【长郡中学开学考试】长郡中学2019届高三月考试卷(一)数学(文)(含解析)(2018.08)
2019年湖南长郡中学高三理科数学月考高考模拟试卷(附答案)
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理科数学试题!长郡版"第!" 页!共"页"
长郡中学#$"%届高三月考试卷二
数学理科参考答案
一选择题
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湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)(PDF版)
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）得分: _____________本试卷共8页。
时暈120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共12小题•每小题5分，共6（）分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数尸闿+2i,则旧=A. 0B. 1C. 2D. 3★2.已知集合 A=&|—疋+4 心 0} J3={jr| 讦 V3y27},C={m = 2〃,IX {m=2w?€N} ★ 3.若定义在R 上的偶函数/Cr ）满足/Cr+2）=/Cr ）冃时,/Cr ）=久，则方程/3 = log 小・|的零点个数是A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个4. 计算 sin 133°cos 197°+cos 47°cos 73°的结果为A.*5. 已知A 、"、P 是双曲线手一君=1上不同的三点，且人、"连线经过坐标原点•若直线PA.PB 的斜率乘积虹、・如=3,则该双曲线的离心率为6. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的H 标,先 调查了用电量V （单位:千瓦•时）与气温川单位：°C ）之间的关系，随机选取了 4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：2（单位：°C ）17 14 10 -1 y （单位:千瓦•时）24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程6= —2乂+方，则由此估计：当某天气温为2°C 时，当天用电量约为A. 56千瓦•时B. 62千瓦•时 C 64千瓦•时 IX 68千瓦•时•:®I. M €N},则(AUB )C1C=A. {2,4}B. {0,2}C.{0,2,4}B.V3 1).3★7•某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为★&已知平面向量满足a • （a+b ） = 3弓且\a\=29 \b\=l,则向量a 与b夹角的止弦值为A —丄 '2★ 9.设°,比R,则“（a —6）・疋＜0”是“aV6”的A. 充分|何不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件IX 既不充分也不必要条件10. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了川••界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个索数的和”，如30 = 7 +23.在不超过30的素数中•随机选取两个不同的数•其和等于30的概 率是A 丄B —C —D — -12 ° 14 ° 15 * 1811. 过抛物线b=4工焦点的直线I 与抛物线交于A 、£两点，与圆（工一1 P + y= r 交于C 、D 两点，若有三条直线满足\AC\ = \ BD\，则r 的取值范 围为A.（今,+oo ）B. （2,+oo ）C. （1 冷）D. （*,2）12. 设函数/（x ）=e , （x —1）,函数g （H ）=mr —加,（加＞0）,若对任意的心€[—2,2],总存在力2 w [—2,2],使得/、a ）=ga ）,则实数加的取 值范围是A. ■-3e-4'B. 「1 2*1 片9 G* 3 L 3」A.500 125 C - 3兀 侧视图D.D. R?,+oo)选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分答案二、填空题:本题共4小题.每小题5分.共20分.\r+3j^313.____________________________________________________ 设Ay 满足约束条件］工_耳1 ,则之=丄的最大值为______________________ ..妙014.《聊斋志异》屮有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第二次月考数学(文)试题(解析版)
，若
A.
B.
C.
，则向量 、 的夹角
D.
【答案】 C
【解析】解：由题意知： 设向量 、 的夹角为 ，
，则
，
则
，
又
，
即向量 、 的夹角为 ，
故选： C．
由向量的数量积运算得：
，由向量的夹角公式得：
解． 本题考查了向量的数量积运算及向量的夹角公式，属简单题．
，得
6. 某校高二 班每周都会选出两位“迟到之星”，期中考试之前一周“迟到之星” 人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，
湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第二次月考数 学（文）试题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 等差数列
中，
，
，则 等于
A. 6
B. 7
C. 8
【答案】 B 【解析】解： 等差数列
，
中，
，
，
D. 9
解得
，
，
．
故选： B．
利用等差数列通项公式列出方程组，求出
，
，由此能求出 ．
第 2 页，共 14 页
是偶函数，并且在
上是减函数， 该选项正确；
C.
为奇函数， 该选项错误；
D.
时，
故选： B．
为增函数， 该选项错误．
和
在
上都是增函数，从而得出 A， D 都错误，而
是
奇函数，从而 C 错误，只能选 B． 考查一次函数、幂函数，以及指数函数的单调性，以及偶函数和奇函数的定义及判断．
5. 已知平面向量 、 ，满足 为
本题考查等差数列的第 能力，是基础题．
2019届高考长郡中学高三第一次月考数学 理科试题
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湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题 Word版含解析
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。
【详解】所以所以选D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。
2.2.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。
【详解】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示由图像可知，方程有四个零点所以选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。
4.4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。
【详解】所以选B【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题。
5.5.已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，设出A、B、P点的坐标，代入方程做差，得到；利用两条直线的斜率乘积关系，得到。
联立可以得到的关系式，进而求得离心率。
【详解】由题意，设则将A、P坐标代入双曲线方程，得两式相减得所以，即所以所以选C【点睛】本题考查了点与双曲线的关系，设而不求法是解决圆锥曲线问题常用方法，属于基础题。
6.6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：千瓦·时）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：（单位：℃）（单位：千由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为℃时，当天用电量约为（）A. 千瓦·时B. 千瓦·时C. 千瓦·时D. 千瓦·时【答案】A【解析】【分析】根据回归直线方程经过样本中心点，求得，代入回归直线可求得；代入回归方程后，可预报当气温为℃时，当天的用电量。
湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考数学(文)试题(解析版)
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高三（下）第六次月考数学试卷（文科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|0＜x＜2}，B={x|y=ln（1-x）}，则A∪B等于（）A. B. C. D.2.复数z=i（1-）在复平面上对应的点Z位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=5x+m（m为常数），则f（-log57）的值为（）A. 4B.C. 6D.4.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积是（）A.B.C.D.5.设x，y满足约束条件向量=（2x，1），=（1，m-y），则满足 ⊥的实数m的最小值为（）A. B. C. D.6.已知M为△ABC内一点，=+，则△ABM和△ABC的面积之比为（）A. B. C. D. 7.如图所示，已知AB，CD是圆O中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O以及AB，CD均相切，则往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为（）A.B.C.D.8.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=A cosωx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度9.已知实数p＞0，直线4x+3y-2p=0与抛物线y2=2px和圆（x-）2+y2=从上到下的交点依次为A，B，C，D，则的值为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A. 10B. 9C. 8D.11.F是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则C的离心率是（）A. B. 2 C. D.12.已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，，＜，＞，则函数g（x）=xf（x）-1在[-7，+∞）上的所有零点之和为（）A. 0B. 4C. 8D. 16二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.为了解工厂的1000名工人的生产情况，从中抽取100名工人进行统计，得到如下频率分布直方图，由此可估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为______．14.若0＜α＜，cos（+α）=，则cosα=______．15.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为______．16.若△ABC的面积为（a2+c2-b2），且∠C为钝角，则∠B=______；的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是等比数列，首项a1=2，a4=16（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}是等差数列，且b3=a3，b5=a5，求数列{b n}的通项公式及前n项的和．18.如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′-BCDE，其中′．（Ⅰ）证明：A′O⊥平面BCDE；（Ⅱ）求O到平面A′DE的距离．19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查的数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..20.在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆经过点A（2，0）和点（1，3e），其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM=MA，若MF1⊥BF2，求直线l的斜率．21.已知函数f（x）=ln x-ax2+x，a∈R．（Ⅰ）若f（1）=0，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（ax-1），求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）若a=-2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明x1+x2≥．22.已知平面直角坐标系xOy中，过点P（-1，-2）的直线l的参数方程为（t为参数），l与y轴交于A，以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=m cosθ（m ＞0），直线l与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和点A的一个极坐标；（2）若，求实数m的值．23.已知函数f（x）=的最大值为4．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若m＞0，0＜x＜，求+的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由B中y=ln（1-x），得到1-x＞0，即x＜1，∴B=（-∞，1），∵A=（0，2），∴A∪B=（-∞，2），故选：B．求出B中x的范围确定出B，找出A与B的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：复数z=i（1-）=i-1在复平面上对应的点Z（-1，1）位于第二象限．故选：B．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，∵当x≥0时，f（x）=5x+m，∴f（0）=1+m=0，解得：m=-1，故f（x）=5x-1，∴f（-log57）=-f（log57）=-（7-1）=-6，故选：D．根据奇函数的性质，可得f（0）=0，代入构造关于m的方程，解得当x≥0时函数解析式，进而得到答案．本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数奇偶性的性质，方程思想，难度中档．4.【答案】B【解析】解：由三视图可知该几何体是一个正方体扣去一个正四棱锥，如图．则正四棱锥的侧面是底为4、高为=的等腰三角形，其面积S1=×4×=，所以该几何体的面积为5×4×4+4×S1=80+16，故选：B．通过三视图可知该几何体是一个正方体扣去一个正四棱锥，计算五个正方形的面积与四个等腰三角形的面积即可．本题考查由三视图求表面积，考查空间想象能力，考查三角形面积公式，注意解题方法的积累，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：由向量=（2x，1），=（1，m-y），得m=y-2x，根据约束条件画出可行域，设m=2x-y，将m最小值转化为y轴上的截距，当直线m=2x-y经过点A时，m最小，由，解得A （，）满足⊥的实数m的最小值为：-=-．故选：B．先根据平面向量垂直的坐标表示，得m=y-2x，根据约束条件画出可行域，再利用m的几何意义求最值，只需求出直线m=y-2x过可行域内的点A时，从而得到m的最小值即可．本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．6.【答案】A【解析】解：设，，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，连BM．则EF∥AB，∴==．故选：A．作出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为．本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：设小圆半径为r，则圆O的半径为r+r，由几何概型的公式得到：往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为：r+；故选：D．由题意，本题是几何概型，只要利用阴影部分的面积与圆O的面积比求概率．本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确几何测度为面积，利用面积比求概率．8.【答案】B【解析】解：A=2，∵，∴T=π=，解得：ω=2，可得：f（x）=2cos（2x+φ），将代入得：，∵-π＜φ＜0，∴，故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到l的图象．故选：B．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由在函数图象上，结合φ的范围求出φ的值，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题意得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得：|AC|=|AF|+|CF|=+x1+=x1+p，同理得|BD|=x2+p．联立直线4x+3y-2p=0与抛物线y2=2px且消去x得：2y2+3py-2p2=0解得：y1=，y2=-2p，所以x1=，x2=2p所以==．故选：C．设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=．由抛物线的定义得：|AC|=|AF|+|CF|= +x1+=x1+p，同理得|BD|=x2+p．联立直线4x+3y-2p=0与抛物线y2=2px且消去x解出y1=，y2=-2p，所以x1=，x2=2p，进而得到答案．解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等．10.【答案】B【解析】解：由f（x）=ax2+bx，得f′（x）=2ax+b，又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）=2a+b=2，即．则=．当且仅当，即时“=”成立．所以的最小值是9．故选：B．求出原函数的导函数，由f′（1）=2a+b=2，得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．本题考查了导数的运算，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生灵活变换和处理问题的能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为y=-x，设A（m ，），B（n，-），∵2=，∴2（c-m，-）=（n-c，-），∴2（c-m）=n-c，-=-，∴m=c，n=，∴A（，）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于-1，即•=-1，∴a2=3b2，∴e===．故选：C．设一渐近线OA的方程为y=x，设A（m ，m），B（n，-），由2=，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于-1，求出a2=3b2，代入e==进行运算．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点A的坐标是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）．又∵函数g（x）=xf（x）-1，∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），∴函数g（x）是偶函数，∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数g（x）在[-7，7]上所有的零点的和为0，∴函数g（x）在[-7，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在[7，+∞）上所有的零点之和．由0＜x≤2时，f（x）=2|x-1|-1，即．∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[，1]，当且仅当x=2时，f（x）=1又∵当x＞2时，f（x）=f（x-2），∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[，]，函数f（x）在（4，6]上的值域为[，]，函数f（x）在（6，8]上的值域为[，]，当且仅当x=8时，f（x）=，函数f（x）在（8，10]上的值域为[，]，当且仅当x=10时，f（x）=，故f（x ）＜在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上无零点同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上无零点依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点综上函数g（x）=xf（x）-1在[-7，+∞）上的所有零点之和为8故选：C．由已知可分析出函数g（x）是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，则函数g（x）在[-7，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在[7，+∞）上所有的零点之和，求出[7，+∞）上所有零点，可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找（7，+∞）上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．13.【答案】150【解析】解：根据频率分布直方图可知：工厂产量在75件以上的频率为：0.010×10+0.005×10=0.15，∴估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数为1000×0.15=150．故答案为：150．根据频率分布直方图先求出工厂产量在75件以上的频率，由此能估计该工厂产量在75件以上（含75件）的工人数．本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵0＜α＜，cos （+α）=，∴+α仍然是锐角，∴sin（（+α）==，则cosα=cos[（+α）-]=cos （+α）cos+sin （+α）sin=+=，故答案为：．由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin （（+α）的值，再利用两角差的余弦公式，求得cosα=cos[（+α）-]的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．15.【答案】8π【解析】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得：，解得SA=4，SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2，圆锥的高为：2，则该圆锥的体积为：V==8π．故答案为：8π．利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高．然后求解体积即可．本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力．16.【答案】（2，+∞）【解析】解：△ABC的面积为（a2+c2-b2），可得：（a2+c2-b2）=acsinB，，可得：tanB=，所以B=，∠C为钝角，A∈（0，），tanA=，∈（，+∞）．===cosB+sinB=∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．利用余弦定理，转化求解即可．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．17.【答案】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵首项a1=2，a4=16，∴16=2×q3，解得q=2．∴ ．（II）设等差数列{b n}的公差为d，∵b3=a3=23=8，b5=a5=25，∴ ，解得，∴b n=-16+（n-1）×12=12n-28．=6n2-22n．【解析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，利用通项公式和已知a1=2，a4=16，即可解得q．（II）设等差数列{b n}的公差为d，利用等差数列的通项公式和已知b3=a3=23=8，b5=a5=25，可得，解得b1，d．即可得出数列{b n} 的通项公式及前n项的和．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）证明：在图1中，易得OC=3，AC=3，AD=2，连结OD，OE，在△OCD中，由余弦定理可得OD==由翻折不变性可知A'D=2，∴A'O2+OD2=A'D2，∴A'O⊥OD．同理可证A'O⊥OE，又OD∩OE=O，∴A'O⊥平面BCDE．（Ⅱ）解：过D作DH⊥BC交OC于H，则DH=1，∵DE=4，∴S△ODE==2．∵S△A′DE==4，∴由等体积可得，O到平面A′DE的距离==．【解析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明A′O⊥平面BCDE．（Ⅱ）利用等体积，求O到平面A′DE的距离．本题主要考查直线和平面垂直的判定定理以及点到平面距离的计算，要求熟练掌握相应的判定定理和体积的计算．19.【答案】解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B，故可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为，则该校高三年级学生获得成绩等级为B的人数约有．（2）这100名学生成绩的平均分为=91.3（分），因为91.3＞90，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关．（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a，3名女生分别为b1，b2，b3．从中抽取2人的所有情况为ab1，ab2，ab3，b1b2，b1b3，b2b3，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有ab1，ab2，ab3，共3种情况，故所求概率．【解析】（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B，由此可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率，从而能求出该校高三年级学生获得成绩等级为B的人数．（2）这100名学生成绩的平均分为91.3分，由91.3＞90，得到该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关．（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a，3名女生分别为b1，b2，b3．利用列举法能求出从中抽取2人其中恰好抽到1名男生的概率．本题考查条形图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20.【答案】解：（1）∵椭圆E经过点A（2，0）和（1，3e），∴ ，解得a=2，b=，c=1．∴椭圆方程为；（2）由（1）知，F1（-1，0），F2（1，0）．设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）．联立，可得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0，解得x=2，或x=，点B坐标为（，）．由OM=MA知，点M在OA的中垂线x=1上，又点M在直线l上，∴点M的坐标为（1，-k）．从而=（2，k），=（，）．∵MF1⊥BF2，∴，∴，解得k=±，故直线l的斜率是±．【解析】（1）由椭圆E经过点A（2，0）和（1，3e），列出方程组，求出a=2，b=，c=1，由此能求出椭圆E的方程；（2）设直线l的方程是y=k（x-2），联立方程组得（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0，求出点B坐标，点M的坐标为（1，-k），由MF1⊥BF2，即可求出直线l的斜率．本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的简单性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）因为f（1）=，所以a=2．此时f（x）=ln x-x2+x，x＞0，′＞，由f'（x）=0，得x=1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故当x=1时函数有极大值，也是最大值，所以f（x）的最大值为f（1）=0．（Ⅱ），所以′．当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，当a＞0时，′，令g′（x）=0，得．所以当∈，时，g′（x）＞0；当∈，时，g′（x）＜0，因此函数g（x）在∈，是增函数，在，是减函数．综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间；当a＞0时，函数g（x）的递增区间是，，递减区间是，．（Ⅲ）由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．令t=x1x2，则由x1＞0，x2＞0得，′．t＞0可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以φ（t）≥φ（1）=1，所以，解得或．又因为x1＞0，x2＞0，因此成立．【解析】（1）先求出a的值，然后求原函数的极值即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．本题难度较大，属于利用导数研究函数的单调性、最值，以及利用导数证明单调性进一步研究不等式问题的题型．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=m cosθ（m＞0），转换为直角坐标方程为：y2=mx（m＞0），直线l的参数方程为（t为参数），l与y轴交于A，解得：，（2）将代入y2=mx，得t2-（4+m）t+m+4=0，∵，∴t1=3t2∴ ，∴．【解析】（1）直接利用参数方程和直角坐标方程为的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系式的应用，利用向量的数量积的运算，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，向量的数量级向量的数量积的运算，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=，当且仅当且时取等号，此时f（x）取最大值|m|=4，即m=±4；（Ⅱ）由（Ⅰ）及m＞0可知m=4，∴0＜x＜2．则=．当且仅当2-x=x，即x=1时取等号．∴的最小值为4．【解析】（Ⅰ）直接利用绝对值不等式放缩，求得函数的最大值，得到m值；（Ⅱ）由题意求得x的范围，去绝对值后利用基本不等式求最值．本题考查函数的最值及其几何意义，考查绝对值不等式的应用，是中档题．。
【全国百强校首发】湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(文)答案
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湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(文)试题
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【答案】湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(文)答案
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湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题(解析版)
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。
【详解】所以所以选D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。
2.2.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。
【详解】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示由图像可知，方程有四个零点所以选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。
4.4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。
【详解】所以选B【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题。
5.5.已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【解析】【分析】根据题意，设出A、B、P点的坐标，代入方程做差，得到；利用两条直线的斜率乘积关系，得到。
联立可以得到的关系式，进而求得离心率。
【详解】由题意，设则将A、P坐标代入双曲线方程，得两式相减得所以，即所以所以选C【点睛】本题考查了点与双曲线的关系，设而不求法是解决圆锥曲线问题常用方法，属于基础题。
6.6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：千瓦·时）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：（单位：℃）（单位：千瓦·时）由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为℃时，当天用电量约为（）A. 千瓦·时B. 千瓦·时C. 千瓦·时D. 千瓦·时【答案】A【解析】【分析】根据回归直线方程经过样本中心点，求得，代入回归直线可求得；代入回归方程后，可预报当气温为℃时，当天的用电量。