2.4.1平面向量数量积的物理背景及几何意义
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义-修改版
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与ka 4b 也 互相垂直，求k的值。 2、设a是非零向量，且b c , 求证： a b a c a (b c )
课堂小结： 1.数量积的定义：
当0°≤θ ＜ 90°时a· b为正； 当90°＜θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。
是非零向量， 设 a、b
(1)a b a b 0
a b | a || b | cos
判向量垂直
(2)当a与b同向时，a b | a || b |; 当a与b 反向时，a b | a || b |; 求模 2 2 特别地 a a | a | 或 | a | a a a
P108 A组 1, 2, 3
步步高
立方和，立方差，完全立方公式还成立吗？
都不成立！！！
＝a2－b2.
注意：1.记住结论，可以直接应用.
2.立方和，立方差，完全立方公式还成立吗？
例4、 已知 | a | 6, | b | 4,a 与b 的夹角为 60o , 求（a 2b ) (a 3b ) 。
解:
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？
C
B
O
解：设 AO a,OC b 则 AC a b ,CB a b ， 由此可得： AC CB a b a
2 2 2
b
2
r2 r2 0
a b | a | | b |
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义[1]课件PPT
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F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所做 的功为多少？
W |F||s|cos θ 其中力F和位移 s是向量， s 是F与 的夹角，而功 W是数量.
W |F||s|cos θ
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
⑵数乘结合律： (a)b(ab)a(b) ⑶分配律：(ab)cacbc
（ 4） (a•b)•ca•cb•c
典例解析
例2 求证：
(1) ( a
b)2
2
a
2a
b
b 2；
(2)(a
b）（ a
b)
a
2
2
b.
例 3已 知 |a|6,|b|4， a与 b的 夹 角 为 60， 求 (a2b)(a3b).
例4 已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
ab |a||b|co s
B C b
O
a B1 A
| b | c o s 叫 做 向 量 b 在 a 方 向 上 的 投 影 ；
| a | c o s 叫 做 向 量 a 在 b 方 向 上 的 投 影 .
为60 时，分别求a b.
18
9
4.已知 | a | =1， | b |
2，
若
a
b与a垂
直，求
a与b的
夹
角
.
4
个人观点供参考，欢迎讨论
运算律 实数a,b,c 向量a,b,c 是否成立
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义4
(a b ) c a (b c )
(3)(a b ) c a c b c
b
B
a
A
C1
O
A1
c
B1
C
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b) ＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b ＝a· a＋b· a＋a· b＋b· b ＝a2＋2a· b＋b2.
3.向量的数量积（内积） b
θ
a
规定:0 a 0
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | cos (a 0, b 0)
B
b
O
A
a
b B
A
A1
a
aA
大于零
B1 O
O
b
B
等于零
小于零
例1 已知|a|=5,||=4, b a与b 的夹角 =120求a b.
解: a 2b a 3b a a b 6b
6 4 cos 60 12
0 2 2
且a 36, b 16
a 2b a 3b
36 12 6 16 72
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？ 解:
a
A
B1
b 在 a 上投影
a 的长度 a
练习2
1.若a =0,则对任一向量b,有a b 0 √ 2.若a 0,则对任一非零向量b,有a b 0 × 3.若a 0, a b 0, 则b 0 × 4.若a b 0, 则a, b中至少有一个为0 × 5.若a 0, a b b c, 则a c 7.对任意向量a有a a
高中数学：第二章 平行向量241(一) Word版含答案
ruize §2.4 平面向量的数量积 2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一) 学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．
知识点一 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．
思考1 如何计算这个力所做的功？ ★答案★ W＝|F||s|cos θ. 思考2 力做功的大小与哪些量有关？ ★答案★ 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． 梳理 条件 非零向量a与b，a与b的夹角为θ 结论 数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0
知识点二 平面向量数量积的几何意义 思考1 什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？
★答案★ 如图所示，OA→＝a，OB→＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos
θ. |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影． ruize 思考2 向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？ ★答案★ 由投影的定义知，二者不一定相同． 梳理 (1)条件：向量a与b的夹角为θ. (2)投影 向量b在a方向上的投影 |b|cos θ
向量a在b方向上的投影 |a|cos θ
(3)a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 知识点三 平面向量数量积的性质 思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ ★答案★ 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量． 思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ ★答案★ 由两个非零向量的夹角决定． 当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数． 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零． 当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数． 梳理 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ， (1)a⊥b⇔a·b＝0.
§241平面向量数量积的物理背景及其含义
§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（A版）2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义。
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，是平面向量的核心内容。
向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
数量积既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。
二、教学任务分析前面已学了向量的概念及向量的线性运算，本节课引入向量的数量积。
教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，定义概念之后，进一步探讨了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系；并“探究”研究了运算律。
三、学情分析1．有利因素学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
2．不利因素一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
因而本节课教学的难点之一也是数量积的概念。
四、教学三维目标设计课标要求：通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
人教版数学·必修4
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[自我检测]
1．已知|a|＝1，|b|＝2，a 与 b 的夹角为π3，则 a·b 等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
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2．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量 b 在 a 方向上的投影为( )
A．4
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方法技巧 求平面向量数量积的两个方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a·b＝|a||b|cos θ. 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重 合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数 量积的几何意义求 a·b.
答案：B
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探究三 利用数量积求向量的模、夹角 [教材 P108 习题第 6 题]设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54 2，求 a 与 b 的夹角 θ. 解析：cos θ＝|aa|·|bb|＝－125×4 92＝－ 22， ∵0∈[0，π]，∴θ＝－34π.
(a·b)c＝a(b·c)
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c
判断正误 ______ ______ ______
消去律 ab＝bc(b≠0) ⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0) ⇒a＝c ______
提示：正 误 正 误
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知识梳理 (1)a·b＝____b_·a______(交换律)． (2)(λa)·b＝____λ_a_·b_____＝____λ_b_·_a____(结合律)． (3)(a＋b)·c＝___a_·c_＋__b_·_c __(分配律)．
人教版高中数学必修4A版平面向量数量积的物理背景及其含义
本节作业
P 108习题2.4 A组2.5.6
1.投影,如右图
a
A
b cos
a
A
o
a cos b
B
o
a cos ( b cosθ)叫做a在b方向上(b在a方向上)
b
B
2.数量积的几何意义 数量积a b 等于a的长度a 与b 在a的方向上的 投影b cos的乘积
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的投影.
随堂练习
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课堂小结
①本节知识要点: 数量积的定义,几何意义,重要性质. ②本节学习的数学方法: 归纳类比,定义法,数形结合等.
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巩固练习
(1)若 m 4, n 6, m与n的夹角是 135, 则m n等于(
C)
( A)12( B)12 2 (C ) 12 2 ( D) 12 1 (2)已知 a 10, b 12, 且(3a) ( b) 36, 则a与b的 5 夹角是( ) ( A)60( B)120(C )135( D)150 (3)当a b 0时, 有下列结论: (1)a 0(2)b 0(3)a b(4)a // b(5)a 与b反向, 其中可能正确的是 (
2 2
3 a b a b
4 cos
a b ab
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随堂练习
1.判断下列命题是否正确,并说明为什么?
(1)若a b 0, 则a b.(× ) ( 2) a a
2
a.( ×)
(3)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( ×) ( 4)在C中, 若 AB BC 0, 则C为 钝角三角形 .( )
2..4..1平面向量数量积的物理背景及其含义
2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：<1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ<０≤θ≤π）叫与的夹角.说明：<1）当θ＝０时，与同向；<2）当θ＝π时，与反向；<3）当θ＝时，与垂直，记⊥；<4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围是0︒≤θ≤180︒<2）两向量共线的判定定理<3）练习1.若=(2，3>，=(4，-1+y>，且∥，则y=< ）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1>，B(1，3>，C(2，5>三点共线，则x的值为< ）A.-3B.-1C.1D.3<4）力做的功：W = ||||cosθ，θ是与的夹角.功是标量，力和位移是向量，功是由力和位移确定的，类比这种运算，我们引入“数量积”的概念。
二、讲解新课：1．平面向量数量积<内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量││││cosθ叫与的数量积，记作，即有=││││cosθ，<其中０≤θ≤π）.并规定：向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？【平面向量数量积的几点说明】<1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.<2）两个向量的数量积称为内积，写成；书写时要特别注意：.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.m8BuExyII4<3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若≠，且=0，不能推出=因为其中cosθ有可能为0.m8BuExyII4<4）已知实数a、b、c(b≠0>，则ab=bc ⇒ a=c.但是==如右图：= ││││cosβ= │││OA│，= ││││cosα= │││OA│⇒=但≠(5>在实数中，有(a⋅b>c = a(b⋅c>，但是(>≠ (>显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.2．“投影”的概念：作图定义：││cosθ叫做向量在方向上的投影.投影是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为││；当θ = 180︒时投影为-││.3．向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影││cosθ的乘积.探究1、：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，1、⊥⇔= 02、当与同向时， = ||||；当与反向时，= -||||.特别的⋅= ||2或│ │ ≤||||cosθ =探究2、：平面向量数量积的运算律<1）．交换律： =<2）．数乘结合律：(>⋅ =(⋅> = ⋅(><3）．分配律：(+>⋅=⋅+⋅说明：<1）一般地，(·>≠<·）<2）·＝·，≠＝<3）有如下常用性质：２＝｜｜２，<＋）<＋）＝·＋·＋·＋·三、讲解范例：例1．证明：①(＋>２＝２＋２·＋２②(＋>(->=２-２例2．已知││=12，││=9，，求与的夹角θ。
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
向量的数量积
定义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量_|a_||_b_|c_o_s__θ叫作 a 与 b 的 数量积，记作_a_·_b_，即 a·b＝_|a_||_b_|c_o_s__θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．零 向量与任一向量的数量积为__0__.
几何意义
|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的 __投__影__．a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影|b|cos θ 的_乘__积___
为________，b 在 a 方向上的投影为________．
【解析】 (1)设B→A＝a，B→C＝b，则 a·b＝12，|a|＝|b|＝1.D→E＝12 A→C＝12(b－a)，D→F＝32D→E＝34(b－a)，A→F＝A→D＋D→F＝－12a＋34(b－a) ＝－54a＋34b，A→F·B→C＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.答Leabharlann ：(1)π3 (2)见解析性质
(1)a⊥b⇔___a_·_b___＝0； (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝_|a_|_|b_|；当 a 与 b 反向时，a·b＝__－__|a_||_b_|_； (3)a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2；
a·b (4)cos θ＝__|_a_|·_|b_|__； (5)|a·b|≤|a||b|
考试标准
课标要点
学考要求 高考要求
平面向量数量积的概念及其物理意义
b
b
平面向量投影的概念
a
a
平面向量数量积的性质及运算律
b
b
知识导图
学法指导 1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表 示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应 用． 2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意 对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.