DVD租赁模型研究
数学建模竞赛论文写作方法
1
数学建模竞赛论文的一般结构 数学建模竞赛论文的评判
2
一、数学建模论文的一般结构
摘要 问题重述与分析 问题假设 符号说明 模型建立与求解 模型检验 结果分析 模型的进一步讨论 模型优缺点
3
☻摘要 主要理解 主要方法 主要结果 主要特点 ☻问题重述与分析 —向导
1. 先要对问题进行全面分析，简明建模的依据。 2. 尽量采用成熟的数学方法和已有的模型。 3. 有时针对问题的具体情况，可以先建立简单的、 基本的模型，再作改进或修正。 4. 当然，也要注意应用新方法。”
—— 数模竞赛中建好数学模型之研究
7
☻模型检验
稳定性检验 敏感性检验 误差分析
仿真检验
算法复杂度分析
4. 参加各种类型的数学建模竞赛或模拟赛 （校内赛，地区赛，全国赛，美国赛,…)
25
11
CMCM—96A(最优捕鱼策略) 有的队假设产卵的过程服从正态分布，这样的假 设是可以的，但大大增加了问题的难度。在不失生 物学的真实的前提下，使模型的分析尽量简单的假 设应该是假设鱼群的个体在后四个月的第一天集中 一次产卵。
12
结果的正确性 模型的正确性。
计算的正确性（方法、结果）。 例一：99年“自动化车床”，在计算刀具 发 生故障后的损失时未考虑条件概率，导致计算 错误。 例二：98年“投资组合策略”，使用均方风险 函数，违背题义要求。
好方法的结果一般比较好；但不一定是最好的
清晰性：摘要应理解为详细摘要，提纲挈领 表达严谨、简捷，思路清新 格式符合规范，严禁暴露身份
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CUMCM评阅标准: 一些常见问题
数学模型最好明确、合理、简洁： 有些论文不给出明确的模型，只是根据赛题的情况， 实际上是用“凑”的方法给出结果，虽然结果大致是 对 的，没有一般性，不是数学建模的正确思路。 有的论文过于简单，该交代的内容省略了，难以看懂
DVD在线租赁
资源和知名度 ， 面向其会员群提供 日益专业化和便 捷化 的 服 务 。这 项 服 务 充 分 发 挥 了 网络 的诸 多 优 势， 包括传播范围广泛 、 直达核 心消费群 、 强烈的互 动性 、 感官性强 、 成本相对低廉等 ， 为顾 客提供更为
Ｎ． Ｖ １ Ｊ １ ｏ． ｏ ５
ａ ｎ．２ ６ ００
ＤＶＤ在 线租 赁
李秋晓 杨 美玲 葛兴伟
（ 京工业 职业 技术学 院 ， 京 １０ ４ ） 北 北 ００ ２ 摘 要： 通过 建 立一种 比较 新颖 的 网站 在 线 ＤＶ 租赁 模 型 ， Ｄ 合理 安 排 了网站 购 买 Ｄ ＶＤ 的数 量 和 分 配 其 会 员租赁的 Ｄ Ｄ， Ｖ 在满足会 员偏爱程度（ 权重） 最大的基础上 ， 依据基本概率论、 —１ ０ 规划的方法， 已知表格 从
Ａｂ ｔ ｃ ： ｉ ａ ｔ ｌ ｔｏ ｕ ｅ ｏ ｅ ｄ Ｉ ｆ ｂ ｉ ｉｈｏ ｆｒ ｎｉｅＤＶＤ ｅ ｔ ｌ ｓ ｒｉｅ ｔｈ ｓｒａｏ ｓｒ ｔＴｈｓ ｒｉ ｅｉ ｒ ｃｓａｎ ｖ ｌ ａ ｃ ｎ ｄ ｍｏ ｅ ｏ ｗｅ ｓｔ ｗｈｃ ｆｅｓｏ ｌ ｅ ｎ ｒｎ ａｓ ｅｖｃ ．Ｉ ａ ｓ ｎ ｅ ａ ｌ ｑ ａ ｔｔ ｆＤＶＤ ｎ ｕ ｅｓｏ ｂｅ ｕ ｎ ｉ ｏ ｙ ａ ｄ ｎ ｍｂ ｒ ｆＤＶＤ ｉｈ ｃ ｕｄｂ ｅ ｔｄ ｂ ｓｍｅ ｂ ｒ ．Ｉ ａｉｆ ｉｇｔ ｅｎ ｅ ｓｏ ｔ ｗｈｃ ｏ ｌ ｅｒｎ ｅ ｙ ｉ ｍ ｅｓ ｎｓ ｔ ｙｎ ｈ ｅ ｄ ｆｉ ｔ ｓ ｓ ｍｅ ｅｓｏ ｈ ａｉ ｏ ｈ ｉ ｐ ｅｅｅ ｃｓ ｉ ｅｔｂｉｈ ｓ ａ ｒｎ ａ ｐａ ｎ ｔ ｅｂ ｓｓｏ ｏ ｒｄ ｒｖ ｄ ｆｏ ｔｅ ｍｂ ｒ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓｓ ｆｔ ｅｒ ｒｆｒｎ ｅ ． ｔ ｓａ ｌ ｅ ｅ ｔｌ ｌｎ ｏ ｈ ａｉ ｆｐ ｗｅ ｅｉｅ ｒ ｍ ｈ ｓ ｋ ｏ ａａｂ ｓｎ ｒｂ ｂｌ ｙ ｔ ｅ ｒ ｎ ｅｈ ｆ ｎ ｗｎ ｄ ｔ ｙｕ ｉｇ ｐ ｏ ａ ｉｔ ｈ ｏ ｙ ａ ｄｍ ｔ ｏ ｏ ｉ ｄ ０— １Ｐ ｏ ｒｍ ．Ｔｈ ｎ ｔ ｅａ ｔ ｌ ｕｓｆｒ ｒ ｈ ｐ ｉ ｒｇａ ｅ ｈ ｒｉ ｅｐ ｔ ｏ ｗａｄ ｔ ｅｏ ｔ— ｃ ｍｉｅ ｉｔｉｕ ｉｎ ｐａ ｙｓ ｎｈ ｔｃｌ ｏ ｓ ｅｉｇｔ ｅｈｇ ｅｔｐ ｏｉ ａ ｄｔ ｅｈｇ ｅｔｄ ｇ ｅ ｆ ｅ ｅ ｓ ａ ｔ — ｚｄ ｄｓｒｂ ｔ ｌｎ ｂ ｙ ｔ ｅｉａｌ ｃ ｎ ｉ ｒｎ ｈ ｉｈ ｓ ｒ ｆ ｎ ｈ ｉｈ ｓ ｅ ｒｅｏ ｍｂ ｒ ’ｓ ｉ ｏ ｙ ｄ ｔ ｍ ｓ ｆｃｉｎ ａ ｄｅ ａｕ ｔｓａ ｄ ｉ ｒｖ ｓｔ ｅｍｏ ｅ． ａ ｔ ｎ ｖ ｌａｅ ｎ ｏ ｍｐ ｏ ｅ ｈ ｄ １ Ｋｅ ｒｓ： ｗｅ ；ｄ ｇ ｅ ｆｓ ｔ ｆｃｉｎ；０— １Ｐｒｇ ａ ｙｗｏ ｄ ｐ ｏ ｒ ｅ ｒｅｏ ｉ ａ ｔ ａ ｓ ｏ ｏ ｒｍ
DVD在线租赁问题的数学模型和计算
收 稿 日期 ： ０７— ０— ８ ２０ １ ０
作者简介 ： 张
立（ ９４ ） 男 ， １７ 一 ， 江苏武进人 ， 常熟理工学 院数学系讲师 ， 硕士 ， 研究方向 ： 优化和数学建模
维普资讯
第 ２期
张
立 ：Ｖ Ｄ Ｄ在线 租赁 问题 的数 学模 型和计算
３ ： ．Ａ 每月 租借 Ｄ Ｄ一 次 的会 员 的 比例 ；：每月 租借 Ｄ Ｄ两 次 的会 员 的 比例． Ｖ Ａ： Ｖ
４ 第 ｉ Ｄ Ｄ应该 准备 的数 量 （ ＝１２， ， ， ） ．ｂ： 种 Ｖ ｉ ， ３４５ ． ５ ． 一个 月 内对第 ｉ Ｄ Ｄ有需 求 的会员 得到 满足 的 比例 （ ＝１２ ３ ４ ５ ． ． ： 种 Ｖ ｉ ，， ，，） ６ Ｄ：Ｄ Ｄ每月可 用 次数 的数学期 望． ．Ｅ Ｖ ７ ， 一 个月 内对第 ｉ ．Ｑ ： 种需 求 的人数 上 限（ ＝１２ ３４， ） ｉ ，， ， ５ ．
１ ２， ．０） ， … ２ ．
３ 模 型 的建 立 和 求 解
对第 一个 问题 ， 考虑 到会 员 租 赁 的 实 际情 况 ， １中给 出 的某 种 Ｄ Ｄ的人 数 可 以看 成 是 某 月 选 择 该 表 Ｖ Ｄ Ｄ人 数 的数 学期 望 ， 月 实际选 择该 Ｄ Ｄ的人数 会有 少许 波动 ， 文认 为对 第 种 Ｄ Ｄ的总 的需 求可 以 Ｖ 每 Ｖ 本 Ｖ
３ ７
３ ．客 户提 交订单 应该 注 明 自己的租借 类 型 ： 该月 内一 次或 者两 次． ４ ．对 于租借 一 次或者 两次 的会员 ， 员 必须在 ３ 该会 ０天 内归 还所借 的 Ｄ Ｄ Ｖ．
符号 和变量 说 明如下 ： １ ．Ｎ：网站现 有 的会 员人 数． ． ２ Ｐ ： ｉ Ｄ Ｄ被选 中的概率 （ ＝１２ ３ ４， ） ｇ： ｉ Ｄ Ｄ没有 选 中的概率 （ ＝１２ ３， ５ ． ． 第 种 Ｖ ｉ ， ， ， ５ ； 第 种 Ｖ ｉ ， ， ４， ）
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
各种模型方法的应用案例(CUMCM)
模型定性指标量化的应用案例：（1）CUMCM2003-A,C:SARS的传播问题（2）CUMCM2004-D:公务员招聘问题；（3）CUMCM2005-B:DVD租赁问题；（4）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题；（5）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；（6）CUMCM2009-D:会议筹备问题。
综合评价方法：线性加权综合法、非线性加权综合法、逼近理想点（topsis）法的应用案例（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题；（2）CUMCM2001-B:公交车调度问题；（3）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题；（4）CUMCM2004-D:公务员招聘问题；（5）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题；（6）CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题；（7）CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题；（8）CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题；（9）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题；（10）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；（11）CUMCM2009-D:会议筹备问题。
动态加权与综合排序的应用案例动态加权的综合排序案例：（1）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题；（2）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题；综合评价的排序案例：（1）CUMCM1993-B:足球队排名问题；（2）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析与评价问题；（3）CUMCM2009-D:会议筹备问题。
数据建模的常用预测方法1插值与拟合方法：小样本内部预测；应用案例：（1）CUMCM2001-A:血管的三维重建问题；（2）CUMCM2003-A,C:SARS的传播问题；（3）CUMCM2004-C:饮酒驾车问题；（4）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；（5）CUMCM2005-D:雨量预报方法的评价；（6）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。
DVD在线租赁系统的优化设计
DVD在线租赁系统的优化设计李蓬蓬;朱小满;解炜【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2005(022)007【摘要】本文在DVD在线租赁背景下，对DVD的租赁与归还，网方的购买与分配以及需求预测等相关问题进行了建模和研究。
首先，对题中给出的表示会员对各DVD的偏爱程度的偏好指数进行修正，提出了绝对满意度和相对满意度的合理定义。
在模型的建盘和求解上，本文首先建立了基于DVD租用次数限制的通用模型和以Pois8ion过程模拟DVD归还过程的随机服务模型解决了在预知市场需求的情况下，各DVD采购量的问题。
随后，建立0-1整数线性规划模型并结合Lingo 软件进行求解，很好地回答了现有碟的一次性分配问题。
结合抽样统计的知识，建立0-1规划模型用以解答第三问的多目标规划问题。
在双目标规划的求解处理上，采取以满意度为限制条件，以碟的总量最小为目标进行规划的方式寻优求解。
针对第四问，本文引入VIP机制，分别建立并求解了VIP会员与普通会员的权重不同时的加权规划模型、VIP会员有优先权的分层规划模型。
还简单讨论了会员的信用度、邮递时间、租赁规则、DVD价格因素等实际问题。
【总页数】7页(P85-91)【作者】李蓬蓬;朱小满;解炜【作者单位】国防科技大学,长沙410073【正文语种】中文【中图分类】O221【相关文献】1.基于Monte-Carlo并行计算的DVD在线租赁问题求解 [J], 俞昊辰2.DVD在线租赁的优化设计 [J], 刘自山;吴发洪;文昌;雷志苡3.DVD在线租赁优化模型 [J], 马明4.在线租赁储备量最小化模型的构建——以DVD在线租赁为例 [J], 邓通德5.DVD在线租赁优化模型 [J], 王秀丽;因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
影碟出租管理
《影碟出租管理系统》数据库课程设计目录第一章系统概述 (1)系统背景 (1)系统目的及意义 (1)第二章系统需求分析 (2)用户需求 (2)数据流图 (3)数据字典 (4)数据结构 (5)第三章系统数据库设计 (6)系统E-R图 (6)数据库概念模型（CDM）设计 (8)数据库概念模型（PDM）设计 (9)第四章系统数据库对象设计 (10)索引设计 (10)视图设计 (10)约束设计 (13)函数设计 (13)存储过程设计 (24)第五章个人总结 (25)参考文献 (26)第一章系统概述系统背景近几年Internet的飞速发展使得网络与人们生活，工作的关系越来越密切，为了适应信息社会迅猛发展的浪潮，企业必须在网上构筑全新的电子商务运营模式。
在线租借及购物作为电子商务的一个重要组成部分，使企业能够通过Internet以一种快速方便的方式为客户提供最新的商品和服务信息，完善的在线租赁和购物渠道，使客户足不出户就可以购到满意的商品，享受现代化的服务。
交互式的销售渠道能够使企业降低成本，增强与客户间的联系，及时得到市场反馈，从而增强自身的竞争力和凝聚力。
同时，这种新型的经营模式不应该脱离企业已有的信息系统，应该在已有的信息系统的基础上增强新的服务，这些服务必须便于全球范围内的客户使用。
本文研究的基于Java技术的Web应用的实例——影碟租赁管理系统，正是在这种背景下进行。
系统目的及意义在进入网络时代的今天，传统的靠门面经营的影碟租赁店已经难以找到新的业务增长点，而网上销售和服务则成了新的增长点，这也是传统商店迎接网络商店挑战的必由出路。
由于影碟的经营门槛较低，只要流动经费充足，马上就可开业，因此，中小型的影碟租赁商店逐渐增多，竞争日趋激烈，利润空间有限。
在这种情况下，如何节约成本，提高资金的流通率、提高影碟店的知名度、增强商店宣传的力度成为影碟店急需考虑的问题。
在网上开影碟租赁商店可以解决这些问题。
首先，网上影碟店的建立可以减少影碟店的开支，如减少场地费用等。
在线租赁的规划模型及算法分析
１ ）调 查 表 数 据 及 历 史 数 据 可 以 充 分 反 映 总
体 需 ［ ］ 背景 ， 用 规划 模 型理 论 。和 １为 应
Ｍａｌｂ技 术［ ， 好地解 决 了此 问题． ｔ ａ ４较 ］
对第 种 Ｄ ＶＤ 的购 买量 ；
Ｚ一 购 买 ＤＶＤ 的 总 量 ．
１ 条 件 假 设 及符 号 说 明
１１ 基 本 假 设 ．
２ 模 型建 立 及 算 法分 析
研究．
第 １期
刘 家 彬 等 ： 线 租 赁 的 规 划 模 型 及 算 法 分 析 在
２ １
ｍｘ ＝∑ 一 ・ｉＨ， ａ Ｓ ‘ ∑ ｔ － － ｊ ． 一 ５ ／
；
根据实 际要 求 ， 以实现 以下搜 索算 法 ， 一 可 在 定 范 围内寻 求 最 优 ， 以下 称此 搜 索算 法 为 “ Ｐ算 Ｐ
满意 度问该 如何 找到最 好 的 平衡 点 ， 得 购买 的 使 Ｄ ＶＤ尽 可 能少 的同时 ， 使得将其 分配 给会 员后 的 满意度 还尽 可 能 高？本 文 以 ２ ０ ０ ５年 数学 建模 竞
决黻
量 一
；
Ｈ。 一填写 在线订 单 的总人 数 ；
Ｈ一第一 次分得 Ｄ ＶＤ 的 总 人 数 ；
度 在 一定 的时期 内保 持稳定．
１ 符 号 说 明 ． ２
一
随 机 变 量 ： 人 一 段 时 间 内对 ＤＶＤ 的 租 某
赁 次数 ； － ＥＸ 随机变 量 ｘ 的数 学期望 ；
DVD租赁的优化模型
作者： 王秀梅;李新芳
作者机构： 河南机电高等专科学校
出版物刊名： 统计与决策
页码： 137-138页
主题词： 在线租赁;DVD;优化模型;数学建模竞赛;租赁服务;分配方案
摘要：2005年全国大学生数学建模竞赛B题为DVD在线租赁问题.顾客缴纳一定数量的月费成为会员,订购DVD租赁服务.会员对哪些DVD有兴趣,只要在线提交订单,网站就会通过快递的方式尽可能满足要求.会员提交的订单包括多张DVD,这些DVD是基于其偏爱程度排序的.网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发.每个会员每个月最多租赁2次,每次最多租赁3张,会员看完3张DVD之后,只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站支付）,就可以继续下次租赁.本文对该竞赛题中DVD的选购数量和分配方案进行讨论.。
DVD在线租赁的优化设计
∑ｚ＜ｙ＝ ， ３ｉ １ ｍ ， ２一
１ 示择 ｆ Ｉ 选 １ １ ， 表 ， 取 ０ 则 ’ １否 ＇ ） ０ 否 ’ ，
收稿 日期 ：２ ０ ．１ ｌ ０ ５１． ２
作者简介：刘 自山 （１８ －．男．重庆人 ．助理 实验师，主要从事计算机在数学建模应用方面的研究。 ９ ｌ）
Ｘ 来表示第 ｆ Ｕ 个会员对第 Ｊ Ｄ Ｄ的满意度指数 ，得到满意度指数最大的非线性模型： 种 Ｖ
目标函数 ：Ｍ ｘ － ａ Ｘ
ｉ １ ＝ ＝ ｊ ｉ
． ｚ
∑ｚ ｌ． １ｏ￣ ｊ ＝，￣， ， ２Ｏｌ 『 Ｏ
ｉ ＝１
靳 种Ｄ Ｄ总数的约束 Ｖ
会员是否取得的约束
约束条件： ． ｆ ．
同理 口得 ，租一 次的会 员 的平 均归还 天数 为 ： 】
ｆ ：
！ 垫±
２
（ ２）
‘
然后 ，根据全概率知识 ，得到会员的整体平均归还天数为：
ｆ ：
！ ±
（ ３）
其 中： ． ｔ为租两次 Ｄ Ｄ会员的归还平均周期 ， ．为 Ｖ ｔ 会员归还 的最小天数 （ 由实际情况 ，当会员所在城市有 网站的分公司的时候 ， 会员最小归还周期可 以为 １ ） ． 天 ｔ ． 会员归还 的平均最大天数 ； ， ｔ为租一次 Ｄ Ｄ会员的归还 Ｖ 平均周期 ，ｆ 为会员归还的最小天数 （ ， ｆ ：ｔ ） ｔ 会 ． ，， ． 员归还的最大天数 ；ｔ 会员的整体平均周期 ，ｋ，， ． 分别 ｋ 为租一次和租两次 的会员人数概率。 对整个租赁系统进行分析。可知 ：当网站第一天按 照订单需求租出一定量的 Ｄ Ｄ， Ｖ 以后每天都有订单到达 ， 图 ２ 一段时期内归还 Ｄ Ｄ的数 目和天数的关系 Ｖ 并且 Ｄ Ｄ归还都将增加。 Ｖ 归还后的 Ｄ Ｄ根据订单需求 ， Ｖ
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1
一、问题的重述
考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽 可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的。 网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不 得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站 提供的信封里寄回（邮费由网站承担） ，就可以继续下次租赁。请考虑以下问题： （1）网站正准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观 看这些 DVD 的人数。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表 1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备 多少张， 才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如 果要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD 呢？ （2）表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会 员的在线订单，如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列 出前 30 位会员（即 C0001~C0030）分别获得哪些 DVD。 （3）考虑表 2，并假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经营管理 人员，你如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个 月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？ （4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有 哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
2
R U
为满足会员要求的百分比数 会ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ获得 DVD 后所得到的总偏爱度，其值越小满意度越高
四、问题的分析及模型的建立及求解
4.1 问题的背景资料 Netflix 目前是美国最大的 DVD 出租网站， 现在公司预计可在 2006 年达到 500 万订 户。这家网站的经营方法是，顾客在成为网站的固定会员后，可在网站上选取自己喜欢 的 DVD 影片，该公司现有 DVD 种类有 5 万多种，包括一些最新面世的大片，由这家 网站快速寄送到顾客的登记地址，每次最多 3 张。顾客可以无限期地借用这些影片，但 只有在寄回这些影片后才能借用新影片。顾客只需每月缴纳 19．95 美元的会员费，而 邮寄费用全部由网站支付。 对顾客而言， 坐在电脑前拖动几下鼠标就可得到中意的影片， 既省时又省力。 据统计，超过 60%的美国家庭至少拥有一台 DVD 影 DVD 机。去年，美国人在家 看 DVD 的时间平均为 78 小时，比 2000 年上升了 53%。 DVD 的销量和出租量则上升 了 676.5%[5]。 4.2 问题一的求解
4.2.1 问题一模型的建立与求解 对问题一的分析，我们根据实际情况作了一些积极的假设，并简化了模型。从网站 经营者的角度出发，出于对自身赢利的考虑，希望 DVD 的周转越快越好。那么我们就 从 DVD 的周转情况来考虑对 DVD 数的需求量。 由题目我们把所有会员分成 A、B 两类：如表 1 表1
DVD 名称 一个月内至少 50% 看到的最少张数 三个月内至少 95% 看到的最少张数 DVD1 4000 2534 DVD2 2000 1267 DVD3 1000 634 DVD4 500 317 DVD5 200 127
作为一个租赁网站的经营者，总是希望赢利更多，就要提高周转次数，减少周转天 数，这样他的先期投入也将减少。就可以考虑尽可能缩短租借的天数，来增加网站的赢 利和减少先期投入。若我们将归还时间定为 3-9 天，则期望为 6。一个月的 DVD1 所需 最少张数为 2000 张（小于 4000 张） 。 4.3 问题二模型的建立与求解
min
∑∑ DL
i =1 j =1
ij
× C ij
0，1 变量 C ij = 0,1 100 C =3 每位会员租 3 张 DVD ∑ ij j =1 s.t. 1000 C ≤y ij j DVD 现有数量的限制 ∑ i=1 (i = 1L1000, j = 1L100)
会员租赁 DVD 满意度的目标函数为： min
∑∑ DL
i =1 j =1
ij
× C ij
0- 1 规划模型的约束条件为： 1、每个顾客一次能并且只能租到 3 张 DVD； 2、租赁给会员的每种 DVD 总张数不能超过现有 DVD 数量。 由上述分析得到如下的 0-1 规划模型：
4
1000 100
会员号 分配 DVD 的 种类号 会员号 分配 DVD 的 种类号 会员号 分配 DVD 的 种类号 1 C0001 C0002 C0003 C0004 C0005 C0006 C0007 C0008 C0009 C0010 8（1） 6（1） 32 （4） 7（1） 11 （3） 19 （1） 26 （3） 31 （4） 53 （1） 41 （6） 41 （7） 44 （2） 50 （2） 18 （2） 66 （1） 53 （2） 66 （6） 35 （5） 78 （3） 55 （2） C0011 C0012 C0013 C0014 C0015 C0016 C0017 C0018 C0019 C0020 59 （1） 2（2） 21 （3） 23 （2） 13 （1） 10 （4） 47 （2） 41 （1） 66 （4） 45 （1） 63 （2） 31 （1） 78 （2） 52 （1） 52 （4） 84 （1） 51 （3） 60 （2） 84 （1） 61 （3） C0021 C0022 C0023 C0024 C0025 C0026 C0027 C0028 C0029 C0030 45 （2） 38 （3） 29 （2） 37 （4） 9（1） 22 （1） 50 （4） 8（1） 26 （4） 37 （2）
4.3.1 问题二的分析 顾客满意度可以简要地定义为：顾客接受产品和服务的实际感受与其期望值比较的 程度。首先对满意度进行了如下假设：在会员的在线订单 Dij 中，数字越小表示会员的 偏爱程度越高，如果会员得到他偏爱程度越高的 DVD，则会员的满意度越大。假设会
11, D ij = 0 员对 DVD 的偏爱度为： DLij = Dij , D ij ≠ 0
该问题的目的就是分配当前的订单，使得这些顾客的满意度最大，可以用 0-1 规划 模型来求解，定义 0-1 变量 Cij（i=1…1000,j =1…100）, Cij 为 1 时表示第 i 个顾客租到了 第 j 种 DVD，其值为 0 时表示没有租到相应的 DVD。 4.3.2 问题二模型的建立
1000 100
类型 A类 B类 每月租赁 DVD 次数 两次 一次 所占会员总数的百分比 60% 40% 会员人数 60000 40000
考虑到 DVD 的周转，我们对两类会员作以下假设： A 类会员归还一张 DVD 的时间 X1 范围为 3—15 天； B 类会员归还一张 DVD 的时间 X2 范围为 3—30 天； 根据现实情况，我们假设 X1 ， X2 都服从等概率分布，则： 15 + 3 30 + 3 EX 1 = = 9 EX 2 = = 16.5 2 2 则会员归还一张 DVD 的时间期望为：µ =0.6×EX1 +0.4×EX2 =12 天。这就是说每张 DVD 在会员手中保存的时间大约在 12 天， 那么： 在一个月内 DVD 的周转次数为：N=30÷12=2.5； 在三个月内 DVD 的周转次数为：N=90÷12=7.5。 （设 30 天为一个月） 根据题目中调查 1000 人愿意观看各种 DVD 的人数，我们得到会员愿意观看各种 DVD 的经验概率分布统计结果如下（见表 2） ： 表2
DVD 名称 一个月内至少 50% 看到的最少张数 三个月内至少 95% 看到的最少张数 DVD1 4000 2534 DVD2 2000 1267 DVD3 1000 634 DVD4 500 317 DVD5 200 127
问题二，我们首先对满意度进行了定义，并作出相应的假设。根据假设建立 0—1 规划模型， 用 LINGO 软件编程求得各种 DVD 的分配方案。 我们根据实际情况修改了偏 爱程度，再次用 LINGO 编程求解，得出第二中分配方案。第一种分配方案的总偏爱度 U 为 7924，有 30 张 DVD 分配给了没有预订这些 DVD 的会员；第二种分配方案的总偏 爱度 U 为 8191，有 8 张 DVD 分配给了没有预订这些 DVD 的会员。虽然第一种分配方 案的总偏爱度优于第二种，但是经证明无论怎么分配，至少有 8 张 DVD 会分配给没有 预定这些 DVD 的会员，因此我们选择第二种分配方案。 问题三， 根据满意度最大， 我们建立了一个规划模型， 由于模型难以用计算机求解， 我们改用计算机仿真来模拟现实购 DVD 方案，模拟生成的购买的总 DVD 数为 3086。 问题四，在 DVD 的需求预测、购买和分配中重要问题的研究中，首先研究了 DVD 的需求预测，并建立了灰色 GM（1，1）模型，灰色 GM（1，1）模型能够克服相关数 据不足的缺陷和避免人为因素的影响。这表明基于灰色理论的预测方法，适合于对 ＤＶＤ 在线租赁业务趋势进行预测。该方法是切实可行并有效的，并对 ＤＶＤ 在线租赁业务发展 规划有重要参考价值。然后从网站的赢利角度出发，建立了一个以赢利函数为目标的线 性规划模型，此模型在租赁方面有着较高的参考价值。 最后我们对我们所建立的模型及求解方案进行评价，推广。我们考虑到对于更大规 模问题，现有模型的求解就会困难。因此我们想了模型的另外一个算法：贪心算法。贪 心算法速度快，但得到的解难以达到最优。 [关键词 ]：DVD 在线租赁 0—1 规划 概率模型 计算机仿真 灰色 GM（1，1）模型
二、问题的假设