人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》课件
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 课件(共19张PPT)
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 课件(共19张PPT)
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB．
因为CD⊥AB， 所以△OAM与△OBM都是直角三角形． 又因为OM为公共边， 所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM． 又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称， 所以A点和B点关于直线CD对称． 所以当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM， 弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
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例题应用，深化提高
(
例1 如图，AB 所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB 于点D．若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．
解：设圆的半径为R， 由题意可得OD=R-4，AD=8 m． 在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2， 即R2=(R-4)2+82． 解得R=10(m)． 答：此圆的半径是10 m．
人教版九年级数Leabharlann 上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 课件(共19张PPT)
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合作探究，形成知识
你能用符号语言表达垂径定理吗？
AM=MB
(( ((
CD是圆O的直径，
CD⊥AB与点M
AC = BC
AD =BD
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8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm， A 求⊙O的半径．
解：连结OA，过O作OE⊥AB，
E
B
．
O
垂足为E，则OE=3 cm，AE=BE．
∵AB=8 cm，∴AE=4 cm．
在Rt△AOE中，根据勾股定理可得OA=5 cm．
∴⊙O的半径为5 cm．
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【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
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例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
D
A
B
R
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
O
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练习巩固，综合应用
1．如图，⊙O的直径AB=12， CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长 为( D )．
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A．4 2 B．8 2
C．2 5
D．4 5
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练习巩固，综合应用
2．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好 经过圆心O，则折痕AB的长为 __2__3__cm．
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
学习目标 1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．
2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
合作探究，形成知识
证明圆的对称性 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C， D以外的任意一点．过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为M， 连接OA，OB． 在△OAB中，∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形． 又AB⊥CD，∴AM=BM． 即CD是AB的垂直平分线．这就是说，对于圆上 任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此， ⊙O关于直线CD对称．即圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是它的对称轴．
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.23．
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)．
合作探究，形成知识
按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把 这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂 足为点M； 第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B． 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么？
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例题应用，深化提高
例2 如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约 有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱 高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半 径(结果保留小数点后一位)．
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合作探究，形成知识
( ( ( (
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
3．⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB 上的一个动点，则OP长的取值范围为 3≤OP≤5．
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练习巩固，综合应用
4．已知⊙O中，若弦AB的长为
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合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB．
因为CD⊥AB， 所以△OAM与△OBM都是直角三角形． 又因为OM为公共边， 所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM． 又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称， 所以A点和B点关于直线CD对称． 所以当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM， 弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
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例题应用，深化提高
(
例1 如图，AB 所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB 于点D．若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．
解：设圆的半径为R， 由题意可得OD=R-4，AD=8 m． 在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2， 即R2=(R-4)2+82． 解得R=10(m)． 答：此圆的半径是10 m．
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合作探究，形成知识
你能用符号语言表达垂径定理吗？
AM=MB
(( ((
CD是圆O的直径，
CD⊥AB与点M
AC = BC
AD =BD
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8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm， A 求⊙O的半径．
解：连结OA，过O作OE⊥AB，
E
B
．
O
垂足为E，则OE=3 cm，AE=BE．
∵AB=8 cm，∴AE=4 cm．
在Rt△AOE中，根据勾股定理可得OA=5 cm．
∴⊙O的半径为5 cm．
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【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片，用于教学过程。
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例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
D
A
B
R
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
O
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练习巩固，综合应用
1．如图，⊙O的直径AB=12， CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长 为( D )．
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A．4 2 B．8 2
C．2 5
D．4 5
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练习巩固，综合应用
2．如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好 经过圆心O，则折痕AB的长为 __2__3__cm．
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
学习目标 1．理解圆的对称性；掌握垂径定理．
2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
合作探究，形成知识
证明圆的对称性 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C， D以外的任意一点．过点A作AB⊥CD，交⊙O于点B，垂足为M， 连接OA，OB． 在△OAB中，∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形． 又AB⊥CD，∴AM=BM． 即CD是AB的垂直平分线．这就是说，对于圆上 任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点B，因此， ⊙O关于直线CD对称．即圆是轴对称图形，任何一条直 径所在直线都是它的对称轴．
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.23．
2
2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)．
合作探究，形成知识
按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把 这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作折痕CD的垂线，垂 足为点M； 第四步，将纸打开，设AM的延长线与圆交于另一点B． 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么？
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 课件(共19张PPT)
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 课件(共19张PPT)
例题应用，深化提高
例2 如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约 有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱 高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半 径(结果保留小数点后一位)．
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 课件(共19张PPT)
合作探究，形成知识
( ( ( (
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
3．⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB 上的一个动点，则OP长的取值范围为 3≤OP≤5．
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 课件(共19张PPT)
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 课件(共19张PPT)
练习巩固，综合应用
4．已知⊙O中，若弦AB的长为
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垂直于弦的直径 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
• 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
O
A
C
D
OO
BHale Waihona Puke 【证明猜想】垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD.
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 C
O
ED
弧.
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径.
【解析】提示作OM 垂直
B
MA
P
于PB ，连接OA.
O
答案： 17
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
非常重要的辅助线.
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
AC
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
• 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
O
A
C
D
OO
BHale Waihona Puke 【证明猜想】垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
为E.求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD.
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 C
O
ED
弧.
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
【解析】定理中两个条件（直径、垂直于弦）缺一不可，
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径.
【解析】提示作OM 垂直
B
MA
P
于PB ，连接OA.
O
答案： 17
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条
非常重要的辅助线.
【归纳】
变式1：AC，BD有什么关系？
AC
人教版九年级上册数学24.垂直于弦的直径说课课件
24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
一、教材分析
学生已经学习 1、轴对称、 2、中心对称 3、圆的有关概念
重要的地位 1、圆的性质的重要体现， 对称性的具体化 2、证明线段相等、角相等 、
弧相等、垂直关系 3、圆的计算和作图提供了 方法和根据
本节课是义务教育实验教材人教版 《数学》九年级上册第24章
“24.1.2垂直于弦的直径”的第二课时
二、目标分析
01
03
理解圆的
02
轴对称性
教学重难点
重点
：垂径定理及推论
难点
：探索其运用及其 有关计算和作图
三、学情分析
独立思考，实践操作 合作交流，归纳概括
A
能进行简单的推理论证
B
九年级学生的形象直观思维能力较强，具有一定的独立思 考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单 的推理论证。
四、教学方法
“发现—视察—猜想—合作交流—证明 ”
（探索发现法和启示式教学法）
动手，视察能力，分析、联想能力、 以及与人合作交流的能力（主体性） 。
圆的轴对称性，感受数学美 。
五、教学过程
一
二
三
复习回顾 引入课题
实验探究 大胆猜想
证明猜想 得出定理
四
应用举例 强化训练
五
反观课堂 提炼小结
part 1：复习引入，导入课题定理
垂径定理
part 4：应用举例，强化训练
part 5：反观课堂，提炼小结
六、反思总结
part A 教师是导演，学生是演员
B part
使每一个学生都最大限 part C 度地参与到课堂的活动中
D part
谢谢
人教版九年级数学上册第二十四章圆24.垂直于弦的直径教学课件
复习备用
C
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧．
O
∵ ① CD是直径 ② CD⊥AB
A
③AM=BM， ∴ ④AC=BC，
⑤AD=BD.
B D
1
复习备用
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
2
复习备用
垂径定理在基本图形中的应用：
A
O
D
B
C
① 设CD=h，AD=a，半径为 r， 则OD=r﹣h.在Rt∆AOD中，由 勾股定理得:r2﹣(r﹣h)2=a2
B x
17
知识点二：垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
新知探究
y
解析:如图，作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，
作PE⊥AB于点E，连接PB
B
∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，∴OC=3，PC=a.
A
把x＝3代人y＝x，得y＝3 ∴CD＝3，
O
x
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形.
11
知识点一：利用垂径定理解决实际问题
学以致用
3、如图，一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB＝ 1.2m，某天下雨后，排水管水面上升了 0.2m，则此时排水管中水面宽为（ B ） A.1.4m B.1.6m C.1.8m D.2m
O
C
D
A
B
12
知识点一：利用垂径定理解决实际问题
4
复习备用
C
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧．
O
∵ ① CD是直径 ② CD⊥AB
A
③AM=BM， ∴ ④AC=BC，
⑤AD=BD.
B D
1
复习备用
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
2
复习备用
垂径定理在基本图形中的应用：
A
O
D
B
C
① 设CD=h，AD=a，半径为 r， 则OD=r﹣h.在Rt∆AOD中，由 勾股定理得:r2﹣(r﹣h)2=a2
B x
17
知识点二：垂径定理与平面直角坐标系的综合应用
新知探究
y
解析:如图，作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，
作PE⊥AB于点E，连接PB
B
∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，∴OC=3，PC=a.
A
把x＝3代人y＝x，得y＝3 ∴CD＝3，
O
x
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形.
11
知识点一：利用垂径定理解决实际问题
学以致用
3、如图，一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB＝ 1.2m，某天下雨后，排水管水面上升了 0.2m，则此时排水管中水面宽为（ B ） A.1.4m B.1.6m C.1.8m D.2m
O
C
D
A
B
12
知识点一：利用垂径定理解决实际问题
4
复习备用
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径优质精选PPT
7学习这篇课文，应该重点引导学生运 用探究 式的学 习方式 ，注意 激发学 生了解 植物知 识、探 究大自 然奥秘 的兴趣 ，把向 书本学 习和向 大自然 学习结 合起来 ，引导 学生养 成留心 身边的 事物、 认真观 察的好 习惯。
演讲完毕，谢谢观看！
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
情境引入：
如图，是1 400 多年前，我国隋 代建造的赵州石拱桥．
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m．
你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。 4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。 6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3 人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
谢谢
1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。 2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
演讲完毕，谢谢观看！
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
情境引入：
如图，是1 400 多年前，我国隋 代建造的赵州石拱桥．
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m．
你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。 4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。 6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
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人教版九年级数学上册 《垂直于弦的直径》圆PPT教学课件
5
分析：∵OC⊥AB，OC 过圆心 O，∴CA＝12AB．∵AB＝4，∴AC＝2.在 Rt△AOC
中，由勾股定理，得 OA＝ AC2＋OC2＝ 22＋12＝ 5，即⊙O 的半径为 5. 答案：B
第五页，共二十四页。
6
基础过关
1．下列结论正确的是( A ) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴
人教版九年级数学上册 《垂直于弦的直径》圆PPT教学课件
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
垂直于弦的直径
第一页，共二十四页。2以练Fra bibliotek学名师点睛
知识点 1 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
知识点 2 垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
由勾股定理，得 OA2＝OD2＋AD2，即 r2＝(r－10)2＋302，解得 r＝50.即这个车轮 的外圆半径为 50 cm.
第十八页，共二十四页。
19
13．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D． (1)求证：AC＝BD； (2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且点O到直线AB的距离为6，求AC的 长．
第六页，共二十四页。
7
2．如图，⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E，则下列结论中一定正确的是( B )
A．AE＝OE C．OE＝12CE
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
第七页，共二十四页。
8
3．【教材 P83 练习 T1 变式】如图，在半径为 5 的⊙O 中，弦 AB＝6，OP⊥AB， 垂足为点 P，则 OP 的长为( C )
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
人教版九级数学上册《垂直于弦的直径》优质课件
D
A
B
R
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．
O
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦．如图，⊙O的直径AB=12， CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为 P，且BP︰AP=1︰5，则CD的长 为( D )．
因为CD⊥AB， 所以△OAM与△OBM都是直角三角形． 又因为OM为公共边， 所以这两个直角三角形全等．所以AM=BM． 又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称， 所以A点和B点关于直线CD对称． 所以当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM， 弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
解：设圆的半径为R， 由题意可得OD=R-4，AD=8 m． 在Rt△ADO中，AO2=OD2+AD2， 即R2=(R-4)2+82． 解得R=10(m)． 答：此圆的半径是10 m．
人教版九年级级数数学学上上册册《《垂2直4.于1.弦2 的垂直直径于》弦优的质直课径件》 课件(共19张PPT)
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人教版九 级数学 上册《 垂直于 弦的直 径》优 质课件
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合作探究，形成知识
( ( ( (
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
人教版数学九年级 24.1.2_垂直于弦的直径 (共20张PPT)
C
A r
D
B O
例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设弯路的半径为 Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 CF CD 600 300 (m). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理 ,得
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
2 2
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 1㎝或9㎝ 那么C到AB的距离等于 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
E
B
A
M
B
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
人教版初中数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件PPT
谢谢
D
B
R的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
A
E
B
O·
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边 形ADOE是正方形．
C
E ·O
A
D
B
3.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2垂直于弦的直径
创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
D
C
E
A
O
B
归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合 是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法．
②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．
重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
布置作业
1.教科书习题 24.1 第 1，2 题． 2. 补充：已知圆心到圆内两条平行弦的距离分别 为6和8，圆的半径为10 ，求两条弦之间的距离
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条
直径所在直线都是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为 E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
线段：AE=BE OA=OB
人教版九年级数学上册课件 《垂直于弦的直径》精品课件
②③⑤
. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的
②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平
①③④ 分弦和所对的另一条弧.
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦 ①②④ ,并且平分弦所对的另一条弧.
②两条弦在圆心的两侧
· A
OB
C
D
A
·O B
C
D
将圆沿竖直直径对折可发现，两条弦所夹的弧重合。
∴ 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
新知讲解
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相 互转化,形成整体,才能运用自如.
“知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦
直径平分弧 => 直径垂直于弧所对的弦
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新知讲解
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为 D，与弧AB交于点C，则D是AB的中 点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
OA2 AD2 OD2
O CB
新知讲解
自主练习：
1.判断： (1)平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。