁结满杏
子的杏树，看着那压弯了枝桠的诱人果子，为什么会无人问津？再比如我们身边
的童话故事中常常会出现的阎王，，，让我一起欣赏下面的精彩故事。
故事一：从前有个叫王戎的小朋友，一天，他和伙伴外出发现路边的一棵树
上结满了李子，其他人都一哄而上抢着去摘那些李子，尝了之后才发现是苦的，
唯一没有行动的王戎说：“如果李子不苦的话，路过的人早就摘光了，可这颗树
上却结满了李子，所以李子一定是苦的。
”这个故事中王戎就很好的使用了反证
法说明了李子为什么不甜，不好吃。
生活中有很多的事物如果我们从正面去论证它，可能举出成千上万的事例也
无法得出它的正确性，但我们都清楚事物都是有两面性的，他除了正面必定还有
相反的一面，今天我们要讨论的就是从反面入手，得到我们想要的结果，我们把
这种方法称之为——反证法。
二、什么是反证法
反证法是“间接证明法”的一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题
设而否定结论，从而得出矛盾。
法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作
过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。
具体地讲，反证
法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯
定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
（一）反证法定义
反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证
方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推
理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
（二）反证法概念
反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即
肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。
假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这个新条件下，
通过逻辑推理，得出与公理﹑定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，
从而断定命题判断的反面不成立，即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由
已知不易直接证明时,改证它的逆命题的证明方法叫反证法。
即：1.题断反面与临时假设违背
2.前此定理与前此定理不容
3.本题题设矛盾的结果与本题题设冲突
4.前此公理与公理抵触
三反正法在数学教学中的应用
（一）反证法在否定条件下的运用
否定性命题：在遇到类似，即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，通常我们采用反证法的证明方法。
例1 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.已知：
是的 ABC三个内角。
求证：中不能有两个钝角。
（二）反证法在无穷条件下的应用
无穷性命题：在遇到类似，即涉及各种“无限”结论的命题，从正面我们无
法直接说明，只能从反面来论证。
例2 求证：是无理数。
（三）反证法在基本条件下的应用
基本命题：即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法较好。
例3已知：如图于M.于N。
（四）反证法在一些不等量条件下的应用
一些不等量命题的证明：在一些不等式中，有时从正面去证明结论往往很难，我们可以使用从反面进行推论，即使用反证法进行证明会比较方便。
例4 已知，且，求证：。
（五）反证法在限定式条件下的应用
限定式命题：类似于，即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或
“最多”等词语的命题。
从正面证明比较麻烦，我们通常采用从反面去论证。
例 5 已知函数在上递增，试证明方程至多有
唯一实根。
（六）反证法在整除性条件下的应用
整除性问题：在遇到一些像整除性的问题时，使用反证法证明会比较简单。
例6设都是整数，能被3整除，求证：和都能被3整除。
四、小结反证法
（一）反证法证明步骤
一般将反证法的证明步骤分为三步：
1、假设：假设所要证明的结论不成立，而假设结论的反面成立；
2、归谬：由“假设”出发，通过正确的推理得出与已知的条件﹑已知公理﹑已知的定理﹑已知的定义及明显的事实等矛盾，或者自相矛盾的结论。
（由矛盾律得）
3、结论：因为推理正确，那么可以肯定产生矛盾的原因就在于“假设”的错误，所以结论的反面不成立原结论成立。
（由排中律得）
（二）反证法适用范围
1、已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题，通常使用反证法证明。
2、结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式（“不是”、“不可能”、“不可得”）等的命题，使用反证法证明较为方便。
3、涉及各种无限结论的命题应使用反证法；
4、以“最多（少）、若干个”等为结论的命题应使用反证法。
5、对于存在性这类命题应使用反证法比较方便。
6、对于唯一性的命题，使用反证法比较方便。
7、对于某些定理的逆定理的证明，使用反证法比较方便。
8、一般关系不明确或难于直接证明的不等式等可以使用反证法证明
（三）使用反证法应注意的一些问题
1、要加强对题意的理解，正确否定命题结论
2、要明确推理特点
3、了解矛盾种类
(1)与常识矛盾。
(2)与公理矛盾。
(3)与定义矛盾。
(4)与定理矛盾。
(5)与已知矛盾。
反证法在我们的生活中，与我们的生活息息相关，很多从正面无法反驳的论
证运用反证法通常会很容易，在中学数学教学中，它也是一种非常重要的证明方法，可以为我们解决很多的疑难问题。
因此，我们要善用反证法。
五、参考文献
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河南平顶山市第三中学，2009年6月第
5卷3期。
[2]袁梅，王成理。
浅议反证法 [J].乐山师范学院学报，2006年5月第21
卷第5期。
[3]李丹丹，反证法在中学数学中的应用[J]。
鞍山市信息工程学校，114023。
[4]普通高中教学标准实验教科书（选修2-2）人民教育出版社。
课程教材研
究所，中学课程教材研究开发中心编著（89-91）。
[5]王连笑，反证法漫谈［M］。
天津：天津人民出版社，1981年。