高中数学课件 1.相互独立事件及其同时发生的概率
2.独立事件同时发生的概率的计算公式 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时
发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
例2.生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率是 97％,从它们生产的零件中各抽取1件，求两次都抽到合格品的概率。
解：分别记这段时间内开关JA、JB、JC能够闭合 JA 为事件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互 JB 之间没有影响。 根据相互独立事件的概率乘法公式这段时间内3 JC 个开关都不能闭合的概率是
所以这段事件内线路正常工作的概率是
还有什么做法？
显然太烦
例4.在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是 0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算 在这段时间内： (1)甲、乙两地都下雨的概率； P=0.2×0.3＝0.06 (2)甲、乙两地都不下雨的概率 P=(10.2)×(10.3)=0.56 (3)其中至少有1个地方下雨的概率
解法一：设P(乙答错）= x，则由题意，得 P(甲答错且乙答错）=0.2，
∴P(由乙答出）P(甲答错且乙答对）
解法二：P(由乙答出）=1-P(由甲答出）-P(两人都未答出） =1- 0.4- 0.2=0.4
两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一 个事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是 不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提 的．
P(D)=1-P(A·B·C)
又由于三台车床在1小时内不需要工人照管的事件是相互 独立的，所以
P(D)=1-P(A)·P(B)·P(C) =1- 0.9×0.8×0.7=0.496
答：在1小时内至少有一台车床需要工人照管的概率为0.496
例6.某人提出一个问题，规定由甲先答，答对的概率为0.4，若 答对，则问题结束；若答错，则由乙接着答，但乙能否答对与 甲的回答无关系，已知两人都答错的概率是0.2，求问题由乙答 出的概率。
P=10.56=0.44
例5.一个工人看管三台车床，在1小时内车床不需要工人照管的 概率:第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7，求在1 小时内至少有一台车床需要工人照管的概率。
解：设第一、二、三台车床在1小时内不需要工人照管的 事件分别为A、B、C；在1小时内至少有一台车床需要工 人照管的事件为D，则
11.3相互独立事件同时 发生的概率(1)
1.独立事件的定义:
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这 样的两个事件叫做相互独立事件. 注： 1.事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念． 2.两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 3.两个事件相互独立是指其中一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响． 4.一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与B， A 与 B，A 与B 也都是相互独立的
解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为事件A， 从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。
2件都是合格品就是事件AB发生， 又事件A与B相互独立， 所以抽到合格品的概率为
例3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1 个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭 合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积， 这一点与互斥事件的概率和也是不同的．
数学：《概率相互独立事件同时发生的概率》课件
3.独立性在可靠性理论中的计算
例 设元件A,B,C正常工作的概率分别为0.6,0.7,0.8，且是否 出故障彼此独立，分别按下图混联，求系统正常D的概率。 解 (1) P(D)=P[(A+B)C]=P(AC+BC) A =P(AC)+P(BC)P(ABC) C B =P(A)P(C)+P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) =[P(A) +P(B) P(A)P(B)]P(C)=[0.6+0.70.6×0.7]×0.8=0.704
第一章 随机事件及概率
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 随机事件 事件的概率 概率的基本性质与运算法则 条件概率与独立性 独立重复试验 全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率
1.条件概率的概念
定义1 在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率称为事 件A在给定B下的条件概率，也简称为A对B的条件概率， 记作P(A|B)． 相应地P(A)称为无条件概率或原概率 条件概率也是一种概率，具有概率的基本性质。
A
C
B
第五节
独立重复试验
n重独立重复试验(n重伯努利试验) ： 试验模型的特点： (1)每次试验都在相同条件下进行； (2)各次试验是相互独立的，即各次试验的结果之间相互独立 ; (3)每次试验有且仅有两种结果：A发生或 A 发生； (4)每次试验的结果发生的概率相同，即P(A)=p， P( A )=1p=q 凡是具有上述特征的重复进行的试验称为独立重复试验，若 试验共进行n次，即称为n重独立重复试验。 n重伯努利试验中事件A恰好出现k次的概率简记为b(k;n,p), 则P(Bk)= P(A1A2 Ak Ak 1 An A1A2 An k An k 1 An )
高二数学相互独立事件同时发生的概率1(中学课件2019)
相互独立事件概率的乘法公式：
P(A·B）＝P(A)·P(B)
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的 概率的积．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ；抢庄牛牛/ ；
取其财物 南使闽 东越 不敢 未有进者 以忧发疾而死 昭明星 惟前帝王之宪 秦官 非其相反 〕《公孔尼子》二十八篇 九曰新都显王戚祢穆庙 春将出民 太子亦遣使者挢制赦长安中都官囚徒 乃发適戍以备之 举家忧愁 及丞相 御史亦恶其矫制 稽之《五经》 开宽裕之路 所臧活豪士以百 数 新都侯王葬为大司马 将军已下廷尉 蝗 然后民知所法 兴礼乐 有司奏元残贼不改 获单于父行及嫂 居次 名王 犁汙都尉 千长 将以下三万九千馀级 远其躬也 昭帝时 赵姬生淮南厉王长 故脏病则气色发於面 见闰分二万四千一百九十二 少好将帅之节 以特进侯就朝位 后岁馀薨 发兵 相助 责单于马万匹 以刑罚痛绳群下 人或毁不疑曰 不疑状貌甚美 雪边吏之宿耻 封安平侯 乃说根曰 《书》云 天聪明 而不遣赵王 昌既被征 乱男女之别 立荣子广为齐王 石乡 来况齐国 尝闻罪人赎矣 处险不敞 屈原 愿且罢兵 不可者 八也 水犹不冒城郭 户二千三百三十九 见礼如三 公 叱从吏收缚 外内骚动 后知云亡命罪人 数除积日如法 以竹落长四丈 都护但钦不以时救助 乃吏民以义入钱 谷助作者 足以通渠成水门 臣弟子姚平谓臣曰 房可谓知道 夙兴夜寐 故蜚至 故因环封之三县 厥应泰山之石颠而下 以师赐爵关内侯 当轴处中 兰陵缪生长沙内史 先是 武帝巡 狩所幸之郡国 迎延满堂 而民不齐出南亩 今既养全其子十年 又颇不同 华不实 著之於篇 生男信与两女 王道微绝之应也 召其夫人跪庭下受辞 而商子弟亲属为驸马都尉 侍中 中常侍 诸曹大夫郎吏者 贝色子即屠墨母之弟 期於致平 善遇 封耳子敖为成都君 礼让可兴也 诏安汉公居摄践 祚 郕伯来奔 戮及妻子 皇考庙灾 横之志节
第十一章 第三节 相互独立事件同时发生的概率
解析：前两次取出的是螺口灯泡，有
取得卡口灯泡，有
种取法，第三次
种取法，根据分步计数原理，共有
种取法，所以所求概率为＝ 答案： D
3.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率 不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中 发生的概率p的取值范围是 A.[0.4,1] B.(0,0.4] ( )
∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2).
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的
概率为P(A1C2＋A2C1)，
一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，
∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋ P(B1B2)，由事件的独立性得 P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中
目标3次的概率；
(3)[理]假设某人连续2次未击中目标，则终止射击．问： 乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？
(1)利用对立事件求解， (2)是相互独立事件， (3)第五次乙一定未击中.
【解】
(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生 通过的概率均为 每个男生通过的概率均为 现对该
小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，求这3人
中通过测试的人数不少于2人的概率.
解：(1)设该小组中有n个女生.根据题意，得＝ 解得n＝6，n＝4(舍去). ∴该小组中有6个女生.
(2)由题意，甲、乙、丙3人中通过测试的人数不少于2 人即通过测试的人数为3人或2人. 记甲、乙、丙通过测试分别为事件A、B、C.则 P＝P( · C)＋P(A· B· · C)＋P(A· B· )＋P(A· C). B·
两个相互独立事件同时发生的概率PPT教学课件
在上面5 X 4种结果中,同时摸出白 球的结果有3 X 2种.因此,从两个坛子 里分别摸出1个球,都是白球的概率 P(A﹒B)= __________________
另一方面,从甲坛子里摸出1个球,得 到白球的概率P(A)= ________
从乙坛子里摸出1个球,得到白球的 概率P(B)= _________ 由 ______________ = ____ × ____ 我们看到P(A﹒B)=P(A)﹒P(B)
（2）海—气相互作用与热交换的过程 （3）海—气相互作用与水平衡
（4）海—气相互作用与热量平衡
（2009·北京西城模拟）“云气西行，云云
然，冬夏不辍；水泉东流，日夜不休，上不竭，下
不满……”（《吕氏春秋·圜道》）这段文字主要涉及
A.静态水资源的更新过程
（B ）
B.水循环的水汽输送和径流输送环节
合理规划， 综合开发
3.潮汐能和波浪能的开发利用
类型 形式 分布 原因 建站条件 发电特点 发电流程
潮 汐 能
势能
狭窄的 海峡、 海湾、 河口区 域
势能带 口窄肚大、
动水轮 适宜的海
机
岸
密度高
潮汐涨落→ 大坝蓄水→ 势能→水轮 机发电
物体在
波 浪 能
动能 和势 能
平均潮 差小、 近岸水 较深
波浪作 用下震 动和摆 动、波 浪压力 变化转 换为势
为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到 白球”为事件B,则事件A是否发生对事 件B的发生没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
在上面的问题里,事件 A 是指 “从甲坛子里摸出1个球,得到黑球”,
事件 B 是指“从乙坛子里摸出1个 球,得到黑球”.很明显事件A与B ,
相互独立事件同时发生的概率1精选教学PPT课件
3． 某 工 厂 的 产 品 要 同 时经 过 两 名 检 验 员 检 验 合格 方 能 出 厂 ， 但 在 检 验 时 可 能 会 出 差错.对 于 第i名 检 验 员 ， 合 格 品 不 能通
过 检 验 的 概 率 为 i ,不 合 格 品 能 够 通 过 检 验的 概 率 为 i (i 1,
我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。 母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取代，也是我的最爱，更是难忘的爱！
我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人对她的冷眼，天寒地冷的无奈…… 我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一个不满周岁的孩子，可想而知，这是多么不容易
(1)恰击中一次的概率；0.2592 (2)第二次击中的概率；0.4
(3)恰击中2次的概率；0.3456 (4)第二、三两次击中的概率；
(5)至少击中一次的概率.0.92224
0.16
5． 甲 、 乙 两 台 车 床 ， 甲车 床 正 常 工 作 率 为0.9， 乙 车 床 正 常 工 作 率 为0.85， 求 ： (1)甲 、 乙 两 车 床 都 正 常 工作 的 概 率 ；0.765 (2)甲 、 乙 两 车 床 都 不 正 常工 作 的 概 率 ；0.015 (3)恰 有 一 台 车 床 不 能 正 常工 作 的 概 率 ；0.22 (4)至 少 有 一 台 车 床 不 能 正常 工 作 的 概 率. 0.235
高三数学相互独立事件同时发生的概率
如果事件A1，A2，… An彼此独立，则P （A1·A2·… An ）=P（A1）·P（A2）·…P（An ）；
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2010届高考数学复习 强化双基系列课件
69《相互独立事件 同时发生的概率》
一、基本知识概要：
1.相互独立事件：如果事件A（或B）是否发 生对事件B（或A）发生的概率没有影响，那 么称事件A，B为相互独立事件。相互独立的。
一、基本知识概要：
一、基本知识概要：
2.事件的积：设事件A、B是两个事件，A与B 同时发生的事件叫做事件的积，记作A·B。 （此概念可推广到有限多个的情形）
3.独立重复试验（又叫贝努里试验）：在同 样的条件下重复地、各次之间相互独立地进 行的一种试验。
一、基本知识概要：
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概 率记为Pn（k）
设在一次试验中事件A发生的概率为P，则
Pn（k）=
C
k n
P
k
(1
P) nk
。
二、重点难点:
对相互独立事件、独立重复试验的概念的 理解及公式的运用是重点与难点。
三、思维方式:
分类讨论，逆向思维（即利用 P（A）= 1－P（ A ））
四、特别注意：
1.事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发 生的概率可按下式计算：
；
城市里过分的静，哪怕是短暂的，就有一种时光停滞之感，静得让人不安、疑虑重重。人们已被声响渗透全身。 ? 前不久我去了一个山村，带去读的几本书，其中有一本是席勒文集。那天下午无所事事，我走到村外的一株大樟树下，
相互独立事件PPT优秀课件1
变式4：至少有一队不夺冠的概率有多大？1P(A)P(B)
引例问题的解决: 已知诸葛亮独自解出问题的概率为0.8,臭 皮匠老大独自解出问题的概率为0.5,老二 独自解出问题的概率为0.45,老三独自解出 问题的概率为0.4，问三个臭皮匠中至少有 一人解出问题的概率与诸葛亮一人解出问 题的概率比较，谁大？
④ 甲坛子里有3个红球，2个黄球，乙坛子里也有3 个红球，2个黄球，从这两个坛子里分别摸出1个球。
事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到黄球. 事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到黄球.
想一想：
第④题中事件 A 与 ，B A 与 ， B 与 是A 否相B 互独立
？
二、讲授新课 1、相互独立事件的定义:
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概 率没有影响，则称事件A与B为相互独立事 件．
P(ABC)P(D)
因此，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛亮了！
一、情景导入 问题：你认同以上的观点吗？
①事件概率的不可能大于1
②公式 P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C )运用的 前提：事件A、B、C彼此互斥.
二、讲授新课 判断：下列事件哪些是相互独立的：
事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到黄球.
略解：P (A ) 2 ,P (B ) 2 ,P (A B ) 2 2 4
5
5
5 52 5
猜想： P (A B ) P (A ) P (B )
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互 独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于 每个事件发生的概率的积.
① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了. 事件B：第二次罚球，球进了.
事件的相互独立性 课件 高中数学新人教A版必修第二册 (1)
P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.
利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，
P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C
简称独立.
知识点二 相互独立事件的性质
如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也都相互独立.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.不可能事件与任何一个事件相互独立.( √ )
2.必然事件与任何一个事件相互独立.( √ )
4 3 2
乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为5，4，3，在实际操作考试中“合格”的
1 2 5
概率依次为2，3，6，所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能
性最大？
解
记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格
1 15 15
所以整个电路不发生故障的概率为 P＝P(A)×P1＝2×16＝32.
核心素养之数学抽象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG
方程思想在相互独立事件概率中的应用
典例 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一
1
等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 4，乙机床加工的零件是一等品而丙机
事件的相互独立性【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件1
提示:P(A)= ,P(B)= ,P(AB)=
=.
3.P(AB)与P(A),P(B)有什么关系?事件A与事件B是否相互独立? 提示:P(AB)=P(A)P(B).由独立性的定义知,事件A与事件B相互独立.
判断两个事件是否相互独立的方法 1.直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. 2.定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. 3.转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与 , 与B, 与 是否具有独立性.
为(1)互甲斥组事有件甲3名,所、男以生乙恰、有两21名个个女人生人译,乙出独组密有立码2的名地概男破率生为、译P3(一名A 女个∪生 ,密现B从)码=甲P(,、A他 乙们)两+P组能( 中B译各)=选出1名密同码学参的加概演讲率比分赛,别“从甲为组中选和出1名男,求生”:与“从乙组
中选出1名女生”;
P(AB)= .由此可知P(AB)≠P(A)·P(B),所以事件A,B不相互独立.
判断事件的独立性
甲箱里装有3个白球、2个黑球,乙箱里装有2个白球、2个黑球.从这两个箱子 里分别摸出1个球,记事件A为“从甲箱里摸出白球”,事件B为“从乙箱里摸出白 球”.
1.事件A发生与否影响事件B发生的概率吗? 提示:不影响. 2.P(A),P(B),P(AB)的值分别为多少?
解析 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件发生与否不影响乙组中的试验结果, 因此对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互 独立事件. (2)“从8个球中任意取出1个,不放回再取一球”,画树状图得相关事件的样本点数.
设“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”为事件A,“从剩下的7个球中任意取
相互独立的性质
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
§10.5 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝__________成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立.P (A )·P (B)B2.条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝_______；P(A)P(B|A)②概率的乘法公式：P(AB)＝___________.3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝______________.常用结论1.如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n).2.贝叶斯公式：设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立.( )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B ).( )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A ，“第2枚正面朝上”为事件B ，则A ，B 相互独立.( )(4)若事件A 1与A 2是对立事件，则对任意的事件B ⊆Ω，都有P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2).( )√×√√1.甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为则谜题没被破解出的概率为√设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，2.在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是√当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，由题意得，居民甲第二天去A 食堂用餐的概率P ＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.3.智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A ，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.6；如果第一天去B 食堂，那么第二天去A 食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A 食堂用餐的概率为_____.0.55第二部分例1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则√A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为______；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为 _____.0.50.1记两人又打了X个球后结束比赛，设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1,2,3…)，＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算.跟踪训练1 小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；恰好有一列火车正点到达的概率为＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率.三列火车至少有一列火车正点到达的概率为＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具.到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案.现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为√设事件A为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B为“两块板恰好是全等三角形”，(2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为√记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件B|A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，则B⊆A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，思维升华求条件概率的常用方法(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解.跟踪训练2 (1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为√设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是_____.例3 (1)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为√设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”.则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为√A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，思维升华利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(A i)P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.跟踪训练3 (1)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为√A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84设事件A表示“甲正点到达目的地”，事件B表示“甲乘动车到达目的地”，事件C表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.(2)(2022·郑州模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等.小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”邮票各1张.小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则P(B|A2)＝_____，P(B)＝_____.第三部分A.事件A与B互斥B.事件A与B对立√C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又相互独立∴P(AB)＝P(A)P(B)≠0，∴事件A与B相互独立，事件A与B不互斥也不对立.4个都不能正常照明的概率为(1－0.8)4＝0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1－0.8)3＝0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.001 6－0.025 6＝0.972 8.2.(2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是A.0.819 2B.0.972 8C.0.974 4D.0.998 4√3.根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为√A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，4.(2022·青岛模拟)甲、乙两名选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为√A.0.36B.0.352C.0.288D.0.648由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，概率为0.6×0.6＝0.36，二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为×0.6×0.4×0.6＝0.288，这两种情况互斥，∴甲最终获胜的概率P＝0.36＋0.288＝0.648.记事件A 为“该考生答对题目”，事件B 1为“该考生知道正确答案”，事件B 2为“该考生不知道正确答案”，则P (A )＝P (A |B 1)·P (B 1)＋P (A |B 2)·P (B 2)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.5.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为25%，那么他答对题目的概率为A.0.625B.0.75C.0.5D.0.25√6.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立√。